Терема 3 (первый достаточный признак существования экс

106
По этим результатам можно схематично изобразить график функции:
y
y=
1 3 1 2
x − x
3
2
1
0
x
Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума). Стационарная точка x 0 функции f ( x ) , дважды дифференцируемой в Oδ ( x 0 ) , является
точкой локального минимума, если f ′′( x 0 ) > 0 , и точкой локального максимума, если
f ′′( x 0 ) < 0 .
> Пусть выполнены условия теоремы и f ′′( x 0 ) > 0 . Тогда f ′( x ) в Oδ ( x 0 ) возрас-
тает, но f ′( x 0 ) = 0 , следовательно, в Oδ ( x 0 ) f ′( x ) меняет знак с "-" на "+". Согласно
теореме 3 это означает, что точка x 0 является точкой локального минимума.
Если f ′′( x 0 ) < 0 , то f ′( x ) в Oδ ( x 0 ) убывает, но f ′( x 0 ) = 0 следовательно f ′( x ) в
Oδ ( x 0 ) меняет знак с "+" на "-". Тогда согласно теореме 3 это означает, что точка x 0
является точкой локального максимума. <
y
0
y
x
a
x0
b
0
x
a
x0
b
107
Теорема 5 (третий достаточный признак существования экстремума
функции).
Пусть функция f ( x ) - n раз непрерывно дифференцируема в точке x 0 и
f ′( x 0 ) = f ′′( x 0 ) =... = f ( n −1) ( x 0 ) = 0, f ( n ) ( x 0 ) ≠ 0 . Тогда :
1) если n - четное и f ( n) ( x ) < 0 то x 0 точка локального максимума;
2) если n - четное и f ( n ) ( x ) > 0 то x 0 точка локального минимума;
3) если n - нечетное то x 0 не является точкой локального экстремума;
Пример Найти локальные экстремумы функции f ( x ) = x 4 − 4 x 3
Данная функция определена, непрерывна и дифференцируема на всей
числовой прямой. Найдем стационарные точки
f ′( x ) = 4x 3 − 12x 2 , 4x 3 − 12x 2 = 0 ⇒ x1, 2 = 0, x 3 = 3,
f ′′( x ) = 12x 2 − 24x , f ′′( 3) = 36 > 0, f ′′( 0) = 0
Стационарная точка x=3 является точкой локального минимума.
Найдем производные высших порядков
f ′′′( x ) = 24x − 24
f ′′′( 0) = −24 Согласно теореме 5 точка x=0 не является точкой локального экстрему-
ма.
§. 3 АБСОЛЮТНЫЕ ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ
Одной из основных характеристик функции на отрезке являются ее абсолютные экстремумы, т.е. наибольшее и наименьшее значения f ( x )
на отрезке [a;b].
Если функция f ( x ) непрерывна на [a;b]..то она принимает наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах этого отрезка или в точках ее локальных
экстремумов.
Если x1 , x 2 ,..., x n - точки локальных экстремумов, то
{
}
max f ( x ) = max{ f (a ), f (b), f ( x ), f ( x ),..., f ( x )} .
[ ]
min f ( x ) = min f ( a), f ( b), f ( x1 ), f ( x 2 ),..., f ( x n ) ,
x ∈[ a ; b ]
1
x ∈ a ;b
2
n
Пример 1: Найти абсолютные экстремумы функции f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x на [− 1;5] .
Найдем стационарные точки функции
⎡ x = 1,
f ′( x ) = 3x 2 − 12 x + 9 ⇒ f ′( x ) = 0 ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ ⎢
⎣ x = 3.
Вычислим значения функции в стационарных точках и на концах отрезка
f (1) = 4, f (3) = 0, f (− 1) = −16, f (5) = 20
Исходя из этих значений, приходим к выводу, что
min f ( x ) = f (− 1) = −16 ,
x∈[−1; 5 ]
max f ( x ) = f (51) = 20 /
x∈[−1;5 ]
График данной функции можно изобразить на следующем рисунке
108
y
20
4
-1
x
0
1
5
3
-16
Пример 2 Найти ширину бруска наибольшей прочности, который можно вырезать из
бревна диаметром 25 см. Считая, что прочность бруска с прямоугольным сечением
пропорциональна ширине и кубу высоты.
B
h
х
С
A
Обозначим через х ширину бруска, тогда по теореме Пифагора
h = 25 − x 2 ⇒ y = kx
( 25 − x )
2 3
Определим стационарные точки функции.
y′ = k
( 25
2
− x 2 ) − 3kx 2
3
( 25
2
− x 2 ), y′ = 0
тогда
25 2 − 4x 2 = 0 ⇒ 2 x = ±25 ⇒ x = ±12,5
По условию задачи x ∈( 0;25) . Следовательно наибольшая прочность бруска при ширине x = 12,5 . В этой точке функция имеет локальный максимум, так как y ′′ = 0 .
