2.10. Аппроксимация детерминированных сигналов

35
1
Sa(z)
Выражение в квадратных скобках обозначим как
-3

-
0
-4 -2
3
2
z
Sa ( z) 
sin z
 функция отz
счетов (рис.2.15), принимающая нулевые
значения в точках z  k при k=1,2,...
4
Рис.2.15
2U  k1  
2
Sa 
.
  2UqSa (kq) , так как  1 
T
T
 2 
  действительная величина A . Такую велиИз формулы видно, что A
 
Итак, A
k
д
k
чину можно представить в виде одного графика (рис.2.16).
2U
5

Ak  Aд
-40
1
1
1
T  c, q  ,   c
4
5
20
Sa(kq)

40
0 1 2 3 4
2U
10
Aд
40
0
15
1
1
1
T  c, q  ,   c
2
10
20
Sa(k q)
-40
1  4
10

1  4
Рис.2.16
Пусть параметры сигнала T=1/4c, =1/20c и q=1/5. Тогда для первого
графика на рис.2.16 имеем: k=k1=2k/T=8k; 1=8, 2=16, 3=24,
4=32, 5=40; Sa(kq)=Sa(k/5)=0 при k=5, 10, 15,... Первый нуль
функции отсчетов будет в точке 40 на частоте 5=40
Изменим параметры сигнала: T=1/2c, =1/20c и q=1/10. Тогда для второго графика на рис.2.16 получим k=4k и Sa(kq)=Sa(k/10)=0 при k=10,
20, 30,... Здесь первый нуль функции отсчетов будет также в точке 40, но на
частоте =40В результате на интервале 40 в отличие от первого графика размещаются 10 спектральных линий, включая нулевую в точке 40.
36
Пример показывает, что с увеличением периода T частота основной гармоники   2 T уменьшается. В результате растет число гармоник на
1
фиксированном интервале частот, например [0,40]. Другими словами, с
увеличением  спектр становится плотнее. При этом амплитуды гармоник
уменьшаются. Форма огибающей спектра не изменяется. Она зависит только
от формы импульса.
В пределе при T   имеем одиночный импульс, т.е. непериодический
сигнал. Спектр при T   становится сплошным и имеет вид огибающей
спектра периодической последовательности импульсов.
Пример также показывает, что спектр четной функции x(t)  действительная функция, для описания которой достаточен один график.
Спектр нечетной функции x(t)  комплексная функция. Для описания этого спектра нужны два графика  спектр амплитуд и спектр фаз.
2. Одиночный прямоугольный импульс (рис.2.17).
Это непериодический сигнал. Аналитическая форма его записи:
x(t)

U п р и | t | 
x(t )  
0 п р и | t | 

U
-/2
0
/2
t

,
2

.
2
Рис.2.17
Интегральное преобразование Фурье функции x(t) имеет вид

F ( j) 
 x(t)e
 jt
dt ;

F ( j) 

2
 Ue
 jt
dt 


2
U
(e
j

j
2
e

 j
2
)
U (e
j

2
e

2j
2
 j

2
)


2  U Sa (  )  F ().
 U

2
2
sin
Спектральная
функция
является
действительной
функцией,
т.е.
F(j)=F(). Значит, спектр может быть представлен одним графиком
(рис.2.18).
37
F()
U
2



2

0
4


4

A()

0



Так как F()
спектру (рис.2.18)

-
Рис.2.18
знакопеременная функция, то переход к амплитудному
A () | F ( j  )| | F ()|
требует введения фазового спектра, несмотря на то, что функция
( = arctg
0
0
 arctg
 0,
R e F ( j  )
F ( )
иначе потом исходный сигнал x(t) не восстановить.
3. Функция отсчетов (рис.2.19).


F ( j)  F ()    c
0

x(t)= Sa(ct)
1
п ри
  с ,
п ри
 f с .
x(t)
/c
-/c
F(
/c
t
-с
0
Рис.2.19
0
с

38
Сравнение преобразования Sa(ct)F(j с п.2.6.2 показывает еще одно свойство преобразования Фурье  свойство взаимности. Переменные t и 
взаимно заменимы.
4. Односторонний экспоненциальный импульс.
Ue t п р и t  0;
x(t )  
п р и t  0.
0
F ( j) 
U
U (  j)
.
 2
  j
  2
Спектральная функция комплексна, так как x(t)  нечетная функция. Для
ее представления нужны два графика  амплитудный и фазовый спектры
(рис.2.20).
U
A ( ) 
x(t)
2
  2
U
U/ 
0

0
arctg 


t
-
Рис.2.20
5. Единичный импульс (или дельта-функция).
Введем понятие дельта-функции. Рассмотрим прямоугольный импульс
(t) (рис.2.21).
t

S=1
t
1/
t
-2 0 2
Рис.2.21
0
Рис.2.22
Для него условие нормировки имеет вид
/2
S 
/2
1
dt  1  единичная площадь.

 /2
 (t )dt  
 2
Устремим   Функция (t )  lim (t ) называется дельта-функцией
 0
или единичным импульсом (рис.2.22). Согласно определению,
39
 п р и t  0,
 (t )  
0 п р и t  0.

Площадь -импульса
S     (t  t 0 )dt  1 (условие нормировки).

Эта функция является абстрактным понятием, а именно математической
идеализацией.
Дельта-функцию можно сдвигать по оси времени (рис.2.23). В общем случае
 п р и t  t 0 ,
 (t  t 0 )  
0 п р и t  t 0 .
t


x(t)
t-t0
0
t0
x(t)
(t-t0)
t
0
Рис.2.23
t
t0
Рис.2.24
Дельта-функция (рис.2.24) обладает фильтрующими свойствами, т.е.

 x(t) (t  t
0
)dt  x(t 0 ) .

Очевидно, при t0=0 имеем

 x(t) (t)dt  x(0).

Рассмотрим спектральное представление -функции (рис.2.25):
F()=1.
(t)

F()
1
(t)

t
0
0
Рис.2.25
Дельта-функция имеет равномерный спектр. Она содержит все частоты с
одинаковой плотностью амплитуд.
40
Единичный импульс, т.е. -импульс, широко используется как испытательный сигнал. Согласно обратному преобразованию Фурье его можно записать и в такой форме:

 (t ) 
1
jt
 e d .
2 
6. Постоянная функция (рис.2.26).
Эта функция абсолютно неинтегрируемая, но в пределе имеет преобразование Фурье:

x(t )  1 F ( j)   1  e  jt dt  2 ()    (),


где
 () 
1
 jt
 e dt  дельта-функция в частотной области.
2 
F()
x(t)
1
t
0
Свойство
взаимности
(см. п.2.6.5).
*()=2

0
Рис.2.26
7. Сигнум-функция (рис.2.27).
Это абсолютно неинтегрируемая функция, но в пределе имеет преобразование Фурье:
1 п р и t  0,
2
sign (t )  
 F ( j) 
.
j
 1 п р и t  0
A()
sign(t)
+1
t
0
-1

0
Рис.2.27
8. Единичная функция (рис.2.28).
Эта функция абсолютно неинтегрируемая, но имеет преобразование
Фурье. Часто используется как испытательный сигнал:
1 п р и t  0,
1
1(t )  
 F ( j)  () 
.
j
0 п р и t  0
41
1(t)
A()
+1

Единичный
скачок
0

0
t
Рис.2.28
Связь между дельта-импульсом и единичной функцией:
t
d1(t )
 (t ) 
; 1(t )    (  )d .
dt

9. Гармонический бесконечный сигнал Acos0t, t.
Представление этого сигнала в форме рядов Фурье (рис.2.29):


А
x ( t )  A cos 0 t  e j0 t  e  j0 t .

