SWorld – 18-30 March 2014

SWorld – 18-30 March
2014
http://www.sworld.com.ua/index.php/ru/conference/the-content-of-conferences/archives-of-individual-conferences/march-2014
MODERN DIRECTIONS OF THEORETICAL AND APPLIED RESEARCHES ‘2014
Доклад /Физика и математика-Физика, механика, астрономия
УДК 581.1
Кипнис И.А., Вернигоров Ю.М., Пасичный Ю.П.
ПОДЪЕМ ВОДЫ В МНОГОУРОВНЕВЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ
КАПИЛЛЯРАХ
Научно-производственная фирма «КАСИОР», Москва, Ленинский проспект,
154, 119571, Донской государственный технический университет, Ростов-наДону, площадь Гагарина,1, 344000, Южный федеральный университет,
кафедра физики ЕГФ, Таганрог, пер. Некрасовский, 44, 347900
Kipnis I.A., Vernigorov J.M., Pasichnji J.P.
THE RISE OF WATER IN MULTILEVEL CURVILINEAR CAPILLARIES.
Scientific-productive firm "KASIOR", Moscow, Leninsky Prospect, 154, 119571, Don
State Technical University, Rostov-on-Don, Gagarin Square 1, 344000, Southern
Federal University, Department of Physics EHF, Taganrog, lane Nekrasovsky, 44,
347900
Ранее
рассмотрены
модели
продвижения воды в
ветвящихся
многоуровневых прямолинейных капиллярных системах. Распределение воды в
наклонных ветвях подчиняется общему правилу: в ветвях самого нижнего
уровня имеет место наибольшее продвижение воды, которое убывает
в
каждом следующем уровне. При этом вода в вертикальном капилляре
поднимется тем выше, чем больше боковых ветвей в капиллярной системе и
при прочих равных условиях величина продвижения (следовательно, и объем
воды) в криволинейных капиллярах всегда больше, чем в прямолинейных.
Показано, что величина продвижения воды в криволинейных ветвях является
функцией угла наклона касательной к мениску воды в капилляре к горизонтали.
Ключевые слова: многоуровневый криволинейный капилляр, ветвь,
ксилема, транспирация, растение, модель.
It is suggested that the specific appearance of the plants are required to the
presence of capillary systems, as well as the models of water movement in branching
multilevel straight capillary systems. Distribution of water in the sloping branches
subordinated to the General rule: in the branches of the lowest level takes place the
most advanced water, which decreases in each of the next level. The water in the
vertical capillary rise higher, the more lateral branches in the capillary system and
when other conditions are equal value promotion, and therefore the volume of water)
in curvilinear capillaries is always greater than in the straight. It is shown that the
value of water movement in curvilinear branches is a function of the angle of the
tangent to the meniscus water in the capillary to the horizontal.
Key words: layered curvilinear one breather capillary, branch, xylem,
transpiration, plant model.
Введение.
Авторами
получены
соотношения
для
определения
продвижения воды в одноуровневых криволинейных капиллярах, описываемых
различными математическими функциями. Показано, что для криволинейных
ветвей, вид которых описывается степенными и показательными функциями,
распределение воды в криволинейных ветвях и вертикальном капилляре
аналогично, полученному в [1]. Отличие состоит в том, что при прочих равных
условиях величина продвижения (а, следовательно, и объем воды) в
криволинейных капиллярах всегда больше, чем в прямолинейных. Показано,
что величина продвижения воды в ветвях является функцией угла наклона
касательной к мениску воды в капилляре к горизонтали.
Цель работы. Моделирование распределения воды в многоуровневых
симметричных капиллярных системах с криволинейными капиллярами.
Основная часть. Рассмотрим продвижение воды в капиллярной системе,
имеющей криволинейные ветви второго яруса (рис.1), которые, как и ветви
первого уровня, описываются уравнением f(x) = h = k xn.
Для простоты положим, что радиусы всех капилляров равны r,
расстояние
между
ветвями
первого
и
второго
яруса
равно
h1.
Рис.1 Многоуровневый криволинейный капилляр.
Примем следующие обозначения для величин L , h и θ:
- верхний индекс указывает общее количество уровней боковых ветвей в
рассматриваемой модели;
-нижний индекс указывает номер
уровня, к которому относится
рассматриваемая величина;
-дуга над L, h показывает, что рассматриваемая величина относится к
криволинейной капиллярной системе.
На нижнюю часть воды вертикального капилляра между поверхностью
воды и боковыми криволинейными ветвями первого уровня высотой h1
действует пять одинаковых сил поверхностного натяжения в
менисках
двухуровневой системы. Силы поверхностного натяжения в криволинейных
капиллярах второго уровня одновременно воздействуют и на часть воды
вертикального капилляра (пропорционально одной пятой высоты h1) и на
отрезок вертикальной части капилляра высотой h1 между первым и вторым
уровнями пропорционально одной трети h1.
С учетом этого уравнение y(x) = h1 + k xn для ветвей второго уровня
может быть записано в виде:
f(x) = h =
1
1
3
откуда f*(x) = tg θ и, учитывая, что x =
(2)
θ(2) = arctg [k n
n
h1 + h1 + k x ,
𝑛
𝑛
5
�
1
3
ℎ–� +
1
3
ℎ–( +
(�
𝑘
𝑘
1
�ℎ1
5
1
)ℎ
5 1 n-1
)
, получим:
]
Из полученных соотношений следует, что продвижение воды в
криволинейном капилляре второго уровня соответствует продвижению воды в
одноуровневом капилляре при условии, что сила поверхностного натяжения в
этом капилляре поднимает объем воды пропорциональный не высоте h1, а
1
высоте ( +
3
1
5
мениску воды.
