РАСЧЕТ СОСТАВНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ СОСУДОВ

Федеральное агентство по образованию
Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тихоокеанский государственный университет»
РАСЧЕТ
СОСТАВНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ СОСУДОВ
Методические указания по курсу
«Сопротивление материалов»
для студентов механических и строительных специальностей
дневной формы обучения, для учебно-исследовательской
работы, для магистров
Хабаровск
Издательство ТОГУ
2007
УДК 539.3.(076)
Расчет составных тонкостенных сосудов: Методические указания по
курсу «Сопротивление материалов» для студентов механических и
строительных специальностей дневной формы обучения , для учебноисследовательской работы, для магистров / Сост. В. В. Иовенко, Л. М.
Иванников. – Хабаровск: изд-во ТОГУ, 2007. – 36 с.
Методические указания составлены на кафедре «Механика деформируемого твердого тела». Содержат краткую теорию и примеры расчета
составных
тонкостенных
сосудов
для
выполнения
расчетнопроектировочных работ по сопротивлению материалов для студентов
механических и строительных специальностей дневной формы обучения,
для учебно-исследовательской работы, для магистров.
Печатается в соответствии с решениями кафедры “Механика
деформи-руемого твердого тела” и методического совета ИАиС.
Главный редактор Л. А. Суевалова
Редактор О. В. Астафьева
Компьютерная верстка В. В. Иовенко
Подписано в печать
. Формат 60x84 1/16.
Бумага писчая. Гарнитура «Таймс». Печать офсетная. Усл. печ. л.
Уч.-изд. л.
. Тираж
экз. Заказ
.
.
Издательство Тихоокеанского государственного университета.
680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.
Отдел оперативной полиграфии издательства
Тихоокеанского государственного университета.
680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.
Издательство ТОГУ, 2007
3
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Стенки тонкостенных сосудов, испытывающие внутреннее давление
воды, пара или газа, находятся в состоянии двухосного растяжения. К таким
сосудам относятся паровые котлы, резервуары водонапорных башен,
газгольдеры, нефтебаки, газовые и воздушные баллоны и т.п.
Одной из особенностей такого рода конструкций является малая толщина
стенки h (будем считать ее постоянной) по сравнению с общими габаритами
сооружения (меньше пяти процентов), что позволяет объединить их термином тонкостенные сосуды [1]. Поверхность, которая делит толщину стенок сосуда
пополам, называется срединной поверхностью.
Характерной чертой тонкостенных сосудов является то, что по форме они
представляют собой тела вращения (рис. 1), т.е. их срединная поверхность
может быть образована вращением некоторой кривой S (1 k 2 ) вокруг оси
0 0 (оси симметрии).
0
1
n
S
m
t
k
n
2
0
Рис. 1
Через произвольную точку k срединной поверхности сосуда проведем
нормаль n n к поверхности бесконечно малого элемента, выделенного в
окрестностях точки. Сечение сосуда плоскостью, содержащей ось 0 0 и
нормаль n n , называется меридиональным, а сечение по нормали к меридиану
и также содержащее нормаль n n - нормальным сечением.
Будем полагать в дальнейшем, что нагрузка, действующая на такой сосуд,
также обладает свойствами осевой симметрии. В этом случае задача расчета
значительно упрощается, поскольку возможно равновесие между внешними и
внутренними силами без появления изгибающих моментов и все внутренние
силы изменяются только вдоль дуги меридиана.
В таком случае напряжения в сосуде определяются с учетом только
нормальных сил (нормальные напряжения по толщине стенки тонкостенного
4
сосуда считаются распределенными равномерно) и теорию расчета называют
безмоментной.
Тонкостенные сосуды представляют частный случай обширного класса
систем, называемых оболочками, теория расчета которых достаточна сложна.
Она изучается в специальных разделах строительной механики.
Заметим, что безмоментная теория оболочек представляет собой
упрощенный вариант общей теории, в которой пренебрегается влиянием
изгибающих и крутящих моментов, поперечных сил на напряженнодеформированное состояние, то есть моментные напряжения намного меньше
мембранных (цепных).
Возможность существования безмоментного напряженного состояния
оболочки определяется формой ее срединной поверхности, характером
силового воздействия, в том числе и на контуре, и характером закрепления
оболочки на контуре.
В безмоментной теории оболочек обычно не принимают во внимание
условия совместности деформаций, что вносит искажение в отыскиваемое
решение, особенно значительное при резком изменении кривизн срединной
поверхности, толщин оболочек и нагрузки.
Условия существования безмоментного напряженного состояния
оболочки можно свести к следующим требованиям [2]:
а) форма оболочки должна характеризоваться плавностью срединной
поверхности, отсутствием в ней изломов, острых вершин, скачкообразных
изменений радиусов кривизн, изменение толщины должно быть плавным;
б) закрепление оболочки должно быть таким, чтобы при неизменяемости
формы края сосуда должны иметь возможность свободно перемещаться в
направлении нормали к поверхности; вместе с тем необходимо, чтобы
тангенциальные закрепления обеспечивали жесткость оболочки, т. е. чтобы она
не могла деформироваться без растяжения (сжатия) срединной поверхности;
в) нагрузка, приложенная к оболочке, должна быть плавной, не должно
быть сосредоточенных сил, скачков в распределенной нагрузке.
Встречаются случаи, в которых напряженное состояние оболочки, за
исключением узких зон, слабо отличается от безмоментного и может быть
разложено на чисто безмоментное и моментное (изгибное), которое в этих
зонах быстро затухает на расстоянии нескольких толщин оболочки (краевой
эффект).
То есть напряженное состояние представляется в виде суммы двух
слагаемых – безмоментного и краевого эффекта, и безмоментная теория в этом
случае используется для отыскания первого слагаемого.
Очевидно, что предлагаемые для расчета варианты составных
тонкостенных оболочек (с. 31-32), строго говоря, не являются безмоментными.
