Документ 2375818

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина»
Физико-технологический институт
Кафедра Физических методов и приборов контроля
УТВЕРЖДАЮ
Зав. кафедрой ФМПК
_____________В.С.Кортов
подпись
______________ 2012 г.
дата
А.Ф. ЗАЦЕПИН, Д. Ю. БИРЮКОВ
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Учебно-методические указания для выполнения практических, домашних,
самостоятельных и контрольных работ студентами специальностей:
200102 «Приборы и методы контроля качества и диагностики»
200503 «Стандартизация и сертификация»
направления:
210100 «Электроника и наноэлектроника»
Екатеринбург
УрФУ
2012
Оглавление
Введение ............................................................................................................... 3
1. Пространственная решетка и ее свойства....................................................... 5
1.1. Элементарные ячейки и структура кристаллов........................................ 5
Задачи для самостоятельных и домашних работ........................................ 11
1.2. Плоскости в кристалической решетке. Индексы Миллера.................... 13
Задачи для самостоятельных и домашних работ........................................ 17
1.3. Обратная решетка и ее свойства. ............................................................ 18
Задачи для самостоятельных и домашних работ........................................ 23
2. Дифракция рентгеновских лучей в кристаллах. Формула Вульфа-Брэгга. 23
Задачи для самостоятельных и домашних работ........................................ 27
3. Межатомные взаимодействия и типы связей в твердых телах.................... 29
Задачи для самостоятельных и домашних работ........................................ 34
4. Дефекты в кристаллах, диффузия. ................................................................ 37
Задачи для самостоятельных и домашних работ........................................ 41
5. Динамика кристаллической решетки. ........................................................... 43
Задачи для самостоятельных и домашних работ........................................ 49
6. Физические свойства полупроводников. ...................................................... 53
Задачи для самостоятельных и домашних работ........................................ 61
Введение
В данном пособии содержатся задачи по основным разделам физики
твердого тела, которые были взяты из периодической литературы,
монографий и учебников. Рассматриваются различные физические и физикохимические свойства твердых тел, в том числе механические, упругие,
тепловые. Значительное внимание уделено основам кристаллографии и
энергии кристаллической решетки.
Содержание пособия составлено так, чтобы по возможности охватить все
наиболее важные вопросы физики твердого тела, однако при этом затронуты
не все разделы курса. Это отчасти можно объяснить как ограниченным
объемом пособия, так отсутствием в использованной литературе задачь по
всем всем без исключения разделам.
В
пособии
приводятся
примеры
решения
задач,
что
должно
способствовать развитию навыков решения задач в этой области физики. В
задачах использовалась преимущественно Международная система единиц
СИ, хотя в отдельных случаях допускались и другие системы. В пособии
приводятся различные математические методы и приемы, прочно вошедшие
в физику твердого тела. Внимательное ознакомление с решениями задач
должно
облегчить
студентам
и
аспирантам,
изучение
специальной
литературы и оригинальных журнальных статей по тематике физика твердого
тела.
В
пособии
встречаются
задачи
различной
степени
трудности.
Большинство задач могут решаться со студентами на практических занятиях
по общему курсу физики. Отдельные задачи, требующие сравнительно
больших вычислений, могут быть использованы при изучении специальных
курсов физики твердого тела. Математическая подготовка, необходимая для
решения задач, не выходит за пределы обычного курса высшей математики,
читаемого во втузах. В связи с этим в пособии ограничено число задач по
квантовой теории твердого тела.
Настоящее пособие рассчитано на лиц, изучающих курс физики твердого
тела или же знакомых с этим курсом. Оно будет полезно студентам
университетов и втузов, а также аспирантам, специализирующимся по
физике твердого тела.
1. Пространственная решетка и ее свойства
1.1. Элементарные ячейки и структура кристаллов
Задача 1. Плотность кристалла NaC1 равна 2180 кг/м3. Атомный вес
натрия 23, хлора 35,46. Определить постоянную решетки.
Решение. Масса элементарной ячейки кристалла NaCl равна
M = a3r
где a – постоянная решетки, r – плотность кристалла. Но, с другой стороны,
M = mH (NNaANa + NClACl)
где mH – масса атома водорода (1,66×10-27 кг); NNa – число атомов натрия в
элементарной ячейке; NCl – число атомов хлора в элементарной ячейке; ANa –
атомный вес натрия; ACl –атомный вес хлора.
Приравнивая правые части двух выражений и учитывая, что на одну
элементарную ячейку NaC1 приходится половина атома натрия и половина
атома хлора, получаем
a=3
a=3
mH
( ANa + ACl )
2r
1,66 × 10 -27
2 × 2,18 × 10
o
(23 + 35,46) = 2,81 × 10 -10 м = 2,81A
3
Задача 2. Найти число атомов алюминия в единице объема. Плотность
алюминия r =2700 кг/м3.
Решение. В килограмм-молекуле алюминия содержится 6,02×1026 атомов.
Одна килограмм-молекула занимает объем:
V1 = A/r
где A – атомный вес, r – плотность . Тогда число атомов в единице объема:
n = N/V1 = Nr/A
n = 6,02×1026×2,7×103/27 = 6,02×1028 м-3
Задача
3
(4).
Доказать,
что
в
кристаллической решетке отсутствует ось
симметрии пятого порядка.
Решение.
Пусть
в
кристаллической
решетке существует ось пятого порядка L5
(рис. 13) . Возьмем один из ближайших к
оси узлов решетки, например a1. После
поворота
на
72°
этот
узел
займет
последовательно точки a2, a3, a4 и a5.
Соединив узел a1, с узлом a4, получим
Рис. 1. Пятиугольная ячейка.
прямую a1a4, параллельную стороне a2a3 пятиугольника. Так как на
параллельных рядах атомы
в решетке расположены на одинаковых
расстояниях, то на прямой a1a4 должен находиться также узел решетки k.
Этот узел ближе к оси симметрии, чем любой из узлов a1, a2, a3 и т. д.
Приходим к заключению, противоречащему принятому условию, согласно
которому узел a1 – ближайший к оси симметрии пятого порядка. Отсюда
вытекает, что в кристаллической решетке ось симметрии пятого порядка
отсутствует.
Задача 4 (6). Определить объемы элементарной ячейки через радиусы
равновеликих шаров, образующих плотные упаковки для 1) объемноцентрированной, 2) гранецентрированной и 3) гексагональной решеток.
Решение. 1) Параметр элементарной ячейки через
радиус шара выражается следующим образом (рис. 2):
2
3a 2 = (4r ) или a =
Тогда
4r
.
3
Рис. 2. Ячейка ОЦК
V = a3 =
3
64r
.
3 3
2) Параметр элементарной ячейки можно выразить через радиусы
шаров, образующих плотнейшую упаковку (рис. 3a):
2a 2 = (4r ) или a = 2 2r .
2
Тогда
V = a 3 = 8 8r 3 = 16 2r 3 .
Рис. 3. Кристаллическая решетка: а – ГЦК, б – гексагональная.
3) Величина параметра решетки a = 2r . Тогда площадь основания
элементарной ячейки (рис. 3б)
S = 6×
Так как
a2
× 3 = 6r 2 3 .
4
c
2
2
=2
, то c = 4r . Объем элементарной ячейки
a
3
3
V = 6r 2 3 × 4r
2
= 24 2r 3 .
3
Задача 5 (7). Чему равно число атомов в элементарной ячейке в случае 1)
простой, 2) объемноцентрированной и 3) гранецентрированной кубических
решеток?
Решение. 1) В простой кубической решетке атомы находятся только в
вершинах
углов
ячейки.
Одна
вершина
принадлежит
восьми
параллелепипедам кристаллической решетки. Поэтому на каждую вершину
одной ячейки приходится одна восьмая часть атома, находящегося в вершине
(рис. 4а).
Рис. 4. Атомы в кубических элементарных ячейках:
а – примитивной, б – ОЦК, в – ГЦК.
Ячейка имеет восемь углов, следовательно, на нее приходится один атом.
2) В объемноцентрированной кубической решетке, кроме атомов,
расположенных в углах, элементарной ячейке принадлежит полностью
внутренний центральный атом (рис. 4б). Таким образом, в объемноцентрированной решетке на каждую ячейку приходится два атома.
3) В гранецентрированной кубической решетке атомы, расположенные
в центре граней, принадлежат двум ячейкам (рис. 4в). Поэтому число атомов
в элементарной ячейке равно четырем.
Задача 6 (8). Чему равно число атомов в элементарной ячейке
гексагональной плотноупакованной решетки?
Решение.
На
элементарную
ячейку
в
гексагональной плотноупакованной решетке
приходится шесть атомов. Три внутренних
атома, которые расположены в центрах трех (из
шести)
тригональных
призм
(рис. 5),
полностью принадлежат одной элементарной
ячейке. Два атома, расположенные в центрах
базисных граней, принадлежат элементарной
ячейке наполовину и в сумме дают один атом.
Рис. 5. Гексагональная ячейка
Каждый атом, который находится в вершине гексагональной призмы,
принадлежит шести элементарным ячейкам.
В целом все эти двенадцать атомов вносят вклад в одну элементарную
ячейку на два атома. Итак, на элементарную ячейку гексагональной решетки
приходится шесть атомов.
Задача 7 (9). Показать, что c/a для идеальной гексагональной структуры с
плотной упаковкой равно (8/3)0,5 = 1,633.
Решение. Решетка с гексагональной плотной упаковкой возникает при
расположении атомов в слоях по схеме АВА. В этой решетке три атома
первого слоя и один атом второго слоя образуют четырехгранную пирамиду,
высота которой равна
с
(рис. 6)
2
Так как
2
æa 3ö
с
÷ =a 2 ,
= a 2 - çç
÷
2
3
è 3 ø
а период решетки a = 2r , то
c = 4r
2
.
3
Рис. 6. Фрагмент гексагональной
ячейки
Тогда
c
=
a
2
3 = 2 2 = 1,633.
2r
3
4r
Задача 8 (12). Пусть гранецентрированная кубическая и гексагональная
решетки построены из одинаковых атомов, представляющих собой жесткие
сферы с радиусом r. Показать, что часть объема, занятая атомами при таком
расположении, равна
p 2
= 0,74.
6
Решение. Для гранецентрированной кубической решетки N=4, объем
элементарной ячейки равен 16 2r 3 .
Тогда
4
4 × pr 3
p
k= 3 3 =
= 0,74.
16 2r
3 2
Поскольку в элементарной ячейке гексагональной решетки содержится
шесть атомов, то коэффициент заполнения пространства определяется
выражением
4
6 × pr 3
p
k= 3 3 =
= 0,74.
24 2r
3 2
Таким
образом,
в
гексагональной
решетке,
равно
как
и
в
гранецентрированной кубической, атомами заполнено всего лишь 74%
пространства от общего объема решетки.
Из приведенных вычислений следует, что даже в решетках с самой
плотной упаковкой атомов остаются незаполненными 26% пространства от
общего объема решетки.
Задача 9 (22). Вычислить объем элементарной ячейки триаминхлорида
четырехвалентной платины, если параметры ячейки и углы триклинности
имеют следующие значения: a=11,13 Å, b=9,83 Å, c=8,17 Å, a = 94o9,5¢ ,
b = 95o 40¢ , g = 96o58¢ .
