Практические занятия по курсу высшей математики (III семестр

Практические занятия по курсу
высшей математики (III семестр)
на основе учебного пособия «Сборник
индивидуальных заданий по высшей
математике», том 3, под ред.
Рябушко А.П.
для студентов дневной формы обучения специальности 1-36 08 01
«Машины и аппараты текстильной, лёгкой промышленности и бытового
обслуживания»
Составитель: доц. Никонова Т.В.
2012/2013 учебный год
Оглавление
Практическое занятие №1 Двойной интеграл и его вычисление ............................................................... 3
Самостоятельная работа ............................................................................................................................. 3
Контрольные вопросы .................................................................................................................................... 4
Практическое занятие №2 Замена переменных в двойном интеграле .................................................... 4
Самостоятельная работа ............................................................................................................................. 4
Контрольные вопросы .................................................................................................................................... 5
Практическое занятие №3 Применение двойного интеграла .................................................................... 5
Самостоятельная работа ............................................................................................................................. 6
Контрольные вопросы .................................................................................................................................... 6
Практическое занятие №4 Тройной интеграл и его вычисление ............................................................... 6
Самостоятельная работа ............................................................................................................................. 6
Контрольные вопросы .................................................................................................................................... 6
Практическое занятие №5 Замена переменных в тройном интеграле .................................................... 7
Самостоятельная работа ............................................................................................................................. 7
Контрольные вопросы .................................................................................................................................... 7
Практическое занятие №6 Применение тройного интеграла ................................................................... 8
Самостоятельная работа ............................................................................................................................. 8
Контрольные вопросы .................................................................................................................................... 8
Практическое занятие №7 Криволинейные интегралы первого рода ....................................................... 9
Самостоятельная работа ............................................................................................................................. 9
Контрольные вопросы .................................................................................................................................... 9
Практическое занятие №8 Криволинейные интегралы второго рода.................................................... 10
Самостоятельная работа ........................................................................................................................... 10
Контрольные вопросы .................................................................................................................................. 10
Практическое занятие №9 Применение криволинейных интегралов ...................................................... 11
Самостоятельная работа ........................................................................................................................... 11
Контрольные вопросы .................................................................................................................................. 11
Практическое занятие №10 Поверхностные интегралы первого рода и их применение ..................... 11
Самостоятельная работа ........................................................................................................................... 12
Контрольные вопросы .................................................................................................................................. 12
Практическое занятие №11 Поверхностные интегралы второго рода и их применение .................... 12
Самостоятельная работа ........................................................................................................................... 13
Контрольные вопросы .................................................................................................................................. 13
Практическое занятие №12 Поверхностные интегралы второго рода и их применение .................... 13
1
Самостоятельная работа ........................................................................................................................... 14
Контрольные вопросы .................................................................................................................................. 14
Практическое занятие №13 Скалярные и векторные поля ...................................................................... 14
Самостоятельная работа ........................................................................................................................... 15
Контрольные вопросы .................................................................................................................................. 15
Практическое занятие №14 Поток векторного поля через поверхность. Дивергенция векторного
поля ................................................................................................................................................................. 16
Самостоятельная работа ........................................................................................................................... 16
Контрольные вопросы .................................................................................................................................. 16
Практическое занятие №15 Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля ............................ 17
Самостоятельная работа ........................................................................................................................... 17
Контрольные вопросы .................................................................................................................................. 18
Практическое занятие №16 Контрольная работа (пример) .................................................................. 18
Вопросы к экзамену ....................................................................................................................................... 19
Задания к типовому расчету ....................................................................................................................... 20
2
Практическое занятие №1 Двойной интеграл и его вычисление
1. Вычислить следующие повторные интегралы:
2
0
1
а)  dx (x  2 y )dy ;
б)  dy
2
0
1
0
x 2 dy
в)  dx  2 .
1 y
1
2
5
 ( x  2 y)dx
y 4
2
x
x
⁄ ; б) 50,4; в) 2,25.)