Здесь и наличие изломов, и острых вершин. Однако на достаточном удалении
от этих зон локализации изгибающих и крутящих моментов напряженное
состояние оболочки можно считать мало отличающимся от безмоментного.
5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В СТЕНКАХ СОСУДОВ
Рассмотрим сосуд, находящийся под действием веса жидкости или
давления газа. Двумя парами меридиональных и нормальных сечений выделим
в окрестностях точки k из оболочки бесконечно малый элемент с длинами
сторон ds1 и ds2 и рассмотрим его равновесие (рис. 1 и 2).
Срединная поверхность оболочки представляет собой поверхность
двоякой кривизны. Обозначим через k m главный радиус кривизны дуги
меридиана срединной поверхности в окрестностях точки k ( m ), а через k t второй главный радиус, т.е. радиус кривизны нормального сечения,
перпендикулярного к дуге меридиана ( t ).
На выделенный элемент будут действовать только главные нормальные
напряжения, которые обозначим как: m - меридиональное напряжение и t окружное напряжение.
В соответствии с безмоментной теорией будем считать, что напряжения
m и
t по площади граней элемента распределены равномерно. Кроме того,
все размеры сосуда будем относить к срединной поверхности его стенок.
На внутреннюю поверхность выделенного элемента действует давление
жидкости p , которое дает равнодействующую p ds1 ds2 . На гранях элемента
действуют силы
h ds1 и
h ds2 . Спроектируем указанные силы на
m
t
нормаль n к поверхности:
d
m
d
t
p ds1 ds2 0 .
2
2
Здесь первое и второе слагаемые записаны на основании рис. 3, где
изображены проекции элемента на меридиональную (рис. 3, а) и нормальную
(рис. 3, б) к ней плоскости.
2
m
h ds1 sin
h
m
2
h ds2 sin
t
h ds1
0
d
m
n
2
m
t
h ds2
d
t
2
d
n
k
ds2
p ds1 ds2
t
t
t
2
0
h ds2
ds1
m
h ds1 d (
Рис. 2
m
h ds1 )
d
m
2
6
Заменяя в полученном уравнении равновесия синус его аргументом ввиду
малости угла и разделив все слагаемые на h ds1 ds2 , получим
d m
d t p
.
m
t
ds2
ds1 h
d m
d t
1
1
С учетом
и
окончательно получим
ds2
ds
m
1
t
p
m
t
.
(1)
h
m
t
Это соотношение называют уравнением Лапласа, который получил его в
XIX веке при изучении поверхностного натяжения в жидкостях. В уравнение
Лапласа входят два неизвестных: m и t .
d
m
m
2
h ds1
d
t
t
2
h ds2
0
ds2
n
d
2
d
m
2
m
d
ds1
n
2
t
t
h ds1 d (
m
d
p ds1 ds2
2
m
0
d
2
m
p ds ds t
1
m
d
h ds1 )
t
2
t
t
2
m
h ds2
б
а
Рис. 3
Второе уравнение получим, рассматривая равновесие части сосуда,
отсеченного коническим нормальным сечением (рис. 4).
0
90 
m
p
m
G
h
R
R
0
Рис. 4
7
Для определения меридиональных напряжений m составим уравнение,
проектируя все силы на направление оси 0 0 .
Обозначим через G вес содержимого оставленной части сосуда,
находящейся ниже рассматриваемого конического нормального сечения; через
p - давление в жидкости, одинаковое по закону Паскаля во всех направлениях
и равное произведению веса единицы объема жидкости
на глубину
рассматриваемого нормального конического сечения H1 .
Если жидкость хранится в сосуде под некоторым избыточным по
сравнению с атмосферным давлением p0 , то p
H1 p . Таким образом,
0
p R
G
.
(2)
2h sin
2 R h sin
Уравнения (1) и (2) позволяют найти оба напряжения m и t в каждой
точке стенки сосуда.
Таким образом, по безмоментной теории оболочек меридиональные и
окружные напряжения в тонкостенном сосуде определяются из уравнений
равновесия.
Третье главное напряжение по направлению толщины сосуда
предполагается малым, и поэтому напряженное состояние тонкостенного
сосуда считается двухосным.
Заметим, что при расчете сосудов напряжения от изгиба в местах
соединения днища бака с обечайкой и в зоне крепления фланцев, как правило, в
расчет не принимаются из-за малой толщины стенки сосуда h .
Изготавливаются днища обычно из пластических материалов, для
которых местный изгиб не является причиной разрушения. В зоне фланцевых
соединений люков и трубопроводов происходит перераспределение
мембранных напряжений.
Расчеты показывают, что фланцы влияют на напряженное состояние лишь
локально. Не учитываются также составляющие нагрузки от веса конструкций
бака.
Таким образом, для дальнейших расчетов остается лишь для различных
типов оболочек определить значения главных радиусов кривизны дуги в
окрестностях произвольной точки k и получить формулы для объемов тел,
образованных вращением заданной кривой S вокруг оси симметрии, что и
будет сделано ниже.
m
2 R h sin
p
R2
G
0,
m
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
Для цилиндра радиусом R и высотой z имеем (рис. 5)
m
,
t
tk
R,
V ( z)
R 2 z , (см. рис. 1).
(3)
8
z
R
R
k
t
S
z
a
x
o
Рис. 5
КОНИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
Для конуса (рис. 6) справедливы следующие соотношения
m
tk , x
, (см. рис. 1).
t cos
x R
R z
С учетом
получаем t
z a
a cos
Объем конуса высотой z будет равен
2
z
z
2
2 R
V ( z)
x dz
z
dz
a2
0
0
Таким образом, имеем
R z
a
,
, cos
m
t
a cos
a2
,
t
a
, где cos
a
R2 z3
a2 3
R
2
1
3
, V ( z)
R
t
S
k
a
z
o
x
Рис. 6
R
2
x
.
x2 z .
R2 3
z .
