Компьютерное моделирование процессов разрушения при
реклама
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс «Модели, методы и программные средства» Садырин А.И. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОГО РАЗРУШЕНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ (Учебно-методическое пособие) Мероприятие 2.2. Развитие сетевой интеграции с ведущими университетами страны, научноисследовательскими институтами Российской академии наук, предприятиями-партнерами, создание новых форм взаимодействия Учебные дисциплины: «Механика разрушения», «Волновые процессы в механических системах». Специальности, направления: «Прикладная математика и информатика», «Механика». ННГУ, 2010 УДК 539.3 ББК Ж121 Б-48 Садырин А.И. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОГО РАЗРУШЕНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ: Учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2010. – 35 с. Рецензент: профессор , В настоящем пособии приведен краткий анализ особенностей процессов динамического деформирования традиционных конструкционных материалов (металлы, сплавы) и характеристик напряженно-деформированного состояния материала при динамических нагрузках. Рассмотрены основные подходы к построению математических моделей динамического деформирования материалов и указаны перспективы развития прикладных компьютерных моделей динамического разрушения упругопластических конструкционных материалов Учебно-методическое пособие предназначено для студентов старших курсов естественнонаучных и технических высших учебных заведений, осваивающих компьютерные модели и численные методы получения оценок прочности и надежности элементов конструкций при динамических нагрузках. Ответственный за выпуск председатель методической комиссии механико-математического факультета Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского к.ф.-м. н. Н.А. Денисова УДК 539.3 ББК Ж121 © Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, 2010 2 Содержание Введение....................................................................................................... 4 1. Особенности конструкционных процессов динамического материалов и деформированного состояния деформирования характеристики материала при напряженнодинамических нагрузках. ................................................................................................. 6 2. О компьютерных моделях динамического деформирования материалов. .............................................................................................. 9 3. О компьютерных моделях динамического разрушения. .................. 14 4. Об обеспечении экспериментальными данными компьютерных моделей динамического разрушения. (Пользовательский аспект).. 31 Список литературы. .................................................................................. 33 3 Введение Механическое разрушение в широком смысле включает в себя изменение широкого спектра характеристик или состояний материала конструктивного элемента, в результате которого конструктивный элемент теряет способность функционировать надлежащим образом в составе конструкции [1]. Возможные виды разрушения в этом случае могут быть связаны с физическими, химическими или механическими процессами либо с некоторой совокупностью связанных между собой указанных процессов. Под механическим разрушением элемента в узком смысле обычно понимают достижение некоторыми характеристиками напряженно-деформированного состояния (НДС) в материале элемента критического уровня в одной или нескольких точках. Математические модели, описывающие наступление разрушения материала в указанном смысле, носят название механических теорий прочности [2]. Общепризнано, что состояние разрушения в узком смысле для традиционных конструкционных материалов (стальных, титановых, алюминиевых и др. сплавов) является финальной стадией деформирования материала и определяется историей деформирования, а также структурой и физико-механическими характеристиками материала. При разработке программных средств, обеспечивающих компьютерное моделирование процессов разрушения конструкционных материалов при действии динамических нагрузок с переменными скоростями деформирования, используемые математические модели механических теорий прочности должны удовлетворять определенным требованиям по теоретической и экспериментальной обоснованности, степени трудоемкости оснащения экспериментальными данными, степени сложности и алгоритмичности в реализации и т.п. С учетом этого представляется целесообразным рассмотреть в методическом пособии следующие вопросы: 4 1. О наиболее важных аспектах поведения конструкционных материалов в условиях нестационарного деформирования и разрушения, касающихся особенностей процессов динамического деформирования конструкционных материалов и кинетики характеристик напряженнодеформированного состояния при действии динамических нагрузок. 2. О компьютерной динамического реализации деформирования математических конструкционных моделей материалов и взаимосвязи моделей динамического деформирования с вопросами конструирования моделей динамического разрушения конструкционных материалов. 3. О выборе и компьютерной реализации в современных вычислительных комплексах перспективных механических теорий прочности. 4. О возможностях технического и методического обеспечения, используемого для получения необходимого объема экспериментальной информации о динамическом деформировании и разрушении материалов, требующегося пользователям программных средств при проведении прикладных прочностных расчетов. 