 2

р яд ( 2.4.1)
р яд ( 2.4.2 )
Ak
A
x(t)
А

Ряд (2.4.1)
0
t
A/2
T=2/c
A+0)
Интеграл
(2.4.7)
-0
0
A/2

Ряд (2.4.2)
Три вида представлений
0
Ak =Aд
0

-0
0
F()

0
A-0)
0

Рис.2.29
Эта функция абсолютно неинтегрируемая, но в пределе имеет интегральное преобразование Фурье (рис.2.29):
F j 



A
A 2
e j0 t  e  j0 t e  jt dt 


2 
2

 1   j( 0 ) t

1

e
dt 
e  j( 0 ) t dt   A  0   (  0 ).


2  
 2  

10. Косинусоидальный импульс (рис.2.30).
42
Аналитически он представляется как (t)cos0t, где (t)  видеоимпульс
прямоугольной формы.
(t)cos0t
(t)
U
0
t


-2
F()
U
-0
U
0
0
Рис.2.30

2.7. Связь между длительностью сигнала и шириной
его спектра
Сигналы могут иметь или бесконечную длительность или бесконечный
спектр. Для практических расчетов длительность и ширину спектра можно
ограничивать. При этом следует оговаривать, что понимается под практической длительностью и практической шириной спектра. Наиболее удобно эти
понятия дать с помощью энергетического критерия. Обычно под ними понимают интервалы, внутри которых сосредоточена основная часть энергии сигнала, например 90 или 99% (рис.2.31, где E()  спектральная плотность энергии).
x(t)
A2 ()  F(j) 2  E()
E=E
(=0,90,99)
E=E
t
0
t
0
п
п
п

Рис.2.31
Полная энергия сигнала

E
2
 x t dt 


1
A 2  d  .
 0
Пусть сигнал начинается в момент времени t=0. Тогда условие для выбора
практической длительности имеет вид
43
п

1 2
0 x (t ) dt    0 x (t ) dt ,
где коэффициент   0,9  0,99. Решение данного уравнения дает величину
2
п.
Условие для выбора практической ширины спектра:


1 п 2
1
A ( )d     A 2 ()d  ,

 0
0
где
 п   п  2    f п .
Рассмотрим одиночный прямоугольный импульс
(рис.2.32). Длительность его конечна и равна , а
спектр бесконечен. Для этого сигнала зависимость
U
 
  f п 
  
t
-2
имеет вид, показанный на рис.2.33.
= E/E
1
0,8
0,6
0,4
0,2

A()
U
0 1 2 3 4 5 6
0 2
Рис.2.32
0,9Е, т.е. 90%
энергии сигнала

п

-2/
0
2/=п
п
Рис.2.34
Рис.2.33
Из рис.2.33 при =0,9 имеем
П
 
 2 , т.е.  П  2 . Это значит

(рис.2.34), что в частотной области 90% энергии прямоугольного импульса
сосредоточено в части амплитудного спектра A(), обозначенной на рис.2.34
затенением.
Связь между шириной спектра и длительностью прямоугольного импульса
при  =0,9 можно представить в следующем виде:
 П   П  2f П 
2
или f   1.
П

44
Отсюда видно, что чем короче импульс, тем шире его спектр.
Анализ различных импульсных сигналов показывает, что для всех импульсов (это характерная особенность)
f     const ,
П
П
где   коэффициент, зависящий от формы импульса. Его величина порядка
единицы.
2.8. Прохождение детерминированных сигналов
рез линейные устройства
че-
Для линейных устройств (ЛУ) справедлив принцип суперпозиции.
2.8.1. Режимы работы и основные характеристики
Различают два режима работы  статический и динамический.
А. Статика (рис.2.35).
у
ЛУ
X=const
ym
Y=const
К
X=x1+x2
Y=y1+y2=k(x1+x2)
Принцип
суперпозиции
Выходной
диапазон
y

0
x
x
xm
Входной диапазон
Рис.2.35
Коэффициент передачи или чувствительность линейного устройства
K
y ym

 tg .
x xm
Две типовые структурные схемы ЛУ приведены на рис.2.36.
При последовательном соединении звеньев устройства (рис.2.36,а) коэффициент передачи
K  K 1K 2 .
Звено прямой цепи
“+” или “-“
х
K1
K2
Звенья ЛУ
а)
у
x
K1
xoc
K2
у
ИСС
Kос
Звено обратной связи ОС
б)
Рис.2.36
Для устройств с обратной связью (рис2.36,б, где xoc  сигнал обратной
связи; ИСС  измерительная схема сравнения сигналов x и xoc )
45
K
K 1K 2
,
1  K 1K 2 K oc
где “+” берется при отрицательной обратной связи, а “-”  при положительной
обратной связи.
Б. Динамика. Идеальное линейное устройство (ИЛУ) (рис.2.37).
ИЛУ
x (t)
К
x(t) = x1(t)+x2(t)
y(t) = Кx(t)
y(t) = y1(t)+y2(t) =K[x1(t)+x2(t)]
Принцип суперпозиции
Рис.2.37
Реальное линейное устройство (РЛУ). Для описания его работы в динамическом режиме служат следующие характеристики.
1. Линейное дифференциальное уравнение:
аny( n ) (t)+ аn-1y( n-1 ) (t)+…+ а1y (t)+ а0y(t)= b0x(t)+ b1x (t)+…+ bmx( m ) (t),
где аn и bm  параметры устройства. Решение данного уравнения дает связь
между функциями x(t) и y(t).
2. Частотные характеристики:
а) Комплексный коэффициент передачи (рис.2.38).
x (t)
РЛУ
Fx(j)
y(t)
Fy(j)
Рис.2.38
Функция
K ( j) 
Fx(j)=Ф[x(t)]  спектр входного сигнала;
Fy(j)=Ф[y(t)]  спектр выходного сигнала.
F y ( j)
F x ( j)
, определяемая как отношение спектра вы-
ходного сигнала к спектру входного сигнала и где  вещественная частота,
называется комплексным коэффициентом передачи или комплексной
частотной характеристикой устройства. Ее можно представлять в другой
форме:
K ( j)  P()  jQ()  K ()e j( ) ,
где K ()  | K ( j) | 
P 2 ()  Q 2 ()  амплитудно-частотная ха-
рактеристика (АЧХ);
()  arctg
Q()
 фазочастотная характерстика (ФЧХ).
P ()
Для идеального устройства АЧХ (2.39,а) и ФЧХ (2.39,б) имеют вид
(рис.2.39):
46
К()
()
Идеальная
Реальная
0
1
0

а)
б)

2
Рис.2.39
Идеальная ФЧХ может быть двух видов:
прямая 1)такая характеристика не вносит запаздывания;
t0 (прямая 2)  вносит запаздывания на время t0 (рис.2.40).
x(t)
y(t)
ИЛУ
0
0
t0
Рис.2.40
Комплексный коэффициент передачи можно найти из дифференциального
уравнения, произведя замену оператора дифференцирования d/dt на оператор
j
b 0  b 1 ( j) ... b m ( j) m
K ( j) 
.
a 0  a 1 ( j) ... a n ( j) n
Процесс прохождения сигнала через ЛУ на основе спектрального представления сигнала поясняет схема на рис.2.41.
x (t)  Fx(j)
y(t) Fy(j)
K(j)
Fy(j)= Fx(j)K(j)
Рис.2.41
б) Передаточная функция (рис.2.42).
x (t)
РЛУ
X(p)
Рис.2.42
Функция
K ( p) 
y(t
)
Y(p)
X(p)=L[x(t)] изображение по Лапласу
входного сигнала;
Y(p)=L[у(t)]  изображение по Лапласу
выходного сигнала.
Y ( p)
называется передаточной функцией, где р 
X ( p)
комплексная частота. Это обобщение функции К(j).
47
Передаточную функцию К(р) можно получить:
1) из дифференциального уравнения заменой d/dt на оператор “р”
K ( j) 
b 0  b 1 p ... b m p m
a 0  a 1 p ... a n p
n

B( p) ( p  z1 )( p  z 2 )...( p  z m )

,
A( p) ( p  p 1 )( p  p 2 )...( p  p m )
где zi  нули; рi  полюсы передаточной функции;
2) из комплексного коэффициента передачи заменой (j на “р”
K ( j)  K ( p) .
Передаточная функция нашла широкое применение при анализе и синтезе
линейных устройств (рис.2.43 и 2.44).
X(p)
К1(р)
К2(р)
Y(p)



K (p)
Рис.2.43
“+” “-“
X(p)
К1(р)
XOC (p)
КОС(р)
К2(р)
При последовательном соединении
(рис.2.43)
К(р) = К1(р)К2(р).
При обратной связи (рис.2.44)
Y(p)
K ( p) 
K 1 ( p) K 2 ( p)
1  K 1 ( p)K 2 ( p)K OC ( p)
,
где “+” при отрицательной и “-” при
положительной обратной связи.
Рис.2.44
3. Временные характеристики:
a) Весовая функция. Реакция (или отклик) устройства на -функцию
(рис.2.45) называется весовой или импульсной функцией g(t).

g(t)
x (t)
y(t)
(t)
K(j)
0
t
0
t
Рис.2.45
Эта функция связана простым соотношением с комплексным коэффициентом передачи К(j). Очевидно, спектр весовой функции
Fg ( j)  K( j)F ( j)  K ( j) .

