Аналитическая геометрия - Томский государственный
реклама
Томский государственный университет систем управления
и радиоэлектроники
О.В. Воробейчикова, С.И.Колесникова
Высшая математика I
Основы векторной алгебры. Аналитическая геометрия.
Линейная алгебра. Численные методы.
Краткие методические указания и контрольные задания
2007
1
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Необходимость освоения будущими специалистами основ высшей
математики продиктована широким использованием математических методов в современной экономической практике. Знание основ высшей математики делает возможным изучение прикладных и экономических наук,
грамотное общение с компьютером. Это определяет основные задачи при
изучении курса «Высшая математика»:
- освоение наиболее употребительных понятий и определений математики;
- изучение основ векторной алгебры, аналитической геометрии, линейной алгебры, математического анализа, дифференциальных уравнений;
- приобретение практических навыков в решении задач, изучение основ численных методов.
Программа курса рассчитана на три семестра, в котором необходимо
выполнить три контрольные работы (состоящих из 3-х частей).
В трех частях пособия освещены следующие темы:
I. Основы векторной алгебры. Аналитическая геометрия. Линейная
алгебра. Численные методы.
II. Последовательности и ряды. Дифференциальное и интегральное
исчисление. Дифференциальные уравнения.
III. Основы теории вероятностей и элементы математической статистики.
Теоретический материал приведен только тот и в том объеме, который необходим для решения предлагаемых задач. Задачи контрольных
заданий являются весьма простыми, они предназначены для усвоения основных начальных понятий и основ высшей математики.
Каждая тема иллюстрирована большим количеством примеров, все
контрольные работы снабжены образцами их выполнения.
СОДЕРЖАНИЕ
2
1.
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ .............................................................. 5
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ ............................... 5
1.1.
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4
1.1.5
Операции над векторами .......................................................................... 6
Базис и разложение векторов ................................................................... 9
Скалярное произведение векторов ......................................................... 11
Определители 2-го и 3-го порядка .......................................................... 15
Векторное и смешанное произведения векторов.................................. 16
1.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ: ВЕКТОРНАЯ
АЛГЕБРА.................................................................................................................... 19
2.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ .............................................................. 26
2.1.
УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ................................................................................. 26
2.2.
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ ........................................... 27
2.2.1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ: ПРЯМАЯ НА
ПЛОСКОСТИ ............................................................................................................ 31
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ...................................................................... 35
2.3.
2.3.1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ: УРАВНЕНИЕ
ПЛОСКОСТИ ............................................................................................................ 38
ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ................................................................... 41
2.4.
2.4.1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ: ПРЯМАЯ В
ПРОСТРАНСТВЕ ..................................................................................................... 43
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА ................................................................ 46
2.5.
2.5.1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ: КРИВЫЕ ВТОРОГО
ПОРЯДКА .................................................................................................................. 49
3.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1. ЧАСТЬ 1. ...................................................... 51
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 1 (ЧАСТЬ 1)
58
3.1.
4.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ................................................................................... 61
МАТРИЦЫ...................................................................................................... 62
4.1.
4.1.1.
4.2.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ: МАТРИЦЫ .............. 79
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ .............................. 84
4.2.1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ: СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ................................................................................... 97
5.
5.1.
6.
6.1.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1. ЧАСТЬ 2. .................................................... 102
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 1 (ЧАСТЬ 2)
113
ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ .. 122
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ....................... 122
3
6.2.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1. ЧАСТЬ 3. ................................................. 124
6.3.
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 1 (ЧАСТЬ 3)
127
4
По одной капле воды человек, умеющий мыслить логически, сможет сделать вывод о существовании Атлантического океана или Ниагарского водопада, даже если он не видел ни того, ни другого. Всякая жизнь - огромная цепь причин и следствий, и природу ее можно познать по одному звену.
Артур Конан Дойль
1. Основы векторной алгебры
В данном разделе рассматриваются такие геометрические объекты,
как линии, поверхности и т.п. Исследование этих объектов заменяется исследованием их координат, представленных в виде уравнений. В начале
раздела приводятся необходимые сведения из векторной алгебры.
1.1.
Основные понятия векторной алгебры
Определение 1.1. Пусть даны две точки на плоскости A и B . Вектором называется направленный отрезок, идущий из точки A в точку B
(Error! Reference source not found.). Точка A называется началом вектора, точка B – концом.
Рис.1.1. Направленный отрезок – вектор
Вектор обозначают строчной латинской буквой со стрелкой –
a
или
прописными буквами, обозначающими начало и конец вектора – AB .
Определение 1.2. Величину, не имеющую направления, называют
скалярной или скаляром.
Определение 1.3. Расстояние между началом и концом вектора
называется его длиной и обозначается как a AB AB (читается как
«модуль вектора а» или «модуль вектора АВ»).
5
Когда начало и конец вектора совпадают, то говорят о нулевом век-
0
торе, который обозначают как . Длина нулевого вектора равна нулю.
Определение 1.4. Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным вектором или ортом.
Определение 1.5. Два вектора называют коллинеарными, если они
лежат на одной прямой или на параллельных прямых и обозначают как
a || b . Вектора называются компланарными, если они лежат в одной (или
в параллельных) плоскостях (Error! Reference source not found..).
Рис.1.2. Взаимное расположение коллинеарных векторов
Определение 1.6. Два вектора называют равными, если они колле
ниарны, одинаково направлены и их длины совпадают: a b и a b .
Условие сонаправленности в данном определении очень важно, так
как вектора, имеющие одинаковую длину, но направленные в разные стороны, уже не являются равными.
1.1.1 Операции над векторами
Над векторами возможны следующие операции: сложения, вычитания, умножение вектора на число.
Определение 1.7. Операции сложения, вычитания векторов и операция умножения вектора на скаляр называются линейными операциями.
Сложение векторов. Сумма двух векторов a b строится как вектор, идущий от начала вектора
ложен к вектору
a
a
к концу вектора b , если вектор b при-
(Error! Reference source not found.).
6
b
a
c
Рис. 1.3. Сумма двух векторов
Для построения сумму двух векторов нужно («правило параллелограмма»): приложить два вектора к одной точке и достроить до параллелограмма. Диагональ параллелограмма, идущая из точки приложения векторов и есть их сумма.
Для построения суммы произвольного числа векторов нужно приложить второй вектор к концу первого, третий к концу второго и т.д., сумма
находится как вектор, идущий из начала первого к концу последнего.
Свойства операции сложения векторов:
1) коммутативность a b b a
2) ассоциативность: a (b c ) (a b ) c
3) для любого вектора a : a 0 0 a a .
4) для любого вектора a AB справедливо:
AB BA BA AB 0 .
Вектор BA называют противоположным вектору AB и обозначают
как a .
Вычитание векторов. Вектор, являющийся результатом вычитания двух векторов строится также, по правилу параллелограмма, но является второй диагональю в нем (Error! Reference source not found.):
7
B
a
A
b
C
a b
D
Рис. 1.4. Вычитание векторов по правилу параллелограмма
Умножение вектора на число (скаляр). Произведением вектора a
на скаляр является вектор a , удовлетворяющий условиям:
1) вектор a коллинеарен вектору a ;
2) имеет длину a ;
3) сонаправленный a при 0 и антинаправленный при 0 .
Свойства операции умножения вектора на скаляр:
1) ненулевые векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, ко
гда существует число такое, что b a ;
2) умножение вектора на скаляр ассоциативно относительно умно
жения скаляров: ( a ) ( )a ;
3) умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сло
жения чисел: ( )a a a ;
4) умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сло
(
a
b
)
a
b
жения векторов:
;
5) 1 a a , ( )a (a ) .
Из свойств произведения скаляра на вектор следует, в частности, что
при умножении нуля на вектор получается нулевой вектор 0 .
Свойства операций над векторами позволяют обращаться с ними, как
с обычными числами: переносить их из одной части равенства в другую с
противоположным знаком, делить обе части на ненулевое число, приводить подобные члены и т.п.
8
Пример 1.1:
Решить уравнение 2a b 6 3b относительно a :
Решение: Переносим b в правую часть уравнения: 2a 6 4b ; де
лим правую и левую части на коэффициент при a , равный 2. Получаем
решение в виде: a 3 2b .
a
3
2
b
Ответ:
.
1.1.2 Базис и разложение векторов
Определение 1.8. Линейной комбинацией векторов a1 , a2 ,..., a n
называется вектор b 1a1 2 a2 ... n an , а числа 1 , 2 ,..., n - коэффи-
циентами линейной комбинации.
Определение 1.9. Совокупность векторов a1 , a2 ,..., an называется ли-
нейно независимой, если существуют такие числа 1 , 2 ,..., n , среди кото
рых хотя бы одно отлично от нуля, что 1a1 2 a2 ... n an 0 ; если же
для заданных векторов равенство выполняется только тогда, когда все
i 0 (i 1,2,..., n) , то вектора a1 , a2 ,..., an называют линейно зависимыми.
Теорема 1.1. Пусть даны два ненулевых и неколлениарных вектора
e1 и e2 . Тогда любой вектор x можно представить в виде: x x1e1 x2e2 и
притом, единственным образом.
Такое представление вектора называют разложением вектора по
базису, набор e1 , e2 – базисом, а коэффициенты при базисе: x1 , x2 – координатами разложения.
С базисом на плоскости можно связать систему координат. Для этого на плоскости зафиксируется начало координат – точку О и тогда каждой
точке А на плоскости соответствует вектор OA , который называется радиус-вектором точки. Координаты радиуса-вектора при разложении по бази-
9
су e1 , e2 называются координатами точки в построенной системе коорди-
нат: x1 , x2 .
Самая распространенная система координат образуется двумя вза
имно перпендикулярными векторами e1 , e2 , длина которых равна единице:
e1 e2 , e1 e2 1 . Такая система координат называется декартовой прямоугольной системой координат.
Обычно векторы декартового базиса обозначают как i , j , k , а коор
динаты вектора a относительно декартова базиса как x, y, z .
В декартовой системе координат справедливо свойство: длина век
тора a {x, y} равна: a x 2 y 2 .
Кроме декартовой системы координат существует полярная и криволинейная система координат.
В общем случае введенный в пространстве базис называют аффинным, и, соответственно, систему координат, состоящую из произвольной
точки O и векторного аффинного базиса пространства называют аффинной системой координат этого пространства. Точка O - начало аффинной системы координат.
Для любой системы координат (не только декартовой) справедливы
следующие свойства:
1) линейные операции над векторами сводятся к таким же операциям над
их соответствующими координатами;
2) координаты вектора равны разностям соответствующих координат его
начала и конца;
3) векторы a {x1, x2 } и b { y1 , y2 } коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны: x1 y2 x2 y1
Пример 1.2.
10
Даны два вектора i1 1 ,1 и j2 1,2. Доказать, что они могут
4
быть базисом.
Решение:
1. По определению вектора могут быть базисом, если они ненулевые и
неколлениарны, поэтому для доказательства нужно проверить выполнение
3 свойства – соотношение координат векторов не должно быть равным.
2. 1 2 1 1 равенство неверно, значит, вектора i и j неколлениарны.
4
Ответ: вектора i и j являются базисом.
Пример 1.3.
Разложить по базису i1 1 ,1 и j 2 1,2 вектор a 7,8.
4
Решение: Обозначим координаты вектора a как a1 , a2 ; тогда раз
ложение вектора a по базису i и j можно записать по формуле:
a a1i a2 j . Согласно свойству 1, операции над векторами можно заменить операциями над их координатами; подставим координаты в уравне7 1 a1 1 a2
4
ние, получаем следующую систему:
. Решив эту систему,
8
1
a
2
a
1
2
получаем
Ответ: a1 4; a2 6 .
1.1.3 Скалярное произведение векторов
Определение 1.10. Углом между двумя векторами называется часть
плоскости между их лучами, если вектора приложить к одной точке (Рис. ).
Угол между векторами обозначается как ab или строчными греческими
буквами (например, ) .
11
a
b
Рис. 1.5. Угол между двумя векторами
Как известно из школьного курса, осью называется направленная
прямая. Как правило, ось определяется единичным вектором, имеющим
общее с ней направление и задающим положительную направленность
оси. Чтобы получить проекцию точки, требуется опустить на ось перпендикуляр из этой точки.
Определение 1.11. Проекцией вектора a на ось (или вектор) b
называется вектор, началом которого служит проекция начала вектора a , а
b
концом – проекция конца вектора a на ось (или вектор ) (Error! Refer-
ence source not found.).
Обозначается проекция как prb a , на Error! Reference source not
found.: AB prb a .
a
B
A
A
b
B
Рис. 1.6. Проекция вектора a на ось
Приведем свойства проекции:
1) pr a a cos , где ab ;
2) prc (a b ) prc a prc b , где и - любые числа;
b
12
3) равные вектора имеют равные проекции.
Определение 1.12. Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению их длин и косинуса угла между
ними; обозначают скалярное произведение как a, b : a, b a b cos ,
где ab .
Следующие свойства скалярного произведения векторов вытекают
прямо из определения:
1) a , b b , a ;
2) a, b a , b , где - любое число;
2
3) a , a a 2 a ;
4) если e 1 , то (e , e ) , где и - любые числа;
5) a, b 0 тогда и только тогда, когда векторы a и b перпендикулярны
или один из них равен нулю;
6) a b , c a, c b , c ;
7) для декартовой системы координат справедливо следующее свойство:
если a x1i y1 j z1k и b x2i y2 j z2 k , то
a , b x1 x2 y1 y2 z1 z2 .
Введем для определенности обозначения: пусть координаты векто
ров a {xa , ya , za } и b {xb , yb , zb } . С помощью скалярного произведения
решаются следующие задачи:
1. определение длины вектора:
а) для декартового базиса: a xa2 ya2 za2 ;
б) для любого базиса: a
a, a .
2. определение расстояния между точками A и B :
d AB по вышеприведенным формулам (в зависимости от базиса).
13
3. определение проекции одного вектора на направление другого:
a
,b
prb a
b
4. определение косинуса угла между векторами:
a, b
cos ab
ab
5. определение для декартового базиса косинусов углов, образуемых вектором с осями координат:
cos
xa
xa2 ya2 za2
; cos
ya
xa2 ya2 z a2
; cos
za
xa2 ya2 z a2
,
где – угол вектора с осью x , – угол вектора с осью y , – угол вектора с осью z .
Пример 1.4. Найти a b , если a 2 , b 3 , ab
.
4
Решение: 1) По определению скалярного произведения имеем:
a, b a b cos , где ab ; 2) подставим исходные данные в формулу:
a, b 2 3 cos 4 6
2
2
3 2.
Ответ: 3 2 .
Пример 1.5. Найти a , если известны его координаты в декартовой
системе координат: {2,-1, 1} .
Решение: Для нахождения длины вектора в декартовых координатах
применим формулу: a xa2 ya2 za2 . Подставим исходные данные:
a (2) 2 (1) 2 12 6 .
Ответ:
6.
14
1.1.4 Определители 2-го и 3-го порядка
Определение 1.13 Таблица, составленная из четырех элементов, вы a11
строенных в два ряда и два столбца: A 1
a2
a12
, называется квадратной
2
a2
матрицей второго порядка.
Пара элементов матрицы a11 и a12 образуют первую строку матрицы
A , соответственно, пара a12 и a22 – вторую строку. Пара элементов a11 и a12
образуют первый столбец, пара a12 и a22 - второй столбец матрицы A . Число строк и столбцов матрицы называется ее порядком.
Определение 1.14. Матрицей третьего порядка называется табли a11
1
j
ца, составленная из девяти элементов ai (i, j 1,2,3) : A a2
1
a3
a12
a22
a32
a13
3
a2 .
a33
Элементы a11 , a22 , a33 образуют главную диагональ матрицы, элементы
a31 , a22 , a13 - побочную диагональ матрицы.
Определение 1.15. Определителем матрицы второго порядка назыa11
вается число: det A 1
a2
a12
, определяемое как разность между результаa22
том умножения элементов главной диагонали и результатом умножения
элементов побочной диагонали: a11 a22 a12 a12 .
Определение 1.16. Определителем матрицы третьего порядка
называется число, определяемое по формуле:
a11
det A a12
a31
a12
a22
a32
a13
2
3
1 a2
a2 a1 2
a3
a33
1
a23
2 a2
a1 1
a33
a3
1
a23
3 a2
a1 1
a33
a3
a22
.
a32
Это выражение называется разложением определителя по элементам первой строки.
15
Можно сосчитать определители второго порядка, и тогда формула
примет вид:
det A a11 a22 a33 a11 a32 a23 a12 a12 a33 a12 a31 a23 a13 a12 a32 a13 a31 a22 .
7 5
Пример 1.6. Вычислить определитель матрицы 2-го порядка:
.
1 3
Решение: По формуле для вычисления определителя имеем:
7 5
7 3 1 5 21 5 16 .
1 3
Ответ: 16.
Пример 1.7. Вычислить определитель матрицы 3-го порядка:
2 1 3
5 3 2 .
1 4 3
Решение: По формуле вычисления определителя матрицы 3-го порядка имеем:
2 1 3
3 2
5 2
5 3
5 3 2 2
1
3
4 3
1 3
1 4
1 4 3
2 (3 3 4 2) 1 (5 3 1 2) 3 (5 4 1 3) 40 .
Ответ: 40.
1.1.5 Векторное и смешанное произведения векторов
Определение 1.17. Векторным произведением двух ненулевых век
торов a и b называется вектор, обозначаемый как [a , b ] , удовлетворяющий условиям:
- вектор [a , b ] перпендикулярен векторам a и b ;
- длина [a , b ] равна a b sin , где ab ;
16
- векторы a , b , [a , b ] образуют правую тройку, то есть если векторы
a , b , [a , b ] приведены к общему началу, то из конца [a , b ] поворот от век
тора a к вектору b на меньший угол происходит против часовой стрелки
(Рис. 1.1).
[a , b ]
b
a
Рис. 1.1. Векторное произведение двух ненулевых векторов
Векторное произведение обладает свойствами:
1) векторное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тгда и
только тогда, когда они коллинеарны, в частности [a, a ] 0 ;
2) [a, b ] [a, b ] , где – скаляр;
3) [a , b ] [b , a ] ;
4) [a b , c ] [a, c ] [b , c ] ;
5) длина [a , b ] равна площади параллелограмма, построенного на векторах
a и b , приведенных к одной точке;
6) если координаты векторов a и b известны в декартовом базисе i , j , k
как a ( xa , ya , za ) и b ( xb , yb , zb ) , то их векторное произведение можно
представить в виде:
i
[ a , b ] xa
xb
j
ya
yb
k
za .
zb
17
Определение 1.18. Смешанным произведением трех ненулевых
некомпланарных векторов a , b , c называется число, равное скалярному
произведению вектора [a , b ] и c .
Обозначается смешанное произведение как [a, b ], c или a, b , c .
Смешанное произведение обладает следующими свойствами:
1) геометрически смешанное произведение равно объему параллелепипеда,
построенного на этих векторах и взятого со знаком «+», если a, b , c –
правая тройка и со знаком «–», если a, b , c – левая тройка;
2) в смешанном произведении неважно, в каком порядке брать векторное и
скалярное произведение: a, b , c [a, b ], c a,[b , c ] ,
но при перестановке двух
сомножителей
a, b , c b , a, c c , b , a, a, c , b ;
меняется
знак:
3) три вектора компланарны, тогда и только тогда, когда их смешанное
произведение равно нулю;
4) если координаты векторов a , b и c известны в декартовом базисе
i , j , k как a ( xa , ya , za ) , b ( xb , yb , zb ) и c ( xc , yc , zc ) , то их векторное
произведение можно представить в виде:
xa
a , b , c xb
xc
ya
yb
yc
za
zb .
zc
Пример 1.8. Вычислить координаты вектора c [a, b ] , если извест
ны декартовы координаты: a {2,4,1} и b {3,1,5} .
Решение: По формуле, выражающей векторное произведение через
i
j k
i
j k
декартовы координаты имеем: [a , b ] xa ya za 2 4 1
xb yb zb
3 1 5
18
4 1
2 1
2 4
j
k
i 4 5 1 1
1 5
3 5
3 1
j 2 5 3 1 k 2 1 3 4 21i 7 j 14 k .
Ответ: координаты вектора c 21,7,14 .
Пример 1.9. Вычислить c [a, b ] , если a i j , b 2i j .
Решение: Так как у векторов a и b третья координата не задана, то
i
можно выразить векторное произведение через определитель 3-го рода,
подставив
вместо
нее
нули:
i
j k
1 0
1 0
1 1
j
k
i 0 j 0 k 3 3k .
c [a , b ] 1 1 0 i
1 0
2 0
2 1
2 1 0
Ответ: c 3k .
1.2.
Примеры решения типовых задач: векторная алгебра
Задача 1.1.
Даны два вектора a 1,2 и b 1,3. Найти координаты вектора a b .
Решение: Из свойства 1 следует, что a b x1 y1 , x2 y2 , следователь
но: a b 1 1,2 3 0,5.
Ответ: a b 0,5.
Задача 1.2
Найти координаты вектора AB , соединяющего точку A с координатами
{2,0} и точку B с координатами {1,1} .
Решение: Обозначим координаты точки A как {a1 , a2 } , координаты точки
B как {b1 , b2 } . Из свойства 2 следует: вектор AB имеет координаты
{a2 a1 , b2 b1} . Подставляем исходные значения: {0 2,1 (1)} {2,2} .
19
Ответ: AB {2,2} .
Задача 1.3
Доказать, что два вектора x {2,3} и y 4,6 коллинеарны.
Решение: Из свойства 3 следует, что для решения необходимо проверить
выполнение равенства: x1 y2 x2 y1 . Подставим заданные значения координат: 2 6 3 4 , откуда: 12 12 . Равенство верно.
Ответ: исходные вектора коллинеарны.
