Колебания кристаллической решетки NaCl в одномерной

X-XI МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЕ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКИЕ КОНФЕРЕНЦИИ ОДАРЕННЫХ ШКОЛЬНИКОВ
КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ NaCl
В ОДНОМЕРНОЙ МОДЕЛИ
МАКСИМОВ ЛЕОНИД
Элиста
Руководитель: к.ф.-м.н. ПОПОВ В.И.
Ионный кристалл хлорида натрия (NaCl) представляет собой химическое
соединение, образованное металлическим (Na+) и неметаллическим (Cl–) элементами. В
наиболее простой модели ионного кристалла считается, что все ионы представляют собой
непроницаемые заряженные сферы.
Структура хлорида натрия имеет вид
a – сторона условной кубической ячейки;
d – расстояние между ближайшими соседями;
d = a/2.
Данные об ионных радиусах, взятые из таблиц [1], r
>
+
= 0,95 Å; r
–
=1,81 Å,
<
позволяют сделать вывод, что условие ( r / r ) < 1 + 2 выполняется достаточно
хорошо (1,91 < 2,41). Вследствие этого каждый большой ион при колебаниях
соприкасается лишь с соседними малыми (d = 1,02 ( r
+
+ r
–
)). Поэтому нулевое
15
X-XI МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЕ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКИЕ КОНФЕРЕНЦИИ ОДАРЕННЫХ ШКОЛЬНИКОВ
приближение для взаимодействия ионов можно представить как взаимодействие соседних
ионов разных типов. Это подтверждается экспериментальными данными для кулоновской
энергии и энергии связи. Расхождение составляет ~ 10 %.
Рассмотрим линейную цепочку из ионов, в которой чередуются ионы с массами m1
и m2 ( m1 = 23 а.е.м. ( Na + ) и m2 = 35,5 а.е.м. ( Cl – ) ) с учетом взаимодействия между
ближайшими соседями. Значение упругой постоянной β, определяющей упругое
взаимодействие вдоль одной из кубических осей, по опубликованным данным составляет
0,487 · 10 12 дин · см –2 при 300 K.
Такой моделью можно представить продольные колебания атомов, расположенных
на одной из кубических осей элементарной кубической ячейки.
Длина базисного вектора линейной цепочки равна a. Поэтому одномерная
элементарная ячейка содержит два атома. Будем считать, что элементарная ячейка с
номером n содержит атомы с номерами n1 и n2. Обозначим смещения n1-го и n2-го
ионов как un и vn. При учете взаимодействия только ближайших ионов в приближении
квазиупругой силы получим уравнения движения в следующем виде:
m1 ün = – β ( un – vn ) – β ( un – vn–1 );
(1)
m2 ϋn = – β ( vn – un+1 ) – β ( vn – un );
(2)
Решения (1) и (2) будем искать в виде
un=A1 ei ( qan – ωt ), vn=A2 ei ( qan – ωt ),
где ω – частота, q – волновое число, A1 и A2 – амплитуды колебаний.
(3)
Подставляя (3) в (1) и (2), получим:
( 2β – m1ω2 ) A1 = β ( 1 + e –iqa ) A2 ;
(4)
( 2β – m2ω2 ) A2 = β ( 1 + e iqa ) A1 ;
(5)
Из (4): A1 /A2 = ( β ( 1 + e
–iqa
2
) ) / ( 2β – m1 ω2 );
iqa
Из (5): A1 /A2 = ( 2β – m1 ω ) / ( β ( 1 + e ) ).
Для совместного решения (4) и (5) необходимо, чтобы
( β ( 1 + e –iqa ) ) / ( 2β – m1 ω2 ) = ( 2β – m1 ω2 ) / ( β ( 1 + e iqa ) ).
