Дополнительная работа над задачей

Дополнительная работа над задачей
Задача является важным средством обучения учащихся математике, развития у них
математического мышления; она не может быть только задачей, которую решают лишь
затем, чтобы получить ответ или закрепить какое-то теоретическое положение. Любая
задача должна быть заметным этапом в обучении школьников; ее решение должно
формировать навыки самостоятельной работы, приемы умственной деятельности, учить
методам поиска, открытия новых фактов, способствовать развитию творческих
способностей, что необходимо выпускнику школы вне зависимости от того, будет ли он
заниматься в дальнейшем математикой или нет.
Важным этапом в решении задачи является дополнительная работа над ней, а
именно обобщение, нахождение частного или предельного случая, составление
аналогичного случая и т.д. В процессе такой работы школьники учатся самостоятельно
получать новые для себя математические утверждения, приобщаются к творческой
работе (речь идет о субъективном творчестве).
Одни и те же задачи, в зависимости от того, в какой очередности, какими
способами и в каком месте программы они решаются, будут нести различные функции и
будут в разной степени способствовать проведению эффективной дополнительной
работы, а значит, и развитию творческих способностей учащихся.
Каким же образом может строиться дополнительная работа над задачей? Поясню
это на примере решения нескольких задач.
№1
Медианы грани АВС тетраэдра ОАВС пересекаются в точке М. Разложить вектор ОА
по векторам ОВ, ОС, ОМ. / До решения этой задачи с учащимися не рассматривалось
1
доказательство утверждения ОМ= 3 (ОА + ОВ + ОС), где М – точка пересечения медиан
треугольника АВС, О – произвольная точка пространства/.
Решение:
О
С
А
М
В
N
ОА=ОN+NA, где N=AM∩ВС
1
ОN= 2(ОВ+ОС),
1
1
NA=3NM=3(OM-ON) = 3(OM- 2 ОВ − 2 ОС), отсюда
ОА=3ОМ-ОВ-ОС.
Обращая внимание учеников на то, что О – произвольная точка пространства, мы
подводим их к самостоятельному получению утверждения: « Если М – точка пересечения медиан
треугольника АВС и О – произвольная точка пространства, то выполняется равенство:
1
ОМ =3 ОА + ОВ + ОС ».
Из последнего утверждения учащиеся получают новое, выбрав в качестве точки О точку
пересечения медиан треугольника АВС: «Если О – точка пересечения медиан треугольника АВС, то
ОА+ОВ+ОС=О».
Как видим, решение обычной задачи на разложение вектора привело учащихся к
самостоятельному получению двух утверждений, которые используются в дальнейшем при
решении других задач. Причем времени в данном случае потребовалось гораздо меньше, чем,
если бы сначала доказывались эти утверждения, а затем решалась бы исходная задача.
№2
« М1 и М2 - точки пересечения медиан треугольников А1 В1 С1 и А2 В2 С2 . Докажите, что
1
М1 М2= 3 (А1 А2 +В1 В2 +С1 С2 )».
Эту задачу рассматриваем вслед за задачей №1 и дополнительной работой над ней.
Решение:
В2
В1
А1
М2
М1
А2
С1
М1 М2= М1 А1 +А1 А2 +А2 М2 ,
М1 М2 =М1 В1 +В1 В2 +В2 М2 ,
С2
М1 М2 =М1 С1 +С1 С2 +С2 М2 .
Сложив три записанных равенства и учтя, что М1 А1 +М1 В1 +М1 С1 =О и М2 А2 +М2 В2 +М2 С2 =О,
1
М1 М2 = 3 (А1 А2 +В1 В2 +С1 С2 ).
Ученикам предлагается задание: на основании этой задачи получить некоторые новые для них
утверждения.
Например, таким может быть следующее: « Если точки М1 и М2 совпадают, то М1 М2 = О и
А1 А2 +В1 В2 +С1 С2 = О, т.е. векторы А1 А2 , В1 В2 и С1 С2 компланарны.
Далее, заметив, что в параллелограмме точка пересечения диагоналей обладает свойством,
аналогичным свойству точки пересечения медиан треугольника.
« Если М – точка пересечения диагоналей параллелограмма АВСD, то
МА+МВ+МС+МD = О», учащиеся легко получают еще одно утверждение:
«Если М и М1 - точки пересечения диагоналей параллелограммов АВСD и А1 В1 С1 𝐷1 , то
1
ММ1 = 4 (АА1 +ВВ1 +СС1 +D𝐷1 )».
Доказательство этого утверждения можно не приводить, т.к. оно и так понятно ученикам,
только что решившим задачу №2.
Цель приведенных примеров состоит в том, чтобы показать, какие возможности имеет
учитель при использовании этого материала.
Приведенных примеров достаточно, чтобы понять значение дополнительной работы над
задачей, которая является важной составной частью ее решения.