109
§4 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НА ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ.
ТОЧКИ ПЕРЕГИБА ФУНКЦИИ
Определение 2 График дифференцируемой функции y = f ( x ) называется выпуклым вниз (или вогнутым) на (a;b), если дуга кривой y = f ( x ) ∀x ( a; d ) расположена
выше любой касательной, проведенной к графику этой функции (рис 1)
y
y
x
0
x
0
Вогнутый график
Выпуклый график
Определение 3 График дифференцируемой функции y = f ( x ) называется выпуклым вверх (или выпуклым) на (a;b), если дуга кривой y = f ( x ) ∀x ( a; d ) расположена
ниже любой касательной , проведенной к графику этой функции (рис 2)
Определение
Точка M ( x 0 , f ( x 0 )) графика дифференцируемой функции
y = f ( x ) , в которой направление выпуклости меняется на противоположное называется, точкой перегиба. (рис. 3)
y
M(x0,f(x0))
0
x
x0
Точка перегиба
Теорема 6 Если функция y = f ( x ) на (а;b) дважды дифференцируема и
f ′′( x ) > 0 ∀x ∈ ( a; b) , то график этой кривой вогнутый (выпуклый вниз). Если
f ′′( x ) < 0 ∀x ∈ (a; b) , то график этой кривой выпуклый на (а;b).
110
> Пусть на интервале (a;b) f ′′( 0) > 0 . Возьмем точку x 0 ∈ ( a; b) и покажем, что все точки графика функции y = f ( x ) на (a;b) лежат выше касательной, проведенной к нему в
точке x 0
Уравнение касательной
Y − f ( x 0 ) = f ′( x 0 )(
) x − x 0 ) ⇒ Y = f ( x 0 ) + f ′( x 0 )( x − x 0 ) ,
где Y -ординаты точек касательной. Разность ординат точек кривой и касательной
y − Y = f ( x ) − f ( x 0 ) − f ′( x 0 )( x − x 0 )
y
x
0
а
х
х0
b
Применяем формулу Лагранжа к функции f ( x ) на ( x; x 0 ) , получаем
(
)
y − Y = f ′(ξ )( x − x 0 ) − f ′( x 0 )( x − x 0 ) ⇒ y − Y = f ′(ξ ) − f ′( x 0 ) ( x − x 0 ) ,
где ξ ∈( x 0 , x ) ⊂ ( a; b) . Применим формулу Лагранжа к разности f ′(ξ ) − f ′( x ) на ( x 0 , ξ ) ,
находим
y − Y = f ′′(ξ1 )(ξ − x 0 )( x − x 0 ) ,
где
ξ1 ∈( x 0 ; ξ ) ⊂ ( a; b) . В последнем равенстве f ′′(ξ1 ) > 0 , а ξ − x 0 > 0 , если x − x 0 > 0 , или
ξ − x 0 < 0 , если x − x 0 < 0 . Следовательно y > Y т.е. ординаты точек кривой больше ординат точек касательной при одной и той же абсциссе. Точки кривой y = f ( x ) на ( a; b)
лежат выше точек касательной к кривой.
График функции y = f ( x ) на ( a; b) вогнутый.
Доказательство выпуклости проводится аналогично.
Пример. Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции
f (x ) =
1
x −1
2
Находим первую производную: f ′(x ) =
Вторая производная f ′′( x ) = 2
− 2x
(x
2
3x 2 + 1
(x − 1)3 ( x + 1) 3
)
−1
2
;
f ′′( x ) > 0, x ∈ (− ∞;−1) ∪ (1;+∞ ) , график кривой вогнутый
111
f ′′( x ) < 0, x ∈ (− 1;+1) - график кривой выпуклый.
y
0
-1
x
1
y=
1
x2 − 1
Сформулируем достаточные условия существования точек перегиба
Теорема 7 Если для функции f ( x ) вторая производная f ′′( x ) в некоторой точке x 0 обращается в ноль или не существует и при переходе через неё меняет свой
знак, то точка M ( x 0 , f ( x 0 )) является точкой перегиба графика функции.
> Пусть f ′′( x 0 ) = 0 или не существует. Если f ′′( x ) < 0 в Oδ ( x 0 − 0) и f ′′( x ) > 0 в
Oδ ( x 0 + 0) , то точка кривой с абсциссой x0 отделяет интервал выпуклости от интервала
вогнутости. . Если f ′′( x ) > 0 в Oδ ( x 0 − 0) и f ′′( x ) < 0 в Oδ ( x 0 + 0) , то точка кривой с
абсциссой x0 отделяет интервал вогнутости от интервала выпуклости. В обоих случаях точка M ( x 0 , f ( x 0 )) является точкой перегиба графика функции.
Пример Найти точки перегиба графика функции f (x ) = 1 − x 3 − 1 .