Решение. Объем элементарной ячейки численно равен смешанному
r r
r
произведению векторов a , b и c :
[ ]
r rr
V = a bc
или
ax
ay
az
V = bx
cx
by
cy
bz ,
cz
r r
r
где ax , a y , a z и т.д. – проекции трех векторов a , b и c на три взаимно
перпендикулярные координатные оси. Возведем правую и левую части (*) в
квадрат:
2
ax +
a y2 +
az2 ax bx + a y by + az bz ax cx + a y c y + a z cz
V 2 = bx a x + by a y + bz az bx2 +
by2 +
bz2 bx cx + by c y + bz cz .
c x a x + c y a y + cz az c xbx + c y by + cz bz cx2 +
c y2 +
cz2
Заменяя суммы в определителе скалярным произведением, можно
записать:
a2
rr
V 2 = ba
(crar )
( )
(arbr )
2
b
rr
cb
( )
(arrcr )
1
r
2 2 2
b c = a b c cos g
c2
cos b
( )
cos g
1
cosa
cos b
cos a .
1
Раскрывая определитель, получим
V = abc 1 - cos 2 a - cos 2 b - cos2 g + 2 cos a cos b cos g ;
V = 11,13 × 9 ,83 × 8,17 (1 - cos 2 94 o 9,5¢ - cos 2 95 o 4 0 ¢ - cos 2 96 o5 8¢ + 2 cos 94 o9 ,5¢ cos 95 o 4 0¢ cos 96 o 5 8¢ )2 = 881 A 3 .
1
Задача 10 (23). Воспользовавшись формулой объема элементарной ячейки
триклинной системы, получить формулы для объема ячеек 1) моноклинной,
2) гексагональной и 3) ромбоэдрической систем.
Решение. 1) В моноклинной системе a = g = 90o. Тогда
V = abc 1 - cos 2 b = abc sin b .
2) В гексагональной системе a = b = 90o , g = 120o. В этом случае
V = abc 1 - cos 2 g = abc sin g ,
V = a 2 c sin 120o =
3 2
a c.
2
3) В ромбоэдрической системе a = b = c,a = b = g ¹ 90o.
Тогда
V = a 3 1 - 3 cos2 a + 2 cos3 a .
Задачи для самостоятельных и домашних работ
Задача 11 (3). Определить число атомов в элементарной ячейке железа,
кристаллизующегося в кубической системе. Ребро куба а=2,87 Å; атомный
вес железа 55,84; плотность его 7800 кг/м3.
o
Задача 12 (5). Показать, что в гранецентрированной кубической решетке
среди соседних узлов всегда имеется группа из трех узлов, являющихся
вершинами равностороннего треугольника.
Задача 13 (10). Пусть элементарная ячейка простой кубической решетки
построена из одинаковых атомов, представляющих собой жесткие сферы с
радиусом r. Ребро элементарной ячейки а = 2r (атомы касаются друг друга).
Показать, что часть объема, занятая атомами при таком расположении, равна
p/6 = 0,523.
Задача 14 (11). Объемноцентрированная кубическая решетка состоит из
атомов одного вида, имеющих радиусы r. Пусть атомы, расположенные по
диагонали, которая проходит через центр куба, касаются друг друга.
Показать, что часть объема, занятая атомами при таком расположении равна
= 0,68.
Задача 15 (13). Определить радиусы атомов, которые могут быть размещены в октаэдрических (рис. 7) и тетраэдрических (рис. 8) пустотах при
плотных упаковках равновеликих шаров.
Рис. 7 Октаэдрическая структура
Рис. 8 Тетраэдрическая структура
Задача 16 (14). Пусть атомы а и b образуют кристалл, имеющий структуру
CsCl, и представляют собой жесткие сферы с радиусами ra и rb . Показать,
что атомы, расположенные по диагонали, которая проходит через центр
куба, не могут касаться друг друга, если
ra
r
или b больше чем 1,37.
rb
ra
Задача 17 (15). Два элемента а и b образуют кристалл ab, у которого
решетка типа NaCl. Считать, что атомы имеют вид жестких сфер с
радиусами ra и rb . Показать, что атомы, расположенные по диагонали грани
куба, не могут касаться друг друга, если
ra
больше чем 2,44.
rb
Задача 18 (16). Ионная кристаллическая решетка образуется ионами с
зарядами z1 = 4 и z2 = 1 . Показать, что в этом случае наиболее вероятно
возникновение кристаллической решетки с координационным числом 6.
Задача 19 (24). Найти число элементарных ячеек в 1 см 3 кристалла магния с
параметрами решетки a=3,20 Å и c=5,20 Å.
1.2. Плоскости в кристалической решетке. Индексы Миллера.
Задача 20 (17). Определить отрезки, которые отсекает на осях решетки
плоскость (125).
Решение. Записываем величины, обратные индексам плоскости:
1 1 1
, , .
1 2 5
Общий знаменатель 10. Так как
1 1 1
A: B:C = : : ,
1 2 5
то А=10, В=5, С=2.
Задача 21 (18). Найти индексы плоскостей, проходящих через узловые
точки кристаллической решетки с координатами 9 10 30, если параметры
решетки a=3, b=5 и c=6.
Решение. Из теории кристаллической решетки следует, что
h:k :l =
a b c
: : ,
A B C
где h, k, l – индексы Миллера. Тогда
h:k :l =
3 5 6 1 1 1
: :
= : : = 10 : 15 : 6 .
9 10 30 3 2 5
Таким образом, искомые индексы нашей плоскости (10 15 6).
Задача 22 (19). Даны грани (320) и (110). Найти символ ребра их
пересечения.
Решение. Как известно, если символы граней равны (h1k1l1) и (h2k2l2), то
символы общего ребра выражаются следующим образом:
h : k : l = (k1l2 - l1k2 ) : (l1h2 - l2 h1 ) : (h1k2 - h2 k1 ).
Решение получается также из схемы
Для нашего случая
Отсюда h=0-0=0, k=0-0=0, l=3-2=1. Искомый символ ребра [001].
Задача 23 (31). В триклинной решетке кианита (Al2O3 × SiO2) параметры а,
b, с и углы a , b , g элементарной ячейки соответственно равны 7,09; 7,72;
5,56 Å; 90о55¢ ; 101о 2¢ ; 105о 44¢ . Определить расстояние между плоскостями
(102).
Решение. Межплоскостное расстояние между плоскостями с индексами
r
(hkl) находят путем определения длины вектора rhkl* в обратном
пространстве, соединяющего начало координат с точкой (hkl). При этом
d hkl =
1
r *hkl
Так как
r
r*
r
r
rhkl
= ha * + kb * + lc * ,
r
r
r
где a * , b * , c * - единичные векторы обратной решетки, то (см. задачу 30)
можно записать:
æ 1
çç
è d hkl
2
r r
ö
2
2
2
r r
r r
÷÷ = h 2 a * + k 2 b * + l 2 c * + 2hk a *b * + 2kl b * c * + 2lh a * c * .
ø
(
)
(
)
(
)
Векторы обратной решетки выражаются через векторы основной решетки
следующим образом:
[ ]
rr
r * [crar ]
r* bc
a =
, b =
,
V
V
[ ]
rr
r * ab
c =
,
V
r r
r
где V – объем элементарной ячейки, построенной на векторах a , b и с . Тогда
æ 1
çç
è d hkl
[ ]
[ ]
([ ] )
( [ ])
([ ][ ])
rr rr
2
2 rr 2
rr 2
rr 2
rr rr
r r rr
ö
h b c + k 2 [c a ] + l 2 a b + 2hk b c [c a ] + 2kl [c a ] ab + 2lh ab b c
÷÷ =
.
2
V
ø
Введем обозначения:
[brcr] = S11, [crar] = S22, [arb ] = S33,
r
r
r r
([b cr][crar]) = S12, ([crar][arb ])= S23, ([arb ][b cr]) = S13.
2
r2
2
По формулам векторного и смешанного произведений:
[brcr] = b c sin a , [crar] = c a sin b , [arbr] = a b sin
([brcr][crar]) = (brcr )(crar ) - (brar )(crcr ) = abc (cosa cos b - cos g ) ,
([crar][arbr])= (crar )(arbr ) - (crbr )(arar ) = a bc(cos b cos g - cosa ) ,
([arbr][brcr]) = (arbr )(brcr )- (arcr )(brbr ) = ab c(cos g cosa - cos b ).
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Получим окончательно
2
æ 1 ö
1
÷÷ = 2 S11 h 2 + S 22 k 2 + S 33 l 2 + 2 S12 hk + 2S 23 kl + 2 S13 hl ,
çç
è d hkl ø V
(
)
где
S11= b 2 c 2 sin 2 a
S22= a 2 c 2 sin 2 b
S33= a 2b 2 sin 2 g
S12= abc 2 (cosa cos b - cos g )
S23= a 2bc(cos b cos g - cos a )
S13= ab 2 c(cos g cosa - cos b ) .
В нашем случае k=0. Поэтому формула упрощается:
2
(
)
æ 1 ö
1
çç
÷÷ = 2 S11 h 2 + S 33 l 2 + 2 S13 hl ,
è d hkl ø V
откуда
d hkl =
V
S11 h 2 + S 33 l 2 + 2S13 hl
.
Вычислим следующие значения:
o
S11= b 2 c 2 sin 2 a = 7,72 2 × 5,56 2 sin 2 89 o 5' » 1841,63 A 4 ,
o
S33= a 2b 2 sin 2 g = 7,09 2 × 7,72 2 sin 2 74 o16' » 2737,87 A 4
2
g,
S13= ab 2 c(cos g cosa - cos b ) = 7,09 2 × 7,72 2 × 5,56(sin 15 o 44'´ sin 0 o 55'+ sin 11o2 2') » 459,77 A 4 .
o
Объем элементарной ячейки
V = abc 1 - cos 2 a - cos 2 b - cos 2 g + 2 cos a cos b cos g ;
(
V = 7,09 × 7,72 × 5,56 1 - sin 2 0 o 55'- sin 2 11o 2'- sin 2 15 o 44'-2 sin 0 o 55' sin 11o 2' sin 15 o 44'
)
1
2
Тогда
d hkl =
270, 24
o
» 2,23 A
1841,63 + 2737,87 × 4 + 2 × 459,77 × 2
Задача 24 (32). Получить формулы для вычисления межплоскостных
расстояний кристаллов 1) ромбической, 2) гексагональной, 3) тетрагональной
и 4) кубической систем из формулы для межплоскостных расстояний
кристаллов триклинной системы.
Решение. Для вычисления межплоскостных расстояний кристаллов
различных систем воспользуемся формулой для триклиновой системы,
полученной в предыдущей задаче.
1) В ромбической системе a ¹ b ¹ c , a = b = g = 90 o . Тогда
S11= b 2 c 2 , S22= a 2 c 2 , S33= a 2 b 2 , S12=S23=S13=0. Объем элементарной ячейки
ромбической системы равен abc. Следовательно,
æ 1
çç
è d hkl
2
ö
b 2c 2 h2 + a 2c k 2 + a 2b 2l 2
÷÷ =
a 2b 2c 2
ø
или
æ 1
çç
è d hkl
2
2
2
2
ö
hö
ælö
æk ö
÷÷ = æç ÷ + ç ÷ + ç ÷ .
