РАБОТА ПОДЪЕМА ТЕЛА В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ Иванов Е.М.

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
9
УДК 530.1.076
РАБОТА ПОДЪЕМА ТЕЛА В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ
Иванов Е.М.
Димитровградский институт технологии, управления и дизайна,
Димитровград
Показано, что работа подъема тела в однородном поле тяжести всегда больше
величины потенциальной энергии mgh. Величина работы имеет минимум, величина которого зависит от способа подъема тела.
В школьных [1] и вузовских [2-4] курсах физики утверждается, что если тело массы m равномерно поднимать вверх на высоту h с помощью силы F = mg , то сила совершает положительную работу AF = mgh , равную потенциальной энергии П = mgh , а сила тяжести отрицательную работу AP = − mgh [1]. Рассматривается также случай бросания тела вертикально
вверх с начальной скоростью V0 , обеспечивающей подъем тела на высоту h на основании закона сохранения и превращения энергии: K = П
или mV02 2 = mgh . Работу бросания считают
равной A = mgh = mV02 2 . В этих безобидных, на
первый взгляд, утверждениях, содержится нечто,
противоречащее одному из положений физики. В
физике используется понятие КОЭФФИЦИЕНТА ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ (η ) – КПД. КПД
не может быть больше единицы. КПД всегда
меньше единицы, поскольку часть энергии превращается тоже в энергию, но не в ту, что нужна,
и поэтому теряется для полезного использования. КПД всегда меньше единицы вследствие
самой физической природы вещей и явлений.
Если же записать КПД для выше приведенных
случаев подъема тела на высоту h , то получим:
η = П / A = mgh / mgh = 1 . Рассмотрим более подробно ряд случаев подъема тела на высоту h .
§ 1. Рассмотрим движение тела, брошенного
вертикально вверх с начальной скоростью V0 , за
счет действия мгновенной силы в виде I 0δ (t ) [5,
6] , где δ (t ) - δ - функция Дирака [7, 8]. Величину I 0 будем называть единичным импульсом
силы, численно равным количеству движения
(импульсу), полученным телом I 0 = mV0 . Дифференциальное уравнение движения (II закон
Ньютона) имеет вид:
d 2x
(1)
m
+ mgH (t ) = I 0δ (t )
dt 2
при нулевых начальных условиях:
x(0) = 0 ; dx (0 ) = 0
dt
(2)
Где x- вертикальная координата, отсчитываемая от поверхности Земли. Для решения задачи воспользуемся двусторонним преобразованием Лапласа [9]
∞
X (s ) = s ∫ e − st x(t )dt , α < Re s < β
(3)
−∞
Для решения этой задачи используется дифференциальное уравнение для односторонней
функции x * (t ) = x(t )H (t ), где H (t ) -единичная
(ступенчатая) функция Хевисайда [8, 9]. Тогда
производные функции x * (t ) имеют вид [9]
d
x * (t ) = x′(t )H (t ) + x (0 )δ (t ) ;
dt
d2
x * (t ) = x′′(t )H (t ) + x′(0 )δ (t ) + x(0 )δ ′(t )
dt 2
После соответствующих преобразований,
решение получается в следующем виде
I
1
I
x(t ) = 0 ⋅ t − gt 2
V (t ) = 0 ⋅ H (t ) − gt
m
2
m
a(t ) =
I0
δ (t ) − gH (t )
m
(4)
Вычислим работу, совершаемую силами
F = ma = I 0δ (t ) − mgH (t )
x
t
0
−∞
AΣ = ∫ Fdx = ∫ [I 0δ (t ) − mgH (t )]
 I0

 m dt − gtdt 


Вычисляя интегралы, получим [9]
t
I
A1 = ∫ I 0δ (t ) ⋅ 0 dt =
m
−∞
t
I 02
;
m
A2 = − ∫ I 0δ (t )gtdt = 0 ;
−∞
СОВРЕМЕННЫЕ НАУКОЕМКИЕ ТЕХНОЛОГИИ № 3 2005
(5)
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
10
t
I
A3 = − ∫ mgH (t ) 0 dt = − gI 0t = − mgV0t ;
m
−∞
t
A4 = ∫ mgH (t )gtdt =
−∞
m
1
mg 2t 2
2
Работа, совершаемая силами, запишется в
виде:
I2
I2
1
AΣ = 0 − gI 0t + mg 2t 2 = 0 − mgx(t ) (6)
m
2
m
Работа, совершенная единичным импульсом
силы I 0 = mV0 (или начальная энергия, полученная телом) будет равна
I 02
A0 =
= mV02 = 2K 0
m
(7)
где К 0 = mV02 2 - начальная кинетическая
энергия тела. Время подъема до максимальной
высоты (V = 0 ) t0 = I 0 / mg , а максимальная
hm = I 02 / 2m 2 g = V02 / 2 g .