Задача 1.4
Задан вектор AB {1,4} и известно, что точка B имеет координаты
(1,4) . Найти координаты точки A – начала вектора.
Решение: Введем обозначения: {xab , yab } – координаты вектора AB ,
{xb , yb } – координаты точки B , {xa , ya } – координаты точки A .
1. Из свойства 2 следует, что для решения необходимо решить два уравнения: xab xb xa ; yab yb ya .
2. Подставим известные величины: 1 1 xa ; 4 4 ya ; откуда искомые
координаты: xa 2 ; ya 0 . Ответ: точка A имеет координаты {2;0} .
Задача 1.5
Найти a, b , если a 3e1 e2 и b 2e1 3e2 , где e1 4 , e2 3 , угол
e1e2 .
3
Решение: Для решения необходимо знать длину векторов, что нам неизвестно, но даны данные по базису, поэтому перейдем от исходных векто
ров к базисным, подставим в формулу a b выражения разложения векторов по базису:
a , b 3e1 e2 , 2e1 3e2
1. Преобразуем скалярное произведение согласно 2 и 6 свойству:
20
6e1, e1 2e1, e2 9e1, e2 3e2 , e2
2. Приведем подобные члены в полученном выражении и применим 3-е
свойство скалярного произведения:
2
2
6 e1 11e1 e2 3 e2
3. Вставим исходные данные и распишем формулу скалярного произведения базисных векторов:
6 4 11 4 3 cos 3 3 24 132 1 9 99 . Ответ: 99.
3
2
Задача 1.6
Для векторов a {1,2,1} и b {2,1,3} найти их проекции друг на друга:
prb a и pra b в декартовой системе координат.
a, b
Решение: Для определения проекции prb a найдем скалярное проb
изведение векторов; для декартовой системы координат справедлива фор
a , b x1 x2 y1 y2 z1 z2 . Подставляем исходные координаты:
мула:
a , b 1 (2) 2 (1) 1 3 1. Найдем длину b , из формулы для декар-
товых координат имеем: b (2) 2 (1) 2 32 14 . Подставим найден-
1
ные значения в искомую формулу: prb a
. Аналогично найдем вто14
рую проекцию: pra b
1
12 22 12
1
1
1
. Ответ: prb a
; pra b
.
14
6
6
Задача 1.7
Определить в декартовой системе координат угол между вектором a с ко
ординатами {4, 1, 1} и вектором b с координатами {2, 2, -1}.
a, b
Решение: Для вычисления угла по формуле cos ab необходимо
ab
определить длины векторов и их скалярное произведение.
21
a b 4 2 1 2 1 (1) 9 .
Определяем
длины
векторов
a 4 2 12 12 3 2 ; b 22 22 (1) 2 3 . Подставляем в формулу:
9
1
2
cos ab
. Решая данное тригонометрическое уравне2
3
2
3
2
2
. Ответ:
ние, получим: ab arccos
4
2
ab .
4
Перед рассмотрением таких операций над векторами, как векторное
и смешанное произведения, введем понятие определителя. С помощью
определителя векторное и смешанное произведения можно представить
через координаты векторов.
Задача 1.8
Определить длину вектора c [a, b ] , если координаты вектора a {1,1,2} и
вектора b {1,2,3} заданы в декартовой системе координат.
Решение: Сначала находим координаты вектора c по формуле для опреде-
лителя:
i
j k
4 2 1 2 1 4
c [a , b ] 1 4 2 i
j
k
2 3
1 3
1 2
1 2 3
i (4 3 2 2) j 1 3 1 2 k 1 2 1 4
8i 5 j 6k . Теперь по формуле вычисления длины вектора через его де-
2
картовы координаты имеем: c 82 5 62 125 5 5 .
Ответ: 5 5 .
Задача 1.9
22
Найти длину вектора c [a, b ] , если координаты вектора a {1,2} и векто
ра b {1,3} заданы в аффинной системе координат с базисом: e1 1 ,
e2 3 , e1 , e2 / 4 .
Решение: Разложим исходные вектора по базису: a 1 e1 2 e2 ;
b 1 e1 3 e2 . Подставим в выражение для c и используем свойства век-
торного произведения:
c [e1 2e2 ,e1 3e2 ] [e1 , e1 ] 2[e2 , e1 ] 3[e1 , e2 ] 6[e2 , e2 ] 5[e1 , e2 ] .
По формуле длины векторного произведения имеем:
c 5[e1, e2 ] 5 e1 e2 sin e1, e2 5 1 3 sin
4
7,5 2 . Ответ: 7,5 2 .
Задача 1.10
Вычислить площадь параллелограмма, две стороны которого образованы
векторами a {1,1} , b {4,3} , a, b
.
3
Решение: Площадь параллелограмма равна длине векторного произведения векторов, соответствующих двум соседним сторонам этого параллело
грамма: S c [a , b ] a b sin a , b . Длину векторов в декартовых ко-
a xa2 yb2 1 1 2 ;
ординатах
вычисляем
по
формуле:
b xb2 yb2 16 9 5 ; Подставляем в искомую формулу:
S 2 5 3
Задача 1.11
2
5 6
2
2,5 6 . Ответ: S 2,5 6 .
Вычислить смешанное произведение a, b , c , если a i 2 j , b 4i 3 j ,
c i 5k .
Решение: Так как вектора заданы в декартовой системе координат, то
можно воспользоваться формулой представления смешанного произведе-
23
ния через определитель 3-го порядка, а отсутствующие координаты в разложениях заменить нулем:
1 2 0
a , b , c 4 3 0 1 (15) 2 20 0 20 25 . Ответ: –25.
1
0 5
Задача 1.12
При каких значениях параметра (если таковые существуют) вектора
a 4 i 5 j и b i 2 j являются коллинеарными?
Решение: Два вектора коллинеарны, тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно 0; нам известны координаты векторов в декартовой системе координат, поэтому распишем векторное произведение:
i
j k
[a , b ] 4 5a 0 i 0 j 0 k 8 5 k 8 5 , которое должно быть
1 2 0
равно нулю. Поэтому составляем следующее уравнение: k 8 5 0 .
Вектор k является базисным, поэтому он не может быть равным нулю, от-
куда: 8 5 0 . Решая данное уравнение относительно параметра , по
лучаем: 8 1,6 . Ответ: при 1,6 векторы a и b коллинеарны.
5
Задача 1.13
При каком , если оно существует, векторы a {2 ,3,1} , b {1,1,3} и
c {1,9,11} компланарны?
Решение: С одной стороны, вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю; с другой стороны можно расписать смешанное произведение через определитель 3-го порядка, откуда
2
получаем: 1
1
3 1
1 3
1 3 0 . Раскрываем определитель 2
9 11
9 11
24
3
1 3
1 1
(1)
2 (16) 3 (14) 10 32 32 . Это выраже1 11
1 9
ние должно быть равно нулю: 32 32 0 . Решая данное уравнение относительно , получаем: 1 . Ответ: при 1 исходные векторы компланарны.
Задача 1.14
Смешанное произведение (a , b , c ) 2 . Найти смешанное произведение
(a 2b , b c , c a ) .
Решение: Согласно определению смешанного произведения:
(a 2b , b c , c a ) [a 2b , b c ], c a {Используя свойства векторного
произведения,
имеем} [a, b ] 2[b , b ] [a, c ] 2[b , c ], c a {Так
как
[b , b ] 0 , получаем} [a, b ] [a, c ] 2[b , c ], c a {По свойствам скаляр
ного произведения} [a, b ], c a [a, c ], c a 2[b, c], c a
[a, b ], c [a, b ], a [a, c ], c [a, c ], a 2 [b , c ], c 2 [b , c ], a {По
определению смешанного произведения выражение преобразуется}
смешанном
a, b , c a, b , a a, c , c a, c , a 2 b , c , c 2 b , c , a {В
произведении неважен порядок векторного и скалярного произведения,
поэтому выражение можно преобразовать} a, b , c a, b , a
ем} a, b , c a, b , a a, c , a 2b , c , a {Произведя
a,[c , c ] a, c , a 2 b ,[c , c ] 2 b , c , a {Так как [c , c ] 0 , получациклическую пере-
становку членов смешанного произведения и учитывая знак, имеем}
тот
факт,
a, b , c [a, a ], b [a, a ], c 2 a, b , c {Используя
[a, a ] 0 , полчаем ответ} a , b , c 2 a , b , c a , b , c (2) 2 .
Ответ: (a 2b , b c , c a ) 2 .
что
25
2. Аналитическая геометрия
Уравнение линии
2.1.
Рассмотрим декартовую систему координат на плоскости.
Определение 2.1. Уравнение F ( x, y ) 0 называется уравнением линии L относительно заданной системы координат, если этому уравнению
удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и не
удовлетворяют координаты ни одной из точек, не лежащей на ней.
Линию L еще называют кривой, а ее уравнение – уравнением в общем виде или в неявной форме.
Примеры линий
2.1. x y 0 . Этому уравнению удовлетворяют точки, у которых абсцисса
равна ординате, то есть данное уравнение описывает биссектрису I и III
квадрантов (Рис. 2.1).
2.2. x y 0 . Данное уравнение описывает биссектрису II и IV квадрантов
(Рис. 2.1).
y
x y 0
x y 0
x
Рис. 2.1. Биссектрисы I и III квадрантов, II и IV квадрантов
2.3. x 2 y 2 0 . Этому уравнению удовлетворяют точки обеих биссектрис
(и только они).
2.4. Для точек, лежащих на окружности также можно записать уравнение в
виде: ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 R 2 0 , где A0 ( x0 , y0 ) – центр окружности, R –
радиус, A( x, y) - точка, принадлежащая окружности (2.2). Действительно,
26
по определению окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от центра на расстояние
R . Вектор A0 A имеет координаты
x x0 , y y0 , значит, квадрат его длины равен ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 R 2 .
y
R
A
A0
x
0
Рис. 2.2. Окружность есть геометрическое место точек
2.2.
Уравнение прямой на плоскости
Рассмотрим точку M 0 с координатами ( x0 , y0 ) и ненулевой вектор
N { A, B} (2.3).
M
r
O
M0
N
r0
Рис. 2.3. Радиус – векторы точек
Обозначим точкой O – начало координат, точка M с координатами
{x, y} – переменная точка, лежащая на прямой, проведенной через точку
M 0 перпендикулярно вектору N . Тогда соединяя точки M и M 0 с нача
лом координат O , получим радиус – векторы точек – r и r0 , и
M 0 M r r0 .
27
Вектор M 0 M перпендикулярен вектору N , следовательно, их скалярное произведение равно 0:
r r0 , N 0 .
( 2.1 )
Данное уравнение называется уравнением прямой через ее нормаль.
Перепишем
данное
уравнение
в
координатной
форме:
A x x0 B y y0 0 . Точка ( x0 , y0 ) – неподвижна, обозначив выраже-
ние Ax0 By0 C , получим общее уравнение прямой:
Ax By C 0 .
( 2.2 )
Еще раз напомним геометрический смысл величин, входящих в
уравнение: { A, B} – координаты вектора N , перпендикулярного к исходному вектору, проходящему через точку с координатами ( x0 , y0 ) . Свободный член C Ax0 By0 .
Так как в общее уравнение входят только первые степени x и y , то
говорят, что прямая на плоскости есть линия первого порядка.
Данное уравнение связывает координаты линии и перпендикуляра к
ней. Но точно также можно построить уравнение, связывающее две параллельные прямые.
Проведем параллельно прямой, проходящей через точку M {x0 , y0 }
вектор l {m, n} , который называется направляющим вектором прямой.
Так как коллинеарные вектора отличаются друг от друга только величиной
некоторого скаляра (обозначим его t ), то тогда можно записать следующее
уравнение, которое называется параметрическим уравнением прямой:
( 2.3 )
r r0 tl .
x mt x0
Или переписав в координатной форме, имеем:
, исклю y nt y0
чив параметр t , получаем каноническое уравнение прямой:
28
x x0 y y0
.
m
n
( 2.4 )
В частности, если прямая проходит через две заданные точки с координатами M 0 {x0 , y0 } и M 1 {x1 , y1} , то каноническое уравнение можно
переписать в виде:
x x0
y y0
.
x1 x0 y1 y0
( 2.5 )
Разрешим общее уравнение прямой относительно переменной y и,
приняв условие, что B 0 , получим следующее уравнение:
y kx b ,
( 2.6 )
где k A , b C при B 0 . Данное уравнение называется уравнеB
B
нием прямой с угловым коэффициентом и позволяет определить всякую
прямую, расположенную под углом, относительно исходной. Коэффициент
k – есть тангенс угла наклона прямой к оси x (Рис. 2.4), b – ордината
точки пересечения прямой с осью y .
y
y 2x 1
0
b
x
Рис. 2.4. Коэффициент 2 – есть тангенс угла наклона прямой к оси x
Как правило, уравнение с угловым коэффициентом используют в несколько другой форме. Пусть на прямой имеется некоторая точка с известными координатами ( x0 , y0 ) , тогда уравнение этой прямой можно запи-
29
сать: y0 kx0 b , откуда b y0 kx0 , тогда уравнение прямой запишется в
виде: y kx y0 kx0 , или
y y0 k ( x x0 ) .
( 2.7 )
Вернемся к общей форме уравнения прямой ( 2.2 ). При условии, что
C 0 , разделим все члены уравнения на свободный член:
обозначив a C
A
A
B
x y 1 0 ,
C
C
и b C , получаем уравнение прямой в отрезках:
B
x y
1.
a b
( 2.8 )
При x 0 имеем y b , а при y 0 соответственно x a . Таким образом, числа a и b есть отрезки, отсекаемые прямой на осях координат.
Если две прямые заданы своими уравнениями в общем виде:
A1 x B1 y C1 0 и A2 x B2 y C2 0 , то угол между ними можно опреде-
лить по формуле:
( N1 , N 2 )
cos
N1 N 2
A1 A2 B1B2
A12
B12
A22
B22
,
( 2.9 )
а если прямые заданы в виде y k1 x b1 и y k2 x b2 , то по формуле:
tg
k2 k1
.
1 k1 k2
( 2.10 )
Расстояние от точки M ( x0 , y0 ) до прямой Ax By C 0 находится
по формуле:
d
Ax0 By0 C
A B
2
2
.
( 2.11 )
При решении задач, прежде всего, обращают внимание на известные
величины и в зависимости от них составляют уравнение прямой. Или,
наоборот, по известному уравнению анализируют геометрические свойства прямой.
30
2.2.1.
Примеры решения типовых задач: прямая на плос-
кости
Задача 2.1
Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки (1,2) и (-2,3).
Решение: Обозначим точки соответственно M 0 {x0 , y0 } и M 1 {x1 , y1} ;
согласно формуле ( 2.5 ) имеем:
x 1
y2
. Избавимся от дроби:
2 1 3 2
( x 1) 3( y 2) . Раскрыв скобки и перенеся все члены в одну сторону,
получаем: x 3 y 7 0 . Ответ: x 3 y 7 0 .
Задача 2.2
Составить уравнение прямой, проходящей через точку M {1,2} параллельно прямой x 2 y 3 0 .
Решение: Так как искомая прямая по условию задачи должна быть параллельной исходной, это значит, что они имеют один угол наклона к оси x .
Угол наклона исходной прямой можно определить из формулы ( 2.6 ):
k A . Исходная прямая задана в общей форме, следовательно для нее
B
A 1; B 2 ; подставляя значения коэффициентов исходной прямой, находим k 0,5 . Обозначим координаты точки M как {x0 , y0 } , имеем x0 1 ,
y0 2 ; прямую, проходящую через эту точку, можно описать уравнением
с угловым коэффициентом ( 2.7 ); подставим в него известные значения,
получим: y 2 (0,5) ( x 1) . Проведя несложные преобразования, получим искомое уравнение: x 2 y 5 0 .
Замечание: можно было провести и другие рассуждения:
1.
Прямые должны быть параллельны, это значит, первые два коэффи-
циента в уравнении у них должны быть одинаковы ( k – имеет одно значение), следовательно, нужно найти только значение свободного члена C ; по
31
определению C Ax0 By0 , где A, B – известны из исходного уравнения:
A 1; B 2 , а {x0 , y0 } – координаты начального радиус-вектора.
Нормаль у параллельных прямых – общая, значит, начальный радиус
вектор можно провести через заданную точку M : r0 {x0 , y0 } ; подставив
2.
ее координаты в выражение для C , получаем: C 11 2 2 5 .
3.
Подставляем в искомое уравнение, получаем искомое уравнение.
Ответ: x 2 y 5 0 .
Задача 2.3
Составить уравнение прямой, проходящей через точку M {1,2} перпендикулярно прямой x 2 y 3 0 .
Решение: Искомая прямая является нормалью к заданной прямой, поэтому
для решения можно использовать уравнение в канонической форме (формула ( 2.4 )). В формуле: {m, n} – координаты направляющего вектора исходной прямой, в нашем случае они совпадают по значению с коэффициентами A, B из исходного уравнения: m A 1; n B 2 . {x0 , y0 } – координаты заданной точки, то есть x0 1 ; y0 2 . Подставляя значения в
формулу ( 2.4 ), получаем:
x 1 y 2
. Решая данное уравнение, получа
1
2
ем ответ. Ответ: 2 x y 0 .
Задача 2.4
Две стороны квадрата лежат на прямых 3x 4 y 22 0 и 3x 4 y 13 0 .
Вычислить его площадь.
Решение: Из заданных уравнений прямых следует, что они параллельны
(коэффициенты A и B – одинаковы). Для нахождения длины стороны
квадрата нужно найти расстояние от одной прямой до другой. Это можно
сделать, взяв точку на одной прямой и определить расстояние от нее до
другой прямой. Возьмем первую прямую: 3x 4 y 22 0 , пусть x 0 ,
32
подставив это значение в уравнение, получим уравнение относительно y ,
откуда найдем y 11 . Таким образом, получим точку, принадлежащую
2
первой прямой: M 0, 11 .
2
Расстояние от точки с известными координатами до прямой определяем с
помощью формулы ( 2.11 ): d
3 0 4 211 13
32 42
22 13
25
35
7.
5
Теперь определяем площадь: S d 2 7 2 49 . Ответ: S 49 .
Задача 2.5
По известным координатам вершин треугольника
A(4,4) , B(6,1) ,
C (2,4) записать для его сторон уравнения в общем виде и уравнение в
общем виде биссектрисы угла ABC .
Решение: Так как нам известны координаты вершин, то проще всего получить уравнение стороны в канонической форме – формула ( 2.4 ), от которого легко перейти к уравнению в общей форме. Для канонического уравнения нам нужны координаты точки, принадлежащей стороне и координаты направляющего вектора (параллельного рассматриваемому).
1. Найдем уравнение стороны AB . В качестве точки прямой можно взять
точку A с заданными координатами, а в качестве направляющего вектора
– вектор AB . Найдем координаты вектора AB :
AB {6 4,1 4} {10,5}
2. Тогда
каноническое
уравнение
стороны
AB
запишется
как:
x4 y4
, или x 2 y 4 0 .
10
5
3. Аналогично можно получить уравнения остальных сторон треугольника:
для
стороны
BC :
координаты
вектора
BC 2 6,4 1 4,3.
33
4. Откуда каноническое уравнение:
x (6) y (1)
. Следовательно,
4
3
общее уравнение: 3x 4 y 22 0 .
5. Для
стороны
CA :
координаты
направляющего
вектора
CA {(2) 4,(4) 4} {6, 8} .
6. Каноническое уравнение:
x (2) y (4)
, или 4 x 3 y 4 0 .
6
8
7. Выведем общее уравнение для биссектрисы. Известно, что биссектриса
делит угол пополам. Если на сторонах AB и BC треугольника отложить
орты (соответственно a и b ) и построить на них ромб, то диагональ ромба
также поделит угол пополам (по своему свойству) и, значит, ее можно будет взять направляющей биссектрисы. Вектор, построенный на диагонали
ромба, равен сумме векторов a и b ).
8. Для нахождения орта a необходимо знать координаты вектора
BA :
BA {4 (6),4 (1)} {10,5}, откуда BA (10)2 (5)2 125 5 5 и,
соответственно a определится как:
BA 2 1
a
, (Рис. 2.5).
BA 5 5
a
A
B
b
C
Рис. 2.5. Иллюстрация решения задачи 2.5
9. Аналогично определим орт b :
34
BC {2 (6),4 (1)} {4,3}; BC 42 (3)2 5 ;
BC 4 3
b
, . Теперь определим их сумму:
BC 5 5
2 4 1 3 10 4 5 5 3 5
a b
,
,
.
5 5
5 5 5 5 5 5
10. Тогда каноническое уравнение биссектрисы:
x (6)
y (1)
.
(10 4 5 )
(5 3 5 )
5 5
5 5
Ответ: 5 3 5 x 10 4 5 y (20 22 5 ) 0 .
2.3.
Уравнение плоскости
Пусть в декартовой системе координат имеется некоторая плоскость,
проходящая через точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , ее радиус-вектор будет иметь коор
динаты r0 {x0 , y0 , z0 } . Зададим на этой же плоскости точку M ( x, y, z ) с
радиус-вектором r {x, y, z} . Очевидно, что вектор r r0 также будет
находиться в заданной плоскости (Рис. 2.6).
r r0
r0
r
0
Рис. 2.6. Вектор r r0 на плоскости
35
Проведем перпендикуляр к плоскости N { A, B, C} . Скалярное про
изведение вектора r r0 с эти перпендикуляром будет равно 0:
r r0 , N 0 , или, в координатах:
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 .