3 a2
z
R
2
(4)
9
ОБОЛОЧКИ, ВЫПОЛНЕННЫЕ В ВИДЕ УСЕЧЕННОГО КОНУСА
z
z
R
R
R
R
0
0
t
S
k
z
o
R
k
x
с
0
R
с
a
S
x
0
R
t
o
а
a
z
x
x
б
Рис. 7
В нашем случае имеем (рис. 1, 7, а) m
,
R0
R0 (с z )
x
учетом
получаем t
, где cos
с z с
с cos
t
tk , x
с
с
2
t
2
cos
, с
.
R0
R0 a
с a c
, то с
.
R0
R
R R0
Объем усеченного конуса высотой z
R02
1
2
2
V ( z)
[ x (c z ) R0 c]
[(c z ) 3 c 3 ] .
2
3
3 c
Для другого варианта расположения усеченного конуса, приведенного на
рис. 7, б, имеем
R0
x
x
tk ,
,
, с учетом
получаем
t cos
m
t
с (а z ) с
R0 (а с z )
с
, где cos
.
t
2
2
с cos
с
R0
Так как
R0 a
. Выражение для объема усеченного конуса высотой z
R R0
несколько изменится:
Здесь с
V ( z)
[ R 2 (а
c)
x 2 (c
а
z )]
[ R 2 c 2 (a
c)
R02 (a
c
z)3 ] .
3
3 с
Таким образом, для обоих вариантов (рис. 7а, б) расположения
поверхности в виде усеченного конуса имеем соответственно (5, а) и (5, б):
2
10
,
m
R0 (с z )
,
с cos
t
с
cos
с
R02
[(c z ) 3 c 3 ] .
2
3 c
R0 (а с z )
, t
, cos
с cos
V ( z)
m
2
2
,
R0
(5, а)
с
с2
R02
,
(5, б)
3 c
Все полученные зависимости в обоих случаях (рис. 7, а, б) остаются в
силе при зеркальном отражении усеченной конической поверхности
относительно оси x .
V ( z)
[ R 2 c 2 (а
2
R02 (а
c)
c
z)3 ] .
СФЕРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
Для сферической оболочки (рис. 1, 8) имеем
определить из граничного условия при z
или R
x
t
R , где R можно
R0 , или R02
(a
R) 2
R2 ,
R02 a 2
. Объем шарового сегмента высотой z
2 a
z
V ( z)
x
2
z
dz
[R
0
2
(2 R
V
a
m
z
2
(R z 2
2
z
2
(z
R) ] dz
(2 z R
0
3
z 2 ) dz
0
2
z z
z
)0
(3 R z ) . Заметим, что объем полусферы
3
3
z3 R 2
z 3 2R 4
)0
R 3 , объем шара V
(R z 2
)0
R3 .
3
3
3
3
z
x 2 ( z R) 2 R 2
R
k
S
R
o
x
R0
Рис. 8
Таким образом, в нашем случае имеем
z
a
x
11
m
t
z2
(3 R
3
R , V ( z)
z) , R
R02 a 2
.
2 a
ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
z
m
k x2
z
t
k
S
a
z
o
R
x
x
R
Рис. 9
Так как z
k x 2 (рис. 9), то a
k R2 и z
Вычислим первую и вторую производные
dz a
x 2 z
tg
2 x
,
2
dx R
x
x
Определим главные радиусы кривизны
t
tk ,
sin
m
mk (см. рис. 1). Здесь
tg
1 tg 2
t
a
x2 .
2
R
x
2 z
x2
2 a
.
R2
x, x
sin
2 z
4 z2
1
x2
d 2z
dx 2
4 z2
R
z
, где
a
, отсюда
x
x x2 4 z2
x2 4 z2
.
t
sin
2 z
tg
Второй главный радиус кривизны
d 2z
2 a
2 a
1
dx 2
R2
R2
2
2
2
2
dz 2 3
4
z
4
z
x
4
z
m
3
(1 ( ) )
(1 ( 2 )
(1
)
dx
x
x2
x2
(6)
12
2 a x2 x
R2 (x2
4 z2)
x 2 tg
x2
4 z2
(x2
4 z2)
x2
2
2
x
m
z
(x2
4 z2
z
dz
a
R2 z 2 z
( )0
a
2
4 z2
, V ( z)
x2
R2 z 2
, x
2 a
z
x 2 dz
0
R2
0
, или
t
4 z
.
x2
t
Объем сосуда ниже уровня z
V ( z)
x2
4 z2)
R2 z 2
.
2 a
Таким образом, имеем
x2
t
4 z2
tg
,
x2
m
t
R
z
, tg
a
2 z
.(7)
x
ОБОЛОЧКИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ВРАЩЕНИЕМ ЭЛЛИПСА ВОКРУГ
ОСИ СИММЕТРИИ
Так как
x
(рис. 10), то
2
( z b) 2
a2
a [1
]
(b 2
2
2
b
b
2
z
V ( z)
x
2
a2
dz
a2
(2 b z
b2
2
( z b) )
z
a2
2
[2 b z z ] dz
b2 0
Заметим, что объем эллипсоида
z
a2
z 3 2b
2
2
V
x dz
(b z
)0
3
b2
0
b2
0
z
x2
a2
m
4
(b z
2
b a2
.
3
( z b) 2
b2
1
t
x
b
k
S
a
o
Рис. 10
a
z
x
z2)
z3
).
3
13
Согласно рис. 10 имеем
x
,
sin
tk
t
где
tg
sin
,
2
dz
, а z b
dx
tg
b 2
a
a
x2 .
1 tg
Для дальнейших расчетов понадобятся выражения для первой и второй
производных. Найдем их:
dz
dx

d 2z
dx2
m
1
2 2
x ) ]
b d
[(a 2
a dx
b x
a a2
1
b 1 2
(a
x 2 ) 2 ( 2 x)
a 2
1
b
b 2 2

 (a x
1) 2 ,
2
a
a
a 2 1
x
x2
1
3
b d
b
1

[(a 2 x 2 1) 2 ]  [( ) (a 2 x 2 1) 2 a 2 ( 2 x 3 )]
a dx
a
2
2
3
2
b a x
a tg
a 2 tg

.
