"Квадратные корни" (глава 6 ИУМК "Алгебра

Глава 6
Квадратные корни
§ 1 Определение и свойства квадратного корня
Примеры и комментарии
1. Числа 7 и –7 являются квадратными корнями из числа 49.
2. Полезно помнить числа до 1000,
являющиеся квадратами целых
чисел.
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900
312 = 961
3. Если натуральное число разложено по степеням простых чисел,
то оно является квадратом целого
числа тогда и только тогда, когда
показатель степени у каждого
простого числа является четным
числом.
Например,
19 600 =
= 24 ⋅ 52 ⋅ 72 = (22 ⋅ 5 ⋅ 7)2 = 1402.
4. Несократимая положительная
рациональная дробь
m
n
является
квадратом рационального числа
тогда и только тогда, когда ее
числитель и знаменатель являются
квадратами
целых
чисел.
2
4 22 ⎛ 2 ⎞
= =⎜ ⎟ ;
25 52 ⎝ 5 ⎠
Например,
32 2
2
⎛ 32 ⎞
= 2 =⎜ ⎟ .
225 15
⎝ 15 ⎠
1024
5. Используя знак радикала, можно записать
961 = 31 ;
0,01=
= 0,1; 39,69 = 6,3.
6. Символы вида
2 , 3 , 10
являются условными обозначениями, записями положительных чисел, квадраты которых равны 2, 3,
10 соответственно. Число
n ,
где n – натуральное число, удобно
записывать в виде k m , где k и m
– натуральные числа, причем m
«свободно от квадратов», т. е. оно
не делится ни на какой квадрат
целого числа. Например, 12 =
= 4 ⋅ 3 = 2 3 , 50 = 5 2 и т. п.
Квадратным корнем из числа а называется такое
число b, квадрат которого равен а.
Можно сказать, что квадратный корень из числа a – это
решение (корень) уравнения
x2 = a
Таким образом, для нахождения квадратного корня из
числа a надо решить уравнение x2 = a.
1. a = 0. Уравнение x2 = 0 имеет единственный корень
a = 0.
2. a < 0. Уравнение x2 = a при отрицательном a корней не
имеет, так как квадрат любого числа x должен быть ≥ 0.
3. a > 0. Если b – один из корней уравнения x2 = a, т. е.
если b2 = a, то и число (–b) также является корнем этого
уравнения. Других корней уравнение x2 = a иметь не
может. Подставляя a = b2 и раскладывая на множители
разность
квадрата,
получим
x2 – a = x2 – b 2 =
= (x – b)(x + b). Если x2 – a = 0, то в нуль должна
обращаться одна из скобок x – b или x + b, то есть x = b
или x = –b.
Есть много способов, как вычислить квадратный корень
из положительного числа. Один из них описан в
задачнике. Таким образом,
для всякого положительного числа а существует ровно
два квадратных корня. Эти корни равны по модулю и
имеют противоположные знаки.
Для обозначения положительного квадратного корня
используется радикал – символ
.
a сохраняют и для а = 0, то есть 0 = 0 .
Итак, обозначение a имеет смысл для любого числа
Обозначение
а ≥ 0 и означает положительный (или равный нулю)
квадратный корень из числа а.
Проверь себя
1. Что такое квадратный корень из числа?
2. Сколько существует квадратных корней из числа a в
зависимости от a?
3. Как извлечь квадратный корень из произведения? из
частного?
4. Когда верно равенство
a 2 = −a
М-22 8 класс Учебник 6 глава – стр. 1
М-22 8 класс Учебник 6 глава – стр. 2
Примеры и комментарии
Свойства квадратных корней
Извлечение квадратного корня является операцией,
обратной к возведению в квадрат. Поэтому свойства этих
операций тесно связаны между собой.
В следующих коротко записанных свойствах все данные
числа считаются положительными, а под квадратным
корнем из них понимается положительный квадратный
корень.
2
2 2
ab = a b
a
a
2. ⎛⎜ ⎞⎟ = 2
b
⎝b⎠
2
2
a
a
=
b
b
3. (ak)2 = a2k
a 2k = a k
1. (ab) = a b
1. Вычислим и запишем некоторые квадратные корни.
2
4. a 2 = | a | при любом a
225⋅104 =
4
= 15 ⋅10 = 15 ⋅ 102 = 1500.
1000 = 103 = 102 ⋅10 = 10 10 .
3
2
=
3
32 ⋅
2
=
3
6.
2. Дроби, содержащие радикалы в
знаменателе, стараются упростить
так, чтобы знаменатели были
целыми выражениями (освобожденными от радикалов в знаменателе).
3+ 2
Запишем более подробно ограничения на буквы,
входящие в приведенные формулы.
1. a ≥ 0, b ≥ 0,
2. a ≥ 0, b > 0,
3. a ≥ 0, k – отличное от нуля, целое число,
=
2250000
3− 2
=
=
( 3 + 2 )( 3 + 2 )
( 3 − 2 )( 3 + 2 )
( 3 + 2 )2
=
3−2
=3+2
=
( 3 + 2)2 =
6 +2=5+2
6 .
