Методика обучения решению олимпиадных физических задач
реклама
С. В. Бубликов, А. С. Кондратьев Методика обучения решению олимпиадных физических задач Санкт-Петербург 2001 Российский государственный педагогический университет имени А.И.Герцена Санкт-Петербургский городской дворец творчества юных С. В. Бубликов, А. С. Кондратьев Методика обучения решению олимпиадных физических задач Пособие для учителей Санкт-Петербург Издательство СПбГДТЮ 2001 Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского дворца творчества юных Рецензент: доктор физико-математических наук, профессор А.А.Курдюмов (СПбГУ) С.В.Бубликов, А.С.Кондратьев. Методика обучения решению олимпиадных физических задач: Пособие для учителей. – СПб.: Издательство Санкт-Петербургского городского дворца творчества юных, 2001. – 115 с. Отражены тенденции совершенствования методологических основ обучения решению задач по элементарной физике. Особое внимание уделено развитию творческих способностей и самостоятельных исследовательских навыков учащихся в процессе решения физических задач повышенного уровня. Для учителей физики средних школ и руководителей кружков и факультативов по решению физических задач, а также для учащихся старших классов, самостоятельно готовящихся к участию в олимпиадах или вступительных экзаменах по физике. Издательство Санкт-Петербургского городского дворца творчества юных Введение олноценное физическое образование на любом уровне – от первоначального, школьного, вплоть до специального, невозможно без систематического решения задач. Умение уверенно решать задачи является одним из критериев глубины понимания физических законов и сознательного применения их предписаний для анализа конкретных физических явлений. Никаких универсальных рецептов для выработки такого умения не существует. Необходимые навыки приходят только в результате упорного труда по мере накопления опыта. Тем не менее, некоторые методические советы здесь вполне уместны. Прежде всего при обучении решению задач важно научить учащихся разумному подходу к методам, позволяющим в значительной мере сократить затраты труда и времени, неизбежные при бесхитростном «лобовом» решении, и в то же время исключить другую опасность – введение чрезмерно расширенной формализации и излишней алгоритмизации для решения простых задач. Равновесие между этими крайностями оставляет достаточный простор для освоения методологического инструментария решения физических задач. В силу невозможности научить школьников всему фактическому материалу физической науки имеет смысл учить главному –методологии научного познания. В этой связи необходимо раскрыть исходные понятия: методология, метод, методика, так как в научной и методической литературе приняты различные трактовки этих понятий. Мы будем придерживаться следующих. Методология – это учение о методах, структуре, логической организации науки и средств деятельности в ней; совокупность наиболее существенных элементов теории, конструктивных для развития самой науки – концепция самой науки; совокупность общих методологических принципов и методов, используемых в научном исследовании с учетом специфики решаемых задач; совокупность приемов исследования, применяемых в науке; учение 3 о принципах построения, формах и способах научного познания. Метод – это путь исследования; способ достижения какойлибо цели, решения конкретной задачи, совокупность приемов или операций, практического или теоретического познания, общий способ подхода к решению достаточно широкого класса задач, а также общее направление в ходе их решения; определенным образом упорядоченная деятельность по решению задач определенного класса. Методика – это совокупность технических приемов и организационных форм для получения результата исследования; система методов последовательного и эффективного проведения исследования, решения задачи, достижения цели. Таким образом, владение методикой означает и усвоение системы методов и уверенную ориентацию в методологии. В этом смысле характерны афоризмы академика Д.С.Лихачева: «Ошибка в выводах указывает на ошибочность работы исследователя; ошибочность примененного метода – на порок самого исследователя»; «Самый позорный провал в науке – применить порочный метод, а не просто прийти к неверному выводу». Процесс решения хорошей учебной задачи похож на небольшое исследование. Как и в настоящем научном исследовании, заранее далеко не всегда ясно, какой должна быть последовательность действий для получения достоверного результата. В приводимых решениях задач и разборах примеров уделяется особое внимание тем моментам, которые должны присутствовать в любом исследовании. На конкретных примерах демонстрируются приближенные методы. Часто их применение не только облегчает решение задачи, но и позволяет представить результат в более удобном для исследования виде. В некоторых случаях, когда получение даже приближенного результата сопряжено с необходимостью выхода за рамки принятого в средней школе уровня изложения, используются оценки, дающие качественную картину и порядок величины. В книге обращается внимание на возможность разных подходов к решению задачи. Именно посредством отыскания 4 оригинального пути решения задачи формируется свобода научных взглядов и реализуется творческий потенциал личности обучаемых. Однако не следует упускать из виду, что, размышляя над задачей, необходимо сохранять объективность суждений, проверяя полученный результат и другим более традиционным и испытанным путем. Авторы не претендуют на исчерпывавшую полноту освещения всех проблем обучения учащихся решению физических задач. Разумнее воспринимать изложенное как ориентиры для самостоятельных поисков путей совершенствования обучения решению задач и повышения собственного методического мастерства учителя. 5 Общие вопросы методики обучения решению физических задач вопросах обучения учащихся решению физических задач, как и во многих других вопросах дидактической проблематики, нет и, по-видимому, не может быть однозначных ответов. Не всегда очевидны ответы на вопрос о том, что принять за основное, а что следует подвергнуть доказательству при определении путей обучения решению задач по физике. Опыт преподавания показывает: чтобы методологический инструментарий решения задач по физике сделать доступным учащимся и обнаружить его практическую направленность, необходимо показать его остов, объединяющий минимум фактических знаний и максимум размышлений. 1.1. Уровни методологии решения физических задач. Резервы повышения педагогической эффективности обучения решению задач по физике во всем своем богатстве объективных и потенциально высоких возможностей развития творческих способностей учащихся раскрываются при широком и систематическом использовании на уроках решения задач разных уровней методологии физики. Включение в содержание школьного физического образования специальных методологических знаний необходимо для того, чтобы его конкретное содержание усваивалось учащимися в системе, адекватной физике как науке. Можно выделить три основных уровня, на которых проводится решение физической задачи. Первый уровень характеризуется использованием частных физических законов, например, использованием законов динамики при решении задач по механике. Как правило, решение задачи на этом уровне требует использования более сложного или громоздкого математического аппарата, чем на последующих 6 уровнях. Второй уровень характеризуется использованием наиболее общих, фундаментальных физических законов, например таких, как закон сохранения энергии. Как правило, на этом уровне используемый математический аппарат оказывается проще, чем при решении той же задачи на первом уровне. Основная принципиальная сложность при решении задачи на втором уровне – это создание качественной картины изучаемого явления, которая позволяет записать уравнение, соответствующее закону сохранения определенной физической величины именно для рассматриваемого процесса. Здесь приходится проявлять особую внимательность, ибо часто незначительное изменение характера протекающего процесса может приводить к кардинальному изменению соответствующего уравнения и, наоборот, иногда разным протекающим процессам соответствуют одни и те же уравнения законов сохранения. В этом случае встает проблема отбора нужных корней. Наконец, третий уровень решения физической задачи характеризуется использованием общих методологических принципов физики – таких, как принципы симметрии, относительности, причинности, суперпозиции и т. д. При решении задачи на этом уровне иногда удается строго получить ответ, вообще не выписывая никаких уравнений. Часто удается сделать совершенно элементарными выкладки, которые были бы очень громоздкими при решении задачи на других уровнях. Особенно ценным является использование третьего методологического уровня в случаях, когда требуется перебор большого числа различных возможных вариантов: удачно выбранный. методологический принцип может помочь сразу выделить действительно реализующийся вариант из большого числа правдоподобных. Приведем решения одной и той же задачи на разных уровнях. Задача. Какую форму будет иметь некоторая масса покоящейся жидкости, оказавшаяся в космическом пространстве далеко от других тел? На третьем методологическом уровне, используя соображения симметрии, легко понять, что жидкость не может иметь никакой другой формы, кроме шарообразной, ибо в рассматриваемой 7 системе отсутствуют какие-либо выделенные направления. Задачу можно решить и на втором уровне, используя энергетические соображения: система примет такую конфигурацию, при которой ее потенциальная энергия будет минимальной. Ясно, что в рассматриваемом случае можно говорить об энергии, связанной с ньютоновым притяжением отдельных элементов рассматриваемой массы жидкости друг к другу. Минимальность энергии жидкости будет достигнута при ее шарообразной форме. Обратим внимание на то, что при втором способе рассуждении нам потребовалась гораздо более детальная физическая модель явления. Наконец, решение этой задачи на первом уровне, основанном на рассмотрении условий равновесия отдельных элементов жидкости при их взаимодействии друг с другом, потребует еще большей детализации физической модели и привлечения достаточно громоздкого математического аппарата. Путем простых рассуждений, основанных на сопоставлении относительной роли различных взаимодействий, можно распространить решение этой задачи на случай массы жидкости, находящейся внутри космического корабля с выключенными двигателями. Отметим определенную условность разобранной задачи, ибо в стороне остался вопрос о тепловом балансе массы жидкости, находящейся в космическом пространстве. Этот баланс определяет возможность и время существования жидкой фазы в космосе. Таким образом, разные уровни общности методологии физики как науки могут эффективно использоваться при обучении учащихся решению задач уже в школьном курсе физики. Наш опыт преподавания свидетельствует о том, что развиваемое при этом мышление обучаемых – от интуитивного до строго математического – достаточно верно анализирует взаимосвязь явлений и позволяет описывать их на разных «языках». 1.2. 8 Организация познавательной деятельности учащихся при решении задач по физике. Этапы решения физической задачи. Решение задачи – это активный познавательный процесс, в котором наибольшую трудность для учащихся представляет вопрос с «чего начать», то есть не само использование физических законов, а выбор, какие именно законы и почему следует применять при анализе каждого конкретного явления. Опыт экспериментального преподавания показывает, что познавательная деятельность учащихся при решении физической задачи наиболее эффективна, если она организована на основе применения рассмотренной в п.1.1 трехуровневой методологии физики. При этом можно придерживаться следующих методических советов. Прежде всего, следует попытаться «угадать» ответ из «общих» соображений, найти его на полуинтуитивном уровне. Легко понять, что конструирование познавательной деятельности из «общих» соображений как раз и соответствует осознанному (а потому и более эффективному) или неосознанному (первые проявления интуиции) обращению к общим методологическим принципам физики. Как правило, на этом уровне отсутствует явная разработка физической модели рассматриваемого явления. Поэтому успех в решении задачи в значительной степени определяется умением неявно угадать или «почувствовать» основные черты такой модели. По существу, здесь важно уметь понимать, что может быть и чего не может быть в разбираемой физической ситуации. Даже если таким путем удастся найти решение конкретной задачи, то всегда полезно решить ее и более «стандартным» образом, апеллируя к наиболее общим, фундаментальным физическим законам. Для глубокого понимания физики необходимо четкое осознание степени общности различных физических законов, границ их применимости, их места в общей физической картине мира. Например, использование закона сохранения энергии часто позволяет взглянуть на разбираемую задачу с более общих позиций, чем при использовании конкретных законов, относящихся к определенному кругу явлений – механических, электрических, оптических и т. д. Использование фундаментальных законов, общих для всех физических явлений, как и использование методологических принципов физики, иногда дает возможность найти ответы на вопросы, касающиеся тех явлений, для которых учащимся неизвестны описывающие их 9 конкретные законы. Научиться правильному применению фундаментальных законов не так просто. Здесь уже требуется тщательная разработка физической картины протекающих процессов, создание физической модели явления. Однако степень детализации этой картины, как правило, все-таки ниже необходимой при решении задачи на первом уровне, то есть при использовании частных физических законов. В целом, физические модели явления, создаваемые при решении задачи на первом и втором уровнях, весьма схожи между собой, различаясь только степенью детализации. А вот математические модели явления, возникающие после записи физических законов применительно к рассматриваемому случаю, могут оказаться совершенно различными. Здесь встает вопрос об адекватном выборе математического аппарата (п.2.2). К решению физической задачи на первом уровне следует приступать в том случае, когда ни использование методологических принципов, ни использование фундаментальных законов не позволили найти ответы на вопросы, поставленные в условии задачи. В этом случае, прежде чем выписывать соответствующие уравнения, полезно проанализировать задачу с точки зрения соображений подобия и размерности. Следует однако отметить, что эффективность метода анализа размерностей в большей степени, чем эффективность других методов, зависит от квалификации решающего задачу. Это довольно «сильный» метод, хотя простота его несколько обманчива. При должном умении этот метод удается использовать и при анализе задачи на методологическом уровне, что не исключает возможностей его применения и на других уровнях. Разумеется, в разных задачах удельный вес этих моментов будет различным, так как изложенная схема организации познавательной деятельности учащихся является не жесткой, а предполагает индивидуальное проектирование действий обучаемых в соответствии с требованиями методологии физики в любой комбинации ее подходов к решению задачи в зависимости от конкретной задачи и особенностей преобладающего типа мышления у ученика. В процессе решения задачи можно условно выделить три 10 этапа: физический, математический и анализ решения. Физический этап предполагает, во-первых, обоснованный выбор идеализации изучаемого процесса, то есть разработку физической модели явления, сохраняющей его наиболее важные черты; во-вторых, выбор физических законов, которым удовлетворяет разработанная модель, и составление замкнутой системы уравнений, в число неизвестных которой входят искомые величины. По итогам предыдущего этапа создается математическая модель явления, которая может оказаться не единственной в зависимости от использованных физических законов. На этом этапе принципиально важно выбрать адекватный математический аппарат. Математический этап предусматривает получение общего решения задачи и нахождение числового ответа на вопрос задачи. На этапе анализа решения обязательно исследуются частные простые и предельные случаи, для которых ответ очевиден или может быть получен сразу независимо от общего решения; выясняется, при каких условиях осуществляется полученная зависимость; оценивается реальность результата; проверяется размерность полученной величины; при получении многозначного ответа исследуется соответствие подученных результатов условию задачи. Очень полезен также поиск и разбор аналогий с другими задачами и явлениями, а также сравнение методов их анализа. Кроме того, найденные решения должны удовлетворять регулятивным требованиям методологических принципов физики. В сложных задачах явного деления на этапы может и не быть, однако общая последовательность действий прослеживается. 1.3. Алгоритмический и эвристический подходы к решению физических задач. Решение физической задачи – это прежде всего мыслительный процесс, исследование психологических тонкостей которого выходит за рамки данной книги. Однако здесь уместно обсудить 11 соотношение алгоритмического и эвристического подходов к формированию умения решать задачи по физике. В физике как науке субъективные пути достижения объективного результата многообразны и несут на себе отпечаток личностных качеств исследователя. Следовательно, при обучении решению физических задач необходимо систематически обращать внимание учащихся на то, что правильный физический результат может быть получен разными способами. Справедливо и обратное: результат, полученный при определенном способе рассуждении и не повторяющийся при использовании других подходов, как правило, неверен и является следствием использованных приближений, не отражающих суть изучаемого явления. На уроках решения задач это многообразие может быть реализовано описанными выше средствами разноуровневой методологии физики. На долю учителя выпадает руководство развитием познавательной деятельности учащихся от подражательно-репродуктивной к поисково-творческой. Поэтому при обучении решению задач важно возможно шире сочетать алгоритмические и эвристические подходы, отдавая сначала предпочтение алгоритмическому подходу с целью выработки и закрепления необходимых технических умений и навыков, затем делая все больший и больший крен в сторону эвристического подхода с целью максимального развития творческих способностей учащихся. Рассмотрим конкретный пример сочетания алгоритмического и эвристического подходов при решении определенной физической задачи. Задача. Тело бросают вертикально вверх. Наблюдатель измеряет промежуток времени t 0 между двумя моментами, когда тело проходит точку А, находящуюся на высоте Н. Определить начальную скорость 0 брошенного тела. Алгоритмический путь решения этой задачи начинается с использования уравнения движения тела с постоянным ускорением свободного падения g . В проекции на направленную вверх вертикальную ось оно имеет вид h 0 t gt 2 2 , 12 (1.1) где h – высота относительно поверхности земли той точки, в которой находится тело спустя промежуток времени t после начала движения. В условии задачи говорится о нахождении тела на заданной высоте Н. Поэтому, подставляя в (1.1) h = Н, можно найти время t, когда тело находится на этой высоте. Уравнение (1.1) – квадратное относительно t. Решая его, находим t1, 2 0 g 0 2 2 2H . g (1.2) g По условию задачи тело побывало на высоте Н дважды. Это значит, что дискриминант в (1.2) положителен: 02 g2 2H 0. g Откуда H 0 2 2 g – высота Н меньше максимальной высоты подъема тела 0 2 2 g , брошенного вертикально вверх с начальной скоростью 0 . Итак, только из того факта, что тело побывало на высоте Н дважды, можно получить некоторую оценку для величины начальной скорости 0 : 0 2 gH . Теперь задумаемся над смыслом каждого из корней квадратного уравнения (1.2). Поскольку 0 g есть время подъема тела на максимальную высоту, то значение t 1 , со знаком «минус» перед радикалом соответствует времени подъема тела на заданную высоту Н, а значение t 2 со знаком «плюс» перед радикалом определяет время, по истечение которого тело снова окажется на высоте Н, спускаясь вниз: t1 0 g 02 g2 2H ; g t1 0 g 02 g2 2H . g Очевидно, что заданный в условии промежуток времени t 0 равен разности значений t 2 и t 1 : t 0 = t 2 – t 1 . Подставляя сюда значения t 2 и t 1 , имеем t0 2 02 g2 2H . g Откуда 13 1 4 0 2 2 gH g 2 t 0 2 . (1.3) При эвристическом подходе к решению приведенной задачи можно обойтись без использования исходного уравнения (1.1). Для этого достаточно только сообразить, что тело поднимается вверх от точки А на высоте Н в течение времени t 0 /2, останавливается, и затем падает до точки А в течение времени t 0 /2. Падая до точки А, тело успевает набрать скорость 1 gt 0 /2 . Теперь легко найти скорость , которую тело наберет, пройдя путь, равный Н, от точки А до поверхности земли: 1 4 Очевидно, что эта скорость равна скорости 0 , с которой тело было брошено вертикально вверх. Решение, основанное на эвристическом подходе, оказывается таким же строгим, как и приведенное выше решение, ибо использует только факт одинаковости времени подъема и падения тела, брошенного вертикально вверх, и кинематическое соотношение между перемещением, скоростями в начальной и конечной точках и ускорением при равнопеременном движении. Применительно к движению в поле земного тяготения это соотношение эквивалентно закону сохранения энергии (1.3). Эвристический подход часто позволяет получить ответ, вообще не выписывая никаких соотношений в явном виде. Рассмотрим следующую задачу. 