(Ответ: а)
2. Изменить порядок интегрирования в данных повторных интегралах:
2
4 x 2
1
5x
1
1 y
2
0
0
2x
0
 1 y 2
а)  dx
f ( x, y )dy ; б)  dx  f ( x,y )dy ; в)  dy

3. Вычислить
 f ( x, y)dx .
2
 ( x  y)dxdy , если область D ограничена линиями
D
и
⁄
(Ответ:
)
 x cos( x  y)dxdy ,
4. Вычислить
если область D ограничена линиями
D
⁄ .)
(Ответ:
5. Вычислить
 ydxdy , если область D ограничена первой аркой циклоиды
D
) и осью
,
6. Вычислить
 xdxdy,
. (Ответ: 5a 3 2 .)
если область D ограничена линиями
,
D
. (Ответ: ⁄ .)
Самостоятельная работа
1. Вычислить
 xdxdy, если область D ограничена линиями
,
,
D
√
2.
. (Ответ: ⁄ .)
Изменить порядок
8
3 y 12
4
y 4
2
интегрирования
в
повторном
интеграле
 dy  f ( x, y )dx .
3. Вычислить
2
 x dxdy, если область D ограничена линиями
D
. (Ответ: 2.)
3
,
1
,
x
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Дайте определение двойного интеграла.
Сформулируйте необходимое условие интегрируемости функции f(x, y) в
области D.
Сформулируйте достаточное условие интегрируемости функции f(x, y) в
области D.
Сформулируйте свойства двойного интеграла.
Расскажите о сведении двойного интеграла к повторному в случае
прямоугольной области интегрирования.
Расскажите о сведении двойного интеграла к повторному в случае
криволинейной области интегрирования.
Практическое занятие №2 Замена переменных в двойном интеграле
1. Вычислить
 ( x  y)dxdy , если область D ограничена прямыми
D
,
,
. (Ответ: 2,5.)
,
2. Используя полярные координаты, вычислить двойной интеграл
2
.
 ( x  y )dxdy , если область D ограничена окружностью
2
D
(Ответ: 24 .)
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
,
√
4. Вычислить
√
,
⁄ .)
. (Ответ:
y
 arctg x dxdy,
,
где D – часть кольца, ограниченного
D
линиями
,
√
⁄ .)
. (Ответ:
5. Найти
,
 xydxdy,
,
√
. При условии
если область D ограничена эллипсом
,
и
D
прямыми
,
. (Ответ:
⁄ .)
Самостоятельная работа
1.
Вычислить
 (6  2 x  3 y)dxdy ,
D
окружностью
. (Ответ:
.)
4
если
область
D
ограничена
2. Вычислить
 (4  x  y)dxdy, если область D ограничена окружностью
D
. (Ответ:
.)
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
Дайте определение якобиана.
Запишите формулу преобразования координат в двойном интеграле при
переходе к криволинейным координатам u, v.
Дайте определение полярной системы координат.
Запишите формулы перехода к полярной системе координат.
Запишите якобиан и формулу преобразования координат в двойном
интеграле при переходе к полярной системе координат.
Практическое занятие №3 Применение двойного интеграла
1. Вычислить площади фигур, ограниченных следующими линиями:
а)
√ ,
√ ,
(Ответ: а)
; б)
√
; б)
,
.
.)
2. Вычислить объемы тел, ограниченных указанными поверхностями:
а) плоскостями
,
,
,
и параболоидом
,
;
б) цилиндром
и плоскостями
в) эллиптическим цилиндром
2
. (Ответ: а) 186 ; б)
; в)
3
,
;
и плоскостями
,
.)
3. Вычислить площадь части плоскости
расположена в первом октанте. (Ответ: 14.)
4. Вычислить площадь части конуса
цилиндра
. (Ответ: √ .)
√
, которая
, расположенной внутри
5. Вычислить координаты центра масс фигуры, ограниченной линиями
⁄ ,
,
, если плотность фигуры
. (Ответ:
⁄ .)