1
Отсюда на основании обратного преобразования Фурье имеем
48

g(t ) 

1
1
j t
F g ( j)e j t d  

 K ( j)e d
2 
2 
или при замене (j на оператор “р” получим
c  j
g(t ) 
1
K ( p)e p t dp ,

2j c  j
т. е.обратное преобразование Лапласа передаточной функции дает импульсную функцию.
На практике обычно решается обратная задача. На вход устройства подают испытательный сигнал (t). В результате эксперимента получают весовую
функцию g(t). Затем на основании весовой функции определяют или комплексный коэффициент передачи К(j), или передаточную функцию К(р):

K ( j) 
 j t
 g(t)e dt ;


K ( p)   g(t )e  p t dt.
0
б) Переходная функция. Реакция устройства на единичную функцию 1(t)
называется переходной функцией h(t) (рис.2.46).
1(t)
h(t)
1
0
y(t) К(0)
x (t)
Единичный
скачок
K(j)
2
0
t
Рис.2.46
Рассмотрим связь между функциями h(t),
спектр переходной функции:
t
К(j) и К(р). Очевидно,
1
Fh ( j)  F1( t ) ( j)K( j)  ()K( j) 
K( j).



j
 ( )
1
j
На основании обратного преобразования Фурье этого спектра с учетом фильтрующих свойств дельта-функции () следует


1 
1
K (0) 1 K ( j) jt
h (t ) 
()  K ( j)e jt d  


 j e d.

2 

2
2 
Если учитывать только переменную (~) составляющую отклика (постоянной
составляющей K(0)/2 пренебрегаем), то тогда окончательно имеем:
49

h (t ) 

1 K ( j) j t
 j t
 j e d; K ( j)  j  h(t)e dt;
2 
c  j

1
K ( p) p t
h (t ) 
e dp; K ( p)  p  h (t )e  p t dt.

2j c  j p
0
2.8.2. Основные задачи динамики
Различают следующие основные задачи.
1. Экспериментальное определение динамических характеристик устройства по его реакции на испытательные сигналы (t) и 1(t).
2. Определение выходного сигнала у(t) при заданных x(t) и К(j) или
К(р). Эту задачу можно решать тремя методами.
* Cпектральный метод:






y(t )   1 F y ( j)   1 F x ( j)K ( j)   1 K ( j)x(t ) .
*
Операторный метод:
*
Временной метод. Так как


y(t )  L1 Y ( p)  L1  X ( p)  K ( p)  L1 K ( p)Lx(t ) .
F y ( j)  F x ( j)K ( j)  F x ( j)F  ( j) ,
то согласно теореме о свёртке

F x  jF   j   x gt  d  


 xt  gd  xt  gt .

Если сигнал x(t) начинается в момент t  0 и равен нулю при t  0 , то
нижний предел в интеграле свёртки можно заменить на нуль. Если дополнительно g( t )  0 для t  0 (это условие выполняется для всех физически
реализуемых устройств), то gt    0 для   t Поэтому верхний предел в
интеграле свёртки можно заменить на t .
Рассмотренные ограничения дают частный случай интеграла свёртки
t
yt    x gt  d   xt  gt .
0
3. Оценка динамической погрешности преобразования.
 Временное представление динамической погрешности (рис.2.47, для
случая линейного входного сигнала).
50
В евклидовом равномерном пространстве R погрешность оценивают
как разность откликов реального и
идеального ЛУ (рис.2.47)
yидеал(t)=Kx(t)
(t )
0
yреал (t)
Рис.2.47
(t)  yре ал(t)  yиде ал(t)
t
.
Динамическую погрешность можно оценивать также в гильбертовом
квадратичном пространстве L2 как норму разности двух функций yреал(t) и
yидеал(t).
 Частотное представление динамической погрешности.
В частотной области она характеризуется спектральной функцией


F   j   K  j   K 0 F x  j 
    
   
или изображением  p  K p  K 0 X p .
Динамическая погрешность зависит как от характеристик устройства, так и
от вида входного сигнала.
4. Коррекция динамических характеристик устройства.
При разработке масштабирующих устройств для улучшения их динамических свойств стремятся по возможности получить постоянную АЧХ в широком диапазоне частот. Расширение полосы пропускания устройства можно
достигнуть путем включения корректирующих звеньев со специально подобранной комплексной частотной характеристикой. Корректирующие звенья
обычно включают последовательно или как отрицательную обратную связь
(рис.2.48).
x(t) “-”
y(t)
y(t)
x(t)
K(j)
K(j)
K1(j)
Koc(j)
Рис.2.48
Условие последовательной идеальной коррекции:
K  ( j)  K  const , где K  ( j)  K ( j)K 1 ( j) .
Отсюда следует, что последовательное корректирующее звено должно иметь
комплексный коэффициент передачи вида
K 1 ( j) 
K
.
K ( j)
В случае коррекции посредством отрицательной обратной связи, когда
51
K ( j)
,
1  K ( j)K oc ( j)
необходимо выполнение условия K(j)Koc(j)>>1. Тогда получим
1
,
K  ( j) 
K oc ( j)
K  ( j) 
т.е. частотные характеристики скорректированного устройства определяются
звеном обратной связи. В частности, при Koc(j)= получим идеальную
коррекцию путем введения отрицательной обратной связи
K  ( j)  1 .

2.8.3. Пример прохождения сигнала через идеальный фильтр
нижних частот
Пусть известны частотные характеристики идеального фильтра нижних
частот (ФНЧ), рис.2.49, где с=2fc  граничная частота среза фильтра.
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)
K()
K
K при 0     ,
0
c
()
Рис.2.49


K()  

0
с
при  f с .
Фазо-частотная характеристика (ФЧХ)
()  t 0 , 0    c .
Пусть на вход идеального ФНЧ в момент времени t=0 подается испытательный сигнал в виде дельта-функции (t). Найдем отклик ФНЧ на этот
входной сигнал. Решение данного примера с учетом спектрального представления дельта-функции (рис.2.25) и функции отсчетов (рис.2.19) показано на
рис.2.50.
Интегральному преобразованию Фурье соответствует двухстороннее частотное представление (-). Поэтому на рис.2.50 частотные характеристики ФНЧ (см. рис.2.49) приводятся в соответствие с двухсторонним частотным представлением входного сигнала. На область отрицательных частот
АЧХ отображается зеркально без изменений, а ФЧХ  зеркально с одновременным изменением знака фазы.
52

(t)
y(t)
t0
K c

t
ФНЧ
t
() =-t0
0
K()
x(t)
y(t)
-c
c
K
F()
1
-c
Ay()
c 
K

c
y() =-t0
0
AF 
c 
Рис.2.50
Так как на выходе ФНЧ амплитудный спектр Ay()=A()K() и
фазовый спектр y()==-jt0, то выходной сигнал y(t) имеет
спектральную функцию
F y ( j)  A y ()e  jt 0 .
Тогда согласно обратному преобразованию Фурье выходной сигнал