2
2
2
a
a
x
(
a
x
)
3
a2
( 2 1) 3 x ( 2 1)
x
x
Теперь можно определить главный радиус кривизны:
a 2 tg
d 2z
2
1
a 2 sin
x (a 2 x 2 )
dx
mk ,
,
2
2
2
2
2
dz
x
(
a
x
)
(
1
tg
)
(
1
tg
)
1
tg
2
3
m
[1 ( ) ]
dx
x (a 2
x 2 ) (1 tg 2 )
m
a 2 sin
Таким образом, имеем
x
tg
, sin
,
t
2
sin
1 tg
где
tg
V ( z)
dz
dx
t
a a
2
x 2 ) (1 tg 2 )
.
a2
(a 2
m
t
b x
a
b
(a 2
2
2
(b z 2
2
x 2 ) (1 tg 2 )
,
a2
,
x
z3
).
3
(8)
14
ПРИМЕР № 1
Тонкостенная составная оболочка заполнена жидкостью с объемным
весом
и находится под избыточным газовым давлением p0 (рис. 11).
Требуется:
1) используя безмоментную теорию оболочек вращения и метод сечений,
получить аналитические выражения для продольных и окружных напряжений,
построить эпюры напряжений по участкам;
2) по заданному критерию прочности определить толщину стенки оболочки h .
p0
Дано :
b 1,5 м
p0 0,04 МПа
9,8 кН / м 3
[ ] 120 МПа
Критерий
Мизеса
b
b
2b
Определить
h ?
2b
Парабола
2b
2b
Рис. 11
Решение
z
z4
p0
z3 S
1,5 м
S
1,5 м
3,0 м
z2
3,0 м
z1
3,0 м
3,0 м
Рис. 12
Вес жидкости в составной оболочке вызывает реактивное погонное
усилие со стороны опорного кольца S (рис. 12). Вес оболочки не учитываем.
Для определения S составим следующее уравнение равновесия:
15
Fz
0,
S 2
( 2 b)
(2 b) 2 (2 b) 2
{
2 ( 2 b)
43
b 2 b]} 0 , S
( 2 b) 2 ( 2 b)
b2
кН
1
2
[ ( 2 b) ( 2 b)
.
79.01
3
12
м
В нашем случае (рис. 12) для построения эпюр t и m имеем 4 участка.
На каждом участке проводим сечение, для определения которого используем
скользящую систему координат. Каждый раз будем рассматривать ту часть
составной оболочки, для которой уравнения равновесия имеют более простой
вид.
Рассмотрим первый участок (параболическую часть) 0 z1 2b (рис. 13).
z
m
t
m
z
x2
2 b
p ( z1 )
m
k
o
z1
x
x1
G ( z1 )
Рис. 13
В принятой системе координат уравнение квадратной параболы будет
k1 x 2 , при x 2 b , z 2 b (рис. 11, 12), тогда 2 b k1 ( 2 b) 2 . Отсюда
z
x2
b z12 . Выражения (7)
. Объем оставленной части оболочки V ( z1 )
z
2 b
для главных кривизн не изменятся. Давление жидкости над рассматриваемым
сечением
p ( z1 ) p0
(5 b z1 ) [0,04 0,0098 (7,5 z1 )] 10 6 н / м 2 .
Получим аналитические выражения для продольных и окружных
напряжений. Меридиональное напряжения
определим из уравнения
m
равновесия отсеченной и оставленной части оболочки (2):
x1 h sin
p
x12 G , где G ( z1 )
V ( z1 )
b z12 ,
m 2
p( z1 ) x12
b z12
отсюда
.
m
2 x1 h sin
Окружное напряжение t определим из уравнения Лапласа (1):
t
t
p( z1 )
(
h
m
m
) , где согласно (7),
x12
t
4 z12
tg
и
( x12
m
t
4 z12 )
.
x12
16
Разобьем первый участок на 4 одинаковые части вдоль координаты z1 .
Числовые расчеты будем проводить в системе
Mathcad. Для расчета
напряжений на первом участке была составлена программа «Парабола»,
распечатка которой приводится ниже.
R
3
a
z
0.00001 0.75 3
b1 ( z)
x( z)
3
2
p0
0.04
p ( z)
h
p0
(5 b
2
4z
sin ( z)
2
b1 ( z)
t ( z)
m ( z)
tg ( z)
t ( z)
p ( z) x( z)
2 x( z) h sin ( z)
2
z)
x( z)
z
tg ( z)
b1 ( z)
2
t ( z)
mizes ( z)
p ( z)
h
2
bz
0.8944
m ( z)
m ( z)
t ( z)
2
m ( z)
2
t ( z) m ( z)
mizes ( z)
t ( z)
m ( z)
1·10 -5
0.0851
0.0851
0.75
0.1669
0.1165
0.0851
0.1483
1.5
0.2107
0.1379
0.1854
2.25
0.2359
0.1537
3
0.2489
0.1657
z
0.2074
0.2195
0.25
0.2
m( z)
0.15
t ( z)
0.1
0.05
0
z
x( z )
2
sin ( 3)
t ( z)
z
a
R
b1 ( z)
x( z)
1
m ( z)
1
0.5
1
1.5
z
Рис. 14
2
2.5
3
17
На рис. 14 показаны эпюры продольных и окружных напряжений.
Рассмотрим второй участок (цилиндрическая часть) 0 z 2 2b (рис. 15).
z
m
m
p( z2 )
z2
o
G( z2 )
R
x
2b 3 м
2b R
2b
Рис. 15
Объем оставленной нижней части составной оболочки
V ( z2 ) 4
b3
R 2 z2 4
b 2 (b z 2 ) .
На втором участке справедливы выражения (3). Давление жидкости над
рассматриваемым сечением
p ( z 2 ) p0
(3 b z 2 ) [0,04 0,0098 (4,5 z 2 )] 10 6 н / м 2 .