5
Самостоятельная работа
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
. (Ответ: ⁄ .)
,
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
,
. (Ответ: .)
,
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
Запишите формулы, используемые для вычисления объемов тел и
площадей.
Запишите формулу, используемую для вычисления площади поверхности.
Запишите формулу, используемую для вычисления массы плоской
пластины.
Запишите формулы, используемые для вычисления координат центра масс
плоской пластинки и моментов инерции пластинки.
Практическое занятие №4 Тройной интеграл и его вычисление
1. Вычислить
2 2
 x y zdxdydz, если область
определяется неравенствами
V
,
. (Ответ: ⁄
,
dxdydz
 (1  x  y  z ) ,
2. Вычислить
.)
если область
ограничена плоскостями
V
,
,
,
. (Ответ: (
).)
3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
⁄ .)
. (Ответ:
,
,
Самостоятельная работа
1. Расставить пределы интегрирования в интеграле

f ( x, y, z )dxdydz , если
V
область ограничена плоскостями
,
,
,
2. Расставить пределы интегрирования в интеграле
.
 f ( x, y, z )dxdydz , если
V
область ограничена плоскостями y=x , y=2x,
,
Контрольные вопросы
1.
2.
Дайте определение тройного интеграла.
Сформулируйте свойства тройного интеграла.
6
.
3.
4.
Расскажите о сведении тройного интеграла к повторным в случае
прямоугольной области интегрирования.
Расскажите о сведении тройного интеграла к повторным в случае
криволинейной области интегрирования.
Практическое занятие №5 Замена переменных в тройном интеграле
1. Вычислить
 x
2
y 2 dxdydz , если область
ограничена поверхностями
V
x2+y2=1, z=0, z=x2+y2. (Ответ: π/32.)
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
,
,
,
. (Ответ: 266.)
√
 x2 y2 z 2 
3. Вычислить   2  2  2 dxdydz , если область
b
c 
V a
x2 y2 z 2
эллипсоида 2  2  2  1. (Ответ: 4πabc/5.)
a
b
c
4. Вычислить объем части шара
конуса
. (Ответ: (4(1  2 2)) 3 .)
,
– внутренность
, расположенной внутри
Самостоятельная работа
1.
Вычислить

x 2  y 2 dxdydz ,
если
область
ограничена
V
поверхностями
,
. (Ответ:
⁄
.)
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
,
. (Ответ:
.)
,
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Запишите формулу преобразования координат в тройном интеграле при
переходе к криволинейным координатам u, v, w.
Дайте определение цилиндрической системы координат.
Запишите формулы перехода к цилиндрической системе координат.
Запишите якобиан и формулу преобразования координат в тройном
интеграле при переходе к цилиндрической системе координат.
Дайте определение сферической системы координат.
Запишите формулы перехода к сферической системе координат.
Запишите якобиан и формулу преобразования координат в тройном
интеграле при переходе к сферической системе координат.
7
Практическое занятие №6 Применение тройного интеграла
√
1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
. (Ответ: ⁄ .)
2. Вычислить массу тела, ограниченного плоскостями
,
,
,
1
. (Ответ: ⁄
( x  y  z  1) 4
.)
3. Вычислить объем тела, ограниченного сферами
и конусом
(тела, лежащего внутри конуса).
,
,
, если плотность тела µ
(Ответ: (28 (1  2 2)) 3 .)
4. Найти координаты центра масс однородного тела, ограниченного
плоскостями
,
,
,
. (Ответ: ( , ,
.)
Самостоятельная работа
1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
,
,
. (Ответ: 32.)
,
2. Вычислить координаты центра масс однородного тела, ограниченного
поверхностями
,
. (Ответ: (0, 0, ⁄ ).)
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Дайте определение цилиндрической системы координат.
Запишите формулы перехода к цилиндрической системе координат.
Запишите якобиан и формулу преобразования координат в тройном
интеграле при переходе к цилиндрической системе координат.
Дайте определение сферической системы координат.
Запишите формулы перехода к сферической системе координат.
