СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ФИЛИАЛ
ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра алгебры, геометрии и методики обучения математике
Согласовано
Председатель УМК факультета
Дисциплины
(код 24)
Утверждено
на заседании кафедры
протокол №
от
Зав. кафедрой
Учебно-методический комплекс
Аналитическая геометрия
Б2.Б.2 базовой части «Математика» математич. и естественнонауч. цикла
цикл дисциплины и его часть (базовая, вариативная, дисциплина по выбору)
Направление подготовки
Физика 011200.62
наименование ООП ВПО направления подготовки или специальности с указанием кода
Профиль(и) подготовки
Фундаментальная физика
Разработчик (составитель) УМК
д.ф.-м.н., профессор Михайлов П.Н.
к.ф.-м.н., доцент Шабаева А.Ф.
к.ф.-м.н. Шустрова Н.В.
Стерлитамак 2012
Дата
Содержание
1.
Место дисциплины в структуре основной образовательной программы………………………………………………………………….3
2. Цели освоения дисциплины…………………………………………..4
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины (модуля)…………………………………………………5
4. Рабочая программа учебной дисциплины…………………………...7
5. Образовательные технологии……………………………………….14
6. Учебно-методическое и информационное обеспечение
дисциплины (модуля)
а) основная литература…………………………………………….14
б) дополнительная литература…………………………………….15
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы………………16
7. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)….16
8. Методические рекомендации (материалы) для преподавателя…..17
9. Методические указания для студентов…………………………….17
10. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов..……………………………………………………………18
11. Контрольно-оценочные материалы………………………………...19
12. Рейтинг-планы дисциплины по семестрам………………………...35
3
1. Место дисциплины в структуре основной образовательной
программы
Дисциплина «Аналитическая геометрия» относится к базовой
части модуля «Математика» (Б2) и входит в цикл математических и
естественнонаучных дисциплин. Изучается в 1 семестре в объеме 72
часов, из которых 60 ч. аудиторных, 12 ч. на самостоятельную работу
студентов.
Для освоения данной дисциплины обучающийся должен иметь:
- знания учебной программы школьного курса геометрии,
- умение самостоятельно работать над учебным материалом,
критически оценивать полученные результаты,
- готовность к приобретению новых знаний, самообразованию,
самосовершенствованию, к применению полученных знаний в будущей
профессиональной деятельности.
Данная дисциплина логически и содержательно-методически
взаимосвязана с другими частями ООП. И даже из истории развития
естественных наук известно огромнейшее значении геометрии для
других отраслей знаний. А древнегреческий мыслитель Платон считал
геометрию основой всех наук и начертал над входом в свою
Академию: ”Пусть не входит не знающий геометрии”.
Геометрия имела решающее значение в возникновении и
развитии математического анализа. Интегрирование происходит от
нахождения площадей и объемов, а проведение касательных было
одной из задач, породивших дифференцирование. Вариационное
исчисление возникло и развивается на задачах геометрии. В курсе
дифференциальной геометрии средствами математического анализа
изучаются линии и поверхности в евклидовом пространстве. А понятие
топологического пространства служит для математического выражения
понятия непрерывности.
В алгебре используют, например, понятие векторного
пространства. А уравнения, неравенства, их системы, матрицы и
определители матриц используются в аналитической геометрии и
других разделах курса геометрии.
В курсе физики широко используется понятие вектора в качестве
математической абстракции таких объектов как перемещение,
скорость, напряженность электрического или магнитного полей. С
помощью скалярного произведения векторов вычисляется работа
постоянной силы по прямолинейному перемещению материальной
точки, а с помощью векторного произведения - момент силы,
приложенной к точке. В физике находит применение также понятие
4
многомерного пространства. Например, четырехмерное пространство, в
котором к трем пространственным координатам присоединяется время
в качестве четвертой координаты. Геометрия на земной поверхности
близка к геометрии на сфере. Применение евклидовой геометрии
происходит всюду, где определяются площади, объемы и т.п.
Механика, астрономия немыслимы без геометрии.
Раздел геометрии «Элементы векторной алгебры в пространстве»
логически взаимосвязан с разделом «Линейные пространства» курса
алгебры, а раздел геометрии «Метод координат на плоскости и в
пространстве» связан с разделом «Системы уравнений» курса алгебры.
Освоение разделов геометрии «Метод координат на плоскости и в
пространстве», «Плоскости и прямые в пространстве», «Линии и
поверхности в пространстве» необходимо для изучения раздела
«Интегральное исчисление» курса математического анализа. Освоение
раздела «Метод координат на плоскости» необходимо для изучения
раздела «Линейное программирование» курса информатики, а раздела
«Элементы векторной алгебры» - для изучения раздела «Механика»
курса физики.
Общая трудоемкость составляет 3 зачетные единицы, 108 часов
(34 часа – лекции, 26 – практики). Дисциплина изучается в 1 семестре.