5 1. Особенности процессов динамического деформирования конструкционных материалов и характеристики напряженнодеформированного состояния материала при динамических нагрузках. В таблицах 1 и 2 указаны основные особенности процессов деформирования и разрушения, характеристики типичных видов напряженно-деформированного состояния (НДС) и историй его изменения для класса традиционных упругопластических конструкционных материалов (стальных, титановых, алюминиевых и др. сплавов), испытывающих интенсивные динамические воздействия. Из анализа содержимого таблиц, в частности, следует что: • При высоких скоростях деформаций в материале возможны состояния с перегрузками, при которых уровень текущего напряженного состояния превышает предел прочности. При кратковременных перегрузках материал повреждений, может приобретать (микротрещин, микропор, некоторый уровень микроструктурных нарушений и т.п.) снижающих прочностные характеристики материала. Предполагается, что частично поврежденный материал не содержит макроскопических разрушений. Процесс накопления повреждений и макроскопического разрушения в режиме перегрузок является существенно неравновесным, т. е. явно зависящим от времени. Типичный пример неравновесного разрушения – «откольное» разрушение. • При ударно-волновых процессах деформирования материал может испытывать режимы знакопеременного нагружения со сложными траекториями деформирования, вызванные волнами нагрузки и разгрузки. При этом накопление повреждений, наступление разрушения и пространственная ориентация разрушения (компоненты нормали к площадке разрушения) и тип разрушения (отрыв, сдвиг) 6 существенным образом зависят от истории деформирования и динамических характеристик материала. • Упругопластическое появлением деформирование деформационной материала анизотропии сопровождается материала, т.н. динамического эффекта Баушингера. Анизотропия НДС существенно влияет на процессы накопления повреждений и ее следует учитывать при знакопеременном упругопластическом деформировании. • При проведении прикладных прочностных расчетов обычно постулируется, что вид динамической диаграммы деформирования материала определяется историей изменения совокупности физикомеханических деформаций, параметров скорость деформирования деформаций, температура). (интенсивность При анализе процессов динамического разрушения набор указанных физикомеханических параметров должен быть дополнен характеристиками тензоров напряжений и деформаций, описывающими изменения НДС (жесткость напряженного состояния параметры Надаи-Лоде историю 3σ ср ψ= σi , μσ и μ ε , углы вида девиаторов напряжений и деформаций). 7 Особенности процессов динамического деформирования конструкционных материалов. Табл. 1. Характеристика процессов деформирования и разрушения. Знакопеременное нагружение. Волны нагрузкиразгрузки. Высокая скорость деформаций. Сопоставимость скорости Перегрузки по отношению к разрушения со скоростью пределам прочности материала. подвода внутренней энергии к Неравновесность процессов критическим зонам. деформирования и разрушения. Характеристики напряженно-деформированного состояния при динамических нагрузках. Табл. 2. Характеристики НДС, влияющие на деформирование. Интенсивность Интенсивность деформаций. деформаций. Скорость деформаций. Характеристики НДС, влияющие на разрушение. Вид НДС Истории изменения НДС Анизотропия НДС. Сложные Высокий уровень непропорциональные среднего истории деформирования Скорость Температура. Жесткость напряжения с переменной скоростью деформаций. напряженного состояния. (давления). деформаций. Температура. Параметры Надаи-Лоде. 8 2. О компьютерных моделях динамического деформирования материалов. В таблице вычислительных 3 представлены комплексах широко используемые компьютерные модели в развитых динамического деформирования конструкционных упругопластических материалов. В основу приведенных моделей положены соотношения теории течения, для которых принимается условие совпадения пластического потенциала с критерием пластичности (ассоциированные теории упругопластического течения). Пластические потенциалы в таблице идентифицируются фамилиями основных авторов, предложивших уравнения потенциалов (Johnson-Cook, SteinbergGuinan, Zerilli-Armstrong, Cowper-Symonds, Gurson-Tvergaard). За исключением последнего потенциала (детальнее о нем ниже) все потенциалы формулируются с константным произволом и фиксированными функциями влияния трех основных факторов (интенсивностей тензоров пластических деформаций и скоростей деформаций и температуры) на условие текучести. История изменения этих факторов при деформировании материала определяет диаграмму динамического деформирования материала. В формулировках потенциалов используются мультипликативная или аддитивная формы представления зависимости потенциала от функций факторов влияния. Подобное представление имеет свои достоинства и недостатки, но для любого представления потенциала требуются обоснованные рекомендации по составу и структуре набора базовых экспериментов для определения констант, входящих в потенциалы пластичности. По форме представления потенциалы ориентированы на изотропное деформационное упрочнение и активные процессы нагружения, поэтому для адекватного описания знакопеременных упругопластическая историй деформирования типа нагрузка-разгрузка-упругопластическая нагрузка противоположного знака необходимо усложнение приведенных потенциалов. 9 Компьютерные модели деформирования Тип модели Johnson- Cook. Ассоциированная теория течения Steinberg-Guinan. Ассоциированная теория течения. Табл. 3 Количество констант Условия текучести σ i =(C1 +C2 (ε ) p n )⎧⎨1+C3 ln⎛⎜ ε& ⎞⎟⎫⎬⎛⎜1−T ⎞⎟ Tпл ⎠ ⎝ ε&0 ⎠⎭⎝ ⎩ 7 C1 ,C2 ,C3 ,n,m,ε&0 ,Tпл α 1 1 ⎛ T −T0 ⎞ p n ⎟⎟ (1+C1ε ) (1+C 2ε& p ) m σ i =σ i 0 ⎜⎜1− ⎝ Tпл −T0 ⎠ Zerilli-Armstrong. Ассоциированная теория течения σ i =C0 +C1 exp[−C 2T +C3T ln(ε& )]+C 4 (ε Cowper-Symonds. Ассоциированная теория течения σ i =k (ε GursonTvergaard. Ассоциированная теория течения. m ) p n ⎟ ⎠ ) 6. p n C 0, C1 ,C 2 ,C3 ,C 4 ,n ( ) ( )⎞⎟ +2q f ⎛σ i ε ⎜⎜ ⎝ σ i0 σ i 0, C1 ,C 2 ,n,m,T0 ,Tпл ⎡ ε& 1q ⎤ ⎢1+ C ⎥ ⎣ ⎦ 2 p 7. 