Делимость целых чисел. Деление с остатком. Файл

(c) Санкт‐Петербургский Государственный Политехнический Университет ; www.avalon.ru §4. Делимость целых чисел. Деление с остатком. Делимость целых чисел обозначается, как и ранее, значком: «︙». m︙ n ⇔ = k, k ∈ Z или: m︙ n ⇔ m = k ˙ n, k ∈ Z Например: m︙ 2 (m – четное) ⇔ m = 2k, k ∈ Z; m︙ 3 ⇔ m = 3k, k ∈ Z и т.д. Отметим простейшие свойства делимости. 1. Если целые числа m1 и m2 делятся на «n», то сумма и разность этих чисел также делится на «n»: (m1︙ n и m2︙ n) ⇒ (m1 ± m2)︙ n 2. Если целое число «m» делится на «n», то произведение числа «m» на любое целое число также делится на «n»: (m︙ n и k ∈ Z) ⇒ k ˙ m ︙ n 3. Среди «n» подряд идущих целых чисел одно из этих чисел (и только одно) делится на «n»: ‐ среди двух подряд идущих целых чисел одно делится на 2 (т.е. является четным); ‐ среди трех подряд идущих целых чисел одно делится на 3; и т.д. Пример. Доказать, что при любых n∈ Z число n3 – n делится на 6. Решение. n3 – n = n(n2 – 1) = (n – 1) n (n + 1)– произведение трех подряд идущих целых чисел; значит, одно из них делится на 3 и по крайней мере одно из них – четное; значит, произведение этих чисел делится и на 2 и на 3; следовательно, n3 – n делится на 6. Упр. 8. Делится ли число 1026 – 1 на 3? Если m ˥︙n, то возможно деление с остатком. Теорема. Для любого целого числа «m» и любого натурального числа «n» существуют целые числа «k» и «r» такие, что: m = k ˙ n + r, где r – остаток от деления «m» на «n» и 0 ≤ r ≤ n – 1. (При r = 0 получаем: m = k ˙ n, т.е. m︙ n). Например: остаток от деления 17 на 3 равен 2, т.к. 17 = 5 ˙ 3 + 2; остаток от деления 25 на 4 равен 1, т.к. 25 = 6 ˙ 4 + 1. (c) Санкт‐Петербургский Государственный Политехнический Университет ; www.avalon.ru Из этой теоремы вытекают следующие утверждения. Следствие 1 (для n = 2). Любое целое число «m» можно представить в виде: m = 2k или m = 2k+ 1, где k ∈ Z (т.е. любое целое число либо делится на 2, либо при делении на 2 дает остаток 1) Следствие 2 (для n = 3). Любое целое число «m» можно представить в виде: m = 3k или m = 3k+ 1 или m = 3k+ 2, где k ∈ Z (т.е. любое целое число либо делится на 3, либо при делении на 3 дает остаток 1, либо при делении на 3 дает остаток 2). Аналогичные утверждения справедливы для n = 4;5;6;… Пример. Найти остаток «r» от деления n2 + 1 на 3, если (n + 2) ︙3. Решение. n + 2 = 3k ⇒ n = 3k – 2 ⇒ n2 + 1 = (3k – 2)2 + 1 = 9k2 ‐ 12k + 5 = 3(3k2 ‐ 4k + 1) + 2; n2 + 1 = 3m + 2, где m = 3k2 ‐ 4k + 1 ∈ Z ⇒ r = 2. Ответ: r = 2. Упр. 9. Натуральное число «n» при делении на 12 дает остаток 4. Найти остаток «r» от деления числа n: а) на 3; б) на 4; в) на 6. Упр. 10. Натуральное число «n» при делении на 5 дает остаток 4. Найти остаток «r» от деления (n+2)2 на 5. Пример. Найти наименьшее натуральное число, кратное 7, которое при делении на 8 дает остаток 2. Решение. n = 7k, n = 8m + 2, где m, k ∈ Z. 7k = 8m + 2 = 7m + m + 2 ⇒ m + 2 = 7(k – m); m + 2 = 7p, где p∈ Z. m = 7p – 2 ⇒ n = 8(7p – 2) + 2 = 56p – 14; n = 56p – 14, где p∈ Z. Наименьшее натуральное число такого вида равно: n = 56 ˙ 1 – 14 = 42. Ответ: 42. Упр. 11. Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 5 дает остаток 1, а при делении на 7 дает остаток 3. Пример. Найти все n∈N, для которых 4 *НОД(n; 4) = НОК(n; 4). Решение. Используя формулу: НОД(n1; n2) ˙ НОК(n1; n2) = n1˙ n2 для нашего примера, получим: 4*n = НОД(n; 4) ˙ НОК(n; 4) = 4* (НОД(n; 4))2 ⇒ n = (НОД(n; 4))2. Пусть m = НОД(n; 4), тогда n = m2. По определению НОД имеем: n︙ m и 4︙ m, следовательно: m – делитель числа 4, т.е. m =1, или m =2, или m =4; тогда n = 1, или n = 4, или n = 16. Итак, условию задачи могут удовлетворять лишь три значения n. Проверим каждое из них. (c) Санкт‐Петербургский Государственный Политехнический Университет ; www.avalon.ru n = 1 ⇒ НОД 1; 4
1 | НОК 1; 4
4 ⇒ 4 *НОД(1; 4) = НОК(1; 4). n = 4 ⇒ НОД 4; 4
4 | НОК 4; 4
n = 16 ⇒ НОД 16; 4
Ответ : n ∈ ;
4 ⇒ 4 *НОД(4; 4) ≠ НОК(4; 4). 4 | НОК 16; 4
16 ⇒ 4 *НОД(16; 4) = НОК(16; 4). . Упр. 12. Найти все n∈N, для которых 2 *НОД(n; 6) = НОК(n; 6). Пример. Найти все n∈N, для которых ∈ N. Решение. Пусть m = , тогда m2 = n2 + 15, или m2 ‐ n2 = 15, или (m – n)(m + n) = 15, где m – n > 0 и m – n < m + n. Произведение 2‐х натуральных чисел равно 15; следовательно, эти числа являются делителями числа 15, т.е. удовлетворяют системе уравнений: – – или Решая эти системы уравнений, получим: n =1 и n =7. Ответ: n ∈ ;
. Упр. 13. Найти все n∈N, для которых ∈ N.