2. Цели освоения дисциплины
Главной целью образования является развитие человека как
компетентностной личности путем включения его в различные виды
ценностной
человеческой
деятельности:
учеба,
познание,
коммуникации,
профессионально-трудовой
выбор,
личностное
саморазвитие,
ценностные
ориентации,
поиск
смыслов
жизнедеятельности. С этих позиций обучение рассматривается как
процесс овладения не только определенной суммой знаний и системой
соответствующих умений и навыков, но и как процесс овладения
компетенциями. Это определяет следующие цели обучения
геометрии:
 овладение системой геометрических знаний и умений,
необходимых для применения в будущей профессиональной
деятельности, изучение смежных дисциплин, продолжения
образования;
 интеллектуальное развитие, формирование востребованной,
полноценной личности, обладающей следующими качествами:
ясность и точность мысли, критичность мышления, наличие
математической интуиции, логического и пространственного
мышления, алгоритмической культуры, способности
к
преодолению трудностей;
5
 формирование представлений об идеях и методах математики как
универсального языка науки и техники, средства моделирования
явлений и процессов;
 воспитание культуры личности, отношения к математике как к
части общечеловеческой культуры, понимания значимости
математики для научно-технического прогресса
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате
освоения дисциплины
Реализация компетентностного, личностно ориентированного, деятельностного подходов предполагает освоение обучающимися следующих компетенций:
профессиональных –
способностью использовать базовые
теоретические знания для решения профессиональных задач (ПК-1),
способностью применять на практике базовые профессиональные
навыки (ПК-2),
общекультурных – способностью использовать в познавательной
и профессиональной деятельности навыки работы с информацией из
различных источников (ОК-16).
С учетом указанных целей выстроен учебный процесс и ожидается,
что в результате обучающиеся должны:
1.
знать
аппарат
высшей
геометрии,
т.е.
иметь
систематизиро- ванные знания по основным разделам высшей
геометрии –
теории линий и поверхностей первого и
второго порядков в евклидовом
пространстве и теории
многомерных аффинных и евклидовых пространств курса
аналитической геометрии,
2. уметь:
1) пользоваться геометрическим языком для описания
предметов окружающего мира,
2) распознавать геометрические фигуры, различать их
взаимное расположение,
3) изображать геометрические фигуры, выполнять чертежи по
условию задач, осуществлять преобразования фигур,
4) распознавать на чертежах, моделях и в окружающей
обстановке основные пространственные тела, изображать их,
5) строить сечения и развертки пространственных тел,
6) корректно применять аппарат высшей геометрии при
решении задач:
решать геометрические задачи, опираясь на изученные
свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные
построения, алгебраический аппарат и аппарат математического
анализа,
проводить доказательные рассуждения при решении задач, ис6
пользуя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования,
7) описывать реальные ситуации на языке геометрии,
8) решать практические задачи, связанные с нахождением
геометрических величин, используя при необходимости справочники и
технические средства,
3. владеть:
компетенциями ОК-16, ПК-1, ПК-2.
7
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине Аналитическая геометрия на 1 семестр
(наименование дисциплины)
Рабочую программу осуществляют:
Лекции: ст. преп.,к.ф.-м.н., Шустрова Н.В.
(должность, уч. степень, звание, ф.и.о.)
Практические занятия: ст. преп.,к.ф.-м.н., Шустрова Н.В.
(должность, уч. степень. звание, ф.и.о.)
___________________________________________________
Зачетных единиц трудоемкости (ЗЕТ)
1,66
Учебных часов:
лекций (в т.ч. в интерактивных
формах) 34
семинарских (в т.ч. в интерактивных
формах)__________
практических (в т.ч. в интерактивных
формах) 26
лабораторных __________
консультаций ___________
зачет
_________________________________
экзамен 36
самостоятельная работа студентов 12
КСР ________________
8
№
п/п
Тема и
содержание
1
2
Форма
изучения
материалов
(лекции,
практически
е занятия,
семинарские
занятия,
лабораторн
ые работы,
самостоятел
ьная работа)
Кол-во
часов
аудитор.
работы
Интерактивн
ые методы
обучения
4
5
3
6
7
8
9
1,2,3,4,5,7,9,
10,12,14,15,
16,17,18,19,
20,21,22,23
1,2,3,4,5,7,9,
10, 21,24
1,2,3,4,5,7,9,
10,12,14,15,
16,17,19,20,
21,22,23,24
4.24-4.30[2]
32-38,42[4]
1.1.5-1.1.8 [5]
1001-1009[7]
2.1.4-2.1.8 [5]
147-154[7]
5.60-5.67[2]
202-208[4]
с алгеброй
3
4ч.
корпоративное обучение
коллективная
мыслительная
деятельность
11
Инновацион
ные методы
в обучении
2
4ч.
10
Межпредметные
связи
с алгеброй,
физикой
Лекции –2ч,
Практ. – 2 ч
Лекции –2ч,
Практ. – 2 ч
Количество
часов
самосто
ят.
