Белорусский Государственный Университет, Минск Физический факультет SS 2011/2012 Я.М. Шнир СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА Задачи и упражнения 16 √ 1. Релятивистский электрон имеет энергию 𝜀 = 𝑐 𝑝⃗2 + 𝑚2 𝑐2 . Определим переменную 𝜃, заданную соотношением ∣⃗𝑝∣ = 𝑚𝑐 sinh 𝜃. Вычислить средние значения cледующих величин, выраженные как интегралы от некоторых функций этой переменной: (i) Полного числа частиц 𝑁 ; (ii) Полной энергии релятивистского фермионного газа 𝐸; (iii) Давления релятивистского фермионного газа 𝑃 . 2. Предполагая что релятивистский электронный газ полностью вырожден, записать соответствующее уравнение состояния в ультрарелятивистском и нерелятивистском пределах. 3. Белый карлик. Рассмотрим газовое облако гелия 4 He массой 𝑀 = 1033 грамм при плотности 𝜌 = 107 𝑔/𝑐𝑚3 и температуре 𝑇 = 107 𝐾 ∘ . Поскольку соответствующая энергия много больше энергии ионизации, можно полагать что все атомы ионизированы. Показать, что такой электронный газ является релятивистским и определить зависимость радиуса белого карлика от его массы. 4. Рассмотрим образец металла, содержащий 𝑁 атомов. Химический потенциал системы равен 𝜇 а энергетическая зона, содержащая 2𝑁 электронных уровней 𝜀𝑖 занята 2𝑁 − 𝑁 ′ электронами. Показать, что эти электроны дают такой же вклад в термодинамические характеристики, как и электронный газ с энергетическими уровнями −𝜀𝑖 и химическим потенциалом −𝜇. Решения 1. Поскольку 𝑝 = 𝑚𝑐 sinh 𝜃, то с учетом вырождения по спину, можно записать выражение для плотности числа состояний в виде: 4𝜋𝑉 2 8𝜋𝑉 𝑝 𝑑𝑝 = (𝑚𝑐)3 sinh2 𝜃 cosh 𝜃𝑑𝜃 3 3 ℎ ℎ 𝑑𝜔 = 2 Энергия релятивистского электрона выражается через переменную 𝜃 как 𝜀 = √ 𝑐 𝑝2 + 𝑚2 𝑐2 = 𝑚𝑐2 cosh 𝜃. Следовательно, среднее число частиц релятивистского квантового ферми-газа определяется соотношением 𝑁= ∑ 1 𝑒𝛽(𝜀𝑖 −𝜇) + 1 𝑖 = 8𝜋𝑉 ( 𝑚𝑐 )3 ∫∞ ℎ sinh2 𝜃 cosh 𝜃𝑑𝜃 exp [𝛽(𝑚𝑐2 