2 2 gH 12 2 gH g 2 t 0 2 . Задача. Через неподвижный блок перекинута нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы с массами m и M, причем m << M. Найти силу натяжения нити при движении грузов, пренебрегая трением, массами блоков и нити (рис.1.1). g T 14 T m M Рис.1 Вместо того, чтобы выписывать уравнения движения обоих грузов, можно сообразить, что при указанном в условии задачи неравенстве m << М тяжелый груз будет падать практически свободно, то есть почти с ускорением g. Но тогда в силу нерастяжимости нити легкий груз будет подниматься с таким же по величине ускорением, направленным вверх. Для этого действующая на него со стороны нити сила должна быть вдвое больше силы тяжести тg. Поэтому сила натяжения нити Т 2 mg. Так как массой блока можно пренебречь, то сила натяжения нити одинакова по обе стороны блока. Эвристический подход к решению физических задач тесно связан с вопросом построения физической модели изучаемого явления. По существу эвристический подход заключается в выборе нетривиальной модели рассматриваемого процесса. Таким образом, именно в соответствующем методологическом обеспечении процесса обучения решению хороших задач авторы видят наибольшую ценность традиционно обсуждаемых в методической литературе общих вопросов обучения решению физических задач. Математический аппарат при решении физических задач Физические законы должны обладать математической красотой. П. Дирак 2.1. Роль математического решении физических задач. аппарата при аскрыть роль математического аппарата в решении физических задач и осмыслить дидактические требования к нему можно на основе сопоставления точек зрения физиков и математиков – профессионалов высшей квалификации по обсуждаемому вопросу. По мнению одного из величайших физиков современности Э.Ферми: «В физике нет места для путанных мыслей, и физическая 15 сущность действительно понимаемого вопроса может быть объяснена без помощи сложных формул». В умении объяснить сущность вопроса «на пальцах» и заключается истинное понимание уравнений, выражающих физические законы. Вместе с тем известны высказывания не менее выдающихся ученых, в которых абсолютизируется роль математических методов в решении физических проблем. Так, например, А.Пуанкаре считал, что: «Физика не может обойтись без математики, которая предоставляет ей единственный язык, на котором она может говорить». Основное положение, определяющее ситуацию в современной физике, заключается в том, что содержание и смысл физических законов, а также границы их применимости, не выражаются математическими формулами, которые в полной мере отражают только количественный аспект исследуемого физического процесса. Знаменитый физик П.Дирак писал: «Я считаю, что понял смысл уравнения, если в состоянии представить себе общий вид его решения, не решая его непосредственно. Значит, если у нас есть способ узнать, что случится в данных условиях, не решая уравнения непосредственно, мы «понимаем» смысл уравнения в применении к этим условиям... Физическое понимание – это нечто неточное, неопределенное и абсолютно не математическое, но для физика оно совершенно необходимо». Забвение этого факта способно породить формализм в знаниях учащихся и сделать их бесполезными в практическом применении при решении физических задач. По словам известного физика Р.Фейнмана: «Математики или люди с математическим складом ума часто при изучении физики теряют физику из вида и впадают в заблуждение. Они говорят «физический закон – это уравнение, сами физики признают, что нет ничего, что бы не содержалось в этом уравнении. Если я разберусь в нем математически, я разберусь и в физике». Но ничего из этого не выходит. Их постигает неудача от того, что настоящие физические ситуации реального мира так запутаны, что нужно обладать гораздо более широким пониманием уравнений». Приведенные выше соображения являются хорошей иллюстрацией высказанной Н.Бором идеи о том, что физическая 16 картина и ее математическое описание дополнительны. Применительно к обсуждаемому вопросу эта дополнительность проявляется как в самой физике, так и в психологических аспектах, связанных с процессом обучения решению задач. Создание физической картины явления требует пренебрежения деталями и уводит от математической точности. И наоборот, попытка точного математического описания явления затрудняет его ясное понимание. В частности, на вопрос «Что дополнительно понятию истины?», Н.Бор ответил: «Ясность». По другому аспекту обсуждаемой проблемы приведем мнение Р.Фейнмана: «Во взаимоотношениях физики и математики имеется еще одна интересная черта: математика позволяет доказать, что в физике, исходя из разных точек, можно прийти к одним и тем же выводам». В этой связи уместно вспомнить шутку академика Л.Д.Ландау: «Фок любую задачу сводит к уравнениям с частными производными, я – к обыкновенным дифференциальным уравнениям, а Френкель – к алгебраическим». Подвести итоги параграфа целесообразно словами академика Л.И.Мандельштама из его лекций по колебаниям: «Иметь меру требуемой математической строгости – самое трудное для физика. Правильнее будет сказать так: ему необходимо уметь определять эту меру». 2.2. Требования, предъявляемые используемому математическому аппарату. к Знания, полученные учащимися на уроках математики, должны по возможности быстрее доходить до практического применения на уроках физики. Наиболее оперативно это можно осуществить на уроках решения задач. Обеспечить последовательные временные межпредметные связи физики с математикой в средней школе очень непросто, так как в каждом учебном курсе должна быть сохранена логика науки, которая, в свою очередь, обусловливает определенную последовательность изложения учебного материала. Ориентиром 17 здесь может служить то обстоятельство, что использование математического аппарата при обучении решению физических задач должно удовлетворять следующим методическим требованиям. 1. Основное требование, предъявляемое к используемому математическому аппарату, – его адекватность рассматриваемому в задаче физическому явлению. Очень уродливым выглядит насыщение решения задачи огромным количеством необязательных или даже ненужных выкладок при использовании неподходящего аппарата, что приводит к громоздкости как выкладок в целом, так и отдельных промежуточных формул. Выбор соответствующего математического аппарата подсказывает сама физическая теория, в рамках которой решается конкретная задача. Имеет смысл поиск таких математических средств описания рассматриваемого в задаче процесса, которые бы не вносили дополнительных элементов, не характерных самому процессу или явлению. В дидактическом плане эта идея трансформируется в утверждение о том, что учитель должен учить решать задачи по возможности так, чтобы инвариантные особенности физических законов проявлялись предельно ясно – без тех математических средств, которые, ничего существенного не добавляя к пониманию физической сути явления, делают изучаемые вопросы труднодоступными для учеников. При этом четко оттеняется методологический характер необходимости перехода от сложного реального физического явления к его теоретической модели – идеальной физико-математической конструкции. 2. Общий характер имеет требование оптимальности избираемого для решения физической задачи математического аппарата, по существу представляющее собой одно из проявлений методологического принципа простоты в физике. Это требование соответствует современным тенденциям развития самой математики, в которой стирается традиционное деление на алгебру, геометрию и анализ и возникают промежуточные разделы – алгебраическая геометрия, алгебраическая топология 18 и т. д. Решение наиболее трудных теоретических проблем математики требует синтеза методов алгебры, геометрии и анализа, а подчас и применения ЭВМ. Поэтому при решении физических задач не следует стремиться получать «чисто аналитическое» или «чисто геометрическое» доказательство. Математические выкладки следует делать максимально компактными, используя при этом все имеющиеся у учащихся сведения из разных разделов математики. Именно на таком пути мышление учащихся будет развиваться в соответствии с методологическим подходом современной науки. Развитие математической культуры учащихся не менее важно для успешного обучения их решению физических задач, чем развитие умения проводить анализ физической сути рассматриваемых явлений. Особенно важным это становится в ситуациях, когда возможна различная формулировка физических законов, описывающих изучаемое явление. Ниже будет приведен соответствующий пример. 3. Выбранный математический аппарат должен быть доступным и соответствовать математической подготовке учащихся. Количественное описание рассматриваемого в задаче физического явления простыми математическими средствами служит одной из лучших педагогических предпосылок прочного усвоения тех тонкостей и деталей знаний, которые учащиеся должны получить в результате решения той или иной задачи. Изложенные требования означают неуместность и недопустимость жесткого навязывания определенных математических схем при обучении решению задач по физике. Проиллюстрируем выдвинутые требования на примерах. Задача. Тело падает без начальной скорости с высоты h на наклонную плоскость, образующую угол с горизонтом, и упруго отражается от нее. На каком расстоянии, считая вдоль наклонной плоскости, тело второй раз коснется ее? Прежде всего необходимо отметить, что в этой задаче нецелесообразно пытаться записать единое уравнение движения тела, включающее его первоначальное падение по вертикали. Так как в момент улара о наклонную плоскость скорость тела меняется скачком, то его движение будет равноускоренным только до 19 первого соударения с наклонной плоскостью и в промежутках между последующими соударениями. Рассмотрим вектор перемещения тела r между первым и вторым столкновениями. Для него справедливо r 0 t gt 2 2 , (2.1) где 0 – скорость тела в начале отскока от наклонной плоскости после первого соударения. В силу упругого характера удара тела модуль скорости одинаков до и после соударения, то есть 0 2 2 gh , а характеризующие процесс удара углы имеют значения, указанные на рис.2.1. Дальнейшее решение 0 = 0 задачи заключается в преобразовании векторного 0 h уравнения (2.1) с целью определения интересующей нас величины. Здесь возможны различные математические r варианты. Может быть, в частности, использован стандартный – проектирования векторного уравнения на оси Рис.2.1 выбранной системы координат. При этом удачный или неудачный выбор осей может, соответственно, упрощать выкладки или делать их более громоздкими. (Так как траектория движения тела в земном поле тяготения плоская, то уравнение (2.1) эквивалентно двум скалярным, если вектор r лежит в плоскости X,Y). Например, если направить оси Х и Y по горизонтали и вертикали (рис.2.2), то дальнейшие преобразования запишутся следующим образом: Х: l cos 0 sin 2 t Y: l sin 0 cos 2 t gt 20 2 (2.2) Здесь l – модуль вектора r , равный искомому расстоянию Y 2 0 Х между точками касания тела с наклонной плоскостью. Следует подробно пояснить получение уравнений (2.2) в результате проецирования уравнения (2.1) на оси Х и Y. Выражая из первого уравнения (2.2) t t l cos l . 0 sin 2 2 0 sin и подставляя во второе уравнение, найдем g l2 l l sin 0 cos 2 2 0 sin 2 4 0 2 sin 2 (2.3) Сокращая на l 0 и объединяя слагаемые, не содержащие l, получим cos 2 cos 2 2 sin 2 1 sin (2.4) 2 sin 2 sin 2 sin Теперь из (2.3) находим l 4 0 2 sin g или, подставляя 0 2 2 gh , окончательно l 8h sin . Обратим внимание на то, что при написании соотношения (2.4) потребовалось использовать тригонометрическую формулу для косинуса двойного угла cos 2 1 2 sin 2 и выкладки в целом довольно громоздки. Их можно сделать проще, выбрав оси Х' и Y', как показано на рис.2.3. В этом случае, проектируя (2.1) Y на оси X' и Y', имеем: 0 g sin 2 h Х: l 0 sin t t (2.5) 2 21 r Y: 0 0 cos t g cos 2 t 2 Теперь из последнего уравнения (2.5) t 2 0 g . немедленно находим Время полета до второго соударения не зависит от угла наклона плоскости. (Второй корень t = 0 не соответствует условию задачи). Подставляя t в первое уравнение (2.5), имеем: 4 0 2 l sin 8h sin . g Решение записалось гораздо компактнее, причем попутно автоматически выяснилось, что время полета не зависит от угла наклона. Не понадобилась и формула для косинуса двойного угла. Однако при таком способе решения уравнения (2.1) все-таки приходится использовать тригонометрические функции тупого угла при проектировании g на ось Y. Этого вообще можно избежать, если не использовать метод проецирования при решении (2.1). Равенство (2.1), как и всякое векторное равенство, где сумма двух векторов равна третьему, соответствует треугольнику. Вектор r направлен вдоль наклонной плоскости из точки первого касания тела с наклонной плоскостью в точку второго касания. Вектор 0 t направлен вдоль вектора 0 и начинается в точке первого касания тела с наклонной плоскостью. Вектор g 0 t 2 2 направлен вертикально вниз и заканчивается в той же точке, что и вектор r . Поэтому треугольник перемещений, соответствующий равенству (2.1), имеет вид, показанный на рис.2.4. Поскольку два угла в t 0 треугольнике равны, он 0 h равнобедренный. Это немедленно g дает равенство 2 22 2 Рис.2.4 t2 g 2 0 t gt 2 2 , откуда t 2 0 g . Теперь получаем l 2 0 t cos 2 4 0 2 sin 8h sin . g Таким образом, видно, что использование геометрической интерпретации векторных равенств часто позволяет без потери строгости сделать выкладки существенно проще и, что особенно важно, позволяет использовать хорошо знакомый учащимся материал по геометрии. В качестве другого примера рассмотрим следующую задачу. Задача. Под каким углом следует тянуть за веревку тяжелый ящик, чтобы с наименьшим усилием передвигать его волоком по горизонтальной поверхности? N Fтр F mg Рис.2.5 В простейшем приближении считаем ящик материальной точкой. В этом случае все силы, показанные на рис.2.5, можно считать приложенными в одной точке – центре масс ящика. Если ящик перемещается равномерно, то, согласно второму закону Ньютона, F N Fтр mg 0 . (2.6) Спроецируем векторное равенство (2.6) на вертикальное и горизонтальное направления F sin N mg 0 ; F cos Fтр 0 (2.7) По закону Кулона – Амонтона величина силы трения скольжения равна Fтр N . Подставляя сюда N из уравнения (2.7), имеем Fтр (mg F sin ) . Теперь второе равенство (2.7) принимает вид F cos (mg F sin ) 0 откуда 23 F mg cos sin (2.8) Числитель выражения (2.8) не зависит от угла , поэтому сила F будет наименьшей, когда знаменатель максимален. Поэтому нужно найти максимум выражения f ( ) cos sin . Обозначим tg sin cos . (2.9) Тогда для f ( ) получим f ( ) cos cos( ) sin sin . cos cos Отметим, что замена (2.9) всегда возможна, ибо тангенс может принимать любые вещественные значения. Видно, что f ( ) максимальна при arctg . Теперь обратим внимание на то, что формально введенная соотношением (2.9) величина имеет ясный физический смысл. Вследствие закона Кулона – Амонтона – это угол, образуемый векторной суммой сил N и F тр с нормалью к поверхности (рис.2.6). Обозначив Q N F тр , перепишем (2.6) в виде Q mg F 0 (2.10) Теперь решение задачи сводится к геометрическому исследованию равенства (2.10). Изобразим известную по величине и направле Q N F F Fтр mg Q mg 24 Рис.2.6 Рис.2.7 нию силу тяжести (рис. 2.7). Относительно Q заранее известно лишь его направление. Через конец вектора mg проводим прямую, составляющую угол = arc tg с вертикалью. На этой прямой будем откладывать силу Q , совмещая ее начало с концом вектора mg . В соответствии с (2.10) сила F должна замыкать треугольник сил, то есть соединять конец вектора Q с началом вектора mg . Как когда ее видно из рис.2.7, величина силы F будет наименьшей, направление образует прямой угол с направлением Q , то есть угол с горизонтом. Обратим внимание на то, что использование геометрической трактовки векторного равенства (2.10) позволяет легко найти не только направление, но и величину минимальной силы Fmin . Из рис.2.7 сразу видно, что Fmin mg sin . Возможность простого решения задач, связанных с определением экстремальных значений физических величин – еще одно несомненное достоинство метода, использующего геометрические соображения. Этим же методом нетрудно показать, что при перемещении ящика с ускорением придется тянуть за веревку с большим усилием, однако сила F составляет тот же угол = arc tg с горизонтом. Разобранные примеры наглядно иллюстрируют значение удачного выбора адекватного метода вычислений. Уравнения движения в кинематике и динамике записываются в векторном виде, однако конкретный метод решения этих уравнений может быть разным. Громоздкость выкладок разительным образом зависит от используемого метода решения. Использование геометрических методов анализа векторных уравнений не только упрощает конкретные выкладки, но и существенно увеличивает наглядность, что, в конечном счете, способствует более глубокому пониманию физической сути рассматриваемого явления. Отметим, что приведенные задачи решены на первом уровне методологии, основанном на использовании конкретных физических законов. Именно на этом уровне имеется наи6ольший 25 простор для выбора соответствующего математического аппарата. 2.3. Вычислительные методы при решении физических задач. Развитие вычислительной техники, в частности ЭВМ, открыло новые широкие возможности в проведении теоретических исследований физических свойств систем. Появился даже термин «вычислительная физика», в которой численные методы анализа приобретают новую качественную роль. В преподавании физики всегда фигурировали задачи, в которых изменение значений физических параметров рассматриваемой системы приводило к качественному изменению картины протекающих явлений. Однако самим расчетам отводилась при этом вспомогательная роль: даже значения параметров подбирались таким образом, чтобы расчеты можно было выполнить наиболее просто. Рассмотрим характерный пример такой задачи. Задача. На гладком горизонтальном столе лежит брусок массы m 1 , на который действует горизонтальная сила F. С каким ускорением будет двигаться этот брусок, если сверху на него положить другой брусок массы т 2 ? Коэффициент трения между брусками равен . Поскольку стол гладкий и трение между его поверхностью и нижней поверхностью бруска массы m 1 , отсутствует, то при любой величине силы F брусок будет двигаться с некоторым отличным от нуля ускорением. А вот между поверхностями брусков трение есть, поэтому в зависимости от величины действующей силы F они либо будут двигаться вместе, либо верхний брусок будет отставать от нижнего. Верхний брусок приводится в движение силой трения со стороны нижнего бруска. Максимальная величина этой силы есть m2 g , поэтому максимальное ускорение второго бруска равно g. Если нижний брусок движется с большим ускорением, то верхний брусок будет отставать от него. В рассматриваемом случае ускорение нижнего бруска определится равенством 26 F m2 g m1a1 , откуда a1 F m 2 g m1 (2.11) Ускорение второго бруска a 2 g меньше а 1 , поэтому с помощью (2.11) находим F g (m1 m2 ) (2.12) Итак, если выполнено условие (2.12), то ускорение первого бруска определяется формулой (2.11). Если же F g (m1 m2 ) , (2.13) то бруски движутся вместе, как одно целое. Их ускорение а в этом случае дается формулой F a (2.14) m1 m2 Для проверки легко убедиться, что при выполнении условия (2.12) а 1 в (2.11) больше g. Напротив, при выполнении условия (2.13) а в (2.14) меньше g. Если в условии задачи приведены численные значения всех величин, то прежде всего необходимо проверить условие (2.12). Если оно выполнено, то ускорение нижнего бруска рассчитывается по формуле (2.11), если же не выполнено, то по формуле (2.14). В рассмотренном примере физическая картина явления зависит от значений параметров, но устанавливается она в результате аналитического исследования. Численные расчеты здесь необходимы только для выбора между двумя выявленными картинами. В настоящее время все более увеличивается доля таких задач, в которых численные расчеты и сам выбор способа их проведения играют существенную роль в решении. Приведем пример. Задача. Как нужно направить луч света из точки А, отстоящей на расстоянии h 1 от плоской границы раздела двух сред с показателями преломления n 1 и n 2 , чтобы он прошел через точку В, отстоящую от этой границы на расстоянии h 2 ? Проекция расстояния между точками А и В на границу 27 раздела двух сред равна l (рис.2.8). А А n1 h1 l n1 n2 h1 n2 h2 х B Рис.2.8 l–х h2 B Рис.2.9 На первый взгляд это совсем простая задача. Пусть некоторый луч света из точки А, преломившись на границе раздела, попадает в точку В (рис. 2.9). Обозначив углы падения и преломления через и соответственно, имеем sin n2 sin n1 (2.15) Из рис.2.9 видно, что sin x 2 h1 x 2 ; lx sin 2 h1 (l x) 2 (2.16) Подставляя соотношение (2.16) в формулу (2.15), имеем x h2 2 (l x) 2 2 (l x) h1 x 2 n2 n1 (2.17) Соотношение (2.17) – это уравнение четвертой степени относительно x . Итак, простая физическая задача привела нас к необходимости решать алгебраическое уравнение четвертой степени. Вручную это сделать затруднительно, хотя и возможно упростить решение исходного уравнения на основе метода возвратного уравнения при некоторых значениях параметров. При других значениях параметров, когда уравнение (2.17) не является возвратным, кажется неизбежным лобовое численное решение этого уравнения. Конечно, тут может помочь ЭВМ. Однако задачу можно решить и иначе, при этом численные расчеты будут менее трудоемкими и будут иметь больший физический смысл. 28 Явление преломления лучей света можно описать не только законом преломления (2.15), но и с помощью принципа Ферма, потребовав, чтобы время распространения света из А в В было минимальным. Поскольку фазовая скорость света в среде с показателем преломления п есть с/п , то для времени распространения света имеем t 1 n1 x 2 h1 2 n2 c l x 2 h2 2 (2.18) Теперь, задавшись точностью, с которой хотим получить ответ, можно вычислить выражение в скобках в (2.18) при разных значениях х, начиная с х = 0, и с шагом, соответствующим требуемой точности. Сначала величина выражения будет убывать, а начиная с некоторого значения х 0 , начнет расти. Подставив в первую из формул (2.16) значение х 0 , соответствующее минимуму выражения в скобках, получим синус угла, под которым следует пускать луч света. В этом случае расчеты можно выполнить не только на компьютере, но и на программируемом микрокалькуляторе. Использование принципа Ферма приводит здесь к совершенно новым численным расчетам. Обратим внимание на то, что приведенное выше решение задачи из геометрической оптики на основе принципа Ферма одновременно является и решением такой, например, задачи из кинематики. Задача. Мальчик может бежать по земле B l h1 A Рис.2.10 h2 со скоростью и плыть по озеру со скоростью и. Как ему следует двигаться, чтобы как можно быстрее попасть из точки А, отстоящей на расстояние h 1 от берега озера, на плот, находящийся в озере в точке В на расстоянии h2 от берега? Проекция расстояния между точками А и В на линию берега равна l (рис.2.10). Подчеркнем, что на основе оптико-механической аналогии 29 может быть решена и следующая, распространении звуковых волн. например, Задача. Автомобиль удаляется со скоростью задача о от длинной стены, двигаясь под углом к ней. В момент, когда расстояние от стены равно l, шофер подает короткий звуковой сигнал. Какое расстояние пройдет автомобиль до момента, когда шофер услышит эхо? В силу жесткой экономии места предлагаем читателю подумать над задачей самостоятельно, рассматривая процесс отражения звука от стены аналогично оптической задаче об отражении света в плоском зеркале. Решаемые непосредственно друг за другом, эти задачи ярко демонстрируют учащимся единство методов, используемых при решении задач из разных разделов физики. Таким образом, методологический принцип математизации при обучении учащихся решению задач по физике трансформируется в дидактическое требование поиска адекватного способа количественного описания рассматриваемого в задаче явления, оставляющее качественное объяснение сути явления на основе неформального понимания физических законов за самим решающим задачу . 