1 c  jt 0 jt
K
e
y(t ) 
Ke
e d 

2 
(t  t o )
j c ( t  t o )
c

K  c sin  c (t  t 0 )

 c (t  t 0 )

Kc


e
2j
 j c ( t  t o )
c
c


Sa  c (t  t o ) .
Таким образом, с точностью до множителя Kc/ реакция идеального
ФНЧ на -функцию  это функция отсчетов Sact-t0, задержанная на
время t0 за счет линейной фазочастотной характеристики.
2.9. Случайные сигналы и их характеристики
2.9.1. Общие понятия
Случайный сигнал (или процесс) является случайной функцией времени
Х(t). Значения этой функции в любой момент времени t нельзя предсказать
заранее. Эти значения являются случайными величинами.
В результате опыта случайная функция Х(t) принимает конкретный вид
x(t). Функцию x(t) называют реализацией случайного процесса. Каждая реализация  это неслучайная функция.
53
Случайный процесс полностью определяется бесконечным набором реализаций, т.е. ансамблем реализаций (число реализаций N), рис.2.51.
X(t)
x1(t) x2(t)
N 
0
t1
t
xN(t)

Рис.2.51
 iN1 ансамбля реализаций в произвольный
Совокупность значений x i (t 1 )
момент t1 называют сечением Х(t1) случайного процесса. Сечение Х(t1) является случайной величиной.
Другой полной характеристикой случайного процесса является многомерная плотность вероятности
pN (x1, x2, ...,xN; t1, t2, ...,tN).
Она характеризует закон распределения ансамбля случайных величин Х(t1),
Х(t2),..., Х(tN).
На практике обычно рассматривают менее полные, но зато более простые
характеристики случайных процессов. Их называют числовыми характеристиками или моментами. Эти характеристики являются неполными моделями случайных сигналов.
Числовая характеристика - это среднее значение вида
М [X(t1), Х(t2), ..., Х(tk)] или М [Xk (t)],
где k порядок момента; М  знак математического ожидания, он характеризует операцию усреднения по ансамблю реализаций.
Случайные процессы делятся на нестационарные и стационарные, эргодические и неэргодические.
Случайные
процессы
X(t)
Стационарные
Эргодические
Иллюстрация
соотношения между
различными видами
случайных процессов
Различают стационарность в узком и широком смыслах. Стационарность в
узком смысле понимают так: плотность вероятности и все моменты не зависят от отсчета времени, т.е.
pN(x1, x2, ...,xN; t1, t2, ...,tN)= pN(x1, x2, ...,xN; t1+, t2, ...,tN).
Стационарность в широком смысле понимают следующим образом:


54
MX ( t )  const ; M X 2 (t )  const ; MX( t1 )X( t 2 )  f () ,
  
1-й момент
2-й момент
2-й смешанный момент
где t2-t1.
Из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком
смысле, но не наоборот.
2.9.2. Основные характеристики случайных процессов
2.9.2.1. Нестационарные процессы
Основные характеристики.
1. Одномерная плотность вероятности p(х,t).
2. Двухмерная плотность вероятности p (x1, x2; t1, t2).
3. Момент первого порядка (рис.2.52)

p(x,t)
m1(t)  MX(t)   xp(x, t)dx.

m1(t)
x
Рис.2.52
в сечении t или средним по ансамблю (т.е. множеству) реализаций. Для нестационарного процесса его среднее значение (или постоянная составляющая )
изменяется во времени.
1-й момент называют математическим ожиданием
0
o
Функция X ( t )  X ( t )  m 1 (t ) называется центрированной.
Очевидно,
 o 
M  X(t )   M  X (t )  m 1 (t )  M  X (t )  m 1 (t )  0 .


4. Момент второго порядка


 x
m 2 (t )  M X 2 (t ) 
2
 p(x, t )dx.

Этот момент дает среднее по ансамблю значение квадрата случайной величины в сечении t.
5. Начальный (т.е. центрированный) момент второго порядка
2




  2  

m 2 t   Dt   M X ( t )   x  m  t   px, t dx.
1 

  


x


Второй начальный момент называют дисперсией D(t).
55
Дисперсия характеризует разброс
Разброс
p(x,t)
оценивается
случайной величины в сечении t
D(t)
относительно
среднего
значения
(рис.2.53). Иногда удобно разброс
m1(t)
0
оценивать в единицах измерения
x
Рис.2.53
случайной величины. Для этого вводят
такую характеристику, как среднеквадратическое отклонение
 2  t   D  t .
Очевидно,



2
 2 t   D t   M  X t   m 1 t   



 M X 2 t   2m 1 t   X t   m 12 t   m 2 t   m 12 t .
6. Начальный смешанный момент второго порядка


o
o

R t 1 , t 2  M  X (t 1 ) X(t 2 )  


 

x  m ( t ) x  m ( t )p( x , x ; t , t
  
 
1
1
2
2
1
2
1
2
)dx1dx 2 .



x1
x2
Очевидно, при t2= t1 имеем R(t1,t1) = D(t1).
Второй смешанный начальный момент называют корреляционным моментом или корреляционной функцией (КФ). Эта функция характеризует
статистическую связь между сечениями t1 и t2 случайного процесса. С ростом
интервала  = t2t1 эта связь убывает.
Часто пользуются нормированной корреляционной функции (НКФ)
(t 1 , t 2 ) 
R (t 1 , t 2 )
(t 1 )(t 2 )
; при t1=t2 функция (t 1, t 2 )  1 .
Теория случайных процессов, в которой используются моменты не более
второго порядка  это корреляционная теория.
2.9.2.2. Стационарные процессы
Основные характеристики.
1. Одномерная плотность вероятности (рис.2.54)
p(х,t) = p(x,t+t) = p(x).
Она не зависит от места сечения t.
56
p(x)
X(t2)
X(t1)
x(t)

0
0
m1
Рис.2.54
t1
t2
Рис.2.55
t
2. Двухмерная плотность вероятности p(x1,x2,), где  t2t1, т.е. зависит от величины интервала рис.2.55).
3. Первый момент, или математическое ожидание (см. рис.2.54)
m 1  M  X(t ) 

 xp(x)dx .

o
Случайный процесс X (t )  X (t )  m 1 называется центрированным.
4. Момент второго порядка


  x p(x)dx.
m 2  M X (t ) 
2
2

5. Второй начальный момент, или дисперсия
o
 o2  
D  m 2  M  X (t )    (x  m 1 ) 2 p(x)dx.

 
Дисперсия характеризует разброс случайной величины относительно среднего значения и не зависит от места сечения t (рис.2.56).
D  разброс
относительно
m1
p(x)
0
m1
Рис.2.56
x
6) корреляционный момент, или корреляционная функция (КФ)
 



R   M X( t ) X( t  )   x1  m1 x 2  m1 p( x1 , x 2 , )dx1dx 2 .

 


    


x1
x2
Для случайного процесса X(t) КФ характеризует статистическую связь
o
o
между двумя сечениями X 1 и X 2 , разделенными интервалом  (рис.2.57). С
ростом данного интервала эта связь убывает. Очевидно, при 0 имеем
R(0)=D.
57
0
0
X(t)
X(t)
0
X1
R()
X2
D

m1
0
t
t-
t
t
Рис.2.57
 убывающая и четная функция, т.е.
R()
   (см. рис.2.57).
0
R() = R(-) и R()  0 при
Определение нормированной корреляционной функции принимает вид
( ) 
R ( ) R ( )
; при =0 имеем  (0)=1.

D
2
Можно ввести понятие корреляционной функции и для нецентрированного
случайного процесса, а именно
B( )  M  X(t ) X(t  ) 
 
 x x

1 2
p(x1, x 2 , )dx1dx 2 .
Функции В() и R() связаны соотношением
 o
 o

B   M X (t )  m 1 X (t  )  m 1  



o
o
o
o
2
 M  X (t ) X (t  )  m 1 X (t )  m 1 X (t  )  m 1  





 


2
2
 M X( t ) X( t  )  m1 M X( t )  m1 M X( t  )  m1  R ()  m1 .