cosh 𝜃 − 𝜇)] + 1 0 Аналогично, средняя энергия релятивистского квантового ферми-газа равна 𝐸= ∑ 𝑖 𝑚4 𝑐5 = 8𝜋𝑉 𝑒𝛽(𝜀𝑖 −𝜇) + 1 ℎ3 𝜀 ∫∞ sinh2 𝜃 cosh2 𝜃𝑑𝜃 exp [𝛽(𝑚𝑐2 cosh 𝜃 − 𝜇)] + 1 0 Выражение для давления релятивистского ферми-газа проще всего получить из определения большого термодинамического потенциала ∑ [ ] −Φ = 𝑃 𝑉 = 𝑘𝐵 𝑇 ln 1 + 𝑒−𝛽(𝜀𝑖 −𝜇) 𝑖 Переходя в последнем выражении к интегрированию по энергии (переменной 𝜃), получим 𝑃 =8𝜋 ( 𝑚𝑐 )3 ∫∞ 1 ℎ 𝛽 [ [ ]] sinh2 𝜃 cosh 𝜃𝑑𝜃 ln 1 + exp −𝛽(𝑚𝑐2 cosh 𝜃 − 𝜇) 0 ∞ 4 5∫ = 8𝜋 𝑚 𝑐 3 ℎ3 (1) 4 sinh 𝜃𝑑𝜃 exp [𝛽(𝑚𝑐2 cosh 𝜃 − 𝜇)] + 1 0 где мы воспользовались формулой интегрирования по частям: ∫∞ 0 ] 𝑑(sinh3 𝜃) [ 2 ln 1 + 𝑒−𝛽(𝑚𝑐 cosh 𝜃−𝜇) = 3𝛽 ∫∞ 0 ]} sinh3 𝜃 { [ 2 𝑑 ln 1 + 𝑒−𝛽(𝑚𝑐 cosh 𝜃−𝜇) 3𝛽 Для полностью вырожденного ферми-газа (𝑇 = 0) отсюда следует что 𝜀𝐹 = 𝑚𝑐2 cosh 𝜃0 и 𝑚3 𝑐3 𝑁 = 8𝜋𝑉 3 ℎ ∫𝜃0 sinh2 𝜃 cosh 𝜃𝑑𝜃 = 8𝜋𝑉 𝑚3 𝑐3 sinh3 𝜃0 3 ℎ3 0 Аналогично 𝑚4 𝑐5 𝐸 = 8𝜋𝑉 3 ℎ ∫𝜃0 sinh2 𝜃 cosh2 𝜃𝑑𝜃 = 𝜋𝑉 𝑚4 𝑐5 (sinh(4𝜃0 ) − 4𝜃0 ) 4 ℎ3 0 При этом давление вырожденного релятивистского электронного газа определяется соотношением 8𝜋 𝑚4 𝑐5 𝑃 = 3 ℎ3 ∫𝜃0 𝜋 𝑚4 𝑐5 sinh 𝜃 = 3 ℎ3 ( 4 1 sinh(4𝜃0 ) − 2 sinh(𝜃0 ) + 3𝜃0 4 ) (2) 0 Если определить предельный импульс Ферми 𝑝𝐹 = 𝑚𝑐 sinh 𝜃0 , которому соответствует энергия равная химпотенциалу при 𝑇 = 0, то из выражения для среднего числа частиц немедленно получаем соотношение 𝑁= 8𝜋𝑉 𝑝3𝐹 3 ℎ3 что полностью определяет химический потенциал релятивистского газа Ферми. 2. Так как для полностью вырожденного газа Ферми 𝑝𝐹 = 𝑚𝑐 sinh 𝜃0 и ℎ sinh 𝜃0 = 𝑚𝑐 ( 3𝑛 8𝜋 )1/3 то нерелятивистский предел 𝑝 ≪ 𝑚𝑐 соответствует sinh 𝜃 ≪ 1 а ультрарелятивистский предел 𝑝 ≫ 𝑚𝑐 соответствует sinh 𝜃 ≫ 1. В нерелятивистском пределе энергия электрона равна 𝜀 = 𝑚𝑐2 + 𝑝2 /2𝑚 а в ультрарелятивистском пределе можно использовать приближение 𝜀 = 𝑐𝑝. В нерелятивистском пределе тогда можно воспользоваться разложениями для энергии [ ] 1 32 ( 𝑝𝐹 )3 3 ( 𝑝 𝐹 )2 1 3 5 1+ + ... sinh(4𝜃0 ) − 4𝜃0 ≈ (4𝜃0 ) + (4𝜃0 ) + ⋅ ⋅ ⋅ ≈ 3! 