Получим аналитические выражения для продольных и окружных
напряжений из уравнений (1) и (2):
V ( z2 ) ,
R h sin 90 p( z )
R 2 G( z ) , где G ( z 2 )
m 2
2
p( z 2 ) b
p( z 2 )
p( z 2 )
2 b.
t
h
h
h
Для расчета напряжений на втором участке была составлена в системе
Mathcad программа «Цилиндр», распечатка которой приведена на следующей
странице.
Проверим равновесие узла единичной длины в окружном направлении на
границе первого и второго участков (рис. 16):
z
m
b (b
2
z2 )
,
t
цилиндр
m
dz
dz
x
парабола
m
Рис. 16
Проектируя все силы но ось z (рис. 16), получим
18
цилиндр
m
парабола
m
0 , 0,1482 0,1657 0,894 0 ,
0,1482 0,1482 0 , 0 0 .
Таким образом, элемент узла единичной длины в окружном направлении
на границе первого и второго участков находится в равновесии.
0,
Fz
h 1
h 1 sin
Распечатка программы «Цилиндр»
R
3
a
z
0
3
a
4
t ( z)
3
b
p ( z)
p0
p0
(3 b
0.04
h
z)
mizes ( z)
p ( z) t
z
1.5
1
m ( z)
t ( z)
2
m ( z)
0.0098
p ( z) b
2
t
R
b (b
z)
t ( z) m ( z)
t ( z)
m ( z)
mizes ( z)
0
0.2523
0.1482
0.2196
0.75
0.2303
0.1482
0.2021
1.5
0.2082
0.1482
0.1856
2.25
0.1862
0.1482
0.1704
3
0.1641
0.1482
0.1568
0.25
m( z)
0.2
t ( z)
0.15
0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
z
Рис. 17
На рис. 17 показаны эпюры продольных m и окружных t напряжений
на втором участке.
Рассмотрим третий участок (срединная поверхность в виде усеченного
конуса) 0 z3 b (рис. 18).
19
Заметим, что проще определить напряжения на третьем участке,
рассматривая равновесие верхней оставленной части оболочки (рис. 18). Ось x
совместим с верхней границей третьего участка, ось z направим вниз.
p0
k
G ( z3 )
m
b
z3
x
m
t
x3
b
z
Рис. 18
Давление жидкости над рассматриваемым сечением
p ( z3 ) p0
z3 [0,04 0,0098 z3 ] 10 6 н / м 2 .
Объем оставленной части оболочки, заполненной жидкостью, будет
1
V ( z3 )
[ x32 (b z3 )
b 2 b]
( x33 b 3 )
[(b z3 ) 3 b 3 ] .
3
3
3
Выражения для главных кривизн, согласно рис. 18, будут m
, t
и с учетом
t
cos
tk ,
x3 b z 3
, отсюда x3 b z3 и
b
b
x3
b z3
.
t
cos
cos
определим из уравнения равновесия
45  , где
x3 ,
окончательно в нашем случае получим
Меридиональное напряжения m
отсеченной части оболочки (2):
x3 h cos
p ( z3 )
x32 G ( z3 )) , G ( z3 )
V ( z3 ) ,
m 2
1
1
[ p ( z ) x32
( x33 b 3 )] .
m
3
2 x h cos
3
3
Окружное напряжение
определим из уравнения Лапласа (1) с учетом
p( z3 )
полученных выше соотношений t
.
t
h
Для расчета окружных, продольных и эквивалентных напряжений,
которые определялись согласно критерию Мизеса, на третьем участке была
составлена в системе Mathcad программа «Усеченный конус», распечатка
которой приведена ниже.
На рис. 19 показаны эпюры продольных m и окружных t напряжений
на третьем участке.
t
20
Распечатка программа «Усеченный конус»
R
3
a
z
0
1.5
a
4
t ( z)
1.5
b
c
1.5
p ( z)
z
p0
1
m ( z)
p ( z) x( z)
2 x( z) h cos
mizes ( z)
t ( z)
z
2
1.5
z
p0
x( z)
t ( z ) p ( z)
h
t ( z)
cos
b
m ( z)
2
2
b
cos
x( z)
3
0.0098
0.04
z
h
2
2
cos
1
0.7071
2
cb
3
t ( z) m ( z)
t ( z)
m ( z)
mizes ( z)
0
0.0849
0.0424
0.0735
0.375
0.1158
0.0539
0.1004
0.75
0.1507
0.0671
0.1307
1.125
0.1894
0.0818
0.1646
1.5
0.2321
0.0978
0.2018
0.25
0.2
m( z)0.15
t ( z) 0.1
0.05
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
z
Рис. 19
Проверим равновесие узла единичной длины в окружном направлении на
границе второго и третьего участков (рис. 20).
конус
цилиндр
h 1 cos
S
h 1 0,
Fz 0 ,
m
m
0,0978
0,1482
h 1 0,7071 0,079
h 1 0 , 0,0692 0,079 0,1482 0 ,
h
h
0,1482 0,1482 0 , 0 0 .
21
z
конус
m
S
dz
x
dz
цилиндр
m
Рис. 20
На четвертом участке ( 0 z 4
t
cos
b ) имеем (рис. 21): m
x
b
45  , где 4
, отсюда x4 z 4 и
z4 b
x4 ,
,
t
t
tk ,
x4
cos
z4
.
cos
x
p0
k
z4
m
m
t
z
x4
Рис. 21
Напряжения m и t определим из уравнений (2) и (1), которые в нашем
случае принимают следующий вид:
p0 x4
p0
,
.
m
t
t
2 h cos
h
Как обычно разбиваем четвертый участок на 4 одинаковые части вдоль
координаты z 4 . Числовые вычисления напряжений проводились в системе
Mathcad, при помощи программы «Конус», распечатка которой приводится на
следующей странице.
На рис. 22 приведены эпюры продольных и окружных напряжений.
Эпюры напряжений по всей высоте резервуара показаны на рис. 23.
Из условия прочности
h
max
экв
[ ] определим толщину оболочки
h
max
0,2195 10 6
экв
0,0018 м 1,8 мм .