( 2.1 )
Преобразуем данное уравнение: раскроем скобки и сгруппируем известные
Ax By Cz ( Ax 0 By 0 Cz 0 ) 0 ,
координаты:
обозначив
D Ax 0 By 0 Cz 0 , получим уравнение плоскости в общей форме:
Ax By Cz D 0 ,
( 2.2 )
где x, y, z – координаты любой точки на плоскости; x0 , y0 , z0 – координаты
фиксированной точки на плоскости; A, B, C – координаты нормали к плоскости. Если все коэффициенты общего уравнения не равны нулю, то уравнение ( 2.2 ) можно привести к виду:
x y z
0.
a b c
( 2.3 )
Уравнение плоскости в данном виде называется уравнением плоскости в
отрезках; в уравнении приняты обозначения:
aD , bD ,
A
B
c D ; отрезки a, b, c отсекаются плоскостью на осях координат.
C
Итак, плоскость в пространстве, как и прямая на плоскости, задается
уравнением первой степени относительно координат. Поэтому говорят, что
плоскость есть поверхность первого порядка.
Расстояние от точки M 0 x0 , y0 , z0 до поверхности, заданной формулой ( 2.3 ) определяется по формуле:
d
Ax0 By0 Cz0 D
A2 B 2 C 2
,
( 2.4 )
36
Двугранный
угол
между
плоскостями
A1 x B1 y C1 z 0
и
A2 x B2 y C2 z 0 совпадает с углом между их нормалями и вычисляется
по формуле:
N , N
cos
1
2
N1 N 2
A1 A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
,
( 2.5 )
Для ортогональных плоскостей будет справедливо утверждение:
N , N 0 или в координатной форме: A A
1
1 2
2
B1B2 C1C2 0 .
Для параллельных плоскостей выполняется условие пропорциональности координат нормалей:
выполняется условие
A1 B1 C1
. В частности, если, кроме того,
A2 B2 C2
A1 B1 C1 D1
, то плоскости совпадают.
A2 B2 C2 D2
Рассмотрим частные случаи расположения плоскости в декартовой
системе координат.
1. N i : нормаль к плоскости параллельна оси x . Поскольку i {1,0,0} для
нормали N имеем B C 0 и уравнение ( 2.5 ) принимает вид:
Ax D 0 . В этом случае плоскость параллельна координатной оси y0 z .
2. N j : проводя аналогичные рассуждения, получаем: By D 0 , плос-
кость параллельная оси x0 z .
3. N k : Cz D 0 , плоскость параллельная оси x0 y .
4. N i : вектор нормали лежит в плоскости y0 z , следовательно, плос-
кость параллельна оси x . В
N , i A 1 B 0 C 0 A .
5. N j : B 0 , параллельна оси y .
6. N k : C 0 , параллельна оси z .
этом
случае
A 0,
так
как
37
7. N r0 : это возможно лишь в случае, когда плоскость проходит через
начало координат. При этом D N r0 0 и плоскость задается уравне-
нием Ax By Cz 0 , которому удовлетворяет точка (0,0,0) .
2.3.1.
Примеры решения типовых задач: уравнение плос-
кости
Задача 2.6
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (1,2,3) параллельно плоскости x0 z .
Решение: 1) По условию, плоскость должна быть параллельна плоскости
x0 z , а это значит, ее уравнение принимает вид: By D 0 , где D By0 .
2) Нормаль этой плоскости должна быть N j , где j {0,1,0} , откуда B 1 ,
следовательно, общее уравнение принимает вид: y y0 0 , или y 2 0
(по условию y0 2 ). Ответ: y 2 0 .
Задача 2.7
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (1,2,3) параллельно плоскости 2 x y 2 z 8 0 .
Решение: 1) У параллельных плоскостей – общая нормаль, следовательно,
для искомой плоскости нормаль N {2,1,2} . 2) По формуле ( 2.1 ) получаем: 2 x (1) (1) y 2 2 z 3 0 , или 2 x y 2 z 2 0 .
Ответ: 2 x y 2 z 2 0 .
Задача 2.8
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (0,1,3) па
раллельно векторам l1 {1,4,2} и l2 2,2,1.
Решение: 1) Для решения необходимо знать координаты точки, принадлежащей искомой плоскости и нормаль к ней. Точка M 0 – известна, осталось
38
найти нормаль. 2) Так как по условию, искомая плоскость должна быть параллельна векторам, то ее нормаль должна быть к ним перпендикулярна:
N l1 и N l2 . 3) По свойству векторного произведения: если c [a , b ] ,
то c a и c b , значит в нашем случае, нормаль к исходным векторам
i
j k
есть их векторное произведение: N [l1 , l2 ] 1 4 2 8i 3 j 10 k , от2 2 1
куда координаты нормали: N {8,3,10}. 4) Подставляем найденные коор-
динаты и координаты фиксированной точки в уравнение ( 2.1 ), находим
общее уравнение: 8x 0 3 y (1) 10 z 3 0 . После преобразования
получим Ответ: 8x 3 y 10 z 33 0 .
Задача 2.9
Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами M 0 (1,2,3) , M 1 (1,2,2) , M 2 (3,4,5) .
Решение: 1) Проведем к точкам соответствующие радиус-векторы: r0 , r1 и
r2 . 2) Очевидно, что вектора r1 r0 и r2 r0 будут лежать в одной плоскости
и задача сводится к задаче, приведенной в предыдущем примере. 3) Координаты векторов:
r1 r0 {(1) 1,2 (2),2 3} {2,4,1}
r2 r0 {3 1,4 (2),5 3} {4,6,8}
Найдем координаты нормали:
i
j k
N [r1 r0 , r2 r0 ] 2 4 1 26i 12 j 4k
4 6 8
4)
5)
Подставляем найденные координаты и координаты фиксированной
точки M 0 в уравнение ( 2.1 ), находим общее уравнение:
26 x 1 12 y (2) 4 z 3 0 . Ответ: 13 x 6 y 2 z 5 0 .
39
Задача 2.10
Написать уравнение плоскости, проходящей через две точки M 0 (1,2,3) ,
M 1 (4,1,3) перпендикулярно плоскости x y z 1 0 .
Решение: 1) Для определенности положим, что M 0 – фиксированная точ
ка, радиус-вектор которой r0 ; M 1 – точка, с помощью которой строим век
тор r1 r0 , лежащий в искомой плоскости. Его координаты:
r1 r0 {4 1,1 2,3 3} {3,3,6} .
2)
Нормаль
плоскости
N1
x y z 1 0 имеет координаты N1 {1,1,1} , что следует из вида общего
уравнения плоскости ( 2.2 ). 3) Нормаль искомой плоскости перпендику
лярна вектору r1 r0 и нормали плоскости x y z 1 0 , то есть является
их векторным произведением: N [r1 r0 , N1 ] . Откуда:
i
j
k
N [r1 r0 , N1 ] 3 3 6 3i 9 j 6k , или N {1,3,2}} .
1 1
1
4) Подставим в общее уравнение плоскости ( 2.2 ) найденные значения координат нормали и фиксированной точки: 1 ( x 1) 3 ( y 2) 2 ( z 3) 0 .
Ответ: x 3 y 2 z 1 0 .
Задача 2.11
Записать уравнение плоскости, проходящей через точки
M 0 (2,1,0} ,
M 1 (2,2,1) и образующей с плоскостью x y 2 z 1 0 угол равный .
3
Решение: 1) Для определенности положим, что M 0 – фиксированная точ
ка, радиус-вектор которой r0 ; M 1 – точка, с помощью которой строим век
тор r1 r0 , лежащий в искомой плоскости. Его координаты:
r1 r0 {2 2,2 1,1 0} {0,1,1} .
2) Так как нормаль N искомой плоскости перпендикулярна этому вектору
N r0 r1 , то ( N , r0 r1 ) 0 . Скалярное произведение в декартовой системе ко40
ординат определяется по формуле: A 0 B 1 C 1, откуда получаем уравнение B C 0
3) Нормаль N1 плоскости x y 2 z 1 0 имеет координаты N1 {1,1,2} .
Подставим известные значения в формулу ( 2.4 ):
cos
3
1
2
A 1 B 1 C 2
A B C 1 1 2
2
2
2
2
2
,
2
или 2 A 2 B 4C 6 A2 B 2 C 2 .
1. Итак, имеем систему из двух уравнений относительно трех неизвестBC 0
ных:
.
2
2
2
2
A
2
B
4
C
6
A
B
C
2. Уменьшим число неизвестных, для чего разделим обе части на C :
B 1
C
2
2
,
A
B
A B
2
2
4
6
1
C
C C
C
3. Подставим выражение из первого уравнения во второе, получим:
2
A
A
A
2 2 (1) 4 6 (1) 2 1 , откуда 2 .
C
C
C
4. Получили пропорцию коэффициентов нормали: A : B : C 2 : (1) : 1,
откуда в качестве координат нормали возьмем N {2,1,1}.
5. Уравнение плоскости запишется в виде:
2 ( x 2) (1) ( y 1) 1 ( z 0) 0 . Ответ: 2 x y z 3 0 .
2.4.
Прямая в пространстве
Прямая в пространстве образуется пересечением двух плоскостей
(если их нормали не параллельны), таким образом, прямую в пространстве
можно задать системой уравнений:
41
A1 x B1 y C1 z D1 0
– общее уравнение.
A
x
B
y
C
z
D
0
2
2
2
2
( 2.1 )
Если заданы точка на прямой с радиус-вектором r0 {x0 , y0 , z0 } и
направляющий вектор l {m, n, p} , то для любой точки этой прямой мож-
но записать параметрическое уравнение:
x x0 mt
y y0 nt ,
z z pt
0
( 2.2 )
или каноническое уравнение:
x x0 y y0 z z0
,
( 2.3 )
m
n
p
Расстояние d от точки M 1 (r1 ) с радиус-вектором r1 до прямой
r r0 tl определяется по формуле:
[r1 r0 , l ]
d
,
( 2.4 )
l
где r0 – радиус-вектор фиксированной точки на прямой, а l - ее направля-
ющий вектор.
Расстояние между двумя прямыми r r1 tl1 и r r2 tl2 ( l1 и l2 – не
параллельны) вычисляется по формуле:
r2 r1 , l1 , l2
d
.
[l1 , l2 ]
( 2.5 )
Условие пересечения прямых: r r , l , l 0 .
2
1 1
2
Через прямую в пространстве проходит бесконечно много разных
плоскостей, поэтому прямую можно определить системой уравнений бесконечно многими способами.
Чтобы перейти от общего уравнения к параметрическому или каноническому, нужно найти фиксированную точку и направляющий вектор.
42
Так как прямая задана двумя уравнениями с тремя неизвестными, то
одну из координат можно положить равной любому числу (проще всего
нулю), затем решить систему относительно оставшихся двух неизвестных.
Может случиться так, что система окажется несовместной, то есть на прямой нет точки с такой координатой. В этом случае полагаем другую координату равной нулю (или некоторому числу), и вновь решаем систему относительно двух оставшихся неизвестных.
Направляющий вектор находится как векторное произведение
l [ N1 , N 2 ] .
2.4.1.
Примеры решения типовых задач: прямая в про-
странстве
Задача 2.12
Написать канонические и параметрические уравнения прямой, образованной пересечением плоскостей x y z 1 0 и 2 x 3 y 2 z 8 0 .
Решение: 1) Найдем координаты фиксированной точки. Из исходной си-
x y z 1 0
стемы уравнений
исключим z . Положим z 0 , тогда:
2
x
3
y
2
z
8
0
x y 1 0
, откуда находим: x 1, y 2 . Таким образом, нашли ко
2
x
3
y
8
0
ординаты фиксированной точки M 0 (1,2,0) .
2) Направляющий вектор определяется как векторное произведение нормалей двух плоскостей, образующих прямую:
i
j
k
l [ N1 , N 2 ] 1 1
1 i 4j k.
2 3 2
3)
Запишем
канонические
уравнения:
x 1 y (2) z 0
,
1
4
1
или
x 1 y 2 z
.
1
4
1
43
4) Обозначив
x 1 y 2 z
t , получаем параметрические уравнения:
1
4
1
x t 1 , y 4t 2 , z t .
Задача 2.13
Найти уравнение прямой, проходящей через точки A(1,1,1) и B(3,1,5) .
Решение: 1) Возьмем в качестве фиксированной точки точку A , тогда
направляющий вектор определится как l AB {2,0,4} .
2)
Тогда
канонические
уравнения
прямой
запишутся
как
x 1 y 1 z 1
. 3) В случае, когда в знаменателе канонических уравне
2
0
4
ний получается нуль, полагают равным нулю числитель, то есть одна из
плоскостей определится уравнением: y 1 0 . Ответ:
x 1 y 1 z 1
.
2
0
4
Задача 2.14
Вычислить расстояние от точки M (1,2,3) до прямой
x 2 y 1 z 1
.
3
0
4
Решение: 1) Для определения расстояния необходимо знать координаты
фиксированной точки прямой и ее направляющий вектор, что можно опре
делить сразу из заданного уравнения прямой: M 0 (2,1,1) и l {3,0,4} , то
гда радиус-вектор фиксированной точки прямой r0 {2,1,1} , а длина
l 32 02 42 5 . 2) Радиус-вектор исходной точки r {1,2,3} , тогда
r r0 {1,3,2} . 3) Найдем векторное произведение:
i
j k
[r r0 , l ] 1 3 2 12i 10 j 9k ,
3
0
4
откуда r r0 , l 12 2 10 2 (9) 2 5 13 .
44
4) Подставляем в формулу определения расстояния ( 2.4 ) найденные значения: d
5 13
13 . Ответ: 13 .
5
Задача 2.15
Найти точку пересечения плоскости x 2 y 3z 8 0 с прямой, заданной
общими уравнениями:
2 x 3 y z 3 0
.
x y 5 z 10 0
Решение: Решение сводится к решению системы трех уравнений с тремя
x 2 y 3z 8 0
неизвестными: 2 x 3 y z 3 0 , откуда находим x 3 , y 2 , z 3 .
x y 5 z 10 0
Ответ: M (3,2,3) .
Задача 2.16
Найти точку пересечения плоскости x y 3z 1 0 с прямой, заданной
каноническими уравнениями:
x 1 y 2 z
.
1
1
2
Решение: Можно было бы перейти от канонических уравнений к общему
виду и свести задачу к рассмотренной в предыдущем примере. Но можно
рассуждать и по-другому. Точка пересечения должна принадлежать и прямой и плоскости, то есть можно подставить выражения для x, y, z из канонического уравнения в уравнение плоскости и определить их.
1. Перейдем к параметрическим уравнениям прямой:
x 1 y 2 z
t , откуда x t 1, y t 2 , z 2t .
1
1
2
2. Подставим найденные выражения в уравнение плоскости:
(t 1) (t 2) 3 2t 1 0 , откуда t 0 .
45
3. Подставляем в выражения для x, y, z , находим ответ: x 1 , y 2 ,
z 0 . Ответ: искомая точка M (1,2,0) .
2.5.
Кривые второго порядка
Всякую кривую второго порядка можно описать уравнением вида:
Ax 2 By 2 Cxy Dx Ey F 0 ,
( 2.1 )
где A, B, C, D, E, F – константы.
В зависимости от соотношения этих констант получаются уравнения
окружности, эллипса или гиперболы. В частности, если A B 0 и C 0 ,
уравнение
(
описывает
2.1 )
уравнение
окружности:
Ax 2 By 2 Dx Ey F 0 , или, выделив полный квадрат:
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 R 2 0 ,
( 2.2 )
Если уравнение ( 2.1 ) разлагается на два линейных множителя, то
оно определяет пару прямых, которые могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.
Определение 2.2. Эллипсом называется геометрическое место точек
плоскости, для которых сумма расстояний до двух заданных точек плоскости, есть величина постоянная. Эти фиксированные точки плоскости называются фокусами эллипса.
y
A
b
M x, y
B
p
C
F1
a
F2
2c
x
директриса
директриса
d
D
Рис. 2.7. Эллипс
46
На Рис. 2.7 обозначены: A, B, C, D – вершины эллипса; AC – большая ось 2a ; BD – малая ось 2b ; F1 и F2 – фокусы эллипса, лежащие на большой оси по обе стороны от центра на расстоянии c a 2 b 2
b2
от него; p
– фокальный параметр (половина хорды, проведенной чеa
рез фокус параллельно малой оси). Величина
c
– называется эксценa
триситетом эллипса. Директрисы – это прямые, параллельные малой оси и
находящиеся от нее на расстоянии d
a
.
Каждое из расстояний от точки M до фокусов определяется по формулам: r1 MF1 a x , r2 MF2 a x , r1 r2 2a .
Каноническое уравнение эллипса записывается как:
x2 y 2
1,
a 2 b2
( 2.3 )
Определение 2.3. Гиперболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух заданных
точек (фокусов) есть величина постоянная, равная 2a .
y
r2
A1 (a,0)
M ( x, y )
r1
A2 (a,0)
2b
F1 ( c,0)
F2 (c,0)
x
2a
Рис. 2.8. Гипербола
47
Точки, для которых выполняется условие r1 r2 2a , принадлежат
одной ветви гиперболы (на Рис. 2.8 - правой). Точки, для которых
r2 r1 2a принадлежат другой ветви гиперболы (на Рис. 2.8 - левой). На
Рис. 2.8 a – действительная полуось, b – мнимая полуось гиперболы
2b 2
b
c 2 a 2 ; прямые y x – асимптоты гиперболы; F1 и F2 - фокуa
сы гиперболы. Точки A1 (a,0) , A2 (a,0) называются вершинами гиперболы.
Эксцентриситет гиперболы вычисляется по формуле
x
a
c
; прямые
a
перпендикулярны к действительной оси и называются директриса-
ми гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы записывается следующим образом:
x2 y 2
1.
a 2 b2
( 2.4 )
Определение 2.4. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) плоскости.
Элементами параболы являются: OX – ось параболы; p – параметр
параболы - расстояние между фокусом и директрисой; O – вершина параболы; F – фокус параболы (точка, лежащая на расстоянии p от верши2
ны); уравнение директрисы x p
2
(Рис. 2.9).
48
y
p
2
M ( x, y )
O
F
x
Рис. 2.9. Парабола
Каноническое уравнение параболы записывается как:
y 2 2 px .
( 2.5 )
2.5.1. Примеры решения типовых задач: кривые второго
порядка
Задача 2.17
Найти
центр
и
радиус
окружности,
заданной
уравнением
x2 2 y2 x 3 y 1 0 .
Решение: Приведем исходное уравнение к виду ( 2.2 ): выделим полные
квадраты по x и y , для этого разобьем свободный член на элементы:
x
2
x 1 2 y 2 3 y 9 1 1 9 0 , или
4
8
4
8
x 1
2
2 y 3
2
2 2
2
3 .
2
Согласно уравнению ( 2.2 ) получаем
, радиус= 3 .
Ответ: координаты центра 1 , 3
2 2
2
Задача 2.18
49
Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, описываемого
уравнением x 2 9 y 2 21 .
Решение:
1. Приведем уравнение к виду ( 2.3 ): перепишем в виде:
x 2 y 2 21
, откуда a 3 , b 1.
9
1
9
2. Определяем расстояние фокусов от центра:
c
32 12
2 2 , то есть F1 2 2 ,0 , F2 2 2 ,0 .
3. Эксцентриситет данного эллипса определяем по формуле:
c
8 2 2
2 2
. Ответ: F1 2 2 ,0 , F2 2 2 ,0 ,
.
a
3
3
3
Задача 2.19
Написать уравнение гиперболы, если ее фокусы находятся в точках
F1 (2,0) , F2 2,0 , а длина ее действительной оси равна 1.
Решение:
1. Для записи уравнения гиперболы в виде ( 2.4 ) необходимо знать величины a и b . Величина a 1 по условию задачи (длина вещественной оси).
Определим величину b .
2. Из условия задачи можно определить величину c . Это первая координата фокуса, то есть c 2 .
3. По формуле b 2 c 2 a 2 определяем величину b : b 22 12 3
y2
1.
4. Подставляем в уравнение ( 2.4 ), получаем Ответ: x
3
2
Задача 2.20
Вывести каноническое уравнение параболы, если известно, что ее вершина
расположена в начале координат, она расположена симметрично оси 0 X ,
и проходит через точку 1,3 .
Решение:
50
1. По условию парабола симметрична оси 0 X и вершина расположена в
центре координат, следовательно, для нахождения параметра параболы
можно воспользоваться каноническим уравнением ( 2.5 ).
2. Подставим в уравнение ( 2.5 ) координаты точки, через которую про2
ходит парабола: 3 2 p 1, откуда p 9 .
2
3. Следовательно,
уравнение
параболы
можно
записать
как
y 2 2 9 x 2 . Ответ: y 2 9x 2 .
2
3. Контрольная работа 1. Часть 1.
При выполнении контрольных заданий обязательно указывать
название темы и номер задания, даже если задание не выполнено.
Вариант 1.1
Задание 1. Определить скалярное произведение c a, b векторов,
если a e1 3e2 , b 2e1 e2 , e1 1 , e2 2 , e1 , e2
.
6
Задание 2. Вычислить [a , b ] , если a 3e1 2e2 , b e1 e2 ,
e1 1 ,
e2 1 , e1 , e2 .
3
Задание 3. Определить смешанное произведение
a 2i j k , b i j k , c i j k .
a, b , c ,
если
Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через
точки 1,1 и 3,8 .
Задание 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через две
точки M 0 (1,2,4) , M 1 (1,5,2) перпендикулярно плоскости x 2 y z 5 0 .
Задание 6. Написать уравнение плоскости, проходящей через три
точки с координатами M 0 (2,5,0) , M 1 (1,4,2) , M 2 (3,2,1) .
51
Задание 7. Вывести каноническое уравнение параболы, если известно, что ее вершина расположена в начале координат, она расположена
симметрично оси 0 X , и проходит через точку 2,2 .