1 * 4. k ,n,C ,q ⎡ q2 (σ 1 +σ 2 +σ 3 )⎤ * 2 ch ⎢ ⎥−1− q1 f =0. p ⎦ ⎣ 2σ i ε ( ) 10 ( ) ------- В частности, для описания деформационной анизотропии материала при знакопеременных Баушингера) в процессах описание деформирования модели (динамического упругопластического эффекта деформирования включают внутреннюю переменную состояния: тензор микронапряжений ρ ij [3]. Интенсивность напряжений, входящая в уравнения критериев текучести (пластического потенциала, см. табл. 3) в связи с введением тензора ρ ij приобретает следующий вид [4]: σ i = 1.5(σ kl −ρ kl )(σ kl −ρ kl ) Упрочнение материала с ненулевым тензором ρ ij (1) включает в общем случае две компоненты упрочнения: кинематическую, связанную с трансляцией поверхности текучести, и изотропную, связанную с расширением поверхности текучести. Для скорости характеризующего смещение изменения (трансляцию) тензора микронапряжений, поверхности текучести в пространстве напряжений, предлагаются различные модели кинетических уравнений (билинейное кинематическое упрочнение, полилинейное кинематическое упрочнение и т.д.). Отметим, что в программном комплексе [4] реализован вариант, так называемого комбинированного упрочнения, в котором используется сочетание кинематического упрочнения с изотропным упрочнением. В этом случае анализ деформирования и разрушения материала существенно усложняется [4], поскольку приходится учитывать историю изменения тензора ρ ij . Если ограничиться рамками моделей деформирования с изотропным деформационным упрочнением, то потенциалы из таблицы 3 предоставляют всю необходимую информацию о текущем состоянии НДС и истории его изменения, требующуюся для формулировки прикладных компьютерных 11 моделей разрушения. Стандартная структура о НДС материала в динамике деформируемого твердого тела, получаемая в численных расчетах. это тензоры напряжений, пластических деформаций и скоростей пластических деформаций. Таким образом, используя указанную информационную основу, предоставляются широкие возможности для вычисления параметров, входящих в математические формулировать модели модель динамического разрушения разрушения. автономно от Это позволяет принятой модели деформирования (пластического потенциала). Понятно, что достоверность и обоснованность любой модели разрушения в этой связи будет определяться не только достоверностью и обоснованностью модели разрушения, но также и адекватностью используемой модели деформирования. Обращаясь к потенциалу Gurson-Tvergaard, отметим, что в уравнение потенциала включена функция влияния параметра жесткости напряженного состояния 3σ ср ψ= σi . Ассоциированный закон течения в этом случае формулируется в полном пространстве напряжений. В этом заключается отличие от рассмотренных выше потенциалов, в которых для закона течения использовалось девиаторное подпространство напряжений и, следовательно, тензор скорости пластических деформаций являлся девиатором. Диаграмма упругопластического деформирования материала при использовании потенциала Gurson-Tvergaard оказывается зависящей от среднего напряжения (давления), а деформирование сопровождается появлением пластических деформаций изменения объема. Далее разрушения материала контролируется предполагается, именно этими что состояние пластическими деформациями изменения объема. Таким образом, математические модели упругопластического деформирования и разрушения оказываются неразрывно связанными, что ограничивает прикладное использование потенциала GursonTvergaard в классе конструкционных упругопластических материалов. С этой точки зрения более оправданным представляется подход, согласно которому для аппроксимации величины пластических деформаций изменения объема, 12 экспериментально наблюдаемых при упругопластическом деформировании материала в виде пластического разрыхления, формулируется отдельное уравнение, независимое от пластического потенциала [5] Далее модель разрушения, базирующаяся на пластических деформациях изменения объема, может формулироваться автономным образом. К приведенному выше высокотехнологичных следует отраслях добавить, что в современных машино-и-приборостроения класс конструкционных материалов расширяется и дополняется рядом новых материалов, физико-механические свойства которых могут заметно отличаться от соответствующих свойств традиционных конструкционных материалов. Поэтому типичные потенциалы упругопластических материалов из таблицы 3 могут использоваться также в модифицированных формах. Для определения констант, входящих в потенциалы из таблицы 3, или для оснащения материальными функциями и константами каких-либо иных моделей деформирования, экспериментальные данные для ряда отечественных конструкционных материалов можно найти в справочниках [6,7]. Диаграммы деформирования при статических нагрузках, кривые ползучести и стандартные характеристики материалов, представленные в справочнике, относятся к условиям простого монотонного нагружения при разных температурах. Какиелибо данные о динамических характеристиках конструкционных материалов, в частности, о динамических диаграммах справочниках отсутствуют. 