ècø
èbø
èaø
ø
2) В гексагональной системе a = b ¹ c , a = b = 90 o , g = 120 o . Тогда S11= a 2 c 2 ,
3
4
S22= a 2 c 2 , S33= a 4 , S 12 =
a 2c2
, S23=S13=0. Так как объем примитивной ячейки
2
гексагональной решетки равен
3 2
a c , то
2
o
» 270,24 A 3
æ 1
çç
è d hkl
2
ö
1 æ 2 2 2
3 4 2
1 2 2 ö
2 2 2
÷÷ =
ç a c h + a c k + a l + 2 × a c hk ÷
3 4 2è
4
2
ø
ø
a c
4
или
æ 1
çç
è d hkl
2
ö
4 æ h 2 + hk + k 2
÷÷ = çç
3è
a2
ø
ö l2
÷÷ + 2 .
ø c
3) Для тетрагональной системы межплоскостное расстояние можно найти
из формулы для ромбической системы при условии a=b. Тогда
æ 1
çç
è d hkl
2
ö
h2 + k 2 l 2
÷÷ =
+ 2.
a2
c
ø
4) В кубической системе a=b=c. Поэтому
æ 1
çç
è d hkl
Из
общей
формулы
2
ö
h2 + k 2 + l 2
÷÷ =
.
a2
ø
можно
получить
также
выражения
для
межплоскостных расстояний моноклинной и ромбоэдрической систем.
Задачи для самостоятельных и домашних работ
Задача 25 (20). Даны два ребра [130] и [201]. Найти символ грани, в
которой они лежат одновременно.
Задача 26 (21). Положение плоскостей в гексагональной системе определяется с помощью четырех индексов. Найти индекс i в плоскостях (100),
(010), (110) и (211) гексагональной системы.
Задача 27 (33). Чему равны расстояния между плоскостями (100), (110) и
(111) в кубической решетке с параметром а?
Задача 28 (34). Определить угол между плоскостями (201) и (310) в
ромбической сере с параметрами решетки a=10,437Å, b=12,845 Å, c=24,369
Å.
Задача 29 (35). Вычислить угол между плоскостями (111) и (102) тетрагонального кристалла галлия с параметрами решетки a=4,50 Å, c=7,64 Å.
Задача 30 (36). Найти угол, образуемый гранями (100) и (010) кубического кристалла.
Задача 31 (37). Определить условие перпендикулярности двух плоскостей
(h 1 k 1 l 1 ) и (h 2 k 2 l 2 ) в ромбоэдрической системе.
Задача 32 (38). Определить величину отрезка вдоль направления [322] от
начала координат до первого атома в триклинной решетке с параметрами
a=11,13 Å, b=9,83 Å, c=8,17 Å, a = 94o9¢ , b = 95o 40¢ , g = 96o58¢ .
Задача 33 (39). Написать формулы для периода идентичности 1) моноклинного, 2) ромбического, 3) тетрагонального и 4) гексагонального
кристаллов.
Задача 34 (40). Моноклинная решетка b - селена имеет следующие параметры: a=12,85 Å, b=8,07 Å, c=9,31 Å, b = 93o8¢ . Определить угол между
прямой, проходящей через начало координат и точку с координатами 1 0 0, и
плоскостью (102).
Задача 35 (41). Доказать, что в кубическом кристалле любое направление
[hkl] перпендикулярно к плоскости (hkl) с теми же значениями индексов
Миллера.
Задача 36 (42). Вычислить угол между двумя прямыми [101] и [012] в
ромбической решетке медного купороса с параметрами решетки a=4,88 Å,
b=6,66 Å, c=8,32 Å.
Задача 37 (43). Определить угол между двумя направлениями [102] и
[210] в кристалле триглицинсульфата ((NH2CH2C00H)3 × H2S04) с параметрами
элементарной ячейки a=9,42 Å, b=12,64 Å, c=5,73 Å и углом моноклинности
b = 110o 23¢ .
Задача 38 (44). Определить угол между телесной диагональю и ребром
куба.
1.3. Обратная решетка и ее свойства.
Задача
39
(25).
Элементарная
ячейка
магния
принадлежит
к
гексагональной системе и имеет параметры a=3,20 Å и c=5,20 Å.
Определить векторы обратной решетки.
Решение. Векторы обратной решетки определяются следующим образом:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
rr
rr
r * [crar ]
r*
bc
r*
ab
a = r rr , b = r rr , c = r r r ,
a bc
b [c a ]
c ab
где
[ ]
[ ]
r rr r rr r r r
a b c = b [c a ] = c a b
- объем элементарной ячейки. Так как объем
элементарной ячейки гексагональной решетки
V=
3
3a 2 c , а
2
[brcr ] = bc , [crar] = ca , a = b = 90
[arbr] = ab sin 120
a* =
a* =
b* =
b* =
bc
3
3a 2 c
2
o
и
ab 3
, то
2
o
=
=
2 3
,
9a
o
2 × 1,73
» 0,12 A -1 ;
9 × 3,20
ca
3
3a 2 c
2
=
2 3
,
9a
o
2 × 1,73
» 0,12 A -1 ,
9 × 3,20
3
2 = 1 ,
с* =
3
3с
3a 2 c
2
aс
с* =
o
1
» 0,064 А -1 .
3 × 5,20
Задача 40 (26). Показать, что если две решетки являются обратными одна
по отношению к другой, то произведение объемов их элементарных ячеек
равно единице.
Решение. Объем элементарной ячейки обратной решетки
[
]
r r r
V * = a * b *c * ,
r r r
где a * , b * , c * - векторы основных трансляций обратной кристаллической
решетки. Так как
[ ]
[ ]
rr
rr
r * [crar ]
r* bc
r * ab
a =
, b =
, то
иc =
V
V
V
rr
bc r r r r
*
V = 3 [c a ] ab .
V
[ ][ [ ]]
Раскроем двойное векторное произведение:
V
*
rr
[
bc] r r r r r r r r
=
{a (c [ab ]) - c (a[ab ])}.
V3
Учитывая, что ( a [a b ])=0, получаем
rr r r r r
r rr r r r
b c a c ab
a b c c ab
V2 1
*
V =
=
=
= ,
V3
V3
V3 V
r rr
[ ] ( [ ]) ( [ ])( [ ])
т.е. V *V = 1 .
Задача 41 (27). Выразить углы между векторами обратной решетки через
углы прямой решетки.
Решение. Углы между векторами обратной решетки находятся по общему
правилу определения углов между двумя векторами. Для косинуса одного из
углов обратной решетки можно записать
(
)
r r
c *a *
*
.
cos b =
*
*
c a
Так как
[ ]
[ ]
rr
r * ab
c =
V
rr
r* b c
и a =
, то
V
r r rr
[ab ][b c ]
*
.
cos b =
*
*
2
c a V
(
)
Известно, что
rr rr
rr rr
rr
([ a b ][ b c ]) = ( a b )( b c ) - ( a c ) b 2 .
Кроме того,
ab sin g
bc sin a
и a* =
.
V
V
r r rr
rr
( a b )(b c ) - ( a c )b 2 ab 2 c cos g cos a - ab 2 c cos b
*
cos b =
=
=
ab 2 c sin a sin g
ab 2 c sin a sin g
cos g cos a - cos b
=
.
sin a sin g
c* =
Тогда
Аналогичным образом можно показать, что
cos a * =
cos b cos g - cos a
,
sin b sin g
cos g * =
cos a cos b - cos g
.
sin a sin b
Задача 42 (28). Показать, что решетка, обратная кубической объемноцентрированной, будет кубической гранецентрированной.
Решение. Покажем сначала, что решетка, обратная кубической решетке,
будет также кубической. Для этого найдем углы.
Запишем известные формулы:
cos a * =
cos b cos g - cos a
,
sin b sin g
cos b * =
cos g cos a - cos b
.
sin g sin a
cos g * =
cos a cos b - cos g
.
sin a sin b
Так как в кубической решетке a = b = g = 90 0 , то, согласно приведенным
формулам, a * = b * = g * = 90 0 .
В объемно-центрированной решетке расстояния между плоскостями вдоль
ребер куба равны a . Следовательно, атомы, расположенные в вершинах куба
прямой решетки, находятся в обратной решетке на расстояниях
1
друг от
a
друга
Рис. 9 Плоскость (110)
Рис. 10 Положение узла в обратной решетке
В вершинах куба. Кроме того, в объемно-центрированной кубической
решетке имеются три системы плоскостей (110), (011) и (101), которые
расположены на расстояниях
a 2
2
друг от друга. Например, семейству
плоскостей (110) (рис. 31) в обратной решетке отвечает точка в направлении
(110) на расстоянии
2
от начала координат (рис. 32). Эта точка является
a
центром грани (001) обратной решетки.
Задача 43 (30). Доказать, что расстояние между плоскостями (hkl)
r
решетки кристалла равно обратной величине длины вектора rhkl из начала
координат в точку h k l обратной решетки.
r
Решение. Если через n обозначить единичный вектор нормали к
плоскости (hkl ) , то межплоскостное расстояние
d hkl
rr
rr
rr
( n a ) ( n b ) ( nc )
=
=
=
.
h
k
l
Но
r*
r rhkl
n= * .
rhkl
Тогда
d hkl =
r* r
(rhkl
a)
*
h rhkl
.
Поскольку
r
r*
r
r
rhkl
= ha * + kb * + lc * ,
то
r* r
(rhkl
a) =
h
1
= * .
*
rhkl
h rhkl
Задачи для самостоятельных и домашних работ
Задача
44
(28).
Показать,
что
решетка,
обратная
кубической
гранецентрированной, будет кубической объемно-центрированной.
Задача 45. Показать, что ромбической решетка в обратном пространстве
тоже будет ромбической.
Задача 46. Построить гексагональную решетку в обратном пространстве.
Задача 47. Вычислить объем элементарной ячейки триаминхлорида
четырехвалентной платины в обратном пространстве, если параметры ячейки
и углы триклинности имеют следующие значения: a=11,13 Å, b=9,83 Å,
c=8,17 Å, a = 94o9,5¢ , b = 95o 40¢ , g = 96o58¢ .
Задача 48 (29). Найти векторы обратной решетки для ромбоэдрического
кристалла кальцита (СаСОз), если a=6,36 Å, a = 46о 6¢ .
2. Дифракция рентгеновских лучей в кристаллах.
Формула Вульфа-Брэгга.
Задача 49 (45). Определить постоянную решетки кристалла LiJ, если
известно, что зеркальное отражение первого порядка рентгеновских лучей с
длиной волны 2,10 Å от естественной грани этого кристалла происходит при
угле скольжения 10°5'.
Решение. Постоянную решетки LiJ найдем из формулы Вульфа-Брэгга
2d sin J = kl ,
откуда
d=
d=
l
;
2 sin J
0
2,1
»
6
,
00
A
.
2 sin 10 0 5 '
Задача 50 (46). Известно, что длина волны характеристического рентгеновского излучения, полученного с медного анода, составляет 1,537 Å. Эти
лучи, попадая на кристалл алюминия, вызывают дифракцию от плоскостей
(111)
под
брэгговским
углом
19,2°.
Алюминий
имеет
структуру
гранецентрированного куба (г. ц. к.), плотность его 2699 кг/м 3 , атомный вес
26,98. Рассчитать число Авогадро по этим экспериментальным данным.
Решение. По формуле Вульфа-Брегга
2d 111 sin J = kl
найдем межплоскостное расстояние при k = 1
l
.
2 sin J
d111 =
Так как для кубической решетки
d hkl =
a
h + k2 + l2
2
,
то
d111 =
a
3
,
откуда
a=
3l
.