Решая (6), получим
m1 m2 ω4 – 2β ( m1 + m2 ) ω2 + 4β2 = β2 ( 1+ e iqa + e –iqa +1 )
16
(6)
X-XI МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЕ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКИЕ КОНФЕРЕНЦИИ ОДАРЕННЫХ ШКОЛЬНИКОВ
ω4 – 2β ( m1 + m2 ) ω2 / ( m1 m2 ) + 4β2 / ( m1 m2 ) –
– 2β2 ( 1+cos qa ) / ( m1 m2 ) = 0
ω4 – 2β ( m1 + m2 ) ω2 / ( m1 m2 ) + 4β2 sin2(qa/2) / ( m1 m2 ) = 0
D = 4β2 ( m1 + m2 )2 / ( m12 m22 ) – 16β2sin2(qa/2) / ( m1 m2 ) =
= 4β2 ( ( m1 + m2 ) / ( m1 m2 ) )2(1 – 4m1 m2 sin2(qa/2) / ( m1 + m2 )2 )
ω1 2 = β ( m1 + m2 ) / ( m1 m2 ) · ( 1 – √ 1 – 4m1 m2 sin2(qa/2) / ( m1 + m2 )2 )
ω2 2 = β ( m1 + m2 ) / ( m1 m2 ) · ( 1 + √ 1 – 4m1 m2 sin2(qa/2) / ( m1 + m2 )2 )
Введем
ω0 2 = 2β ( m1 + m2 ) / ( m1 m2 ),
(7)
γ 2 = 4m1 m2 / (m1+m2)2.
(8)
ω1 2 = 0,5ω0 2 ( 1 – √ 1 – γ 2 sin2(qa/2) );
(9)
ω2 2 = 0,5ω0 2 ( 1 + √ 1 – γ 2 sin2(qa/2) );
(10)
2
Так как γ ≤1, то ω1 и ω2 вещественны.
2
Рассмотрим функцию sin (qa/2), содержащую зависимость от q: очевидно, что
замена qa/2 на qa/2 + π не изменяет функцию.
2
Все неэквивалентные вектора (дающие различные значения ω ) содержатся в
интервале – π/2 < qa/2 ≤ π/2; – π/a < q ≤ π/a.
(11)
Для определения допустимых значений q из интервала (11) применим к решению
(3) граничные условия Борна-Кармана:
un(q, t) = un+ N (q, t)
u n+ N = A1 e i ( qan – ωt ) e iqaN = un = A1 e i ( qan – ωt )
e iqaN = 1
qaN = 2πk
q = 2πk / ( aN )
Δq = 2π / ( aN ) – мало
– π/a < q ≤ π/a
– π/a < 2πk / ( aN ) ≤ π/a
– N/2 < k ≤ N/2.
Исследуем законы дисперсии ω1(q) и ω2(q) и представим (9) и (10) графически:
ω1( 0 ) = 0
ω2( 0 ) = ω0;
ω1( π/a ) = ω0 1 − 1 − γ 2
2
ω2( π/a ) = ω0 1 + 1 − γ 2
2.
Видим:
ω2( 0 ) > ω2( π/a ) > ω1( π/a ) > ω1( 0 ).
17
X-XI МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЕ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКИЕ КОНФЕРЕНЦИИ ОДАРЕННЫХ ШКОЛЬНИКОВ
π
a
−
3π
4a
−
π
2a
−
π
a
π
4a
π
2a
3π
4a
π
a
Если q → 0, то
при ω = ω 1 ;
un A1 β (1 + e − iqa ) 1
=
=
=

v n A2 2 β − m 1ω 2 m 2 m 1 при ω = ω 2 .
1. ω = ω1 и un=vn. Ионы в решетке движутся синхронно, что характерно для
акустических колебаний, поэтому ω1(q) называется акустическим законом
дисперсии или акустической модой колебаний.
2. ω = ω1, un m1 + vn m2 = 0. Колебания в противофазе, меняют электрическое
поле и (или) электрический заряд. Это может вызвать процессы поглощения и
излучения электромагнитных волн. То есть эти колебания являются оптически
активными. Поэтому колебания с законом дисперсии ω2(q) называют
оптическими и соответственно ω2(q) – оптическим законом дисперсии или
оптической модой колебаний.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ашкрофт Н., Мермин Н. «Физика твердого тела». ТТ. 1-2, М.: 1979.
18