30 Решение задач на уровне частных физических законов 3.1. Физическая модель рассматриваемого в задаче. явления, амый ответственный этап в решении физической задачи – это построение модели рассматриваемого явления, то есть описание на языке физических понятий, что же именно происходит в ситуации, которая изложена в условии. При этом важно с самого начала четко разграничить, что существенно в данном явлении и определяет его протекание, а что несущественно. Иногда несущественными могут оказаться обстоятельства, которые, на первый взгляд, и должны играть определяющую роль. Рассмотрим следующий пример. Задача. Из точки А свободно падает тело. Под каким углом к горизонту следует одновременно бросить другое тело из точки В (рис.3.1), чтобы они столкнулись в воздухе? Какой должна быть скорость этого тела? Казалось бы, основное в рассматриваемом явлении – это g наличие ускорения свободного падения, которое заставляет H двигаться вниз первое тело и искривляет траекторию полета 0 h второго. Предположим, однако, что В земное притяжение отсутствует. l Тогда первое тело будет оставаться неподвижным, а второе, брошенное Рис.3.1 со скоростью 0 , двигаться равномерно и прямолинейно. Ясно, что скорость 0 должна быть направлена вдоль прямой, соединяющей эти тела, а ее модуль может быть любым – от этого A 30 зависит лишь время, по прошествии которого второе тело преодолеет разделяющее их расстояние. Теперь подумаем, что изменится при наличии земного притяжения. Все тела падают в поле земного тяготения одинаково, поэтому относительное движение тел – движение второго тела относительно первого – будет таким же, как и в отсутствие тяготения. Поэтому это тело нужно бросить под тем же углом к горизонту, что и раньше: tg H l (3.1) Модуль скорости 0 уже не может быть произвольным: тела должны, по условию задачи, столкнуться в воздухе, то есть прежде, чем первое тело упадет на землю. Это, с учетом соотношения H gt 2 2 , приводит к условию H 2 l2 0 2H . g Откуда 0 H 2 l2 g 2H (3.2) Итак, тяготение, определяющее траекторию движения тела относительно земли, оказывается несущественным при рассмотрении относительного движения двух тел, если, разумеется, они одновременно начинают падать в поле земного притяжения. Без учета указанного обстоятельства решение задачи будет более громоздким. Обозначив высоту точки, где столкнутся тела, через h, имеем H h gt 2 2 ; l 0 cos t h 0 sin t gt 2 2 (3.3) Теперь описанные выше физические закономерности движения нужно «выудить» из системы уравнений (3.3). Складывая первые два уравнения, находим H 0 sin t , что вместе с последним уравнением (3.3) дает формулу (3.1). Для получения неравенства (3.2) следует потребовать, чтобы время падения первого тела на землю 2 H g было меньше времени полета 31 второго тела до встречи с первым, которое определяется из последнего уравнения (3.3): l t 0 cos H 2 l2 0 2H . g При построении модели изучаемого явления широко используются аналогии. Однако следует всегда помнить, что аналогия между явлениями разной физической природы никогда не может быть полной. При всей внешней схожести этих явлений в каждом из них обязательно найдутся черты, которые не имеют аналога в другом явлении. Для иллюстрации этого положения рассмотрим пример. Задача. Что покажет идеальный вольтметр, подключенный к точкам А и В металлического кольца, симметрично надетого на сердечник трансформатора? Дуга АВ составляет треть длины кольца (рис.3.2). А Рис.3.2 ,r B А 32 Рис.3.3 B Возникающее при работе трансформатора вихревое электрическое поле имеет вид окружностей с центром в сердечнике. Поэтому при симметричном относительно сердечника положении кольца возникающая в нем ЭДС индукции равномерно распределена по кольцу. В частности, в дуге АВ действует ЭДС, равная трети полной ЭДС, 1 возникающей в кольце AB . 3 Теперь может показаться, что рассматриваемая задача аналогична задаче об определении напряжения между точками А и В схемы, показанной на рис.3.3: последовательно соединены три одинаковых источника тока с ЭДС и внутренним сопротивлением r каждый. Сопротивлением соединительных проводов можно пренебречь. Напряжение на зажимах работающего источника тока определяется соотношением U r. Ток в цепи равен (3.4) 3 . 3r r Подставляя это значение в (3.4), находим U = 0. Напряжение получилось равным нулю, то есть потенциалы точек А и В одинаковы. А это значит, что их можно даже соединить накоротко и никаких изменений в цепи не произойдет. Поэтому нуль покажет не только идеальный вольтметр, обладающий бесконечно большим собственным сопротивлением, но и любой включенный вольтметр. А вот в исходной задаче, при всей внешней аналогии происходящих явлений, даже идеальный вольтметр даст ненулевые показания. Дело в том, что вольтметр со своими соединительными проводами, подключенный к точкам А и В кольца, образует дополнительный контур, в котором также разыгрывается явление электромагнитной индукции и возникает ЭДС. При этом показания вольтметра будут разными в зависимости от того, как расположены соединительные провода вольтметра, как показано на рис.3.4а или рис. 3.4б. Покажем это. V в в А B А B V а) б) 33 Рис.3.4 Вольтметр реагирует на проходящий через него ток в и проградуирован так, что показываемое им напряжение U в в Rв , где R в – сопротивление вольтметра. Будем считать вольтметр идеальным, чтобы идущий через него ток в был пренебрежимо мал по сравнению с током в кольце . Пусть он включен, как показано на рис.3.4а. В этом случае контур, состоящий из дуги АВ кольца и вольтметра, не охватывает сердечника трансформатора и, следовательно, ЭДС в нем равна нулю. Поэтому R AВ – в R в = 0 , (3.5) где R AВ – сопротивление дуги АВ кольца; очевидно, что R AВ R 3 , если R – сопротивление проволоки, из которой свернуто кольцо. Ток в кольце равен R , поэтому с помощью (3.5) для показания вольтметра находим U в в Rв RАВ R R 3 3 . (3.6) Тот же результат получится, разумеется, если рассмотреть контур, состоящий из дуги ВСА кольца и вольтметра. Этот контур охватывает сердечник и действующая в нем ЭДС равна . Поэтому справедливо RBCA в Rв Так как RВСА (3.7) 2 R , то с помощью (3.7) получаем 3 U в в Rв RВСА 2 R Uв . R 3 R Если вольтметр включен как показано на рис.3.4б, то рассмотрев контур, образуемый дугой АВ и вольтметром, получим R АВ в R в , откуда U в в Rв RАВ 34 R 2 . R 3 3 (3.8) Показания вольтметра выросли в два раза. Отметим, что полученные результаты справедливы именно для идеального вольтметра, ибо в противном случае уже нельзя считать одинаковыми токи в дугах АВ и ВСА. Обратим внимание на то, что в рассмотренных случаях вольтметр показывает вовсе не разность потенциалов между точками А и В, которая равна нулю. Действительно, рассмотрев дугу АВ как «источник тока» с ЭДС АВ 3 и сопротивлением r RАВ R 3 , получим для напряжения на его полюсах (точках А и В): R U АВ АВ R 0 . 3 R 3 Причина такого поведения вольтметра в том, что в рассматриваемом случае он не представляет собой «однородного участка»: в проводах существует ЭДС, обусловленная явлением электромагнитной индукции. Этого, разумеется, нет в цепи, содержащей химические источники тока. Аналогия в рассмотренных случаях оказывается чисто формальной. Происходящие физические явления разыгрываются совершенно по разному. Однако и здесь аналогия играет определенную положительную роль, ибо именно она заставляет задуматься о сопоставлении рассмотренных явлений между собой. И именно это сопоставление позволяет глубже понять различие в физическом механизме происходящих процессов и разобраться в сути явлений. При построении адекватной модели изучаемого явления необходим последовательный и полный учет соотношений между параметрами, определяющими физическую картину процесса. Действующая на брусок внешняя сила не может сдвинуть его с места, пока модуль силы не превысит максимального значения силы трения покоя. Здесь изменение физической картины явления происходит скачком. Бывают случаи, когда физическая картина изменяется непрерывно при изменении значений соответствующих параметров. Рассмотрим пример. Задача. Лучи солнечного света падают на заднюю стену через квадратное отверстие в передней стене (рис.3.5). Какова форма освещенного пятна? 35 Если для простоты считать, что стены перпендикулярны к направлению лучей света, то освещенное пятно повторит форму и размеры отверстия в первой стене, если стены расположены близко друг от друга, и имеет форму круга, если стены расположены далеко. Выясним, почему так происходит и что означает в данном случае «близко» и «далеко». Если задняя стена расположена близко от передней, то в первом приближении Солнце можно считать точечным источником света. Тогда освещенное d пятно представляет собой центральную проекцию отверстия на плоскость задней стенки. Центр проекции S расположен очень далеко (150 000 000 км), поэтому все лучи практически L параллельны (рис.3.6). Рис.3.5 d = L d S d1 d L Рис. 3.6 В действительности из-за конечности углового диаметра Солнца ( 0,01 рад) границы пятна на стене от краев отверстия будут размыты. Очевидно, что сформулированный результат справедлив, когда ширина полутени много меньше размеров светлого пятна, то есть размеров отверстия. Ширина полутени d = L, где L – расстояние между стенами. Итак, форма освещенного пятна повторяет форму отверстия при условии L << d. При 0,01 это 36 условие принимает вид L << 100 d. При размере отверстия d = 10 см это дает L << 10 м. Если задняя стена расположена далеко от передней, то в первом приближении отверстие можно считать точечным. Его форма не играет роли, и все определяется конечным угловым размером Солнца. Освещенное пятно на стене – это как бы изображение Солнца в камере-обскуре. Оно представляет собой сечение плоскостью стены кругового конуса солнечных лучей с вершиной в отверстии и углом при вершине, равным угловому диаметру Солнца (рис.3.7). Светлое пятно представляет собой круг диаметром d 1 = L. d d d S d 1 = L L Рис.3.7 С увеличением размеров отверстия освещенность пятна возрастает, но одновременно его края становятся более размытыми. Очевидно, что это размытие d порядка размеров отверстия d. Таким образом, если d << d 1 = L, то есть L >> 100 d. Теперь видно, что безразмерным параметром Г, которым определяется форма освещенного пятна, является отношение углового диаметра Солнца к угловому размеру отверстия d L , то есть углу , под которым отверстие видно от задней стены: Г = L d. При Г << 1 реализуется первый из рассмотренных случаев, при Г >> 1 – второй. Можно сказать, что свет от Солнца образует на задней стене изображение отверстия, когда стена находится близко, и дает изображение Солнца, когда стена далеко. 37 Отметим, что приведенное рассмотрение основывалось на законе геометрической оптики о прямолинейном распространении света. Необходимо оценить роль дифракционных эффектов, которые проявляются в отклонении от закона прямолинейного распространения света при его прохождении сквозь отверстие в стене. Угол дифракционного отклонения света по порядку величины равен отношению длины световой волны к размеру отверстия d: d. Дифракционные эффекты, очевидно, не влияют на форму освещенного пятна, если угол мал по сравнению с угловым размером Солнца : d . Взяв = 510–7 м, 0,01, находим, что дифракционные эффекты не играют роли, если размер d отверстия превышает d >> 510–5 м. 3.2. Основные ошибки, допускаемые при решении задач. Неправильный, неадекватный выбор модели изучаемого физического явления приводит к неверному решению задачи. Общих рецептов правильного выбора модели дать невозможно, необходимые навыки вырабатываются в процессе решения задач по мере накопления опыта. Однако можно выявить основные причины, приводящие к неправильному выбору модели и целенаправленно работать над их устранением. Рассмотрим конкретный пример. Задача. На плоский конденсатор, выполненный в виде двух плоских параллельных металлических пластин, емкость которого равна С, надета металлическая коробка, как показано на рис.3.8. Найти электроемкость получившейся системы. С С С 38 3 C C 2 Рис. 3.8 Рис. 3.9 Задача легко решается, если просто нарисовать эквивалентную схему получившейся системы, показанную на рис.3.9. При 3 указанных там расстояниях емкость системы С равна C C . 2 Однако часто встречаются попытки решить эту задачу путем следующих рассуждений. Предположим, что конденсатор заряжен до надевания металлической коробки. Очевидно, что электроемкость изменится в том случае, когда надевание коробки приведет к изменению заряда или разности потенциалов между пластинами конденсатора. Но в данном случае никакого изменения распределения зарядов не происходит, не должна меняться и разность потенциалов. Действительно, электрическое поле сосредоточено внутри конденсатора, снаружи его нет, если можно пренебречь краевым эффектом. Но тогда мы помещаем металлическую коробку в ту часть пространства, где электрического поля нет, поэтому никаких изменений в системе не должно происходить. Следовательно, электроемкость системы не изменяется. В чем причина получения неверного ответа? Она заключается в неадекватном, вульгаризированном использовании понятия «электрическое поле». Фраза «снаружи конденсатора поля нет» – это жаргон, фраза не имеет физического смысла. Электрическое поле характеризуется потенциалом и напряженностью поля, связанными соотношением E . Поэтому при рассмотрении свойств электрического поля нужно указывать, как изменяются в пространстве (а в общем случае, и во времени) эти величины. Снаружи равна нулю А напряженность поля. Но Е=0 А тогда, как видно из рис.3.10, A потенциал точек пространства, выше E 0 расположенных пластины А, совпадает с потенциалом пластины А, а В В Е=0 В 39 Рис.3.10 R потенциал точек, расположенных ниже пластины В – с потенциалом этой пластины. Выходит, что при надевании коробки соединяются металлическим проводником точки, имеющие различные потенциалы. Это приводит к такому перераспределению зарядов, при котором выравниваются потенциалы соединяемых точек пространства. Отметим, что фактической причиной, определяющей перераспределение зарядов, является краевой эффект. Здесь мы сталкиваемся с ситуацией, когда определенное обстоятельство (краевой эффект) может не учитываться при записи формул (формул емкости плоского конденсатора), но определяет всю качественную картину рассматриваемого явления. Итак, при описанном выше решении допущены две ошибки в выборе модели. Во-первых, допущена физическая ошибка, когда предполагалось о возможности пренебрежения краевым эффектом. Эту ошибку удалось бы выявить, если не была бы сделана вторая ошибка, заключающаяся в неадекватном использовании физического понятия «электрическое поле». Действительно, как видно из рис.3.10, напряженность поля вне конденсатора не может быть равна нулю во всех точках, так как должен быть непрерывный переход от А к В , . Вторая ошибка загнала рассуждения в тупик. Таким образом, разобранный пример показывает, что допущенные физические ошибки, сделанные при оценке существенности тех или иных явлений, могут быть выявлены и исправлены при последующих рассуждениях. Гораздо более опасны ошибки, связанные с вульгаризацией используемых физических понятий. Поэтому очень важно с самого начала при обучении решению задач следить за «чистотой» физических понятий, используя в рассуждениях только строго определенные физические характеристики рассматриваемой системы. В рассмотренном примере строго определены физические понятия напряженности и потенциала электрического поля. Другими словами, о свойствах электрического поля следует говорить на языке его физических характеристик. Для развития способности осуществлять эвристический подход к решению задач следует рассматривать как можно больше 40 различных физических моделей при решении каждой задачи. При этом важно учиться доказывать несостоятельность той или иной модели, опираясь на ее анализ на основе адекватных системе физических характеристик. Особенно полезно сравнение моделей, которые описываются на языке различных физических понятий. Именно здесь появляется возможность выявления неадекватных системе или вообще вульгаризированных понятий, использование которых приводит к неверным результатам. Построение разных моделей одного и того же явления, использующих различные физические понятия, возможно, например, при решении задач на разных уровнях методологии. Например, одну и ту же задачу из механики можно решать или используя законы динамики, или законы сохранения, или основывая рассуждения на методологических принципах физики. Во всех случаях успех дела определяется корректным использованием физических понятий, характеризующих свойства изучаемой системы. Решение задач на основе применения фундаментальных физических законов 4.1. Законы сохранения энергии и импульса. ущественное обстоятельство, связанное с уравнениями, выражающими физические законы сохранения, заключается в том, что эти уравнения представляют собой уравнения баланса сохраняющейся величины при определенном физическом процессе, причем для разных физических процессов эти уравнения могут иногда иметь одинаковый вид. Здесь физическое содержание конкретного явления вообще может быть скрыто и никак не проявляться в уравнении, отражающем физический закон сохранения. Например, уравнения закона сохранения импульса будут идентичными по виду в случаях, когда налетающая на шар пуля пробивает его насквозь и когда она отражается от шара. На практике это приводит к необходимости тщательного анализа 41 физического смысла получаемых решений и отбора тех из них, которые соответствуют именно рассматриваемому процессу. Здесь ярко проявляется высказанная Н.Бором идея о том, что физическая картина явления и его математическое описание дополнительны. Физика немыслима без математики и математических понятий, но не сводится к ним. Главное в физике – не формулы, а их интерпретация – понимание. Это диалектическое противоречие между физическим содержанием закона и его математической формулировкой наиболее отчетливо проявляется именно в законах сохранения. Именно здесь важно не допускать формализма в знаниях, ибо в данном случае такой формализм оказывает негативное влияние не только на понимание отдельных вопросов, но и на все вырабатываемое у школьника физическое мышление, сводя на нет практическую ценность полученных знаний. Адекватное понимание законов сохранения и умение пользоваться ими часто позволяет не только проще решить какуюлибо задачу из известного раздела физики, но и взглянуть на конкретную физическую ситуацию с более общих позиций и, что особенно важно, часто дает возможность найти ответ на конкретные вопросы, касающиеся тех явлений, для которых нам не известны описывающие их конкретные законы. Рассмотрим пример. Задача. Горизонтально летящая пуля массы m пробивает насквозь первоначально покоившийся шар массы М и вылетает со скоростью, вдвое меньшей первоначальной. Какая часть кинетической энергии пули превратилась во внутреннюю энергию? Обозначив скорость пули до столкновения с шаром через , а приобретаемую шаром скорость через V, записываем закон сохранения энергии для данного случая: 2 m 2 m MV 2 Q, 2 2 2 2 42 (4.1) где Q – приращение внутренней энергии системы, то есть выделяющееся при неупругом взаимодействии пули с шаром количество теплоты. Скорость V можно найти с помощью закона сохранения импульса. Уравнение этого закона в проекции на горизонтальное направление записывается в виде: m m 2 MV (4.2) Откуда V 1 m 2 M (4.3) Подставляя V из (4.3) в уравнение (4.1), получаем следующее выражение для Q: 1 m V (4.4) 2 M Составляя отношение Q к начальной кинетической энергии пули E0 m 2 2 , найдем Q 1 m 3 (4.5) M E0 4 Полученный результат требует исследования. На первый взгляд может показаться, что единственным ограничением является требование неотрицательности отношения Q E 0 , что дает условие m M 3 . Выберем отношение m M 2 . Тогда формула (4.5) дает для Q E 0 значение 1/4. Казалось бы все в порядке, поскольку Q E 0 получилось положительным и меньшим единицы. И тем не менее, этот результат не имеет смысла при приведенных в условии задачи данных. Действительно, посмотрим на формулу (4.3). Из нее следует, что при m M 2 , V =: пробитый пулей насквозь шар летит со скоростью, вдвое превышающей скорость пули 2 . Получилась явная физическая бессмыслица. Уже в процессе решения задачи после получения формулы (4.3) следовало обратить внимание на то, что пробив шар насквозь, пуля может иметь скорость 2 только при выполнении условия 2 > V, что сразу дает 43 m M1 (4.6) Только в совокупности с условием (4.6) формула (4.5) дает ответ на поставленный вопрос. Теперь ясно, что в зависимости от отношения масс m M во внутреннюю энергию может превратиться от половины (при т М) до трех четвертей (при m 0) первоначальной кинетической энергии. Теперь задумаемся над вопросом, имеет ли какой-нибудь смысл формула (4.5) при 1 m M 3. Если m = М, из (4.3) следует V = 2 – шар и пуля имеют одинаковую скорость, то есть пуля застревает в шаре. Это случай абсолютно неупругого удара. При выполнении строгого неравенства 1 m M 3 после столкновения шар летит впереди пули со скоростью V, определяемой формулой (4.3): 2 V 3 2 . При таком неупругом ударе во внутреннюю энергию переходит до половины первоначальной кинетической энергии. Наконец, если m M = 3, то, как видно из (4.4), Q = 0, то есть тепло вообще не выделяется: при ударе сохраняется механическая энергия. Это случай абсолютно упругого удара. Выше уже отмечалось, что, используя законы сохранения, очень многие физические задачи можно решить, не вникая в детали происходящих явлений. Часто бывает достаточно только «схватить суть» этих явлений и применить подходящие законы сохранения. В этом смысле весьма поучительна следующая задача. Задача. На неподвижное идеальное плоское зеркало массой m нормально к его поверхности падает плоская световая волна. Под действием силы светового давления зеркало приходит в движение. Определить конечную скорость зеркала и энергию отраженной от него волны, если энергия падающей волны равна Е 0 . Точное динамическое решение этой задачи сопряжено с большими трудностями, так как энергия отраженной от зеркала волны зависит от того, как движется зеркало, а закон движения зеркала определяется его взаимодействием со световой волной. Однако независимо от конкретного механизма взаимодействия электромагнитной волны с зеркалом должны выполняться законы 44 сохранения энергии и импульса, поскольку зеркало по условию является идеальным, а рассматриваемая система – зеркало и световая волна –замкнутой. Использование законов сохранения позволяет получить исчерпывающие ответы на поставленные в условии вопросы. Будем учитывать релятивистские эффекты, когда существенна зависимость массы тела от его скорости: m m0 1 2 c 2 . Энергия тела Е т связана с его массой соотношением: E т mc 2 , а энергия электромагнитного поля Е связана с его импульсом формулой p E c , где с – скорость света в вакууме. Обозначив энергию отраженной волны через Е 1 , запишем закон сохранения энергии в виде: 2 E 0 m0 c E1 m0 c 2 1 2 c 2 . Закон сохранения импульса записывается в следующем виде E0 m0 E . 