2 sin J
В элементарной ячейке гранецентрированной решетки содержится четыре
атома. Поэтому число атомов в единице объема металла
n=
4 4 × 8 sin 3 J 32 sin 3 J
=
=
.
a3
3 3l3
3 3l3
С другой стороны, число атомов в единице объема
n=
N
r,
A
где N - число Авогадро; A - атомный вес; r - плотность.
Тогда
N
32 sin 3 J
r=
,
A
3 3l3
откуда
N=
N=
32 sin 3 J A
× ;
3 3l3 r
32 sin 3 19,20 × 26,98
3 3 (1,537 ×10
-10 3
) × 2699
» 6 ×1026 кмоль-1.
Задача 51 (49). Показать для случая простой кубической решетки, что
формула Вульфа—Брэгга является следствием условий Лауэ.
Решение. Для простой кубической решетки условия Лауэ имеют вид:
a(cos a - cos a 0 ) = k1l ,
a(cos b - cos b 0 ) = k 2 l ,
a(cos g - cos g 0 ) = k 3 l .
Возведем, правые и левые их части в квадрат и сложим, имея в виду
соотношения:
cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1,
cos 2 a 0 + cos 2 b 0 + cos 2 g 0 = 1.
Получим
2a 2 [1 - (cos a cos a + cos b cos b + cos g cos g )] =
0
0
0
2
2
2
2
= ( k + k + k )l .
1
2
3
Обозначим угол между падающим и дифрагированным пучком лучей через
2J . Тогда
cos a 0 cos a + cos b 0 cos b + cos g 0 cos g = cos 2J.
В этом случае
4a 2 sin J = (k12 + k 22 + k 32 )l2
или
2a sin J
k12 + k 22 + k 32
= l.
Если k1 , k 2 и k 3 имеют общий сомножитель, т.е. k1 = nh, k 2 = nk , k 3 = nl , то
2a sin J
h2 + k 2 + l 2
= nl ,
где h, k , l - индексы Миллера. Так как
a
h + k2 + l2
2
=d
то окончательно получим
2d sin J = nl .
Задача 52 (51). Рассчитать теоретически углы q , под которыми появятся
линии [101] и [110] от кристалла сегнетовой соли в несегнетоэлектрической
фазе при рентгеносъемке в медном Ka - излучении. Решетка кристалла
ромбическая с параметрами a=11,878 Å, b=14,246 Å, c=6,218 Å.
Решение. Воспользуемся условием Вульфа—Брэгга
2d sin J = kl
Поскольку для ромбической системы
1
h2 k 2 l 2
=
+
+
d 2 a2 b2 c2
то
l2
l2 æ h 2 k 2 l 2 ö
ç +
=
+ ÷
4 çè a 2 b 2 c 2 ÷ø
4d 2
sin 2 J =
Длина волны, соответствующая линии СuКα , равна 1,84A.
Тогда
2 æ
1
1
+
sin 2 J = 1,844 çç
2
6,218 2
è 11,878
ö
÷÷ » 0,0279
ø
откуда
J1 = 9°36' , J2 = 5°54'
Задача 53 (52). Какое максимальное число линий может появиться на
рентгенограмме от простой кубической решетки с постоянной а = 2,86×10-8
см, если исследование ведется на кобальтовом излучении с длиной волны
1,789×10-8 см?
Решение. По формуле Вульфа-Брэгга для кубической решетки имеем
sin J =
l
h2 + k 2 + l 2
2a
Так как максимальное значение синуса J равно единице, то
(h
2
(h
2
+ k2 + l2
)
=
+ k2 + l2
)
= 10, 2
max
max
4a 2
l2
Следовательно, на рентгенограмме появятся линии от плоскостей, у
которых сумма квадратов индексов Миллера не превышает 10, а именно:
hkl
(100) (110) (111) (200) (210) (211) (220) (300) (310)
h2+k2+l2 1
2
3
4
5
6
8
9
10
Задачи для самостоятельных и домашних работ
Задача 54 (47). Кристаллы меди имеют гранецентрированную кубическую решетку. При комнатной температуре ребро элементарного куба равно
3,608 Å. Монокристалл меди вырезан параллельно одной из граней
элементарного
куба.
Пусть
на
поверхность
кристалла
падает
монохроматический пучок рентгеновских лучей с длиной волны 1,658 Å.
Показать, что плоскости, параллельные поверхности, будут отражать
рентгеновские лучи, если угол между пучком и поверхностью кристалла приближенно равен 27 или 67°.
Задача 55 (48). Показать, что интерференционные максимумы от простой
кубической решетки при заданном направлении падающих лучей возможны
не для любых длин волн, а только для вполне определенных.
Задача 56 (50). Определить разделение дублета меди
Ka1 Ka2
–
при углах
отражения лучей 20 и 80°, если изменению угла q на 0,75° на пленке
соответствует 1 мм.
Задача 57 (53). Появятся ли на рентгенограмме линии, возникшие в
результате отражения от плоскостей (200) и (101) гранецентрированной
кубической решетки?
Задача 58 (54). Показать, что при рассеянии рентгеновских лучей атомами кристалла с пространственной объемноцентрированной решеткой в
отражении на рентгенограмме не возникают линии от плоскостей, у которых
значение суммы индексов h + k + l — число нечетное.
Задача 59 (55). При съемке дебаеграммы серебра при температурах 18 и
630°С интересующая нас линия появилась при
углах 80°9' и76°54'.
Вычислить коэффициент термического расширения серебра.
Задача
60
(56).
Показать,
что
при
определении
коэффициента
термического расширения рентгеновским методом более точные результаты
получаются при измерениях на линиях с большими брэгговскими углами.
Задача 61 (57). При прецизионном определении параметров решетки b олова методом асимметричной рентгеновской съемки на Cu-излучении были
получены значения J для линий [503] a1 и [271] a1 : J(503 ) = 79,017°, J( 271)
=82,564°. Найти параметры решетки.
Задача 62 (58). Определить среднеквадратичные динамические смещения
атомов серебра к кристаллической решетке при температуре 100о С.
Характеристическая температура серебра 210о К.
Задача
63
молибденовом
(59).
Рентгеносъемка
излучении
фотометрирования
при
образца
температурах
рентгенограмм
железа
проводилась
22
-185°С.
установлено,
и
что
в
После
отношение
интенсивностей линий [211] и [510] при температуре 22°С равно 2,66, а при
температуре -185°С – 2,09.
1) Определить характеристическую температуру железа. 2) Найти средне
квадратичные динамические смещения атомов в
кристалле железа при
указанных температурах.
Задача 64 (60). Характеристическая температура
серебра 210° К, а
кальция 230° К. У какого элемента силы связи в решетке больше – у серебра
или у кальция?
Задача 65 (61). При рентгеновском изучении деформированной стали
установлено, что относительное изменение параметров решетки составляет
0,2%. Чему равны внутренние напряжения в стали, если модуль Юнга 21 000
кГ/мм2, коэффициент Пуассона 0,28?
Задача 66 (62). Электронная плотность r (r ) в кристалле может быть
представлена в виде ряда Фурье:
r ( r ) = å r ( к )е i к r
Показать, что если волновой вектор к при помощи векторов основных
трансляций в обратной решетке можно выразить соотношением
к = к1 а * + к 2 b * + к 3 с * ,
то требование инвариантности r (r) по отношению ко всем трансляциям
решетки на вектор
T = n1 a + n 2 b + n3 c
удовлетворяется, когда k1 , k 2 , k 3 равны произведениям 2p на целые числа.
Если
r = ua + ub + wc
и волновой вектор
к = 2p æç h a * + k b * + l c * ö÷ ,
ø
è
где h, k , l – целые числа, то
r = å r (hkl )e 2pi ( hu + ku + lw ) .
hkl
Величины k, фигурирующие в Фурье-разложении электронной плотности,
равны умноженным на 2p векторам, проведенным из начала координат в
точки обратной решетки.
3. Межатомные взаимодействия и типы связей в твердых телах.
Задача 67. Рассчитать значение постоянной Аn в законе Грюнайзена – Ми
lAn ae 2
j= n r ,
r
считая n=10.
Решение. Постоянная Аn по определению выражается следующим
соотношением:
An = å ' Pij- n
j
В решетке NaCl около каждого иона, выбранного заранее за исходный, на
расстоянии r находится 6 ионов, для которых P=1, на расстоянии r 2 — 12
ионов (Р =
3 (Р =
2 ). 8 ионов находятся на расстоянии r
3 ), 6 ионов – на
расстоянии 2r (Р = 2) и т. д.
Тогда для постоянной Ап можно записать:
An =
6
12
+
+
10
10
1
2
8
+
6
( ) ( 3) ( 3)
10
10
+ ...
Если в первом приближении пренебречь остальными слагаемыми, то Ап
=6,413. С учетом слагаемых более высоких порядков для Ап получается
значение 6,42.
Задача 68. Определить значение постоянной Маделунга для одномерной
решетки
(рис. 11),
состоящей
из
последовательно
чередующихся
положительных и отрицательных ионов.
Рис. 11. Линейная цепочка атомов с переменным зарядом
Решение. Постоянная Маделунга определяется формулой
a = å'
k
(±1)
,
qik
где qik— безразмерный множитель, измеряющий расстояние между i-м и k-м
ионами в единицах расстояний между ионами. Знак штрих у суммы
показывает, что член с k = i опускается. Тогда
a = å'
k
¥
(±1)
(-1) k -1
æ 1 1 1
ö
= 2å
= 2ç1 - + - + ...÷
qik
k
è 2 3 4
ø
k =1
Сумму знакопеременного ряда легко определить, если воспользоваться
разложением ln(l+x) в ряд Тейлора:
ln(1 + x ) = x -
x2 x3 x4
+ + ...
2
3
4
Этот ряд совпадает с рядом, определяющим значение постоянной Маделунга
при х=1. Поэтому
α = 2 ln(2) = 1,386
Задача 69. Используя метод, предложенный Эвьеном, вычислить значение
постоянной Маделунга для кристалла типа NaCl.
Решение. По методу Эвьена в решетке выделяют группу атомов так,
чтобы сумма зарядов в группе была электрически нейтральной. Считают, что
заряды, расположенные на гранях, принадлежат двум элементарным
ячейкам, заряды на ребрах — четырем ячейкам и заряды в углах — восьми
ячейкам.
Рассмотрим атом А (рис. 12). Выделим нейтральные системы зарядов,
расположенных на гранях, ребрах и вершинах кубов, которые окружают
данный заряд А. Тогда на расстоянии постоянной решетки от атома А
находится 6 положительных зарядов, расположенных на гранях, на
расстоянии а 2 – 12 отрицательных зарядов на ребрах куба и на расстоянии
а 3 – 8 положительных зарядов в вершинах куба.
Рис. 12. Кристаллическая решетка NaCl
Вклад первого куба в постоянную Маделунга кристалла NaCl равен
8
6 12
a1 = 2 - 4 + 8 = 1,45
1
2
3
Рассмотрим
далее
второй
куб.
Ему
принадлежит
часть
зарядов,
расположенных на первом кубе, и часть зарядов на втором кубе. С помощью
аналогичного расчета, как и для первого куба, легко вычислить вклад в
постоянную Маделунга от второго куба:
8
7
6 24 24 12 24
6 3
×8
× 12
12
12
9
7
a2 = 2 - 4
+ 8 - 2 + 2 - 2 - 4 + 4 - 8 = 3+
- 1,5 +
2,23 2, 45
1,41 1,73
1
5
6
8
9
12
2
3 2
1
3
+2= 3 - 6,38 + 4,05 - 1,5 + 5,38 - 4,90 - 1,06 + 2 - 0,29 = 0,3
2 × 1,73
2 × 1,41
Тогда
a = a1 + a 2 = 1,75
Если расчет вести дальше, то можно получить более точное значение,
которое равно 1,747558.