[ ]
120 10 6
22
R
1.5
z
0
m ( z)
a
1.5
1.5
1.5
4
p0 x( z)
p0
0.04
x( z)
h
1
t ( z)
z
cos
t ( z)
2
t ( z) p0
h
t ( z)
m ( z)
2
2
2
cos
z
t ( z)
z
mizes ( z)
2 h cos
0.0098
t ( z) m ( z)
mizes ( z)
m ( z)
0
0
0
0
0.375
0.0212
0.0106
0.0184
0.75
0.0424
0.0212
0.0367
1.125
0.0636
0.0318
0.0551
1.5
0.0849
0.0424
0.0735
0.1
m( z)
0.05
t ( z)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
z
Рис. 22
Эп.
S
z
0
Эп.
m
Мизес
экв
(МПа )
(МПа )
(МПа )
3м
S
Эп.
t
z1
0
z2
1,5 м
z4
3м
z3
0
3м
1,5 м
Рис. 23
0,25
0
0,25
0
0,25
23
ПРИМЕР № 2
Тонкостенная составная оболочка заполнена жидкостью с объемным
весом
и находится под избыточным газовым давлением p0 (рис. 24).
Требуется:
1) используя безмоментную теорию оболочек вращения и метод сечений,
получить аналитические выражения для продольных и окружных напряжений,
построить эпюры напряжений по участкам;
2) по заданному критерию прочности определить толщину стенки оболочки h .
2b
2b
Эллипс
p0
Дано :
b 1,5 м
p0 0,04 МПа
9,8 кН / м 3
[ ] 120 МПа
Критерий
Сен Венана
b
3b
Определить
h ?
b
Полусфера
b
b
Рис. 24
Решение
z
3м
3м
Эллипс
z3
p0
1,5 м
4,5 м
S
S
Полусфера
z2
z1
1,5 м 1,5 м
Рис. 25
1,5 м
24
Вес жидкости в сосуде вызывает погонное усилие S со стороны опорного
кольца (рис. 25). Определения его из следующего уравнения равновесия:
2
1
Fz 0 , S 2
b
{
b3
[ ( 2 b) 2 6 b
b 2 3 b]} ,
3
3
23
23
S
b2
9,8 10 3 1,52 84,52 кН / м .
6
6
В нашем случае (рис. 25) при построении эпюр t и m имеем 3 участка,
каждый из которых разбиваем на 4 одинаковые части вдоль координаты z1 .
Напряжения определяем методом сечений, рассматривая равновесие той части
сосуда, для которого уравнения равновесия имеют более простой вид.
Рассмотрим первый участок (полусфера) 0 z1 b (рис. 26).
z
m
t
m
p ( z1 )
k
x2
(z
b) 2
b2
G ( z1 )
o
z1
x
x1
Рис. 26
В принятой системе координат уравнение полусферы будет
x
( z b) 2 b 2 или x12 2 z1 b z12 . Объем оставленной части оболочки
z1
b.
V ( z1 )
(3 b z1 ) . Выражения (7) для главных кривизн m
t
3
Давление жидкости над рассматриваемым сечением
p ( z1 ) p0
(4 b z1 ) [0,04 0,0098 (6 z1 )] 10 6 Н / м 2 .
Меридиональное напряжения m определим из уравнения равновесия
отсеченной части оболочки (2)
2
x1 h sin
p ( z1 )
x1 G ( z1 ) , где
m 2
z1
p( z1 ) x12
(3 b z1 )
z1
3
.
G ( z1 )
V ( z1 )
(3 b z1 ) ,
m
3
2 x1 h sin
Окружное напряжение t определим из уравнения Лапласа (1)
p ( z1 ) b
t
m.
h
Для расчета напряжений на первом участке была составлена программа
«Полусфера», распечатка которой приводится ниже.
2
25
R
1.5
p ( z)
b
p0
sin ( z)
t ( z)
1.5
p0
(4 b
x( z)
b
p ( z) b
h
z
x( z)
z)
2zb
1
m ( z)
m
2
h
R
t ( z)
m ( z)
1·10 -6
0.0741
0.0741
0.375
0.0699
0.0728
0.75
0.0655
0.0717
1.125
0.0609
0.0708
1.5
0.0557
0.0704
0.000001
z
p ( z) x( z)
2 x( z) h sin ( z)
m ( z)
z
0.0098
0.04
t
1.5
4
R
1
2
2
(3 b
z
z)
3
R
0.075
0.07
m( z)
0.065
t ( z)
0.06
0.055
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
z
Рис. 27
На рис. 27 показаны эпюры продольных m и окружных t напряжений.
Рассмотрим второй участок (усеченный конус) 0 z 2 3b (рис. 28, a). Из
z2
x2
2b
рис. 28, б видно, что
, x2 b
, тогда объем оставленной части
3
z 2 3 b 6b
оболочки
2
1
V ( z2 )
b3
[ x22 (3 b z 2 )
b 2 3 b)]
3
3
26
3
3
{2 b
3
[(b
(2 b 3
z 22
) (3 b z 2 ) 3 b 3 ]}
9
z3
V ( z2 ) .
b z 22
) , G( z2 )
9
2
b z2
3
2
3 b 2 z2
z
z
m
p( z2 ) t
m
3b
k
G( z2 )
S
2b
z2
S
o
z2
x
1,5 м
Полусфера
1,5 м
x
o
3b
b
x2
x2
а
Рис. 28
где
б
Давление жидкости над рассматриваемым сечением
p ( z 2 ) p0
(3 b z 2 ) [0,04 0,0098 (4,5 z 2 )] 10 6 н / м 2 .
x2 ,
Выражения для главных кривизн
, t tk , t cos
m
x2
3 b
cos
,
.
t
2
2
cos
b
(3 b)
Меридиональное напряжение m определим из уравнения равновесия
отсеченной части оболочки (2):
x2 h cos
p( z 2 )
x22 G ( z 2 ) S 2
b,
m 2
G( z2 )
1
[ p( z 2 ) x22
S 2 b)] .
m
2 x2 h cos
Окружное напряжение t определим из уравнения Лапласа (1):
p( z 2 )
.
t
t
h
Для расчета напряжений на втором участке была составлена программа
«Усеченный конус», распечатка которой приводится ниже.