1 2 2 c c 1 c (4.7) (4.8) Исключая Е 1 , из (4.7) 'л (4.8), находим 2 2E0 1 1 2 m0c c . 2 2E0 1 m c 2 1 0 (4.9) Теперь для энергии отраженной волны Е 1 имеем E1 1 E0 . 2 E0 (4.10) m0 c 2 Видно что энергия отраженной волны не может превышать 45 половины энергии покоя зеркала, ибо, пренебрегая единицей в знаменателе (4.10), мы только увеличиваем правую часть: E1 m0 c 2 . 2 E0 2 E0 m0 c2 При E 0 m0 c 2 практически вся энергия волны передается зеркалу: при этом с, как видно из (4.9). В другом предельном случае E 0 m0 c 2 из (4.9) находим c 2 E0 m0 c 2 c . Из (4.10) при этом следует E 0 E1 2 E0 E 1 1 1 . E0 E 0 m0 c 2 В этом случае волна почти целиком отражается от зеркала, передавая ему ничтожную часть своей энергии. Подчеркнем, что все эти детали относительно результата взаимодействия волны с зеркалом выяснены без рассмотрения физического механизма взаимодействия электромагнитной волны с веществом зеркала. 4.2. Степень детализации физической модели. Как уже отмечалось выше и как видно из последних рассмотренных примеров, использование законов сохранения при решении физических задач часто позволяет не вникать во все детали происходящих процессов – физическая модель явления не требует излишней детализации. Однако, уверовав во всемогущество фундаментальных законов физики, неверно было бы думать, что их можно эффективно применять без анализа сути происходящих явлений. Например, в задаче о шаре, пробиваемом пулей, действительно нет необходимости выяснять, например, как меняется действующая на шар или пулю сила в процессе пронизывания шара пулей. Такая информация нам потребовалась бы при динамическом решении этой задачи, то есть решении на 46 первом уровне. Однако кое-какая информация о физической картине явления нам все-таки потребовалась: для отбора нужных решений пришлось в явном виде использовать условие, что скорость пробитого пулей шара меньше скорости этой пули. Во втором рассмотренном примере нам не пришлось использовать ничего, кроме самих законов сохранения энергии и импульса. Так получилось потому, что в самом условии задачи была оговорена идеальность зеркала, что исключало необходимость рассмотрения каких-либо физических процессов, происходящих в самом зеркале. В реальном зеркале, например, электромагнитное излучение могло бы проникать в само зеркало, хотя бы на небольшую глубину . Умение почувствовать необходимую степень детализации физической модели явления при использовании фундаментальных законов сохранения как раз и представляет собой то главное, чему следует научиться для уверенного решения задач таким методом. Покажем, как варьируется необходимая степень детализации физической модели явления при получении ответов на разные вопросы, относящиеся к одному и тому же процессу. Задача. Найти длительность упругого удара при столкновении стержня с неподвижной недеформируемой стеной, на которую он налетает торцом (рис.4.1). Скорость стержня много меньше скорости распространения звука в нем. Рис.4.1 ut =0 Столкновение реальных тел всегда занимает конечный промежуток времени . Если бы изменение импульса тела при столкновении происходило мгновенно, то сила взаимодействия тел при ударе была бесконечно большой, чего, естественно, не бывает. Рассмотрим подробнее, что происходит, с движущимся со скоростью стержнем, который торцом налетает на неподвижную 47 стенку. При столкновении торцевого сечения стержня со стенкой скорости лежащих в этом сечении частиц стержня мгновенно обращаются в нуль. Затем останавливаются частицы расположенные в соседнем сечении и т.д. Часть стержня, частицы которого к данному моменту времени уже остановились, находится в деформированном состоянии. При указанном в задаче условии << u (где и – скорость распространения звука в веществе стержня) в этот момент времени деформированной окажется та часть стержня, до которой успела дойти волна упругой деформации, распространяющаяся по стержню от места контакта с преградой. Считая, что стержень пришел в соприкосновение со стенкой в момент времени t 0 = 0, получим, что длина l деформированной части стержня l = ut. Эта часть стержня заштрихована на рис.4.2а. Скорость всех частиц стержня в заштрихованной части равна нулю, в незаштрихованной – по-прежнему равна , граница заштрихованной части движется влево со скоростью и . В тот момент времени, когда волна упругой деформации достигает левого свободного конца стержня, весь стержень окажется деформированным, а скорость всех его частиц обратится в нуль (рис.4,2б). Кинетическая энергия налетающего стержня при этом целиком превратится в потенциальную энергию упругой деформации. Теперь начинается второй этап столкновения, во время которого стержень возвращается в недеформированное 48 состояние. Этот процесс начинается у свободного конца стержня и, распространяясь по стержню со скоростью звука, приближается к преграде. На рис.4.2в стержень показан в тот момент, когда незаштрихованная часть уже недеформирована и все ее частицы имеют скорость , направленную влево. Граница заштрихованной области движется со скоростью и вправо. Конец столкновения стержня с преградой наступает в тот момент, когда весь стержень окажется недеформированным. При этом все его частицы приобретут скорость , направленную противоположно скорости стержня до удара. В этот момент правый конец стержня отделяется от преграды и весь стержень движется влево со скоростью . Энергия упругой деформации стержня при этом целиком переходит обратно в кинетическую энергию поступательного движения стержня. Из изложенного ясно, что длительность упругого удара в рассматриваемом случае равна времени прохождения фронта волны упругой деформации по стержню туда и обратно: 2L u , (4.11) где L – длина стержня. Итак, для того, чтобы связать длительность удара с физическими параметрами стержня, потребовалось рассмотреть довольно подробную физическую картину происходящих при столкновении явлений. Однако пока что ответ имеет довольно низкую цену, ибо из приведенных рассуждений не видна действительная граница применимости полученного результата (4.2). Например, скорость звука в стали u = 5103 м/с, при = 100 м/с отношение u 0,02 1. Будет ли ответ справедлив для стального стержня при такой скорости? Чтобы ответить на этот вопрос, придется подробнее рассмотреть упругие свойства стержня. Рассмотрим стержень в момент времени t, соответствующий рис.4.2а. Длина l деформированной части стержня при этом равна l = ut. По отношению к недеформированному состоянию эта часть укоротилась на величину l = t, равную расстоянию, пройденному 49 к этому моменту еще недеформированной частью стержня. На основании закона Гука для относительной деформации l l имеем l 1 F , l u E S (4.12) где S – площадь поперечного сечения стержня, а F – сила, действующая на стержень со стороны стенки. Величина относительной деформации l l u одинакова во все моменты времени, пока стержень находится в контакте с преградой, поэтому сила F постоянна. Найти величину этой силы можно, воспользовавшись либо законом сохранения импульса, либо законом сохранения анергии. Начнем с закона сохранения импульса. До контакта с перегородкой рассматриваемая часть стержня имела импульс, равный Su t , а в момент времени t ее импульс равен нулю. Поэтому Su t F t . (4.13) Подставляя отсюда F Su в формулу (4.12), находим u E , (4.14) после чего с помощью (4.13) получаем F S E . (4.15) Если исходить из энергетических соображений, то следует приравнять потенциальную энергию деформированной части стержня, равную k l 2 2 , где k – коэффициент пропорциональности между силой F и деформацией l, кинетической энергии, которой обладала эта часть стержня до остановки Su t 2 2 . Поскольку из (4.12) следует k F ES ES , l l ut а l = t, то закон сохранения энергии приводит к равенству 50 ES ( t ) 2 2 S ut . ut 2 2 (4.16) Отсюда опять получаем u E , что после подстановки в (4.12) приводит к формуле (4.15) для F. Отметим, что проведенный анализ позволяет выразить время удара через упругую характеристику стержня – модуль Юнга Е. Подставляя (4.14) в (4.11), имеем 2L E (4.17) Приведенные в решении задачи соображения об упругой деформации стержня, очевидно, будут справедливыми, если возникающее в стержне при его деформации механическое напряжение F S не превысит предела упругости материала, из которого изготовлен стержень. Для стали, например, предел упругости F S max 4 10 8 Па . Поэтому максимальная скорость стального стержня, при которой его соударение с преградой еще можно считать упругим, оказывается согласно формуле (4.17) равной всего 10 м/с. Таким образом, при = 100 м/с приведенное решение уже не имеет смысла, хотя u 1 . Разобранный пример наглядно иллюстрирует возможность разной степени детализации физической модели явления при необходимости получить ответы на различные вопросы. При этом выявление границ применимости полученного результата всегда требует более тщательного анализа, чем простое получение результата. 4.3. Законы сохранения при рассмотрении тепловых и электромагнитных явлений. 51 Примеры, рассмотренные в первом параграфе данной главы, уже относились не к чисто механическим явлениям. Однако в первой задаче теплопередача как таковая не играла существенной роли, поскольку существенным был только сам факт превращения кинетической энергии пули во внутреннюю энергию при взаимодействии с шаром. Во второй задаче электромагнитная сущность световой волны была выхолощена уже в условии задачи – все, что требовалось, это только связь между энергией и импульсом такой волны. Однако во многих явлениях приходится учитывать специфику происходящих немеханических процессов. Закон сохранения энергии лежит в основе термодинамических методов анализа тепловых процессов. Здесь особенно впечатляющим является почти полное отсутствие детализации физической модели явления. Рассмотрим пример. Задача. Стационарный поток идеального газа протекает через спиральную трубку (змеевик). На входе змеевика поддерживается постоянное давление р 1 и постоянная температура Т 1 . На выходе поддерживается постоянное давление p 2 < p 1 и измеряется температура Т 2 . Какая работа совершается при прохождении через змеевик одного моля газа? Требуется определить работу, которую совершают силы, действующие на проходящий через змеевик газ со стороны тех устройств, которые заставляют газ двигаться по трубе. Реальная конструкция этих устройств совершенно не существенна. Будем рассуждать следующим образом. Рассмотрим газ, заключенный между входным S 1 и выходным S 2 сечениями змеевика (рис.4.3). Вследствие стационарности потока масса этого газа не меняется со временем – одна и та же масса газа m проходит за время t через входное и выходное сечение змеевика. Пусть объем, занимаемый массой m на входе змеевика при давлении р 1 и температуре Т 1 равен V 1 , а объем на выходе змеевика равен V 2 . При прохождении массы m через входное сечение газ, находившийся между сечениями S 1 и S 2 , передвинется в новое 52 S 1 m S2 p1 p2 m Рис.4.3 положение: идущая за ним порция газа действовала на него с силой F 1 = p 1 S 1 , а идущий впереди газ оказывал сопротивление F 2 = p 2 S 2 . Поэтому работа внешних сил над газом, находившимся сначала между сечениями S 1 и S 2 , дается выражением A p1 V1 p 2 V2 . (4.18) При прохождении через змеевик одного моля газа справедливо p1 V1 RT1 , p 2 V2 RT2 , поэтому для работы А получаем A = R (T 1 – T 2 ) (4.19) Формально задача решена. Если Т 1 = Т 2 , то работы не совершается; при Т 1 > Т 2 работа А > 0, в этом случае внешние силы «проталкивают» газ через змеевик. Наконец, при Т 1 < T 2 работа А < 0 – газ сам совершает положительную работу над внешними телами. От чего же зависит значение температуры на выходе змеевика? Ответить на этот вопрос можно, рассмотрев теплообмен протекающего по змеевику газа с окружающей средой и воспользовавшись первым законом термодинамики. Пусть теплообмен вообще отсутствует – змеевик адиабатически изолирован от окружающей среды. С помощью первого закона термодинамики Q +A = U (4.20) 53 в данном случае получаем A = U, так как Q = 0. Внутренняя энергия U идеального газа пропорциональна абсолютной температуре, поэтому U = U 2 – U 1 = C (T 2 – T 1 ), (4.21) где С – молярная теплоемкость при постоянном объеме. Подставляя (4.19) и (4.21) в уравнение (4.20), получим при Q = 0 R (T 1 – T 2 ) = C (T 2 – T 1 ) (4.22) Поскольку С > 0, то отсюда немедленно следует Т 1 = Т 2 . Итак, в отсутствии теплообмена, то есть при адиабатическом прохождении газа через змеевик, из (4.19) следует, что А = 0. Теперь не представляет труда убедиться, что при Q > 0 (газ получает тепло) А < 0 – совершенная над газом работа отрицательна. Действительно, подставляя в (4.20) выражения (4.19) и (4.21), получаем: Q = (C + R) (T 2 – T 1 ) (4.23) Поскольку (C + R) > 0, то знак Т = Т 2 – Т 1 совпадает со знаком Q. При Q > 0 змеевик подобен тепловой машине – газ сам совершает работу над внешними телами. Наконец при Q < 0 (газ отдает тепло) Т 2 < Т 1 и совершаемая над газом работа положительна: А > 0. Полученный результат может показаться странным. Легко придумать такой опыт, в котором работа над газом совершается (А > 0), а теплообмен с окружающей средой отсутствует (Q = 0). Так будет, например, при прокачивании компрессором газа через змеевик в вакуум, если теплоизолировать змеевик от окружающей среды. Однако ничего странного нет. Дело в том, что при использовании первого закона термодинамики в виде (4.20) считается, что в рассматриваемых процессах не происходит изменения механической энергии системы. Между тем, на выходе змеевика в вакуум возникает макроскопический направленный поток, кинетическую энергию которого необходимо учитывать в расчетах. Строго говоря, уже и в приведенной задаче следовало учитывать кинетическую энергию направленных потоков газа на 54 входе и выходе змеевика. Поэтому приведенное решение справедливо только при условии, что эта энергия мала по сравнению с внутренней энергией газа. В этом смысле более реалистична такая задача. Задача. Какую скорость имеет струя газа, вырывающаяся из небольшого отверстия в стенке баллона со сжатым газом? Температура и давление газа в баллоне имеют значения Т и р. Истечение газа можно рассматривать как макроскопический поток, если размер отверстия существенно превышает длину свободного пробега молекул в баллоне. С другой стороны, отверстие не должно быть слишком большим, чтобы процесс истечения газа можно было считать стационарным. Все рассуждения можно провести так же, как и при решении предыдущей задачи. При учете кинетической энергии Е к потока газа уравнение закона сохранения энергии записывается в виде Q + A = U + E к (4.24) При достаточно быстром истечении газа из отверстия процесс, происходящий с выделенной частью газа, можно приближенно считать адиабатическим: Q = 0. Выражения для А и U при прохождении молей газа аналогично (4.19) и (4.21) имеют вид (4.25) А = R (T 1 – T 2 ), U = C (T 2 – T 1 ) (4.25) Наконец, изменение кинетической энергии Е к равно 1 E к 2 2 12 , 2 где – молярная масса газа, 1 и 2 – скорости струи газа в рассматриваемых сечениях 1 и 2. Теперь уравнение (4.24) переписывается следующим образом C R T2 T1 1 2 2 12 0 2 (4.26) Сечения 1 и 2 в струе газа были выбраны произвольно. Поэтому из (4.26) следует, что величина (C R) T 2 2 имеет 55 одно и то же значение вдоль всей струи. Поскольку внутри баллона, где струя зарождается, скорость направленного движения практически равна нулю, то 1 (C R) T (C R) T1 1 2 . 2 Видно, что для определения скорости струи 1 нужно знать температуру Т 1 газа в струе. Ее можно найти, рассматривая уравнение адиабатического процесса. Однако для оценки 1 можно положить Т 1 = 0, поскольку при расширении газа в вакуум давление газа в струе падает до нуля и, следовательно, должна приближаться к нулю и его температура: вых 2(C R) T . Разобранные примеры иллюстрируют использование закона сохранения энергии при решении задач о тепловых процессах. Весьма эффективным является использование этого закона и при изучении электромагнитных явлений. Здесь особое внимание следует обратить на ситуации, когда действие электрического тока не сводится только к выделению теплоты, а совершается механическая работа (электромотор), происходят химические изменения в системе (зарядка аккумулятора) и т.д. Рассмотрим пример. Задача. Электромотор, якорь которого имеет сопротивление R, включен в сеть постоянного тока с напряжением U. При этом груз Р поднимается вверх со скоростью посредством невесомой нити, намотанной на ось мотора. С какой скоростью будет опускаться этот же груз, если во внешней цепи произойдет замыкание, в результате которого обмотка якоря окажется закороченной? Якорь электромотора находится в магнитном поле, создаваемом магнитом. Трением в подшипниках пренебречь. Все решение этой задачи сводится к применению закона сохранения энергии в двух реализующихся ситуациях – подъему и спуску груза. С подъемом дело обстоит довольно просто: потребляемая от сети мощность, равная U, идет на нагревание 56 обмотки якоря и подъем груза. Обозначив развиваемую мотором механическую мощность через N м , имеем N м = PU, поскольку при равномерном подъеме груза сила натяжения нити равна Р. В результате закон сохранения энергии приводит к равенству: U = 2R + P, (4.27) откуда для силы тока в цепи имеем U U 2 P 2 2R R 2R (4.28) Два значения тока получилось потому, что любую механическую мощность N м = P, меньшую U 2 4 R , можно, как следует из (4.27), получить при двух значениях тока . Данных условия задачи недостаточно для того, чтобы отдать предпочтение одному из двух возможных значений. Однако, если предположить, что мотор работает в режиме, обеспечивающем более высокий коэффициент полезного действия, то из корней (4.28) следует выбрать меньший. Теперь рассмотрим процессы, происходящие при спуске груза. Прежде всего следует понять, почему даже в отсутствии трения в подшипниках устанавливается какая-то определенная скорость спуска. Ведь если просто отключить мотор от сети, то груз будет раскручивать якорь и опускаться равноускоренно. Дело в том, что в рассматриваемом случае электрическая цепь оказывается замкнутой, но так, что напряжение на мотор не подается. В результате при опускании груза мотор работает как замкнутый накоротко генератор постоянного тока. При вращении якоря в магнитном поле, создаваемом постоянным магнитом, в его обмотке идет ток. Поэтому скорость опускания груза будет увеличиваться только до тех пор, пока действующий на якорь мотора механический момент со стороны груза не будет уравновешен моментом сил, действующих на якорь с током со стороны магнитного поля индуктора. Момент механических сил, действующих на якорь, одинаков при подъеме и спуске, так как и подъем, и спуск происходят равномерно, а груз один и тот же. Магнитное поле индуктора 57 постоянно по условию задачи, поэтому и ток в цепи якоря будет одинаковым при установившихся подъеме и спуске – сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, пропорциональна току. По существу, выяснение того обстоятельства, что ток в якоре одинаков и при подъеме, и при спуске груза, – это единственная детализация физической модели рассматриваемых процессов, которая необходима при решении этой задачи. При опускании груза убыль его потенциальной энергии равна количеству теплоты, выделяющейся в обмотке якоря при прохождении тока, поэтому P 1 = 2R (4.29) С учетом (4.29) равенство (4.27) принимает вид U = P ( + 1 ) (4.30) откуда, используя выражение для (4.28), получаем U2 4PR 1 1 1 2 2 PR U (4.31) Интересно отметить, что первое слагаемое в правой части (4.31) представляет собой скорость 0 холостого хода мотора, то есть скорость подъема нити без груза: U2 4 PR 1 1 0 2 PR U (4.32) Убедиться в этом можно следующим образом. ЭДС индукции , возникающая в обмотке якоря мотора, пропорциональна скорости вращения якоря, то есть скорости движения нити , намотанной на ось мотора: = k (4.33) Используя выражение (4.33), запишем уравнение закона Ома для трех режимов работы мотора – при подъеме груза, при спуске груза с короткозамкнутым якорем и на холостом ходу: U = k = R, k 1 = R, U – k 0 = 0. Вычитая второе и третье уравнение из первого, найдем 58 + 1 = 0 (4.34) Сравнивая формулы (4.31) и (4.34), убеждаемся в справедливости равенства (4.32). Наряду с законом сохранения энергии и импульса (последний может эффективно использоваться при рассмотрении движения заряженных частиц в электромагнитном поле), при изучении электромагнитных явлений и процессов весьма полезным оказывается закон сохранения заряда. Во многих задачах он используется неявно, однако именно неявное целенаправленное его использование часто позволяет упростить решение задачи. Рассмотрим пример. Задача. Собрана электрическая цепь, схема которой показана на рис.4.4. При каких значениях параметров элементов цепи переключение ключа из положения А в положение В не приведет к изменению напряжения на конденсаторе С 1 ? Искомое условие можно получить, приравнивая напряжения на конденсаторах при обоих положениях ключа. Если ключ A В находится в положении В, то расчет напряжения U 1 на конденсаторе С 1 С1 выполняется элементарно: соединенные параллельно С3 С2 и С3 конденсаторы С2 подключаются последовательно конденсатору С 1 . Более сложно Рис.4.4 дело обстоит, когда ключ находится в положении А. Прежде всего следует написать уравнения, связывающие напряжения на конденсаторах U 1 , U 2 и U 3 с ЭДС источников. Получится два независимых уравнения. Третье независимое уравнение можно получить с помощью закона сохранения электрического заряда, который в рассматриваемом случае сводится к условию электронейтральности соединенных между собой обкладок конденсаторов, не имеющих 1 2 59 контакта с полюсами источников. Эта электронейтральная система обкладок обведена штриховой линией на рис.4.4. При решении задачи указанным способом придется выполнить в целом простые, но довольно громоздкие алгебраические преобразования. Однако задачу можно решить, не проводя деятельного расчета, изменив рассуждения таким образом, чтобы закон сохранения электрического заряда фигурировал бы не только при составлении одного из трех необходимых уравнений, а составлял основу всех делаемых утверждений. Действительно, предположим, что напряжение U 1 на конденсаторе С 1 не меняется при переключении ключа из А в В. В этом случае при обоих положениях ключа справедливо равенство: U1 + U2 = 1 + 2 (4.35) Из (4.35) следует, что при переключении не меняется и напряжение U 2 на втором конденсаторе, а значит, не меняются и заряды на обоих конденсаторах. Но тогда не должен меняться и заряд третьего конденсатора, так как алгебраическая сумма зарядов на трех соединенных между собой обкладках конденсатором равна нулю. Следовательно, не изменится напряжение U 3 на третьем конденсаторе. Но после подключения ключа U 3 = U 2 , так как теперь конденсаторы С 2 и С 3 соединены параллельно. Значит, и до переключения U 3 = U 2 , а это возможно только, если потенциалы точек А и В одинаковы, то есть если 2 = 0. Законы сохранения в физике являются следствием определенной симметрии мира физических явлений. Однако конкретное применение методологического принципа симметрии и применение законов сохранения в явном виде обладают своими специфическими чертами, что позволяет, вообще говоря, различать подходы к решению физической задачи на каждом из этих уровней. Рассуждения на уровне методологического принципа симметрии обладают большей общностью, ибо позволяют использовать определенную физическую симметрию в том случае, когда учащимся неизвестна сохраняющаяся благодаря этой симметрии физическая величина. Кроме того, использование принципа 60 симметрии, как правило, позволяет еще больше упростить или свести на нет необходимые математические выкладки. Здесь происходит дальнейшая редукция математического аппарата. 