Задача 70 (73). Вычислить значение энергии кристаллической решет
энергия решетки NaCl, если постоянная n, характеризующая потенциал сил
отталкивания, равна 9,4, а постоянная Маделунга 1,75.
Решение. Энергия кристаллической решетки, рассчитанная на одну
грамм-молекулу,
U =-
N ae 2 æ 1 ö
ç1 - ÷
r0 è n ø
где N — число Авогадро; α — постоянная Маделунга; rо постоянная решетки,
откуда
6,02 ×10 23 ×1,75(4,8 ×10 -10 ) 2 æ
1 ö
ç1 ÷=
r0
è 9,4 ø
= 77,22 ×1011 эрг / моль = 183,7 ккал / моль
U =-
Задача 71 (74). Определить энергию кристаллической решетки NaCl по
формуле Капустинского, считая радиус иона натрия 0,98 Å, а иона хлора 1,81
Å. Сравнить со значением энергии, полученным в предыдущей задаче.
Решение. Энергия кристаллической решетки соединений типа АтВп с
координационным числом 6 по формуле А. Ф. Капус- тинского имеет вид
U = 256,1
(a + b)h Ah B
,
rA + rB
где h A и h B — число катионов и анионов в молекуле; h A и h B — валентность
аниона и катиона; rА и rВ — радиус аниона и катиона.
Тогда
U = 256,1
1 +1
= 183,57 ккал / моль,
1,81 + 0,98
Задача 72 (75). Экспериментальное значение энергии сцепления KCl на
молекулу равно 6,62 эв. Вычислить n, считая r0 = 3,1 Å.
Решение. Энергия сцепления
U =-
N ae 2 æ 1 ö
ç1 - ÷
r0 è n ø
или в расчете на одну молекулу
U '= -
ae 2 æ 1 ö
ç1 - ÷
r0 è n ø
Тогда
U '+
ae 2 ae 2
=
r0
r0 n
или
n=
ae 2
ae 2
=
;
2
æ
ae 2 ö ae + U ' r0
÷
r0 ççU '+
r0 ÷ø
è
1,75(4,8 ×10 -10 ) 2
n=
1,75(4,8 ×10
Задача 73 (76).
-10 2
) - 6,62 × 4,8 ×10
-10
1
×
× 3,1 ×10 -8
300
» 5,37.
Вычислить энергию сил отталкивания для KCl, если
энергия диссоциации равна -4,40 эв. Принять r0 = 2,79 Å.
Решение. Энергия
диссоциации
равна
сумме
всех
энергий
при
образовании молекулы:
Uд = Unp + Uот + U1 + U2.
где Uпр – энергия кулоновского притяжения ионов; Uот – энергия
кулоновского отталкивания; U1 – энергия ионизации атома калия, равная 4,34
эВ; U2 – энергия сродства атома хлора к электрону, равная 3,82 эВ. Следует
учесть,
что
энергия
притяжения
отрицательны.
Энергия притяжения ионов
и
энергия
сродства
к
электрону
U пр = -
e2
4pe 0 r0
Тогда
Uд = -
e2
+ U от + U 1 + U 2 ;
4pe 0 r0
откуда
U от = U д +
e2
-U1 + U 2 ;
4pe 0 r0
Uот = -4,40+5,16-4,34+3,82=0,24 эВ.
Задачи для самостоятельных и домашних работ
Задача 74 (63). Согласно квантовой механике, распределение заряда
электрона
в
атоме
водорода
в
основном
состоянии
выражается
экспоненциальной функцией вида
æ 2r ö
r (r ) = A expçç - ÷÷
è r1 ø ,
где А и r1 – постоянные; r – расстояние от электрона до ядра. Известно, что
общий заряд электрона должен быть равен –е. Показать, что
A=-
e
pr13 .
Задача 75 (64). Пусть энергия частицы в поле другой частицы зависит
расстояния между центрами этих частиц следующим образом:
U (r ) = -
a b
+
r r8 ,
где α и β – постоянные. Показать, что:
1) эти две частицы образуют стабильное соединение при
1
æ 8b ö 7
r = r0 = ç
÷
èa ø ;
2) в случае образования стабильной конфигурации энергия притяжения в
8 раз больше энергии отталкивания;
3) полная
потенциальная
энергия
двух
частиц
при
стабильной
конфигурации
1
7
7 æa ö
7 a
÷÷ = - ×
U ст = - çç
8 è 8b ø
8 r0
.
8
если разделять частицы, то молекула разорвется, как только будет
достигнуто
1
1
æ 36b ö 7
r =ç
÷ = 4,5 7 r0
a
è
ø
.
Задача 76 (65). Показать, что показатели степени в выражении для
потенциальной энергии атомов, находящихся на расстоянии r,
Ur = -
a
b
+ m
n
r
r
должны удовлетворять неравенству m>n.
Задача 77 (66). Энергия взаимодействия между двумя атомами в
молекуле зависит от расстояния следующим образом:
U (r ) = -
a b
+
.
rn rm
Межатомное расстояние в положении равновесия 3 Å, энергия диссоциации
молекулы 4 эв. Вычислить значения коэффициентов α и β, если n=2, m=10.
Найти силы, стремящиеся вернуть атомы в положение равновесия при
изменении межатомного расстояния на 10%.
Задача 78 (70). Считая, что постоянные λ и n в законе Грюнайзена-Ми не
изменяются при агрегатных превращениях, показать, что для молекулы
щелочно-галоидной соли
r
Ur
= тв
U тв arг
и
æ rтв ö
çç
÷÷
è rг ø
n -1
A
= n,
a
где Uг и Uтв - энергия молекулы соответственно в газообразном и твердом
состояниях; rг и rтв – межатомные расстояния в газообразном и твердом
состояниях; α - постоянная Маделунга.
Задача 79 (71). Рассчитать значение λ в формуле
fij =
l e2
±
ri n rij
для хлористого натрия, приняв n=10, А10=6,43°, r0=2,81 Å.
Задача 80 (72). Пусть в ионном кристалле пространство между ионами
заполнено однородной жидкостью с диэлектрической проницаемостью
ε, причем потенциал отталкивания остался неизменным, а кулоновское
взаимодействие уменьшилось в 1/e раз. Рассчитать постоянную решетки
хлористого натрия в описанных условиях, полагая ε = 81 и n = 10. Во сколько
раз вследствие этого изменится энергия решетки?
Задача 81 (77). Показать, что модуль всестороннего сжатия кубической
кристаллической решетки
r02
K=
9V
æ ¶ 2U ö
çç 2 ÷÷
è ¶r ø r = r0 ,
где r0 – расстояние между атомами в состоянии равновесия; V – объем
кристалла.
Задача 82 (78). Рассмотреть кристалл с молярным объемом V0 и общей
энергией
взаимодействия
между атомами U0.
Считая,
что
энергия
взаимодействия между атомами может быть описана выражением
U (r ) = -
a
b
+ m
n
r
r ,
показать, что модуль всестороннего сжатия кристалла равен
U0 ×
mn
9V0 .
Задача 83 (79). Найти сжимаемость кристалла NaCl при 00 К, считая, что
показатель экспоненты в соотношении Грюнайзера-Ми, определяющий
величину сил отталкивания, равен 9,4.
Задача 84 (80). Рассмотреть, к каким возможным последствиям для
постоянной решетки, сжимаемости и энергии решетки приведет удвоение
заряда ионов хлористого натрия, если считать, что потенциал отталкивания
остается постоянным.
Задача 85 (81). Заменить потенциал отталкивания lrij- n для ионов
r
потенциалом вида Ae r . Определить для этого случая ρ для кристалла NaCl.
-
Задача 86 (82). Используя формулу Борна для энергии решетки ионных
кристаллов, вычислить теоретическую прочность на разрыв кристалла NaCl.
4. Дефекты в кристаллах, диффузия.
Задача 87 (184). Показать, что число дефектов Френкеля в твердом теле
при температуре Т определяется следующим соотношением:
Е = kT ln
( N - n) × ( N ¢ - n)
,
n2
где Е – энергия, необходимая для того, чтобы переместить атом из
нормального положения в узле в междоузлие; N – число узлов в кристалле;
N' – число возможных междоузлий в состоянии равновесия.
Решение. Если предположить, что при тепловом равновесии n атомов
покинули свои положения равновесия, то атомы могут разместиться в
'
междоузлиях p способами, причем
N '!
p = '
,
N - n !n!
'
(
)
а дырки, или вакантные узлы, могут разместиться p способами, причем
p=
N!
,
(N - n )!n!
(здесь N ' - общее число возможных междоузлий; N – общее число атомов в
решетке).
Увеличение энтропии, вызванное перемещением атомов,
é
ù
N!
N '!
S = k ê ln
+ ln
ú.
'
N - n ! n! û
ë ( N - n )! n!
(
)
Применяя формулу Стирлинга, получаем
S = k [N ln N - ( N - n ) ln ( N - n ) - n ln n ] +
[
(
) (
)
]
+ k N ' ln N ' - N ' - n ln N ' - n - n ln n .
Увеличение внутренней энергии, обусловленное переходом атомов в
междоузлия,
U = nE.
Тогда свободная энергия этого процесса
F = nE - TS .
В состоянии теплового равновесия
æ ¶F ö
ç
÷ = 0.
è ¶n øT
После дифференцирования получим
(
N - n )(N ' - n )
E = kT ln
.
n2
Если n мало по сравнению с N и N ' , то
n@
'
NN e
-
E
2 kT .
Задача 88 (185). Для образования вакансии в алюминии требуется энергия
примерно 0,75 эВ. Сколько существует вакансий на один атом кристалла в
состоянии термодинамического равновесия при комнатной температуре? При
600°С?
Решение. Число вакансий в кристалле, содержащем N атомов,
n @ Ne
-
E
kT .
или число вакансий на один атом
E
n
n = = e kT .
N
'
При температуре 300ºС
n =e
-
0 , 75×1, 6 ×10 -19
1, 32×10 -23 ×300
» e - 29 » 24,9 ×10 -14 ,
при температуре 600ºС
n =e
-
0, 75×1, 6×10 -19
1,38×10 - 23 ×600
» e -14 » 5 × 10 -7.
Задача 89 (186). Рассчитать отношение числа дефектов по Шоттки к числу
дефектов по Френкелю при комнатной температуре, если энергия для
образования вакансии 0,75 эВ, а для образования дефекта внедрения 3 эВ.
Решение. Число дефектов по Френкелю
n1 @ Ne
-
E1
2 kT
-
E2
2 kT
,
по Шоттки
n2 @ Ne
,
откуда
-
E2
kT
n2 e
= E =e
n1
- 1
e kT
E1 - E 2
kT
или
n2
=e
n1
( 3 - 0 , 75 )1, 6×10 -19
1,38×10 -23 ×300
» e87 .
Задача (90) 187. Пусть энергия, требуемая для перемещения атома натрия
из внутренней части кристалла на поверхность, равна 1 эВ. Вычислить
теплоемкость
одного
моля
металла
при
комнатной
обусловленную наличием в нем дефектов Шоттки.