Запишите якобиан и формулу преобразования координат в тройном
интеграле при переходе к сферической системе координат.
Запишите формулы, используемые для вычисления объемов тел.
Запишите формулы, используемые для вычисления массы, координат
центра тяжести и моментов инерции тела.
8
Практическое занятие №7 Криволинейные интегралы первого рода
1. Вычислить
dl
 x  y , если
– отрезок прямой
, заключенный
L
между точками
2. Вычислить
. (Ответ: √
и
 2 y dl , если
.)
– первая арка циклоиды
,
L
. (Ответ:
3. Вычислить
 xyzdl , если
√ .)
– отрезок прямой между точками
и
L
. (Ответ: 12.)
4. Вычислить площадь боковой поверхности цилиндра
заключенной внутри сферы
. (Ответ:
.)
5. Вычислить  xdl , если
,
– отрезок прямой, соединяющий точки
и
L
. (Ответ: √ ⁄ .)
Самостоятельная работа
1. Вычислить  x 2 ydl , если
– часть окружности
лежащая в
L
первом квадранте. (Ответ: 27.)
2. Вычислить
dl
 x y,
если
– отрезок прямой
, соединяющий
L
точки
,
. (Ответ: √ ⁄ .)
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Дайте определение криволинейного интеграла первого рода.
Сформулируйте свойства криволинейного интеграла первого рода.
Запишите формулу для вычисления криволинейного интеграла первого
рода при явном задании кривой l.
Запишите формулу для вычисления криволинейного интеграла первого
рода при параметрическом задании кривой l на плоскости и в
пространстве.
Запишите формулу для вычисления криволинейного интеграла первого
рода в полярной системе координат.
Запишите формулы, используемые для вычисления длины, массы,
координат центра масс и моментов инерции кривой.
9
Практическое занятие №8 Криволинейные интегралы второго рода
2
2
 ( x  2 xy)dx  (2 xy  y )dy ,
1. Вычислить
где
– дуга параболы
LAB
от точки
до точки
. (Ответ: 1219 30 .)
 xdx  ydy  ( x  y  1)dz ,
2. Вычислить
где
– отрезок прямой,
LAB
соединяющий точки
3. Вычислить
и
. (Ответ: 13.)
 yzdx  zxdy  xydz , где
– дуга винтовой линии
L
⁄
,
,
от точки пересечения линии с плоскостью
до точки пересечения с плоскостью
. (Ответ: 0.)
 xydx  ( y  x)dy ,
4. Вычислить
если линия
, соединяющая точки
LAB
и
, задана уравнением: а)
(Ответ: а) ⁄ ; б) ⁄
; в)
⁄
; б)
⁄
; г)
; в)
; г)
.
.)
Самостоятельная работа
1. Вычислить  ( x  y )dx  ( x  y )dy , если
– дуга параболы
,
LAB
лежащая между точками
и
. (Ответ: 2.)
 ( x  y)dx  ( x  y)dy ,
2. Вычислить
если
– отрезок прямой,
LAB
соединяющий точки
и
. (Ответ:
⁄ .)
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Дайте определение криволинейного интеграла второго рода.
Сформулируйте свойства криволинейного интеграла второго рода.
Запишите формулу для вычисления криволинейного интеграла второго
рода при явном задании кривой l.
Запишите формулу для вычисления криволинейного интеграла второго
рода при параметрическом задании кривой l на плоскости и в
пространстве.
Расскажите о применении криволинейного интеграла второго рода.
Запишите формулу Грина.
10
Практическое занятие №9 Применение криволинейных интегралов
1. Вычислить массу дуги кривой
плотностью µ=х2, если концы
дуги определяются следующими значениями :
√ ,
√ . (Ответ:
⁄ .)
2. Найти координаты центра масс первой полуарки циклоиды
]. (Ответ: ⁄ , ⁄ .)
,
, [
3. С помощью криволинейного интеграла второго рода вычислить площадь
фигуры, ограниченной линией
,
(астроида)
(Ответ:
⁄ .)