13 деформирования в указанных 3. О компьютерных моделях динамического разрушения. В таблице 4 представлены варианты простейших механических теорий прочности традиционных упругопластических конструкционных материалов (стальных, титановых, алюминиевых и др. сплавов). В известных зарубежных компьютерных пакетах указанные модели разрушения сопрягаются с рассмотренными выше пластическими потенциалами. Большинство приведенных в таблице моделей механических теорий прочности в русскоязычной однопараметрическим литературе теориям прочности. относят В к качестве классическим параметров однопараметрических теорий прочности, идентифицирующих напряженнодеформированные состояния (НДС) материала при наступлении разрушения, используются некоторые скалярные величины, представляющие собой эквивалентные напряжения, либо эквивалентные деформации. Критерием разрушения является достижение указанными параметрами критических значений, которым на диаграмме деформирования соответствует состояние разрушения. Иными словами, в однопараметрических теориях прочности критические значения эквивалентных напряжений, либо эквивалентных деформаций являются константами материала. В математических моделях склерономного (не зависящего от времени) упругопластического деформирования хорошо себя оправдала гипотеза «единой кривой деформирования». Согласно этой гипотезе зависимость интенсивности напряжений ε ip σi от интенсивности пластических деформаций описывается одной и той же функцией для всех видов НДС, но различной для разных материалов: σ i = f (ε ip ) (2) 14 Компьютерные модели динамического разрушения. Табл. 4. Описание процессов разрушения Типовые разрушения. 1.Сдвиг (скол). 2.Полосы адиабатического сдвига (ПАС). Тип параметров, описывающих разрушение Деформационные (скалярная переменная) Параметры повреждений ε1 ε3 γ1 Δε p = 2 3 Δε ijp Δε ijp σ1 3.Отрыв. 4.Откол. 5.Фазовые переходы. 6.Трещинообразование. 7.Дробление (множественное разрушение). P Силовые (скалярная переменная) σ = 1.5(σ ij′ σ ij′ ) ΔK σ =(σ 1 −σ 0 )2 Δt Энергетические. Комбинированные. (скалярная переменная 15 Критерии разрушения ε 1 >ε max ε 3 <ε min γ 1 > γ max , p p ∑Δε >ε max σ 1 >σ max P<Pmin P> Pmax σ >σ max σ σ ∑ΔK >K max 1. А.Г. Иванов; 2. D.E. Grady; M.E. Kipp.; 3. J.W. Ju.; 4. D.R. Curran, L. Seaman, D.A. Shokey.; 5. Gurson A.L. Для умеренных средних напряжений σ ср функция σi из (2) не зависит от первого инварианта напряжений. При динамическом деформировании в уравнении диаграммы (2) необходимо учитывать влияние скорости деформирования ε&ip , что приводит к зависимости диаграммы деформирования от двух аргументов: σ i = f (ε ip ,ε&ip ) (3) Количество аргументов в (3) может быть увеличено за счет температуры T,а при больших средних напряжениях возможно также добавление к аргументам среднего напряжения σ ср : σ i = f (ε ip ,ε&ip ,T ,σ ср ) (4) Зависимости (3) и (4) относятся уже к реономной (зависящей от времени) теории упругопластического деформирования, в которой диаграммы деформирования зависят от времени неявно, через зависимости от времени скорости деформаций ε&ip и температуры. В девиаторном подпространстве напряжений уравнения (2), (3), (4) представляют собой поверхности текучести в виде гиперсфер с радиусами R1 (ε ip ) , R2 (ε ip ,ε&ip ) , R3 (ε ip ,ε&ip ,T ,σ ср ) соответственно. Очевидно, что трудоемкость экспериментального определения функций (3), (4), или, что тоже самое, R2 (ε ip ,ε&ip ) и R3 (ε ip ,ε&ip ,T ,σ ср ), зависимостью (2) существенно выше. 16 по сравнению с Экспериментальные данные о разрушении конструкционных материалов свидетельствуют [2], что пределы прочности материала при динамическом и статическом нагружениях, в отличие от диаграмм деформирования, существенно зависят от расширенного состава аргументов, включая некоторый набор инвариантов НДС. С учетом этого в статических и квазистатических задачах, чтобы указать пропорциональном, состояние нагружении, разрушения на диаграмме при простом, т.н. деформирования (2), необходимо указать критическое значение эквивалентного напряжения, либо эквивалентной деформации. Но поскольку критическое значение эквивалентного напряжения, либо эквивалентной деформации зависит от параметров НДС [2], постольку оно уже не является константой материала. Наиболее важными являются зависимости 3σ ср эквивалентных величин от параметра ψ = критических значений σ i , представляющего собой характеристику жесткости напряженного состояния в текущем состоянии процесса деформирования материала (нормированный уровень действующего среднего напряжения), и скорости деформаций. Таким образом, критические значения эквивалентного напряжения, либо эквивалентной деформации, характеризующие состояние разрушения на диаграмме деформирования (2) оказываются зависящими от величины скорости деформаций жесткости напряженного состояния согласующиеся с ψ. ε&ip и параметра Следовательно, корректные, то есть экспериментальными фактами, критерии нарушения прочности (разрушения) материала должны зависеть от двух или трех параметров. Именно такие двух или трехпараметрические математические модели динамического разрушения являются наиболее перспективными для использования в прикладных расчетах в составе современных расчетных комплексов. Подобные модели, по мере накопления экспериментальных и расчетных данных, допускают возможности перехода к более адекватным при 17 нестационарном деформировании традиционных конструкционных материалов тензорным мерам накопления повреждений. Ниже кратко рассмотрены подходы к двух формулировке или трехпараметрических механических теорий прочности со скалярной мерой повреждений, пригодных для использования в вычислительных комплексах при проведении прикладных исследований. Пригодность теории прочности при проведении прикладных исследований в данном контексте означает, что для оснащения теории прочности функциями и константами не требуется проведения специальных или высокозатратных исследований, существенно отличающихся от «стандартных» [6] механических испытаний материала. Поэтому из рассмотрения исключены усложненные теории прочности, в