1 ФУНКЦИИ СЕКАНС И КОСЕКАНС Функции секанс y = sec x и косеканс y = cos ec x определяются формулами sec x = 1 cos x cos ec x = 1 sin x (1.3) Их свойства 1. Область определения: ⎧ ⎫ π D(sec x ) = ⎨x x ∈ R , x ≠ + πn , n ∈ Z⎬ ; 2 ⎩ ⎭ D(cos ecx ) = {x x ∈ R , x ≠ πn , n ∈ Z}. 1. Область значений: E(f ) = (− ∞;−1] ∪ [1;+∞ ) для sec x и cos ec x . 2. Периодичность: периодические с периодом 2π . 3. Четность и нечетность: sec x - четная функция, cos ec x - нечетная. 4. Интервалы монотонности: sec x убывает на каждом интервале π ⎞ ⎛ ⎞⎛ π ⎜ − π + 2πn; − + 2πn ⎟, ⎜ − + 2πn; 2πn ⎟, n ∈ Z ; 2 ⎠ ⎝ ⎠⎝ 2 и возрастает на каждом интервале π ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ π ⎜ 2πn; + 2πn ⎟, ⎜ + 2πn; π + 2πn ⎟, 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 n∈Z ; 2 cos ec x убывает на каждом интервале π ⎛ π ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ − + 2πn , 2πn ⎟, ⎜ 2πn; + 2πn ⎟, 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ n ∈ Z; и возрастает на интервалах 3 ⎛ π ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ + 2πn; π + 2πn ⎟, ⎜ π + 2πn; π + 2πn ⎟, 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ n∈Z . 5. Локальные экстремумы: sec x : точки локального минимума x = 2πn , n ∈ Z (sec 2πn = 1) , точки локального максимума x = π + 2πn , n ∈ Z (sec(π + 2πn ) = −1) ; cos ec x : точки локального минимума x = π + 2πn , n ∈ Z 2 ⎛ ⎛π ⎞ ⎞ ⎜⎜ cos ec⎜ + 2πn ⎟ = 1⎟⎟ , ⎝2 ⎠ ⎠ ⎝ точки локального максимума x = − ⎛ π ⎞ cos ec⎜ − + 2πn ⎟ = 1 . ⎝ 2 ⎠ π + 2πn , n ∈ Z 2 3 6. Графики функций sec x и cos ec x приведены на рис. 1.6 и 1.7 соответственно. 4 Литература 1. Тригонометрические функции, уравнения и неравенства: Пособие для поступающих /А.И.Новиков; Рязан. гос. радиотехн. ун-т. Рязань, 2007. 288 c. ISBN 5-7722-0248-0.