Вариант 1.2
Задание 1. Определить скалярное произведение c a, b векторов,
если a e1 2e2 , b 2e1 e2 , e1 1 , e2 1 , e1 , e2 .
4
Задание 2. Вычислить [a , b ] , если a e1 2e2 , b e1 e2 , e1 2 ,
e2 1 , e1 , e2 .
6
Задание 3. Определить смешанное произведение
a i j , b j k , c 2i j k .
a, b , c ,
если
Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через
точки 0,2 и 3,1 .
Задание 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
M {3,1} параллельно прямой 3x y 1 0 .
Задание 6. Найти точку пересечения плоскости x y 2 z 0 с прямой, заданной каноническими уравнениями:
x 2 y 2 z 1
.
3
5
2
Задание 7. Написать уравнение гиперболы, если ее фокусы находятся в точках F1 (1,0) , F2 1,0 , а длина ее действительной оси равна 8.
Вариант 1.3
Задание 1. Определить скалярное произведение c a, b векторов,
если a 2e1 3e2 , b e1 4e2 , e1 2 , e2 1 , e1 , e2 .
4
52
Задание 2. Вычислить [a , b ] , если a 2e1 2e2 , b e1 2e2 , e1 1 ,
e2 1 , e1 , e2 .
4
Задание 3. Определить смешанное произведение
a 3i 2 j , b i j k , c 2i j k .
a, b , c ,
если
Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через
точки 2,8 и 5,6 .
Задание 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
M {9,0} перпендикулярно прямой 3x 4 y 1 0 .
Задание 6. Найти точку пересечения плоскости 2 x z 6 0 с прямой, заданной каноническими уравнениями:
x 1 y 1 z 2
.
3
4
3
Задание 7. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса,
описываемого уравнением 3x 2 9 y 2 2 .
Вариант 1.4
Задание 1. Определить скалярное произведение c a, b векторов,
если a e1 2e2 , b e1 e2 , e1 2 , e2 1 , e1 , e2
.
6
Задание 2. Вычислить [a , b ] , если a e1 2e2 , b e1 e2 , e1 1 ,
e2 1 , e1 , e2 .
4
Задание 3. Определить смешанное произведение
a i 2 j k , b i 2 j , c i k .
a, b , c ,
если
Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через
точки 2,6 и 1,4 .
53
Задание 5. Вычислить площадь квадрата, если две его стороны лежат
на прямых x 2 y 5 0 и x 2 y 3 0 .
Задание 6. Найти точку пересечения плоскости x y z 4 0 с
прямой, заданной общими уравнениями:
x 2y z 3 0
.
2 x y 2 z 9 0
Задание 7. Найти центр и радиус окружности, заданной уравнением
x2 y2 2x 4 y 8 0 .
Вариант 1.5
Задание 1. Определить скалярное произведение c a, b векторов,
если a e1 e2 , b e1 2e2 , e1 1 , e2 2 , e1 , e2 .
4
Задание 2. Вычислить [a , b ] , если a e1 e2 , b 2e1 3e2 , e1 3 ,
e2 1 , e1 , e2 .
6
Задание 3. Определить смешанное произведение
a 2i 2k , b i j , c j k .
a, b , c ,
если
Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через
точки 0,1 и 1,2 .
Задание 5. По известным координатам вершин треугольника A(1,1) ,
B(2,1) , C (0,3) записать для его сторон уравнения в общем виде и уравне-
ние в общем виде биссектрисы угла ABC .
Задание 6. Найти точку пересечения плоскости 2 x y 2 z 5 0 с
прямой, заданной каноническими уравнениями:
x 1 y 4 z
.
1
1
3
54
Задание 7. Найти координаты фокусов, вершин и уравнения асимптот гиперболы 2 x 2 9 y 2 18 .
Вариант 1.6
Задание 1. Определить скалярное произведение c a, b векторов,
если a e1 e2 , b 2e1 3e2 , e1 2 , e2 1 , e1 , e2 .
3
Задание 2. Вычислить [a , b ] , если a e1 e2 , b 3e1 2e2 , e1 1 ,
e2 3 , e1 , e2 .
4
a, b , c ,
Задание 3. Определить смешанное произведение
a i 2 j k , b i j k , c i 2k .
если
Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через
точки 3,8 и 2,6 .
Задание 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
M 0 (0,1,4) параллельно плоскости x0 z .
Задание 6. Найти точку пересечения плоскости 3x 4 y 5 z 1 0 с
прямой, заданной общими уравнениями:
x y z 1 0
.
x
y
2
z
2
0
Задание 7. Написать уравнение гиперболы, если ее фокусы находятся в точках F1 3,0 и F2 3,0 , а длина действительной полуоси равна 4 .
Вариант 1.7
Задание 1. Определить скалярное произведение c a, b векторов,
если a 2e1 e2 , b e1 2e2 , e1 1 , e2 1 , e1 , e2
.
6
55
Задание 2. Вычислить [a , b ] , если a e1 e2 , b e1 3e2 , e1 3 ,
e2 1 , e1 , e2 .
3
Задание 3. Определить смешанное произведение
a i 3j, b i j k , c j k .
a, b , c ,
если
Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через
точки 1,0 и 2,1 .
Задание 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
M 0 (0,2,1) параллельно плоскости x 3 y 2 z 1 0 .
Задание 6. Вычислить расстояние от точки M (3,1,6) до прямой
x 1 y 2 z 3
.
2
4
5
Задание 7. Найти координаты фокусов, вершин и уравнение асимптот гиперболы 5 x 2 6 y 2 30 .
Вариант 1.8
Задание 1. Определить скалярное произведение c a, b векторов,
если a 3e1 e2 , b 2e1 e2 , e1 1 , e2 3 , e1 , e2 .
4
Задание 2. Вычислить [a , b ] , если a 3e1 e2 , b 2e1 e2 , e1 2 ,
e2 1 , e1 , e2 .
6
Задание 3. Определить смешанное произведение
a i 2 j k , b i j k , c i 3k .
a, b , c ,
если
Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через
точки 3,2 и 6,4 .
56
Задание 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
M 0 (2,2,2) параллельно векторам l1 {1,1,2} и l2 0,2,2.
Задание 6. Найти уравнение прямой, проходящей через точки
A(2,0,5) и B(1,6,3) .
Задание 7. Найти полуоси, координаты фокусов, уравнения директрис и эксцентриситет эллипса x 2 4 y 2 4 .
Вариант 1.9
Задание 1. Определить скалярное произведение c a, b векторов,
если a 5e1 e2 , b e1 e2 , e1 2 , e2 1 , e1 , e2 .
4
a
Задание 2. Вычислить [a , b ] , если e1 e2 , b 2e1 3e2 , e1 1 ,
e2 1 , e1 , e2 .
3
Задание 3. Определить смешанное произведение
a j k , b i j , c 2i 3 j k .
a, b , c ,
если
Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через
точки 4,1 и 0,4 .
Задание 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через три
точки с координатами M 0 (1,1,0) , M 1 (1,1,2) , M 2 (6,2,1) .
Задание 6. Написать канонические и параметрические уравнения
прямой, образованной пересечением плоскостей 3x 2 y 3z 6 0 и
x 3 y 2z 6 0 .
Задание 7. Написать каноническое уравнение параболы, расположенной симметрично оси OX , имеющей вершину в начале координат и
проходящей через точку D3,2 .
57
Вариант 1.10
Задание 1. Определить скалярное произведение c a, b векторов,
если a e1 e2 , b 3e1 e2 , e1 3 , e2 2 , e1 , e2 .
3
Задание 2. Вычислить [a , b ] , если a 3e1 2e2 , b e1 e2 , e1 2 ,
e2 1 , e1 , e2 .
4
Задание 3. Определить смешанное произведение
a i j k , b j k , c i 3k .
a, b , c ,
если
Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через
точки 2,4 и 1,3 .
Задание 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через две
точки
M 0 (2,2,2) ,
M 1 (1,3,5)
перпендикулярно
плоскости
2x 5 y z 4 0 .
Задание 6. Вывести общее уравнение плоскости, проходящей через
точку M 0 (0,1,2) параллельно векторам l1 {1,5,3} и l2 2,4,4.
Задание 7. Найти полуоси, координаты фокусов, уравнения директрис и эксцентриситет эллипса 2 x 2 8 y 2 16 .
Пример выполнения контрольной работы 1 (часть 1)
Задание 1. Определить скалярное произведение c a, b векторов, если
3.1.
a e1 e2 , b 2e1 e2 , e1 2 , e2 1 , e1 , e2 .
3
Решение: Подставим в скалярное произведение выражения векторов через
a
их базисы: , b e1 e2 , 2e1 e2 , по свойствам скалярного произве-
дения, имеем:
58
e1 e2 ,2e1 e1 e2 , e2 2e1 , e1 e2 , e1 e1 , e2 e2 , e2
2
2
2e1, e1 e1, e2 e2 , e2 2 e1 e1, e2 e2
1
2
2
2 2 2 1 cos 1 8 2 1 6 . Ответ: c 6 .
3
2
Задание 2. Вычислить [a , b ] , если a 2e1 2e2 , b e1 2e2 , e1 1 ,
e2 1 , e1 , e2 .
4
Решение: Исходные вектора заданы через аффинный базис, поэтому, запишем их векторное произведение через соответствующие базисные век
тора: a , b 2e1 2e2 , e1 2e2 2e1 , e1 2e2 , e1 4e1 , e2 4e2 , e2 {ис-
пользуя свойства векторного произведения, имеем}
2e2 , e1 4e2 , e1 6e2 , e1 6 11 sin
4
[
a
,b] 3 2 .
3 2 . Ответ:
Задание 3. Определить смешанное произведение a, b , c , если a i j ,
b i k , c 2i j k .
Решение: Так как векторы заданы в декартовом базисе, то смешанное произведение находится по формуле:
xa
a , b , c xb
xc
ya
yb
yc
za 1 1 1
0 1
1 1
zb 1 0 1 1
1
1 2
2 2
zc 2 1 2
1 0
1 1 0 1 2 2 1 1 0 1 4 1 6 .
2 1
Ответ: a, b , c 6 .
1
Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через точки
1,1 и 1,4 .
59
Решение: Обозначим точку с координатами 1,1 как M 0 x0 , y0 , а точку с координатами 1,4 как M 1 x1 , y1, тогда каноническое уравнение
прямой, проходящей через данные точки запишется в виде:
x 1
y 1
.
1 1 1 4
Преобразуем полученное уравнение: 3 x 1 2 y 1
3x 3 2 y 2 3x 2 y 1 0 .
Ответ: 3x 2 y 1 0 .
Задание 5. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через точку
A1,1,5 параллельно оси OX и перпендикулярно к плоскости
2x 2 y z 4 0 .
Решение: Обозначим нормаль плоскости 2 x 2 y z 4 0 как N1 , а нормаль искомой плоскости как N . Так как искомая плоскость по условию задачи перпендикулярна плоскости 2 x 2 y z 4 0 , то их нормали будут
также перпендикулярны N N1 .
Возьмем на оси OX единичный вектор i 1,0,0. По условию искомая
плоскость параллельна оси OX , значит, ее нормаль и единичный вектор
будут перпендикулярны N i .
По определению векторного произведения имеем:
i j k
0 0 1 0 1 0
N i , N1 1 0 0 i
j
k
1 5
1 5
1 1
1 1 5
i 0 j 5 k 1 5 j k , откуда N 0,5,1.
Подставим в общее уравнение плоскости координаты ее точки и нормали,
получаем: 0 x 1 5 y 1 1 z 5 0 или 5 y z 0 .
Ответ: 5 y z 0 .
Задание 6. Вывести общее уравнение плоскости, проходящей через точку
M 0 (1,2,0) параллельно векторам l1 {2,1,2} и l2 0,4,3.
60
Решение: Пусть нормаль искомой плоскости есть N A, B, C. По условию задачи искомая плоскость параллельна заданным векторам, следова
тельно, ее нормаль перпендикулярна к ним: N l1 и N l2 , и откуда следует, что нормаль есть их векторное произведение:
i j k
1 2 2 2 2 1
N [l1 , l2 ] 2 1 2 i
j
k
, 5i 6 j 8k , откуда
4 3
0 3
0 4
0 4 3
координаты нормали: N {5,6,8} . Подставим найденные координаты
нормали и координаты фиксированной точки M 0 (1,2,0) в общее уравнение
плоскости,
получим:
5 x 1 6 y 2 8 z 0 0 ,
или
5 x 6 y 8 z 17 0 .
Ответ: 5 x 6 y 8 z 17 0 .
Задание 7. Для гиперболы 3x 2 4 y 2 12 найти действительную и мнимую
полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет.
Решение:
Приведем
исходное
уравнение
к
каноническому
виду:
3x 2 4 y 2
x2 y 2
1 или
1 , откуда действительная полуось a 4 2 ,
12
12
4
3
мнимая полуось b 3 , эксцентриситет
a 2 b2
43
7
, коор
a
2
2
динаты фокусов определяются значением величины c a 2 b 2 7 :
F1 7 ,0 и F2
7 ,0 . Ответ: a 2 , b 3 ,
7
, F1 7 ,0 , F2
2
7 ,0 .
4. Линейная алгебра
В данном разделе рассматриваются такие объекты, как матрицы и
действия над ними, а также определители, которые затем используются
для решения систем линейных уравнений.
61
4.1.
Матрицы
Определение 4.1.
Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел,
состоящая из n строк и m столбцов. Числа, из которых состоит матрица,
называются ее элементами и нумеруются двумя индексами, обозначающими соответственно номер строки и номер столбца, в которых расположен этот элемент.
В общем виде матрица обозначается так:
a11
a
A 21
...
an1
a12
a22
...
an 2
... a1m
a11
a
... a2 m
21
или A
...
... ...
... anm
an1
a12
a22
...
an 2
... a1m
... a2 m
,
... ...
... anm
или кратко одной буквой A , или aij aij , i 1,..., n; j 1,..., m , где первый
индекс: i – индекс, обозначающий номер строки, второй индекс: j – номер столбца, в котором расположен элемент aij .
В частности, если матрица содержит одну строку и несколько столб-
n 1, m 1 матрица
строка): A a1 ,..., am .
цов
называется матрицей-строкой (или вектор-
Если же матрица содержит несколько строк и один столбец
n 1, m 1 , то матрица называется
матрицей-столбцом (или вектором-
a1
столбцом): A ... . Если m n , то матрицу называют квадратной поa
n
рядка n .
Определение 4.2. Две матрицы называются равными, если они
имеют одинаковую размерность и числа, стоящие на соответствующих местах этих матриц, равны.
62
Определение 4.3. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается как O .
Определение 4.4. Единичной называют матрицу, у которой по главной диагонали расположены единицы, а все остальные элементы равны
1
0
нулю: E
...
0
0
1
...
0
...
...
...
...
0
0
.
...
1
Определение 4.5. Матрица AT , полученная из матрицы A заменой
строк столбцами с теми же номерами и наоборот, называется транспонированной по отношению к матрице A :
a11
a21
Если A
...
an1
a12
a22
...
an 2
... a1m
a11
... a2 m
a12
T
A
,
то
...
... ...
... anm
a1m
a21
a22
...
a2 m
... an1
... an 2
.
... ...
... anm
Определение 4.6. Треугольной называется матрица, у которой все
элементы, расположенные ниже (или выше) элементов главной диагонали,
равны нулю. Например, A и B – две треугольные матрицы:
a11
a
A 21
...
an1
0
a22
...
an 2
... 0
b11 b12
... 0
0 b22
B
,
... ...
... ...
... ann
0
0
... b1n
... b2 n
.
... ...
... bnn
Определение 4.7. Диагональной называется матрица, у которой все
элементы, кроме расположенных на главной диагонали, равны нулю:
c11 0
0 c22
C
... ...
0
0
... 0
... 0
.
... ...
... cnn
Основные операции над матрицами
63
Определение 4.8. Суммой матриц A и B одинаковой размерности
называется матрица C такой же размерности, элементы которой равны
суммам соответствующих элементов матриц A и B :
cij aij bij .
( 4.1 )
Обозначают операцию сложения как C A B .
Пример 4.1. Найти сумму матриц
2 3
,
A и B , где A
1 5
1 2
.
B
0 3
Решение:
2 3 1 2 2 1 3 2 3 5
1
5
0
3
1
0
5
(
3
)
1
2
3 5
Ответ: C
.
1
2
Определение 4.9. Результатом умножения матрицы A на число
является матрица С (такой же размерности, что и исходная), у которой
элементы равны соответствующим элементам исходной матрицы, умноженным на это число: C A или cij aij
3 1
Пример 4.2. Найти матрицу C A , где A
, 5 .
2 6
3 1 5 3 5 1 15 5
Решение: C A 5
.
2 6 5 2 5 6 10 30
15 5
.
Ответ: C
10
30
Определение 4.10. Разность матриц
A
и
B
определяется через
введенные выше операции: С B A A (1) B .
64
2 3
Пример 4.3. Найти разность матриц С B A : A
и
1
4
3 2
.
B
1
1
3 2 2 3 1 1
Решение: C B A
.
1 1 1 4 0 3
1 1
Ответ: C
.
0
3
Определение
i 1,2,...n, k 1,2,... p
4.11.
Пусть
и B bkj
даны
k 1,2,..., p,
две
матрицы
A aik
j 1,2,..., m , причем число
столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B . Произведением A на
B называется матрица C , элементы которой находятся по формуле:
p
cij aik bkj , i 1,..., n; j 1,..., m .
k 1
Пример 4.4. Найти произведение двух матриц:
1 2
A 3 4 и
5 6
1 1 0 2
.
B
3
1
2
1
Решение:
1 2
1 1 0 2
C 3 4
3
1
2
1
5 6
1 1 2 3 1 (1) 2 1 1 0 2 2 1 2 2 (1)
3 1 4 3 3 (1) 4 1 3 0 4 2 3 2 4 (1)
5 1 6 3 5 (1) 6 1 5 0 6 2 5 2 6 (1)
7 1 4 0
15 1 8 2 .
23 1 12 4
7 1 4 0
Ответ: C 15 1 8 2 .
23 1 12 4
65
Правило умножения матриц иногда формулируют так: чтобы получить элемент, стоящий в i -той строке и j -том столбце матрицы равной
произведению двух матриц, нужно элементы i -той строки первой матрицы
умножить на соответствующие элементы j -того столбца второй матрицы
и полученные произведения сложить. Отсюда становится понятно, что
требование одинаковых размерностей по столбцам первой матрицы и
строкам второй матрицы является важным условием для существования
произведения этих матриц.
В частности, при умножении вектора-строки и вектора-столбца одинаковой размерности получится число (равное скалярному произведению
b1
b2
векторов): a1 , a2 ,...an a1 b1 a2 b2 ...an bn . Наоборот, если пере...
bn
множить вектор-столбец на вектор-строку получится квадратная матрица:
b1
b1 a1 b1 a2
b2
b2 a1 b2 a2
a
,
a
,...
a
n
... 1 2
...
...
bn
bn a1 bn a2
... b1 an
... b2 an
.
...
...
... bn an
Перечислим свойства операций над матрицами:
1) A B B A
10) A B B A
2) A B C A B C
11) ( A B) A B AB
3) A O O A
12) ABC AB C
4)
Для
матрицы
A (1) A : 13) A B C AC BC ;
A ( A) ( A) A O
C A B CA CB .
5) A A
14) A B AT BT
6) A A A
T
15) AB BT AT
T
66
7) A B A B
16) Для любой квадратной матрицы
8) O A O ; O O
AE EA A .
9) 1 A A ; ( ) A A
Замечание. Относительно свойств 12) и 13) заметим, что если действия, указанные по одну сторону равенств, возможны, то возможны и
действия, указанные по другую сторону равенства, и результаты в обеих
частях одинаковы.
Определитель матрицы. Необходимость во введение понятия
определителя связано с решением систем линейных уравнений. Обозначается определитель как , или A , или det A .
Определение 4.12. Определителем матрицы первого порядка
A a11 , или определителем первого порядка называется элемент a11 :
1 a11 .
Определение 4.13. Определителем матрицы второго порядка
A
a11
a21
a12
называется число, определяемое как разность между произa22
ведением элементов главной диагонали и произведением элементов побочной диагонали: 2 a11 a22 a12 a21 .
7 5
Пример 4.5. Вычислить определитель матрицы 2-го порядка:
.
1
3
Решение: По формуле для вычисления определителя 2-го порядка
имеем:
7 5
7 3 1 5 21 5 16 .
1 3
Ответ: 16.
Определение 4.14. Определителем матрицы третьего порядка называется число, определяемое по формуле:
3 det A a11 a22 a33 a12 a23 a31 a21 a32 a13 a31 a22 a13
a12 a21 a33 a32 a23 a11 .
67
В данное выражение входит ровно по одному элементу из каждой
строки и каждого столбца матрицы. Можно не запоминать данное выражение, так как в дальнейшем выведем более простое правило нахождения
определителя любого порядка n .
Определение 4.15. Минором произвольного элемента a ij матрицы
называется определитель M ij , который получается вычеркиванием i -той
строки и j -того столбца, на пересечении которых расположен данный
элемент.
Определение 4.16. Алгебраическим дополнением элемента a ij
определителя матрицы называется его минор, взятый со знаком 1
i j
Алгебраическое
Aij 1
i j
дополнение
обозначается
как
Aij ,
.
следовательно:
M ij .
Пример 4.6. Найти минор и алгебраическое дополнение элемента
a 23
1 5 3
определителя матрицы: A 4 0 7 .
2 9 6
Решение: 1) Элемент, для которого ищем минор и алгебраическое
дополнение, находится на пересечении 2-ой строки и 3-го столбца: a23 7 .
2) Для нахождения его минора вычеркнем эти строку и столбец из определителя
M 23
матрицы
и
запишем
оставшиеся
элементы:
1 5
1 9 2 5 1 . 3) Тогда алгебраическое дополнение элемента
2 9
a 23 определится как: A23 (1) 23 M 23 (1)5 (1) 1.