частности, перспективные математические модели с векторными или тензорными мерами повреждений. Обзорный материал по механическим теориям прочности содержится в монографиях [4,6-9] и статьях [2,10,11]. В справочниках [6,7] приведено более двух десятков критериев прочности, относящихся к классу механических теорий прочности, для начально-изотропных конструкционных материалов. Рассмотрим вначале применение моделей разрушения при монотонных активных простых процессах пропорциональных) процессах деформирования. деформирования В простых (лучевых, предполагается, что компоненты тензоров деформаций и напряжений меняются пропорционально одному параметру, который можно отождествлять либо с временем деформирования, либо с параметром возрастающей нагрузки. Процесс разрушения рассматривается в этом случае в рамках гипотезы мгновенного нарушения прочности при достижении материалом предельных состояний по напряженному состоянию и (или) по деформированному состоянию. В качестве количественных параметров, характеризующих предельные уровни состояния материала, используются некоторые локальные скалярные величины НДС (эквивалентные напряжения, эквивалентные деформации, эквивалентные 18 энергии и т.п.), которые в свою очередь зависят от инвариантов текущего напряженно-деформированного состояния и скорости деформирования. Примером использования эквивалентного напряжения σэ является недавняя работа [2], где приведена обширная библиография использования данного подхода. В работе проведен обстоятельный анализ критерия прочности Писаренко-Лебедева, контролирующего в котором состояние в качестве разрушения, скалярного используется параметра, эквивалентное напряжение σ э , определяемое следующим соотношением: σ э =χσ i +(1−χ )σ 1 =σ p где χ (5) - коэффициент пластичности материала, характеризующий степень ответственности сдвиговой деформации за макроразрушение. При упругопластическом деформировании сдвиговая деформация создает благоприятные условия для разрыхления материала и образования трещин. Диапазон изменения коэффициента σ p ,σ c χ следующий: σp 0≤χ = σ c ≤1; - пределы прочности материала на одноосные растяжение и сжатие; σ i ,σ 1 - интенсивность напряжений и наибольшее главное значение тензора напряжений σ ij . В работе [2], в частности, рассмотрены связи критерия (5) с критериями Кулона-Мора: σ 1 −χ )σ 3 =σ p (6) 19 и Мизеса: σ i =σ p (7) Показано, что критерии (5) и (6) имеют четкий физико-механический смысл. В случае χ →1 условие (5) переходит в критерий Мизеса для пластичных материалов, а критерий (6) переходит в условие максимальных касательных напряжений Кулона-Треска. При χ →0 критерии (5) и (6) преобразуются в критерий разрушения от максимальных нормальных напряжений для хрупких материалов. Отметим, что в работе [2] приведены ссылки на независимые литературные источники, в которых подтверждаются высокие предсказательные качества критерия (5) по наступлению разрушения для широкого класса конструкционных материалов при сложных видах НДС в условиях высоких и низких температур. При этом показано, что критерий (6) служит своего рода нижней границей разброса экспериментальных данных по пределам прочности. Критерии прочности (5) и (6) являются двухпараметрическими критериями для материалов со слабой зависимостью поведения от скорости деформаций. При учете эффектов существенной зависимости деформирования и разрушения материала от скорости деформаций эти критерии становятся трехпараметрическими. Несложными преобразованиями соотношения (5) и (6) могут быть представлены в следующем виде: где σ э =F1 (σ 1 ,σ 2 ,σ 3 )=σ р (8) σ э =F2 (σ i ,σ cp ,μσ )=σ р (9) σ i ,σ cp , μσ - интенсивность напряжений, среднее напряжение и параметр Надаи-Лоде для текущего тензора напряжений σ ij соответственно; 20 σ 1 ,σ 2 ,σ 3 - главные напряжения. μσ При фиксированной величине переменных σ i ,σ cp , уравнение (9), как функция представляет собой прямую линию. В пространстве главных напряжений σ 1 ,σ 2 ,σ 3 соотношение (5) представляет собой фигуру, в которую вписана шестигранная пирамида, интерпретирующая поверхность Кулона-Мора (6). Поверхности (8) и (9) при простых (пропорциональных) историях нагружения рассматриваются как предельные поверхности, ограничивающие неразрушенные (возможно частично поврежденные) состояния материала от разрушенных состояний. При приближении к поверхности разрушения происходит монотонный рост функции накопленных повреждений. Очевидно, что при простых историях нагружения состояние разрушения является функцией параметров НДС, определяемой выражениями (5),(6) или (8),(9). В задачах динамического разрушения широко используется представление функции (9) в виде следующих уравнений [6,8,9]: σ i2 + Bσ ср − A=0 σ i2 +Cσ i + Bσ ср − A=0 где C , B, A (10) - константы материала. Выражения представляют собой поверхности типа параболоидов вращения (параболоиды Баландина [6,8]). При зависимости коэффициента C от параметра Лоде μσ сечения девиаторной плоскостью второй поверхности из (10) приобретают форму правильных криволинейных треугольников, наблюдаемую в экспериментах [6]. Использовать в качестве скалярного параметра, контролирующего состояние разрушения, эквивалентную деформацию 21 εэ предложено в работах [12,13]. Соотношение поврежденности модели, материала 3σ ср состояния ψ = описывающей ε * от зависимость параметра жесткости предельной напряженного σ i , формулируется в следующем виде: ε э =ε * =ε p Bψ −1 где B - характеристика (11) чувствительности материала к виду напряженного состояния; εp - предельная поврежденность материала в условиях одноосного растяжения. Критерий (11) является двухпараметрическим для материалов со слабой зависимостью поведения от скорости деформаций. При учете эффектов зависимости