3. Вычислим 9 − 4 5 . Заметим,
что под первым радикалом стоит
полный квадрат:
9−4 5 =
4−4 5 +5 =
Действительно, если a ≥ 0, то по определению радикала
= (2 − 5 ) 2 = 2 − 5 =
a = a2
и одновременно |a| = a. Если же a < 0, то
Преобразование «двойного ради-
a 2 = −a и |a| = –a. Это свойство часто применяют при
преобразовании радикалов. Например, удобно писать, что
a+ b
кала»
легко
2
выполняется, если a – b является
полным квадратом. В нашем
примере
x 2 + 2x + 1 = ( x + 1) 2 = | x + 1 | , т. к. полученное равенство
верно при любом значении x.
Доказательство свойств 1–3 для радикалов проводится на
основе определения радикала и свойств степеней. Например, докажем первую формулу. Возьмем число
a⋅ b и
докажем, что оно равно ab . Для этого надо доказать,
что оно неотрицательно и что его квадрат равен ab. Так
как
(
a ≥0 и b ≥ 0, то и произведение a ⋅ b ≥ 0. Далее,
) ( )( )
2
2
a ⋅ b = a 2 ⋅ b = a ⋅ b , что и требовалось доказать.
5 −2.
2
92 – (4 5) = 81 – 80 = 1.
Приведем полезную формулу.
Если a2 – b = c2, то
=
a+c
+
2
a+ b =
a−c
. Для проверки
2
достаточно
возвести
это
равенство с положительными
членами в квадрат: a + b =
a+c a−c
a2 − c2
+
+2
=
2
2
22
=a + b .
=
М-22 8 класс Учебник 6 глава – стр. 3
§ 2 Неравенства с квадратными корнями
Примеры и комментарии
Неравенства для чисел, записанных с помощью квадратных радикалов, доказывают возведением в
квадрат (освобождением от иррациональностей).
1) 2 > 1, 4 ⇔ 2 > 1,42 = 1,96. Так
как 2 > 1,96, то 2 > 1, 4 .
2) 3 + 5 < 4
Освобождаемся от радикалов:
3 +
5 <4 ⇒
( 3 + 5 ) < 16 ⇒
2
3 + 2 3 5 + 5 < 16 ⇒
8 + 2 15 < 16 ⇒ 2 15 < 8 ⇒
15 < 4 ⇒ 15 < 16.
Последнее неравенство верно и из
него можно вернуться назад к
данному неравенству, которое,
следовательно, тоже верно.
3) 1,002<1,001
Возведем в квадрат, представив
число 1,001 как сумму:
1,002 < (1 + 0,001)2 =
= 1 + 2 ⋅ 0,001 + 0,000001 =
= 1,002 + 0,000001.
Неравенство
1,002 < 1,002 + 0,000001 верно,
значит, верно и исходное.
4) 3 + 11 < 2 10
Возводим в квадрат:
9 + 11 + 2 ⋅ 3 11 < 40 ⇔
3 11 < 10 ⇔ 99 < 100.
Неравенство доказано.
Это
неравенство
является
частным случаем (при a = 9,
b = 11)
общего
неравенства
a+
2
b
<
a+b
,
2
верного для
любых (различных) положительных чисел a и b.
Выкладки остаются такими же:
a +
b <2
a+b
⇔
2
a + b + 2 a b < 2(a + b) ⇔
a+b
– мы пришли к станab <
2
дартному неравенству о средних.
Извлечение квадратного корня из неравенства.
Теорема.
0≤a<b⇒
a< b
Словами теорему об извлечении квадратного корня в
неравенстве можно прочесть так:
Если положительные числа а и b связаны неравенством
a < b, то и квадратные корни из них связаны таким же
неравенством: a < b .
Доказательство теоремы будем вести от противного.
Пусть неравенство
a< b
неверно. Тогда верно
противоположное неравенство a ≥ b . В двух частях
этого неравенства стоят положительные числа. Возведем
это неравенство в квадрат:
( b)
2
( a ) ≥ ( b ) . Но ( a )
2
2
2
=a и
= b . Получим неравенство a ≥ b, противоречащее
данному
допущение
неравенству
a < b.
Следовательно,
наше
a ≥ b неверно и верным оказывается
a < b , что и
противоположное
неравенство
требовалось доказать.
Два свойства неравенств с положительными числами –
возведение неравенства в квадрат и извлечение из него
квадратного корня – можно записать вместе в виде
равносильности двух неравенств:
a < b ⇔ a < b (a, b ≥ 0)
Это означает, что при проверке неравенства с
положительными числами можно обе его части возводить
в квадрат или извлекать из них квадратные корни и
проверять уже полученное неравенство.
Проверь себя
1. Сформулируйте теорему об извлечении квадратного
корня в неравенстве.
2. Пусть a > 1. Что больше а или a ?