Раскроем абсолютную величину числа
⎧⎪ x 3 , x < 1
f (x ) = 1 − x − 1 = ⎨ 3
⎪⎩− x + 2, x ≥ 1
3
Найдем первую и вторую производные:
⎧⎪3x 2 , x < 1
⎧6 x, x < 1,
f ′( x ) = ⎨
, f ′′( x ) = ⎨
2
⎪⎩− 3x + 2, x > 1
⎩− 6 x, x > 1.
Отметим, что в единице первая и вторая производные не существуют.
f ′′( x ) < 0, x ∈ (− ∞;0) ∪ (1;+∞ ) , график кривой выпуклый,
f ′′( x ) > 0, x ∈ (0;1) - график кривой вогнутой. В точках 0 и 1 вторая производная меняет
знак, следовательно точки О(0;0) и А(1;1) являются точками перегиба.
112
y
f ( x) = 1 − x3 − 1
1
x
0
1
§5 АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
При исследовании поведения функции на бесконечности или вблизи точек разрыва второго рода часто оказывается, что расстояния между точками графика и точками некоторой прямой бесконечно малы. Такую прямую принято называть асимптотой графика.
Определение Асимптотой графика функции называется такая прямая. Для
которой расстояние между графиком и точкой прямой стремится к нулю по мере
удаления точки от начала координат.
Различают асимптоты горизонтальные, вертикальные и наклонные.
Прямая x = x 0 называется вертикальной асимптотой графика функции y = f ( x )
если хотя бы один из односторонних пределов в точке x 0 равен бесконечности, т.е.
lim f ( x ) = ±∞ или lim f ( x ) = ±∞
x→ x0 − 0
x → x0 + 0
Очевидно, что непрерывные функции вертикальных асимптот не имеют; такие
асимптоты существуют только в точках разрыва второго рода.
Пример Найти вертикальные асимптоты графика функции y =
1
.
x −1
2
Прямая y = kx + b называется наклонной (если k=0 - горизонтальной асимптотой) графика функции y = f ( x ) при x → +∞ ( x → −∞) , если функцию f ( x ) можно
представить в виде f ( x ) = kx + b + α ( x ) , где α ( x ) → 0 при x → +∞ ( x → −∞) .
Теорема 8 Для того, чтобы график функции y = f ( x ) имел наклонную асимптоту y = kx + b , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы:
lim
x →±∞
f (x)
= k , lim ( f ( x ) − kx ) = b
x →±∞
x
(1)
113
> Необходимость Предполагаем, что y = kx + b - наклонная асимптота графика
функции y = f ( x ) . Тогда функцию можно представить в виде
f ( x ) = kx + b + α ( x )
где α ( x ) → 0 при x → ∞ . Следовательно,
lim
x →∞
f ( x)
b α ( x)⎞
⎛
= lim ⎜ k + +
⎟ = k,
x →∞ ⎝
x
x
x ⎠
lim( f ( x ) − kx ) = lim ( b + α ( x )) = b.
x →∞
x →∞
Достаточность. Пусть существуют пределы (1) тогда по свойствам предела
функции получаем
f ( x ) − kx = b + α ( x ) ⇒ f ( x ) = kx + b + α ( x )
что и означает, что прямая y = kx + b - наклонная асимптота графика функции
y = f ( x) <
Пример. Найти асимптоты функции y =
1
.
1+ x 2
Найдем пределы функции на бесконечности:
1
1
= 0, lim
=0
2
x → −∞ 1 + x
x → +∞ 1 + x 2
lim
Следовательно, ось ОХ является двусторонней горизонтальной асимптотой.
f (x )
1
= lim
= 0,
x
→
∞
x
x 1+ x2
b = lim( f ( x) − kx ) = 0
k = lim
(
x →∞
)
x →∞
Других асимптот нет. Напомним, что график кривой имеет специальное название
«Локон Аньези»
y
y=
1
-1
0
1
1 + x2
1
Пример. Найти асимптоты функции y =
x
x2 + x +1
x −1
В точке x = 1 функция терпит разрыв. Найдем односторонние пределы
x 2 + 3x + 6
x 2 + 3x + 6
= −∞,
lim
= +∞.
x →1− 0
x →1+ 0
x −1
x −1
Следовательно, прямая x = 1 является вертикальной асимптотой. Ищем параметры
lim
наклонной асимптоты
114
f (x )
x2 + x +1
k = lim
= lim
= 1,
x →∞
x → ∞ x ( x − 1)
x
⎛ x2 + x +1 ⎞
⎛ 2x +1 ⎞
b = lim ( f ( x) − kx ) = lim⎜⎜
− x ⎟⎟ = lim⎜
⎟ = 2.
x →∞
x →∞
x
→
∞
⎝ x −1 ⎠
⎠
⎝ x −1
Наклонная асимптота имеет уравнение y = x + 2 .
y
x
0
f ( x) =
x2 + x + 1
x −1