деформирования и разрушения материала от скорости деформаций критерий становится трехпараметрическим. В работах [12,13] отмечается, что уровень предельной поврежденности материала, предсказываемой критерием (11), хорошо коррелирует с величиной предельного разрыхления материала при разрушении, замеряемой экспериментально. Пример контролирующей использования разрушение, предполагается, что ηэ энергетической приведен в ηэ, характеристики работе [14], в которой - является потенциалом внутренней переменной состояния повреждения материала υ следующего вида: ⎛υ ⎞ η э =β ⎜ ⎟ 1 β (12) ⎝C ⎠ 22 β , C - константы материала. Переменная υ в (12), характеризующая где повреждение материала, определяется одной из следующих формул, имеющих смысл удельной внутренней энергии: υ =0.5(σ~i ε i ); ⎛ σ iε i ⎞ υ =0.5⎜ ⎟; − ω 1 ⎝ ⎠ ⎛ σε ⎞ υ =0.5⎜⎜ i i 2 ⎟⎟; ⎝ (1−ω ) ⎠ (13) Здесь σ i - интенсивность напряжений; σ~i =σ i (1−ω ) - эффективная величина интенсивности напряжений; ε i = ε ie + ε ip , где ε i , ε ie , ε ip - интенсивность деформаций, интенсивность упругих деформаций, интенсивность пластических деформаций соответственно; ω= ε ip трещин и пор, При εi - величина, характеризующая эффективную плотность 0≤ω ≤1. простых траекториях нагружения состояние разрушения, определяемое соотношениями (12) и (13) является функцией параметра НДС 3σ ср ψ= σ i , зависящей от двух констант материала β , C . Для определения этих констант требуется проведение простейших испытаний на одноосное растяжение-сжатие, двухосное растяжение, чистый сдвиг [6,7]. 23 Обращаясь к моделям деформирования и разрушения материалов, чувствительным к скорости деформирования ε&ip , отметим, что для оснащения таких моделей материальными функциями и константами, требуется наличие динамических диаграмм деформирования при нескольких уровнях скоростей деформаций ε&ip вплоть до разрушения с одновременной фиксацией параметров НДС в момент разрушения. К сожалению, современное состояние отечественной экспериментальной базы и средств измерения соответствующих параметров НДС в нужном диапазоне скоростей деформаций не позволяют однозначно указать простой способ получения необходимых экспериментальных данных. Относительно математических моделей динамического разрушения, пригодных для использования в вычислительных комплексах, заметим, что модели и критерии разрушения формулируются в подавляющем большинстве на основе соответствующих соотношений и формул, относящихся к склерономной теории пластичности. Формулировка предельных поверхностей динамического разрушения производится чаще всего путем модификации соответствующих поверхностей разрушения, не зависящих от величины ε&ip , с помощью введения дополнительных множителей типа «коэффициентов динамичности» Кd. σ эd =σ эst К d ; ε эd =ε эst К d Верхний индекс d (14) в (14) указывает на учет зависимости величины эквивалентных напряжений или деформаций в предельных поверхностях разрушения от скорости деформаций ε&ip , 24 а индекс st указывает, что в предельных поверхностях зависимость от скорости деформаций ε&ip отсутствует. Примерами таких множителей Кd являются, например, следующие выражения, аналогичные используемым при формулировке потенциалов пластичности: ⎞ ⎛ ε& К1d =1+ Dln⎜ p ⎟; ⎝ ε&0 ⎠ К 2d =(1+Qε& p ); 1 ⎡ ⎤ ⎞q ⎥ d ⎢ ⎛ ε& p К 3 = 1+⎜ ⎟ ; C ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ К 4d =exp[R1 + R2 ln(ε& p )] Здесь (15) D, ε&0 , Q, C , q, R1 , R2 - константы материала. Энергетическому анализу процессов накопления повреждений и величин удельной энергии (на единицу поверхности) при образовании макротрещин посвящена серия теоретических и экспериментальных работ, см., например работы [15-17]. Показано, что удельная (на единицу поверхности трещины) работа разрушения является достаточно «сильной» функцией времени или скорости деформаций. Влияние времени или скорости деформаций на процессы разрушения при динамическом деформировании материала проявляется различным образом: через масштабный фактор, через характер разрушения материала (пластичное или хрупкое), через скорость распространения трещин, которая зависит от скорости подвода внутренней энергии к дефектам структуры и т.п. Учитывая выше приведенное, формулировка уравнений предельных поверхностей (поверхностей разрушения) материала при динамическом 25 деформировании, оснащение их материальными функциями и константами представляет собой непростой, но абсолютно необходимый этап разработки прикладных моделей накопления повреждений и разрушения. При использовании моделей пластичности с зависимостью от скорости деформаций ε&ip требуется численное интегрирование процессов накопления повреждений вдоль кривой изменения скорости деформаций даже для простых (лучевых) путей нагружения. Иными словами, в этом случае накопленные повреждения являются функционалом истории изменения скорости деформаций. В реономной пластичности процессы накопления повреждений при динамическом деформировании с некоторой долей условности можно отнести к одному из следующих двух классов: • процессы квазиравновесного накопления повреждений; • процессы существенно неравновесного накопления повреждений. К первому классу относятся процессы динамического деформирования материала, в которых НДС не превышает уровней пределов прочности материала, зависящих от скорости деформации ε&ip . При этом предполагается, что в процессе деформирования изменения скорости деформации ε&ip соответствуют (без установившемуся режиму либо плавно меняются скачкообразных изменений). В этом случае зависимость процессов накопления повреждений от времени будет неявной, только через зависимость от времени скорости деформаций ε&ip . Если же поведение материала не зависит от скорости деформирования, то процесс накопления повреждений от времени также не зависит и является равновесным. Ко второму классу относятся процессы динамического деформирования материала в конструктивных элементах с локальными кратковременными превышениями пределов прочности материала, соответствующих некоторой 26 установившейся скорости деформации ε&ip . Таким образом, допускается возможность кратковременных выходов НДС за предельные поверхности разрушения. Однако состояние макроразрушения наступает только после истечения некоторого интервала времени, в течение которого происходит накопление критического уровня повреждений (т.