3. Тот же вопрос для положительного числа а,
меньшего единицы.
4. Какое неравенство выполняется для суммы двух
М-22 8 класс Учебник 6 глава – стр. 4
взаимно обратных положительных чисел?
М-22 8 класс Учебник 6 глава – стр. 5
Среднее геометрическое
Примеры и комментарии
Средним геометрическим двух положительных чисел a
1. Если в неравенстве о средних
1
взять b = , то получится нераa
1
венство
так как
a + ≥ 2,
a
1
a ⋅ = 1.
a
Это неравенство, верное для
любого положительного числа a,
надо запомнить: сумма двух
взаимно обратных положительных чисел всегда не меньше двух,
причем равна двум только, когда
число равно 1.
и b называют число G = ab .
Пусть даны два отрезка a и b.
Для построения их среднего
геометрического надо на отG
резке a + b построить полуокружность как на диаметре и
a
b
провести перпендикуляр через точку, разделяющую a и b.
a +b
Радиус окружности равен
– среднему арифметичес2
кому чисел a и b. Так как гипотенуза больше катета, то
a +b
, т. е. среднее геометрическое меньше среднего
G<
2
2. Для двух положительных чисел
арифметического. Если a = b, то прямоугольный треу- a и b можно определить четыре
гольник выродится в отрезок и получится равенство G = средних.
a +b
a+b
–
A=
=
= a. Итак,
2
2
среднее арифметическое,
a+b
–
ab ≤
G
=
ab
,
2
среднее геометрическое,
причем равенство имеет место лишь в случае, когда a = b.
2
Докажем неравенство о средних алгебраическим спосо- H = 1 1 –
+
бом.
a b
Попробуем преобразовать это неравенство, считая его
среднее гармоническое,
верным. Сначала возведем его в квадрат, учитывая, что в
a 2 + b2
2
=
Q
–
a + b⎞
2
двух его частях положительные числа: ⎛⎜
⎟ ≥ ab .
⎝ 2 ⎠
Умножим обе части неравенства на 4 и раскроем квадрат
суммы:
a2 + 2ab + b2 ≥ 4ab.
Перенесем 4ab влево, приведем подобные члены и
получим неравенство: a2 – 2ab + b2 ≥ 0, которое всегда
верно, так как a2 – 2ab + b2 = (a – b)2, а квадрат числа
всегда больше (или равен) нуля.
Выполненные преобразования подсказывают доказательство исходного неравенства. Мы начинаем «с конца»
и пишем верное неравенство
(a – b)2 ≥ 0
и получаем из него цепочку следствий:
(a – b)2 ≥ 0 ⇒ a2 – 2ab + b2 ≥ 0 ⇒ a2 + b2 ≥ 2ab ⇒
a2 + 2ab + b2 ≥ 4ab ⇒ (a + b)2 ≥ (2 ab ) ⇒ a + b ≥ 2 ab ⇒
2
среднее квадратичное.
Эти числа расположены в таком
порядке:
H ≤ G ≤ A ≤ Q.
Докажите недостающие неравенства самостоятельно. Их можно
увидеть на рисунке.
a
b
М-22 8 класс Учебник 6 глава – стр. 6
a+b
≥ ab , что и требовалось доказать.
2
М-22 8 класс Учебник 6 глава – стр. 7
§ 3 Расстояние в координатах
Квадратный корень появляется при вычислении длин и
1. Шест длины 3 м ставится вер- расстояний. В основе вычислений лежит знаменитая
тикально с помощью тросов, теорема Пифагора.
Примеры и комментарии
прикрепляющихся к земле на
расстоянии 1 м от основания
шеста. Какова должна быть длина
каждого троса?
a2 + b2 = c2
c
a
c = a2 + b2
b
Так, диагональ d квадрата со стороной 1 равна
2:
d = 1+1 = 2 . Отрезок, построенный нами на предыдущем уроке для иллюстрации среднего геометрического,
ab – см. рисунок.
действительно равен
С
2
Решение. Длина троса является
длиной гипотенузы прямоугольного треугольника OAB с катетами
|OA| = 3 и |OB| = 1.
Ответ:
|AB| = 3 + 1 = 10 ≈ 3,16 .
Заметьте, что точки крепления
тросов к земле лежат на
окружности радиуса 1 с центром в
точке O.
2
2
2. Найти длины сторон треугольника ABC, зная координаты его
вершин A(5; –4), B(–1; 4), C(0; 4).
AB = 6 + 8 = 100 = 10;
2
1
1
a A
b
O
,
2
2
a 2 + 2ab + b 2 − a 2 + 2ab − b 2
a+b⎞
b−a⎞
⎛
⎛
= ab.
=⎜
⎟ −⎜
⎟ =
4
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
AC =
ab .
В декартовой системе координат xOy расстояние между
двумя точками A1(x1; y1) и A2(x2; y2) вычисляются по
формуле A1 A2 = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 .
y
A2
Проекции отрезка |A1A2|
на оси координат равны
|x2 – x1| и |y2 – y1|. Длину
|A1A2| находим с помощью теоремы Пифагора.