На рис. 29 показаны эпюры продольных m и окружных t напряжений
на втором участке.
Рассмотрим третий участок (эллиптическая часть) 0 z3 b (рис. 30).
27
Распечатка программа «Усеченный конус»
R
3
R0
1.5
z
0
4.5
c
4
b
z
3
23
b
3
x( z)
b
1.5
p ( z)
c
p0
3b
p0
(3 b
z)
0.04
3
3
x( z)
t ( z)
cos
2b
3 b z x( z)
2 x( z) h cos
z
z
9
3
p ( z) x( z)
1
3
3
1
2
t ( z ) p ( z)
h
t ( z)
V1 ( z)
m ( z)
0.0098
1
cos
3
S1
h
2
S1
t ( z)
cos
0.9487
V1 ( z)
m ( z)
0
0.133
1.125
0.1444
0.016
2.25
0.1472
0.0377
3.375
0.1412
0.0531
4.5
0.1265
0.0632
-0.0149
0.1
m( z)
0.05
t ( z)
0
1
2
3
4
5
0.05
z
Рис. 29
В
принятой
системе
координат
уравнение
эллипса
будет
2
x
( z b)
1 , или x 2 8 z b 4 z 2 . Для нашего случая необходимые
2
2
(2b)
b
формулы принимают следующий вид:
2
28
t
tk ,
sin
t
b x3
x3 , tg
( 2 b) ( 2 b) 2
( 2 b) 2
(b z32
2
b
V ( z)
x2
z33
),
3
4 z2
8 z b
tg
sin
x32
1 tg 2
(( 2 b) 2
m
t
t
x3
,
sin
x32 ) (1 tg 2 )
.
( 2 b) 2
x
o
z3
k
p0
m
,
m
t
x3
m
z
Рис. 30
Меридиональное и окружное напряжения по формулам (1) и (2) будут:
p0 x32
p0
2
m
2
x
h
sin
p
x
).
, t
m
3
0
3,
m
t (
2 x3 h sin
h
m
Вычисления будем проводить в системе Mathcad, при помощи программы
«Эллипс», распечатка которой приводится на странице 29.
Проверим равновесие узлов единичной длины на границах первого –
второго (рис. 31, а) и второго – третьего участков (рис. 31, б).
z
z
конус
m
S
dz
dz
эллипс
m
dz
dz
x
полусфера
m
x
конус
m
а
б
Рис. 31
Проектируя все силы но ось z (рис. 31, а), получим:
полусфера
конус
h 1
h 1 cos
0;
Fz 0 , S
m
m
0,0704
0,0149
0,0845
h 1
h 1 0,9487 0 ; 0,0845 0,0845 0 ,
h
h
0 0.
29
Проектируя все силы но ось z (рис. 31, б).получим:
эллипс
конус
h 1
h 1 cos
0,
Fz 0 ,
m
m
0,0600
0,0632
h 1
h 1 0,9487 0 ; 0,060 0,060 0 , 0 0 .
h
h
Распечатка программы «Эллипс».
a
3
b
z
0.00001
1.5
1.49999
4
2
b1 ( z)
p0
4b
x( z)
0.04
h
1
1.49999
2
tg ( z)
0.0098
x( z)
x( z)
2
8zb
sin ( z)
m ( z)
t ( z)
tg ( z)
sin ( z)
b1 ( z)
1
x( z )
t ( z)
b1 ( z) 1
tg ( z)
2
2
4b
p0 x( z)
m ( z)
2
t ( z)
2 x( z) h sin ( z)
z
p0
h
t ( z)
t ( z)
m ( z)
m ( z)
m ( z)
1·10 -5
0.12
0.12
0.375
0.0503
0.0984
0.75
-0.0227
0.0794
1.125
-0.0895
0.0654
1.5
-0.12
0.06
0.2
0.1
m( z)
0
t ( z)
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.1
0.2
z
Рис. 32
2
4z
1.2
1.4
1.6
tg ( z)
2
30
На рис. 32 показаны эпюры продольных m и окружных t напряжений
на третьем участке.
Согласно
критерию
Сен-Венана,
эквивалентные
напряжения
Сен Венана
определяются по формуле
экв
1
3 . На первом участке они будут
равны
на втором –
за исключением сечения z 2 0 , где
m,
t,
Сен Венана
экв
1
3
0,133 ( 0,0149 ) 0,148 МПа . На третьем участке имеем
z3 ( м)
Сен Венана
экв
0,00001 0,375 0,75
1,125
0,0984 0,1021 0,1549
( МПа ) 0,12
1,5
0,18
Эпюры окружных, продольных и эквивалентных напряжений по всей
высоте резервуара показаны на рис. 33.
Сен Венан
z
Эп. экв
Эп. t
Эп. m
3м
3м
(МПа )
(МПа )
(МПа )
Эллипс
z3
p0
1,5 м
4,5 м
S
S
z2
z1
1,5 м
1,5 м 1,5 м
0,12
0
0,12
0
0,12
0
0,16
Полусфера
Рис. 33
Сравнивая эквивалентные напряжения в различных сечениях составной
оболочки приходим к выводу, что наибольшие напряжения имеют место на
границе второго и третьего участков.
Из условия прочности
max
экв
[ ] определим толщину составной
h
max
0,18 10 6
экв
h
0,0015 м 1,5 мм .
оболочки
[ ] 120 10 6
Далее приводятся рекомендуемые варианты расчетных схем составных
оболочек.