 

0
0
Графическое представление (рис.2.58)
корреляционной функции B() нецентрированного случайного процесса. Функция
B()  m12 при   .
B()
D
m12
0
Рис.2.58

7. Интервал корреляции k. Под ним понимается величина (рис.2.59)

 k   | ( )| d  .
0
58
()
1
0.05
0
Величина k соответствует площади
прямоугольника, равной площади под
кривой 

к м.к
Рис.2.59
Максимальный интервал корреляции м.к. соответствует значению
(м.к.)=0,05 (рис.2.59).
При    k сечения А и В (рис.2.60) статистически связаны, т.е. коррелированы.
X(t)
X(t)
X(t-
k
t
A
B
t
t-
Рис.2.60
сечения А и В практически некоррелированы, т.е. статисти0
При
чески
  k
не связаны. Это значит,
Х(tкпрактически независимы.
что
случайные
величины
Х(t) и
8. Знаковая корреляционная функция 3().
Ее достоинство: она позволяет упростить техническую реализацию коррелометров. Коррелометр – это прибор для опытного определения корреляционных функций.
Под знаковой корреляционной функцией понимают:

o 
o

З( )  M sign X (t ) sign X (t  )   , где





o

 1 п р и X (t )  0;
o
o

sign X (t )   0 п р и X (t )  0;

o
1 п р и X (t )  0.

59
Сигнум-сигнал получают на выходе двухстороннего ограничителя
(рис.2.61). Процесс ограничения иногда называют клиппированием, а сигнумсигнал  клиппированным сигналом.
o
o
sign X ( t )
X(t)
1
o
sign X ( t )
o
X(t)
1
-1
t
t
-1
t
Рис.2.61
Для нормальных стационарных процессов, когда
 x 2  2x x ( )  x 2 
1 2
2
p(x 1 , x 2 , ) 
exp  1
,
2
2
(
1


(

))
2  1  ( )


1
где ()  нормированная корреляционная функция (НКФ) процесса X(t),
знаковую функцию можно представить в другой форме, раскрыв знак М:
3() 

примем В



sign
X
(
t
)

sign
X
(
t
)
p
(
x
,
x
,

)
dx
dx

2
 1 2 1
12
 


 
примем А
0 
0 0
 
 0
   A    A    A    A.
 
0
0 0
0 



 
 


 x2
I
II
-
III
-
(2.9.1)
Области интегрирования
выражения (2.9.1). Они
соответствуют четырем
квадрантам I, II, III, IV
плоскости (x1,x2).

x1
IV
Сигнум-функции в (2.9.1) принимают только два значения: “+1” и “1”.
Их можно выносить за знак интеграла. При этом возможны следующие сочетания:
o
sign X (t 1 )  1
o
o
sign X ( t 1 )  1
o
sign X ( t 2 )  1
sign X ( t 2 )  1
x1 > 0, x2 > 0
x1 < 0, x2 > 0
o
sign X ( t 1 )  1
o
o
sign X (t 1 )  1
o
sign X (t 2 )  1
sign X (t 2 )  1
x1 < 0, x2 < 0
x1 > 0, x2 < 0
60
I кв.
II кв.
III кв.
IV кв.
Тогда (2.9.1) с учетом знаков сигнум-функций принимает вид

0 
0 0
 0
3()    B    B    B    B .
0 0
 
0
0 


 
 

Вероятность совпадения знаков при
t1 и t2, обозначим p()
(2.9.2)
Вероятность несовпадения знаков
при t1 и t2, обозначим q()
При этом р() + q() =1 (из условия нормировки плотности вероятности).
Графическое представление вероятности p() (рис.2.62):
x2
Знаки х1 и х2 здесь совпадают. Интегрирование по этой области дает вероятность р().
Таким образом:
x1
3() = р()  q() = 2 р()  1 . (2.9.3)
С другой стороны, если взять интегралы в выражении (2.9.2), то можно получить:
Рис.2.62
2
arcsin ( ) .

3( ) 
(2.9.4)
Эта формула дает связь между знаковой и нормированной функциями корреляции нормального процесса. Формулы (2.9.3) и (2.9.4) позволяют находить функцию ( ) по вероятности совпадения знаков р() двух клиппированных сигналов. Последовательность такова:
p( )  3( )  ( ) .
 по ( 2.9.3)
по ( 2.9.4 )
ее определяет прибор 
знаковый коррелометр.
2.9.3. Эргодическое свойство стационарных процессов
Различают два понятия средних значений:
а) среднее к-го порядка по ансамблю 

m k  M X k (t )

б) среднее к-го порядка по времени одной реализации 
x k (t )  lim
t m 
1
tm
tm
2
x

tm
2
k
 t t 
(t ) dt, t   m , m .
 2 2
61
Стационарные случайные процессы, для которых усреднение по ансамблю
и усреднение по времени эквивалентны, называются эргодическими. Итак,
для эргодических процессов имеем m k  x (t ) .
Свойство эргодичности позволяет дать физическое толкование некоторых
числовых характеристик. Пусть х(t)  ток или напряжение на сопротивлении
R=1 Ом. Тогда:
k
tm
1 2
среднее значение или постоянная
1) m1  x ( t )  lim
 x(t )dt составляющая
t m  t
случайного сигнала;
m tm


2
m

оценка
среднего значения.

1
m1
tm
2
1
x 2 ( t )dt  P  средняя мощность случайно
t m  t
го сигнала;
m tm


2 

P*  оценка средней
2) m 2  x ( t )  lim
2
P

 2
мощности.
tm
2  2
1
 x (t )dt  P  средняя мощность
t m  t
m tm
флюктуаций, т.е. отклоне
2

 ний от постоянной состав-
3) m 2  D  x ( t )  lim
D*=P*
ляющей;
P* = D*  оценка средней мощности флюктуаций;
4)   D  эффективное или действующее значение флюктуаций, т.е.
переменной составляющей тока или напряжения.
Для эргодичного процесса корреляционная функция будет равна
tm
2 



1
x
(
t
)
x
(
t


)
dt

x
(
t
)
x
( t  ) ,

t m  t
m tm

2

R ()  lim
R  ( )
где R*()
 оценка корреляционной функции,
62
tm
2 o
1
R  ( ) 
tm
o
 x(t) x(t  )dt .

tm
2
Эта оценочная формула определяет структуру и алгоритм работы прибора
для измерения корреляционной функции эргодического процесса.
2.9.4. Спектральное представление стационарных процессов
Пусть х(t)  реализация эргодического процесса. Для нее подобно мощностным детерминированным сигналам можно найти спектральную плотность
мощности (см. энергетические характеристики детерминированных сигналов)
S()  lim
| F t m ( j)|2
tm
t m 
.
Квадрат модуля спектральной функции
| F t ( j)|2  F t ( j)F t* ( j) ,
m
m
m

где
F t* ( j) 
m
ция реализации
 x(t)e
j t
dt  комплексно-сопряженная спектральная функ-

x(t ), t 0, t m 

F t ( j) 
m
 x( z)e
 j z
dz  спектральная функция при z 0, t m  .

Пусть переменная z = t + , где новая переменная, причем d= dz.
Тогда

F t ( j) 
m
 x(t  )e
 j ( t   )
d .