A1
AC = 52 + 82 = 89 ≈ 9,… .
3. Прямоугольные треугольники
со сторонами (a, b, c), являющимися целыми числами, известны с
глубокой древности. Простейшие
примеры: (3, 4, 5); (5, 12, 13);
(8, 15, 17).
Известны простые формулы, по
которым можно получить все такие треугольники: a = 2st, b =
= s2 – t2, c = s2 + t2, где s и t –
любые положительные целые
числа (s > t) (разумеется, a и b
a+b
2
a+b
b−a
−a =
(b > a), |AC|2 = |OC|2 – |OA|2 =
2
2
OA =
2
BC = 12 + 02 = 1 ;
OC =
x1
O
x2
x
Проверь себя
1. По какой формуле вычисляется расстояние между
двумя точками на координатной плоскости?
2. Чему равен a2 ?
3. Как записать уравнение окружности с центром в
начале координат?
4. Какой геометрический смысл имеет неравенство с радикалами x12 + y12 + x 22 + y 22 ≥ ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 ?
М-22 8 класс Учебник 6 глава – стр. 8
можно переставлять местами).
М-22 8 класс Учебник 6 глава – стр. 9
Уравнение окружности
Примеры и комментарии
Все точки плоскости, расстояние которых до точки O
равно числу R, лежат на окружности радиуса R с центром
O. Если точка O – начало координат, а точка A имеет
координаты (x; y), то условие |OA| = R запишется
формулой x 2 + y 2 = R . Этому соотношению, которое
можно записать и без радикала в виде x2 + y2 = R2,
удовлетворяют координаты всех точек окружности
радиуса R с центром O (и только они). Его называют
уравнением этой окружности.
Если мы сместим центр в точку O′(a; b), то расстояние
|O′A| запишется формулой
| O ′A | = ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 .
Поэтому уравнение окружности с центром O′(a; b) и
радиуса R запишется в виде
2
2
2
( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = R , или (x – a) + (y – b) = R
Вычисление расстояний в координатах помогает решать
геометрические задачи алгебраическим способом.
Задача. Найти геометрическое место точек на плоскости,
отношение расстояний которых до двух заданных точек
постоянно и равно 2.
Выберем на плоскости систему координат так, чтобы
заданные точки совпадали с точками O(0; 0) и E(1; 0).
Пусть точка M(x; y) такова, что |MO| = 2|ME|. Запишем
расстояния в координатах:
x 2 + y 2 = 2 ( x − 1) 2 + y 2 .
Возведем в квадрат и преобразуем.
x2 + y2 = 4(x – 1)2 + 4y2; 3x2 + 3y2 – 8x + 4 = 0.
1. Уравнение окружности с центром O и радиусом R.
Выделим полный квадрат:
2
4⎞
16
⎛
3⎜ x − ⎟ + 3y2 + 4 −
= 0;
3⎠
3
⎝
2
y
R
O
x
x2 + y2 = R2
2. Уравнение окружности с центром O′(a; b) и радиусом R.
y
R
b
O
a
O
x
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
3. Пример.
Уравнение x2 + y2 = x + y задает
окружность. Выделим полные
квадраты:
x2 + y2 – x – y = x2 – x + y2 – y =
2
2
1⎞ 1 ⎛
1⎞ 1
⎛
= ⎜x− ⎟ − +⎜ y − ⎟ − ;
2⎠ 4 ⎝
2⎠ 4
⎝
получим
x2 + y2 = x + y
2
2
⇔
2
1⎞ ⎛
1⎞
1 ⎛ 1 ⎞
⎛
⎟ .
⎜x− ⎟ +⎜y− ⎟ = = ⎜
2⎠ ⎝
2⎠
2 ⎝ 2⎠
⎝
4⎞
4
⎛
2
Мы получили уравнение окруж⎜ x − ⎟ + y = . Мы получили уравнение окружности с
3
9
⎝
⎠
ности с центром в точке A ⎛⎜ 1 ; 1 ⎞⎟
2
. Итак, точки M,
3
⎠
отношение расстояний которых до точек O и E равно 2,
образуют некоторую окружность. На этой окружности
центром O′ ⎛⎜ ; 0 ⎞⎟ и радиусом
4
⎝3
2
лежат, в частности, точки A ⎛⎜ ; 0 ⎞⎟ и B(2; 0), очевидно
⎝3 ⎠
принадлежащие искомому геометрическому месту.
⎝2 2⎠
и радиуса R = 1 .
2
y
1
A
0
1
x
М-22 8 класс Учебник 6 глава – стр. 10
М-22 8 класс Учебник 6 глава – стр. 11
§ 4 Корни любой степени
Примеры и комментарии
Вычислить или упростить выражения, содержащие корни.
