Т е м а 16 Лекция 1 16.1.

Т е м а 16
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ
Лекция 1
16.1. Преобразование (биекция плоскости на себя), композиция преобразований. Преобразование, обратное к данному. Понятие о группе преобразований: показать ассоциативность в группе
поворотов (на примере); пример некоммутирующих элементов в
группе всех преобразований плоскости.
Эрлангенская программа Ф. Клейна.
16.2. Движение — преобразование, сохраняющее расстояния.
Легко доказать, что композиция двух движений является движением и что отображение плоскости на себя, обратное движению,
является движением. Группа движений плоскости. Конгруэнтность
фигур (определение, обозначение).
16.3. Свойства движений. Коллинеарные точки отображаются
в коллинеарные (идея доказательства в том, чтобы использовать
критерий коллинеарности AX + XB = AB ). Следовательно, прямая отображается в прямую, луч в луч. Сохранение конгруэнтности углов (доказательство через конгруэнтность треугольников).
Сохраняется сонаправленность лучей (без доказательства).
16.4. Осевая симметрия. Осевая симметрия является движением:
1) если одна из двух точек — концов отрезка — лежит на оси,
то все следует из свойства серединного перпендикуляра;
2) если обе точки лежат по одну сторону от оси, либо по разные стороны от оси — рассматривать равные треугольники (точка
пересечения «диагоналей» лежит на оси, это следует из равенства
углов).
Когда две осевые симметрии коммутируют? — тогда и только
тогда, когда их оси перпендикулярны (на примере, без доказательства).
16.5. Определения движений I и II рода. Очевидные свойства
композиции движений I и II рода.
j j j j j j
1
Лекция 2
16.6. Повороты, параллельные переносы. Теоремы о том, что
они являются движениями. Скользящие симметрии.
16.7. Неподвижные точки. Теорема о трех неподвижных точках. Теорема о разложимости движения в композицию не более
чем трех осевых симметрий — без доказательства. Теорема Шаля
(любое движение есть либо поворот, либо параллельный перенос,
либо скользящая или, как частный случай, осевая симметрия) —
без доказательства. Пример: какой скользящей симметрии равна композиция осевой симметрии и параллельного переноса на
вектор, не параллельный оси?
Лекция 3
16.8. Гомотетия. Множество всех гомотетий с общим центром
является абелевой группой.
16.9. Преобразование подобия. Разложение подобия в композицию движения и гомотетии.
Практики 1 – 3
Деление задач на классные и домашние в этой теме заранее
не определено и осуществляется учителем совместно с учащимися в ходе работы.
Параллельный перенос
1. Докажите, что при параллельном переносе окружность переходит в окружность.
2. Две окружности радиуса R касаются в точке K. На одной из них взята точка A, на другой — точка B, причем
∠AKB — прямой. Докажите, что AB = 2R.
3. В каком месте следует построить мост MN через реку,
разделяющую деревни A и B, чтобы путь AMNB из A в B
был кратчайшим? (Берега реки считаются параллельными
прямыми, мост перпендикулярен берегам.)
4. Дан угол ABC и прямая l. Постройте прямую, параллельную прямой l, на которой стороны угла ABC высекают
отрезок длины a.
j j
2
5. *Из вершины B параллелограмма ABCD проведены его
высоты BK и BH. Известно, что KH = a и BD = b. Найдите расстояние от точки B до точки пересечения высот
треугольника BKH.
Центральная симметрия
6. Докажите, что при центральной симметрии окружность переходит в окружность.
7. Докажите, что противоположные стороны шестиугольника,
образованного сторонами треугольника и параллельными
им касательными к его вписанной окружности, равны.
8. Докажите, что если в треугольнике медиана и биссектриса
совпадают, то треугольник равнобедренный.
9. *Пусть P — середина стороны AB выпуклого четырехугольника ABCD и площадь треугольника PCD равна
половине площади четырехугольника ABCD. Докажите,
что BC AD.
10. Докажите, что композиция двух центральных симметрий
является параллельным переносом.
11. *Постройте прямую, на которой две данные окружности с
общим центром высекают три конгруэнтных отрезка.
12. Двое игроков поочередно выкладывают на прямоугольный
стол однаковые монеты. Монету разрешается класть только на свободное место. Проигрывает тот, кто не может
сделать очередной ход. Докажите, что первый игрок имеет
выигрышную стратегию.
13. Каким движением является композиция центральной симметрии и параллельного переноса?
14. *Докажите, что ограниченная фигура не может иметь более
одного центра симметрии.
k
Осевая симметрия
15. Докажите, что окружность при осевой симметрии переходит в окружность.
16. Докажите, что если фигура имеет две перпендикулярные
оси симметрии, то она имеет центр симметрии.
3
17. *Точка M лежит на диаметре AB окружности. Хорда CD
проходит через M и пересекает AB под углом 45 . Докажите, что CM2 + DM2 не зависит от выбора точки M.
Поворот
18. Докажите, что при повороте окружность переходит в окружность.
19. Через центр квадрата проведены две перпендикулярные
прямые. Докажите, что точки их пересечения со сторонами
квадрата образуют квадрат.
20. *На сторонах CB и CD квадрата ABCD взяты точки M и
K так, что периметр треугольника CMK равен удвоенной
стороне квадрата. Найдите величину угла MAK.
21. *На отрезке AE по одну сторону от него построены равносторонние треугольники ABC и CDE; M и P — середины отрезков AD и BE соответственно. Докажите, что треугольник CPM равносторонний.
22. *Найдите геометрическое место точек M, лежащих внутри правильного треугольника ABC, таких, что выполняется
равенство MA2 = MB2 + MC2 .
23. *Постройте равносторонний треугольник так, чтобы его
вершины принадлежали трем данным параллельным прямым.
Указания, ответы
!
5. Пусть H1 — точка пересечения высот, о которой идет речь.
–––
Примените параллельный перенос на вектор H1 H.
p
Ответ: b2 – a2 .
9. Рассмотрите точку D1 , симметричную D относительно P.
11. Отразите меньшую окружность относительно любой ее
точки.
13. Ответ: центральной симметрией.
14. Рассмотрите композицию двух симметрий, если они существуют.
17. Отразите точки C и D относительно прямой AB.
4
20. Поверните квадрат вокруг точки A на 90 так, чтобы
точка B перешла в точку D. Ответ: 45 .
21. Рассмотрите поворот на 60 вокруг точки C, переводящий
точку E в точку D.
22. Рассмотрите поворот с центром A, переводящий B в C.
Ответ: дуга окружности, лежащая внутри треугольника, из
каждой точки которой отрезок BC виден под углом 150 .
23. Задача решается поворотом одной из прямых на 60 .
5