Спектральную плотность мощности можно представить в виде
1
t m  t
m
S()  lim
 
  xt  xt e
 j  jt
e
e jt dtd 



  j
1
   lim
x t x t  dt e d   R e  j d.

t m  t
 


m

R ()


Таким образом, спектральная плотность мощности S() эргодического
процесса есть прямое преобразование Фурье для корреляционной функции
63
R(). Если существует прямое преобразование, то существует и обратное
преобразование:
R   

1
Se j  d .

2 
Эта пара преобразований, связывающая функции R() и S(), называется
преобразованием Хинчина Винера. Они доказали, что такое преобразование справедливо для всех стационарных процессов, а не только для эргодических.
Спектральная плотность мощности S() (рис.2.63)  функция действительная, четная, т.е. S()=S(-), определена на частотах  и положительная  S()>0.
S()
При =0 имеем
R0  D 

1
 Sd 
2 

0
Рис.2.63


1
Sd.
 0
Функцию S() иногда называют энергетическим спектром случайного
процесса. Этот спектр не несет информации о фазовых соотношениях. По
нему нельзя восстановить реализацию процесса как функцию времени.
Функции R() и S() обладают всеми свойствами пары преобразований
Фурье. В частности, чем шире спектр S(), тем уже корреляционная функция
R().
Процесс, у которого S() = S0 = const (рис.2.64), называется “белым
шумом”.
R()
S()

1
S0()
S
0
0

0

Рис.2.54
Корреляционная функция белого шума
R ( )  S0 ( )
Так как R()  функция четная, то пару преобразований Хинчина Винера
можно записать в другой форме:
64

S()  2  R ( )cos( )d ;
0

1
R ( )   S()cos( )d .
0
2.9.5. Прохождение стационарных случайных сигналов
через линейные устройства
Понятие переходного и стационарного режимов устройства (рис.2.55).
y(t)
x(t)
at
x(t)K(0) = yид (t)
(t)=var
y(t)
x(t)
(t)  const
y(t)
K(j)
t
0
t
Переходный
режим
0
tу
Стационарный
режим
Рис.2.65
При t = 0 имеем x(0) и y(0) = 0  нулевые начальные условия. Случай,
когда динамическая погрешность (t)=var (ttу), соответствует переходному
режиму, а случай, когда (t)=const (ttу), соответствует стационарному режиму.
Рассмотрим теперь воздействие случайных сигналов на линейные устройства (рис.2.66). Пусть линейное устройство характеризуется комплексным
частотным коэффициентом передачи K(j) и импульсной (весовой) функцией
g(t).
X(t) K
Y(t)
X(t) = 0 и Y(t) = 0 при t = 0 
K(j), g(t)
нулевые начальные условия.
t =0
Рис.2.66
В момент t = 0 замыкается ключ К и на вход устройства подается стационарный процесс X(t). Начинается переходной режим. В этом режиме на выходе будет нестационарный процесс. Через время tу устанавливается стационарный режим, при котором Y(t)  стационарный процесс.
Обычно решается следующая типичная задача. Известны математическое ожидание m1x и корреляционная функция Rx() входного процесса. Тре-
65
буется найти m1y и Ry() для выходного процесса. При этом возможны два
условия:
1) изучение нестационарного и стационарного режимов;
2) изучение только стационарного режима.
Первое условие. Здесь для решения задачи при нулевых начальных условиях нужно использовать дифференциальные уравнения. Для нулевых условий
следует использовать весовую функцию g(t).
Выходной сигнал определяется интегралом свертки
t
Y t    X  gt  d .
0
Отсюда следует:
1)

t


t

m 1y t   M Y t    M X t  gt  d   m 1x  gt  d  ,
0
0
стационарное значение функции
t1 t 2
2) R
y
t , t     gt
1
2
m 1y (t ) будет при t   ;

 

  1 g t 2   2 R x  2   1 d  1d  2 ,
1
0 0
стационарное значение будет при
t1   и t 2   .
Если в выражении для функции R (t , t ) последовательно сделать заy
мену переменных, а именно сначала
1
2
 1  t 1  x и  2  t 2  y , а затем
  t 2  t 1 и z    x  y , то это выражение приводится к виду
t1
 x
0
xt1
R (t 1 , t 1  )   g(x)dx  g(t  x  z)R ( z)dz .
Отсюда при t 1   следует стационарное значение
R ( ) 

x
0

 g(x)dx  g(  x  z)R ( z)dz .
Второе условие. Когда интересуются только стационарным режимом, то
применяют комплексный коэффициент передачи K(j) (рис.2.67).
X(t)
R x () Sx ()
K(j), g(t)
Y(t)
Sy ()  R y ()
66
Рис.2.67
Спектральная плотность мощности выходного сигнала
S y ()  lim
| F y ( j) |2
t m 
tm
 lim
t m 
| F y ( j)K ( j)|2
tm

|F ( j)|2
2
 K ( j) lim y
 Sx () |K ( j)|2  Sx ()K 2 (),
t m 
tm

 

Sx ()
где K ()  амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) устройства.
Среднее значение выходного сигнала
m1y = K(0)m1x.
Корреляционная функция

1
R y ( ) 
K 2 ()S x ()e j  d  .

2 
Дисперсия выходного сигнала

D y  R y (0) 
1
K 2 ()S x ()d .
 0
В заключение следует отметить, что задача определения плотности вероятности выходного сигнала в общем виде не решается. В частном случае,
когда Х(t)  нормальный процесс, выходной сигнал Y(t)также является нормальным процессом.
2.10. Аппроксимация детерминированных сигналов
2.10.1. Постановка задачи и общие понятия
Основная задача аппроксимации формулируется таким образом. Пусть
функция x( t ) ,
t 0, t m  – полная модель сигнала. Требуется найти оценоч-
x  (t ) , т. е. неполную модель сигнала. Оценка x  (t ) должна
воспроизводить функцию x( t ) с заданной точностью.
ную функцию
Для решения этой задачи нужно прежде всего:
*
1) сконструировать оценочную функцию x (t ) ;
2) выбрать критерий для оценки погрешности аппроксимации или воспроизведения.
67
Общепринятой неполной моделью является обобщенный усеченный полиномиальный ряд Фурье, называемый приближающей или аппроксимирующей функцией
n
x * (t )   a k  k (t ), t 0, t m  ,
(2.10.1)
k 0
где
 k (t ) nk 0 – система линейнонезависимых базисных функций; a k
–
коэффициенты или координаты сигнала, зависящие от вида функции x( t ) ;
n – число членов ряда, или степень полинома (2.10.1).
Система функций линейно независима, если ни одна из функций  k (t )
не может быть выражена линейной комбинацией остальных функций.
Другими словами, система
 k (t ) nk 0
линейно независима, если равен-
ство
n
b 0  0 (t )  b 1 1 (t ) K b n  n (t )   b k  k (t )  0 ,
k 0
где b k – некоторые числовые коэффициенты, удовлетворяется лишь в единственном случае, когда все коэффициенты b k одновременно равны нулю.
Согласно теореме Грамма, для того чтобы система k ( t )k 0 , t  0, T 
n
была линейно независима, необходимо и достаточно, чтобы определитель
Грамма был отличен от нуля, т. е.
a 11 a 12  a 1n
T
a 21 a 22  a 2 n
Dг р 
 0 , где a ij    i (t ) j (t )dt .




0
a n1 a n 2  a nn
Процесс воспроизведения функции x( t ) посредством усеченного полинома (2.10.1) называется аппроксимацией.
Способ аппроксимации характеризуется:
1) видом базисных функций и видом координат a k ;
2) степенью n аппроксимирующего полинома (2.10.1).
В качестве базиса можно взять определенную систему ортогональных или
неортогональных функций. В результате получают ортогональную аппроксимацию и неортогональную аппроксимацию.
Выбор базиса и координат определяет тип аппроксимирующего полинома
и характер аппроксимации. По характеру аппроксимации различают экстраполяцию, интерполяцию и ортогональное приближение.
68
Погрешность аппроксимации зависит от степени приближения функции
x(t ) усеченным полиномом x * (t ) . Качество этого приближения устанавливается по одному из критериев:
1) критерию равномерного приближения
max (t )   m   д , t 0, t m  пространство R;
2) критерию среднеквадратичного (т. е. степенного) приближения
1
tm
tm