1)
216 =
3
2)
23 ⋅ 33 = 2 ⋅ 3 = 6
3
=
=
9261
3
8 ⋅ 27 =
3
3
27 ⋅ 343 =
= 3 33 ⋅ 73 = 3⋅ 7 = 21
53 5
=
33 3
3)
3
125
=
27
4)
4
81 =
4
34 = 3
5) 3 16 =
3
24 = 3 23 ⋅ 2 = 23 2
6) 2
7)
=
2
3
3
2
=
4
4
=
4
3
2
4
22
3
2
2
2
=3 =
3
4⋅ 2
8 2
3
3
( 2) + 2 +1
( 2 − 1)⎛⎜⎝ ( 2 ) + 2 + 1⎞⎟⎠
3
=
3
3
=
2
3
4 + 3 2 +1
( 2) −1
3
3
10) 6 8 =
4
6
23 =
3
2
=
3
=
3
4+
3
12)
4
2 +1
2
3
=9
22
32
3
3
2
3 3
=
2
3
2 ⋅3
⋅
33 ⋅ 2
3
2 –
это число, куб которого равен 2. 3 − 27 = −3 , так как –3 –
единственное число, куб которого равен –27.
3. Пусть n – четное число. Если a < 0, то корней нет, так
как четная степень числа не может быть отрицательным
числом.
Пусть a > 0. Есть единственное положительное число x,
n
. Так,
4
2
– единственное положительное число, четвертая степень
которого равна 2. Итак, n a (n четно, a > 0) – это
единственный положительный корень n-ой степени из
n
36− 4 ⋅ 5 = 4 16 = 4 24 = 2
2
3
. Например,
числа a. Так как (− n a ) = ( n a ) n = a , то есть еще
отрицательный корень n-ой степени из a.
6+ 2 5 ⋅4 6−2 5 =
3
n
такое что xn = a. Его обозначают радикалом
= 4 (6 + 2 5 )( 6 − 2 5 ) =
=
Соотношение
bn = a
является
краткой
записью
определения корня n-ой степени из числа а. Иначе говоря,
корень n-ой степени из числа а – это корень уравнения
xn = a.
Корни 3-й степени называют обычно кубическими
корнями.
Обсудим вопрос о корнях уравнения xn = a в зависимости
от a.
1. a = 0. Уравнение xn = 0 имеет один корень x = 0.
2. Пусть n – нечетное число. Уравнение xn = a имеет
единственный корень при любом a. Этот корень
обозначают с помощью радикала
2
=1
2
=
1
=
2 −1
3
11)
8 3
= 4
2
3
8) 1
9)
3
Определение. Пусть n – натуральное число. Корнем nой степени из числа a называется число b, n-ая степень
которого равна a:
bn = a
3
=
2
3 18 2 4 ⋅ 3 18 2 3 6 2
.
=
=
=
2
34 ⋅ 2
33
3
Сведем все вместе в таблицу.
xn = a
a=0
n – нечетно
n – четно
x =n 0 =0
x = n a – единственный корень нечетной
степени
∅ – корней нет, если a < 0
x = ± n a – два корня, если a > 0
М-22 8 класс Учебник 6 глава – стр. 12
Свойства корней n-ой степени
Свойства корней n-ой степени аналогичны свойствам
квадратных корней. Точно так же они происходят от
свойств возведения в степень.
n
n
n
1. (a ⋅ b) = a ⋅ b , n a ⋅ b = n a ⋅ n b , a ≥ 0, b ≥ 0.
n
n
n
2. ⎛⎜ a ⎞⎟ = a n ,
n
3. (a m ) = a mn ,
a
=
b
n
a mn = a m , a ≥ 0.
⎝b⎠
b
n
n
5.
( a)
n
6.
mn
7.
n m
a
n
mk
= a , a ≥ 0,
n
n
2 + 5 + 3 2 − 5 = 1.
Возведем в куб по формуле
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b):
2+ 5 +2– 5 +
3
a < n b.
+ 33 2+ 5 ⋅
bn = b , b ≥ 0.
k
= a , a ≥ 0.
n
k
a = mn a , a ≥ 0.
n
Доказательство свойства 2. Возьмем число
доказать, что это число равно
n
n
a
. Чтобы
b
a
надо по определению
b
проверить, что это число положительно и его n-ая
n
a
. Первое свойство верно, потому что
b
взятое число есть отношение двух положительных чисел.
степень равна
( a)
( b)
n
⎛n ⎞
Проверяем второе свойство: ⎜⎜ a ⎟⎟ =
n
⎝ b⎠
n
n
n
n
=
требовалось доказать.
Доказательство свойства 6. Действительно,
= ⎛⎜
⎝
(a)
n
k
n
m
⎞ = a mk , т. е.
⎟
⎠
n
mn
a = n b . Возведем число
( a)
mn
n
a
, что и
b
(a )
n
k
mn
=
a k есть корень mn из числа amk.
Доказательство свойства 7. Обозначим
Проверим, что
=
mn
an =
m
mn
n
a через b.
a в степень n:
a =b.