61 Использование методологических принципов физики при решении задач еально существующее материальное единство мира, которое в физике проявляется в общности исходных структурных единиц материи на уровне микрочастиц и в небольшом числе фундаментальных взаимодействий, теоретически обобщается на основе принципов, регулирующих дальнейшее развитие науки и обучение ее основам. Учащихся необходимо учить применять общий подход, основанный на методологических принципах, для достижения достоверных результатов при решении задач из любого раздела физики. 5.1. Принцип симметрии. Симметрию (дословно – соразмерность) древнегреческие философы рассматривали как частный случай гармонии – согласования частей в рамках единого целого. В рамках физической методологии симметрия – вид соразмерности законов. В более общем смысле наука определяет симметрию: с одной стороны – как вид отношений между двумя объектами, которые характеризуются как моментами тождества, так и моментами различия; с другой стороны – как закон строения структурных объектов, точнее, как группы допустимых преобразований элементов, сохраняющих качественную целостность изучаемых систем. В физике принято выделять две формы симметрии и асимметрии – геометрическую и динамическую. К ним Е.Вигнер добавляет в качестве третьей формы симметрию перекрестных отношений. Симметрии, выражающие свойства пространства и времени, относят к геометрической форме симметрии. Примерами геометрический симметрий являются однородность пространства и времени, изотропность пространства, эквивалентность 60 инерциальных систем отсчета. Симметрии, непосредственно не связанные со свойствами пространства и времени и выражающие свойства определенных физических взаимодействий, относят к динамической форме симметрии. Примером динамической симметрии является симметрия электрического заряда. Любая геометрическая симметрия связана с движением и взаимодействием материальных объектов, а любая динамическая симметрия – со свойствами пространства и времени. Между уровнями физической методологии существует взаимосвязь. В содержание каждого физического закона сохранения входит та или иная симметрия. Законы сохранения связаны не только с геометрическими симметриями, но и с динамическими. Симметрия пространства и времени связана с фундаментальными законами сохранения: закон сохранения энергии – с однородностью времени, закон сохранения импульса – с однородностью пространства, закон сохранения момента импульса – с изотропностью пространства. Высшим проявлением свойств симметрии пространства и времени является принцип относительности – эквивалентность всех инерциальных систем отсчета. По ряду причин методического характера на этот принцип стоит обратить особое внимание, что и будет сделано в отдельном параграфе. Переход с одной ступени на другую, более высокую – от явлений к законам, от законов к симметриям или принципам инвариантности – характеризует степень нашего знания об окружающем мире. Это в свою очередь оказывает решающее влияние на разработку методов решения исследовательских задач как теоретических, так и прикладных, среди которых важная роль принадлежит задачам, перешедшим в разряд учебных. Использование подмеченной симметрии часто позволяет сразу, из общих соображений получить правильную качественную, а иногда и количественную картину рассматриваемого в задаче явления. При этом важно, чтобы учащиеся не отделывались общими словами, делая, например, какие-либо утверждения «из соображений симметрии», а действительно демонстрировали инвариантность определенных характеристик системы 61 относительно симметрии. пример. преобразований, допускаемых соображениями Приведем Задача. Горизонтальная подставка с лежащей на ней монетой движется поступательно в горизонтальной плоскости по окружности радиуса r с угловой скоростью . Коэффициент трения равен . Каким будет установившееся движение монеты? В горизонтальной плоскости отсутствуют какие-либо физически выделенные направления. Поэтому, какими бы ни были начальные условия, при установившемся движении траектория монеты будет представлять собой окружность в лабораторной системе отсчета. От начальных условий может зависеть только положение центра этой окружности. Любая другая мыслимая траектория таким свойством – отсутствием выделенных направлений – не обладает. Итак, из соображений симметрии можно сделать вывод, что установившееся движение монеты в лабораторной системе отсчета происходит по окружности с той же угловой скоростью , с которой движется подставка. Соображения симметрии позволяют также сделать вывод, что и относительно подставки монета, если она проскальзывает, также движется по окружности. Сделанные выводы не совсем очевидны. Действительно, сразу возникает вопрос, почему установившееся движение монеты не зависит от начальных условий? Дело в том, что в отсутствии трения движение монеты определилось бы исключительно начальными условиями. Покоившаяся в начальный момент монета продолжала бы покоиться и в последующие времена, несмотря на движение подставки (в лабораторной инерциальной системе отсвета). Монета, имевшая в начальный момент скорость 0 , продолжала бы двигаться равномерно и прямолинейно. При наличии трения, то есть диссипации механической энергии, все происходит не так. Трение разрушает упорядоченное механическое движение, поэтому если бы перестала действовать внешняя сила, приводящая подставку в движение, то монета и подставка рано или поздно остановились бы. Но внешняя сила приводит подставку в такое движение, когда в горизонтальной 62 плоскости не существует выделенных направлений. Другими словами, в системе не существует причины, вызывающей движение вдоль выделенных направлений и наоборот, есть причина (трение), разрушающая такое движение, если оно по каким-либо причинам имелось в начальный момент. Таким образом, в установившемся режиме движение монеты определяется исключительно силой трения о подставку, что приводит к описанной выше картине. Теперь, когда мы представляем характер движения монеты в целом, остается только установить количественные соотношения между его характеристиками, в частности выразить радиусы окружностей, вычерчиваемых монетой в той или иной системах отсчета, через приведенные в условии задачи данные. Рассмотрим сначала случай, когда монета движется вместе с подставкой. Так как при поступательном движении подставки все ее точки движутся по одинаковым окружностям радиуса r, то и монета движется по такой же окружности с ускорением 2r, направленным к центру окружности. Так как это ускорение сообщается монете силой трения покоя, которая не может превышать значения mg, то установившееся движение монеты будет происходить вместе с подставкой при условии 2r g, то есть при 2r 1. g (5.1) При значениях этого безразмерного параметра (5.1), превосходящих единицу, монета будет проскальзывать относительно подставки. В этом случае центростремительное ускорение монете сообщает сила трения скольжения, направленная в сторону, противоположную вектору скорости монеты относительно подставки. В лабораторной системе отсчета при движении по окружности сила перпендикулярна скорости V монеты в этой системе отсчета. Из сказанного следует, что вектора V и взаимно перпендикулярны. Скорость V монеты в лабораторной системе отсчета равна векторной сумме скорости монеты относительно подставки и скорости u той точки подставки, в которой в данный момент находится монета 63 (разумеется, скорости всех точек подставки при ее поступательном движении одинаковы): V u (5.2) Соотношение (5.2) графически проиллюстрировано на рис.5.1, где учтена указанная ортогональность векторов V и . Видно, что при проскальзывании монеты ее скорость V в лабораторной системе от счета всегда меньше скорости u подставки u = r. По условию задачи вектор u поворачивается с угловой скоростью , поэтому и весь треугольник скоростей на рис.5.1 вращается как целое, так что взаимное расположение векторов остается неизменным. Это означает, что угол фактически характеризует V отставание по фазе вектора V Рис.5.1 скорости монеты от вектора u скорости подставки. Для определения радиуса R круговой траектории монеты в лабораторной системе отсчета воспользуемся вторым законом Ньютона: сила трения скольжения mg равна произведению массы m монеты на ускорение 2R: mg = m2R. Отсюда g R 2 2r (при 1) g (5.3) Отметим, что при проскальзывании монеты радиус R не зависит от радиуса r окружностей, по которым движутся точки подставки. Однако R, как видно из (5.3), не превосходит r и становится равным ему только при предельном значении параметра 2 r g 1 , когда проскальзывание прекращается. Легко найти радиус окружности, по которой монета движется относительно подставки. Действительно, все фигурирующие в формуле (5.2) скорости связаны с радиусами соответствующих окружностей соотношениями: 64 V = R, = , u = r (5.4) Поскольку треугольник скоростей на рис.5.1 прямоугольный, то с помощью теоремы Пифагора и соотношений (5.4) получим r2 = 2 + R2, откуда r 2 R2 (5.5) Подставляя сюда значение R из (5.3), имеем g r 1 2 r 2 (5.6) Видно, что < r. Соотношения между и R могут быть различными. При быстром движении подставки, когда 2 r g 1, монета в лабораторной системе отсчета практически стоит на месте R >> r. При этом подставка описывает под монетой круги радиуса r, так что r. При медленном движении подставки, когда 2 r g 1, монета почти не отстает от подставки, описывая в лабораторной системе отсчета круги почти такого же радиуса R r. При этом = 0. На рис.5.2 показаны траектория монеты в лабораторной системе отсчета (окружность R радиуса R) и след, который монета вычерчивает на подставке (окружность радиуса ) для случая, когда R > . Если монета в лабораторной системе отсчета движется против часовой стрелки, то относительно подставки ее V движение будет происходить по часовой стрелке. Чтобы убедиться Рис.5.2 в этом, достаточно вспомнить, что сила трения, действующая на монету (а следовательно, и ее ускорение в инерциальной системе отсчета) направлена в сторону, противоположную скорости монеты относительно подставки. 65 Последний вопрос, который заслуживает внимания в связи с разобранной задачей, – это вопрос, почему установившееся движение монеты происходит с той же угловой скоростью, что и движение подставки. Очевидно, что здесь проявляется однородность времени: при установившемся движении соотношение между характеристиками движения подставки и монеты должно быть одинаковым в любой момент времени. И поскольку движение подставки периодично с частотой , то таким же будет и движение монеты. Теперь задумаемся над вопросом, почему приведенные выше соображения не будут справедливыми, если горизонтальная подставка не движется поступательно в горизонтальной плоскости по окружности радиуса r с угловой скоростью , а вращается с угловой скоростью вокруг некоторой вертикальной оси. Очевидно, что в этом случае нарушается однородность системы в горизонтальной плоскости: линейные скорости разных точек подставки будут различными и монета в разных точках подставки окажется не в одинаковых условиях. При этом уже бессмысленно использовать соображения симметрии. Рассмотрим использование принципа симметрии на примере симметрии, связанной с обращением времени. Обращение времени – математическая операция замены знака времени в уравнениях движения. Объективно реальное время необратимо, а поэтому операция замены знака времени возможна как методический прием, облегчающий решение физической задачи. Уравнения динамики консервативных систем не меняются при замене t – t. Отсюда следует, что движение в потенциальном поле обратимо: при обращении скорости движения в какой-либо момент времени ( ) тело движется вспять по той же самой траектории, причем на прохождение всех ее участков затрачивается то же самое время, что и при движении в «прямом» направлении, а в соответствующих точках траектории при движении в «прямом» и «обратном» направлениях модули скорости одинаковы. С указанным свойством обратимости механического движения учащиеся начинают знакомиться в 7 классе на примере маятника Максвелла. Следует только слегка 66 изменить дидактическую направленность этой демонстрации, чтобы оттенить именно свойство обратимости механического движения в целом, а не только взаимные превращения кинетической и потенциальной энергии. Далее в 9 классе обратимость механического движения наглядно демонстрируется при изучении движения тела, брошенного вертикально вверх в поле тяжести Земли, при изучении механических колебаний и т.д. По существу учащиеся оказываются знакомыми с этим свойством механического движения и готовы применять его при решении задач. Приведем пример. Задача. Тело падает без начальной скорости с высоты h. Где следует поместить «зеркало» и как его расположить, чтобы, упруго отразившись, тело проделало наибольший путь по горизонтали (рис.5.3)? h Рис.5.3 Прямое решение этой задачи подразумевает исследование на экстремум функции двух переменных: «зеркало» можно расположить на произвольной высоте, например, меньшей h, и ориентировать его под произвольным углом в интервале от 0 до 2 . Необходимые математические преобразования оказываются весьма громоздкими. Между тем можно предложить изящное и простое решение этой задачи, основанное на использовании рассмотренного выше свойства обратимости механического движения, которое вообще не требует никаких математических выкладок. 67 Решим вспомогательную задачу: под каким углом нужно бросить тело с начальной скоростью 0 2 gh , чтобы дальность его полета по горизонтали была максимальной? Ответ прост: нужно бросить под углом 4 к горизонту, тело улетит на расстояние s 0 2 g 2h . В точке падения тела на землю устанавливаем «зеркало» так, чтобы скорость тела после отражения оказалась направленной вертикально вверх. Тело поднимется на высоту h. Полученная траектория и является оптимальной для условия исходной задачи. Действительно, пусть при расположении «зеркала» в какойлибо точке тело улетит по горизонтали дальше, чем в только что рассмотренном случае. На землю тело упадет при этом с той же скоростью 0 2 gh . Тогда, обратив эту траекторию, можно заставить тело проделать по горизонтали больший путь при той же начальной скорости, чем тот, который найден при решении вспомогательной задачи. Но это невозможно, так как найденный во вспомогательной задаче путь является наибольшим из возможных и реализуется он при движении по единственной найденной там траектории. В рассмотренных задачах использовалась глобальная физическая симметрия – симметрия пространства и времени, которая приводила к определенной симметрии физической системы. Определенная симметрия физической системы может обусловливаться и не столь универсальными причинами. И в этом случае она может существенно помочь при решении задач. Рассмотрим пример. Задача. Имеется n клемм, каждая из которых соединена со всеми остальными клеммами одинаковыми проводниками сопротивлением R. Найти сопротивление между любыми двумя клеммами. Из симметрии схемы ясно, что сопротивление между любыми двумя клеммами одинаково. Рассмотрим вспомогательную схему, показанную на рис.5.4. Две клеммы А и В соединены друг с другом проводником 68 R R R R R сопротивления R, а остальные п – 2 клемм соединены с клеммами А и В такими же проводниками сопротивлением R, но не соединены друг с другом. В данной схеме между клеммами А и В параллельно включены сопротивление R и n – 2 сопротивлений по 2R. Полное сопротивление R AB между клеммами А и В вычисляется по формуле 1 1 n2 RAB R 2R откуда RAB 2 R n (5.7) Из симметрии схемы, показанной на рис.5.4, видно, что если между клеммами А и В создать некоторую разность потенциалов, то потенциалы остальных n – 2 клемм будут равны между собой. Соединим теперь проводниками сопротивлением R каждую из п – 2 клемм с остальными n – 3 клеммами, не трогая клемм А и В. В этих проводниках тока не будет и, следовательно, сопротивление между клеммами А и В при этом не изменится. Но получившаяся в результате такого соединения схема совпадает с той, о которой говорится в условии задачи. Итак, ответ найден: искомое сопротивление между любыми двумя клеммами дается выражением (5.7). Соображения симметрии позволили решить задачу предельно просто. Надо было только уловить неочевидную, на первый взгляд, симметрию схемы. Она заключается в эквивалентности всех остальных клемм, кроме выбранных клемм А и В, сопротивление между которыми рассчитывается, и в независимости результата от того, какие две клеммы из числа n штук выбираются. Иногда симметрию физической системы позволяют подметить записанные математические выражения, соответствующие 69 физическим законам, описывающим рассматриваемую систему. Рассмотрим пример. Задача. Между предметом и экраном помещается собирающая линза, перемещая которую получают на экране два четких изображения предмета, одно из которых в n раз больше другого. Найти расстояние между двумя положениями линзы, соответствующими четким изображениям предмета на экране, если расстояние между предметом и экраном равно L. Пусть мы получим на экране четкое изображение предмета. Тогда, обозначив расстояние от линзы до предмета через d 1 , а от линзы до экрана через f 1 , имеем d1 + f1 = L (5.8) 1 1 1 , d1 f1 F где F – фокусное расстояние линзы. Система (5.8) из двух уравнений с двумя неизвестными имеет единственное решение. Поэтому, написав такую же систему уравнений для второго положения линзы с расстояниями d 2 и f 2 получим такое же решение системы, ибо L и F – те же самые. А это сразу означает, что d1 = f2 , f1 = d2 (5.9) Обозначим размер предмета через h и размеры изображения на экране через h 1 и h 2 . Тогда имеем h d1 , h1 f 2 h d2 h2 f2 (5.10) Разделив почленно эти равенства, получим n h2 d1 f 2 h1 f1 d 2 С учетом (5.9) равенство (5.11) перепишется так n 70 f22 d2 2 , (5.11) откуда f2 n d2 (5.12) Искомое перемещение линзы l равно, очевидно, l d1 d 2 f 2 d 2 d 2 n 1 . Величину d 2 найдем, подставив (5.12) в равенство d 2 f 2 L : L d2 . n 1 Итак lL n 1 . n 1 Обратим внимание на то, что подмеченная симметрия – одинаковость систем уравнений в двух физически различающихся случаях – позволила избежать утомительных алгебраических выкладок, поскольку в явном виде не потребовалось вовлекать в преобразования второе из уравнений (5.8). В противном случае не удалось бы так просто придти к соотношениям (5.9), без которых дальнейшее продвижение в решении задачи невозможно. В рассмотренном примере определенная симметрия физической системы не очевидна сразу, а проявляется в симметрии соответствующих математических выражений: чтобы ее подметить, необходимо выписать систему уравнений (5.8). Однако, будучи подмеченной, эта симметрия позволяет не использовать явно некоторые из тех выражений, которые необходимы для выявления этой симметрии. Приведенные примеры демонстрируют высокую эффективность и большую эстетическую ценность принципа симметрии, позволяющую расчистить физические рассуждения от ненужных математических нагромождений. Основная задача – научиться подмечать физическую симметрию, которая может проявляться самым причудливым образом. 5.2. Принцип относительности. 