работы
Основная и
дополнитель
ная
литература,
рекомендуем
ая студентам
Модуль 1. Векторы. Прямые и квадрики на плоскости.
1
Векторы.
Лекции –2ч, 4 ч.
коллективная
Операции над
Практ. – 2 ч.
мыслительная
векторами.
деятельность
Метод координат
на плоскости.
Уравнение прямой
на плоскости.
Общее уравнение
прямой на плоскости. Взаимное
расположение
двух прямых.
Расстояние от
Задания по
самостоятель
ной работе
студентов с
указанием
литературы,
номеров
задач
Форма
контроля
самостоя
тельной
работы
студенто
в
(коллокв
иумы,
контроль
ные
работы,
компьют
ерные
тесты и
т.п.)
с алгеброй
1
1
1
самост.
работа
4
5
6
точки до прямой
на плоскости.
Угол между двумя
прямыми на
плоскости.
Основные задачи
по теории прямой
на плоскости.
Приложение к
решению задач
школьного курса
геометрии.
Эллипс,
гипербола,
парабола на
плоскости.
Уравнение
эллипса,
гиперболы и
параболы в
полярных
координатах
Мнимые точки
плоскости. Общее
уравнение линии
второго порядка.
Пересечение
линии второго
порядка с прямой.
Асимптотические
направления.
Центр линии
второго порядка.
Касательная к
Лекции –2ч,
Практ. – 2 ч
4ч.
с алгеброй,
физикой
проблемная
лекция
1,2,3,4,5,7,9,
10,12,14,15,
16,17,19,20,
21,22,23,24
2.6.5-2.6.8 [5]
191-198[7]
1
Лекции –2ч,
Практ. – 2 ч
4ч.
с алгеброй
лекция
вдвоём
1,2,3,4,5,7,9,
10,12,13,14,
15,16,17,19,
20,21,22,23,
24
9.16-9.22[2]
1
Лекции –2ч,
Практ. – 2 ч
4ч.
с алгеброй,
мат. анализом
лекция с
заранее
запланирова
нными
ошибками
1,2,3,4,5,7,9,
10,12,13,14,
15,16,17,19,
20,21,22,23,
24
491-495[4]
1
контрол.
работа
линии второго
порядка.
7
Диаметры линий
Лекции –2ч 2ч
с алгеброй
второго порядка.
Сопряженные направления. Главные направ ления.
Главные диаметры.
8
Классификация
Лекции –2ч 2ч
с алгеброй
линий второго
порядка на
плоскости.
Приведение
уравнения линии
второго порядка к
каноническому
виду и построение
ее точек
Модуль2. Прямые, плоскости, квадрики в многомерном пространстве
9
Координаты тоЛекции –2ч, 4ч
метод
с алгеброй
чек в пространПракт. – 2 ч
проектов
стве. Решение
простейших задач
в координатах.
Ориентация
пространства.Формулы преобразования координат
в пространстве.
Смешанное произведение векторов.
Объем тетраэдра.
1,2,3,4,5,7,9,
10,12,13,14,
15,16,17,19,
20,21,22,23,
24
2.8.5-2.8.8[5]
1,2,3,4,5,7,9,
10,12,13,14,
15,16,17,19,
20,21,22,23,
24
673-683[7]
1,2,3,4,6,7,16, 2.1.3-2.1.6[6]
18,20,21,23
740-749[7]
контрол.
работа
1
10
11
12
Векторное произведение векторов.
Площадь треугольника. Метод координат в пространстве. Уравнение поверхности.
Приложение метода координат и векторной алгебры к
решению задач
стереометрии.
Уравнение
плоскости. Общее
уравнение
плоскости.
Взаимное
расположение
двух и трех
плоскостей.
Расстояние от
точки до
плоскости. Угол
между двумя
плоскостями.
Уравнения прямой
в пространстве.
Взаимное
расположение
прямых в
пространстве.
Взаимное
расположение
прямой и
Лекции –2ч,
Практ. – 2 ч
4ч.
Тренинг
с алгеброй
Лекции –2ч,
Практ. – 2 ч
4ч
с алгеброй
Лекции –2ч,
Практ. – 2 ч
4ч
с алгеброй
1,2,3,4,6,10,
12,14,15,16,
17,19,20,21,
23
3.32-3.40[2]
116-127[4]
2.3.5-2.3.8[6]
1
лекцияконференция
1,2,3,4,6,7,9,
10,12,14,15,1
6,17,19,20,21,
22,23
6.77-6.82[2]
191-200[4]
2.5.3-2.5.6[6]
767-777[7]
1
эвристическая беседа
1,2,3,4,6,7,9,
10,12,14,15,1
6,17,19,20,21,
22,23
6.26-6.28[2]
313-319[4]
2.6.5-2.6.8[6]
801-808[7]
1
контрол.
работа
13
14
плоскости. Угол
между двумя
прямыми в
пространстве,
угол между
прямой и
плоскостью.
Основные задачи
на прямую и
плоскость.
Приложение к
решению задач
школьного курса
геометрии.