Решение. Число дефектов по Шоттки в твердом теле
n = Ne
-
E
2kT .
Тогда общая энергия дефектов
U = nE = NEe
-
E
kT .
температуре,
Отсюда находим теплоемкость
E
¶U NE 2 - kT
e ;
C=
=
¶T
kT 2
-
1, 6 ×10 -19
6,02 ×10 26 (1,6 ×10 -19 ) 2 e 1,38×10
C=
1,38 ×10 - 23 × 300 2
- 23
×300
»
» 3,7 ×10 -10 дж/(кмоль × град).
Задача 91 (188). Вычислить, насколько должен раздвинуть атом своих
соседей при помещении его в междоузлие гранецентрированной кубической
решетки.
Решение. Если длина ребра куба гранецентрированной кубической
решетки равна a, то расстояние от центра междоузлия до ближайших
сферических частиц, занимающих узлы решетки и расположенных в центре
граней куба, составит
одного атома с радиусом
aæ
2ö
çç1 ÷. Отношение объема полости к объему
2è
2 ÷ø
a 2
равно
4
3
é 2 æ
2 öù
÷÷ú =
k = ê çç1 2
2
øû
ë è
(
)
3
2 - 1 » 0,07.
Таким образом, при помещении атома в междоузлие он должен раздвинуть
ближайших соседей на 93% своего объема.
Задача 92 (192). Диффузионные константы лития в кремнии равны
D0 = 2.3×10-7 м2/с и Q = 0,65 эВ. Рассчитать температуру, при которой атом
лития, растворенный в кремнии, будет совершать один прыжок за одну
секунду.
Решение. Частота перемещения атома f связана с коэффициентом
диффузии следующим соотношением:
d2 × f
D=
6
или
D = D0e
-
Q
kT
.
Тогда
D = D0e
-
Q
kT
d2 × f
=
.
6
После решения полученного уравнения относительно Т
T=
T=
Задача
93
Q
;
6 D0
k ln 2
d ×f
0,65 × 1,6 × 10 -19
» 260o K .
-7
6 × 2,3 × 10
1,38 × 10 - 23 ln
(5,43 × 10 -10 ) 2
(193).
Оценить
величину
коэффициента
диффузии
радиоактивного натрия в обычном натрии при комнатной температуре, если
высота потенциального барьера, который надо преодолеть атому, чтобы
перейти в новое положение равновесия, равна 0,5 эВ. Частота колебаний
атома 1012 Гц.
Решение. Коэффициент диффузии атомов натрия можно принять
приближенно равным
2
D = na e
-
E
kT
,
где ν – частота колебаний атомов; a – параметр решетки натрия, a = 4,282 Å.
После вычислений получим
0 ,5×1, 6×10 -19
D = 1012 (4,282 × 10 -10 ) 2 e1,38×10
- 23
×300
» 10 -15 м/с.
Задачи для самостоятельных и домашних работ.
Задача 94 (189). В твердом теле с поперечным сечением, равным единице,
происходит одномерная диффузия атомов примеси вдоль оси х. Показать, что
скорость изменения концентрации с в элементарном слое толщиной dx
определяется уравнением
¶с
¶ 2c
= D 2.
¶t
¶x
Задача 95 (190). Показать, что при реактивной диффузии закон роста
реактивного слоя описывается уравнением
y 2 = 2 pt ,
где у — толщина слоя; р — параметр параболы.
Задача 96 (191). Уравнение диффузии цинка в германии имеет вид
D = 4 × 10
-5
-2,5
e kT .
Найти коэффициент диффузии при комнатной температуре и при 500°С.
Задача 97 (194). Для повышения износоустойчивости поверхности
стальных деталей производится цементация. Коэффициент диффузии
углерода в сталь определяется формулой
D = 0,12 ×10-4 exp(-
32000 2
)м / с
RT
Сколько нужно времени для образования цементированного слоя толщиной
0,5 мм на стальной пластине при температуре диффузионного отжига 927°С?
Задача 98 (195). Число частиц, проходящих через единицу площади,
которая перпендикулярна к градиенту концентрации
I = -D ×
dc
, за 1 с, равно
dx
dc
,
dx
где D – коэффициент диффузии; с – концентрация частиц. Допустим, что
электроны
находятся
в
области
пространства,
в
которой
имеется
электрическое поле Е х и концентрация равна с(х), и предположим, что
достигнуто устойчивое состояние. При этом число электронов, движущихся
слева направо и в противоположном направлении, одинаково. Согласно
статистике Больцмана,
с х = const × e
Показать, исходя из этого, что
-
exEx
kT
.
D kT
=
,
m
e
где
m
—
подвижность
электронов.
Это
соотношение
называется
соотношением Эйнштейна.
5. Динамика кристаллической решетки.
Задача 99 (97). Удельные теплоемкости свинца и алюминия при
постоянном объеме и температуре 200С составляют соответственно 126 и
896 Дж/(кг×град). Вычислить теплоемкости килограмм-моля (Сv) для каждого
из этих металлов и сравнить со значениями, полученными по закону
Дюлонга и Пти. Выполняется ли закон Дюлонга и Пти для них?
Решение. Молярная теплоемкость тела равна удельной теплоёмкости,
умноженной на удельный вес:
Сn = сn A .
Тогда молярная теплоемкость свинца
CV¢ = 126 × 207,21 » 26,1 кДж/(кмоль × град),
алюминия
CV¢¢ = 896 × 26,98 » 24,17 кДж/(кмоль × град).
Теплоемкость твердого тела по закону Дюлонга-Пти равна.
3R = 3 × 8,32 × 103 кДж/(кмоль × град) = 24,96 кДж/(кмоль × град).
Таким образом, молярная теплоемкость свинца превышает значение
теплоемкости, рассчитанное по закону Дюлонга и Пти, а теплоемкость
алюминия близка к значению, полученному по этому закону.
Задача 100 (99). По квантовой теории энергия каждого осциллятора может
быть представлена в виде
E=nhv,
где n – квантовое число. Исходя из того, что распределение осцилляторов по
энергиям подчиняется закону Больцмана, вычислить среднюю энергию
осциллятора при данной температуре T.
Решение. По определению средней величины
¥
å nhne
-
nhn
kT
n =0
E=
¥
åe
-
.
nhv
kT
n =0
Но числитель в этом выражении можно представить как производную
знаменателя. Тогда
nhn
¶ æç ¥ - kT
E = kT
ln å e
¶T çè n = 0
2
ö
÷.
÷
ø
Нетрудно заметить, что под логарифмом стоит сумма бесконечно
убывающей геометрической прогрессии:
¥
åe
-
nhv
kT
n =0
=
1
1- e
-
hv
kT
.
Возьмем производную от логарифма последнего выражения; тогда
получим
E = kT 2
e
-
hv
kT
×
1- e
hv
hv
kT
2
kT = hve
=
hv
hv
-
kT
1- e
-
kT
hv
hv
kT
e
.
-1
Задача 101 (100). Показать, что при высоких температурах квантовое
выражение для средней энергии осциллятора переходит в классическое.
Решение. при высоких температурах hn áá kT . Тогда
в ряд по степеням
hv
kT
e
можно разложить
hv
и ограничиться первыми двумя членами ряда:
kT
E=
hv
hv
kT
e
-1
=
hv
» kT .
hv
1+
+ ... - 1
kT
Задача 102 (106). Рассчитать значение теплоемкости твердого тела по
теории Эйнштейна.
Решение. В теории Эйнштейна твердое тело рассматривается как
совокупность N независимых атомов, колеблющихся с постоянной частотой
n . Так как энергия такого колеблющегося осциллятора
E=
hn
hn
e kT
,
-1
то энергия грамм-атома
E = 3N
Поскольку Cv =
hn
hn
e kT
.
-1
¶E
, то
¶T
hn
hn
3 Nhn 2 × e kT
3N
kT
Cv =
= 2
2
kT
æ hn
ö
ç e kT - 1÷
ç
÷
è
ø
Если
×
hn
2 2 kT
hn e
æ hn
ç e kT
ç
è
ö
- 1÷
÷
ø
2
.
hn
обозначить через q , то
k
2 q
æq ö T
ç ÷ e
T
Cn = 3R è ø 2 .
æ q
ö
ç e T - 1÷
ç
÷
è
ø
Задача 103 (109). Показать, что теплоемкость Cv по теории Дебая
достигает значения 3R при высоких температурах, когда
q
® 0.
T
Решение. Теплоемкость твердого тела по теории Дебая
æT ö
Сv = 9 Rç ÷
èq ø
q
3T
e x x 4 dx
ò (e x - 1)2 .
0
При высоких температурах e x = 1 + x + ... Тогда
æT ö
Cv = 9 Rç ÷
èq ø
q
3T
(1 + x )x 4 dx dx = 9 Ræ T ö3 ´
ç ÷
ò (1 + x - 1)2
èq ø
0
q
éq
ù
3
3
4
T
T
ê 2
ú
æ T ö é1 æ q ö 1 æ q ö ù
3
´ ê ò x dx + ò x dx ú = 9 Rç ÷ ê ç ÷ + ç ÷ ú =
è q ø êë 3 è T ø 4 è T ø úû
0
ê0
ú
ë
û
æ 3 qö
= 3Rç1 + × ÷ » 3R .
è 4 Tø
Задача 104 (110). Показать, что при низких температурах теплоемкость
твердого тела по теории Дебая пропорциональна кубу абсолютной
температуры.
Решение. Теплоемкость твердого тела по теории Дебая определяется
следующей формулой:
q
q ù
é
3T
3
5
ê æ T ö x dx
ú
- q T ú,
С м = 3R ê12ç ÷ ò x
ê è q ø 0 e - 1 e T - 1ú
ë
û
где q – характеристическая температура тела. При низких температурах,
когда
q ññT ,
верхний
предел
интегрирования
можно
заменить
бесконечностью. В этом случае
¥
x 3dx p 4
ò e x - 1 = 15 .
0
Тогда
q ù
é
3 4
3
ê æT ö p
ú
Сv = 3R ê12ç ÷
- q T ú.
ê è q ø 15 e T - 1ú
ë
û
При низких температурах вторым слагаемым можно пренебречь, так как
оно стремится к нулю. Окончательно получим
12p 4 R 3
Сv =
T = bT 3 .
3
5q
Задача 105 (112). Теплоемкость серебра при 10 К равна 199 Дж/(кг×град).
Определить характеристическую температуру.
Решение. При низких температурах теплоемкость твердого тела
3
3
12p 4 R æ T ö
æT ö
Сv =
ç ÷ = 233,3Rç ÷ ,
5 èq ø
èq ø
откуда
q =3
q = 103
233,3RT 3
233,3R
=T3
;
CV
CV
233,3 × 8,32
= 1003 9,751 » 213o K .
199
Задача 106 (114). Определить приближенно скорость звука в алмазе, зная,
что дебаевская температура алмаза равна 1860 К и d=1,54 Å.
Решение. Определить скорость звука в алмазе можно из следующего
соотношения Дебая:
q=
hvmax
.
k
Величину vmax можно оценить, если считать, что половина длины волны
lmin ,
соответствующая
максимальной
частоте,
равна
параметру
кристаллической решетки. Тогда
q=
hvmax
hv
=
,
k
2dk
откуда
u=
2kqd
;
h
2 × 1,38 × 10 -23 × 1860 × 1,54 × 10 -10
u=
» 11,4 × 103 м/с.