Ответ: A23 1 .
Вычисление определителя квадратной матрицы произвольного порядка осуществляется согласно следующей теореме.
68
Теорема 4.1 (теорема Лапласа). Определитель матрицы
A равен
сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их
алгебраические дополнения: det A ai01 Ai01 ai0 2 Ai0 2 ... ai0n Ai0n , где i0
- фиксировано. Данное выражение еще называют разложением определителя D по элементам строки с номером i0 . Аналогично можно записать
разложение определителя по элементам фиксированного столбца:
a1 j0 A1 j0 a2 j0 A2 j0 ... amj0 Amj0 .
2 4 6
Пример 4.7. Вычислить определитель: D 5 2 1 .
3 9 7
Решение: Для вычисления разложим определитель по элементам
первой строки: D 2
2 1
5 1
5 2
4
6
2 5 4 32 6 39 116 .
9 7
3 7
3 9
Ответ: D 116 .
1
3
Пример 4.8. Вычислить определитель: D
3
0
2
0
2
3
0
5
1
2
1
2
.
4
1
Решение: Для вычисления разложим определитель по элементам
первой
1
3
D
3
0
строки:
2
0
2
3
0
5
1
2
1
3 0 5
0 5 2
3 5 2
3 0 2
2
1 2 1 4 2 3 1 4 0 3 2 4 1 3 2 1
4
3 2 1
0 2 1
0 3 1
0 3 2
1
Далее разложим каждый определитель 3-го порядка по элементам соответствующих первых строк:
69
2 4
2 1
3 4
3 1
1 4
1 4
2 3
1 0
5
2
5
2
2 1
2
1
3
1
3
2
0
1
0
2
3 1
3 2
2 1
1 5 10 2 1
0 1 3
0
5
3
2
0
2
0
3
2 3 7 5 3 2 6 1 3 1 5 9 52 .
Ответ: D 52 .
Таким образом, вычисление определителя 3-го порядка сводится к
вычислению трех определителей второго порядка. Вычисление определителя 4-го порядка сводится к вычислению четырех определителей третьего
порядка и т.д. Можно сказать, что вычисление определителя n -го порядка
сводится к вычислению определителей меньшего порядка, но при этом,
число этих определителей увеличивается. Такой способ является неэффективным.
Приведем ряд свойств, которые позволяют определить другой способ вычисления определителя n -го порядка.
1)
Определитель равен нулю, если содержит две одинаковые строки (или
два одинаковых столбца) или нулевую строку (нулевой столбец).
2)
Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).
3)
При умножении строки (столбца) на число определитель умножается
на это число.
4)
Определитель не меняется, если к строке (столбцу) прибавить любую
другую строку (столбец), умноженный на произвольное число.
5)
Определитель квадратной транспонированной матрицы равен опреде-
лителю исходной матрицы.
6)
Определитель единичной матрицы равен единице: det E 1.
7)
Определитель произведения матриц равен произведению определите-
лей: A B A B .
70
Исходя из этих свойств, можно упростить вычисление определителя
n -го порядка, а именно, с их помощью определитель последовательно
преобразуют к такому виду, чтобы в какой-нибудь строке (столбце) все
элементы, кроме одного, стали нулевыми. Затем вычисляют определитель
разложением по этой строке (столбцу).
Пример 4.9. Вычислить определитель из предыдущего примера:
1
3
D
3
0
2
0
2
3
0
5
1
2
1
2
.
4
1
Решение: Задача состоит в том, чтобы получить как можно больше
нулей в какой-нибудь из строк или столбцов, и, затем разложить по этой
строке (столбцу) определитель. Получим нуль в первой строке в первом
столбце. Для этого умножим элементы четвертого столбца на (-1) и сложим с элементами первого столбца, при этом определитель не изменится:
1
3
D
3
0
2
0
2
3
0
5
1
2
1
0
2
1
4 1
1 1
2
0
2
3
0
5
1
2
1
2
{Умножим четвертый столбец на (-2) и
4
1
0
0 0
1 4 5
сложим со вторым столбцом}
1 6 1
1 1 2
первой
строке
полученный
1
2
{Теперь разложим по
4
1
1 4
определитель} 1 1
1 4 5
1 6 1
1 1 2
1 4 5
1 1 6 1 {По аналогии с предыдущими рассуждениями преоб1 1 2
разуем определитель третьего порядка так, чтобы элемент, находящийся в
71
первой строке и первом столбце оказался равным нулю. Для этого сложим
0 10 6
элементы первой и второй строк} 1 1 6 1 {Получим еще
1 1
2
один нуль. Это удобно сделать либо с элементами первой строки, либо
первого столбца. В данном случае удобнее обнулить элемент во второй
строке первом столбце. Для этого умножим вторую строку на (-1) и сло0 10 6
жим с третьей строкой} 1 0 7 1 {Разложим определитель по
1 1
2
элементам первого столбца} 1 1 131
10 6
1 10 42 52 .
7 1
Ответ: D 52 .
Как видим, ответ получился такой же, что и подтверждает идентичность приведенных способов вычисления определителей. Но во втором
способе, фактически, вычисляется всего один определитель второго порядка.
Используя данный способ легко вычислить определители матриц
диагонального вида и треугольных матриц: он равен произведению элементов, расположенных на диагонали:
Определители треугольных и диагональных матриц вычисляются как
результат умножения всех диагональных элементов. Пусть матрицы A и
B – две треугольные матрицы вида:
a11
a
A 21
...
an1
0
a22
...
an 2
... 0
b11 b12
... 0
0 b22
B
,
... ...
... ...
... ann
0
0
... b1n
... b2 n
,
... ...
... bnn
а матрица C – диагональная матрица вида:
72
c11 0
0 c22
C
... ...
0
0
... 0
... 0
,
... ...
... cnn
тогда определители этих матриц соответственно равны:
det A a11 a22 ... ann , det B b11 b22 ... bnn , det C c11 c22 ... cnn .
Определение 4.17. Квадратная матрица A 1 называется обратной к
матрице A , если для этих матриц выполняются следующие условия:
A A1 E , A1 A E , где E – единичная матрица.
Обратную матрицу имеет только квадратная матрица, определитель
которой отличен от нуля. Причем, определители прямой и обратной матриц связаны соотношением: det A1
1
, что следует из определения
det A
обратной матрицы.
Если у матрицы не существует обратной (определитель равен нулю),
то матрица называется вырожденной.
Обратная матрица обладает свойствами:
1) Если обратная матрица существует, то она единственна.
2) Если матрица A1 является обратной для матрицы A , то и матрица A
является обратной для матрицы A1 : A1
1
A.
3) Если у квадратных матриц A и B существуют обратные им матрицы,
то и у их произведения также существует обратная матрица, для которой
справедливо соотношение: A B B 1 A1 .
1
Элементы обратной матрицы определяются следующим образом:
1. Находится определитель прямой матрицы A .
2. Записывается транспонированная матрица AT .
73
3. Находятся алгебраические дополнения для каждого элемента транспонированной матрицы и записываются в транспонированную матрицу вместо ее элементов: aij Aij .
4. Каждый элемент полученной матрицы делится на определитель прямой
матрицы A .
1 2 1
Пример 4.10. Найти матрицу обратную матрице A 4 2 1 .
3 3 2
Решение: 1) Находим определитель исходной матрицы: на первом
шаге умножаем элементы третьего столбца на (-1) и складываем с элементами первого столбца, затем элементы третьего столбца умножаем на (-2) и
складываем с элементами второго столбца, таким образом, получаем два
нуля в первой строке и раскладываем определитель по первой строке:
1 2 1 0 2 1 0 0 1
0
13 3
det A 4 2 1 3 2 1 3 0 1 1 1
3 .
1 1
3 3 2 1 3 2 1 1 2
1 4 3
2) Записываем транспонированную матрицу: AT 2 2 3 .
1 1 2
3) Находим алгебраические дополнения к каждому элементу матрицы:
A11 1
2 3
1 2 2 3
4 3 1 ; A12 1
4 3 1 ;
1 2
1 2
A13 1
2 2
21 4 3
2 2 0 ; A21 1
8 3 5 ;
1 1
1 2
11
13
A22 1
1 3
23 1 4
2 3 1 ; A23 1
1 4 3 ;
1 2
1 1
A31 1
4 3
3 2 1 3
12 6 6 ; A32 1
3 6 3 ;
2 3
2 3
2 2
31
74
A33 1
33
1 4
2 8 6 .
2 2
1. Записываем вместо элементов матрицы их алгебраические дополнения:
1 1 0
5 1 3
6
3 6
2. Чтобы данная матрица стала обратной к исходной A нужно каждый
элемент этой матрицы разделить на определитель исходной матрицы A :
1
1 1 0 3
1
A1 5 1 3 5
3
3
2
6
3
6
0
1
1 .
3
1 2
1
3
3. Докажем, что полученная матрица является обратной для исходной, то
есть для этих матриц выполняется соотношение A A1 E , для удобства
вычислений запишем обратную матрицу как произведение вспомогательной матрицы на величину, обратную определителю матрицы
A:
1 10 6 1 2 3 6 6
1 2 1 1 1 0
1
1
4 2 1 5 1 3 4 10 6 4 2 3 6 6
3
2 3 2 6
3
3 6
3 15 12 3 3 6 9 12
0 1 0 0
3 0
1
0 3 0 0 1 0 .
3
0 3 0 0 1
0
1
3
1
Ответ: A 5
3
2
0
1
1 .
3
1 2
1
3
Ранг матрицы
Пусть даны m числовых матрицы, состоящих из одного столбца:
75
a11
a12
a1m
a
a
a
A1 21 , A2 22 , …, Am 2 m
...
...
...
an1
an 2
anm
Определение 4.18. Матрица C 1 A1 2 A2 ... m Am называется
линейной комбинацией столбцов A1 , A2 ,..., Am .
Определение 4.19. Совокупность столбцов A1 , A2 ,..., Am называется
линейно зависимой, если существуют такие числа 1 , 2 ,..., m , среди которых хотя бы одно не равно нулю и выполняется равенство:
1 A1 2 A2 ... m Am 0 , где 0 – есть нулевой столбец. Если данное равенство возможно лишь в случае, когда все i 0 (i 1,..., m) , то столбцы
называются линейно зависимыми.
Определение 4.20. Пусть дана матрица A размера n m . Если в ней
выделить k строк и k столбцов, то получится квадратная подматрица порядка k . Ее определитель называется минором k -того порядка матрицы
A.
Определение 4.21. Число r называется рангом матрицы A , если в
матрице есть минор порядка r отличный от нуля и все миноры, выше него
порядком, равны нулю. Принято обозначать ранг матрицы как rang A или
rA или r . Считается, что нуль-матрица имеет ранг равный нулю.
Определение 4.22. Любой минор матрицы, отличный от нуля и имеющий порядок r , называется базисным, а столбцы и строки, его составляющие, называются базисными.
Из определения следует, что матрица может иметь несколько базисных миноров.
Теорема 4.2. Любая строка (или столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк (или столбцов).
Следствия.
76
1.
Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых
строк (столбцов).
2.
Максимальное число линейно независимых строк совпадает с макси-
мальным числом линейно независимых столбцов.
3.
Всякие r 1 строк (столбцов) матрицы ранга r линейно зависимы.
4.
Если ранг матрицы равен числу ее строк (столбцов), то строки (столб-
цы) линейно независимы.
5.
Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда ее
строки (столбцы) линейно зависимы.
Пример 4.11. Найти все миноры матрицы и определить среди них
1 3 5
базисные: A
.
2
4
10
Решение: 1) По определению, минор – это определитель квадратной
подматрицы, выделенной из исходной. Значит, минора третьего порядка у
данной матрицы не может быть, ведь строк всего две. Выпишем все миноры второго порядка: M1
1 3
1 5
3 5
2 , M 2
0 , M3
10 .
2 4
2 10
4 10
2) Среди найденных миноров второй равен нулю, значит, он не может быть
базисным. Тогда в качестве базисных можно взять первый и третий из рассмотренных миноров.
Ответ: В качестве базисных для исходной матрицы можно взять
миноры второго порядка: M1
1 3
3 5
2 и M 3
10 .
2 4
4 10
В общем случае определение ранга матрицы путем перебора всех
миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются
преобразования, сохраняющие ранг матрицы.
Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие:
1.
Отбрасывание нулевого столбца (строки) матрицы.
77
2.
Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не
равное нулю.
3.
Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.
4.
Прибавление к каждому элементу строки (столбца) матрицы A соот-
ветствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое
число, отличное от нуля.
Теорема 4.3. Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.
На практике с помощью элементарных преобразования приводят
матрицу к треугольному виду, когда вычисление ранга не представляет
больших трудностей.
1 3 0 5
Пример 4.12. Найти ранг матрицы A 2 5 2 1 .
1 6 1 3
Решение: Для решения приведем матрицу к треугольному виду с помощью элементарных преобразований, которые не меняют ранга матрицы.
Умножим элементы первой строки на (-2) и сложим с соответствующими
элементами второй строки. Также умножим элементы первой строки на (1) и сложим с соответствующими элементами третьей строки:
1 3 0 5 1 3 0 5
A 2 5 2 1 0 1 2 9 {Проведем дальнейшие преобра 1 6 1 3 0 3 1 2
зования: умножим элементы второй строки на 3 и сложим с элементами
5
1 3 0
третьей строки, получим матрицу} 0 1 2 9 . Полученная мат 0 0 7 29
78
1 3 0
рица имеет минор третьего порядка, не равный нулю: 0 1 2 7 .
0 0 7
Следовательно, ранг матрицы равен 3.
Ответ: rang A 3 .
4.1.1. Примеры решения типовых задач: матрицы
Задача 4.1.
1 2
Вычислить матрицу по правилу: C ( A B) ( E B) , где A
;
3 4
3 5
1 0
; E
.
B
2
4
0
1
Решение: По правилам выполнения арифметических операций, сначала
выполняем операции, указанные в скобках. Найдем суммы матриц:
1 2 3 5 4 7
1 0 3 5 4 5
; E B
.
A B
3 4 2 4 5 8
0 1 2 4 2 5
Теперь найдем произведение полученных матриц:
4 7 4 5 30 55
30 55
. Ответ: C
.
5 8 2 5 36 65
36 65
Задача 4.2.
Вычислить матрицу С 2 A 5 B , где
1 2 7 1 5
4 2 1 3 5
, B
.
A
2
4
0
4
2
1
3
2
2
4
Решение:
1. Вычислим вспомогательную матрицу S1 2 A :
1 2 7 1 5 2 4 14 2 10
S1 2 A 2
2 4 0 4 2 4 8 0 8 4
2. Вычислим вспомогательную матрицу S 2 5 B :
79
4 2 1 3 5 20 10 5 15 25
S2 5 B 5
1
3
2
2
4
5
15
10
10
20
3. Вычислим матрицу C S1 S 2 .
2 4 14 2 10 20 10 5 15 25
C S1 S2
4 8 0 8 4 5 15 10 10 20
18 6 9 13 15
18 6 9 13 15
. Ответ: C
.
1
7
10
2
16
1
7
10
2
16
Задача 4.3.
0
1
2
1
3
1
2
4
Вычислить определитель матрицы: A
.
2
3
1
0
4 2 0 7
Решение. Преобразуем определитель так, чтобы в первой строке остались
нули, кроме элемента в первом столбце. Один нуль уже есть, получим еще
два. Для этого умножим элементы первого столбца на (-1) и сложим с элементами третьего столбца. Затем умножим элементы первого столбца на (2) и сложим с четвертым столбцом. При этом, естественно, элементы первого столбца перепишем без изменения:
1
0
1
2
1
0
0
0
3 1 2 4 3 1
1
2
det A
{Раскладываем определи2
3
1
0
2
3 1 4
4 2 0 7 4 2 4
1
тель по элементам первой строки}
1 1
11
1
1
2
1
1
2
3 1 4 3 1 4 {Продолжим
2 4
1
2 4
1
преобразования
определителя. Получим в первой строке нули, кроме элемента в первом
столбце. Умножим элементы первого столбца на (-1) и сложим с элементами второго столбца. Затем умножим элементы первого столбца на (-2) и
80
сложим с элементами третьего столбца. Разложим полученный определитель по элементам первой строки}
1
0
0
11 4 10
3 4 10 1 1
20 60 40 . Ответ: 40 .
6
5
2 6
5
2 3 1
Задача 4.4. Вычислить обратную матрицу для A 1 4 0 .
2 2 1
Решение. 1) Вычислим определитель исходной матрицы, выполнив преобразования: умножим элементы первой строки на (-1) и сложим с элементами третьей строки. Затем разложим по элементам третьего столбца:
2 3 1 2 3 1
4
13 1
1 4 0 1 4 0 1 1
1.
0 1
2 2 1 0 1 0
2 1 2
2) Транспонируем исходную матрицу 3 4 2 .
1 0 1
3) Найдем алгебраические дополнения для каждого элемента полученной
матрицы:
A11 1
11
4 2
4;
0 1
A12 1
1 2
3 2
1 ;
1 1
A13 1
13
3 4
4 ;
1 0
21 1
A21 1
2
2 2 2 2
23 2 1
1 ; A22 1
0 ; A23 1
1;
1 1
1 0
0 1
31 1
A31 1
2
3 2 2 2
33 2 1
6 ; A32 1
2 ; A33 1
5.
3 2
3 4
4 2
4) Запишем алгебраические дополнения в транспонированную матрицу
вместо ее элементов. Разделив каждый элемент матрицы на определитель
исходной, получим обратную:
81
4
4 1 4
4 1
1
1
0
1
1
0
1
.
1
6 2
6 2 5
5
Проверим выполнение условия A A1 E :
4 8 3 6 2 2 8 3 5
2 3 1 4 1
0 1 4 4
1
44
1 4 0 1
2 2 1 6 2 5 8 2 6 2 2 8 2 5
4
1 0 0
4 1
0 1 0 . Ответ: A1 1
0 1 .
6 2 5
0 0 1
1 4 1
Задача 4.5. Вычислить матрицу, обратную к матрице: A 1 0 1 .
1 6 2
Решение. Вычислим определитель матрицы: сложим элементы третьего
столбца с элементами первого и разложим по элементам третьего столбца:
1 4 1 2 4 1
23 2 4
1 0 1 0 0 1 1 1
0.
3 6
1 6 2 3 6 2
Определитель равен нулю, значит, матрица вырожденная и для нее
обратной не существует.
Ответ: обратной матрицы не существует.
4 0 8 0
Задача 4.6. Вычислить ранг матрицы: A 2 0 4 0 .
3 0 6 0
Решение. Матрица имеет четыре столбца и три строки, поэтому ее ранг не
может превышать: rang A 3 . Однако, она содержит нулевые столбцы:
второй и четвертый, значит все ее подматрицы 3-го порядка также будут
содержать нулевые столбцы, и их определитель будет равен нулю. Поэто-
82
4 8
му, отбросив все нулевые столбцы имеем: 2 4 . Полученная матрица
3 6
имеет три строки и два столбца, значит, rang A 2 . Обратим внимание на
элементы столбцов: они пропорциональны, поэтому любые подматрицы 2го порядка, выделяемые из данной, также будут иметь определители, равные нулю. Следовательно, данная матрица имеет ранг равный 1.
Ответ: rang A 1.
0 1
2 4
Задача 4.7. Вычислить ранг матрицы: A
4 5
2 1
3 0
1
5
7 10
8 5
2
3
.
0
3
Решение. Поменяем местами первую и вторую строки, ранг матрицы от
этого не изменится:
0 1
2 4
4 5
2 1
3 0
1 5
7 10
8 5
2 2 4 1 5
3 0 1 3 0
0 4 5 7 10
3 2 1 8 5
3
2
0
3
Преобразуем матрицу так, чтобы все элементы первого столбца, кроме a11
были равны нулю. Умножим все элементы первой строки на 2 и сложим с
соответствующими элементами третьей строки. Затем сложим все элементы первой строки с соответствующими элементами третьей строки:
2 4 1 5
0 1 3 0
0 3 9 0
0 3 9 0
3
2
{Теперь добиваемся, чтобы все элементы второго
6
6
столбца, кроме a12 и a 22 были равны нулю. Умножаем все элементы второй строки на (-3) и складываем с соответствующими элементами третьей
строки. Затем умножаем все элементы второй строки на (-3) и складываем
83
с соответствующими элементами четвертой строки. Если в процессе преобразований получаются строки (или столбцы), целиком состоящие из ну-
2 4 1 5
0 1 3 0
лей, то отбрасываем их}
0 0 0 0
0 0 0 0
3
2 2 4 1 5 3
.
0 0 1 3 0 2
0
Последняя матрица содержит миноры второго порядка не равные нулю,
например:
2 4
2 , следовательно, rang A 2 .
0 1
Ответ: rang A 2 .
4.2.
Решение систем линейных уравнений
Определители используются при решении систем линейных уравнений. Произвольная система линейных уравнений имеет вид:
a11 x1 a12 x2 ... a1m xm b1
a x a x ... a x b
12 1 22 2
2m m
2
,
..........
..........
..........
..........
..
an1 x1 an 2 x2 ... anm xm bn
( 4.1 )
где n , m – натуральные числа. Числа aij i 1,..., n; j 1,..., m называются
коэффициентами системы, а числа bi i 1,...,n – свободными членами.
Числа aij и bi являются заданными. x1 , x2 ,..., xm называются неизвестными.
Необходимо определить их значения.
Определение 4.1. Решением системы ( 4.1 ) называется всякая совокупность чисел x1 c1 , x2 c2 ,..., xm cm , подстановка которых в исходную
систему вместо соответствующих неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество.