Поверхности
второго порядка.
Метод сечений.
Поверхности
вращения.
Цилиндрические и
конические
поверхности.
Конические
сечения.
Эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды. Прямолинейные образующие поверхностей
второго порядка.
Приложение к
решению задач
школьного курса
геометрии
Лекции –2ч,
Практ. – 2 ч
4ч.
с алгеброй
1,2,3,4,6,7,9,
10,11,12,14,
15,16,17,19,
20,21,22,23
10.36-10.44[2]
491-495[4]
2.8.4-2.8.7[6]
876-884[7]
1
Лекции –2ч,
Практ. – 2 ч
4ч.
с алгеброй
1,2,3,4,6,7,9,
10,11,12,14,
15,16,17,19,
20,21,22,23
10.7-10.13[2]
501-508[4]
2.9.4-2.9.8[6]
939-945[7]
1
15
16
17
Векторное многомерное пространство. Евклидово
векторное
многомерное
пространство.
Аффинное
многомерное
пространство.
К-мерные плоскости. Гиперплоскости аффинного
многомерного
пространства.
Аффинные
преобразования
аффинного
многомерного
пространства.
Евклидово
многомерное
пространство.
Движения и
подобия
евклидова
многомерного
пространства.
Лекции –2ч,
Практ. – 2 ч
4ч.
с алгеброй
1,2,8,15,14,24 33.28-33.35[2]
25
1.2.43-1.2.48
[8]
Лекции –2ч
2ч.
с алгеброй
1,2,8,15,14,24 34.18-34.22[2]
25
2.2.13-2.2.18
[8]
Лекции –2ч
2ч.
с алгеброй
1,2,8,15,14,24 34.32-34.37[2]
25
2.2.23-2.2.32
[8]
14
5. Образовательные технологии
Для реализация компетентностного подхода предусматривается
широкое использование в учебном процессе активных и интерактивных
форм проведения занятий с целью формирования и развития
профессиональных навыков обучающихся. В интерактивных формах
проводится 10 часов аудиторных занятий, а именно: на лекциях по
темам “Векторы. Операции над векторами”, “Метод координат на
плоскости”, “Уравнение прямой на плоскости. Общее уравнение
прямой на плоскости. Взаимное расположение двух прямых.
Расстояние от точки до прямой на плоскости”, “Координаты точек в
пространстве. Решение простейших задач в координатах. Ориентация
пространства. Формулы преобразования координат в пространстве.
Смешанное произведение векторов”, “Векторное произведение
векторов. Площадь треугольника. Метод координат в пространстве.
Уравнение поверхности. Приложение метода координат и векторной
алгебры к решению задач стереометрии” применяются такие
интерактивные формы как коллективная мыслительная деятельность,
корпоративное обучение, метод проектов, тренинг.
6.Учебно-методическое и информационное обеспечение
дисциплины
а) основная литература
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры. – М.: Физматлит, 2005. – 304 с.
2. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по
аналитической геометрии и линейной алгебре. / Под ред.
Беклемишева Д.В. – М., Физматлит, 2004. – 496 с.
3. Веселов А.П., Троицкий Е.В. Лекции по аналитической геометрии. М., Изд.Центра прикл. иссл. при мехмате МГУ, 2002. - 160 с.
4. Смирнов Ю.М. Сборник задач по аналитической геометрии и
линейной алгебре. – М.: Логос, 2005. – 376 с.
5. Михайлов П.Н. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия на
плоскости. Практические занятия по геометрии. 1 семестр – Уфа:
Баш ГУ, 2008. – 132 с.
6. Михайлов П.Н. Преобразования плоскости. Аналитическая
геометрия в пространстве. Практические занятия по геометрии. 2
семестр – Уфа: Баш ГУ, 2009. – 113 с.
7. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической
геометрии. – Спб, Лань, 2003. – 336 с.
8. Шабаева А.Ф. Многомерные пространства. Квадратичные формы и
15
квадрики. – Стерлитамак: СГПИ, 2001. – 74 с.
9. Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. Геометрия. – СПб.:
Лань, 2003. – 416 с.
10. Антонов В.И., Лагунова М.В., Лобкова Н.И. и др. Линейная алгебра
и аналитическая геометрия. – М.: Проспект, 2011. – 144 с.
11. Бархатова О.А., Садыхов Г.С. Поверхности второго порядка. – М.:
Изд-воМГТУ им. Баумана, 2005. – 41 с.
12. Бортаковский, А.С. Аналитическая геометрия в примерах и задачах:
Учеб. пособие/А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев. — М.: Высш.
шк., 2005. — 496 с: ил. — (Серия «Прикладная математика»).
13. Дубограй И.В., Леванков В.И., Максимова Е.В. Методические
указания к выполнению домашнего задания по теме «Кривые
второго порядка» М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. - 52 с.
14. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебн.
пособие. — 13-е изд. — М.: Физматлит, 2005. — 240 с.
15. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.:
Физматлит, 2004. – 224 с.