- 34
6,62 × 10
Задача 107 (118). Характеристическая температура ртути 96 К. Найти
энтропию одной килограмм-молекулы ртути при комнатной температуре
(300 К).
Решение. Энтропия килограмм-молекулы металла
вычисляется по
приближенной формуле
2
q 3 æq ö
S = 4 R - 3R ln + Rç ÷ ;
T 4 èT ø
S = 4 × 8,32 × 10 3 - 3 × 8,32 × 10 3 ln
96
+
300
2
3
æ 96 ö
3
+ × 8,32 × 10 3 ç
÷ » 67,89 × 10 Дж/(кмоль × град).
4
è 300 ø
Задача 108 (126). Вычислить электронную теплоемкость Сve для меди при
2 и 1000 К и сравнить ее с теплоемкостью решетки при тех же температурах.
Характеристическая температура меди 316 К.
Решение. Определим сначала электронную теплоемкость меди. Как
известно, электронная теплоемкость металла
Cv e = g × T ,
где
g - коэффициент пропорциональности. Для меди
g = 7,28 × 10 -4 Дж/(моль × град 2 ).
Тогда электронная теплоемкость при 2 K
C ' v e = 7,28 ×10-4 × 2 = 14,56 ×10-4 Дж/(моль × град),
При 1000 ºK
C '' ve = 7,28 ×10-4 ×1000 = 7,28 ×10-1 Дж/(моль × град).
Решеточную составляющую теплоемкости при 2ºK можно найти по
формуле
3
'
C vp
æT ö
= 234 Rç ÷ ;
èq ø
2
Cv p
При 1000 K
æ 2 ö
-4
= 234 × 8,32ç
÷ » 4,8 × 10 Дж/(моль × град).
è 316 ø
для решеточной теплоемкости с достаточно хорошим
приближением можно принять значение, определяемое законом ДюлонгаПти:
C '' v e = 3R = 24,96 Дж/(моль × град).
Таким образом, при высоких температурах решеточная составляющая
теплоемкости значительно преобладает над электронной, при низких же
температурах электронная теплоемкость может превышать решеточную
составляющую теплоемкости.
Задача 109 (127). Постоянная кристаллической решетки NaCl равна 5,63
Å, а ее сжимаемость – 3,3 × 10-11 м 2 /H . Вычислить коэффициент термического
расширения кристалла в приближении Я.И. Френкеля.
Решение. В приближении Я.И.Френкеля
a=
k
kx
,
=
3
3
a E a
где k – постоянная Больцмана, a – постоянная решетки, Е – модуль
упругости, x – сжимаемость.
После вычислений
a=
1,38 ×10-23 × 3,3 ×10-11
(5,63 ×10 )
-10 3
» 2,55 ×10- 6 град -1.
Задачи для самостоятельных и домашних работ.
Задача 110 (98). Определить по классической теории среднюю энергию
гармонического осциллятора.
Задача 111 (101). Показать, что выражение для средней энергии
классической системы может быть записано в виде
E = kT 2
d ln z
,
dT
где z – интеграл состояния, который равен
z = òò e
где p –импульс, q –координата.
-
E ( p,q)
kT dpd q ,
Задача 112 (102). Найти выражение теплоемкости при постоянном объеме
через интеграл состояний.
Задача 113 (103). Найти выражение энтропии и термодинамического
потенциала Гиббса через интеграл состояний.
Задача
114
(104).
Определить
теплоемкость
классического
ангармонического осциллятора, если потенциал его имеет вид
V ( x ) = cx 2 - qx3 .
Задача 115 (105). Рассмотреть систему, состоящую их N гармонических
осцилляторов постоянной частоты u . Найти выражение для свободной
энергии системы.
Задача 116 (107). Имеется система N молекул, которые могут находиться
в двух различных энергетических состояниях, отличающихся друг от друга
значениями энергии DЕ . Определить теплоемкость такой системы.
Задача 117 (108). Зависимость частоты колебаний цепочки, состоящей из
одинаковых атомов, от волнового числа выражается формулой
1
ka
æ 4b ö 2
w = ±ç
÷ sin ,
2
èM ø
где β – силовая постоянная; M – масса атома. Показать, что групповая
скорость u = u0 cos
Задача
118
ka
, где u0 =
2
(111).
ba 2
.
M
Почему электронная
теплоемкость
неметаллов
практически равна нулю?
Задача 119 (113). Характеристическая температура золота 1700К.
Определить постоянную квазиупругой силы γ.
Задача 120 (115). Найти характеристическую температуру меди по
формуле Линдемана. Температура плавления меди 1356 К. Сравнить это
значение характеристической температуры со значением, полученным из
выражения теплоемкости.
Задача 121 (116). В молекуле KCl радиус иона калия равен 1,33 Å, а иона
хлора 1,81 Å. Определить характеристическую температуру указанного
соединения по формуле Н.Н. Сироты и сравнить полученный результат с
экспериментальным значением.
Задача 122 (117). Коэффициент объемного расширения и сжимаемость
кобальта соответственно равны 37 × 10-6 град -1 и 0,54 × 10 -11 м 2 /H . Определить
температурный коэффициент максимальной частоты колебаний атомов.
Задача 123 (119). Объяснить, почему для твердых тел, имеющих
нитевидную и слоистую структуру, теплоемкость при постоянном объеме
при низких температурах пропорциональна не Т3, а Т2 для слоистых решеток
и Т для цепочечных решеток.
Задача 124 (120). В одномерной линейной цепочке N атомов расположены
на одинаковом расстоянии друг от друга. Показать, что в приближении Дебая
теплоемкость такой цепочки при низких температурах пропорциональна Т.
Задача 125 (121). С помощью общих термодинамических соотношений
установить связь между коэффициентом объемного расширения, объемной
сжимаемостью и термической упругостью твердого тела.
Задача 126 (122). Найти в общем случае разность теплоемкостей тела при
постоянном давлении и постоянном объеме.
Задача 127 (123). Найти значение Cp – Cv для висмута при 300 К.
(b=40×10-6 град-1, a=2,7×10-11 м2/Н, r=9,8×103 кг/м3).
Задача 128 (124). Вывести соотношение, устанавливающее связь между
теплоемкостью, коэффициентом термического расширения и модулем
сжатия, которое известно в физике под названием «второй закон
Грюнайзера».
Задача 129 (125). Вычислить теплоемкость электронов проводимости
единицы объема меди при температуре 100 К, считая, что концентрация
электронов равна числу атомов в единице объема. Значение уровня Ферми
для меди принять равным 7 эВ.
Задача 130 (128). Считая, что потенциальную энергию между атомами в
твердом теле можно выразить как: V ( x ) = cx 2 - qx3 - fx 4 , определить
коэффициент термического расширения твердого тела.
Задача 131 (129). В кристалле кальцита два коэффициента термического
расширения
отрицательны:
b11 = b 22 = -5,6 × 10-6 град -1 ,
а
третий
положителен: b 33 = 25 × 10-6 град -1 . Определить направления, в которых
коэффициент термического расширения равен нулю.
Задача 132 (130). Найти коэффициенты термического расширения
одноосного кристалла, если известны объемный коэффициент расширения и
изменение отношения осей
c
при нагревании.
a
Задача 133 (131). Определить главные коэффициенты термического
расширения кристалла триглинсульфата при температуре 400С, если
известно, что коэффициенты линейного расширения в кристаллографических
направлениях [100], [010], [001] и [101] соответственно равны - 4,2 × 10-5 ,
- 4,0 × 10-5 , 22 × 10 -5 и - 2,8 × 10-5 град–1.
Задача
134
(132).
Коэффициент
линейного
расширения
ионных
кристаллов определяется по формуле Шмарца следующим образом:
a=
n+4
C
×
,
2(n - 1) U кул
где n –показатель степени в выражении, характеризующем величину сил
отталкивания; С –теплоемкость ионного кристалла; Uкул – энергия грамммолекулы кристалла при 0 К.
Вычислить коэффициент термического расширения AgCl, приняв n=9.5,
С=12 кал/(моль град), Uкул=209 ккал/моль.
Задача 135 (133). Энергия грамм-атома Na
вблизи абсолютного нуля
равна 599 кДж/моль, а теплоемкость натрия составляет 28,49 Дж/(моль град).
Определить коэффициент термического расширения по формуле В.Л.
Шмарца.
Задача 136 (134). Показать, что при низких температурах коэффициенты
термического расширения кристаллов стремятся к нулю.
Задача 137 (135). Определить изменение энтропии тела при его
расширении при постоянном давлении.
6. Физические свойства полупроводников.
Задача 138 (206). Кремний и германий имеют структуру алмаза. Чему
равно среднее число атомов Si и Ge в объеме
(а — ребро элементарного
куба)?
Решение. В решетке кремния и германия каждый атом окружен 4
атомами, расположенными в вершинах правильного тетраэдра. На рис. 13
атомы, которые расположены в вершинах тетраэдра, зачернены. Решетка
кремния и германия представляет гранецентрированный куб, внутри
которого находятся еще 4 атома (внутренние атомы на рисунке обозначены
цифрами 1,2,3,4). Так как в гранецентрированной решетке на элементарную
ячейку приходится 4 атома, то число атомов кремния и германия в объеме a3
равно 8.
Рис. 13 Элементарная ячейка кремния.
Задача 139 (208). Вычислить удельное сопротивление германиевого
полупроводника р-типа при плотности дырок 3× 1020 м3. Сравнить с
сопротивлением
полупроводника
n-типа
при
той
электронов.
Решение. Электропроводность полупроводника р-типа
же
концентрации
d p = n p em p ,
где n p и m p - концентрация и подвижность дырок. Отсюда
rp =
1
.
n p em p
Подвижность дырок в германии 0,18 м2/(В·с), электронов 0,38 м2/(В·с).
Тогда
rp =
1
» 0,115 Ом·м.
3 × 10 × 1,6 × 10 -19 × 0,18
20
Аналогично при той же концентрации электронов
re =
re =
1
;
neeme
1
» 0,054 Ом·м.
3 × 10 20 × 1,6 × 10 -19 × 0,38
Задача 140 (209). Удельное сопротивление собственного германия при
27°С составляет 0,47 Ом·м. Полагая, что подвижности электронов и дырок
соответственно равны 0,38 и 0,18 м2/(В·с), вычислить плотности носителей
тока при 27°С.
Решение. Электропроводность собственного полупроводника
d = ne( me + m p ) ,
откуда
n=
d
1
=
;
e ( m e + m p ) re ( m e + m p )
1019
n=
=
» 2,3 × 1019 м-3.
-19
0,47 × 1,6 × 10 (0,38 + 0,18) 1,6 × 0,47 × 0,56
1
Задача 210. Определить электропроводность германия, который содержит
индий в концентрации 2 × 1022 м -3 и сурьму в концентрации 1021 м-3 .
Решение. Известно, что для германия и кремния сурьма является донором,
а индий – акцептором. При наличии доноров и акцепторов
d = neeme + n p em p ,
где m e и m p - подвижности электронов и дырок в германии. Так как m e = 0,38
м2/(В·сек), а m e = 0,18 м2/(В·сек), то
-1
-1
d = 10 21 ×1,6 × 10 -19 × 0,38 + 2 × 10 22 × 1,6 ×10 -19 × 0,18 » 474 Ом ·м .
Задача 141 (211). Вычислить скорость дрейфа электронов и дырок в
германии при комнатной температуре в поле напряженностью 1000 В/м.