Подставляя в выражение (6) значение t 0 , полу-
высота
подъема
чим конечное значение совершенной работы:
I 02
I 02 mg
AK =
=
⋅
= mghm
2m 2m mg
(8)
Поскольку начальная энергия полученная
телом A0 = 2K 0 , то КПД процесса бросания
тела вертикально вверх будет равен
η=
Пm
K
= 0 = 0,5
A0
2K0
То, что начальная энергия тела A0 = 2K 0
можно объяснить эффектом удвоения массы (силы тяжести) в случае внезапно приложенной нагрузки при бросании [5, 10].
§ 2. Рассмотрим случай движения тела вертикально вверх под действием постоянной вертикальной силы тяги FT . Уравнение движения
(II закон Ньютона) запишется в следующем виде
m
d 2x
dt 2
= FT − mg
Если сила тяги больше mg на величину
уравнение (9) можно переписать в виде
d 2x
dt 2
= FЛ + ∆F − mg или m
d 2x
dt 2
∆F , то
= ∆F
(10)
Таким образом, часть силы тяги FЛ = mg
не будет принимать непосредственного участия в
работе по подъему тела вверх. Тело будет подниматься вверх только благодаря действию силы
∆F с ускорением a = ∆F m . За время t высота
подъема будет равна
h=
at 2 ∆F ⋅ t 2
=
2
2m
(11)
Работа подъема составит величину, равную
(∆F ⋅ t ) 2
(12)
2m
Поскольку ∆F ⋅ t = I1 есть импульс силы,
A∆ = ∆F ⋅ h =
численно равный импульсу (количеству движения), полученному телом I1 = mV1 , где V1 - скорость тела в момент времени t , то можно записать A∆ = I12 / 2m .
Однако чтобы остановить тело на данной
высоте h , необходимо еще совершить работу
торможения, численно равную кинетической
энергии, приобретенной телом K1 = mV12 2 ;
AТР =
mV12 I12 (∆F ⋅ t )2
=
=
2
2m
2m
(13)
Отдельного разговора заслуживает вопрос о
том, что же делает другая часть силы тяги
FЛ = mg ? Ведь она не принимает участия в
подъеме тела на высоту h , она лишь нейтрализует силу тяжести, обеспечивая условия левитации. Можно записать баланс импульсов сил в
виде:
FT t = FЛ t + ∆Ft
(14)
Возведя обе части равенства в квадрат и разделив на 2m , получим баланс энергий (работ):
2
(9)
Если FT = mg , то правая часть тождественно равна нулю, и движения тела вверх не происходит, но в этом случае сила давления тела на
опору (например, на поверхность Земли) равна
нулю, поскольку сила тяги нейтрализует «тяжелую» массу, и тело находится в квазиневесомом
состоянии (состояние левитации). Обозначим
силу тяги, равную mg , значком " Л" : FЛ = mg .
FT2t 2 FЛ2 t 2 ∆FFЛ t
∆F 2t 2
=
+
+
2m
2m
m
2m
Работу, совершаемую силой
реписать в следующем виде:
FT
(15)
, можно пе-
F 2t 2 1
∆F 2t 2
AΣ = T = mg 2t 2 + g∆Ft 2 +
2m
2
2m
(16)
Или, с учетом выражений (11) и (12):
AΣ =
(mgh) 2
+ 2mgh + ∆F ⋅ h
∆F ⋅ h
СОВРЕМЕННЫЕ НАУКОЕМКИЕ ТЕХНОЛОГИИ № 3 2005
(17)
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Первый член в правых частях выражений
(15)-(17) представляет собой работу силы левитации в стационарном (неподвижном) состоянии
2
FЛ2 t 2 1
2 2 ( mgh)
AЛ =
= mg t =
∆F ⋅ h
2m
2
(18)
Второй член выражает работу, связанную с
ускоренным перемещением силы левитации
AЛа =
∆FFЛ t 2
m
= g∆Ft 2 = 2mgh
(19)
11
§3. Тело находится в состоянии левитации
(приложена сила тяги FT = FЛ = mg ). Для
того, чтобы тело двигалось вверх, в начальный
момент времени на тело действует направленный
вверх единичный импульс силы I1 = mV1 . В
этом случае дифференциальное уравнение движения запишется в виде
m
d 2x
dt 2
+ mgH (t ) = I1δ (t ) + FЛ H (t )
(22)
Третий член – это обычная работа силы ∆F ,
обеспечивающей ускоренное движение тела в
соответствии со II законом Ньютона:
при нулевых начальных условиях. Решая
уравнение с помощью преобразования Лапласа,
получим
∆F 2t 2
A∆ =
= ∆F ⋅ h
2m
F
I
P
X = 1 ⋅t + л t2 − t2
m
2m
m
(20)
Произведение работ A∆ ⋅ AЛ = (mgh) 2 . На
рис. 1 показана зависимость величины работы
левитации AЛ от величины работы A∆ , выраженных в долях потенциальной энергии mgh .