71 Принцип относительности, традиционно входящий в школьные программы по физике, оказывается для учащихся наиболее доступным из фундаментальных принципов физики, вопервых, по конкретности формулировки; во-вторых, по яркому физическому содержанию. Именно на примере принципа относительности проще всего добиться осмысления учащимися самого понятия «методологический принцип». Этому способствует сопоставление различных формулировок принципа относительности. Принцип относительности связывается с именами Г.Галилея и А.Эйнштейна. Здесь необходимо понимать следующее: объединение принципа относительности с конечностью скорости распространения взаимодействий называется принципом относительности Эйнштейна в отличие от принципа относительности Галилея, исходящего из бесконечно большой скорости распространения взаимодействий. В таком сопоставлении намечается подход к осмыслению методологического принципа соответствия. Принцип относительности утверждает, что все физические явления при одинаковых начальных условиях и одинаковых условиях проведения опытов протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Другими словами, никакими физическими опытами, проводимыми внутри инерциальной системы отсчета, невозможно установить, движется она равномерно и прямолинейно относительно другой инерциальной системы отсчета или покоится. Все инерциальные системы отсчета равноправны в том смысле, что законы природы в них одинаковы. Это обстоятельство, будучи совершенно универсальным и применимым ко всем без исключения явлениям, позволяет утверждать, что использование принципа относительности является универсальным методом упрощения решения физических задач и сведения одних задач к другим. Рассмотрим пример. Задача. Пуля массы m летит горизонтально со скоростью и пробивает насквозь доску толщиной d, движущуюся навстречу пуле с постоянной скоростью и. С какой скоростью вылетит пуля из доски, если сила F 72 0 сопротивления пули в доске постоянна? Скорость доски заметно не изменяется. Задача проста я путь ее решения очевиден. Изменение кинетической энергии пули при пробивании ею доски равно работе силы сопротивления F: 2 m 2 m 0 F s 2 2 (5.13) где s – модуль перемещения пули в лабораторной инерциальной системе отсчета за то время, пока пуля находится внутри доски. Очевидно, что s меньше толщины доски d, поскольку доска движется навстречу пуле. Техническое усложнение при решении этой задачи в лабораторной системе отсчета возникает благодаря необходимости определить величину s. Под действием постоянной силы F пуля движется с постоянным ускорением. Поэтому средняя скорость пули в доске равна 0 2 . В результате оказывается справедливым равенство s 1 2 0 d s , u поскольку пока пуля находится внутри доски та проходит путь d – s в лабораторной системе отсчета. Из последнего равенства определяем s 0 sd 0 2u и подставляем это значение в исходное уравнение (5.13) закона изменения механической энергии. После несложных алгебраических преобразований приходим к квадратному уравнению для : 2 2u 2 0 u 2Fd 0. m Отсюда находим u 0 u 2 2 Fd . m 73 Физический смысл имеет только корень: u 0 u 2 2 Fd . m Обратим внимание на то, что анализ пригодности корней квадратного уравнения представляет собой довольно неприятную задачу. Эта задача вообще не возникает, как, впрочем, и необходимость во вспомогательных выкладках по определению s, если с самого начала, руководствуясь принципом относительности, перейти в другую инерциальную систему отсчета, в которой доска неподвижна. В этой системе отсчета скорость пули до встречи с доской равна 0 + и. Путь, проходимый пулей в доске, равен ее толщине d, так как она неподвижна. Обозначив скорость пули на выходе через , имеем с помощью закона изменения механической энергии: m 2 m( 0 u ) 2 Fd , 2 2 откуда 0 u 2 2 Fd . m Для скорости пули в лабораторной системе отсчета, равной u , получаем прежнее значение. Обратим внимание на то, что теперь элементарно доказывается положительность появляющегося в ходе решения подкоренного выражения. Действительно, F m дает ускорение пули а . По условию задачи, пуля выходит из доски, поэтому 0 u 2 2ad . Таким образом, удачный выбор системы отсчета в рассматриваемом случае не только предельно упрощает математические выкладки при использовании тех же самих физических законов, но и делает элементарным исследование полученного результата. В рассмотренном примере переход в другую инерциальную систему отсчета позволил избежать ненужных громоздких выкладок, которые, однако, не представляют собой принципиальных трудностей. Бывают случаи, когда удачный выбор 74 инерциальной системы отсчета позволяет избежать выкладок, которые далеко не так очевидны, как в рассмотренном случае. Приведем пример. Задача. Невесомый стержень длины l с двумя шарами на концах массы m каждый расположен вертикально и касается горизонтальной подставки. Нижнему шарику мгновенно сообщается направленная по горизонтали скорость 0 так, что этот шарик не отделяется от подставки и скользит вдоль нее. Какова скорость верхнего шарика в момент его удара о подставку? Трением пренебречь. В начальный момент времени скорость центра масс системы равна 0 2 и направлена горизонтально (рис.5.5). Поскольку действующие в системе =0 m внешние силы – сила реакции опоры и две силы тяжести – направлены вертикально, то горизонтальная составляющая 0 l скорости центра масс не меняется. 2 Перейдем в систему отсчета, движущуюся горизонтально со скоростью 0 2 , в 0 m которой центр масс системы перемещается только по вертикали. В этой системе отсчета в начальный момент Рис.5.5 времени скорость центра масс равна нулю, а скорости шариков равны 0 2 и направлены горизонтально в противоположные стороны (рис.5.6). Следовательно, в начальный момент времени стержень вращается в 0 вертикальной плоскости вокруг центра 2 масс системы. Нижний шарик испытывает центростремительное ускорение, направленное вертикально вверх и равное: 0 2 2 2 l 0 0 2 2l 2 Рис.5.6 75 Если это ускорение будет больше ускорения свободного падения g, то шарик отделится от подставки. В противном случае он будет скользить, касаясь подставки. Для этого должно быть выполнено условие: 02 g. 2l В тот момент когда верхний шарик касается подставки, стержень расположен горизонтально, а скорость центра масс, как и в предыдущие момента времени, направлена вертикально вниз. Если стержень нерастяжим, то и скорости шариков в этот момент времени могут быть направлены только по вертикали. Но это означает, что скорость шарика, скользившего по подставке, в этот момент обращается в нуль (рис.5.7). =0 1 Обозначив скорость верхнего шарика при ударе о подставку через 1 имеем с помощью закона сохранения механической энергии: Рис.5.7 2 m 0 m 12 , 2 mgl 2 2 2 0 2 2 откуда 1 2 gl 1 02 . 2 этого шарика в Скорость лабораторной системе отсчета определяется выражением: Рис.5.8 2 3 1 0 2 gl 0 2 4 2 и направлена, как показано на рис.5.8, где 2 tg 2 0 2 0 . 2 1 2 2 gl 0 2 В разобранном примере удачный выбор инерциальной системы отсчета позволяет выполнить решение задачи на школьном уровне, в то время как рассмотрение в исходной 76 лабораторной системе отсчета уводит необходимые математические выкладки с доступного школьнику уровня. В большинстве существующих методических пособий и сборников задач но физике использование принципа относительности при решении задач осуществляется исключительно на примере задач по механике. Однако не менее эффективно использование этого принципа и в других разделах, например, в электродинамике. Трудность, возникающая при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой при рассмотрении электродинамических явлений, заключается в том, что даже в нерелятивистском пределе такой переход сопровождается преобразованием величин E и B , в то время как в механике в нерелятивистском пределе массы и действующие силы не преобразуются. Однако именно это обстоятельство и позволяет в ряде случаев сводить более сложные задачи к простым, добиваясь надлежащим выбором системы отсчета обращения в нуль одной из компонент электромагнитного поля. Установить формулы преобразования величин E и B при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую в нерелятивистском пределе ( << c) можно с помощью простых рассуждений. Поскольку выражение для действующей на движущийся заряд силы Лоренца имеет вид F q E B , а в системе отсчета, движущейся относительно исходной со скоростью (где заряд неподвижен), на заряд действует только электрическое поле F qE , то формула преобразования имеет вид: E E B. (5.14) Вторая формула имеет вид B B 0 0 E (5.15) и может быть установлена сравнением сил, действующих на пробный заряд элементом тока l в различных инерциальных системах отсчета. 77 При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой существуют инвариантные комбинации из векторов E и B , причем их только две: E B E B , E 2 c 2 B 2 E 2 c 2 B 2 . Из относительного характера электрического и магнитного полей вытекает, что при изучении электрических и магнитных явлений имеет смысл рассматривать эти поля совместно, как единое электромагнитное поле. При переходе от одной системы отсчета к другой электрическое поле в одной системе выражается и через электрическое, и через магнитное поле в другой системе, и наоборот. Использование принципа относительности позволяет просто исследовать движение заряженных частиц в электромагнитном поле. Рассмотрим пример. Задача. Каким будет движение первоначально покоившейся заряженной частицы в постоянных и однородных взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях? На первый взгляд, движение такой частицы будет весьма замысловатым. Покоившаяся частица разгоняется электрическим полем, но как только ее скорость, направленная вдоль электрического поля Е, становится отличной от нуля, на частицу начинает действовать сила со стороны магнитного поля, перпендикулярная ее скорости. Попробуем, однако, рассуждать иначе. Перейдем в инерциальную систему отсчета, в которой Е = 0. У такой системы отсчета, в соответствии с (5.14), скорость такова, что выполнено соотношение: E B 0 . Видно, что E и должна образовывать некоторый отличный от нуля угол с B . Выберем B. В этом случае модуль равен: E B, а векторы E , B и образуют правовинтовую тройку ( E B и ). В найденной системе отсчета имеется только магнитное поле, направленное так же, как в исходной лабораторной системе. В нерелятивистском приближении из (5.15) следует, что В В. 78 Частица, покоившаяся в исходной системе отсчета, здесь будет иметь скорость – , перпендикулярную индукции магнитного поля B . Значит, она будет двигаться по окружности радиуса R с угловой скоростью , определяемыми формулами: qB , m R . Причем плоскость окружности перпендикулярна B . Направление вращения определяется знаком заряда частицы. В лабораторной системе отсчета движение частицы представляет собой результат сложения равномерного движения точки по окружности и поступательного движения этой окружности со скоростью , перпендикулярной E и B . Траектория такого движения называется циклоидой: так движутся точки обода колеса радиуса R, катящегося без проскальзывания с угловой скоростью . Найденное решение имеет смысл, если в (5.16) меньше с. В противном случае не существует системы отсчета, где электрическое поле отсутствует. Однако в таком случае существует инерциальная система отсчета, в которой отсутствует магнитное поле. В соответствии с (5.14) скорость такой системы удовлетворяет соотношению ( 0 0 1 c 2 ): 1 B 2 E 0. c В этой системе отсчета заряд движется только под действием электрической силы с начальном скоростью, равной . В нерелятивистском приближении дальнейшее исследование не представляет труда. Весьма эффективным оказывается использование принципа относительности при рассмотрении процессов, происходящих с элементарными частицами, их взаимными превращениями и т. д. Приведем пример. Задача. Возможно ли излучение и поглощение света свободными электронами? Может ли свободный фотон, обладающий 79 достаточной энергией, превратиться в электрон-позитронную пару? Ответы на эти вопросы элементарны при разумном выборе системы отсчета. Начнем со второго вопроса. Очевидно всегда найдется система отсчета, в которой полный импульс электронпозитронной пары равен нулю. Но тогда должен равняться нулю и импульс породившего эту пару свободного фотона. Но это невозможно, так как не существует такой системы отсчета, в которой фотон покоится. Итак, фотон может превратиться в электрон-позитронную пару только в присутствии какой-либо частицы, которая «унесет» его импульс. Для ответа на первый вопрос рассмотрим систему отсчета, в которой свободный электрон покоится. В этой системе до излучения фотона энергия электрона равна E 0 m0 c 2 (5.17) После излучения фотона электрон, благодаря закону сохранения импульса, приобретает некоторую скорость . Энергия системы «электрон плюс фотон» равна E m0 c 2 1 2 c 2 h (5.18) Сравнивая (5.17) и (5.18) видим, что удовлетворить закону сохранения энергии невозможно, ибо Е > Е 0 . Прочитав равенства (5.18) и (5.17) в обратном порядке убеждаемся, что свободный электрон не может не только излучить фотон, но и поглотить его. Действительно, (5.18) дает энергию электрона и фотона до поглощения в системе отсчета, где суммарный импульс электрона и фотона равен нулю, а (5.17) – энергию системы в этой системе отсчета после поглощения фотона. Принцип относительности можно широко использовать при решении качественных задач или задач, которые сводятся к качественным при использовании этого принципа. Приведем пример. 80 Задача. Как отличается скорость вытекающей из отверстия в дне ведра жидкости в равномерно и прямолинейно движущемся поезде от соответствующей скорости в неподвижном поезде? Ответ получается немедленно путем использования принципа относительности на третьем методологическом уровне: никак не отличается, ибо опытами, проведенными в инерциальной системе отсчета, невозможно зафиксировать равномерное прямолинейное движение этой системы. Неявно проделанное создание физической модели явления заключается в предположении о том, что система отсчета, связанная с Землей, является инерциальной. Выбор адекватного математического аппарата в рамках принятой физической модели явления сводится здесь к осознанию того факта, что для ответа на вопрос задачи вообще никаких формул писать не нужно. Приведенное решение справедливо только при небольших скоростях движения поезда. В противном случае начнет сказываться суточное вращение Земли, и принятая физическая модель перестают быть справедливой: связанную с Землей систему отсчета уже нельзя будет считать инерциальной. Завершая параграф отметим, что при использовании различных инерциальных систем отсчета следует очень аккуратно подходить к вопросу о том, что существенно в рассматриваемом явлении, а чем можно пренебречь. Все инерциальные системы отсчета равноправны в том смысле, что физические законы в них одинаковы. Поэтому при точном решении задачи можно использовать любую инерциальную систему отсчета. Однако при нахождении приближенного решения, пренебрежения, допустимые в одной системе отсчета, могут оказаться непригодными в другой. Это хорошо видно на следующем примере. Задача. Определить вторую космическую скорость, то есть минимальную скорость, которую нужно сообщить телу, находящемуся на поверхности Земли, для того, чтобы оно удалилось на бесконечность . Найдем ответ, используя систему отсчета, связанную с Землей. Это совершенно естественно, так как по самой постановке 81 задачи Земля считается неподвижной, а притяжением Солнца и других планет пренебрегается. Тогда, считая, что на бесконечности скорость тела может даже обратиться в нуль, имеем с помощью закона сохранения энергии: mM З m II 2 G 0, 2 R где т – масса тела, М З – масса Земли, R – ее радиус, II –вторая космическая скорость. Равенство удобно переписать в виде 2 m II mgR 0 , 2 где g GM З R 2 – ускорение свободного падения у поверхности Земли. Отсюда находим II 2 gR . Теперь попробуем в том же самом приближении (то есть пренебрегая притяжением к Солнцу) рассмотреть этот вопрос с точки зрения системы отсчета, связанной с Солнцем. Гелиоцентрическая система отсчета является инерциальной с большей степенью точности, чем геоцентрическая. Отметим, что притяжение к Солнцу не учитывается, поэтому Солнце является телом, с которым связана система отсчета, а не физическим телом, влияющим на движение. Обозначим скорость Земли на орбите через и предположим для простоты, что начальная скорость тела относительно Земли совпадает с ней по направлению. Удалившись от Земли на бесконечность тело может даже остановиться относительно Земли, поэтому на основании закона сохранения энергии имеем: m II m 2 , mgR 2 2 2 (5.19) откуда II 2 gR 2 . (5.20) Очевидно, что выражение (5.20) неверно, ибо II оказалась зависящей от скорости движения одной инерциальной системы относительно другой. Поскольку выражение для потенциальной энергии во всех инерциальных системах отсчета одинаково, а 82 сомневаться в справедливости закона сохранения энергии не приходится, то ошибка может быть связана только с неучетом какой-либо величины. Единственно, чем пренебрегается в уравнении (5.19) – это изменение кинетической энергии Земли: при удалении тела от Земли сила тяготения действует не только на тело, но и на Землю, оказывая влияние на ее движение. Обозначив скорость Земли после удаления тела на бесконечность через 1 , запишем закон сохранения энергии в виде M 3 2 m( 1 ) 2 M З12 m12 mgR 2 2 2 2 (5.21) Величину 1 можно найти с помощью закона сохранения пульса M 3 m( II ) ( M 3 m) 1 (5.22) Выражая 1 из (5.22) и подставляя в (5.21), найдем II 2 1 m M З 2 gR (5.23) Легко сообразить, что решение задачи в геоцентрической системе отсчета выполнялось в предположении, что m M З 0 . Формула (5.23) может быть получена и в этой системе, если учесть изменение кинетической энергии Земли. В рассматриваемом приближении формулы II 2 2 gR и II 2 2 gR 1 m M З эквивалентны. Разобранный пример показывает, что в геоцентрической системе можно пренебречь изменением кинетической энергии Земли, а в гелиоцентрической системе – нельзя, хотя изменение скорости Земли = 1 – не зависит от выбора системы отсчета, так как из (5.22) следует 1 m II . MЗ m Изменение кинетической энергии Земля в разных системах отсчета будет разным: в геоцентрической системе это M З 2 2 , а в гелиоцентрической M З M З 2 M M З З 2 2 2 2 2 (5.24) 83 Первое слагаемое в правой части (5.24) много больше второго, так как m M З 1 . 5.3. Принцип простоты и красоты. Принцип толерантности. Давно было замечено, что при прочих разных условиях более простая теория оказывается на верном пути к объяснению эксперимента. Обобщением этого факта и явился принцип простоты. Впервые в качестве методологического требования его сформулировал средневековый философ Оккам, который учил: «Не множить сущности без надобности». Методологический принцип простоты и красоты физической теории – один из важнейших эвристических принципов, помогающих отыскивать истину в науке. Несмотря на субъективность термина «красота», само понятие достаточно объективно и практически никогда не вызывает разногласия в оценках. По словам А.Пуанкаре, физические понятия «должны определяться таким образом, чтобы формулировка законов природы была настолько простой, насколько это возможно». Принцип простоты и красоты интуитивно всегда эксплуатируется при решении физических задач. Если с этой точки зрения взглянуть на все разобранные выше примеры, то становится отчетливо видной определяющая роль этого принципа в выборе пути решения задачи вне зависимости от того, каким конкретно был подход в каждом случае: выбор наиболее простого, адекватного физическому процессу математического аппарата, выбор физической модели изучаемого явления, использование симметрии физической системы, использование принципа относительности и т.д. Однако для развития умения решать учебные (а в дальнейшем, и научные) задачи важно вырабатывать привычку целенаправленно и осознанно руководствоваться этим принципом для поиска наиболее эффективных путей решения задачи. Именно такой подход создает почву, на которой возникают неожиданные вспышки интуиции. Глубокие физические идеи как в науке, так и при изучении ее основ, в частности при решении задач, – это плод осмысления сути разбираемых физических процессов, 84 когда возникают неожиданные связи между разнородными, на первый взгляд, явлениями. Принцип простоты к красоты должен определять самые первые шаги по решению задачи, начиная от выбора общего направления ее решения. Рассмотрим пример, который фигурирует в пособиях по физике самого разного уровня, начиная от курса теоретической физики Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшица и кончая пособиями для поступающих в вузы. Задача. Легкая лестница-стремянка состоит из двух одинаковых частей, шарнирно соединенных вверху и связанных веревкой у основания. Определить, каково натяжение веревки, с какими силами взаимодействуют половинки лестницы в шарнире и с какими силами они давят на пол, если на середине одной из них стоит человек весом Р (рис.5.9). Трение отсутствует. P Проще всего здесь найти силы давления на пол. Действительно, на всю систему в целом действуют три внешние вертикально направленные силы – вес P и силы реакции пола N1 и N 2 (рис.5.10). Выписывая условия обращения в нуль векторной суммы действующих внешних сил и равновесия моментов этих сил относительно, например, точки А, имеем: Рис.5.9 P N1 Рис.5.10 F1 N1 A T1 N2 N1 N 2 P l N1 2l cos P cos 2 Решая эту систему уравнений, находим 3 P N2 P N1 , 4 4 Для определения силы в шарнире и натяжения веревки придется 85 системы, рассмотреть часть половину например, левую стремянки, чтобы «избавиться от двойников» этих сил, действующих в соответствии с третьим законом Ньютона. Теперь нет необхоходимости выписывать полностью условия равновесия этой половины стремянки. К ответу можно прийти простыми рассуждениями, разумеется, эквивалентными этим условиям. Сила в шарнире F1 должна быть направлена вдоль лестницы, иначе нечем будет уравновесить ее момент относительно точки А (рис.5.11). Но тогда очевидно, что эта сила равна по модулю и направлена противоположно равнодействующей сил N1 и T1 . На основании сказанного немедленно имеем: P T1 N1 ctg ctg , 4 N P F1 1 . sin 4 sin Принцип простоты рассуждений, приводящих к ответу, проявляется в рассмотренном случае в стремлении «в общем виде», без выписывания уравнений понять суть проявления условий равновесия твердого тела в данной конкретной ситуации. По существу для получения ответа нужно осознать тот факт, что три силы под действием которых тело находится в равновесии, должны пересекаться в одной точке (точнее, линии, вдоль которых действуют эти силы). Методологически принцип простоты играет большую роль при выявлении и записи в виде уравнений тех условий протекания изучаемого процесса, которые не указаны явно в условии задачи. Рассмотрим пример. Задача. В вертикальном закрытом цилиндре имеется поршень, который может перемещаться без трения по вертикали. Над и под поршнем находится одинаковое число молей идеального газа. При температуре Т, одинаковой во всем цилиндре, объем верхней части в n раз больше, чем объем 86 нижней. Каким будет отношение этих объемов, если повысить температуру до значения Т ? Первый вопрос, который возникает, – нужно ли учитывать массу поршня. Об этом нечего не сказано в условии, поэтому разумно попробовать предположить простейший вариант: этой массой можно пренебречь. Легко видеть, однако, что в этом случае поршень должен был бы располагаться посредине, чтобы давление на него сверху и снизу было одинаковым. Поэтому, если n = 1, то масса поршня действительно равна нулю и отношение объемов не изменяется при изменении температуры. При n > 1 масса поршня не равна нулю и из приведенного выше рассуждения следует, что в равновесии действующая на поршень сила тяжести уравновешивается силами давления газа снизу и сверху. Это означает, что разность давлений газа в нижней и верхней частях цилиндра постоянна при любой температуре. Обозначив через р 1 и р 2 давление газа над и под поршнем при температуре Т и через р 1 и р 2 – при температуре Т, имеем: p 2 p1 p 2 p1 (5.25) Далее при любом положении поршня полный объем цилиндра, занимаемый газами, одинаков, если можно пренебречь тепловым расширением стенок. Поэтому V1 V2 V1 V2 (5.26) Уравнения (5.25) и (5.26) описывают условия, которые не оговорены в задаче явно. Они получены последовательным использованием принципа простоты и могут, вообще говоря, изменяться, если принять другие, более сложные условия протекания рассматриваемого явления. В частности, (5.26) перестает выполняться при учете теплового расширения стенок, при учете сжимаемости материала, из которого сделан поршень и т.