Белорусский Государственный Университет, Минск Физический факультет SS 2011/2012 Я.М. Шнир СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА Задачи и упражнения 14 1. Рассмотрим систему 𝑁 электронов, плотность состояний которых 𝑔(𝜀) = 𝑔0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 при 𝜀 > 0 и 𝑔(𝜀) = 0 при 𝜀0 . Вычислить энергию Ферми 𝜀𝐹 системы при 𝑇 = 0. Определить при каких условиях при ненулевой температуре 𝑇 система является невырожденной. Показать, что теплоемкость сильно вырожденного электронного газа пропорциональна его температуре (не вычисляя энергию электронного газа и его теплоемкость в явном виде!). 2. Определить химический потенциал и внутреннюю энергию сильно вырожденного идеального ферми-газа частиц со спином 1/2 с точностью до членов порядка 𝑇 4 . 3. Показать что уравнение состояния идеального ферми-газа имеет вид 𝑃𝑉 = 2𝐸 3 Вывести формулу для сжимаемости сильно вырожденного ферми-газа 𝜅 = − 𝑉1 ( ∂𝑉 ) ∂𝑃 𝑇 . Решения 1. При 𝑇 = 0 все уровни ниже уровня Ферми 𝜀𝐹 заняты, а все состояния с энергией выше 𝜀𝐹 свободны. Учитывая вырождение по спину можно тогда записать 2𝑔0 𝜀𝐹 𝑉 = 𝑁, =⇒ 𝜀𝐹 = 𝑁 2𝑉 𝑔0 Далее, поскольку для невырожденной системы фермионов должно выполняться условие ) ( 𝜇 ≪1 exp 𝑘𝐵 𝑇 при котором статистика Ферми-Дирака редуцируется к статистике Больцмана 1 𝑒𝛽(𝜀−𝜇) −1 ≈ 𝑒𝛽𝜇 𝑒−𝛽𝜀 то выражение для плотности невырожденного электронного газа имеет вид: 𝑁 𝑛= = 𝑉 ∫∞ 𝜇 2𝑔0 𝑑𝜀 𝑘𝐵 𝑇 = 2𝑔 𝑘 𝑇 𝑒 0 𝐵 𝑒𝛽(𝜀−𝜇) − 1 0 Следовательно, условие отсутствия вырождения можно записать в виде 𝑘𝐵 𝑇 ≫ 𝑁 = 𝜀𝐹 2𝑉 𝑔0 Заметим что при 𝑇 = 0 все электроны находятся внутри поверхности Ферми. Если 𝑇 ∕= 0 но 𝑘𝐵 𝑇 ≪ 𝜀𝐹 , то возбуждены только те электроны, которые близки к поверхности Ферми, их число можно оценить как 𝑁𝑒𝑓 𝑓 ∼ 𝑘𝐵 𝑇 𝑔0 - число состояний в интервале 𝑘𝐵 𝑇 . Наконец, поскольку каждый электрон вносит в теплоемкость сильно вырожденного электронного газа вклад 𝐶0 = 3𝑘𝐵 /2, то 𝐶 ∝ 𝑇 . 