2
(t )dt   2   2д , t 0, t m   пространство L2;
0
3) критерию интегрального приближения
1
tm
tm
 (t ) dt    
д
, t 0, t m  .
0
(t )  x(t )  x (t ) – функция погрешности аппроксимации;  д –
модуль допустимой погрешности равномерного приближения;  Д и  Д –
*
Здесь
средняя и среднеквадратичная допустимые погрешности приближения.
Выбор критерия производится априорно в зависимости от требований потребителя информации. Наиболее “жестким” является критерий равномерного
приближения. Он позволяет с помощью оценки
x * (t ) воспроизвести все вы-
бросы функции x( t ) .
2.10.2. Ортогональная аппроксимация
В этом случае, как правило, выбирается критерий среднеквадратичного
приближения и некоторая система ортогональных базисных функций  k (t ) .
Координатами функции x( t ) являются коэффициенты ее разложения в
 k (t ) . Возможен также выбор в качестве
координат мгновенных значений (отсчетов) функции x(t k ) , k=0, 1 и т.д.
ряд по системе базисных функций
Условие ортогональности функций имеет вид
0 п ри k  s,

(
t
)

(
t
)

(
t
)
dt

2

a
k
s
  k (t ) п ри k  s,
b
где
a, b – интервал ортогональности;
 k (t ) – норма k-й базисной функции.
(t ) – некоторая весовая функция;
69
При ( t )  1 имеем ортогональность функций с весом. Для некоторых
 k (t )  1, то базис кроме ортогонально-
систем вес ( t )  1 . Если норма
сти является еще и нормированным. А в целом – это ортонормированный
базис.
Известно много систем ортогональных функций. Например, полиномы
Чебышева, Лежандра, Котельникова, Лагера, Эрмита, Якоби, Уолша, Хаара и
др. Примером ортонормированных функций с весом ( t )  1 может служить
базис тригонометрического ряда Фурье:
1
2
;
1

1
cos kx ;

sin kx , k  1,2,3,; x   , .
Ортогональное разложение дает наименьшую среднеквадратичную погрешность, когда коэффициенты разложения вычисляются как обобщенные
коэффициенты Фурье функции x( t ) , т.е.
b
1
(t )x(t ) k (t )dt .
(2.10.2)
2 
 k (t ) a
Представление сигнала x( t ) рядом (2.10.1) с коэффициентами (2.10.2)
ak 
является оптимальным, так как минимизирует число координат и погрешность  Д .
Структура ортогонального аппроксиматора (рис.2.68) определяется видом
формулы (2.10.2). На рис.2.68: ГВФ  генератор весовой функции; ГБФ 
генератор базисных функций;
Устройство
умножения

а0

а 1 Совокупность

аn


t
ГВФ

0 t

1t
n t
координат
сигнала
Интегратор
ГБФ
Рис.2.68
Структура ортогонального устройства воспроизведения сигнала (моделирующее устройство) (рис.2.69) определяется видом формулы (2.10.1).
70
Блок памяти БП
a k  nk  0
 0 t 
t
1t
ГБФ
a0
a1


n t 
Сумматор
an


x*(t)
Рис.2.69
Рассмотрим выбор ортогональных функций. Следует выбирать систему
функций, которая обеспечивает быструю сходимость ряда (2.10.1). В результате при заданной погрешности аппроксимации будет наименьшее число членов ряда (степень n). Однако в технике решающим фактором является простота генератора базисных функций ГБФ. Этому условию удовлетворяют тригонометрические функции, функции Уолша и Хаара. Этим объясняется их широкое применение.
2.10.3. Ортогональные функции Уолша
Функции Уолша
Wk ( z) ортогональны на отрезке z 0,1 с весом
( z)  1 . Известны четыре формы их записи и построения. Мы рассмотрим
две.
1. Систему Уолша можно построить на базе системы функций Радемахера
R  (z)  sign sin 2 z,   0, 1, 2,  ,
1 п ри x  0;
1 п ри x  0;
где sign x  
l – порядок функции Радемахера.
Функции Радемахера ортонормированы:
0 п р и l  q;
R
(
z
)
R
(
z
)
dz


l
q

1 п р и l  q.
0
1
Вид четырех функций Радемахера показан на рис.2.70. Генерируются они
технически просто – обычным двоичным счетчиком.
71
R0(z)
0
z
1
1/2
R1(z)
z
R2(z)
1/4
1/2
3/4
z
R3(z)
1/8
3/8
7/8
1/2
1
z
Рис.2.70
Однако система Радемахера неполная. По ней можно разложить не любой
сигнал, а только нечетный, так как функции Радемахера – нечетные.
Дополнение системы Радемахера приводит к системе Уолша. Эта система
строится следующим образом. Для получения k-й функции Уолша Wk ( z)
число k представляется в двоичной системе счисления, т. е.
k  2 1  2  2 K 2
p
,
где  1   2 K   p – целые числа.
Функция Уолша определяется формулой
Wk (z)  R 11 (z)R 2 1 (z) R p 1 (z) .
Для функции нулевого порядка принимается
Например, k
W0 ( z)  1.
 7  2 0  21  2 2 . Отсюда следует 1  0,  2  1 и
 3  2 . Тогда функция Уолша 7-го порядка будет (рис.2.71)
W7 ( z)  R 1 ( z)R 2 ( z)R 3 ( z) .
W7(z)
1
0
-1
1
1/8
1/2
Рис.2.71
График четырех функций Уолша приведен на рис.2.72.
z
72
1
W0(z)
1/2
0
1
W0(z) = R0(z)
W1(z)
1
z
W2(z)
-1
z
W1(z) = R1(z)
0
1
W2(z) = R2(z)
0
-1
1
0
-1
z
W3(z)
1/4
W3(z) = R1(z) R2(z)
0  1 2
z
l
Рис.2.72
l
Из функций Радемахера порядка l можно построить N  2 функций
Уолша.
2. Второй способ построения систем функций Уолша. В основе этого способа лежат свойства матриц Адамара. Полученная система называется системой Уолша  Адамара.
Элементарная матрица Адамара состоит из одного элемента N  1 и имеет вид
H 1   . Для N  2 имеем базисную матрицу Адамара
H2 
H1
H1
H1
H 1

 
 
, где
""   1,
""   1.
Для N  4 матрица имеет ту же структуру, но с элементами
H4 
Для
H2
H2

H2


H 2










H2 :


.


N  2 3  8 имеем матрицу Адамара с элементами H 4 :
H8 
H4
H4
H4
и т. д.
H 4
Процесс наращивания матрицы продолжают до получения матрицы с нужным числом базисных функций.
Функции Уолша хороши тем, что они достаточно просто реализуются аппаратурно. В качестве примера рассмотрим структуру генератора 8-ми функ-
73
ций Уолша. Составим систему функций Уолша на базе системы функций
Радемахера:
k
Wk(z)
k
Wk(z)
0
W0(z)=1
4=22
W4(z)=R3(z)
1=20
W1(z)=R1(z)
5=20+22
W5(z)=R1(z)R3(z)
2=21
W2(z)=R2(z)
6=21+22
W6(z)=R2(z)R3(z)
3=20+21 W3(z)=R1(z)R2(z)
7=20+21+22 W7(z)=R1(z)R2(z)R3(z)
Таким образом, для формирования функций Уолша требуется генератор
трех функций Радемахера, включающий задающий генератор G , два счетных
триггера T1 и T2, а также устройства умножения соответствующих функций
Радемахера (рис.2.73). Функция Уолша нулевого порядка W 0(z)=R0(z) формируется источником постоянного напряжения с единичным уровнем.
R0(z)
R1(z)
R2(z)
T1
G
W0(z)
W1(z)
T2
R3(z)
W2(z)
W3(z)

W4(z)

W5(z)