16. Кадомцев С.Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. – М.:
Физматлит, 2003. – 160 с.
17. Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия:
Теоремы и задачи. Том I. М.: Планета знаний, 2007. — 469 с.
18. Любарский М.Г. Векторная алгебра и ее приложения. Web, 2010. –
166 с.
19. Садовничий Ю.В., Федорчук В.В. Аналитическая геометрия. – М.:
Экзамен, 2009. – 352 с.
20. Сандаков Е.Б. Основы аналитической геометрии и линейной
алгебры: учебное пособие. М.: МИФИ. 2005.- 308 с.
21. Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Учеб.
пособие. - М.: МФТИ. 2009 - 570 с.
22. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры:
Учеб. пособие. - 2-е изд. испр. - М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2003. - 328 с.
23. Федотов А. Г., Карпов Б.В. Аналитическая геометрия. Учебное
пособие. - М., Московский государственный институт электроники и
математики. 2005. -158 с.
б) дополнительная литература
24. Атанасян Л.С. Базылев В.Т. Геометрия. Ч. 1. – М.: Просвещение,
1986. – 336 с.
25. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная
16
геометрия. – М.: Наука, 1970. – 527 с
26. Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия. Ч. 1. –
М.: Просвещение, 1975. – 351 с.
27. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия – М.: Наука, 1990.
– 671 с.
28. Егоров И.П. Геометрия – М.: Просвещение, 1979. – 256 с.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
1. Образовательный математический сайт по высшей математике
Ехроnenta.ru находится по адресу www.exponenta.ru
2. Образовательный портал EduRT.ru находится по адресу www.edurt.ru
3. Научный портал SciRT.ru находится по адресу www.scirt.ru
4. Математический портал Math-life.com
находится по адресу
www.math-life.com
5. Математический портал Math-portal.ru находится по адресу
www.math-portal.ru
1.Электронный ресурс. Александров, П. С. Лекции по
аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из
алгебры с приложением собрания задач, снабженных решениями,
составленного А. С. Пархоменко: учебник / П. С. Александров. – 2-е
изд., стер. – СПб. : Лань, 2008. – 912с.: ил. – Режим
доступа: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=561.
2. Электронный ресурс. Клетеник, Д. В. Сборник задач по
аналитической геометрии учебник / Д. В. Клетеник. – 17-е изд. , стер. –
СПб.
:
Лань,
2011.
–
224
с.:
ил.
–
Режим
доступа: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=2044
3. Электронный ресурс. Постников, М. М. Аналитическая геометрия.
Лекции по геометрии : учеб. пособие / М. М. Постников – 3-е изд.,
испр. – СПб. : Лань, 2009. – 416 с.: ил. – Режим
доступа: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=318.
4. Электронный ресурс. Привалов, И. И. Аналитическая геометрия :
учебник / И. И. Привалов. – 38-е изд., стер. – СПб. : Лань, 2007. – 304
с.:
ил.
–
Режим
доступа: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=321.
5. Электронный ресурс. Цубербиллер, О. Н. Задачи и упражнения по
аналитической геометрии : учеб. пособие / О. Н. Цубербиллер. – 34-е
изд., стер. – СПб. : Лань, 2009. – 336с.: ил. – Режим
доступа: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=430.
7.Материально-техническое обеспечение дисциплины
Имеется следующее материально-техническое обеспечение данной
дисциплины: компьютерное и мультимедийное оборудование,
17
приборы и оборудование учебного
обучающие программы.
назначения,
прикладные
8.Методические рекомендации (материалы) для преподавателя
Аудиторные учебные занятия. Материал, подлежащий изучению,
значителен по объему, поэтому лекционный курс направлен на раскрытие
лишь ключевых вопросов теории. Вместе с тем на лекциях выявляются
нюансы, наиболее важные аспекты в рассматриваемой теме. Увеличению
информативности лекционного курса способствует применение
мультимедийной техники.
Первые лекции содержат традиционный материал аналитической
геометрии на плоскости и в пространстве. Эти разделы предполагается
изучать как естественное продолжение школьного курса геометрии.
Курс начинается с элементов векторной алгебры в пространстве и
метода координат на плоскости, где уточняются, дополняются и
приводятся в единую систему знания, полученные учащимися в курсе
средней школы.
Программа предусматривает изучение основных геометрических
структур (аффинного, евклидова различной размерности) и
классических методов исследования геометрических объектов, таких
как метод векторов, метод координат, метод преобразований.
Следует учесть, что в соответствии со сложившейся традицией
квадратичные формы изучаются не в курсе алгебры, а в курсе
геометрии,
поэтому представляется
целесообразным
теорию
квадратичных форм связать с теорией квадрик в многомерном
пространстве.
Практические занятия. Для того чтобы проверить усвоение
студентами теоретического материала и закрепить его на практике,
основные вопросы выносятся на практические занятия.