5! 3 𝑚𝑐 10 𝑚𝑐 и для давления 1 2 8 ( 𝑝 𝐹 )5 1 sinh(4𝜃0 ) − 2 sinh(𝜃0 ) + 3𝜃0 ≈ (4𝜃0 )5 − (2𝜃0 )5 + ⋅ ⋅ ⋅ ≈ 4 4 ⋅ 5! 5! 5 𝑚𝑐 что приводит к соотношениям [ ] 8𝜋𝑉 𝑚4 𝑐5 ( 𝑝𝐹 )3 3 ( 𝑝𝐹 )2 𝐸= 1+ + ... 3 ℎ3 𝑚𝑐 10 𝑚𝑐 и 𝑃 = 8𝜋 𝑚4 𝑐5 ( 𝑝𝐹 )5 15 ℎ3 𝑚𝑐 то есть 3 𝑝2𝐹 2 ); 𝑃𝑉 ≈ 𝐸 5 2𝑚 3 𝑚𝑐 𝜃0 В ультрарелятивистском пределе 𝑝𝐹 ≈ 2 𝑒 и следовательно 𝐸 ≈ 𝑁 (𝑚𝑐2 + ( 𝑝 )4 1 𝐹 sinh(4𝜃0 ) − 4𝜃0 ≈ 𝑒4𝜃0 = 8 2 𝑚𝑐 ( 𝑝 )4 1 4𝜃0 1 𝐹 sinh(4𝜃0 ) − 2 sinh(𝜃0 ) + 3𝜃0 ≈ 𝑒 = 2 4 8 𝑚𝑐 Таким образом, 𝑚4 𝑐5 ( 𝑝𝐹 )4 𝐸 = 2𝜋𝑉 3 ; ℎ 𝑚𝑐 то есть 𝑃 𝑉 = 2𝜋 𝑚4 𝑐5 ( 𝑝𝐹 )4 𝑃 = 3 ℎ3 𝑚𝑐 𝐸 . 3 3. Положим что число электронов в полностью ионизированной системе равно 𝑁 . Тогда число 𝛼-частиц (ядер атомов гелия 4 He) равно 𝑁/2, масса каждой 𝛼частицы равна 4𝑚𝑝 , причем масса звезды почти полностью определяется суммарной массой 𝛼-частиц, вклад в нее электронных масс пренебрежимо мал. Электронная плотность тогда может быть оценена как 𝑛= 𝑁 2𝑀 𝜌 = = ≈ 1030 𝑐𝑚−3 𝑉 4𝑚𝑝 𝑉 2𝑚𝑝 где мы учли что 𝑀 = 𝑁 ⋅ 𝑚𝑒 + 12 𝑁 ⋅ 4𝑚𝑝 ≈ 12 𝑁 ⋅ 4𝑚𝑝 . Следовательно, импульс Ферми равен ( )1/3 3𝑛 𝑝𝐹 = ℎ ≈ 2 ⋅ 10−17 𝑔 ⋅ 𝑐𝑚/𝑠 8𝜋 Поскольку 𝑛 = 𝑀 2𝜋𝑉 , то ( 𝑝𝐹 = ℎ 9𝑀 64𝜋 2 𝑚𝑝 𝑅3 )1/3 что полностью определяет параметр 𝜃0 . С другой стороны, величина 𝑚𝑐 ≈ 9.1 ⋅ 10−28 × 3 ⋅ 10−10 ≈ 2.7 ⋅ −17 𝑔 ⋅ 𝑐𝑚/𝑠, то есть электроны являются релятивистскими. При этом температура Ферми равна 𝑇𝐹 ∼ 𝑚𝑐2 ∼ 106 eV ∼ 1012 K∘ . Если 𝑇 ≪ 𝑇𝐹 , то газ можно рассматривать как сильно вырожденный и в вычислениях оправданно положить 𝑇 = 0. Условие стабильности белого карлика заключается в балансе его внутренней энергии и гравитационного взаимодействия, то есть изменение внутренней энергии релятивистского вырожденного ферми-газа 𝑑𝐸 = −𝑃 𝑑𝑉 = 𝑃 (𝑅) ⋅ 4𝜋𝑅2 𝑑𝑅 должно быть сбалансировано гравитацией: 𝑑𝐸 = 𝛾 𝐺𝑀 2 𝑑𝑅 𝑅2 где 𝛾-некоторый коэффициент, учитывающий