Все числа неотрицательны, поэтому
что и требовалось доказать.
1. Заметьте, что при нечетных показателях во всех свойствах можно снять ограничения положительности подкоренных выражений.
2. Доказать тождество
a
, a ≥ 0, b > 0.
b
4. 0 ≤ a < b ⇒ an < bn, 0 ≤ a < b ⇒
Примеры и комментарии
mn
a есть
n
b=n
m
a,
Проверь себя
1. Что такое корень n-ой степени?
3
2− 5 ⋅ (3 2+ 5
+ + 3 2 − 5 ) = 1.
Подставим
(2 + 5 )(2 – 5 ) =
= 4 – 5 = –1 и данное условие
a + b = 1. Получим верное тождество: 4 – 3 ⋅ 1 = 1.
Проведенное рассуждение имеет
логический дефект – в нем использовалось данное для доказательства равенство a + b = 1.
Устранить этот дефект не очень
легко.
Вернемся к тождеству (a + b)3 =
= a3 + b3 + 3ab(a + b).
Вспомним другое тождество
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c) ×
× (a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc).
Положим
в
нем
a = 3 2+ 5 ,
b = 3 2 − 5 , c = –1. Мы фактически вычислили, что левая часть
равна нулю (проверьте). В правой
части
выражение
a2 + b2 +
2
+ c – ab – ac – bc всегда неотрицательно и обращается в нуль
лишь, когда a = b = c. Ясно, что
наши числа a, b и c различны,
поэтому в нуль обращается
первый множитель
a+b+c=0⇔
2 + 5 + 3 2 − 5 = 1,
что и требовалось доказать.
3
3. При четных n можно пользо-
2. При каких значениях a можно говорить о числе
3
3. При каких значениях a можно говорить о числе
4
a?
a?
ваться тождеством
верным при любом a.
n
an =| a | ,
М-22 8 класс Учебник 6 глава – стр. 13
§ 5 Вычисление квадратных корней
Примеры и комментарии
1.
2
784
24 ⋅ 7 2
= 4 2 = 2 2 ⋅ 7 = 28 .
2025
3 ⋅5
3 ⋅ 5 45
2. Если мы не можем иррациональное число записать в виде
отношения целых чисел, то как
же его можно записать подругому? Самой распространенной формой записи иррационального числа является его запись в
виде бесконечной десятичной
дроби. Под этим понимается следующее. Последовательно вычисляют приближенные значения
числа с точностью до 1, до 0,1, до
0,01, до 0,001 и т. д. Например,
такими приближениями к числу
2 будут числа 1; 1,4; 1,41;
1,414 и т. д. Так как каждое новое
приближение использует запись
предыдущего, то можно эту
запись не повторять, а просто добавлять новые цифры и записать
полученную последовательность
так:
2 = 1,414213562… . Разумеется, мы не знаем заранее всех
цифр этой последовательности,
однако есть простые способы их
вычисления.
Заметим, что числа, образующие
десятичные приближения к иррациональному числу, например, 1;
1,4; 1,41 и т. д. сами являются
рациональными, только записанными иначе, чем в виде отношений целых чисел. Иррациональное число не обязательно записывать последовательностью десятичных дробей. Иногда удобнее
приближаться к иррациональному
числу с помощью обыкновенных
дробей.
Как извлечь квадратный корень из положительного
рационального числа? Первый способ был описан в начале
этой главы: надо записать данное число в виде
несократимой дроби
m
, разложить числа m и n на простые
n
множители и посмотреть на показатели, с которыми они
входят в разложение. Если все эти показатели четны, то
данное число является квадратом рационального числа.
Однако далеко не все рациональные числа являются
квадратами рациональных чисел. Это было одно из фундаментальных открытий древнегреческой математики.
Измеряя длину а диагонали квадрата со стороной 1, они
получили, что это число а должно быть таким, что
12 + 12 = а2 (теорема Пифагора), то есть а2 должно равняться
двум. Однако они обнаружили, что не может быть
рационального числа, квадрат которого равняется 2. Числа,
не
являющиеся
рациональными,
стали
называть
иррациональными.
2 иррационально.
Обозначим число 2 через а. По определению квадратного
Теорема. Число
корня имеем а2 = 2. Теперь ясно, что сформулированная
нами теорема и есть утверждение о том, что диагональ
единичного квадрат не может быть измерена рациональным
числом.
Доказательство. Предположим противное. Пусть число а
записывается в виде рациональной несократимой дроби
2
m
.
n
2
m
Получим равенства ⎛⎜ m ⎞⎟ = 2 ⇒ 2 = 2 ⇒ m2 = 2n2.
n
⎝n⎠
Последнее равенство – равенство целых чисел, причем
число, стоящее справа, четно. Тогда и число m2, стоящее
слева должно быть четным, а тогда и само число m четно
(квадрат нечетного числа должен был бы быть нечетным
числом). Итак, m = 2k. Получаем (2k)2 = 2n2 ⇒ 4k2 = 2n2 ⇒
2k2 = n2. Точно так же из этого равенства целых чисел
делаем вывод, что число n четно. Но тогда оба числа m и n
получаются четными, что противоречит тому, что дробь m
n
выбрана несократимой, то есть такой, что у m и n нет общих
делителей (кроме единицы). Теорема доказана.