Определение 4.2. Две системы линейных уравнений называются
тождественными, если решение первой системы является решением второй и наоборот.
84
Определение 4.3. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, не имеющая ни одного решения, называется
несовместной.
Определение 4.4. Система, имеющая единственное решение, называется определенной, а имеющая более одного решения - неопределенной.
Определение 4.5. Матрица, составленная из коэффициентов при не a11
a21
известных A
...
an1
... a1m
... a2 m
называется основной, а матрица, полу... ...
... anm
a12
a22
...
an 2
ченная добавлением к основной матрице столбца свободных членов
a11
a
B 21
...
an1
a12
a22
...
an 2
... a1m
... a2 m
... ...
... anm
b1
b2
, называется расширенной матрицей системы
...
bn
( 4.1 ). Критерий совместности для системы уравнений ( 4.1 ) определяет
следующая теорема.
Теорема 4.1 (Теорема Кронекера-Капелли). Система линейных
уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы
равен рангу расширенной.
Определение 4.6. Система, в которой все свободные члены равны
нулю, называется однородной. Если хотя бы один из свободных членов не
равен нулю, то система называется неоднородной.
Однородная система всегда совместна (имеет единственное решение), так как для нее rang A rang B .
Рассмотрим существующие методы решения систем линейных уравнений.
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
85
Рассмотрим систему линейных уравнений с двумя неизвестными x и
a x b1 y c1
, где a1 , b1 , a2 , b2 – коэффициенты при неизвестных; c1 ,
y: 1
a
x
b
y
c
2
2
2
c2 – свободные члены.
Как известно из школьного курса, подобные системы решаются методом исключения, например, умножим первое уравнение на b2 , второе на b1
и вычтем второе из первого, таким образом, избавляемся от второго неизвестного:
a1b2 a2b1 x b2c1 b1c2 ,
откуда x
(4.2 )
b2c1 b1c2
. Аналогично определяется и второе неизвестное:
a1b2 a2b1
a1b2 a2b1 y a1c2 a2c1 ,
откуда y
( 4.3 )
a1c2 a2c1
. Введем три определителя:
a1b2 a2b1
a1
a2
b1
c
, x 1
b2
c2
b1
a
, y 1
b2
a2
c1
.
c2
Определитель составлен из коэффициентов при неизвестных;
определитель x получается из заменой первого столбца на столбец
свободных членов; определитель y – аналогичной заменой второго
столбца. Тогда равенства (4.2 ) и ( 4.3 ) можно переписать в виде:
x x , y y . Рассмотрим возможные случаи:
1) 0 . В этом случае система имеет единственное решение:
y
y
и y
y
.
Это решение известно как правило Крамера.
2) 0 . В этом случае имеются две возможности:
а) x y 0 и тогда система имеет бесконечное множество решений;
86
б) x 0 или y 0 , тогда система не имеет решений, так как одно из равенств противоречиво.
Система n линейных уравнений с n неизвестными
Точно так же можно исследовать решение системы, содержащей n
линейных уравнений с n неизвестными:
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a x b
21 1 22 2
2n n
2
.........................................
an1 x1 an 2 x2 ... ann xn bn
Введем обозначения: неизвестные обозначим вектором x ; коэффициенты при неизвестных – матрицей A ; правые части – как вектор b :
x1
b1
a11 a12
x
a22
b
a
x 2 , b 2 , A 21
...
... ...
...
xn
an1 an 2
bn
... a1n
... a2 n
... ...
... ann
тогда система перепишется в виде: Ax b .
Главным определителем этой системы является определитель
матрицы A : det A . Кроме него можно составить еще n определителей
по правилу: определитель j получается из определителя заменой j того столбца на столбец b правых частей уравнений ( j 1,2,...,n) . Для системы n -ого порядка справедлив тот же закон, что и для системы двух
уравнений.
Правило Крамера
1. Если 0 , система Ax b имеет единственное решение:
x1
1
, x2 2
, …, xn
n
.
( 4.4 )
2. Если 0 , а хотя бы один из определителей j , где ( j 1,2,...,n) , не
равен нулю, то система не имеет решений.
87
3. Если 1 2 ... n 0 , то система имеет бесконечно много решений.
Для системы линейных уравнений, в которой число уравнений равно
числу неизвестных, имеет место утверждение: такая система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ее главный определитель отличен от нуля.
Матричный метод
Пусть дано матричное уравнение: A X B , где A и B - заданные
матрицы, причем матрица A – невырожденная. Требуется найти матрицу
X.
Матричный метод решения состоит в следующем: так как матрица A
– невырожденная, то существует обратная матрица A1 . Если умножить
слева обе части первого из рассматриваемых уравнений на
A1 :
A1 A X A1 B , так как A1 A E , то
X A1 B .
( 4.5 )
Аналогично, рассуждаем при поиске решения матричного уравнения вида
Y A B.
Умножаем справа обе части уравнения на матрицу A1 , обратную к матрице A , получаем формулу:
Y B A1 .
( 4.6 )
Метод Гаусса-Жордано
Данный метод еще называют методом исключения неизвестных.
Суть его состоит в том, что исходную матрицу преобразуют по строкам
так, чтобы обнулить коэффициенты при неизвестных, и привести матрицу
к треугольному виду.
Пример 4.12. Решить систему линейных уравнений, используя правило Крамера, матричным методом и методом Гаусса-Жордано:
88
x1 2 x2 x3 1
x2 x3 1.
2 x x 3 x 7
3
1 2
Решение (правило Крамера). Согласно правилу Крамера нужно составить определители системы и соответствующие каждому неизвестному.
И затем по формуле ( 4.4 ) найти решение.
1. Найдем определитель системы:
1 2 1 1 2 1
1 1
11
0 1 1 0 1 1 1 1
1 3 4 .
3 1
2 1 3 0 3 1
2. Найдем определители для каждого неизвестного, заменяя столбец коэффициентов при этом неизвестном, столбцом свободных членов:
1 2 1 0 2 1
31 2 1
1 1 1 1 0 1 1 4 1
4 2 1 4 ;
1 1
7 1 3 4 1 3
1 1 1 1 1 1
11 1 1
2 0 1 1 0 1 1 1 1
1 5 4 .
5 1
2 7 3 0 5 1
1 2 1 1 1 1
1
23 1
3 0 1 1 0 0 1 1 1
(6 2) 8 .
2 6
2 1 7 2 6 7
3. Теперь по формуле ( 4.4 ) определим значения неизвестных:
x1
1 4
4
8
1; x2 2
1; x3 3 2 .
4
4
4
Ответ: x1 1 ; x2 1; x3 2 .
Решение (матричным методом):
1. Введем обозначения:
89
1 2 1
x1
1
A 0 1 1 ; X x2 ; B 1 ,
2 1 3
7
x
3
тогда исходную систему можно переписать в виде: A X B .
2. Решение такой системы определяется по формуле ( 4.5 ), в которую
входит матрица обратная к исходной A . Найдем ее:
2.1 определитель исходной матрицы мы уже находили, он равен: 4 ;
2.2
1 0 2
транспонируем исходную матрицу: A 2 1 1 ;
1 1 3
Т
2.3 для каждого элемента транспонированной матрицы нужно найти алгебраические дополнения:
A11 (1)11
1 1
2 1
2 1
2 ; A12 (1)1 2
5 ; A13 (1)13
1;
1 3
1 3
1 1
A21 (1) 21
0 2
1 2
1 0
2 ; A22 (1) 2 2
1 ; A23 (1) 23
1 ;
1 3
1 1
1 3
A31 (1)13
0 2
1 2
1 0
2 ; A32 (1)3 2
3 ; A33 (1)33
1.
1 3
2 1
2 1
2.4 записать их в транспонированную матрицу вместо ее элементов и
разделить каждый элемент на определитель исходной матрицы:
2 5 1
1
A1 2
1 1 .
2 3
4
1
3. Подставляем в формулу ( 4.5 ):
2 5 1
1 2 5 7
1
1
1
X A1 B 2
1 1 1 2 1 7 1 .
2 3
4 7 2 3 7 4 2
1
90
1
Ответ: X 1 .
2
Решение (методом Гаусса-Жордано):
Составляем расширенную матрицу системы и преобразуем к треугольному
виду. Умножим элементы первой строки на (-2) и сложим с соответствующими элементами третьей строки. Затем умножим элементы второй строки
на 3 и сложим с соответствующими элементами третьей строки:
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
2 1 3 7 0 3 1 5 0 0 4 8
получили треугольную матрицу, которая соответствует системе:
x1 1
x1 2 x2 x3 1
x2 x3 1 x2 1 .
4 x3 8
x3 2
Ответ: x1 1 ; x2 1; x3 2 .
Произвольная система линейных уравнений
Вернемся к произвольной системе линейных уравнений вида ( 4.1 ).
Утверждение 4.1. Совместная система линейных уравнений имеет
единственное решение тогда и только тогда, когда rang A rang B n
(числу неизвестных).
Утверждение 4.2. Система линейных уравнений неопределенна тогда и только тогда, когда rang A rang B n .
Нахождение решения для таких систем можно описать следующим
алгоритмом:
1. Находим ранги основной и расширенной матриц системы. Если они не
равны, то по теореме Кронекера-Капелли система несовместна.
91
2. Если ранги равны, то выделяем базисный минор. При этом, неизвестные, коэффициенты при которых вошли в базисный минор, составят группу зависимых переменных, остальные – группу независимых (вообще говоря, выбор зависимых и независимых неизвестных может быть неоднозначным).
3. Вычеркиваем те уравнения системы, коэффициенты которых не вошли
в состав базисного минора (их можно получить из него).
4. Члены уравнений, содержащие свободные неизвестные, переносятся в
правую часть (для матрицы – это означает изменение знака соответствующего коэффициента). В результате получится система из r уравнений, содержащая r неизвестных, причем ее определитель отличен от нуля.
5. Решая полученную систему одним из способов, предложенных выше,
получаем общее решение системы, в котором зависимые неизвестные будут выражены через свободные.
6. Если известны некоторые значения свободных переменных, то, подставляя их в общее решение, можно получить одно из частных решений
системы.
Пример 4.14. Исследовать совместность и найти общее решение и
одно из частных решений системы линейных уравнений:
2 x1 7 x2 3x3 x4 6
3x1 5 x2 2 x3 2 x4 4 .
9x 4x x 7x 2
2
3
4
1
Решение. Выпишем основную и расширенную матрицы системы,
пометив сверху столбцы соответствующими неизвестными. Если мы
найдем ранг расширенной матрицы, то тем самым найдем и ранг основной
матрицы. Переставим 4-ый столбец перед первым, при этом система уравнений не изменится.
92
x1
2
B
3
9
x2
7
5
4
x3
3
2
1
x4
1
2
7
x4
6 1
4 2
2 7
x1
2
3
9
x2
7
5
4
x3
3
2
1
6
.
4
2
Приведем матрицу к треугольному виду. Напомним, что преобразования
можно осуществлять только со строками. Умножим первую строку на (-2)
и сложим со второй строкой. Умножим первую строку на (-7) и сложим с
третьей строкой, при этом первая остается без изменения:
x4
1
0
0
x1
x2
x3
2
7
3
6
{Вторая и третья строки – пропорцио1 9 4 8
5 45 20 40
нальны, следовательно, можно вычеркнуть, например, третью строку без
x4
изменения значения определителя матрицы} 1
0
x1 x2 x3
2
7
3
6 /
1 9 4 8
Найдем наивысший минор, принадлежащий и основной и расширенной
матрице: M1
1 2
1 . Возьмем данный минор как базисный. В него
0 1
вошли коэффициенты при неизвестных x1 и x4 – следовательно, это зависимые переменные, а независимыми остались переменные x2 и x3 . Отсюда
можно записать общее решение системы, для чего нужно перенести коэффициенты при свободных переменных в правую часть системы:
x4
1
0
x1 x2 x3
x 2 x1 7 x2 3x3 6
2 7 3 6 4
x
9
x
4
x
8
1
2
3
1 9
4 8
x1 9 x2 4 x3 8
;
x4 11x2 5 x3 10
93
Для вычисления частного решения зададим значения свободным переменным: x2 1 , x3 0 , откуда x1 1 , x4 1 .
Проверка: подставим найденное частное решение в исходную систему:
2 1 7 1 3 0 1 1 6
3 1 5 1 2 0 2 1 4 .
9 1 4 1 1 0 7 1 2
x1 9 x2 4 x3 8
Ответ: общее решение системы:
, одно из част x4 11x2 5 x3 10
ных решений: x1 1 , x2 1 , x3 0 , x4 1 .
Системы линейных однородных уравнений
Определение 4.7. Система линейных уравнений вида:
a11 x1 a12 x2 ... a1m xm 0
a x a x ... a x 0
21 1 22 2
2m m
,
..........
..........
..........
..........
..
an1 x1 an 2 x2 ... anm xm 0
( 4.7 )
называется однородной системой линейных уравнений, где m n .
Однородная система всегда имеет одно решение 0,0,...,0, которое
называется тривиальным. Условия существования нетривиальных решений определяется следующими теоремами.
Теорема 4.2. Система однородных линейных уравнений имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы меньше
числа неизвестных.
Теорема 4.3. В случае m n система ( 4.7 ) имеет нетривиальное решение только тогда, когда ее определитель равен нулю.
Теорема 4.4. Любая линейная комбинация решений системы ( 4.7 )
также является решением этой системы.
Определение 4.8. Совокупность решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений, ес-
94
ли эта совокупность состоит из линейно независимых решений и любое
решение системы является линейной комбинацией этих решений.
Теорема 4.5. Если ранг r матрицы системы ( 4.7 ) меньше числа неизвестных m , то существует фундаментальная система решений, состоящая из m r решений.
Пример 4.15. Найти общее решение и одну из фундаментальных систем решений для следующей системы однородных уравнений:
x1 2 x2 4 x3 3 x4
3x 5 x 6 x 4 x
1
2
3
4
4 x1 5 x2 2 x3 3 x4
3 x1 8 x2 24 x3 19 x4
0
0
.
0
0
Решение: 1) Найдем ранг матрицы. Не забываем, что преобразования мож-
1
3
но проводить только со строками: rang
4
3
2 4
3
5 6 4
{Преобразуем
5 2 3
8 24 19
матрицу: умножим первую строку на (-3) и сложим со второй строкой, затем умножим первую строку на (-4) и сложим с третьей строкой, затем
умножим первую строку на (-3) и сложим с четвертой строкой}
4
3
1 2
0
1
6
5
rang
{Вторая и четвертая, а также вторая и четвер0 3 18 15
0
2
12
10
тая строки пропорциональны. Следовательно, третью и четвертую строки
x1 x2 x3 x4
4 3 , откуда rang 2 .
можно удалить} rang 1 2
0 1 6 5
95
2) За базисный минор возьмем определитель M
1 2
. Он имеет
0 1
наивысший порядок и отличен от нуля. В базисный минор вошли коэффициенты при переменных x1 и x2 , они составят группу зависимых переменных, следовательно, x3 и x4 составят группу свободных переменных.
3) Выразим зависимые переменные через свободные, таким образом,
x 2 x2 4 x3 3 x4
найдем общее решение системы: 1
.
x
6
x
5
x
2
3
4
Во втором уравнении умножим все коэффициенты на (-1) и подставим
значение
x2 из второго уравнения в первое, получим выражения
x1 8 x3 7 x4
. 4) Найдем фундаментальную систему решений. Она со
x2 6 x3 5 x4
стоит из n r 4 2 2 решений, которые должны быть линейно независимыми. Самый простой способ составить линейно независимые строки в
матрице решения это следующий: свободным переменным придают значения из строк определителя n r -го порядка, отличного от нуля. Затем
подставляют эти значения в выражения общего решения и определяют
значения зависимых переменных. Простейшим определителем 2-го порядка, отличным от нуля является
1 0
. Подставим первый набор значений
0 1
x 8 1 7 0 8
свободных переменных в решение: 1
, затем второй:
x
6
1
5
0
6
2
x1 8 0 7 1 7
. Откуда получаем фундаментальную систему решений:
x2 6 0 5 1 5
96
x1 x2 x3
8 6 1
7 5 0
x4
0 . Ответ: общее решение системы:
1
x1 x2 x3
даментальная система решений: 8 6 1
7 5 0
x1 8 x3 7 x4
; фун
x2 6 x3 5 x4
x4
0.
1
4.2.1. Примеры решения типовых задач: системы линейных уравнений
Задача 4.1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
x1 x2 x3 3
2 x1 x2 x3 11 .
x x 2x 8
3
1 2
Решение: 1) Составим определители, соответствующие исходной системе
и каждому неизвестному:
1 1 1
3 1 1
1 3 1
1 1 3
2 1 1 ; 1 11 1 1 ; 2 2 11 1 ; 3 2 1 11
8 1 2
1 1 8
1 1 2
1 8 2
тогда решение можно будет определить по формулам Крамера.
2) Вычислим определитель системы: сложим соответствующие элементы
первой и второй строк, затем первой и третьей, получим во втором столбце
нули, кроме элемента в первой строке. Найдем определитель разложением
1 1 1 1 1 1
1 2 3 2
5.
по второму столбцу: 2 1 1 3 0 2 1 1
2 3
1 1 2 2 0 3
Определитель ненулевой, значит, система имеет решение.
2) Вычислим оставшиеся определители:
97
3 1 1 3 1 1
1 2 14 2
1 11 1 1 14 0 2 1 1
20 ;
11 3
8 1 2 11 0 3
1 3 1
1 3 1
8
13 1
2 2 11 1 1 8 0 1 1
10 ;
12 2
1 8 2 1 2 0
1 1 3 1 1 3
1 2 3 14
3 2 1 11 3 0 14 1 1
5.
2 11
1 1 8 2 0 11
Откуда решение системы:
x1
1 20
10
5
4 ; x2 2
2 ; x3 3 1 .
5
5
5
3) Проверяем подстановкой полученных значений в исходную систему:
1 4 1 2 1 1 3
2 4 1 2 1 1 11 . Ответ: x1 4 ; x2 2 ; x3 1 .
1 4 2 2 2 1 8
Задача 4.2. Решить систему линейных уравнений матричным метоx1 2 x2 x3 8
дом 2 x1 3x2 3x3 5 .
3x 4 x 5 x 10
1
2
3
2
1
1
x1
8
Решение: Введем обозначения: A 2 3 3 ; X x2 ; B 5 .
3 4 5
x
10
3
тогда исходная система запишется в виде: AX B , откуда решение определяется по формуле: X A1B . Определим обратную матрицу:
1) определитель матрицы определитель не равен нулю:
1
2
1
1
2
1
1
11 7
2 3 3 0 7
1 1 1
4,
10 2
3 4 5
0 10 2
98
следовательно, решение существует; 2) транспонируем матрицу:
1 2 3
A 2 3 4 ; 3) находим алгебраические дополнения к каждому
1 3 5
Т
элементу:
A11
3 4
3;
3 5
A12
2 4
14 ;
1 5
2 3
9 ;
1 3
A21
2 3
1;
3 5
A32
1 3
1 2
10 ; A33
7 ; 4) обратная матрица формируется из
2 4
2 3
A22
1 3
2;
1 5
A23
1 2
1;
1 3
A13
A31
2 3
1 ;
3 4
алгебраических дополнений, записанных вместо элементов транспонированной матрицы, и деленных на определитель исходной матрицы:
13 14 9
1
A1 1
2
1 .
4
7
1 10
Проверяем выполнение условия: A1 A E :
2
1
13 14 9 1
1
1
2
1
2
3
3
4
7 3 4 5
1 10
6 42 36
3 42 45 1 0 0
3 28 27
1
1 4 3
264
1 6 5 0 1 0 .
4
1 20 21 2 30 28 1 30 35 0 0 1
3 14 9 8
24 70 90 1
1
1
2
1 5 8 10 10 2 .
Находим решение: X 1
4
10 4 8 50 70 3
1
10
7
1 1 2 2 1 3 8
Проверяем: 2 1 3 2 3 3 5 . Ответ: x1 1 ; x2 2 ; x3 3 .
3 1 4 2 5 3 10
Задача 4.3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
99
x1 2 x2 x3 7
2 x1 3x2 x3 3 .
4 x x x 16
1 2 3
Решение.
Составим
расширенную
матрицу:
1 2 1 7
B 2 3 1 3 .
4 1 1 16
Преобразуем матрицу так, чтобы исключить переменную x1 из всех уравнений, кроме первого: умножим элементы первой строки на (-2) и сложим
с соответствующими элементами второй строки, затем умножим элементы
первой строки на (-4) и сложим с элементами третьей строки:
1 2 1 7 1 2 1 7
B 2 3 1 3 0 7 3 11
4 1 1 16 0 7 3 12
Умножим элементы второй строки на (-1) и сложим с соответствующими
1 2 1 7
элементами третьей строки: 0 7 3 11 . Уравнение, соответ0 0
0 1
ствующее третьей строке матрицы, противоречиво: 0 x1 0 x2 0 x3 1
или 0 1, следовательно, система несовместна.
Ответ: система не имеет решений.
Задача 4.4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
x1 2 x2 3 x3 2 x4 6
2 x 4 x 2 x 3 x 18
1
2
3
4
.
3
x
2
x
x
2
x
4
1
2
3
4
2 x1 3 x2 2 x3 x4 8
3 2 6
1 2
2
4
2
3
18
Решение. 1) Составим расширенную матрицу: B
.