Существенную роль в профессиональной подготовке будущего
специалиста – физика играет правильная организация практических
занятий по геометрии. Практические занятия проводятся с учетом
часов, отведенных учебным планом специальности. По всем разделам
курса необходимо обратить внимание на приложение изучаемой теории
к доказательству и решению задач по геометрии. Рекомендуется, в
частности, разработка систем индивидуальных занятий по каждой теме,
которые студент должен выполнять на основе образцов,
рассматриваемых на лекциях и практических занятиях.
9.Методические указания для студентов
По курсу «Аналитическая геометрия» кроме вопросов,
рассмотренных на лекционных и практических занятиях,
18
предполагается самостоятельное изучение студентами некоторых
теоретических вопросов, вынесенных на СРС. Это следующие вопросы:
1) Векторные подпространства.
2) Применение векторов к решению задач школьного курса
геометрии.
3) Понятие алгебраической линии и ее порядок.
4) Применение метода координат к решению задач школьного
курса планиметрии.
5) Метод координат в пространстве. Уравнение поверхности.
6) Группа симметрий геометрической фигуры.
7) Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы.
8) N-мерные векторные пространства и подпространства.
10.Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов
Тема
Элементы векторной алгебры
Прямая на плоскости
Плоскость. Прямая в пространстве
Линии второго порядка
Поверхности второго порядка
Многомерные аффинные
и евклидовы пространства
Форма контроля
Домашняя
письменная
работа,
коллоквиум №1
Аудиторная
письменная
работа,
коллоквиум №2
Домашняя
письменная
работа,
коллоквиум №3
Коллоквиум №4,
домашняя
письменная
работа
Отчет по СРС
Примерные темы курсовых работ
1. Сферическое изображение поверхностей.
2. Параллельные поверхности.
3. Линейчатые поверхности.
4. Проективные плоскости над конечными полями.
5. Геометрия комплексных чисел.
19
6. Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве.
7. Аффиноры в трехмерном евклидовом пространстве.
8. Исследование систем Пфаффа.
9. Замечательные кривые третьего порядка и связанные с ними задачи.
10. Геодезические линии на поверхностях вращения.
11 .Сети линий кривизны на специальных поверхностях.
12.
Параллельные
двумерные
поверхности
в
евклидовом
четырехмерном пространстве.
13. Геометрия поверхностей, несущих сеть линий кривизны.
14. Гиперсферическое изображение поверхностей в многомерном
пространстве.
15. Геометрия поверхностей, несущих сети Фосса.
16. Квазиомбилические поверхности.
17. Поверхности
евклидова
пространства,
имеющие
вторую
квадратичную форму специального вида.
18. Гиперкомплексы прямых евклидова пространства.
19. Поверхности коразмерности два специального вида в евклидовом
пространстве.
20. Поверхности, несущие ортогональные геодезические сети .
21. Псевдоомбилические поверхности коразмерности два евклидова
пространства.
11. Контрольно-оценочные материалы
Контрольные вопросы
1. Направленные отрезки. Векторы. Понятие вектора. Виды векторов.
Лемма о равенстве векторов.
2. Сложение и вычитание векторов. Определения и свойства. Примеры.
3. Умножение вектора на число. Определение и свойства. Примеры.
4. Условия коллинеарности двух векторов и компланарности трех
векторов.
5. Линейно зависимая система векторов. Свойства такой системы
векторов. Примеры.
6. Линейно независимая система векторов. Свойства такой системы
векторов. Примеры.
7. Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.
Следствие.
8. Базис. Размерность. Понятие координат точек. Примеры. Свойства
координат точек.
9. Ортонормированный базис. Вычисление длины вектора через ее
координаты. Примеры.
10. Скалярное произведение векторов. Определение. Вычисление его в
координатах. Примеры.
20
11. Скалярное произведение векторов. Определение. Примеры.
Свойства скалярного произведения векторов.
12. Векторные подпространства. Примеры. Двумерное векторное
подпространство. Условие коллинеарности двух векторов. Простейшие
задачи, решаемые в координатах.
13. Применение векторов к решению задач. Алгоритм применения
векторов. Примеры.
14. Координаты точек в пространстве. Решение простейших задач в
координатах.
15. Ориентация пространства. Признак компланарности векторов.
16. Матрица перехода. Левый и правый базисы.
17. Формулы преобразования координат в пространстве.
18. Векторное произведение векторов. Определение. Геометрический
смысл модуля векторного произведения векторов.
19. Векторное произведение в координатах. Свойства векторного
произведения векторов.
20. Смешанное произведение векторов. Определение. Геометрический
смысл модуля векторного произведения векторов.
21. Смешанное произведение в координатах. Свойства.
22. Уравнения плоскости. Примеры.
23. Общее уравнение плоскости. Условие параллельности вектора
плоскости.
Примеры.
Особенности
расположения
плоскости
относительно системы координат.
24. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Примеры.
25. Расстояние от точки до плоскости. Угол между двумя плоскостями.
Примеры
26. Уравнения прямой в пространстве. Примеры.
27. Основные задачи на прямую и плоскость. Примеры решения их в
конкретных случаях.