4. Найти функцию
по ее полному дифференциалу
.
5. Применив формулу Грина, вычислить L y 2 dx  ( x  y) 2 dy , где
контур треугольника
с вершинами в точках
,
и
(Ответ: 18.)
–
Самостоятельная работа
1. Найти функцию
по ее полному дифференциалу
du=(3y-x)dx+(y-3x)dy/(x+y)3.
2. Вычислить работу силы F  ( x 2  y 2  1)i  2 xy j вдоль дуги параболы
y=x3, заключенной между точками
и
. (Ответ: ⁄ .)
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
Дайте определение криволинейного интеграла первого рода.
Дайте определение криволинейного интеграла второго рода.
Расскажите о применении криволинейного интеграла первого рода.
Расскажите о применении криволинейного интеграла второго рода.
Запишите формулу Грина.
Практическое занятие №10 Поверхностные интегралы первого рода и
их применение
1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

S
11
x 2  y 2 dS , если
x2
y2
z2


S – часть поверхности конуса
, расположенная между
16 16
9
плоскостями z  0 и z  3 . (Ответ: 160 3 .)
2. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
 xyzdS , где S – часть
S
плоскости x  y  z  0 , лежащая в первом октанте. (Ответ:
3 120 .)
2
2
3. Вычислить массу полусферы z  4  x  y , если поверхностная
плотность в каждой ее точке   x 2 y 2 . (Ответ: 128 15 .)
4.
Вычислить
 ( y  2 z )dS , если S – верхняя часть плоскости
S
6 x  3 y  2 z  6 , расположенная в первом октанте. (Ответ: 8 3 .)
Самостоятельная работа
1. Вычислить
 xyzdS ,
если S – часть поверхности параболоида
S
z  x 2  y 2 , отсекаемая плоскостью z  1 . (Ответ: 0.)
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
Дайте определение поверхностного интеграла первого рода.
Сформулируйте свойства поверхностного интеграла первого рода.
Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла первого
рода при явном задании поверхности S.
Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла первого
рода при неявном задании поверхности S.
Расскажите о применении поверхностного интеграла первого рода.
Практическое занятие №11 Поверхностные интегралы второго рода и
их применение
1.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
 xdydz  ydxdz  zdxdy , если S – верхняя часть поверхности x  2 y  z  6  0 ,
S
расположенная в первом октанте. (Ответ: 54.)
12
 ( x  y)dydz  ( y  x)dxdz  ( z  2)dxdy ,
2. Вычислить
если S – часть
S
поверхности конуса x 2  y 2  z 2  0 , отсекаемая плоскостями z  0 и z  1 ,
нормаль к которой образует тупой угол с осью Oz . (Ответ: 8 3 .)
 xdydz  z
3. Вычислить
3
dxdy , если S – внешняя сторона сферы
S
x 2  y 2  z 2  1. (Ответ: 35 15 .)
4. Вычислить
 xdydz  ydxdz  zdxdy , если S – внешняя сторона цилиндра
S
x  y  R с основаниями z  0 и z  H . (Ответ: 3R 2 H .)
2
2
2
Самостоятельная работа
1. Вычислить
 zdydz  (3 y  x)dxdz  zdxdy ,
если S – внешняя часть
S
поверхности тела, ограниченного
z  x 2  y 2  2 . (Ответ: 5 .)
поверхностями
z  0,
x2  y 2  1,
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Какая сторона поверхности называется положительной, отрицательной?
Какие поверхности называются двусторонними, односторонними?
По каким формулам определяются координаты вектора нормали к
поверхности в случае ее явного и неявного заданий?
Дайте определение поверхностного интеграла второго рода.
Сформулируйте свойства поверхностного интеграла второго рода.
Запишите формулы для вычисления поверхностного интеграла второго
рода.
Расскажите о применении поверхностного интеграла второго рода.