3 2 1 2
4
1 8
2 3 2
100
2) Преобразуем ее так, чтобы исключить переменную x1 из всех уравнений, кроме первого: умножим элементы первой строки на (-2) и сложим с
соответствующими элементами второй строки; умножим элементы первой
строки на (-3) и сложим с соответствующими элементами третьей строки;
умножим элементы первой строки на (-2) и сложим с соответствующими
3 2
6
1 2
0
0
8
1
6
элементами третьей строки:
{Поменяем
0 4 10 8 14
0
7
4
5
20
местами
вторую
и
четвертую
строки}
3 2
6
1 2
4 5 20
0 7
{Умножим элементы второй строки на
0 4 10 8 14
0
0
8
1
6
4 7
и
сложим
с
элементами
третьей
строки}
1
0
0
0
2
3
2
6
7
4
5
20
{Умножим элементы третьей строки на
36
0 54
18
7
7
7
0
8
1
6
7
и сложим с соответствующими элементами четвертой строки и пе-
36
реставим местами третий и четвертый столбцы}
x4
x3
x x2
3
2
6 1
1 2
1 2
2
3
6
4
5
20
0 7
5
4
20 .
0 7
0 0 54
36
18
7
7
7 0 0 36
54
18
7
7
7
13
0 0 13
0
13
13
2
2 0 0
0
2
2
Из последнего уравнения находим переменную x3 1 .
101
6) Подставляя в третье уравнение значение переменной x3 находим значение переменной x4 :
36
18 54
x4 1 x4 2 .
7
7 7
7) Из соответствующих уравнений находим оставшиеся переменные:
7 x2 5 2 4 1 20 x 2 2 ;
x1 2 2 2 2 3 1 6 x1 1 .
8) Проверяем:
1 1 2 2 3 1 2 2 6
2 1 4 2 2 1 3 2 18
.
3 1 2 2 1 1 2 2 4
2 1 3 2 2 1 1 2 8
Ответ: x1 1; x2 2 ; x3 1 ; x4 2 .
5. Контрольная работа 1. Часть 2.
Вариант 2.1
3 2 3 4
.
Задание 1. Выполнить действия с матрицами:
5
4
2
5
1
2
Задание 2. Вычислить определитель матрицы:
1
0
1
3
0
2
0
1
1
3
2
0
.
1
1
Задание 3. Определить, имеет ли матрица A обратную, и, если имеет вы 4 8 5
числить ее: A 4 7 1 .
3 5
1
6
2 5
Задание 4. Вычислить ранг матрицы A 4 1 5 .
2 6 1
Задание 5. Решить систему уравнений методом Крамера:
102
3 x1 4 x2 x3 2 x4
3 x 5 x 3 x 5 x
1
2
3
4
6 x1 8 x2 x3 5 x4
3 x1 5 x2 3 x3 7 x4
3
6
.
8
8
Задание 6. Найти общее и одно из частных решений системы линейных
2 x1 x2 x3 x4 1
x2 x3 2 x4 2 .
уравнений:
2 x 2 x 3x 3
1
2
4
Задание 7. Найти общее решение и фундаментальную систему решений:
x1 2 x2 4 x3 3 x4
3x 5 x 6 x 4 x
1
2
3
4
4 x1 5 x2 2 x3 3 x4
3 x1 8 x2 24 x3 19 x4
0
0
.
0
0
Вариант 2.2
1 3 2 2 5 6
Задание 1. Выполнить действия с матрицами: 3 4 1 1 2 5 .
2 5 3 1 3 2
1 0 2
Задание 2. Вычислить определитель матрицы: 3 2 6 .
1 2 1
Задание 3. Определить, имеет ли матрица A обратную, и, если имеет вы 1 2 3
числить ее: A 0 1 2 .
1 0 4
2 5
1 3 7
Задание 4. Вычислить ранг матрицы A 1 0 4 8 3 .
3 6 10 4 7
Задание 5. Решить систему уравнений методом Крамера:
103
7 x1 9 x2 4 x3 2 x4
2x 2x x x
1
2
3
4
5 x1 6 x2 3x3 2 x4
2 x1 3x2 x3 x4
2
6
.
3
0
Задание 6. Найти общее и одно из частных решений системы линейных
уравнений:
2 x1 7 x2 3x3 x4 6
3x1 5 x2 2 x3 2 x4 4 .
9x 4x x 7x 2
2
3
4
1
Задание 7. Найти общее решение и фундаментальную систему решений:
2 x1 4 x2 5 x3 3x4 0
3x1 6 x2 4 x3 2 x4 0 .
4 x 8 x 17 x 11x 0
2
3
4
1
Вариант 2.3
2 3 9 6
Задание 1. Выполнить действия с матрицами:
.
4
6
6
4
1
1 1
Задание 2. Вычислить определитель матрицы: 2 3 1 .
4 1 5
Задание 3. Определить, имеет ли матрица A обратную, и, если имеет вы1 1 1
числить ее: A 2 2 1 .
1 2 2
1 2 1 4
Задание 4. Вычислить ранг матрицы A 0 5 1 4 .
1 3 4 6
Задание 5. Решить систему уравнений методом Крамера:
104
2 x1 3 x2 11x3 5 x4
x x 5x 2 x
1
2
3
4
2 x1 x2 3 x3 2 x4
x1 x2 3 x3 4 x4
2
1
.
3
3
Задание 6. Найти общее и одно из частных решений системы линейных
уравнений:
2 x1 3x2 5 x3 7 x4 1
4 x1 6 x2 2 x3 3x4 2 .
2 x 3x 11x 15 x 1
2
3
4
1
Задание 7. Найти общее решение и фундаментальную систему решений:
3 x1 2 x2 x3 3 x4 5 x5
6 x 4 x 3 x 5 x 7 x
1
2
3
4
5
9 x1 6 x2 5 x3 7 x4 9 x5
3 x1 2 x2 4 x4 8 x5
0
0
.
0
0
Вариант 2.4
Задание 1. Выполнить действия с матрицами:
4 3 28 93 7 3
.
7 5 38 126 2 1
1
2
Задание 2. Вычислить определитель матрицы:
3
4
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
.
2
3
Задание 3. Определить, имеет ли матрица A обратную, и, если имеет вы1 2 3
числить ее: A 2 1 3 .
3 1 4
105
1 0 9
Задание 4. Вычислить ранг матрицы A 2 7 5 .
3 8 6
Задание 5. Решить систему уравнений методом Гаусса-Жордано:
4 x1 3x2 x3 5 x4
x 2 x 2 x 3x
1
2
3
4
3x1 x2 2 x3
2 x1 3x2 2 x3 8 x4
7
3
.
1
7
Задание 6. Найти общее и одно из частных решений системы линейных
3x1 4 x2 x3 2 x4 3
уравнений: 6 x1 8 x2 2 x3 5 x4 7 .
9 x 12 x 3x 10 x 13
2
3
4
1
Задание 7. Найти общее решение и фундаментальную систему решений:
3 x1 5 x2 2 x3
4 x 7 x 5 x
1
2
3
x1 x2 4 x3
2 x1 9 x2 6 x3
0
0
.
0
0
Вариант 2.5
1 2 3 7 8
Задание 1. Выполнить действия с матрицами: 0 5 1 5 0 .
2 0 3 2 1
0
3
Задание 2. Вычислить определитель матрицы: 5
3
1
6
2
1
8
0
3
4
4
7
3
5
1
3
6
4
1
0
2 .
1
0
106
Задание 3. Определить, имеет ли матрица A обратную, и, если имеет вы 0 4 4
числить ее: A 3 2 5 .
2 5 7
2 3 5
Задание 4. Вычислить ранг матрицы A 1 0 2 .
3 3 7
Задание 5. Решить систему уравнений методом Гаусса-Жордано:
2 x1 3x2 3 x3 2 x4
6x 9x 2x x
1
2
3
4
10 x1 3 x2 3x3 2 x4
8 x1 6 x2 x3 3 x4
3
4
.
3
7
Задание 6. Найти общее и одно из частных решений системы линейных
3x1 5 x2 2 x3 4 x4 2
уравнений: 7 x1 4 x2 x3 3x4 5 .
5 x 7 x 4 x 6 x 3
2
3
4
1
Задание 7. Найти общее решение и фундаментальную систему решений:
6 x1 2 x2 2 x3 5 x4 7 x5
9 x 3x 4 x 8 x 9 x
1
2
3
4
5
6 x1 2 x2 6 x3 7 x4 x5
3 x1 x2 4 x3 4 x4 x5
0
0
.
0
0
Вариант 2.6
1 2 5 4
.
Задание 1. Выполнить действия с матрицами:
2
1
6
3
5
3
Задание 2. Вычислить определитель матрицы:
1
2
1
0
3
0
2
0
4
0
7
2
.
5
3
107
Задание 3. Определить, имеет ли матрица A обратную, и, если имеет вы1 2 1
числить ее: A 2 3 1 .
3 2 4
1 5 3
Задание 4. Вычислить ранг матрицы A 4 2 6 .
3 7 1
Задание 5. Решить систему уравнений методом Гаусса-Жордано:
2 x1 2 x2 x4
2 x 3x x 3x
1
2
3
4
3 x1 4 x2 x3 2 x4
x1 3x2 x3 x4
3
6
.
0
2
Задание 6. Найти общее и одно из частных решений системы линейных
3x1 2 x2 5 x3 x4 3
уравнений: 2 x1 3x2 x3 5 x4 3 .
x x 4 x 9 x 22
3
4
1 2
Задание 7. Найти общее решение и фундаментальную систему решений:
5 x1 6 x2 2 x3 7 x4 4 x5
2 x 3x x 4 x 2 x
1
2
3
4
5
7 x1 9 x2 3 x3 5 x4 6 x5
5 x1 9 x2 3 x3 x4 6 x5
0
0
.
0
0
Вариант 2.7
1 2 5 4
.
Задание 1. Выполнить действия с матрицами:
2
1
6
3
1
2
Задание 2. Вычислить определитель матрицы:
3
4
1
0
0
4
3
0
0
7
4
8
.
2
5
108
Задание 3. Определить, имеет ли матрица A обратную, и, если имеет вы 1 1 1
числить ее: A 6 5 4 .
13 10 8
8 7
1 2 5
3 4 8 3 .
Задание 4. Вычислить ранг матрицы A 2
3 0
1
2
4
Задание 5. Решить систему уравнений методом Гаусса-Жордано:
2 x1 x2 x3 x4
4 x 2 x 2 x 3 x
1
2
3
4
2 x1 x2 5 x3 6 x4
2 x1 x2 3x3 4 x4
3
2
.
1
5
Задание 6. Найти общее и одно из частных решений системы линейных
уравнений:
2 x1 x2 3x3 7 x4 5
6 x1 3x2 x3 4 x4 7 .
4 x 2 x 14 x 21x 18
2
3
4
1
Задание 7. Найти общее решение и фундаментальную систему решений:
3x1 4 x2 x3 2 x4 3x5
5 x 7 x x 3x 4 x
1
2
3
4
5
4 x1 5 x2 2 x3 x4 5 x5
7 x1 10 x2 x3 6 x4 5 x5
0
0
.
0
0
Вариант 2.8
5 1
1 0 2
.
Задание 1. Выполнить действия с матрицами: 2 3
2
2
1
3 6
109
0
8
Задание 2. Вычислить определитель матрицы:
7
0
5
3
2
4
2
5
4
1
0
4
.
1
0
Задание 3. Определить, имеет ли матрица A обратную, и, если имеет вы1 3 5
числить ее: A 2 4 6 .
8 9 7
2 8 1
Задание 4. Вычислить ранг матрицы A 0 5 7 .
3 1 2
Задание 5. Решить систему уравнений матричным методом:
4 x1 3 x2 2 x3 x4
3x 2 x x 3x
1
2
3
4
2 x1 x2 5 x4
5 x1 3 x2 x3 8 x4
8
7
.
6
1
Задание 6. Найти общее и одно из частных решений системы линейных
уравнений:
9 x1 3x2 5 x3 6 x4 4
6 x1 2 x2 3x3 x4 5 .
3x x 3x 14 x 8
3
4
1 2
Задание 7. Найти общее решение и фундаментальную систему решений:
3 x1 2 x2 5 x3 2 x4 7 x5
6 x 4 x 7 x 4 x 5 x
1
2
3
4
5
3 x1 2 x2 x3 2 x4 11x5
6 x1 4 x2 x3 4 x4 13 x5
0
0
.
0
0
Вариант 2.9
110
2 3 1 2 3 1
Задание 1. Выполнить действия с матрицами: 5 2 0 1 4 5 .
1 7
0 3 2 5
5
4
Задание 2. Вычислить определитель матрицы: 2
2
3
2
0
3
3
0
1
7
7
6
4
3
0
5
4
0
2
0
3.
5
0
Задание 3. Определить, имеет ли матрица A обратную, и, если имеет вы2 1 3
числить ее: A 7 3 10 .
15 6 20
0 7 6 5 1
Задание 4. Вычислить ранг матрицы A 2 1 3 2 0 .
1 6 4 2 2
Задание 5. Решить систему уравнений матричным методом:
x1 2 x2 5 x3 9 x4
3 x 13 x 18 x 30 x
1
2
3
4
2 x1 4 x2 11x3 16 x4
x1 9 x2 9 x3 9 x4
79
263
.
146
92
Задание 6. Найти общее и одно из частных решений системы линейных
уравнений:
3 x1 2 x2 5 x3 x4 3
x1 2 x2 4 x4 3 .
x x 4 x 9 x 22
3
4
1 2
Задание 7. Найти общее решение и фундаментальную систему решений:
6 x1 2 x2 3 x3 4 x4 9 x5
3x x 2 x 6 x 3x
1
2
3
4
5
6 x1 2 x2 5 x3 20 x4 3 x5
93 x1 3 x2 4 x3 2 x4 15 x5
0
0
.
0
0
111
Вариант 2.10
1 2 1 2 3
Задание 1. Выполнить действия с матрицами:
.
0
3
1
2
3
2
3
Задание 2. Вычислить определитель матрицы: 3
1
4
1
4
4
5
6
4
0
5
2
0
3
5
2
4
7
5
0
1 .
3
0
Задание 3. Определить, имеет ли матрица A обратную, и, если имеет вы 9 7 8
числить ее: A 18 4 4 .
10 19 8
5
0 2 4
Задание 4. Вычислить ранг матрицы A 3 0 6 27 .
1 0 2 9
Задание 5. Решить систему уравнений матричным методом:
2 x1 3 x2 x3 x4
x x 2x 4x
1
2
3
4
x1 x2 3 x3 2 x4
x1 2 x2 3 x3 5 x4
3
8
.
6
3
Задание 6. Найти общее и одно из частных решений системы линейных
уравнений:
3x1 2 x2 5 x3 4 x4 2
6 x1 4 x2 4 x3 3x4 3 .
9 x 6 x 3 x 2 x 4
2
3
4
1
Задание 7. Найти общее решение и фундаментальную систему решений:
112
2 x1 7 x2 4 x3 5 x4 8 x5
4 x 4 x 8 x 5 x 4 x
1
2
3
4
5
x1 9 x2 3 x3 5 x4 14 x5
3 x1 5 x2 7 x3 5 x4 6 x5
0
0
.
0
0
Пример выполнения контрольной работы 1 (часть 2)
5.1.
1 0 1 2 3
Задание 1. Выполнить действия с матрицами: 2 9 3 1 2 .
3 2 4 4 1
3
1 0 1 2
Решение. По правилу умножения матриц: 2 9 3 1 2
3 2 4 4 1
1 2 0 1 1 4 1 3 0 2 11 2 4
2 2 9 1 3 4 2 3 9 2 3 1 7 9 . Ответ:
3 2 2 1 4 4 3 3 2 2 4 1 8 9
1
2
Задание 2. Вычислить определитель матрицы:
2
1
2
7
3
6
2 4
7 9 .
8 9
3
3
3
8
0
5
.
2
2
Решение. Преобразуем определитель так, чтобы в первой строке все элементы стали нулевыми, за исключением элемента, расположенного в первом столбце. Для этого умножим все элементы первого столбца на (-2) и
сложим с соответствующими элементами второго столбца:
1
2
2
1
2
7
3
6
3
3
3
8
0
1
0 3 0
5 2 11 3 5
{Теперь умножим все элементы пер2
2 1 3 2
2 1 8 8 2
вого столбца на (-3) и сложим с соответствующими элементами третьего
113
1
0
0
2 11 9
столбца}
2 1 3
1 8 11
11
вой строки} 1 1
0
5
{Разложим определитель по элементам пер2
2
11 9 5 11 9 5
1 3 2 1 3 2 {Полученный определи8 11 2 8 11 2
тель 3-го порядка преобразуем так, чтобы во второй строке все элементы
стали нулевыми, за исключением элемента в первом столбце. Для этого
умножим все элементы первого столбца на (-3) и сложим с соответствую11 9 5 11 24 5
2 {Теперь
щими элементами второго столбца} 1 3 2 1 0
8 11 2
8 13 2
умножим все элементы первого столбца на 2 и сложим с соответствующи11 24 27
0 {Разложим определими элементами третьего столбца} 1 0
8 13 18
тель по элементам второй строки} 1 121
24 27
81 .
13 18
Ответ: 81.
Задание 3. Определить, имеет ли матрица A обратную, и, если имеет вы 2 7 3
числить ее: A 3 9 4 .
1 5 3
Решение. Вычислим определитель матрицы. Преобразуем его так, чтобы в
третьей строке все элементы, кроме, расположенного в первом столбце,
стали нулевыми. Умножим все элементы первого столбца на (-5) и сложим
с соответствующими элементами второго столбца:
114
2 7 3 2 3 3
3 9 4 3 4 4 {Умножим все элементы первого столбца на (1 5 3 1 0 3
3)
и
сложим
с
соответствующими
элементами
третьего
столб-
2 3 3
ца} 3 4 5 {Разложим определитель по элементам третьей стро1 0
0
ки} 1 131
3 3
3 . Итак, 3 , матрица – невырожденная и у
4 5
нее существует обратная.
1.
2 3 1
Транспонируем исходную матрицу: A 7 9 5 .
3 4 3
2.
Для каждого элемента транспонированной матрицы найдем алгебраи-
T
ческое дополнение:
11 9
5
1 2 7 5
13 7 9
7 ; A12 1
6 ; A13 1
1;
4 3
3 4
3 3
A11 1
A21 1
21
3 1
2 2 2 1
23 2 3
5 ; A22 1
3 ; A23 1
1;
3 3
3 4
4 3
31 3
A31 1
3.
1
3 2 2 1
33 2 3
6 ; A32 1
3 ; A33 1
3 .
9 5
7 5
7 9
Подставляем в транспонированную матрицу вместо элементов их ал-
гебраические дополнения и делим каждый элемент на определитель исходной матрицы, получаем матрицу, обратную к исходной:
7
7 6 1 3
1
A1 5 3
1 5
3
3
6 3 3 2
4.
1
3
1
1 .
3
1
1
2
Проверяем выполнение условия: A1 A E :
115
1
7
3 2 3 2 7 3
5
1 1 3 9 4
3
3
1
1 1 5 3
2
1
7
1
7
1
7
2 2 3 1 7 2 9 5 3 2 4 3
3
3
3
3
3
3
5
1
5
1
5
1
2 1 3 1
7 1 9 5
3 1 4 3
3
3
3
3
3
3
2 2 1 3 1 1 2 7 1 9 1 5 2 3 1 4 1 3
7
1 0 0
3
1
0 1 0 . Ответ: A 5
3
0 0 1
2
1
3
1
1 .
3
1
1
2
1 3 0 4
Задание 4. Вычислить ранг матрицы A 3 2 0 1 .
2 1 0 3
Решение. Матрица имеет четыре столбца и три строки, поэтому rang A 3 .
Кроме того, матрица содержит столбец с нулевыми элементами, и все миноры 3-го порядка будут содержать этот нулевой столбец, кроме одного.
1 3
4
1 {Преобразуем так, чтобы в третьей строке все
Вычислим его: 3 2
2 1 3
элементы, кроме находящегося во втором столбце, были нулевыми. Умножим элементы второго столбца на 2 и сложим с элементами первого
столбца. Затем умножим элементы второго столбца на (-3) и сложим с
элементами третьего столбца. Разложим по элементам третьей строки}
7 3 5
3 2 7 5
7 2 5 1 1
0.
7 5
0 1 0
116
Все миноры 3-го порядка равны нулю, следовательно, rang A 2 . Достаточно найти хотя бы один минор 2-го порядка, отличный от нуля, например,
1 3
7 . Нашли минор 2-го порядка отличный от нуля, так как все
3 2
миноры более высокого порядка равны нулю, то делаем вывод, что
rang A 2 . Ответ: rang A 2 .
Задание 5. Решить систему уравнений методом Крамера:
5 x2 x3 x4
2 x1 3 x2 x4
x1 3 x2 x3 3 x4
3 x1 x2 4 x4
5
6
0
6
Решение. 1) Найдем определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных:
0
5 1 1
0 5 1 1
2 3 1
2
3
0 1
2 3 0 1
13
1 1 1 2 4
1 3 1 3 1 2 0 4
3 1 4
3 1 0 4
3 1 0 4
0 7 9
9
1 3
1 3
2 1 7
1 1 1 2 4 1 1 1 1
67 .
5 16
0 5 16
2) Найдем определители j , j 1,...,4 для каждой x j переменной системы заменой j -го столбца элементов на столбец свободных членов систе-
5 5 1
6 3
0
мы: 1
0 3 1
6 1 0
1 5 5 1
1 6 3 0
3 5 2 0
4 6 1 0
1
6 3 1
1
31
1 1 5 2 4
4
6 1 4
4
24 0 13
3 2 24 13
117 0 12 1 1 1
67 ;
17 12
6 1 4
117
0 5 1
2 6 0
2
1 3 1
3 61 0
1
0
1
2
3 1
4
3
5 1
6 0
5 0
6 0
1
2 6 1
1
31
1 1 1 5 4
4
3 6 4
4
0 16 9
9
21 16
1 1 5 4 1 1 1
67 ;
21 16
0 21 16
0
5 5
2
3 6
3
1 3 0
3 1 6
0
0
1 38 29
75 59
0
5 1
2
3
0
4
1 3 1
3 1 0
0 7 16
1
0
5 5 1
5 5 1
1
0 3 6 7
31
1 1 3 6 7
3 1 3 0 3
10 6 13
4
0 10 6 13
1
13 38 29
7 1 1 1
67 ;
75 59
13
5
0 5 1
6
2 3 0
0 1 2 0
6
3 1 0
5
2 3 6
6
13
1 1 1 2 5
5
3 1 6
6
21 7
1 1 2 5 1 1 1
0 5 21
16
67 .