радиальную зависимость распределения массы белого карлика. Таким образом, условие равновесия означает что ( ) 𝜋 𝑚4 𝑐5 1 𝛾 𝐺𝑀 2 𝑃 (𝑅) = sinh(4𝜃 ) − 2 sinh(𝜃 ) + 3𝜃 = 0 0 0 3 ℎ3 4 4𝜋 𝑅4 где мы воспользовались выражением (2) для давления вырожденного релятивистского электронного газа. Заметим, что в предельных случаях 𝜃0 → 0 и 𝜃0 → ∞ выполняются соотношения { 24 5 𝜃 , 𝜃0 → 0 1 15 0 sinh(4𝜃0 ) − 2 sinh(𝜃0 ) + 3𝜃0 = 1 4𝜃0 4 𝑒 𝜃0 → ∞ 8 ( )1/3 Учитывая что 𝑝𝐹 = 𝑚𝑐 sinh 𝜃0 = ℎ 64𝜋9𝑀 , получим оценку в этих предельных 2 𝑚 𝑅3 𝑝 случаях ⎧ ( )5/3 4ℎ2 9𝑀 ⎨ 2 , 𝜃0 → 0 𝛾 𝐺𝑀 15𝑚 64𝜋 2 𝑚𝑝 𝑅3 𝑃 (𝑅) = = ( ) 4/3 4𝜋 𝑅4 9𝑀 ⎩ ℎ𝑐 𝜃0 → ∞ 2 3 6𝜋 64𝜋 𝑚𝑝 𝑅 Следовательно, при 𝜃0 → 0 𝑅 ∝ 𝑀 −1/3 а при 𝜃0 → ∞ масса стремится к пределу Чандрасекара: ( )3/2 ( )2 3 ℎ𝑐 9 𝑀 = 𝑀0 = 2 𝛾𝐺 64𝜋 2 𝑚𝑝 определяющему минимальный размер белого карлика. 4. Свободная энергия свободного электронного газа состоящего из 2𝑁 −𝑁 ′ электронов, определяется как ∑ [ ] 𝐹 = (2𝑁 − 𝑁 ′ )𝜇 − 𝑘𝐵 𝑇 ln 1 + 𝑒𝛽(𝜇−𝜀𝑖 ) 𝑖 Заметим, что число электронов в энергетической зоне определяется как { } ∑ ] ∂ ∑ [ 1 𝛽(𝜇−𝜀𝑖 ) ′ 2𝑁 − 𝑁 ≡ = 𝑘𝐵 𝑇 ln 1 + 𝑒 𝑒𝛽(𝜀𝑖 −𝜇) + 1 ∂𝜇 𝑖 𝑖 Преобразование свободной энергии приводит к выражению (здесь мы воспользуемся тем что ln(1 + 𝑒𝑥 ) = ln(𝑒𝑥 (1 + 𝑒−𝑥 )) = 𝑥 + ln(1 + 𝑒−𝑥 )) ∑ [ ] ∑ 𝐹 = (2𝑁 − 𝑁 ′ )𝜇 − 𝑘𝐵 𝑇 ln 1 + 𝑒𝛽(𝜀𝑖 −𝜇) − (𝜇 − 𝜀𝑖 ) = ∑ 𝑖 ′ 𝜀𝑖 − 𝑁 𝜇 − 𝑘𝐵 𝑇 ∑ [ ln 1 + 𝑒 𝑖 𝛽(−𝜇−(−𝜀𝑖 )) ] (3) 𝑖 𝑖 ∑ Поскольку величина 𝜀𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, ее можно отбросить изменив начало отсчета энергии. Очевидно, что тогда выражение (3) совпадает со свободной энергией системы электронов с энергией −𝜀 и химпотенциалом −𝜇. С другой стороны, } ∑ ∑{ ∑ 1 1 1 ′ 2𝑁 − 𝑁 = = = 2𝑁 − 1 − 𝛽(𝜀 −𝜇) 𝛽(𝜇−𝜀 ) 𝑖 𝑒 𝑖 +1 1+𝑒 1 + 𝑒𝛽(𝜇−𝜀𝑖 ) 𝑖 𝑖 𝑖 то есть 𝑁′ = ∑ 𝑖 ∑ 1 1 = 𝛽(𝜇−𝜀 ) 𝛽(−𝜀 𝑖 𝑖 −(−𝜇)) 1+𝑒 1+𝑒 𝑖 что согласуется с вышеуказанной интерпретацией (ферми-газ положительно заряженных дырок).