Выражение (17) имеет минимум, равный
Σ
Amin
= 4mgh при ∆F ⋅ h = mgh . На графике
(рис. 2) показана зависимость работы AΣ , со-
вершаемой силой тяги
FT
, выраженной в долях
потенциальной энергии П = mgh , от величины
соотношения ∆F / mg . Если использовать
обычную формулу определения работы подъема
тела на высоту h с некоторым ускорением a , то
будем иметь A = m( g + a )h = = ( FЛ + ∆F ) h .
Ее зависимость от величины соотношения
∆F / mg показана на графике (рис. 3). Самое
нелепое на этом графике то, что при ∆F = 0 совершается работа подъема, равная mgh , хотя,
согласно условиям статики, тело должно оставаться неподвижным.
Отрицательная работа, совершаемая силой
тяжести при подъеме тела вверх вовсе не равна
mgh . Она равна
AP = −
P 2t 2
2m
−
2
2
∆FPt
(mgh)
=−
− 2mgh (21)
2m
∆F ⋅ h
Сумма работ (17) и (21) дает величину
mV 2
A∆ = ∆F ⋅ h =
, т.е. величину кинетиче2
ской энергии, приобретенной телом на высоте h .
Σ
КПД подъема при Amin
= 4mgh без учета
работы торможения составляет η = 0,25 .
(23)
Вычисляем работу, совершаемую всеми силами
h
[ (t ) + FЛ H (t ) − PH (t )]⋅
t1 I1δ
A = ∫ Fdx = ∫  I1
(24)
FЛ
P 
⋅
+
−
dt
tdt
tdt
0 m
0
m
m 

где P = mg , а t1 – время движения до высоты h = V1t1 . Вычисляя интегралы, выделим положительную и отрицательную работы
I12 I1 FЛ t FЛ2 t 2
+
+
AΣ = A+ =
m
m
2m
(25)
I Pt PF t 2
A− = − 1 − Л
m
2m
(26)
Преобразуем выражения, входящие в (25)
I12
= mV12 = 2K1 ,
m
где K1 =
mV12
2
FЛ2 t 2 1
1
h 2 (mgh) 2 (mgh) 2
= mg 2t 2 = mg 2
=
=
2m
2
2
4 K1
V12 2mV12
I1FЛ t
= FЛ V1t1 = FЛ h = mgh
m
Тогда суммарную положительную работу
(работу подъема) можно записать в виде
AΣ = 2 K1 + mgh +
Эта
работа
Amin = (1 +
(mgh) 2
4 K1
имеет
2 ) mgh
(25а)
минимум, равный
при
величине
2 K1 = mgh / 2 . График зависимости суммарной работы подъема AΣ в зависимости от величины 2K1 , выраженных в долях потенциальной
энергии П = mgh , показана на графике (рис. 4).
Отрицательная работа, совершаемая силой тяжести (27), может быть представлена в виде:
СОВРЕМЕННЫЕ НАУКОЕМКИЕ ТЕХНОЛОГИИ № 3 2005
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
12
A− = −mgh −
(mgh) 2
4 K1
(26а)
При больших значениях начального импульса ( K1 >> mgh ) она асимптотически стремится
к своему обычному значению A− = − mgh .
Величина энергии, приобретенной в результате ударного нагружения мгновенным импуль-
сом силы I1 = mV1 , равна 2 K1 = mV12 . Двойная
энергия 2K1 является результатом удвоения
массы при внезапно приложенной нагрузке (в
рамках модели материальной точки). В рамках
реального упругого тела половина энергии идет
на возбуждение упругих колебаний, которые
вследствие дисперсии и внутреннего трения с
течением времени затухают, переходя во внутреннюю энергию (тело нагревается).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика: Учеб.
для 9 кл. средн. шк. – М.: Просвещение, 1990.
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том I.
Механика. – М.: Наука, 1989.
3. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. Учебн. пособие для вузов. – М.: Высш. шк.,
1989.
4. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности: Учебн. пособие для физ. спец. вузов.
– М.: Высш. шк., 1986.
5. Иванов Е.М. Дополнительные главы
классической механики: - Димитровград: ДИТУД УлГТУ, 2004.
6. Иванов Е.М. Работа центростремительных и гироскопических //Успехи современного
естествознания, № 9, 2004.
7. Арсенин В.Я. Математическая физика. –
М.: Наука, 1966.
8. Арфкен Г. Математические методы в физике. М.: Атомиздат, 1970.
9. Б. Ван Дер Поль, Х. Бреммер. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. - М.: Изд. Иностр.Лит.
1952.
10. Иванов Е.М. Закон инерции Галилея (I
закон Ньютона) //Вестник ДИТУД, № 1, 2003.
THE WORK OF LIFTING A BODY IN HOMOGENEOUS FIELD OF GRAVITY
Ivanov E.M.
Dimitrovgrad institute of technology, management and design.
We demonstrate, that the work of lifting a body in homogeneous field of gravity always larger than
quantity of potential energy mgh. Quantity of work has minimum.
СОВРЕМЕННЫЕ НАУКОЕМКИЕ ТЕХНОЛОГИИ № 3 2005