)ℎ 1, что приводит к изменению угла наклона касательной к
Используя эти рассуждения, можно записать следующие уравнения для
продвижения воды в каждой из капиллярных ветвей двухуровневой системы:
- для ветвей первого уровня:
𝑛
θ1 = arctg[kn ( �
(2)
1
5
1
5
1
5
ℎ − ℎ1
)n-1
]
(1)
πr2ρg h1 + πr2ρg 𝐿�1(пр) (x) = 2 πrσ cos α
(2)
(1)
(1)
𝑘
πr2ρg h1 + πr2ρg 𝐿�1(лв) (x) = 2 πrσ cos α
- для ветвей второго уровня:
(3)
𝑛
θ2 = arctg [k n ( �
(2)
1
5
1
5
1
πr2ρg h1 +
3
1
πr2ρg h1 +
3
1
3
ℎ −� +
(2)
]
(4)
(5)
(2)
πr2ρg h1 + πr2ρg 𝐿�2(лв) (x) = 2 πrσ cos α
1
πr2ρg ( ℎ�2об - 2h1) + πr2ρg h1 +
Решением
)
πr2ρg h1 + πr2ρg 𝐿�2(пр) (x) = 2 πrσ cos α
-для вертикального капилляра:
(2)
𝑘
1
�ℎ1
5
n-1
3
1
5
(6)
πr2ρg h1 = 2 πrσ cos α
(7)
уравнений (2), (3), (5) - (7) относительно величин
продвижения воды в капиллярах и в вертикальной ветви будут:
- для ветвей первого уровня:
1
(2)
(2)
𝐿�1(пр) =𝐿�1(лв) =(h 5
1
𝑛
ℎ − ℎ1 n-1
5
h1)/(1- cos arctg [kn( �
) ])
𝑘
(8)
- для ветвей второго уровня:
𝑛
1
3
ℎ−( +
(2)
(2)
𝐿�2(пр) =𝐿�2(лв) =(h–( - ) h1)/(1-cos arctg[kn( �
1
3
1
5
𝑘
- для вертикальной ветви:
1 1
(2)
ℎ�2об = h + (2 - - ) h1
3
1
)ℎ
5 1
)n-1])
(9)
(10)
5
Из полученных соотношений (8) – (10) видно, что наличие капилляров второго
уровня приводит к увеличению высоты подъема воды в вертикальной части и к
увеличению продвижения воды в капиллярах первого уровня. Действительно,
определяя из (8) и (9) высоты подъема воды и составляя их разность, получим:
1
1
1
1
(1)
(2)
ℎ�1(пр)(лв) - ℎ�1(пр)(лв) = (h - h1) - ( h – ( + ) h1) = h1,
5
3
5
3
(11)
т.е. высота подъема воды в нижнем капилляре увеличивается, а следовательно,
(1)
(1)
увеличиваются величины ее продвижения 𝐿�1(пр) и 𝐿�1(лв)
в ветвях нижнего
уровня. Об этом также свидетельствует изменение угла наклона касательных к
мениску воды в капиллярах первого и второго уровня.
Сохраняя прежние рассуждения, выполняя дальнейшие расчеты, и вводя
соответствующие обозначения для ветвей в системе из M уровней можно
записать:
(М)
θ𝑚 =arctg
[kn
1
ℎ − ℎ1 ∑𝑚
(𝑀)2𝑚+1
�
(
𝑘
𝑛
)n-1],
(12)
где M – количество уровней в капиллярной системе; m – номер
рассматриваемого уровня.
Отсчет уровней в (12) следует вести вниз, начиная с верхнего уровня M.
Общие выражения для криволинейной капиллярной системы из M
уровней могут быть записаны в виде:
(𝑀)
𝐿�𝑚(пр/лв) =
(h-h1 ∑𝑚
(𝑀)
1
2𝑚+1
)/(1–cos arctg
1
ℎ − ℎ1 ∑𝑚
(𝑀)2𝑚+1 n-1
�
[kn(
) ])
𝑘
(𝑀)
𝑚
ℎ�𝑚об = h + (M) h1 - h1∑(𝑀)
𝑛
1
2𝑚+1
,
(13)
(14)
где M – количество уровней в капиллярной системе; m – номер
рассматриваемого уровня.
Отсчет уровней в (14) следует вести вниз, начиная с верхнего уровня M.
Заключение. Сравнивая величины продвижения воды в вертикальном
капилляре и в криволинейных капиллярах разных уровней, полученные в
уравнениях (11) – (14) можно отметить следующее:
- по мере увеличения количества уровней величина продвижения воды в
каждом последующем более высоком уровне криволинейных капилляров
меньше чем в капиллярах предыдущих уровней;
- наибольший угол наклона касательной к мениску имеет место в
капилляре самого нижнего уровня, и этот угол уменьшается в каждом
последующем уровне;
- высота подъема воды в вертикальном капилляре увеличивается по мере
роста «этажности» капиллярной системы.
Литература:
1.Вернигоров Ю.М., Кипнис И.А. Математическое моделирование
распределения жидкости в ветвящихся капиллярных системах // Вестник
Донского гос. техн. ун-та. – 2010.- Т.10. - № 8(51). –С.1195-1206.