д. При справедливости условий (5.25) и (5.26) дальнейшее решение задачи не представляет труда. Используя уравнение Менделеева – Клапейрона и данные условия задачи, имеем p1V1 p 2V2 , p1V1 p 2 V2 , p1V1 p1V1 T T (5.27) 87 Введя обозначение V1 V2 , с помощью (5.25) – (5.27) приходим к уравнению 2 1 T n2 1 , T n (5.28) где n V1 V2 . Физический смысл имеет только один корень уравнения (5.28), так как второй отрицателен: a a 1, 2 T n2 1 где a . T 2n Подчеркнем еще раз, что сознательное использование методологического принципа простоты служит основным, направляющим моментом при выборе пути решения задачи. Поэтому очень важно с самого начала изучения физики приучать учащихся руководствоваться именно этим принципом во всех случаях, когда им предстоит самостоятельно делать выбор среди всевозможных направлений исследования. Всякое умышленное или неумышленное усложнение имеющейся ситуации эквивалентно широко распространенному, к сожалению, наведению «наукообразия» при научных исследованиях, тормозит развитие умственной деятельности учащихся и является совершенно недопустимым. Перечисленное выше деление методов решения физических задач на трех уровнях является довольно условным, хотя в некоторых случаях, как это видно из приведенных примеров, действительно удается решить задачу, аппелируя либо только к методологии физики, либо к ее фундаментальным законам, либо используя конкретные физические законы, относящиеся к какойлибо области явлений. При этом использование разных подходов к решению одной и той же задачи способствует осознанному усвоению методологического принципа толерантности, суть которого в том, что истинное объяснение считает себя относительным и признает право существования других объяснений определенного круга фактов. Именно это обстоятельство дает импульс развитию вариативности мышления и представляет собой объективную основу развития творческих способностей учащихся при обучении решению задач по физике. 88 Приведенное деление скорее классифицирует не методы решения задач, а этапы умственной деятельности, к которой следует прибегать при решении задач. При решении любых нетривиальных задач, относящихся к достаточно сложным физическим явлениям, приходится, как правило, и и руководствоваться методологическими принципами, использовать фундаментальные законы, и прибегать к применению частных, конкретных законов. Поэтому при обучении решению задач ни в коем случае нельзя противопоставлять друг другу три изложенных этапа; следует приучать учащихся к тому, что в рассуждениях, вообще говоря, обязательно должны присутствовать в той или иной степени все три момента. Несколько упрощенно общая схема решения любой нетривиальной задачи должна строиться следующим образом. Сначала следует выяснить, что можно сказать из «общих соображений» – самое важное здесь заключается в том, что эти «общие соображения» должны основываться на методологических принципах физики, а не представлять собой некоторые доморощенные измышления. Затем следует попытаться понять, какие фундаментальные физические законы регламентируют рассматриваемые явления, и попытаться применить их не только для качественного, но и для количественного описания происходящих процессов. Наконец, при необходимости следует воспользоваться какими-то конкретными законами. Очень важно приучать школьников действовать по такой схеме и при решении простых задач, когда сразу видно, использование какого конкретного физического закона немедленно приводит к цели. Может показаться, что «прокручивание» первых двух этапов в таких случаях означает ненужную трату времени. Однако это потом с лихвой окупится при решении сложных задач, ибо уже не будет мучительных раздумий «С чего начать?». Только на таком пути можно проводить эффективное обучение учащихся решению олимпиадных задач. В этих задачах, если они полностью оправдывают свое название, решение удается найти, только умело использовав все три указанных этапа. Вообще трудно переоценить роль методологии науки при обучении практической деятельности в ней, в данном случае – решению задач. Методология зримо или 89 незримо присутствует во всех этапах этой деятельности. В рамках методологии физики можно рассматривать и решение задач методом анализа размерностей. 90 Метод анализа размерностей при решении физических задач 6.1. Основы использования метода анализа размерностей. нализ размерностей является эффективным методом исследования физических явлений, и владение этим методом составляет неотъемлемую часть полноценного физического образования. Э.Ферми часто утверждал, что действительно понимающие природу того или иного явления должны уметь получать основные соотношения из соображений размерности. Физик, приобретший привычку мыслить категориями размерностей, применяет это умение для восстановления забытых формул, проверки уравнений, преобразования единиц, для извлечения максимального количества информации, связанной с естественными соотношениями, существующими между переменными разбираемой задачи. Использование анализа размерностей оказывается особенно эффективным, когда оно дополняется имеющимся опытом и интуицией. Недаром истоки этого метода начинаются от Ньютона и Гука, а столетием позже от Фурье. Рассмотрим на конкретных примерах использование размерностей физических величин для вывода формул и уравнений. Задача. С какой скоростью упадет на землю тело, свободно падающее без начальной скорости с некоторой высоты h, если сопротивление воздуха пренебрежимо мало? Довольно очевидно, что величина скорости должна зависеть от высоты h и от ускорения свободного падения g. Можно включить сюда и массу тела m, хотя вообще-то, опираясь на опыт или на имеющиеся знания, легко сообразить, что от массы зависимости быть не должно. Таким образом, предположим, что 91 = f (h, g, m) 92 (6.1) Для определения вида функции f с помощью анализа размерностей следует учитывать, что складывать можно только величины одинаковой размерности. Далее, в любой системе единиц имеется несколько физических величин, для которых единицы измерения выбраны произвольно и считаются основными. Единицы всех остальных физических величин выражаются через основные. В гауссовой системе единиц и в СИ для механических величин в качестве основных выбраны единицы длины L, времени Т и массы М. Поэтому в методе анализа размерностей для вместо (6.1) записывается формула = chxgymz, (6.2) где с – некоторое постоянное число (безразмерная постоянная), а х, у, z – неизвестные числа, подлежащие определению. В правильной формуле размерность левой части должна совпадать с размерностью правой. Имеем dim = LT–1, dim h = L, dim g = LT–2, dim m = M, постоянная с безразмерна. Поэтому формуле (6.2) соответствует следующее равенство размерностей (6.3): LT–1 = Lx (LT–2)y Mz. (6.3) Это равенство должно выполняться тождественно, что требует приравнять показатели степени при L, Т и M: L T M 1=x+y –1 = 2y 0=z Решая систему уравнений (6.4), находим z = 0, y = формула (6.2) принимает вид ch1 2 g 1 2 m 0 c g h (6.4) ½, x = ½, и (6.5) Истинная величина скорости, как известно, равна 2 gh . Значение безразмерных постоянных методом анализа размерностей не устанавливается. Оно определяется экспериментальным путем или на основании строго аналитического решения. Например, в (6.5) c 2. Следует отметить, что при использовании метода анализа размерностей полезно с самого начала не выписывать сразу 90 соответствующую систему уравнений (в данном случае (6.4)), а приучаться определять показатели степеней, глядя непосредственно на формулу для искомой величины. В ряде случаев это удается сделать без труда. Действительно, из формулы (6.3) сразу видно, что z = 0, ибо в размерности левой части () М вообще отсутствует, а в размерности правой части М присутствует только в множителе mz. Далее, в левой части Т присутствует в степени –1, а в правой Т встречается только в множителе gy, размерность которого (LТ–2)y. Отсюда следует, что y = ½.. Но теперь сразу видно, что и x = ½, так как в левой части (6.2) L фигурирует в первой степени, а в правой части показатель степени L есть сумма x + y. Указанные навыки в анализе формулы (6.3) легко развиваются буквально после решения нескольких задач методом анализа размерностей и делают практическое применение этого метода учащимися желательным и более эффективным. При использовании метода анализа размерностей следует руководствоваться следующими правилами. 1. При использовании одной системы единиц (одной совокупности основных единиц измерения) формула размерности физической переменной величины может быть выражена единственным способом. 2. Одна и та же формула размерности может соответствовать двум разным физическим величинам. Например, формулы размерности энергии и момента импульса (L2МТ–2) совпадают. 3. Значение безразмерных постоянных методом размерностей не устанавливается. Каждой размерной постоянной (скорость света в вакууме, гравитационная постоянная) соответствует в определенной системе единиц своя формула размерности. Ее численное значение фиксировано в данной системе единиц измерения. 4. Задача разрешима методом анализа размерностей, если число N аргументов искомой функции f (6.1) не превышает числа n основных единиц в выбранной системе единиц измерения. Если N – n > 0 (то есть N – n = 1, 2, 3, ...), то полное решение получить нельзя, хотя и в этом случае удается выявить 91 5. Оптимальный выбор физических величин, определяющих изучаемое явление, является наиболее трудным делом при использовании анализа размерностей. Успех определяется физической интуицией исследователя, которая развивается по мере накопления практического опыта. В случае, когда задача не допускает полного решения методом анализа размерностей (N – n >0), полезно прежде всего определить все независимые безразмерные комбинации выбранной системы физических параметров. Тогда искомая величина будет определяться произведением какой-либо комбинации параметров, имеющей нужную размерность, на некоторую функцию безразмерных параметров. Рассмотрим пример. Задача. Определить дальность горизонтального полета пули, выпущенной с начальной скоростью в горизонтальном направлении на высоте h от земной поверхности. Довольно очевидно, что число параметров, от которых может зависеть искомая величина равна четырем: h, , g и масса пули m. Поэтому при использовании гауссовой системы единиц или СИ, построенных на трех основных единицах для механики, полное решение невозможно. Найдем все безразмерные параметры , которые можно сконструировать из h, , g, m: h x y g z m u . (6.6) Соотношению (6.6) соответствует равенство размерностей (6.7): 1 L0 M 0T 0 Lx ( LT 1 ) y ( LT 2 ) z M u (6.7) Отсюда имеем систему уравнений L 92 0=x+y+z (6.8) T M 0 = –y – 2z 0=u Решая систему (6.8), находим u = 0, y = –2z, x=z Для искомого безразмерного параметра соответствии с (6.6) и (6.9) z hg z 2 z z 0 h g m 2 . (6.9) получаем в Таким образом, единственный независимый безразмерный параметр в рассматриваемом случае – это hg 2 . Общее выражение для дальности полета s по горизонтали можно записать в виде hg s h f 2 , где f – неизвестная пока функция безразмерного параметра hg 2 . Метод анализа размерностей в изложенном виде не позволяет определить вид этой функции. Нужно привлечь какие-то дополнительные соображения. Например, из опыта может быть известно, что искомая дальность полета пропорциональна горизонтальной скорости пули . Тогда вид функции сразу определяется – скорость должна стоять в первой степени в числителе: f ( ) c 1 2 . Отсюда для s находим hg s ch 2 1 2 c h , g (6.10) что с точностью до численного множителя совпадает с правильным ответом s 2h g . 6.2. Векторные единицы длины. 93 Обратим внимание на то, что если бы число основных единиц, на которых построена система единиц, избранная для решения задачи в п.6.1, равнялась бы не трем, а четырем, то равенство размерностей позволило бы полностью определить зависимость дальности полета s от h, , g и m. Четвертую независимую единицу можно ввести, если различать единицы длины в горизонтальном и вертикальном направлениях. В общем случае можно различать единицы длины в трех взаимно перпендикулярных направлениях, учитывая, что реальное пространство трехмерно. Такое разложение размерности длины по взаимно перпендикулярным направлениям получило название «векторных единиц длины». Как одно векторное равенство эквивалентно трем скалярным, так и использование векторных единиц длины позволяет получить три равенства, приравнивая по отдельности показатели степеней при L х , L y и L z , где L – размерность единицы длины в направлении = х, y, z. В рассматриваемом примере фигурируют горизонтальное (х) и вертикальное (y) направления. Поэтому размерность дальности полета по горизонтали s будет L x , размерность высоты h – L y , размерность горизонтальной скорости будет L x Т–1 , а размерность ускорения свободного падения g, направленного по вертикали, – L y T–2. Имея четыре основные единицы L х , L y , Т и М, конструируем величину s нужной размерности из четырех параметров h, , g и m: s = c h u wg l m k. Равенство размерностей левой и правой частей этого равенства имеет вид Lx L y LxT 1 u w L yT 2 l M k . Отсюда получаем систему уравнений для показателей степеней u, w, l, k: Lx 1 = w Ly 0 = u + l T 0 = –w – 2l M 0=k 94 Решая эту систему, находим k = 0, w = 1, l = 1 2 , u = 1 2. Эти значения приводят к формуле (6.10) для s: s ch1 2 1 g 1 2 m 0 c h g . Обратим внимание на то, что безразмерную комбинацию из h, , g и m при использовании векторные единиц длины уже составить нельзя. Легко убедиться, что и в первом из разобранных примеров из h, g и m также нельзя составить безразмерную комбинацию. Этот результат имеет общий характер: если искомая величина нужной размерности определяется единственным образом, то безразмерные комбинации из параметров искать не нужно. Если не единственным, то следует действовать одним из описанных способов – искать безразмерные комбинации или увеличивать число основных единиц. Использование векторных единиц длины существенно расширяет возможность решения этим методом задач о движении тела, брошенного под углом к горизонту, когда искомая величина зависит от угла, под которым брошено тело. Рассмотрим пример. Задача. Пуля выпущена с начальной скоростью 0 под углом к горизонту. Определить дальность полета пули. При решении этой задачи методом размерностей без использования векторных единиц длины мы получим формулу s c 0 2 g , которая ничего не говорит о зависимости дальности полети s от угла . Однако, принимая во внимание векторный характер единиц длины, можно охарактеризовать начальную скорость полета 0 горизонтальной и вертикальной составляющими x 0 cos , y 0 sin , (6.11) размерности которых будут соответственно L x T–1 и L y T–1. Теперь, записав формулу для искомой дальности полета в виде a s c x y b g d , 95 приходим к равенству размерностей L x L xT 1 a L yT 1 b L yT 2 d (6.12) Выписывая соответствующую равенству (6.12) систему уравнений или непосредственно анализируя это равенство, находим а = 1, b + d = 0, –a – b –2d = 0 (6.13) Действительно, а = 1, так как L x стоит слева в первой степени, а справа – только в первом сомножителе, b + d, так как слева L у фигурирует в нулевой степени. Последнее из равенств (6.13) соответствует показателям степеней Т. Итак, имеем a = 1, b = 1, d = – 1. и для s получаем 1 1 s c x y g 1 c x y g c 0 sin cos g (6.14) Последнее равенство в (6.14) получается при учете (6.11). Постоянная с, не определяемая методом размерностей, в данном случае равна 2. Еще более впечатляющим является решение с помощью метода анализа размерностей следующей задачи. 0 под углом к горизонту над плоскостью, образующей угол с Задача. Пуля выпущена с начальной скоростью горизонтом. Найти время полета пули. Наибольшую трудность в данном случае представляет вопрос, как вообще можно учесть факт присутствия наклонной плоскости при решении задачи методом анализа размерностей. Проще всего это сделать, введя единицу длины L x вдоль наклонной плоскости и единицу L у в направлении, перпендикулярном наклонной плоскости. Тогда, очевидно, векторы 0 и g будут характеризоваться своими составляющими вдоль этих направлений, причем с помощью рис.6.1 видно, что: x 0 cos 0 cos , 1 0 sin 0 sin , 0 96 y х g x g sin , g y g cos . Подчеркнем, что x , y , g x и g у в данном случае проекции, а модули составля ющих векторов 0 и личинам соответствуют размерности: x – L x T–1, y – L y T–1, g x – L x T–2, обозначают не соответствующих g . Введенным ве- g y – L y T–2. Запишем искомую величину времени полета t в виде: a b d t c x y g x g y l (6.15) Соответствующее (6.15) равенство размерностей T L xT 1 a L yT b LxT d L yT l . 1 2 2 (6.16) Соотношение (6.16) симметрично относительно величин L x и L y . Поэтому из соображений размерностей нельзя сделать выбор между ними. Однако из физических соображений очевидно, что g x не может влиять на время полета – эта величина определяет только дальность полета вдоль наклонной плоскости. Но если g x отсутствует в формуле (6.15), то в нее, как видно из (6.16), не может входить и х , иначе невозможно сократить в левой части (6.16) не входящую в правую часть L x . Итак, для времени полета t вместо (6.15) имеем b l t c y g y , а для равенства размерностей вместо (6.16) T L y T 1 b L yT l . 2 Отсюда немедленно следует t c y gy c 0 sin( ) . cos g (6.17) 97 Легко убедиться, что соотношение (6.17) удовлетворяет предельному случаю = 0, ответ для которого хорошо известен. Обратим внимание на то, что использование соображений симметрии позволяет приостановить дальнейшее исследование соотношения (6.16) и заставляет поискать какие-то дополнительные физические соображения для успешного использования метода размерностей в рассматриваемом случае. В ряде случаев такие соображения симметрии позволяют более уверенно ориентироваться в вопросе о возможности решения задачи с помощью анализа размерностей. В частности, нетрудно убедиться, что в рассматриваемом случае методом анализа размерностей, не привлекая других соображения, не удается решить задачу о дальности полета s тела вдоль наклонной плоскости, .Действительно, равенство размерностей в этом случае выглядит следующим образом: L x L xT 1 a L yT b LxT d L yT l . 1 2 2 (6.18) Отсюда сразу видно, что y и g y могут входить в формулу для s только в виде отношения y g y , иначе не удастся сократить в правой части (6.18) L y , которого нет в левой части. Поэтому вместо (6.18) можно записать такое равенство размерностей L x L xT 1 a LxT d T k . 2 (6.19) Но из (6.19) следует, что требуемую размерность L x можно получить бесконечным числом способов. Приведенные выше примеры использования метода анализа размерностей относились исключительно к механике. Именно при решении механических задач этот метод наиболее эффективен. Однако он может использоваться и в других разделах физики – молекулярной физике, электромагнетизме и т.д. Отметим, что и в других разделах весьма полезным оказывается увеличение числа основных единиц. Например, можно проводить различие между массой как количеством вещества (имеющей размерность М ) и массой как мерой инертности (с размерностью М i ). Хотя в общей теории относительности это одна и та же физическая величина, но в ньютоновой физике их равенство не обязательно (и является просто 98 экспериментальным фактом). Это позволяет рассматривать эти массы как разные физические величины с отличающимися размерностями. 