Практическое занятие №12 Поверхностные интегралы второго рода и
их применение
1. Вычислить
 yzdxdy  xzdydz  xydxdz ,
если S – внешняя сторона
S
поверхности, расположенной в первом октанте и состоящей из цилиндра
2 R H
x 2  y 2  R 2 и плоскостей x  0 , y  0 , z  0 , z  H . (Ответ: R 2 H (

) .)
3
8
13
 yzdxdy  xzdydz  xydxdz ,
2. Вычислить
если S – внешняя сторона
S
пирамиды, гранями которой являются плоскости
x  y  z  1 . (Ответ: 1 8 .)
3. Вычислить
 yzdxdy  xzdydz  xydxdz ,
x  0,
y  0,
z  0,
если S – наружная поверхность
S
цилиндра x  y  1 , отсеченная плоскостями z  0 , z  5 . (Ответ: 25π.)
2
2
Самостоятельная работа
1. Вычислить
 xydydz  yzdxdz  xzdxdy , если S – внешняя сторона сферы,
S
ограниченного поверхностями
x 2  y 2  z 2  1, лежащая в первом октанте.
(Ответ: 3 /16 .)
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Какая сторона поверхности называется положительной, отрицательной?
Какие поверхности называются двусторонними, односторонними?
По каким формулам определяются координаты вектора нормали к
поверхности в случае ее явного и неявного заданий?
Дайте определение поверхностного интеграла второго рода.
Сформулируйте свойства поверхностного интеграла второго рода.
Запишите формулы для вычисления поверхностного интеграла второго
рода.
Расскажите о применении поверхностного интеграла второго рода.
Практическое занятие №13 Скалярные и векторные поля
1. Записать уравнения и построить поверхности уровня скалярных полей,
определяемых следующими функциями:
а) u  arccos
z
x2  y2
;
б) u  ln( x 2  y 2  z 2 ) ;
в) u 
z
.
(x  y 2 )
2
2. Построить линии уровня плоского скалярного поля z  xy .
3. Найти производную скалярного поля u  x 2  y 2  x 2  z 2 в точке
M (3, 0, 4)
в
направлении
нормали
к
поверхности
2 x 2  12 x  5 y 2  z 2  3z  58  0 , образующей острый угол с осью Oz .
(Ответ:  4 5 .)
14
4. Найти векторные линии векторного поля a( M )  yi  x j , где   R ,
  0 . (Ответ: x 2  y 2  C1 , z  C2 .)
5.
Найти
векторные
линии


а) a ( M )  5xi  10 y j ;
б) a ( M )  4 z j  9 y k .
векторного
поля,
если:
(Ответ: а) x 2  C1 y , z  C2 ; б) 9 y 2  4 z 2  C12 , x  C2 .)
6. Найти векторные линии поля grad u , если u  x 2  2 y  z 2 .
(Ответ: x  C1e  y , z  C2 e  y .)
Самостоятельная работа
1. Найти векторные лини поля grad u , если u  x  y 2 .
1
(Ответ: x  ln y  C1 , z  C2 .)
2
2. Найти векторные линии векторного поля a( M )  2 xi  8 z k .
(Ответ: z  C1 x 4 , y  C2 .)
Контрольные вопросы
Что называют скалярным полем?
Какое скалярное поле называют плоским?
Что называют градиентом скалярного поля?
Что характеризует производная скалярного поля в точке М0 по
направлению l ?
5. В каком направлении производная скалярного поля максимальна?
6. Что называют линиями, поверхностями уровня скалярного поля?
7. Что называют векторным полем?
8. Что называют векторной линией поля?
9. Запишите систему ДУ векторных линий.
10. Какую область пространства называют векторной трубкой?
11. Какое поле называют стационарным?
12. Что называют векторной линией поля градиента?
1.
2.
3.
4.
15
Практическое занятие №14 Поток векторного поля через поверхность.
Дивергенция векторного поля
1.
Вычислить
дивергенцию
векторного
поля
2
2
2
a (M )  ( xy  z )i  ( yz  x ) j  ( zx  y )k в точке M (1, 3,  5) . (Ответ:  1.)