н. запаздывание разрушения). Подобные ситуации могут возникать при распространении ударных фронтов волн нагрузки-разгрузки, интерференции интенсивных волновых фронтов и т.п. В этих случаях процесс накопления повреждений будет существенно неравновесным, т.е. зависящим явно от времени. Примером неравновесного накопления повреждений и разрушения является разрушение отколом. Отметим, что финальные стадии разрушения (образование и распространение макротрещин) всегда неравновесны. Для непропорциональных траекторий нагружения с промежуточными разгрузками и последующими нагрузками текущий уровень повреждений является функционалом истории изменения инвариантов НДС (истории нагружения, включая скорость деформаций). Поверхность разрушения используется в этом случае как элемент схемы суммирования повреждений. Наиболее распространенными и часто используемыми в прикладных расчетах являются алгоритмы линейного суммирования повреждений. Математически схемы линейного суммирования повреждений представляются в виде некоторых приемов численного интегрирования функций накопления повреждений: dσ э Ω σ =∫ ~ σ э (ψ ,ε&ip ,T ) dε э Ω ε =∫ ~ ε э (ψ ,ε&ip ,T ) Здесь Ωσ ,Ω ε (16) - предельные уровни накопленных повреждений (меры повреждений), соответствующих использованию в качестве количественных 27 параметров, характеризующих повреждения, эквивалентных напряжений и эквивалентных деформаций; σ~э , ε~э - предельные уровни эквивалентных напряжений и эквивалентных деформаций, удовлетворяющие уравнениям соответствующих предельных поверхностей (поверхностей разрушения) при простых траекториях нагружения. В таблице 5 приведены примеры схем линейного суммирования повреждений. Схема суммирования 1. - Tuler-Butcher относится к неравновесному процессу накопления повреждений, моделирующему разрушению материала при отколе. В схеме суммирования - функция Хевисайда, растягивающее напряжение, σ0 σ1 - действующее пороговое напряжение разрушения, B - нормирующий множитель, константа материала. Схема суммирования деформирования 2. представляет - Длина пример траектории процесса пластического квазиравновесного накопления повреждений, поскольку интегрирование по времени эквивалентно интегрированию вдоль траектории пластического деформирования. В основу модели разрушения положена однопараметрическая механическая теория прочности с константой материала ε i . p* Схема суммирования 3. Johnson-Cook иллюстрирует процесс квазиравновесного накопления повреждений, но состояние наступления разрушения является функционалом истории изменения параметра жесткости напряженного состояния деформирования Схема 3σ ср ψ= σi и истории изменения скорости ε& . суммирования 4. Gurson-Tvergaard представляет пример усложненной схемы суммирования повреждений разрушения, которая может быть использована при проведении научно-исследовательских расчетов. 28 Однако применение ее в прикладных расчетах вряд ли оправдано по причине трудоемкого оснащения модели материальными функциями и константами. В заключение следует отметить, что в прикладных исследованиях уравнения предельных поверхностей в основном формулируются в пространстве напряжений [6-8]. В качестве количественных параметров, характеризующих повреждения возможно использование либо эквивалентных напряжений, либо пластических деформаций. При этом следует учитывать, что эквивалентные напряжения и пластические деформации находятся во взаимной зависимости, определяемой диаграммой деформирования. Поэтому с алгоритмической точки зрения иногда оказывается удобнее использовать в качестве параметра, характеризующего разрушение, величину приращения пластических деформаций или скорость пластических деформаций, а предельную поверхность (поверхность разрушения) задавать в пространстве напряжений. 29 Примеры схем линейного суммирования повреждений Табл. 5. Критерий разрушения Схема суммирования 1. Tuler-Butcher (откол) t K = ∫ B(σ 1 −σ 0 ) H (σ 1 −σ 0 )dt σ n K σ =1 0 2. Длина траектории t ε i =∫ 2 3ε&ijp ε&ijp dt ; 0 пластического p деформирования ω=∫ 3. Johnson-Cook dε p p , где - ε* или εp ε i = ∫ 2 3 dε ijp dε ijp 0 p ⎧⎡ ⎛ ⎩⎣ ⎝ ε *p =⎨⎢ D1 + D2 exp⎜⎜ D3 ⎫ σ ii ⎞⎤ ⎟⎟⎥×(1+ D4 lnε& )⎬ 3σ i ⎠⎦ ⎭ ε ip ≥ε ip* ω=1 f =∫( f&рост+ f&зарожд. )dt; t 4. Gurson-Tvergaard Образование пор. (скалярная переменная f ) 0 f&рост=(1− f )ε&kk ; f&зарожд. =Aε&ip Здесь коэффициент A подчиняется распределению Гаусса по деформациям при моделировании зарождения микропор. 30 f>f c 4. Об обеспечении экспериментальными данными компьютерных моделей динамического разрушения. (Пользовательский аспект). Как было отмечено выше, состояние разрушения традиционных конструкционных материалов является финальной стадией деформирования материала и определяется историей деформирования, а также структурой и физико-механическими целесообразно характеристиками обратить внимание материала. на В этой современное связи состояние экспериментальных исследований и наличие экспериментальных данных, обеспечивающих потребности пользователя вычислительных средств при проведении прикладных исследований с использованием проектируемых отечественных программных комплексов. 