28. Метод координат в пространстве. Алгоритм применения. Примеры.
29. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Взаимное
расположение прямой и плоскости. Примеры.
30. Полярные координаты. Решение простейших задач в полярных
координатах. Присоединенная прямоугольная система координат.
31. Уравнения прямой на плоскости. Выводы. Общее уравнение
прямой. Примеры.
32. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Примеры.
33. Основные задачи на прямую на плоскости.
34. Эллипс. Вывод уравнения. Свойства.
35. Гипербола. Вывод уравнения. Свойства.
36. Парабола. Вывод уравнения. Свойства.
21
37. Единое определение эллипса, гиперболы и параболы. Уравнения
эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.
38. Пересечение линии второго порядка с прямой. Асимптотические
направления.
39. Центр линии второго порядка. Примеры.
40. Касательные к линии второго порядка. Вывод уравнения. Примеры.
41. Сопряженные направления. Главные диаметры линии второго
порядка.
42. Поверхности вращения. Вывод уравнения. Примеры.
43. Цилиндрические поверхности. Вывод уравнения. Примеры.
44. Конические поверхности второго порядка. Конические сечения.
45. Эллипсоид.
46. Однополостный гиперболоид. Определение. Сечения. Свойства.
Изображение.
47. Эллиптический параболоид. Определение. Сечения. Свойства.
Изображение.
48. Гиперболический параболоид. Определение. Сечения. Свойства.
Изображение.
49. Двуполостный гиперболоид. Определение. Асимптотический конус.
Сечения. Свойства. Изображение.
50. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
Контрольная № 1 по теме «Векторная алгебра»
Вариант 1
1. Дан тетраэдр АВСD, точка М – центр тяжести грани АВС, N
и К – середины ребер ВD и DА соответственно. Найти координаты
векторов DM , AD , CN и NK в базисе BA , BC , BD .
2. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1C1D1 диагонали А1В
и В1С его граней наклонены к плоскости основания под углами 30° и
60°. Вычислить угол между этими диагоналями.
3. М и М1 – точки пересечения медиан треугольников АВС и А1В1С1.
Доказать, что MM 1  13 ( AA1  BB1  CC1 ) .
4. Найти угол между биссектрисами двух плоских углов прямого
трехгранного угла.
5. В
четырехугольнике
АВСD
суммы
квадратов
длин
противоположных сторон равны. Доказать, что его диагонали АС и ВD
взаимно перпендикулярны.
Вариант 2
1. Дана треугольная призма АВСА1В1С1, N – середина отрезка B1C1,
М – точка пересечения прямых А1В и АВ1. Найти координаты векторов
CB, AM , CN в базисе AC , AB , CA1 .
2. Дан треугольник АВС такой, что в ортонормированном базисе
22
BA (–2, 3), BC (0,1). Найти длину высоты ВН и угол между векторами BH
и BA .
3. Доказать, что если для неколлинеарных векторов a и b
выполнено условие a  2b  2a  b , то a  b .
4. Найти угол между биссектрисами АА1 и АА2, двух граней
правильного тетраэдра АВСD.
5. В правильном тетраэдре АВСD, М и N – центры граней ВСD и
АСD соответственно. Найти угол между векторами AM и BN .
Вариант 3
1. В тетраэдре АВСD точка М – центр тяжести грани ВСD , К и L –
середины ребер АD и BD соответственно. Найти координаты векторов
AM , AD,KL в базисе CB, CD, CA. .
2. Найти длину биссектрисы BD треугольника АВС, если известно,
что АВ = 2, BC = 3,  АВС = 60°.
3. Доказать, что если вектора a и b перпендикулярны, то a  b  a  b .
4. Доказать, что в четырехугольнике с взаимно перпендикулярными
диагоналями сумма площадей квадратов, построенных на одной паре
противоположных сторон, равна сумме площадей квадратов, построенных на
другой паре таких сторон.
5. Найти угол между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней
куба.
Вариант 4
1. Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, у которой все ребра равны.
Найти угол между векторами AB и AM , где М – середина ребра В1С1.
2. Точка О – центр параллелограмма АВСD. Найти координаты векторов AO, OD
22
в базисе AD, AM , где М – середина стороны ВС.
3. Пусть ma , mb , mc - медианы треугольника, сторонами которого
являются отрезки a, b, c . Доказать, что ma2  mb2  mc2  34 (a 2  b 2  c 2 ).
4. Найти длину высоты АН треугольника АВС, в котором  ВАС =
60°, АВ = 3, АС = 2.
5. Доказать, что если в тетраэдре имеется две пары взаимно
перпендикулярных противоположных ребер, то и оставшиеся два ребра
будут взаимно перпендикулярными.
Вариант 5
1. Дан параллелепипед АВСДА1В1С1D1, точка М – центр грани ВСС1В1. Найти
координаты вектора AM в базисе DD1 , DB , AB .