Решение. Скорость дрейфа определяется всецело подвижностью заряда и
напряженностью электрического поля:
ud = mE .
Тогда
ude = 0,38 × 1000 = 380 м/с,
udp = 0,18 × 1000 = 180 м/с.
Задача 142 (212). Образец из полупроводника прямоугольной формы
размерами 0,2 ´ 0,2 ´ 0,05 см имеет 10 21 свободных зарядов в 1 м 3 при 20°С. К
двум противоположным узким граням приложено напряжение 20 В.
Вычислить величину тока, полагая подвижность носителей зарядов равной
0,03 м2/(В×с).
Рис. 14 Геометрия образца
Решение. Плотность тока
j = nemE .
Так как E =
U
(рис.14), то
d
j = nem
U
.
d
Тогда
I = nem
U
hd = nemUh ,
d
где h – толщина образца;
I = 1021 × 1,6 × 10-19 × 0,03 × 20 × 5 × 10-4 » 4,8 × 10-2 a .
Задача 143 (213). Образец германия n-типа толщиной 1 мм с
концентрацией электронов 1020 м -3 помещен в магнитное поле с индукцией
0,1 Вб/м2. Определить величину ЭДС Холла при токе 1 мА, протекающем
через образец.
Решение. ЭДС Холла можно определить по формуле
U=
где R =
RIB
,
h
1
– постоянная Холла; I – величина тока; В – индукция магнитного
ne
поля; h – толщина пластинки. Тогда
U=
1 IB
× ;
ne h
10 -3 × 0,1
U = 20
» 6 × 10 -3 В.
-19
-3
10 × 1,6 × 10 × 10
Задача 144 (214). Удельная проводимость и коэффициент Холла арсенида
индия соответственно равны 4 ×102 Ом-1 × м -1 и 10-2 м 3 / К . Считая, что
проводимость осуществляется зарядами одного знака, определить их
концентрацию и подвижность.
Решение. Зная коэффициент Холла, найдем
n=
1
;
Re
n=
10
-2
1
» 6 × 10 20 м-3.
-19
× 1,6 × 10
Подвижность носителей зарядов можно определить как произведение
коэффициента Холла на удельную проводимость:
m = Rd ,
m = 10-2 × 4 × 102 = 4 м2/(В·сек).
Задача 145 (216). Коэффициент Холла и удельное сопротивление
полупроводника соответственно равны - 3,66 ×10-4 м 3 /к и 8,93 ×10-3 Ом × м .
Для определения эффекта Холла к образцу приложено магнитное поле с
магнитной индукцией 0,5 Вб/м2. Найти угол Холла.
Решение. Как известно, угол Холла определяется индукцией магнитного
поля и подвижностью зарядов:
tgJ = - Bm .
Так как m = dR , то
tgJ = - BdR = tgJ =
BR
;
r
3,66 × 10 -4 × 0,5
» 0,0204 , J » 1o12' .
-3
8,93 × 10
Задача 146 (218). Вывести общее выражение для постоянной Холла
полупроводника.
Как
упростится
это
выражение
для
собственного
полупроводника?
Решение. Рассмотрим проводник, по которому в направлении оси x течет
электрический ток плотностью j. Магнитное поле направлено вдоль оси z
(рис. 15). В этом случае должна возникнуть составляющая электрического
поля вдоль оси y, чтобы уравновесить силу Лоренца. Эта составляющая электрического поля
Еу = Ех tgϑ ,
где ϑ — угол Холла. Для электронов
tg ϑe= — Bμe,
а для дырок
tg ϑp= — Bμp.
Тогда плотность поперечного холловского тока
Iу = — еп μe tg ϑe • Ех + ер μp tg ϑp Ех.
Поле, необходимое для полной компенсации поперечной составляющей
тока, можно определить из условия E
E y = e( pm 2p - nme2 )
y
=
I
y
s
или
Ex B
BI
= e( pm 2p - nme2 ) 2x
s
s
Подставляя значение σ, находим
E y ==
e( pm 2p - nme2 ) BI x
e 2 ( pm p + nm e ) 2
Так как
Eхол=RIB,
то из сравнения двух последних формул следует, что
2
2
1 pm p - nme
R= ×
e ( pm p + n m e ) 2
Рис. 15. Ориентация векторов в пространстве
Для собственного полупроводника n=p= ni. Тогда
R=
1 m p - me
×
eni m p + me
Задача 147 (220). В образце германия подвижность электронов 0,38
м2/(В×с), а дырок 0,16 м2/(В×с). В этом образце эффект Холла не наблюдается.
Какая часть тока переносится дырками?
Решение. Коэффициент диффузии связан с подвижностью носителей
заряда соотношением Эйнштейна
D=
kT
m.
e
Тогда коэффициент диффузии электронов
De =
kT
me .
e
Dp =
kT
mp.
e
а дырок
Dp =
1,38 ×10 -23 × 300
× 0,04 = 10,3 ×10 - 2 м 2 /с
-19
1,6 ×10
Задача 148 (226). Найти положение уровня Ферми в германии при 500 К и
следующих концентрациях примесей: 1023 атомов In на 1 м 3 и 1022 атомов
Sb на 1 м 3 .
Решение. В области высоких температур, где kT » ∆Е п (∆ Е п — энергия
активации примесей), и при не слишком малом содержании примесей
положение уровня Ферми определяется следующими соотношениями: для
донорных полупроводников
m = kT ln
N d h3
2(2pme
3
kT ) 2
,
где Nd – концентрация донорных атомов; для акцепторных полупроводников
m ¢ = kT ln
Neh3
2(2pm p
Тогда
3
kT ) 2
1,38 × 10 -23 × 500
m=
´ ln
1,6 × 10 -19
m¢ =
1,38 × 10 -23 × 500
´ ln
1,6 × 10 -19
10 23 (6,62 × 10 -34 )3
3
-31
- 23
2(2 × 3,14 × 9,1 × 10 × 1,38 × 10 × 500) 2
10 22 (6,62 ×10 -34 ) 3
3
-31
- 23
2(2 × 3,14 × 9,1 ×10 ×1,38 ×10 × 500) 2
» -0,34 эВ,
» -0,44эВ.
Задача 149 (229). Вычислить концентрации собственных и примесных
носителей тока в германии, содержащем 5 × 1023 м-3 атомов мышьяка, при
комнатной температуре.
Решение. Концентрация собственных носителей
ni =
3
2(2pmkT ) 2
h3
e
-
DE
2 kT
,
где ∆Е — ширина запрещенной зоны, равная для германия 0,75 эВ. Тогда
Энергия ионизации атомов мышьяка в германии ∆Ed = 0,015 эВ. Так как
при Т = 300°С kT = 0,025 Эв, т. е. kT > ∆Еd , то концентрация примесных
носителей равна концентрации примеси 5∙1023 м -3 .
Задача 150 (230). Сколько электронов и дырок образуется в кристалле при
поглощении им 10-4 Дж световой энергии с длиной волны 2000 Å? Какой
заряд (в кулонах) потечет по внешней цепи кристалла, если приложенное к
нему электрическое поле достаточно сильно, чтобы доставить все свободные
носители заряда к электродам? Квантовый выход равен 1.
Решение. Считаем, что на образование электрона и дырки затрачивается
квант энергии:
s = hn =
hc
l
Тогда число образовавшихся электронов
n=
E El
=
;
e hc
10 -4 × 2 × 10 -7
n=
» 0,3 × 1015 .
- 34
8
6,62 × 10 × 3 × 10
При сильном электрическом поле общий заряд, протекший во внешней
цепи,
Q = en = 1,6 × 10-19 × 0,3 × 1015 = 0,48 × 10-4 Кл
Задачи для самостоятельных и домашних работ.
Задача 151 (207). В настоящее время изготавливаются мощные германиевые выпрямители с искусственно созданной дырочной или электронной
проводимостью.
Как
можно
создать
у
германия
ту
или
другую
проводимость?
Задача 152 (215). Удельное сопротивление монокристалла кремния р-типа
при комнатной температуре (300°К) составляет 9 ×10-4 Ом × м . Чему должен
равняться коэффициент Холла, если подвижность дырок 0,04 м 2 /(В × сек)?
Задача 153 (217). Показать, что при измерении четырехзондовым методом
(рис. 16) удельное сопротивление полупроводника выражается следующей
формулой:
r=
U BC
2p
×
,
1 1
1
1
I
( + )
l1 l3 l1 + l 2 l 2 + l 3
где r – удельное сопротивление; U BC – падение напряжения между
зондами В и С; 1 – ток через зонды А и D; l1 , l 2 , l 3 – расстояния между зондами.
Рис. 16 Четырехзондовый метод измерения
Задача 154 (219). Вычислить коэффициент Холла для кристаллов
германия с концентрацией индия и сурьмы соответственно 1023 и 1024 м -3 .
Задача 155 (221). Вычислить относительное изменение сопротивления
кристалла германия, содержащего 1023 атомов мышьяка и 5 × 1022 атомов
галлия, при помещении в магнитное поле с магнитной индукцией 0,5 Вб/м2.
Задача 156 (222). Подвижности электронов и дырок в монокристалле
кремния при комнатной температуре (300 К) соответственно равны 0,16 и
0,04 м 2 /(В × с) . Найти коэффициенты диффузии электронов и дырок при этой
температуре.
Задача 157 (223). Время жизни носителей тока в полупроводнике резко
зависит от поверхностных условий. При исследовании образца германиевого
кристалла n-типа с заземленной поверхностью было найдено, что время
жизни носителей тока 78 мкс, а у образца, поверхность которого протравлена
кислотой, 340 мкс. Пологая, что подвижность электронов 0,36 м 2 /(В × с) ,
найти диффузионную длину электрона при комнатной температуре в обоих
образцах.
Задача 158 (224). Определить значение уровня Ферми при температуре
27°С
для
полупроводникового
соединения
In Sb,
если
его
ширина
запрещенной зоны равна 0,2 эВ, а отношение эффективной массы дырки к
эффективной массе электрона составляет 20.
Задача 159 (225). В образце германия содержится 1023 м -3 атомов сурьмы.
Полагая, что при комнатной температуре все атомы сурьмы ионизированы,
определить плотности электронов ne и дырок n p . Считать, что плотность
электронов определяется только донорными центрами. По этим данным
вычислить удельное сопротивление образца при комнатной температуре,
если подвижности электронов и дырок соответственно равны 0,38 и 0,18
м 2 /(В × сек).
Задача 160 (227). Концентрация акцепторов в полупроводнике 1018 см -3 .
Энергетический уровень этих акцепторов на 0,5 эВ выше, чем потолок
валентной зоны. Вычислить электропроводность материала при комнатной
температуре (300 К) и при температуре жидкого кислорода (90 К), если
подвижность
дырок
в
валентной
зоне
кристалла
100 см2 /(В × сек) .
Собственной проводимостью полупроводника пренебречь.
Задача 161 (228). Образец полупроводника n-типа при 100 К имеет коэффициент Холла 0,28 ×10-2 м 3 /к . Определить плотности электронов и
доноров, пренебрегая вкладом валентной зоны, если материал – кремний.
Задача 162 (231). Вычислить плотность тока эмиссии с катода из окиси
бария и стронция, которая характеризуется следующими параметрами:
ej0 = 2,475 эВ; ej1 = 0,05 эВ; N d = 2,39 ×1017 см -3 ; Т = 2000 К; с = 120,4 ×104
А/(м2 × град)