Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования Государственный университет – Высшая школа экономики ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ Рабочая программа дисциплины «Теория функций комплексного переменного (ТФКП)» Направление: 010100.62 «Математика» Подготовка: бакалавр Форма обучения: очная Автор программы: проф. О.В. Шварцман Рекомендована секцией УМС факультета математики Председатель Одобрена на заседании кафедры геометрии и топологии Зав. кафедрой, проф. «_____» ______________________2009 г. ________________________В.А.Васильев «_____» ______________________2009 г. Утверждена УС факультета математики Ученый секретарь доцент _________________________Ю.М.Бурман «_____» ______________________2009 г. Москва 2009 Рабочая программа дисциплины «Теория функций комплексного переменного» [Текст]/Сост. Шварцман О.В.; ГУ-ВШЭ. –Москва.– 2009. – 7 с. Рабочая программа составлена на основе государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки бакалавров Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 010100.62 «Математика». Рабочая программа предназначена для методического обеспечения образовательной программы по направлению 010100.62 «Математика». Составитель: к.ф.м.н Шварцман О.В. (ossipsh@gmail.com) © © Шварцман О.В. Государственный университет–Высшая школа экономики, 2009. дисциплины основной Пояснительная записка Автор программы: кандидат физико-математических наук О.В. Шварцман Требования к студентам: дисциплина изучается на втором курсе. От слушателей предполагается владение математическим анализом, алгеброй, геометрией и топологией в объеме первого курса. Курс теории функций комплексного переменного (всюду в дальнейшем ТФКП) занимает важное место в блоке математических дисциплин. Он является основным арсеналом идей и технических средств для комплексного анализа ,уравнений математической физики, голоморфной динамики и теории римановых поверхностей. В четвёртом модуле изучаются интегральная формула Коши, локальное представление рядами Тейлора и Лорана, принцип максимума модуля, принцип аргумента, теория вычетов В пятом модуле изучаются теория и практика конформных отображений, основы теории целых функций, аналитическое продолжение и римановы поверхности Цели и задачи изучения дисциплины, ее место в учебном процессе Цель изучения дисциплины: o формирование и развитие у студентов структурно-аналитического мышления o освоение фундаментальных понятий и вычислительных методов современного анализа Задачи изучения дисциплины: Познакомить студентов с основными фактами одной из наиболее классических отраслей математики, подчеркнув связь этой теории с современной алгеброй, геометрией и топологией. Тематический план учебной дисциплины № Название темы Всего часов по дисциплине В том числе аудиторных Всего Лекции Семинары Самостоятельная работа 3 модуль 80 60 18 42 20 1. Аналитические функции. Ряды Тейлора. Формула Коши. 20 15 4 11 5 2. 3. Принципы открытости и обратимости. Принцип аргумента и максимума модуля. Ряды Лорана и вычеты. 20 15 4 11 5 20 15 5 10 5 20 15 5 10 5 82 60 22 38 22 21 15 5 10 6 5. Лемма Шварца и геометрия голоморфных отображений. 4 модуль Нормальные семейства. 6. 7. Конформные отображения и теорема Римана. Целые функции. 21 15 5 10 6 20 15 6 9 5 Аналитическое продолжение и римановы поверхности. Итого: 20 15 6 9 5 162 120 40 80 42 4. 8. Базовые учебники 1. М.А. Евграфов. Аналитические функции – Изд. 2 , Наука, 1968. 2. С.М. Львовский. Лекции по комплексному анализу: НМУ МК, 2005. 3. А.Г. Хованский. Комплексный анализ М.: НМУ МК, 2000. 4. Сборник задач по теории аналитических функций / Под ред. М.А.Евграфова. – М.: Физматлит, 1969. Дополнительная литература 5. И.И. Привалов Введение в теорию функций комплексного переменного. – Изд.10-е. – Физматгиз, 1960. Формы контроля Текущий контроль - решение задач на семинарских занятиях. Промежуточный контроль – 2 коллоквиума, 3 контрольные работы по темам: 1) Вычисление интегралов с помощью вычетов. 2) Конформные отображения. Итоговый контроль - письменный зачёт (3-й модуль), письменный экзамен (4-й модуль). Формула для вычисления итоговой оценки: Если выполнено D% домашних заданий, K% заданий предлагавшихся на контрольных работах и E% заданий, предлагавшихся на зачётах и экзаменах (в процентах от общего количества всех предлагавшихся задач), то итоговая оценка (по десятибалльной шкале) равна 10 min( 225, D+K+E) / 225 Таким образом, для получения отметки 10 достаточно набрать сумму D+K+E=225 (что примерно соответствует выполнению ¾ заданий каждого из видов). Содержание программы Тема 1. Аналитические функции. Ряды Тейлора .Формула Коши. Тема 2. Принципы открытости и обратимости. Принцип аргумента и максимума модуля. Тема 3. Ряды Лорана и вычеты. Тема 4. Лемма Шварца и геометрия голоморфных отображений. Тема 5. Нормальные семейства. Тема 6. Конформные отображения и теорема Римана. Тема 7. Целые функции. Тема 8. Аналитическое продолжение и римановы поверхности. Образцы формы контроля Листок 1. Аналитические функции, ряд Тейлора, комплексное интегрирование. формула Коши, геометрический смысл производной, условия Коши-Римана. Листок 2. Элементарные асимптотические методы, однозначные элементарные функции, оценки рядов и интегралов, гармонические функции. Листок 3. Принцип максимума модуля. Особые точки, ряды Лорана, вычеты и некоторые их применения. Листок 4. Многозначные аналитические функции. Выделение регулярных ветвей. Листок 5. Мероморфные функции. Разложение мероморфных функций в ряды простейших дробей и в бесконечные произведения. Листок 6. Однолистные функции Практика конформных отображений. Листок 7. Принцип симметрии и принцип гиперболической метрики. Теорема Каратеодори в задачах Листок 8. Аналитическое продолжение и топология. Римановы поверхности. Автор программы: _____________________________ О.В. Шварцман