Аналогичные рассуждения можно было бы провести,
заменив число 2 на любое простое число p, и получить, что
все числа вида p иррациональны.
М-22 8 класс Учебник 6 глава – стр. 14
Примеры и комментарии
Приближенное вычисление квадратного корня
Вычислим приближенное значение числа
3 . В качестве
первого приближения к числу x = 3 с избытком возьмем
число x1 = 2. Разделим на него число, стоящее под корнем,
т. е. вычислим y1 = 3 = 1,5 . Заметим, что y1 приближает x с
2
недостатком. Проверим этот результат в общем виде.
a
1. Задача. Если x1 > a , то
< a.
x1
Действительно, перепишем доказываемое неравенство,
разделив обе части на положительное число a и умножив
a
a
на положительное число x1. Получим
< x1 .
< a ⇒
x1
a
a
Но
= a , поэтому наше неравенство превращается в
a
данное a < x1 . Все переходы в наших преобразованиях
a
a
обратимы: x1 > a ⇒ a < x1 ⇒
< x1 ⇒
< a.
x1
a
Составим среднее арифметическое x2 =
2. Задача. Верны неравенства
x1 + y1
a
, где y1 = .
2
x1
a < x 2 < x1 , т. е. дает ли
число x2 приближение к a с избытком, лучшее, чем x1?
Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом:
x2 =
x1 + y1
>
2
x1 y1 =
x1 ⋅
a
=
x1
a.
То, что x2 < x1 очевидно, так как y1 < a , а среднее
арифметическое двух чисел меньше большего из них.
В нашем случае при а = 3 получаем x2 =
2 + 1,5
= 1,75 .
2
Продолжаем процесс дальше. Вычисляем y 2 =
строим x3 =
3
= 1,7…,
x2
x2 + y 2
= 1,7... . Выпишем несколько членов
2
построенной последовательности.
2
3
4
5
6
n 1
1,75 1,73214 1,732049 1,7320506 1,7320508
xn 2
yn 1,5 1,7143 1,73196 1,732052 1,7320509 1,7320508
Мы видим, как сближаются между собой последователь-
1. Всякое рациональное число
можно записать в виде десятичной дроби, причем эта дробь
будет конечной или периодической. Например,
5
4
= 0,625 ; = 1,333... ;
8
3
5
= 0, 2272727 ...
22
Период обычно записывают в
скобках:
1,333… = 1,(3);
0,22727… = 0,2(27).
Конечную десятичную дробь
тоже можно считать периодической, у которой после последней
значащей цифры стоит в периоде
0: 0,625 = 0,625000… .
2. Всякая периодическая десятичная дробь является записью
некоторого рационального числа.
Строгое доказательство этого утверждения мы получим в старшей
школе, однако способ превращения периодической десятичной
дроби в обыкновенную можно
получить, обобщая следующие
примеры, которые легко проверить прямым вычислением.
7
0,77… = 0,(7) =
,
9
23
0,2323… = 0,(23) =
,
99
165
0,165165… = 0,(165) =
и т. п.
999
3. Иррациональные числа записываются непериодическими десятичными дробями. Докажите, что
следующие дроби не могут иметь
период, поэтому представляют
собой запись иррациональных
чисел.
1) 0,101001000100001…
2) 0,149162536496481100121…
3) 0,1357911131517192123…
М-22 8 класс Учебник 6 глава – стр. 15
ности x1, x2, … и y1, y2, … . Число
этих последовательностей.
3 лежит между членами
Беседа 7 Развитие понятия числа
Примеры и комментарии
История
Опишем схематически этапы развития понятия числа.
Натуральные числа: 1, 2, 3, …
Множество натуральных чисел обычно обозначается N.
Пифагор
1. Пифагору, который жил в шестом веке до нашей эры, приписывают выражение: «Все есть
число». А через две с половиной
тысячи лет русский поэт Николай
Гумилев напишет:
А для низкой жизни были числа
Как домашний, подъяремный скот,
Потому что все оттенки смысла
Умное число передает.
Почти вся история математики,
уместившаяся в эти 25 веков, связана с поисками смысла чисел, с
их красотой и загадками, с их
практической пользой и теоретическими проблемами.
Из всех «оттенков смысла», которые можно передать с помощью
чисел, выберем один – роль чисел
для решения уравнений. Немецкому математику XIX века Кронекеру принадлежит выражение,
ставшее крылатым: «Натуральные
числа создал Бог, все другие –
дело рук человека».
2. Добавление нуля: 0, 1, 2, 3, …
По-видимому, первым, кто использовал символ, похожий на
современную запись нуля (греческую букву ο – омикрон), был
александрийский астроном и мАтематик Птолемей (около 150 г.).
