Число ячеек в объеме 6-мерного фазового пространства

140
Число ячеек в объеме 6-мерного фазового пространства координат
и импульсов может быть найдено как частное от деления всего объема
фазового пространства на минимальный объем ячейки фазового пространства. Среда изотропная, поэтому поверхность Ферми сферическая. Следовательно, любое направление движения свободного электрона является равновероятным. Кроме того, распределение свободных электронов в геометрическом пространстве равномерное. Тогда
при выборе фазового пространства можно рассматривать весь объем.
ρ
Пусть свободный электрон имеет импульс в интервале от p до
ρ ρ
p + dp (рис. 3.5.1). Распределение электронов по геометрическому
объему V равномерно.
Py
ρ
dPy
ρ
P
0
ρ
dP
ρ
dPx
Px
Рис. 3.5.1. Импульсное пространство
Тогда число ячеек в объеме фазового пространства координатимпульсов будет
dpx dp y dpz V dp3 ⋅V
=
.
dN я =
h3
h3
Число ячеек в единице объема геометрического пространства в выделенном объеме пространства импульсов dp3 = dpx·dpy·dpz (рис. 3.5.2)
d N я dp
= 3.
V
h
Тогда число свободных электронов в единице объема геометричеρ
ского пространства, импульсы которых находятся в интервале от p
ρ ρ
до p + dp , с учетом принципа Паули будет
141
dp
2 dГ я
fф − д = 2 fф − д 3 ,
V
h
где fф-д – вероятность заполнения ячейки свободным электроном,
функция Ферми-Дирака.
dn =
pz
ρ
dp z
ρ
dp
ρ
dpx
ρ
dp y
py
px
Рис. 3.5.2. Объем в импульсном пространстве
Полученное выражение для концентрации свободных электронов
справедливо лишь для заданного направления импульсов. Однако в
отсутствие внешних электрических и магнитных полей движение свободных электронов в кристаллической решетки твердого тела хаотично и в любом направлении равновероятно. Таких элементарных объемов в разных направлениях пространства импульсов можно построить
бесчисленное множество. Совокупность таких элементарных объемов
на одном и том же расстоянии пространства импульсов образует шаровой слой толщиной dp (рис. 3.5.3).
py
ρ
ρ dp
p
0
Рис. 3.5.3. Шаровой слой
px