2.
Вычислить
поток
векторного
поля
a (M )  ( x  3z )i  ( x  2 y  z ) j  (4 x  y)k через верхнюю часть плоскости
x  y  z  2 , лежащую в первом октанте. (Ответ: 26 3 .)
a (M )  2 xi  y j  3z k
3. Вычислить поток векторного поля
2
2
через
2
x
y
z


 1, лежащую в первом
4
9 16
октанте, в направлении внешней нормали. (Ответ: 24 .)
замкнутую часть поверхности эллипсоида
4. Доказать, что поток Π радиуса-вектора r  xi  y j  z k через внешнюю
сторону поверхности, ограничивающей тело V объемом v, равен 3v.
5. Вычислить поток Π векторного поля a (M )  8xi  11y j  17 z k через
часть плоскости x  2 y  3z  1, расположенной в первом октанте. Нормаль
составляет острый угол с осью Oz . (Ответ: 1 .)
6. Найти поток Π вектора a  xi  2 y j  z k через замкнутую поверхность
S, ограниченную поверхностями 1  z  x 2  y 2 , z  0 , в направлении внешней
нормали. (Ответ:   .)
7. Найти поток Π вектора a  x 2 i  z 2 j через часть поверхности
z 2  4  x  y , лежащую в первом октанте, и части координатных плоскостей,
отсекаемых этой поверхностью, в направлении внешней нормали. (Ответ:
2048 105 .)
Самостоятельная работа
1. Вычислить поток Π векторного поля a (M )  xi  3 y j  2 z k через
верхнюю часть плоскости x  y  z  1 , расположенную в первом октанте.
(Ответ: 1 .)
2. Найти дивергенцию поля grad u , если u  ln( x 2  y 2  z 2 ) .
Контрольные вопросы
1.
Что называют потоком векторного поля a через поверхность S?
16
2.
3.
4.
5.
6.
Запишите формулу для вычисления потока при явном, неявном заданиях
поверхности S.
Запишите формулу для вычисления потока через замкнутую поверхность
S.
Что называют дивергенцией векторного поля a ?
Сформулируйте свойства дивергенции векторного поля a .
Запишите формулу Остроградского.
Практическое занятие №15 Циркуляция векторного поля. Ротор
векторного поля
1. Найти ротор векторного поля a (M )  xyz i  ( x  y  z ) j  ( x 2  y 2  z 2 )k
в точке M (1,  1, 2) . (Ответ: rot a (M )  3i  3 j  k. )
2. Вычислить циркуляцию векторного поля a (M )  zi  x j  y k вдоль
контура  : x 2  y 2  4 , z  0 в положительном направлении обхода
относительно орта n 0  k непосредственно и с помощью формулы Стокса.
(Ответ: 4 .)
3. Вычислить циркуляцию векторного поля a (M )  zy 2 i  xz 2 j  yx 2 k по
контуру пересечения параболоида x  y 2  z 2 с плоскостью x  9 в
положительном направлении обхода относительно орта n 0  i . (Ответ: 729 .)
4. Вычислить циркуляцию векторного поля a (M )  yi  x j  z k вдоль
линии  пересечения сферы x 2  y 2  z 2  4 с конусом
x2  y2  z в
положительном направлении обхода относительно орта n 0  k .
5. Вычислить циркуляцию векторного поля a (M )  yzi  2 xz j  y 2 k по
линии  пересечения полусферы z  25  x 2  y 2 с цилиндром x 2  y 2  16 в
положительном направлении обхода относительно орта n 0  k .
Самостоятельная работа
1. Вычислить циркуляцию векторного поля a (M )  ( x  y)i  x j  z k вдоль
линии  пересечения цилиндра x 2  y 2  1 с плоскостью z  2 , если n 0  k .
17
2. Найти циркуляцию векторного поля a (M )  z 2 i  x 2 j  y 2 k по сечению
сферы
x2  y2  z 2  R2
x yz  R
плоскостью
в
положительном
направлении обхода относительно вектора n  (1, 1, 1) . (Ответ: 3R 4 2 .)