5 21
Находим решение системы:
x1
1 67
67
67
67
1 ; x2 2
1; x3 3
1 ; x4 4
1.
67
67
67
67
3) Проверяем найденное решение:
5 x 2 x3 x 4
2 x1 3 x2 x4
x1 3 x2 x3 3x4
3 x1 x2 4 x4
5
5 1 1 1 1 1 5
6
2 1 3 1 1 1 6
0
1 1 3 1 1 1 3 1 0
6
3 1 1 1 4 1 6
Ответ: x1 x2 x3 x4 1 .
118
Задание 6. Найти общее и одно из частных решений системы линейных
3x1 2 x2 5 x3 x4 3
уравнений: 2 x1 3x2 x3 5 x4 3 .
x1 2 x2 4 x4 3
Решение. 1) Запишем расширенную матрицу системы:
3
3 2 5 1
5 3 . 2) Преобразуем матрицу к треугольному виду.
2 3 1
1 2
0 4 3
Для удобства переставим первую и третью строки матрицы. Затем преобразуем матрицу так, чтобы в первом столбце получились все нули, кроме
0 4 3 1 2
0 4 3
1 2
5 3 0 7 1 13 3
элемента a11 : 2 3 1
3 2 5 1
3 0 8 5 13 12
3) Для удобства вычислений переставим местами второй и третий столбцы
матрицы. Запишем вверху столбцов названия переменных. Затем умножим
элементы второй строки на 5 и сложим с соответствующими элементами
x1 x3 x2 x4
x1
2 4 3 1
1 0
третьей строки:
0 1 7 13 3 0
0
5
8
13
12
0
x3
0
1
0
x2
x4
2
4 3
.
7 13 3
43 78 27
1 0
2
4) За базисный минор возьмем ненулевой определитель: 0 1 7 , в ко0 0 43
торый вошли коэффициенты при переменных: x1 , x2 , x3 – это зависимые
переменные, следовательно, x4 – независимая переменная.
5) Выразим зависимые переменные через независимую x4 :
43 x2 78 x4 27 , откуда x2
78 x4 27
;
43
119
x3 7 x2 13 x4 3 , откуда x3
13 x4 60
;
43
x1 2 x2 4 x4 3 , откуда x1
16 x4 75
.
43
6) Найдем одно частное решение, например, пусть x4 2 , тогда
x1
78 2 27
13 2 60
16 2 75
3 ; x3
2 .
1; x2
43
43
43
7) Проверим полученное решение:
3 1 2 3 5 2 1 2 3
2 1 3 3 1 2 5 2 3 .
1 1 2 3 4 2 3
Ответ: Общее решение системы:
x1
16 x4 75
78 x4 27
13 x4 60
; x2
; x3
.
43
43
43
Частное решение при x4 2 : x1 1 ; x2 3 ; x3 2 .
Задание 7. Найти общее решение и фундаментальную систему решений:
3x1 4 x2 3x3 9 x4 6 x5
9 x 8x 5x 6 x 9 x
1
2
3
4
5
3x1 8 x2 7 x3 30 x4 15 x5
6 x1 6 x2 4 x3 7 x4 5 x5
0
0
.
0
0
Решение: 1) Определим ранг матрицы. Преобразования можно проводить
только со строками. Поэтому умножим все элементы первой строки на (-3)
и сложим с соответствующими элементами второй строки. Затем умножим
все элементы первой строки на (-1) и сложим с соответствующими элементами третьей строки. Затем умножим все элементы первой строки на (-2) и
сложим с соответствующими элементами четвертой строки:
3
9
3
6
4
8
8
6
3 9 6 3 4
3
9
6
5 6 9 0 4 4 21 9
7 30 15 0 4
4
21
9
4 7 5 0 2 2 11 7
120
2) Вторая и третья строки пропорциональны, поэтому одну из них можно
вычеркнуть, ранг матрицы от этого не изменится:
3
9
6
3 4
0 4 4 21 9
0 2 2 11 7
3) Для простоты вычислений переставим вторую и третью строки местами.
Умножим все элементы второй строки на 2 и сложим с соответствующими элементами третьей строки:
3
9
6 3 4
3
9
6
3 4
0 2 2 11 7 0 2 2 11 7
0 4 4 21 9 0 0
0
1
5
4) За базисный минор возьмем ненулевой определитель данной матрицы,
3 4
9
например: 0 2 11 6 . В него вошли коэффициенты при перемен0 0
1
ных x1 , x2 и x4 – это зависимые переменные, следовательно, независимыми будут x3 и x5 . Выразим зависимые переменные через независимые,
тем самым найдем общее решение системы. Полученная после преобразований матрица соответствует системе:
x4 5 x5 0
2 x2 2 x3 11x4 7 x5 0 , откуда общее решение:
3x 4 x 3x 9 x 6 x 0
2
3
4
5
1
x4 5 x5
x2 24 x5 x3
57 x5 x3
x
1
3
5) Фундаментальная система решений будет содержать n r решений, то
есть из 2 решений, причем они должны быть линейно независимыми. Чтобы строки матрицы решений были линейно независимыми необходимо и
121
достаточно, чтобы ранг матрицы был равен числу строк, то есть 2. Тогда
адав значения независимым переменным из строк этого определителя,
можно найти линейно независимые решения.
6) Простейший определитель второго порядка не равный нулю есть
1 0
,
0 1
откуда первое решение: x3 1 ; x5 0 ; x4 0 ; x2 1; x1 1 , второе ре3
шение: x3 0 ; x5 1 ; x4 5 ; x2 24 ; x1 19 .
x4 5 x5
Ответ: Общее решение системы: x2 24 x5 x3 ; фундаменталь
57 x5 x3
x1
3
x 1 ; x2 1; x3 1; x4 0; x5 0
3
ная система решений: 1
.
x
19
;
x
24
;
x
0
;
x
5
;
x
1
2
3
4
5
1
6. Введение в численные методы. Основные понятия
6.1.
Интерполяция и квадратурные формулы
Интерполирование
Определение 6.1. Пусть функция f (х) задана таблично на [a, b], т.е.
задан набор значений: x0 = a, xn = b , x0 < x1 < x2 < .... < xn , yi = f (xi) i = 0,..., n
Тогда построение непрерывной на [a, b] функции (x) , такой что
(xi) = yi называется интерполяцией функции f (х) на [a, b].
Определение 6.2. Пусть полином степени n Ln(x) = a0 xn + a1 xn-1 + ... +
an интерполирует y=f (x) на [a, b], т.е. Ln(xi) = yi= f (xi). Тогда Ln (x) называется интерполяционным полиномом.
Квадратурные формулы
122
Определение
Выражение
6.3.
вида
n
S ci f ( xi ),
i 1
a x0 x1 ... xn b , предназначенное для вычисления определенного
b
интеграла I f ( x)dx называется квадратурной формулой.
a
Величина R=I S называется погрешностью квадратурной формулы. Укажем одну их квадратурных формул.
Формула трапеций
Простая : S1 = (b-a)( f(b) + f(a) )/ 2, R1 = (b-a)3 f () / 12 , (a,b)
f ( xi ) f ( xi 1 )
(b a)3
, R1n
f "( ), h=(b a) / n .
Составная: S h
2
12n 2
i 1
n
b
Определенный интеграл
f ( x )dx
функции f ( x ) геометрически
a
представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y= f ( x ) (Рис. 6.1).
Рис. 6.1. Криволинейная трапеция
Соответственно формуле и составим алгоритм вычисления величины
определенного интеграла для таблично заданной функции f(x).
1)
Вычисляем h=(b a) / n xi 1 xi .
2) Вычисляем приближенное значение величины определенного интеграла по составной формуле трапеций:
123
6
Iò ð S h
i 1
f ( xi ) f ( xi 1 )
f ( x6 ) f ( x5 )
f ( x1 ) f ( x0 )
h
...
2
2
2
5
h
y0 y6 2 yi .
2
i 1
6.2.
Контрольная работа 1. Часть 3.
Для таблично заданной функции (xi, yi) = f(xi), i =0,...,6, решить
следующие задачи (далее будем эту функцию обозначать f(x)).
1) Вычислить значение функции f(x) в заданной точке ( x0, x6)
используя линейную интерполяцию.
2) Вычислить значение функции f(x) в точке ( x0, x6) на основе
квадратичной интерполяции (используя многочлен Лагранжа второй
степени).
3) Вычислить величину определенного интеграла для таблично заданной функции f(x) методом трапеций.
4) Найти наибольшее fmax и наименьшее fmin значения для непрерывной на отрезке [х0, х6] функции f (х). Определить точки хтах и хmin, в которых
эти значения достигаются. Задачу решить двумя способами:
а) методом дифференциального исчисления;
b) численным методом золотого сечения. Сравнить результаты двух
подходов.
Варианты исходных данных
Вариант 1.
i
xi
yi
0
1
0.4 0.6
3.7 4.8
2
0.8
5.3
3
1.0
5.1
4
1.2
4.9
5
1.4
-0.1
6
1.6
-6.2
=0.44
f (х) = 3.5 x3+6.0 x2 2.3 x + 4.1
124
Вариант 2.
i
xi
yi
0
1
0.5 0.7
3.7 4.8
2
0.9
5.2
3
1.1
5.0
4
1.3
3.1
5
1.5
-0.2
6
1.7
-7.6
3
1.1
3.2
4
1.3
2.9
5
1.5
-0.1
6
1.7
-4.2
3
2.1
4.1
4
2.7
0.1
5
3.3
-1.5
6
3.9
-8.3
3
1.7
6.3
4
2.1
6.0
5
2.5
-0.3
6
2.9
-2.9
3
2.0
4
2.6
5
3.2
6
3.8
=0.73
f (х) = 2.5 x3+5.0 x2 2.1 x + 3.1
Вариант 3.
i
xi
yi
0
1
0.5 0.7
1.2 3.7
2
0.9
3.3
=1.59
f (х) = 1.5 x3+4.9 x2 2.26 x + 6.1
Вариант 4.
i
xi
yi
0
1
0.3 0.9
2.7 3.7
2
1.5
4.3
=0.47
f (х) = 1.5 x3+3.7 x2 2.56 x + 3.1
Вариант 5.
i
xi
yi
0
1
0.5 0.8
5.3 5.5
2
1.3
6.1
=1.44
f (х) = 1.5 x3+7.0 x2 2.3 x + 4.89
Вариант 6.
i
xi
0
1
0.2 0.8
2
1.4
125
yi
3.2 4.8
6.3
5.9
4.7
-0.1
-1.1
3
1.6
4.8
4
2.0
2.7
5
2.4
-0.5
6
2.8
-6.3
3
2.0
5.8
4
2.4
5.3
5
2.8
0.3
6
3.2
-1.7
3
1.7
4.7
4
2.0
3.9
5
2.3
-0.5
6
2.6
-4.1
3
1.6
5.8
4
2.0
0.5
5
2.4
-0.3
6
2.8
-4.2
=0.92
f (х) = 5.1 x3+4.6 x2 2.2 x + 5.1
Вариант 7.
i
xi
yi
0
1
0.4 0.8
4.2 4.3
2
1.2
5.1
=0.86
f (х) = 3.7 x3+6.1 x2 2.25 x + 5.1
Вариант 8.
i
xi
yi
0
1
0.8 1.2
5.1 5.4
2
1.6
6.1
=1.73
f (х) = 2.5 x3+5.98 x2 2.01 x + 6.1
Вариант 9.
i
xi
yi
0
1
0.8 1.1
2.3 3.3
2
1.4
5.3
=1.57
f (х) = 2.5 x3+5.8 x2 2.28 x + 4.05
Вариант 10.
i
xi
yi
0
1
0.4 0.8
5.1 5.4
2
1.2
6.1
=2.53
126
f (х) = 3.47 x3+6.95 x2 3.29 x + 5.05
6.3. Пример выполнения контрольной работы 1 (часть 3)1
Исходные данные. Функция у(х) задана таблично:
i
xi
yi
0
1
2
3
4
5
6
0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4
2.8
4.1 4.2 6.20 5.60 3.00 -1.00 -10.00
=0 .4 9
f (х) = 2.474 x3+5.9598 x2 202917 x + 4.0571.
Задание 1. Вычислить значение функции f (х) в точке =0.49, используя линейную интерполяцию.
Линейная интерполяция заключается в том, что функция f(х) заменяется ломаной с вершинами в точках (xi, yi). Так как [0.4, 0.8], находим
уравнение прямой, проходящей через две точки (0.4, 4.1) и (0.8, 4.2):
y 4.1
x 0.4
.
4.2 4.1 0.8 0.4
Разрешаем пропорцию относительно у: у = 0.25 х + 4.
При =0.49 получаем ответ f () = 4.1225.
Задание 2. Вычислить значение функции f (х) в точке = 0.49, используя квадратичную интерполяцию (интерполяционный многочлен
Лагранжа второй степени).
Решение. При квадратичной интерполяции таблично заданная
функция заменяется совокупностью дуг, имеющих форму парабол, каждая из которых проходит через три соседние точки. Уравнение параболы,
проходящей через точки (xi, yi) = f (xi), (i =0, 1, 2), задает многочлен Лагранжа второй степени:
Пример заимствован из источника: Иконникова И.А., Лаходынова Н.В., Гедике А.И. Информатика II. –
Томск: Изд-во ТГАСУ. – 2000.
1
127
L( x )
( x x0 )( x x2 )
( x x0 )( x x1 )
( x x1 )( x x2 )
y0
y1
y2 .
( x0 x1 )( x0 x2 )
( x1 x0 )( x1 x2 )
( x2 x0 )( x2 x1 )
По условию задачи тремя ближайшими к =0.49 точками являются: (0.4, 4.1), (0.8, 4.2) и (1.2, 6.20). Подставим эти значения в L( x) и
получим:
Ответ: f (0.49) = L(0.49) = 3.9568.
Таким образом, используя линейную интерполяцию, мы получили
f (0.49) = 4.1225 4.1, тогда как при квадратичной f (0.49) = 3.9568
4.0. Значения функции f (х) в точке = 0.49, найденные двумя разными
способами, отличаются друг от друга приблизительно на 3%.
Замечание. О степени точности двух найденных значений что-либо
утверждать затруднительно без дополнительной информации об исходной функции f (х), и потому нельзя определить, какой вид интерполяции
предпочтительнее. В то же время, можно отметить, что квадратичная интерполяция представляет поведение функции f (х) на более широком интервале [0.4, 1.2] по сравнению с линейной (х [0.4, 0.8]). В этом смысле
квадратичная интерполяция может оказаться более предпочтительной.
Задание 3. Вычислить величину определенного интеграла для таблично заданной функции f (x) методом трапеций.
Решение. В соответствии с выведенной формулой получаем
(h=0.4):
5
h
0.4
I ò ð S y0 y6 2 yi
4.1 10.00 2(4.2 6.20 5.60 3.00 1.00)
2
2
i 1
6.02.
Ответ: I ò ð 6.02.
Задание 4. Найти наибольшее fmax и наименьшее fmin значения для
непрерывной на отрезке [х0, х6] функции
f (х) = 2.474 x3+5.9598 x2 202917 x + 4.0571.
128
Определить точки хтах и хmin, в которых эти значения достигаются.
Задачу решить двумя способами:
а) методом дифференциального исчисления;
б) численным методом золотого сечения. Сравнить результаты двух
подходов.
Решение.
а) Метод дифференциального исчисления. Исходная функция по
условию задачи непрерывная на отрезке [х0, х6], тогда по теореме Вейерштрасса она достигает своих экстремальных значений либо на концах отрезка, либо в одной из критических точек, определяемых из условия f '
(х) = 0. В данном случае
f ' (х) = 7.4219 x2 + 11.9196 x 2.2917.
Критические точки находим из уравнения
7.4219 x2 + 11.9196 2.2917 = 0.
Корни квадратного уравнения легко вычисляют по известной схеме:
x1 = 0.2233 и х2= 1.3827.
Точка x1 = 0.2233 не входит в исследуемый отрезок [х0, х6] = [0.4,
2.8], следовательно, в пределах рассматриваемой области имеем единственную критическую точку х* = 1.3827, тогда f (х*) = 5.7428.
Вычислим функцию f (х) в граничных .точках:
f (0.4) = 3.9357, f (2.8) = 9.9429.
Сравнив найденные значения f (0.4), f (1.3827), f (2.8) заключаем:
1) наибольшее значение функции f (х) на отрезке [х0, х6] достигается в
точке хmax= 1.3827 и составляет fmax = f (1.3827) = 5.7428.
2) наименьшее значение функции f (х) на отрезке [х0, х6] достигается в
точке xmin = 2.8 и составляет fmin = f (2.8) = 9.9441.
б) Метод золотого сечения применяется для поиска минимума (максимума) функции одного переменного на отрезке. Метод использует следующее свойство непрерывных функций: если точки g и h (g < h) распо129
ложены на (a, b) и f(g) ≤ f(h), то на отрезке [a, h] есть хотя бы один минимум функции. Аналогично, если f(g) ≥ f(h), то на отрезке [g, b] есть хотя бы
один минимум.
Согласно этому методу поиск экстремума (максимума функции в
нашем случае (почему?)) сводится к построению последовательности отрезков [a0, b0], [a1, b1], …, [an, bn], стягивающихся к точке максимума
функции f (х). Задача считается решенной, когда длина интервала, содержащего точку максимума, не превышает малую, наперед заданную величину : |bn an| . При этом любая точка из [an, bn] считается решением.
Ниже приводится алгоритм выполнения задания, результаты работы
которого заносим в таблицу 1, приведенную ниже (данные до 4-го знака
без округления).
1. Полагаем а0 = х0= 0.4; b0= х6= 2.8. Выбираем для интервала [а0,
b0] две внутренние точки, координаты которых вычисляются из условия
золотого сечения:
y= 0.618 а0 + 0.382 b0= 1.3168
z = 0.382 а0 +0.618 b0=1.8832
Вычисляем f (y), f (z). Поскольку f (y)> f (z), то fmax находится на отрезке [ao, z] и отрезок [z, b0] можно исключить из дальнейшего рассмотрения.
2. Полагаем а1 = а0, b1= z, z = у. Новое значение у вычисляем по
формуле: y= 0.618 а1 + 0.382 b1.
Находим f (y), f (z). (см. табл. 6.1), поскольку f (y)< f (z), то fmax находится на отрезке [z, b1].
3. Полагаем а2 = у, b2= b1, у = z. Вычисляем новое z:
z = 0.382 а2 +0.618 b2.
Находим f (y) и f (z), сравниваем между собой и уменьшаем интервал по результатам сравнения.
Процесс продолжается до тех пор, пока |bn an| > 0.01.
130
При выполнении условия |bn an| 0.01, полагаем xmax=( an + bn )/2.
Таблица 6.1. Результаты вычислений
а
y
z
b
f (a)
f (y)
f (z)
f (b)
0.4000
1.3168
1.8832
2.8000
3.9357
5.7248
4.3549
-9.942
0.4000
0.9666
1.3166
1.8832
3.9357
5.(761
5.7247
4.3549
0.9666
1.3167
1.5331
1.8832
5.176!
5.7248
5.6372
4.3549
0.9666
1.1830
1.3167
1.5331
5.1761
5.5909
5.7248
5.6372
1.1830
1.3167
1.3993
1.5331
5.5909
5.7248
5.7416
5,6372
1.3167
1.3993
1.4504
1.5331
5.7248
5.7416
5.7223
5.6372
1.3167
1.3678
1.3993
1.4504
5.7248
5.7419
5.7416
5.7223
1.3167
1.3483
1.3678
1.3993
5.7248
5.7378
5.7419
5.7416
1.3483
1.3678
1.3798
1.3993
5.7378
5.7419
5.7428
5.7416
1.3678
1.3798
1.3873
1.3993
5.7419
5.7428
5.7427
5.7416
1.3678
1.3752
1.3798
1.3873
5.7419
5.7426
5.742S
5.7427
1.3752
1.3798
1.3827
1.3873
5.7426
5.7428
5.7428
5.7427
В данном примере решение достигается на 12-м шаге (при
а12=1.3798, b12=1.3873).
Ответ: xmax=( a12 + b12 )/2=1.3836; f (xmax) = fmax = 5.7428.
Сравнив полученные xmax, fmax с результатами первого подхода,
обнаруживаем хорошее соответствие между ними, что свидетельствует о правильности найденного решения.
Замечание. Нахождение точки минимума по методу золотого
сечения проводится аналогично, но сравнение f (y) и f (z) выполняется
по обратному принципу с сохранением меньшего из них для следующего шага. Кроме того, на каждом шаге вычислений (кроме пер-
131
вого) находим только одно новое значение функции f (x), что относят
к преимуществам метода золотого сечения.
132
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике.: В 2 ч. Ч. 1: Мн.: Выш. шк., 2006. – 247 с.
2. Высшая математика для экономистов. /Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М.
Тришин, М.Н. Фридман; под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.
3. Турецкий В. Я. Математика и информатика. – М.: ИНФРА-М, 2002. –
560 с.
4. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. Учебное пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 304 с.
5. Магазинников Л.И., Магазинников А.Л. Высшая математика. Линейная
алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие – Томск: ТМЦДО, 2003. – 176с.
133