6.3. Соображения подобия физических задач. при решении В физике метод анализа размерностей используется обычно вместе с методом подобия. Свойство подобия в физике связано с инвариантностью динамических уравнений относительно определенных масштабных преобразований пространственных координат и времени. Отсюда следуют некоторые соотношения между физическими характеристиками геометрически подобных систем. На школьном уровне соображении подобия, нащупываемые на интуитивном уровне, могут быть весьма полезными при решении качественных и оценочных задач, ибо приучают школьников к проведению рассуждений, основанных на использовании метода подобия и размерности – одного из весьма эффективных теоретических методов исследования в прикладной физике. Рассмотрим следующий пример. Задача. Почему кенгуровая крыса, геометрически подобная крупному кенгуру, способна прыгать на ту же высоту, хотя ее собственные размеры во много раз меньше? Геометрически подобные животные, относящиеся к одному виду, обладают одинаковым «внутренним устройством», поэтому многие их характеристики одинаковы. Пусть m – масса животного. Обозначим через cm (c < 1) массу мышцы, которая приводит тело животного в движение. Очевидно, что величина с у геометрически подобных животных одинакова, хотя их массы могут отличаться во много раз. У подобных животных должна быть одинаковая способность к совершению работы единицей массы мышцы, именно в силу одинаковости их «устройства». Обозначим эту величину через А. Если при прыжке животное толчком сообщает себе скорость , то мышцей при этом совершается работа, равная А с т. На основании закона сохранения энергии можно написать: 99 m 2 Ac m 2 (6.20) Из формулы (6.20) видно, что скорость животного при прыжке Ac является универсальной характеристикой животных данного вида и не зависит от их массы. Важно понимать что приведенные соотношения в действительности представляют собой только качественные оценки по порядку величины, которые характеризуют вид в среднем, а не строгие равенства. Ведь даже у двух кошек одинакового размера могут быть по-разному развиты и натренированы мышцы. Рассмотрим еще один пример. Задача. Почему из двух геометрически подобных рыб крупная плавает быстрее мелкой? После предыдущей задачи вопрос в этой может показаться неожиданным: первое впечатление, что скорости у геометрически подобных рыб должны быть одинаковы. Дело в том, что физика рассматриваемых здесь явлений разная. В предыдущем случае высота прыжка определялась начальной, толчком сообщенной телу животного скоростью. Сопротивление воздуха при этом не играло заметной роли. В рассматриваемом примере скорость рыбы определяется непрерывно развиваемой ею мощностью, так как движение происходит в воде, пренебрегать сопротивлением которой уже нельзя. При больших скоростях движения сила сопротивления воды пропорциональна квадрату скорости Fсопр kS 2 , где S – площадь поперечного сечения рыбы, а k – коэффициент пропорциональности, зависящий в частности от ее формы. Развиваемая рыбой при движении со скоростью мощность, очевидно равна P Fсопр kS 3 . 100 (6.21) Эта мощность, как и в первом примере, пропорциональна массе (или объему V) рыбы и может быть записана в виде P V , (6.22) где – коэффициент, одинаковый для геометрически подобных рыб. На основании закона сохранения энергии приравняем соотношения (6.21) и (6.22). Получаем 3 V kS (6.23) С помощью (6.23) имеем для геометрически подобных рыб V1 S1 1 L 3 1 , 2 L2 V2 S 2 где L i – линейный размер рыбы вдоль направления движения. Обратим внимание на два обстоятельства: 1. При использовании соображений подобия очень важно детально проанализировать качественную физическую картину явления. 2. Количественные соотношения здесь устанавливаются с помощью универсальных фундаментальных физических законов, в рассмотренных примерах – с помощью закона сохранения энергии. Применение метола анализа размерностей и соображений подобия в более сложных задачах – это в какой-то мере искусство. О возможностях применения этого метода в тех или иных задачах, о его смысле и даже целесообразности применения в обучении до сих пор нет единой точки зрения, что, однако, не уменьшает его методологической ценности в организации познавательной деятельности учащихся. В этом плане весьма характерно высказывание большого знатока и пропагандиста анализа размерностей Д.Рэлея: «Меня часто удивляет, что даже весьма крупные ученые уделяют столь незначительное внимание великому принципу подобия. Нередко случается, что результаты кропотливых исследований преподносятся как новые «законы», которые на самом деле можно было бы получить в течение нескольких минут». 101 Решение олимпиадных задач 7.1. Теоретические задачи. е существует единого мнения о том, какие задачи следует называть олимпиадными. Однако практика проведения олимпиад по физике на разных уровнях (от районных до международных) свидетельствует о том, что наиболее удачными и интересными признаются задачи с определенной «изюминкой», «раскрутить» которую удается только воспользовавшись всем арсеналом средств, используемых при решении задач. При этом, как правило, недостаточно просто последовательно развивать рассуждения на трех описанных выше уровнях – их приходится неоднократно чередовать, снова и снова возвращаясь к уточнению физической модели явления или даже сопоставляя между собой различные модели. В этом плане весьма характерна задача, фигурировавшая на всесоюзной олимпиаде по физике в середине семидесятых годов. Задача. В цепь, предназначенную для зарядки конденсатора, включен диод D (рис.7.1). Вольтамперная характеристика диода показана на рис.7.2. Какое количество тепла выделится на сопротивлении R и на диоде после замыкания ключа К в процессе зарядки предварительно незаряженного конденсатора? K D С U0 R U 102 Рис.7.1 Рис.7.2 При замыкании ключа К ток и цепи в начальный момент времени максимален, а затем по мере зарядки конденсатора постепенно спадает до нуля. Чтобы рассчитать выделяющееся на сопротивлении тепло непосредственно с помощью закона Джоуля – Ленца, необходимо найти зависимость зарядного тока от времени. Сложный вид вольтамперной характеристики диода делает такое вычисление малоприятным. Итак, в принципе можно пытаться решить задачу, используя конкретный закон, но явно предпочтительнее поискать другой путь. Можно попытаться воспользоваться законом сохранения энергии. Пусть в процессе зарядки конденсатора по цепи прошел заряд q. Совершенная при этом внешним источником напряжения работа А равна A qU 0 . Конденсатор зарядился, причем заряд на его обкладках q CU 0 , поэтому энергию конденсатора можно представить в одном из видов 2 q 2 CU 0 W . 2C 2 На основании закона сохранения энергии ясно, что выделявшееся на сопротивлении R и на диоде D тепло Q равно разности между работой А, совершенной источником питания, и энергией W, запасенной конденсатором: CU 0 2 Q A W 2 (7.1) Теперь остается только выяснить, как это тепло распределилось между сопротивлением R и диодом D. И на первый взгляд неясно, как это можно сделать. Причина этого опять та же – сложный вид вольтамперной характеристики диода: сопротивление диода очень сильно зависит от величины приложенного к нему напряжения. И здесь нам придется снова обратиться к физической модели рассматриваемого явления снова – потому, что один раз мы уже это сделали неявно, когда обсуждали возможные пути решения задачи. Попробуем, не меняя принципиально характер протекающих процессов, несколько упростить вид вольтамперной характеристики 103 диода: заменим реальную характеристику, показанную на рис.7.2, идеализированной характеристикой, изображенной на рис.7.3. Будем считать, что сопротивление диода и запорном направлении стремится к бесконечности, то есть обратный ток отсутствует. Будем также считать, что сопротивление диода в рабочем направлении тоже бесконечно до тех 0 U1 U пор, пока приложенное напряжение не достигнет некоторого значения Рис.7.3 U 1 , после чего это сопротивление принимает конечное постоянное значение r. На графике это означает замену круто взмывающего вверх участка реальной вольтамперной характеристики на рис.7.2 прямой наклонной линией на рис.7.3. Величина введенного сопротивления диода очевидно связана с величиной напряжения U 1 соотношением U U1 (7.2) r Соотношение (7.2) – это просто уравнение прямой наклонной линии на идеализированной вольтамперной характеристике диода. Теперь интуитивно ясно, что рассчитать распределение выделяющегося тепла между сопротивлением R и диодом в такой идеализированной системе гораздо проще. Будем рассуждать следующим образом. Так как ток в цепи существует только при напряжениях, больших, чем U 1 , то «работает» только наклонный участок идеализированной вольтамперной характеристики. Теперь обратим внимание на то, что соотношение (7.2), записанное просто как математическое уравнение прямой линии, соответствует закону Ома для неоднородного участка электрической цепи, показанной на рис.7.4, с ЭДС некоторого источника = U 1 < U. Поэтому после замены реальной вольтамперной характеристики диода на идеализированную можно считать, что в цепи для зарядки конденсатора вместо диода включены последовательно сопротивления R, r и конденсатор С, а приложенное напряжение равно U 0 – U 1 . Другими словами, от исходной цепи можно перейти I 104 к цепи, показанной на рис.7.4, а от нее перейти к цепи, изображенной на рис.7.5. В этой цепи конденсатор заряжается до напряжения U 0 – U 1 , протекающий по цепи заряд q1 C (U 0 U 1 ) , а эквивалентный источник пита- + U – + – r r U1 С U0 – U1 R Рис.7.4 Рис.7.5 питания с напряжением U 0 – U 1 и совершает работу A1 q1 (U 0 U 1 ) C (U 0 U 1 ) 2 . Вычитая из этой работы запасенную конденсатором анергию 1 W1 C (U 0 U 1 ) 2 , 2 получаем для тепла Q 1 , выделившегося на сопротивлениях R и r, выражение 1 Q1 C (U 0U 1 ) 2 . 2 (7.3) Сопротивления R и r соединены последовательно, поэтому выделяющееся на каждом из них тепло пропорционально величине сопротивления Q1R R Q1r r (7.4) Очевидно, что Q1 Q1R Q1r , поэтому с помощью (7.3) и (7.4) находим Q1R Q1 1 R R C (U 0 U 1 ) 2 , Rr 2 Rr (7.5) Q1r Q1 r r 1 C (U 0 U 1 ) 2 . Rr 2 Rr (7.6) 105 Выражение (7.5) дает количество теплоты, выделяющейся на сопротивлении R. А вот утверждать, что формула (7.6) определяет количество теплоты, выделяющейся на диоде, было бы неверно. Дело в том, что в действительности ток в исходной цепи обратится в нуль только тогда, когда напряжение на конденсаторе сравняется с U 0 . Да и выделившееся полное количество теплоты Q, даваемое формулой (7.1), больше чем Q, даваемое (7.3). Легко сообразить, что это связано с «работой» пологого начального участка реальной вольтамперной характеристики диода на рис.7.2. Так как сопротивление диода на этом подогом участке очень велико, то большая часть дополнительного (по отношению к Q 1 ) тепла, связанного с прохождением дополнительного заряда, выделяется на диоде. Итак, выделяющееся на сопротивлении R тепло Q R , равно Q 1R , даваемому формулой (7.5). Тепло Q D , выделяющееся на диоде в течение всего процесса зарядки конденсатора, можно найти как разность между теплом Q, даваемым формулой (7.1), и теплом Q R . Формально ответ получен, однако в действительности воспользоваться им можно, только удачно выбрав значения параметров U 1 и r. Для этого требуется сопоставить использованные физические модели явления, то есть сравнив реальную и идеальную вольтамперные характеристики диода. Как же фактически выбрать значения U 1 и r? Ток в цепи при замыкании ключа не может превышать значения U 0 R . Поэтому участок U0 реальной вольтамперной R характеристики диода, U U1 расположенный выше точки r U 0 R на рис.7.2, вообще не имеет отношения к рассматриваемой задаче. Разумно U U1 предположить, что эта точка попадает на крутой, почти Рис.7.6 прямолинейный участок вольтамперной характеристики, как показано на 106 рис.7.6. «Рабочая» область вольтамперной характеристики расположена ниже этой точки. Заменяем этот участок прямой линией и продолжаем ее до пересечения с осью абсцисс. Эту прямую и будем рассматривать как идеализированную вольтамперную характеристику диода. Тогда напряжение U 1 , соответствует точке пересечения построенной прямой с осью абсцисс, а ее наклон характеризует сопротивление диода r при напряжениях, превышающих U 1 , в соответствии с выражением (7.2). Характерен и другой класс олимпиадных задач, в которых в неожиданном и, на первый взгляд, парадоксальном свете подается какая-нибудь хорошо знакомая школьникам ситуация. Рассмотрим пример. Задача. К выходным клеммам цепи, схема которой показана на рис.7.7 приложено постоянное напряжение U. Оба ключа разомкнуты. Что нужно сделать, чтобы напряжение на конденсаторе С 1 стало равным U и лампочка при этом горела? Совершенно стандартная, U хорошо знакомая школьникам электрическая схема. И если задать С1 С2 «обычный» вопрос, например, определить напряжения на конденсаторах при четырех К1 К2 возможных положениях ключа, то задача не вызовет особых R затруднений. Но вопрос в условии задачи довольно необычный и первая Рис.7.7 реакция школьников такова – этого вообще не может быть. Между тем требуемая ситуация вполне реализуема, для этого нужно только немного поработать ключами. В самом деле, замкнем ключ К 2 , оставив К 1 разомкнутым. Очевидно, что после того, как конденсатор С 1 зарядится, ток в цепи прекратится: цепь постоянного тока разомкнута, ее разрывами являются незамкнутый ключ К 1 и конденсатор С 1 . Напряжение на 107 конденсаторе С2 станет равным нулю, так как его обкладки замкнуты через лампочку. Значит, напряжение на конденсаторе С1 равно U. Разомкнем ключ К 2 : напряжения на конденсаторах не изменятся: U C1 U , U C2 0 . Замкнем ключ К 1 . По плечу, содержащему лампочку и реостат, пойдет ток, лампочка будет гореть, напряжение на ней можно менять, передвигая рычажок реостата. А напряжения на конденсаторах меняться не будут, ибо подаваемое на содержащее их плечо цепи напряжение U остается постоянным по условию задачи. 7.2. Экспериментальные задачи. Мы не будем подробно обсуждать здесь задачи экспериментальных туров физических олимпиад – соответствующие рекомендации следует искать в пособиях, посвященных технике и методике проведения физических экспериментов. Остановимся только на «теоретической» части, которая присутствует в любой нетривиальной экспериментальной задаче. Рассмотрим пример. Задача. Требуется определить зависимость силы сопротивления, испытываемой твердым телом при движении в вязкой жидкости, от скорости движения. Имеется прибор, в котором можно измерить силу сопротивления движению заданного тела при строго фиксированной скорости движения, и набор жидкостей с известными свойствами – плотностью и вязкостью. Скорость движения тела в приборе много меньше скорости распространения звука в имеющихся жидкостях. Имеющийся и распоряжении экспериментатора прибор не позволяет непосредственно провести измерение для определения искомой зависимости – скорость теля в приборе фиксирована. Поэтому необходимо придумать такую постановку возможных экспериментов, которая даст возможность установить эту зависимость в результате косвенных экспериментов. Прежде всего следует попытаться установить, от чего вообще может зависеть сила сопротивления при движении тела в вязкой 108 жидкости. Очень эффективен в задачах такого рода метод анализа размерностей. Поскольку по условию задачи скорость движения тела много меньше скорости звука в среде, то сжимаемостью среды можно пренебречь и можно выделить пять параметров, от которых возможна зависимость силы сопротивления – скорость , плотность жидкости , ее вязкость , линейный размер тела l в направлении движения и площадь S поперечного сечения тела. Если воспользоваться векторными единицами длины и направить ось z вдоль скорости тела, то выражения для размерностей перечисленных величин примут следующий вид L z T–1 M(L x L y L z )–1 l Lz S LxLy ML z –1T–1 Определяем безразмерные параметры, которые можно составить из этих величин x y z S u l w . Отсюда приходим к равенству размерностей 1 L z T 1 x MLx 1 1 L y L z 1 ML y z 1 T 1 Lx L y u Lz w . 2 Система уравнений для определения показателей степеней x, y, z, u и w получается обычным способом и имеет вид M Lx Ly Lz T 0=y+ z 0=–y+u 0=–y+u 0=x–y–z+w 0=–x–z Решая эту систему обычным способом, находим x = у = u = –z, w = z и единственный независимый параметр имеет вид l . S 109 Выражение для силы сопротивления можно записать в виде произведения какой-либо комбинации из величин S и l, имеющей размерность силы, направленной вдоль оси z (используются векторные единицы длины !), на некоторую функцию безразмерного параметра l S . Легко убедиться, что произведение S 2 имеет размерность силы, направленной вдоль оси z, поэтому для искомой силы сопротивления F можно записать l . F S 2 f S Теперь можно установить на опыте зависимость функции f, то есть силы F, от и , измеряя силу сопротивления в разных жидкостях при одной и той же скорости тела . (При этом, разумеется, каждый раз в формулу для F подставляется свое значение плотности жидкости , стоящей множителем перед f l S .) Эта зависимость, как ясно из вышеизложенного, может быть только зависимостью от отношения . Предположим, что опыты дали результат f ~ . Это значит, что f l S ~ l S и выражение для силы F принимает вид F ~ S 2 l l . S В указанных условиях сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости. Можно также утверждать, что она не зависит от плотности жидкости и от поперечных размеров тела. 110 Заключение енденции специализации среднего образования требуют от учителя виртуозного владения не только конкретно-сосодержательным физическим материалом, но и разнообразными методами его «донесения» до учащихся школ и классов различного профиля – от гуманитарного до физико-математического. В достижении конечного результата обучения физике трудно переоценить дидактическое значение решения задач, ибо, как считал И.Ньютон, «при изучении наук примеры полезнее правил». Глобальные цели физического образования, связанные с формированием мировоззрения учащихся, совпадают для школ разного профиля. Конкретные же цели, которые стоят перед обучением решению задач, при этом существенно отличаются. Если учащихся физико-математических школ и классов целесообразно обучать умению довести решение до получения определенного числового результата с проведением всех математических выкладок и использованием широкого разноуровневого методологического инструментария физики, подводя их к переднему краю развития науки, то при обучении учащихся гуманитарных школ главное состоит в выявлении физической сущности рассматриваемого в задаче явления на уровне его качественного анализа. При обучении решению физических задач необходимо наряду с занятиями, посвященными изложению методики решения задач, проводить занятия, посвященные решению таких задач, которые не решались учителем в процессе подготовки к занятию. При этой учащимся демонстрируется не имитация умственной деятельности, а сама эта деятельность: не излагается решение задачи, а задача решается непосредственно перед ними. Учащиеся видят, как можно ошибаться, находить ошибки и исправлять их. Именно на этом пути можно достичь наивысшей степени физического понимания, которое характеризуется умением не только объяснять наблюдаемые явления, но и предсказывать характер их протекания в тех или иных условиях. 111 Такой авторам представляется стратегия конструирования методики обучения решению физических задач. Тактика проведения конкретных уроков определяется мастерством учителя и прежде всего тем, на скольких «разных языках» он может описать рассматриваемое в задаче явление. При таком подходе к обучению решению физических задач развиваются лучшие человеческие качества, без которых не обойтись не только физикуисследователю, но и любому культурному человеку. 112 Рекомендуемая литература 1. Аленицын А.Г., Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. Краткий физикоматематический справочник. – М.: Наука. 1990. 2. Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. Физика: В 3-х кн. Механика. – М.: Наука. 1994. 3. Бутиков Е.И., Быков А.А., Кондратьев А.С. Физика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1989. 4. Бубликов С.В., Кондратьев А.С. Методологические основы решения задач по физике в средней школе. – СПб.: Образование, 1995. 5. Буздин А.И., Зильберман А.Р., Кротов С.С. Раз задача, два задача... – М.: Наука, 1990. 6. Гольдфарб Н.И. Сборник вопросов и задач по физике. – М.: Высшая школа, 1982. 7. Задачи московских физических олимпиад / Под ред. Кротова С.С. – М.: Наука, 1988. 8. Задачи по физике / Под ред. Савченко О.Я. – М.: Наука, 1988. 9. Задачи по физике для поступающих в вузы / Бендриков Г.А., Буховцев Б.Б., Керженцев В.В., Мякишев Г.Я. – М.: Наука, 1987. 10. Капица П.Л. Физические задачи. – М.: Знание, 1966. 11. Кашина С.И., Сезонов Ю.И. Сборник задач по физике. – М.: Высшая школа, 1983. 12. Кондратьев А.С., Лаптев В.В. Физика и компьютер. – Л.: ЛГУ, 1990. 13. Сборник задач по физике / Под ред. Козела С.М. – М.: Наука. 1983. Примечание: список литературы не претендует на полноту, а скорее содержит книги, побуждающие читателя к более детальному и самостоятельному изучению вопросов методики решения физических задач. 113 Содержание Введение ……………………………………………………………… 3 1. Общие вопросы методики обучения решению физических задач……………………………………………………...………... 6 1.1. Уровни методологии решения физических задач……… 6 1.2. Организация познавательной деятельности учащихся при решении задач по физике. Этапы решения физической задачи……………………………………..… 8 1.3. Алгоритмический и эвристический подходы к решению физических задач ………………………………….….... 11 2. Математический аппарат при решении физических задач…… 2.1. Роль математического аппарата при решении физических задач……………………………………….. 2.2. Требования, предъявляемые к используемому математическому аппарату......………………………… 2.3. Вычислительные методы при решении физических задач……………………………………………………... 15 15 17 25 3. Решение задач на уровне частных физических законов……… 30 3.1. Физическая модель явления, рассматриваемого в задаче………………………………………………….. 30 3.2. Основные ошибки, допускаемые при решении задач... 38 4. Решение задач на основе применения фундаментальных физических законов......………………………………………… 4.1. Законы сохранения энергии и импульса………………. 4.2. Степень детализации физической модели…………….. 4.3. Законы сохранения при рассмотрении тепловых и электромагнитных явлений……………………………... 41 41 46 51 5. Использование методологических принципов физики при решении задач…………………………………………….... 60 5.1. Принцип симметрии…………………………………….. 60 5.2. Принцип относительности...……………………………. 71 5.3. Принцип простоты, красоты и толерантности……….… 82 114 6. Метод анализа размерностей при решении физических задач……………………………………………………………… 89 6.1. Основы использования метода анализа размерностей……………………………………………………. 89 6.2. Векторные единицы длины…………………………….. 93 6.3. Соображения подобия при решении физических задач……………………………………………………... 98 7. Решение олимпиадных задач………………………………… 102 7.1. Теоретические задачи………………………………….. 102 7.2. Экспериментальные задачи…………………………… 108 Заключение…………………………………………………………. 111 Рекомендуемая литература………………………………………... 113 115