31
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
Исходные данные: шаг сетки по горизонтали _____ м, шаг сетки по
вертикали____м, p0 =______МПа, [ ] ______МПа,
______кН/м 3 .
2
1
Полусфера
3
p0
p0
p0
Парабола
Полусфера
4
6
5
Эллипс
p0
p0
p0
Полусфера
7
Полусфера
8
p0
Эллипс
10
9
Полусфера
p0
p0
Эллипс
Парабола
p0
Парабола
Полусфера
Сфера
11
Сфера
12
p0
Полусфера
p0
32
Исходные данные: шаг сетки по горизонтали_____м, шаг сетки по вертикали_____м, p0 =_____МПа, [ ] ______МПа,
_______кН/м 3 .
14
13
15
Эллипс
18
Парабола
p0
p0
p0
Эллипс
Парабола
16
Полусфера
17
Парабола
p0
p0
p0
Полусфера
Полусфера
19
Полусфера
20
21
Парабола
p0
p0
p0
Эллипс
Парабола
22
Сфера
24
23
p0
Эллипс
p0
Сфера
Полусфера
p0
33
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОФОРМЛЕНИЮ ЗАДАЧИ
Сопротивление материалов является одной из первых инженерных
дисциплин, при изучении которой учащимся приходится сталкиваться с
реальными расчетами конструкций.
Особенностью же расчетных заданий по сопротивлению материалов
является большой объем арифметических вычислений, проведение которых
вызывает определенные трудности у студентов младших курсов. Поэтому
необходимо привести методические указания в соответствие с имеющимся
уровнем знаний студентов и предъявляемыми к ним требованиями.
В связи с этим настоящие методические указания, с одной стороны, были
ориентированы на использование персональных компьютеров с современным
математическим обеспечением, а с другой – авторы постарались процесс
выполнения и оформления расчетно-проектировочной работы максимально
упростить и как можно больше алгоритмизировать.
Предлагается следующий вариант оформления задания. На первой
странице расчетно-проектировочной работы (рис. 34) приводится условие
задачи, определяются места для вычерчивания заданной схемы варианта задачи
и вписывания исходных данных. Ниже даются масштабные сетки для
вычерчивания расчетной схемы составной оболочки и для эпюр окружных и
продольных напряжений, которые строятся на основании численных расчетов
(при помощи соответствующих программ, написанных в Mathcad) различных
участков составной тонкостенной оболочки (рис. 35). В конце первой страницы
оставлено место для определения реактивного погонного усилия со стороны
опорного кольца S .
Для каждого участка составной оболочки (всего три участка) приводятся
основные формулы и в заготовленную заранее таблицу записываются данные
числовых вычислений. На рис. 36 показан взятый из второго примера
возможный вариант записи расчетов на первом участке.
Далее проверяются условия равновесия в узлах составной оболочки
(рекомендуемый вариант оформления, взятый из второго примера, показан на
рис. 37) и последним, делается расчет по определению толщины оболочки.
Следует заметить, что такой вариант оформления расчетнопроектировочной работы позволяет значительно сократить время выполнения
задания. Наиболее подготовленные студенты вполне могут уложиться в два –
три часа.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов / В. И. Феодосьев. - М.: Наука,
1974. - 560 с.
2. Филин А. П. Элементы теории оболочек / А. П. Филин. - Л.: Стройиздат,
1975. - 256 с.
34
Задача № ____
Тонкостенная составная оболочка заполнена жидкостью с объемным
весом и находится под избыточным газовым давлением p0 . Требуется:
1) используя безмоментную теорию оболочек вращения и метод сечений,
получить аналитические выражения для продольных и окружных напряжений,
построить эпюры напряжений по участкам;
2) по заданному критерию прочности определить толщину стенки оболочки h .
Заданная схема сосуда
Дано :
a ______ м
p0 _______ МПа
________ кН / м 3
[у ] ______ МПа
Критерий
__________________
Определить
h ?
Рис. 34
Решение
Схема составной оболочки
Эп.
t
( МПа )
Эп.
m
( МПа )
Рис. 35
Для определения реактивного погонного усилия S со стороны опорного
кольца составим следующее уравнение равновесия :
35
Участок №1 (0
z1 1,5 м)
z
t
m
m
p ( z1 )
k
z1
G ( z1 )
x2
Так как x 2
m
m
t
2
b,
(z
b) 2
(z
p ( z1 )
x1 h sin
b) 2
o
b 2 , то x12
p0
(4 b
p ( z1 )
z1
(3 b
3
2 x1 h sin
p( z1 ) x12
m
b2
x1
2
x1
z12 ,
2 z1 b
z1 ) [0,04
t
0,0098 (6
p ( z1 ) b
h
z1
(3 b z1 ) ,
3
z1 )] 10 6 Н / м 2 ,
V ( z1 )
G ( z1 ) , где G ( z1 )
z1 )
,
x
V ( z1 ) ,
m.
z1 ( м)
t ( МПа )
m ( МПа )
Сен Венан ( МПа )
Рис. 36
Проверим равновесие узлов единичной длины на границах первого второго и второго - третьего участков
z
z
конус
m
S
dz
dz
эллипс
m
dz
dz
x
полусфера
m
Fz
0,0845
0,
x
конус
m
полусфера
конус
S
h 1
h 1 cos
m
m
0,0704
0,0149
h 1
h 1 0,9487 0 ;
h
h
Рис. 37
0;
0,0845 0,0845 0 ,
0 0.
36
ОГЛАВЛЕНИЕ
Общие сведения ............................................................................................ 3
Определение напряжений в стенках сосудов ............................................. 5
Цилиндрические оболочки .......................................................................... 7
Конические оболочки.................................................................................... 8
Оболочки, выполненные в виде усеченного конуса .................................. 9
Сферические оболочки. ................................................................................ 10
Параболические оболочки ............................................................................ 11
Оболочки, образованные вращением эллипса вокруг оси симметрии .... 12
Пример № 1 ................................................................................................... 14
Пример № 2 .................................................................................................... 23
Варианты заданий.......................................................................................... 31
Рекомендации по оформлению задачи ........................................................ 33
Библиографический список .......................................................................... 33
Оглавление ..................................................................................................... 36