1. Модели деформирования и разрушения конструкционных материалов, используемые при описании динамических процессов деформировании, заметно уступают по детальности описания процессов деформирования и разрушения, достоверности и обоснованности используемых математических моделей аналогичным моделям, используемым для описания режимов статического и квазистатического деформирования в рамках склерономных теорий пластичности. 2. Неполное соответствие моделей динамического поведения материала реальному процессу деформирования конструктивного элемента, или недостаточный объем экспериментальных данных, требующихся для оснащения моделей деформирования, искажает характеристики процесса достоверности параметры деформирования процесса элемента накопления и лишает повреждений и финальную схему разрушения. 3. Отсутствуют нормативы, регламентирующие состав динамических характеристик традиционных конструкционных материалов. Отсутствуют базовые сертификатные требования к конструкционным 31 материалам по используемым в прикладных расчетах динамическим характеристикам деформирования и разрушения (динамический предел текучести, динамический модуль упрочнения, ударная вязкость, коэффициент чувствительности к скорости деформаций и т.п.). 4. В настоящее время не представляется возможным указать адекватный набор экспериментально замеряемых физико-механических параметров конструкционного материала, характеризующих величину и структуру повреждений, накопленных материалом при динамическом деформировании. 5. Отсутствуют отечественные экспериментальные методики стандартизированные получения материальных функций материалов при динамическом деформировании. Практически нет соответствующих баз данных и достоверной справочной информации о константах и материальных функциях, относящихся к динамическому разрушению конструкционных материалов. 6. С целью успешного использования программных средств, поддерживающих решение задач прочности на современном уровне (в том числе динамической прочности), требующемся при проведении прикладных расчетов, необходимо своевременное обеспечение организационного и технического ресурса для получения надежных и обоснованных экспериментальных данных о динамических диаграммах деформирования материала и характеристиках переменных скоростях деформаций. 32 разрушения при Список литературы. 1. Коллинз Дж. Повреждение материалов в конструкциях. Анализ предсказание, предотвращение.- Пер. с англ. М.: Мир,1984. 624 с. 2. Лебедев А.А. Развитие теорий прочности в механике материалов//Проблемы прочности. -2010,- №5. С. 127-146. 3. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности и ползучести металлов, учитывающая микронапряжения.//Изв АН СССР, Механика твердого тела. 1981, № 5. с, 99-110. 4. Казаков Д.А., Капустин С.А., Коротких Ю.Г. Моделирование процессов деформирования и разрушения материалов и конструкций. Монография. Н.Новгород. Изд-во ННГУ, 1999, 226 с. 5. Замышляев, Б.В. Модели динамического деформирования и разрушения грунтовых сред/ Б.В. Замышляев, Л.С. Евтерев. -М.: Наука, 1990. -215 с. 6. Лебедев А.А., Ковальчук Б.И., Гигиняк Ф.ф., Ламашевский В.П. Механические свойства конструкционных материалов при сложном нагружении. Справочник/ Киев:. Наукова думка, 1983. 366 с. 7. Лебедев А.А., Ковальчук Б.И., Гигиняк Ф.ф., Ламашевский В.П. Механические свойства конструкционных материалов при сложном напряженном состоянии./ Справочник. Киев:. Издательский дом «Ин Юре», 2003. 540с 8. Гольденблат И.И., Копнов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов/ М.: Машиностроение, 1968. 190 с. 9. Глушак Б.Л., Новиков С.А., Рузанов А.И., Садырин А.И. Разрушение деформируемых сред при импульсных Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 1992, 193 с. 33 нагрузках: Монография. 10. Кукуджанов В.Н. Связанные модели упругопластичности и поврежденности и их интегрирование//Изв. РАН. МТТ. 2006.№ 6. С. 103135. 11. Морозов Е.Н., Матвиенко Ю.Г. Методические основы исследований в механике разрушения.// Заводская лаборатория. Диагностика материалов. / 2002. Т. 68. № 1. С. 84-88. 12. Лебедев А.А., Чаусов Н.Г., Богданович А.З. Оценка предельных повреждений в материалах при статическом нагружении с учетом вида напряженного состояния.// Проблемы прочности. 2002. №.7. С. 35-40. 13. Чаусов Н.Г., поврежденности Лебедев А.А., материала в Богданович зоне А.З. О концентратора.// предельной Проблемы прочности. 2002. №.6. С. 31-37. 14. Можаровский В.Н. Математическая модель накопления повреждений и критерий предельного состояния металлов и сплавов при активном пластическом деформировании в условиях пропорционального нагружения.//Проблемы прочности. 1997. № 1. С. 45-57. 15. Иванов А.Г. О возможности построения единой теории разрушения// ПМТФ. 1990. № 1. С. 109-116. 16. Огородников В.А., Иванов А.Г. О временной зависимости энергии разрушения металлов при отколе//Физика горения и взрыва. 2001. т. 37, № 1. С. 133-136. 17. Чаусов Н.Г. и др. Особенности деформирования пластичных материалов при динамических неравновесных процессах// Заводская лаборатория. Диагностика материалов. / 2009. Т. 75. № 6. С. 52-59. 34 Анатолий Иванович Садырин КОМПЬЮТЕРНЫЕ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОГО РАЗРУШЕНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ Учебно-методическое пособие Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского». 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23. Подписано в печать . Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. … .. Уч.-изд. л. . Заказ № . Тираж экз. Отпечатано в типографии Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского 603600, г. Нижний Новгород, ул. Большая Покровская, 37 Лицензия ПД № 18-0099 от 14.05.01 35