2. Плотность состояний нерелятивистской частицы со спином 1/2 в объеме 𝑉 равна √ √ (2𝑚)3/2 𝜀𝑑𝜀 (2𝑚)3/2 𝑑𝑤(𝜀) = 4𝜋𝑉 = 𝐴 𝜀𝑑𝜀; 𝐴 = 4𝜋𝑉 (1) ℎ3 ℎ3 Поскольку при 𝑇 = 0 все состояния ниже уровня Ферми заняты, то полное число частиц в системе определяется из соотношения ∫ 𝑁= ∫∞ 𝑓 (𝜀)𝑑𝑤 = 𝐴 0 √ 𝑓 (𝜀) 𝜀𝑑𝜀; { 𝑓 (𝜀) = 1, 𝜀 < 𝜇0 = 𝜀𝐹 0, 𝜀 > 𝜇0 = 𝜀𝐹 то есть ∫𝜇0 𝑁 =𝐴 √ 2 3/2 8𝜋 𝜀 𝑑𝜀 = 𝐴𝜇0 = 𝑉 3 3 ( 2𝑚𝜇0 ℎ2 )3/2 0 и энергия Ферми вырожденного ферми-газа равна ( )2/3 ℎ2 3𝑁 𝜀𝐹 = 2𝑚 8𝜋𝑉 Следовательно, плотность состояний (1) может быть выражена через энергию Ферми как √ 3𝑁 𝜀 𝑑𝑤(𝜀) = 2 𝜇3/2 0 Рассмотрим теперь систему при конечной температуре. Число частиц при этом определяется соотношением ∫∞ 𝑁= 3 −3/2 𝑑𝑤(𝜀)𝑓 (𝜀)𝑑𝜀 = 𝑁 𝜇0 2 0 ∫∞ √ 𝜀𝑓 (𝜀)𝑑𝜀; 𝑓 (𝜀) = 1 𝑒𝛽(𝜀−𝜇) + 1 (2) 0 Напомним метод вычисления интегралов такого вида. Рассмотрим ∫∞ 𝑓 (𝜀)𝜀𝑛 𝑑𝜀 𝐼𝑛 = 0 Интегрируя по частям, получим ¯∞ ∫∞ ∫∞ ¯ 𝜀𝑛+1 1 ∂𝑓 1 ∂𝑓 𝑛+1 𝐼𝑛 = 𝑓 (𝜀)¯¯ − 𝜀 𝑑𝜀 = − 𝜀𝑛+1 𝑑𝜀 𝑛+1 𝑛+1 ∂𝜀 𝑛+1 ∂𝜀 0 0 0 поскольку первое слагаемое обращается в ноль как на верхнем, так и на нижнем пределах интегрирования. Определяя новую переменную 𝑥 = (𝜀 − 𝜇)/𝑘𝐵 𝑇 ; 𝜀 = 𝑘𝐵 𝑇 𝑥 + 𝜇, заметим что 𝑓 (𝑥) = 𝑒𝑥 1 ; +1 ∂𝑓 ∂𝑓 𝑑𝜀 = 𝑑𝑥 ∂𝜀 ∂𝑥 Следовательно, рассматриваемый интеграл может быть представлен в виде 1 𝐼𝑛 = − 𝑛+1 ∞ ∫∞ 𝑛+1 ∫ ( 𝜇 𝑥 )𝑛+1 ∂𝑓 ∂𝑓 (𝜇 + 𝑘𝐵 𝑇 𝑥)𝑛+1 𝑑𝑥 = − 1+ 𝑑𝑥 ∂𝑥 𝑛+1 𝛽𝜇 ∂𝑥 𝛽𝜇 (3) −∞ где мы воспользовались тем, что в случае малых температур нижний предел интегрирования может быть устремлен к −∞. Следующий шаг состоит в разложении полинома в подинтегральном выражении в ряд 𝑥 𝑛+1 𝑥 (𝑛 + 1)𝑛 ( 𝑥 )2 (𝑛 + 1)𝑛(𝑛 − 1) ( 𝑥 )3 (1 + ) ≈ 1 + (𝑛 + 1) + + 𝛽𝜇 𝛽𝜇 2 𝛽𝜇 2⋅3 𝛽𝜇 (𝑛 + 1)𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) ( 𝑥 )4 + + ... 2⋅3⋅4 𝛽𝜇 и последующем почленным интегрированием. При этом первое и второе слагаемые вносит вклады ¯∞ ¯∞ ∫∞ ∫∞ ¯ ¯ ∂𝑓 ∂𝑓 1 ¯ 𝑥 𝑑𝑥 = 0 = 𝑥 = −1 𝑑𝑥 = 𝑓 (𝑥)¯¯ ¯ ∂𝑥 𝑒 + 1 −∞ ∂𝑥 −∞ −∞ −∞ и, вообще говоря, вклад всех членов нечетных степеней равен нулю (интегрирование 𝑒𝑥 по частям). Поскольку ∂𝑓 = − , для квадратичного члена получим ∂𝑥 (𝑒𝑥 + 1)2 ∫∞ 𝑒−𝑥 𝑥 ≈ −2 (1 + 𝑒−𝑥 )2 2 −∞ ∫∞ 1 1 𝜋2 𝑥2 (𝑒−𝑥−2𝑒−2𝑥 +3𝑒−3𝑥 −. . . )𝑑𝑥 = −4(1− 2 + 2 −. . . ) = − 2 3 3 0 и, вообще говоря, все вклады четных степеней определяются 𝜁-функцией Римана: ∫∞ 𝑒𝑥 𝑥𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑛!(1 − 21−𝑛 )𝜁(𝑛) (𝑒 + 1)2 ∞ При этом 𝜋2 𝜋4 ; 𝜁(4) = 6 90 и для интеграла (3) получаем с точностью до членов 4-го порядка: [ ( )2 ( )4 ] 𝑘𝐵 𝑇 𝜇𝑛+1 𝜋 2 (𝑛 + 1)𝑛 𝑘𝐵 𝑇 7𝜋 4 𝐼𝑛 ≈ 1+ + (𝑛 + 1)𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) ... 𝑛+1 6 𝜇 360 𝜇 𝜁(2) = В рассматриваемом случае 𝑛 = 1/2 и следовательно, выражение (2) может быть записано с той же точностью как ] ( )−3/2 [ ( )2 ( )4 𝜇 𝜋 2 𝑘𝐵 𝑇 7𝜋 4 𝑘𝐵 𝑇 1+ + + ... 1= 𝜇0 8 𝜇 640 𝜇 то есть [ ( )2 𝜋 2 𝑘𝐵 𝑇 𝜇 = 𝜇0 1 + + 8 𝜇 [ ( )2 𝜋 2 𝑘𝐵 𝑇 = 𝜇0 1 − + 12 𝜇 7𝜋 4 640 𝜋4 720 ( ( 𝑘𝐵 𝑇 𝜇 𝑘𝐵 𝑇 𝜇 ]−3/2 )4 + ... ] )4 + ... (4) [ 𝜋2 8 2 где мы воспользовались разложением функции 𝑓 (𝑥) = 1 + (𝑥) + в ряд по степеням 𝑥 около значения 𝑥 = 0. В первом приближении [ ] ( )2 𝜋 2 𝑘𝐵 𝑇 𝜇 = 𝜇0 1 − + ... 12 𝜇0 и во втором приближении [ 𝜋2 1− 12 𝜇 = 𝜇0 ( 𝑘𝐵 𝑇 𝜇0 )2 𝜋4 − 80 ( 𝑘𝐵 𝑇 𝜇0 7𝜋 4 640 4 (𝑥) + . . . ] )4 + ... (5) Внутренняя энергия ферми-газа определяется с помощью похожих вычислений. Поскольку ∫∞ ∫∞ 3 −3/2 𝐸 = 𝑓 (𝜀)𝜀𝑑𝑤(𝜀) = 𝑁 𝜇0 𝜀3/2 𝑓 (𝜀)𝑑𝜀 2 0 0 то задача сводится к вычислению интеграла (3) в случае 𝑛 = 3/2: [ ( )2 ( )4 ] 7𝜋 4 𝑘𝐵 𝑇 2𝜇5/2 5𝜋 2 𝑘𝐵 𝑇 − + ... 𝐼3/2 ≈ 1+ 5 8 𝜇 384 𝜇 то есть ( )3/2 [ ( )2 ( )4 ] 𝜇 5𝜋 2 𝑘𝐵 𝑇 7𝜋 4 𝑘𝐵 𝑇 3 1+ − + ... 𝐸 = 𝑁𝜇 5 𝜇0 8 𝜇 384 𝜇 Окончательно, учитывая что во втором порядке выполняется соотношение (5), получим [ ] ( ( )2 )4 5𝜋 2 𝑘𝐵 𝑇 3 𝜋 4 𝑘𝐵 𝑇 𝐸 = 𝑁 𝜇0 1 + − + ... (6) 5 12 𝜇0 16 𝜇0 3. Рассмотрим большой термодинамический потенциал Φ = −𝑃 𝑉 , связанный с большой статсуммой ( )] ∑ [ 𝜇 − 𝜀𝑖 Φ = −𝑘𝐵 𝑇 ln − 𝑍 = −𝑘𝐵 𝑇 ln 1 + exp 𝑘𝐵 𝑇 (2𝑚)3/2 = −4𝜋𝑉 𝑘𝐵 𝑇 ℎ3 {𝑖} ∞ ∫ [ ( ln 1 + exp 0 𝜇−𝜀 𝑘𝐵 𝑇 )] 𝑑𝜀 [ ( )]∞ ∫∞ 8𝜋 (2𝑚)3/2 𝜇−𝜀 8𝜋 (2𝑚)3/2 3/2 =− 𝑉 𝑘𝐵 𝑇 𝜀 ln 1 + exp − 𝑉 3 ℎ3 𝑘𝐵 𝑇 3 ℎ3 0 0 8𝜋 (2𝑚)3/2 =− 𝑉 3 ℎ3 ∫∞ 0 𝑑𝜀 𝜀3/2 ( ) exp 𝜀−𝜇 𝑘𝐵 𝑇 +1 2 =− 𝐸 3 𝑑𝜀 𝜀3/2 ( ) exp 𝜀−𝜇 𝑘𝐵 𝑇 +1 ]−3/2 где мы выполнили интегрирование по частям и использовали определение внутренней энергии ферми-газа. Из соотношения (6) тогда следует что давление сильно вырожденного фермигаза зависит от температуры как [ ] 2 3 𝑁 2 𝜋 2 𝑘𝐵 𝑇 𝑃 = 𝜇0 + + ... 𝑉 5 6 𝜇0 и следовательно сжимаемость можно записать как ( ) ( )−1 ( )−1 2 2 1 ∂𝑃 𝑉 2𝜇0 𝜋 2 𝑘𝐵 𝑇 1 ∂𝑉 =− = + ... + 𝜅=− 𝑉 ∂𝑃 𝑇 𝑉 ∂𝑉 𝑇 𝑁 3 18 𝜇0 [ ] ( )2 3𝑉 𝜋 2 𝑘𝐵 𝑇 = 1− + ... 2𝑁 𝜇0 18 𝜇0 (7)