W6(z)
W7(z)
Рис.2.73
Техническая реализация умножения функций Радемахера может быть заменена логическими операциями.
а) Обозначим: уровень  символ
 1  0
отрицательная логика.
 1  1 
Тогда умножению соответствует логическая операция сложение по mod2:
умножение сложение по mod2
(1)(1)= 1
0  0= 0
(1)(-1)= -1
0  1= 1
(-1)(1)= -1
1  0= 1
(-1)(-1)= 1
1  1= 0
б) Обозначим: уровень  символ
 1  1
 положительная логика.
 1  0
74
Здесь умножению будет соответствовать функция алгебры логики (ФАЛ)
“равнозначность”.
Таким образом, в зависимости от типа выбранной логики устройства
умножения будут представлять собой или устройства сложения по mod2 или
устройства, реализующие ФАЛ “равнозначность”.
0, t 
Произвольный интервал
задания функции x( t ) всегда можно
m
привести к интервалу ортогональности
переменной
z  t t m , где z 0,1 .
0,1 . Для этого нужно сделать замену
2.10.4. Неортогональная аппроксимация
При неортогональной аппроксимации обычно применяют критерий равномерного приближения и систему линейно независимых базисных функций
t 
k
n
k 0
или
(t  t ) 
k
0
n
k 0
.
На этом базисе можно построить различные неортогональные полиномы.
Наибольшее применение нашли полиномы Тейлора и Лагранжа. Характер
аппроксимации при полиноме Тейлора – это экстраполяция или предсказание.
А при полиноме Лагранжа – интерполяция.
2.10.4.1. Экстраполяция
x  (t ) является полином Тейлора
n
x( t 0 )
x (n ) (t 0 )
Tn ( t )   a k ( t  t 0 ) k  x ( t 0 ) 
(t  t 0 )     
(t  t 0 ) n ,

1!
n!
k 0




a
Аппроксимирующей функцией
0
a1
an
x(t 0 ) , x (t 0 ) и x (t 0 ) – отсчеты или значения сигнала, 1-й и n-й
производных в точке t 0 . Координаты сигнала a k представляют собой коэфгде
(n)
фициенты разложения в ряд Тейлора. По сути дела, координаты сигнала – это
отсчет сигнала x(t 0 ) и отсчеты n его производных.
Общая картина экстраполяции полиномом Тейлора n-й степени имеет вид,
представленный на рис.2.74.
75
x(t)
x*(t)
x(t)
T0 = t0
x(ti), x(ti),…, x(n)(ti)
i(t)
x*1 (t)=T1 (t)
Ti = ti
x(t1), x(t1),., x(n) (t0)
x*(t)
t
t0
ti
t1
ti+1
tm
x(t0), x(t0),…, x (t0)  координаты сигнала в т. t0
(n)
Рис.2.74
На рис.2.74: Ti – i-й участок экстраполяции; ti – i-й интервал между
координатами сигнала; i(t) – текущая погрешность экстраполяции (аппроксимации) на i-м участке. Для экстраполяции  Ti  t i ;
В данном случае координаты (вся информация о сигнале) определяются в
начале участка экстраполяции. Поэтому можно сразу (без задержки) воспроизводить сигнал, вычисляя или моделируя полином Тейлора. При этом полином Тейлора как бы предсказывает (экстраполирует) поведение сигнала x(t)
на участке аппроксимации.
Погрешность равномерного приближения обычно оценивается из остаточного члена полинома при t  Ti . Исходный сигнал можно представить в
виде:
x(t)

x(t)  a k (t  t 0 ) k  a k (t  t 0 ) k 
a k ( t  t 0 ) k  Tn ( t )  R n 1 ( t ),
k 0
k  0
 n
1



 k



n


Tn(t)
где
Rn+1(t)
R n 1 (t ) – остаточный член полинома.
Тогда погрешность экстраполяции
(t )  x(t )  x * (t )  x(t )  Tn (t )  R n 1 (t )
и максимальное значение модуля этой погрешности (модуль-максимум) имеет вид
max (t )  max R n 1 (t )  A э ,
где
A э – оценка сверху остаточного члена R n1( t ) полинома Тейлора,
76
Aэ 
M n 1
 t n 1 ,
(n  1)!
M n 1  max x( n 1) ( t ) – модуль-максимум (n+1)-й производной;
t  T – участок экстраполяции.
где
2.10.4.2. Интерполяция
Аппроксимирующей функцией является полином Лагранжа. В качестве
координат сигнала обычно предпочитают его отсчеты x(t k ) . Для построения
интерполяционного полинома n-ой степени нужно иметь n  1 отсчет, т.е.
x(t k )k 0 . Моменты времени t k
n
, k=0,1,...,n называют узлами интерполя-
ции.
Общая картина интерполяции полиномом n-й степени представлена на
рис.2.75).
Координаты
сигнала

x(t 0 ) x(t k ) x(t n )
x(t)
x*(t)
Координаты сигнала

x(t 0 )
x(t k )
x(t n )
x*i(t)
x(t)
i(t)
ti-1
ti
t
t0
Ti-1
tk
tn t0
Ti
tk
tn
tm
Рис.2.75
Здесь Ti – i-й участок интерполяции; t i – i-й интервал между координатами сигнала;
t 0 , , t k , , t n – узлы интерполяции;  i (t ) – текущая
погрешность интерполяции (аппроксимации) на i-м участке.
В общем случае интервал между отсчетами сигнала (узлами)
 t i  var .
 t i  const , то на участке аппроксимации узлы интерполяции равноотстоящие. Для равноотстоящих узлов Ti  n t i (n  1) .
Если интервал
77
Задача интерполяции формулируется таким образом. Пусть задан ( n 1)
отсчет x( t K ) в узлах
t k , k=0,1,...,n. Требуется найти аппроксимирующий
*
полином x ( t ) , проходящий через все отсчеты в узлах интерполяции.
Решением данной задачи является интерполяционный полином Лагранжа.
Возможны две формы записи полинома Лагранжа. Они отличаются видом
координат сигнала.
1) Первая форма. Здесь координаты – это коэффициенты разложения a K
функции x( t ) в ряд по базису
t 
k
n
k 0
.
В этом случае полином Лагранжа имеет вид
n
x * (t )   a k t k  a 0 a 1 t a 2 t 2 K a n t n ,
k 0
где коэффициенты
a k определяются решением системы n  1 уравнений
a 0  a1t 0  a 2 t 20  a n t 0n  x( t 0 ) 

a 0  a1t1  a 2 t12  a n t1n  x( t1 ) 
 система уравнений.
                
a 0  a1t n  a 2 t 2n  a n t nn  x( t n ) 
2) Вторая форма. Здесь координаты – это n  1 отсчет сигнала. Данная
форма наиболее удобна и широко распространена в измерительной технике.
В этом случае полином Лагранжа имеет вид
n
(t  t 0 )(t  t 1 )...(t  t k 1 )(t  t k 1 )...(t  t n )
k 0
(t k  t 0 )(t k  t 1 )...(t k  t k 1 )(t k  t k 1 )...(t k  t n )
L n (t )   x(t k )
n
n
k 0
i o
i k
  x(t k )
Очевидно, при t  t k имеем

(t  t i )
.
(t k  t i )
L n (t K )  x(t K ) , т. е. полином Лагранжа сов-
падает с функцией x( t ) в узлах интерполяции.
Исходя из остаточного члена полинома, максимальная погрешность интерполяции при равномерном критерии приближения
max  ( t )  max R n1( t )  A И ,
где A И – оценка сверху остаточного члена R (t ) интерполяционного поn 1
линома Лагранжа,
78
AИ 
M n 1 n
 (t  t i ) .
(n  1)! i  0
max
Для равноотстоящих узлов
AИ 
где
c n  max
n
 ( z  k)
;
k 0
M n 1
(n  1)
z t
t
 t n 1c n ,
.
2.11. Дискретизация сигналов
2.11.1. Квантование по уровню
Квантование – это замена бесконечного множества значений непрерывного сигнала x( t ) конечным множеством его значений. Квантованный сигнал
является дискретной функцией xкв(t) непрерывного аргумента (рис.2.76).
x x(t)
xкв(t)
p(xi)
x
i
1
2
xi
Д
x
Si
p(x)
i
x
xi-1
0
Здесь
пазон
xi
tm
1
2
t
Рис.2.76
– i-й уровень квантования;  x – ступень квантования; Д – диа-
изменения
сигнала;
p(x)
–
плотность вероятности сигнала;


x 1 , x 1  – зона квантования, причем
 i  2 i  2 