Однако этот знак долго использовался лишь для позиционной
записи чисел, а не как самостоя-
Отрицательные целые числа: –1, –2, –3, …
Их можно построить как решения уравнений вида
x + m = n, где m и n – натуральные числа. Исторически
они впервые появились в финансовых задачах для
разделения прибыли и долга (например, у Фибоначчи –
около 1200 г.).
Множество всех целых чисел обозначается Z.
Натуральные числа составляют часть целых чисел: N ⊂ Z.
Рациональные числа: их можно записать в виде дробей
m
вида , где m – целое число, n – натуральное.
n
С помощью рациональных чисел можно решать
уравнения вида nx = m, n ≠ 0, где m и n – целые числа.
Множество всех рациональных чисел обозначается Q.
Произошло очередное расширение числовых множеств:
N ⊂ Z ⊂ Q.
Множество Q уже достаточно богатое. Любые уравнения
вида ax + b = c, где a ≠ 0; a, b, c – рациональные числа,
могут быть решены с использованием рациональных
чисел.
Вещественные (действительные) числа
Рациональных чисел на первый взгляд достаточно, чтобы
обеспечить все потребности вычислений, однако уже
последователи Пифагора открыли несоизмеримость
некоторых отрезков, а Евклид впервые дает строгое
доказательство того, что уравнение x2 = 2 не имеет
решений в рациональных числах.
Итак, нашлись уравнения, для решения которых
понадобилось добавить к рациональным числам новые,
М-22 8 класс Учебник 6 глава – стр. 16
тельное число, с которым можно
совершать арифметические операции.
которые так и стали называть иррациональными, т. е.
нерациональными.
М-22 8 класс Учебник 6 глава – стр. 17
Числовая ось
Примеры и комментарии
При геометрическом способе решения уравнений их
корни представлялись отрезками, точнее говоря, не
самими отрезками, а их отношениями к выбранной
единице измерения. Это позволило изображать числа
точками прямой, на которой выбрано направление (чтобы
различать положительные и отрицательные числа),
единица масштаба (чтобы все отрезки сравнивать с
каким-либо одним) и начало отсчета, т. е. точками
числовой оси. При таком изображении рациональные
числа хотя и лягут на оси достаточно плотно (между
любыми двумя рациональными числами всегда найдется
промежуточное рациональное число, например, их
полусумма), но всю прямую не заполнят, на ней
останутся «дырки».
Если мы рассмотрим все числа, с помощью которых
можно записать результат сравнения направленных
отрезков с единичным масштабом (т. е. все точки
числовой оси), то мы расширим множество рациональных
чисел и получим множество вещественных (или
действительных) чисел, которое обозначается через R:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Среди вещественных чисел есть корни многих уравнений
с рациональными коэффициентами. Однако оказалось,
что среди иррациональных чисел есть не только такие
числа. Так, знаменитое число π (отношение длины
окружности к диаметру) нельзя получить как корень
алгебраического уравнения. Этот факт был доказан
только в конце XIX века. Числа, не являющиеся корнями
алгебраических уравнений с целыми коэффициентами,
стали называться трансцендентными.
Процесс расширения числовых множеств не закончился
построением множества R всех вещественных чисел.
Легко написать уравнение, у которого нет ни
иррациональных, ни рациональных корней. Таким будет,
например, уравнение x2 + 1 = 0. Причина отсутствия
корней у этого уравнения другая – квадрат каждого числа
должен быть положительным числом (или нулем),
поэтому равенство x2 = –1 невозможно.
В середине шестнадцатого века
для решения кубических уравнений, которые имели обычные
рациональные или иррациональные корни, понадобилось использовать в качестве вспомогательных объектов квадратные корни
из отрицательных чисел. Понимая,
что таких чисел в природе
существовать не может, их стали
называть мнимыми, то есть
воображаемыми числами.
Формула для корней кубического
уравнения содержала операции с
мнимыми числами. Так, число 1,
являющееся корнем уравнения
x3 – 7x + 6 = 0 по этой формуле записывалось следующим образом:
1=
3
−3+
10
9
−1 +
3
−3−
10
9
−1
.
Суммы обычных вещественных
чисел и мнимых чисел, т. е. числа
вида a + b − 1 , стали называть
комплексными числами, которые,
начиная с XVIII века, широко
используются во всех областях
математики.
Множество всех комплексных
чисел обозначается C:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
На комплексных числах можно
было бы и остановиться – еще в
начале XIX века немецкий математик Гаусс, которого называли
«королем математиков» доказал,
что всякое алгебраическое уравнение (даже с комплексными коэффициентами) имеет комплексный
корень. Однако развитие понятия
числа не остановилось, и математики построили еще новые системы, нашедшие многочисленные
применения.
Гаусс
М-22 8 класс Учебник 6 глава – стр. 18
М-22 8 класс Учебник 6 глава – стр. 19