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Что называют циркуляцией вектора a вдоль контура Г?
Что называют ротором векторного поля a ?
Сформулируйте свойства ротора векторного поля a .
Запишите формулу Стокса.
Какое векторное поле называется соленоидальным?
Какое векторное поле называется потенциальным?
Практическое занятие №16 Контрольная работа (пример)
2
4 x 2
0
42 x 2
1. Изменить порядок интегрирования:  dx
 b( x, y)dy .
2. Вычислить тройной интеграл по области V , ограниченной заданными
поверхностями:
 z
x 2  y 2 dxdydz ; V: z=0, z=2, x2+y2=2x.
V
3. Проверить, является ли данное выражение полным дифференциалом
u  u( x, y) .
u  u( x, y) :
функции
Найти
функцию


1
 2
2
 sin y  y sin 2 x  dx  x sin 2 y  cos x  1 dy .
2

4. Вычислить криволинейный интеграл вдоль заданной дуги L:  xdy  ydx,
L
L : x  a cos3 t , y  a sin 3 t 0  t  2 .
5.
Исследовать
на
сходимость
ряд
с
положительными
членами
2n  13 .
 2n !
n 1

 n  1
6. Исследовать на сходимость ряд с положительными членами  
 .
n 1  2n 

18
5n
Вопросы к экзамену
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Определение двойного интеграла. Необходимое, достаточное условия
интегрируемости функции f(x, y) в области D.
Свойства кратных интегралов.
Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат
(случай прямоугольной и криволинейных областей).
Замена переменных в двойном интеграле. Якобиан.
Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
Определение тройного интеграла. Вычисление тройного интеграла в
декартовой
системе
координат
(случай
прямоугольной
и
криволинейных областей).
Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного
интеграла в цилиндрической системе координат.
Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного
интеграла в сферической системе координат.
Геометрические приложения кратных интегралов.
Механические приложения кратных интегралов. Вычисление центра
масс плоской пластины и пространственного тела.
Механические приложения кратных интегралов. Вычисление момента
инерции плоской пластины и пространственного тела.
Определение и вычисление криволинейного интеграла первого рода
(кривая интегрирования задается явно, параметрически и в полярной
системе координат).
Свойства криволинейного интеграла первого рода.
Применение криволинейного интеграла первого рода. Вычисление
длины, массы, координат центров масс и моментов инерции
материальной дуги кривой.
Определение и вычисление криволинейного интеграла второго рода
(кривая интегрирования задается явно, параметрически).
Свойства криволинейного интеграла второго рода.
Применение криволинейного интеграла второго рода. Вычисление
работы силы F на криволинейном пути l, восстановление функции по
ее полному дифференциалу.
18. Определение и вычисление поверхностного интеграла первого рода
(явное и неявное задание поверхности S).
19. Свойства поверхностного интеграла первого рода.
19
20. Применение поверхностного интеграла первого рода. Вычисление
площади, массы, координат центра тяжести, моментов инерции
поверхности S.
21. Интегральные теоремы. Формула Грина.
22. Интегральные теоремы. Формула Остроградского.
23. Интегральные теоремы. Формула Стокса.
24. Скалярное поле. Градиент.
25. Векторное поле. Система дифференциальных уравнений векторных
линий. Поле градиента и его линии.
26. Поток вектора через поверхность (явное и неявное задание
поверхности S).
27. Поток вектора через замкнутую поверхность. Дивергенция.
28. Циркуляция и ротор векторного поля.
29. Соленоидальные и потенциальные поля.
Задания к типовому расчету
Индивидуальные задания по высшей математике под редакцией Рябушко
А.П. Часть 3.
ИДЗ
13.1
13.2
13.3
14.1
15.1
15.2
№
3, 4, 6
3, 4
1
1, 2
2, 3, 4
1
стр.
159-165
172-176
179-180
203-209
257-264
270-272
20