2. Дан угол АВС, причем известны координаты векторов
23
BA (–3,0,4) и BC (5,–2, –14) в ортонормированном базисе. Найти
координаты единичного вектора, сонаправленного с биссектрисой
данного угла.
3. Пусть АН – высота, AM – медиана треугольника АВС, в котором
 ВАС = 60°, АВ = 3, СА = 4. Найти координата векторов AH, AM в
базисе AC, AB .
4. В трапеции АВСD основание АD в пять раз больше основания ВС.
Найти длины диагоналей трапеции и угол между ними, если известно,
что АВ = 6, АD = 10,  ВАD = 60°.
5. В треугольнике АВС длины сторон связаны соотношением
2
a  b 2  5c 2 . Доказать, что медианы АА1 и ВВ1 взаимно перпендикулярны.
Вариант 6
1. В параллелепипеде АВСDА1В1C1D1 точки М и N – середины ребер
А1D и ВС соответственно. Найти координаты вектора MN в базисе
AB , AD , AC1 .
2. Векторы a (2,–3,0), b (1,1,0) заданы своими координатами в базисе
где e1  3, e 2  2, e3   угол между векторами
e1 , e 2
e1 , e2 , e3 ,
равен 60°, а углы между
векторами e1, e3 и e2 , e3 равны 45°. Найти угол между векторами a , b и длину
вектора a + b .
3. Пусть CН – высота прямоугольного треугольника, проведенная из
вершины прямого утла к гипотенузе АВ. Найти координаты вектора CH
в базисе CB, CA , если известно, что СА = b , СВ = a .
4. Найти величину двугранного угла при ребре правильного
тетраэдра.
5. Доказать, что прямая, проходящая через середины двух
противоположных ребер правильного тетраэдра, перпендикулярна
каждому из них.
Вариант 7
I. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все ребра
которой равны a . Точка М принадлежит ребру В1С1, причем В1М
относится к МС1, как 2:1, точка О – центр грани AВС. Найти длину
отрезка ОМ.
2. Компланарны ли векторы a (1,2,4), b (3,2,1), c (–1,2,7)?
3. Пусть CH – высота, СD – биссектриса треугольника АВС, в
котором  С – прямой, СА =3, СВ = 4. Найти координаты векторов в
базисе CA, CB .
24
4. Пусть a и b – ненулевые коллинеарные векторы, α и β – данные
CH, CD вещественные числа. При каком условии существует решение x
системы уравнений a x  , b x   ?
5. Дан куб АВСDА1В1С1D1. Доказать, что его диагональ АС1
перпендикулярна плоскости А1ВD.
Вариант 8
1. В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD боковыми
гранями являются правильные треугольники со стороной a . Найти
расстояние между серединами ребер SA и СD.
2. При каких значениях α и β векторы a (–2,3,α) и b (β,–6,2): а)
коллинеарны; б) взаимно ортогональны; в) имеют равные длины? В
случаях б) и в) предполагается, что базис – ортонормированный.
3. Дан квадрат ABCD; E – середина стороны АD, точка F –
принадлежит прямой AC. Доказать, что прямые EF и FB взаимно
перпендикулярны тогда и только тогда, когда AF  3FC или F = A.
4. С помощью векторов доказать, что диагонали ромба перпендикулярны.
5. Доказать следующее утверждение: для того, чтобы каждая пара
противоположных ребер АВ и СD, АС и ВD, ВС и АD тетраэдра АВСD
была взаимно перпендикулярна, необходимо и достаточно, чтобы АВ2 +
СD2 = =AС2 + ВD2 = ВС2 + АD2.
Вариант 9
1. Зная длины всех шести ребер тетраэдра, найти длины отрезков,
соединяющих попарно середины противоположных ребер.
2. Даны тройки векторов: а) a (–3,0,2), b (2,1–4), c (11,–2,–2),
6) d (1,0,7), e (–1,2,4), f (3,2,1). Найти среди них тройку
компланарных векторов.
3.
Дан
треугольник
АВС,
причем
известно,
что
в
ортонормированном базисе AB (3,0), AC (0,1). Найти величину угла
между высотой АН и медианой ВМ этого треугольника.
4. Даны ненулевой вектор a и вещественное число λ. Выяснить
геометрический смысл решений x уравнения a x = λ.
5. Доказать, что прямые, содержащие высоты треугольника,
пересекаются в одной точке.
Вариант 10
1. Диагональ АС1 прямоугольного параллелепипеда образует с
каждым из двух ребер, выходящих из точки А, угол 60°. Какой угол она
образует с третьим ребром, выходящим из той же точки А?
25
2. Доказать, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит
противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим
сторонам.
3. Найти наименьшую размерность векторного пространства,
содержащего векторы a (1,2,4), b (3,2,1), c (–1,2,7).
4. В трапеции АВСD основание АВ в два раза больше основания СD,
О и Е – точки пересечения диагоналей и продолжений боковых сторон
соответственно. Найти ОЕ, если АВ = 8, АD = 6,  DАВ = 60°.
5. Сформулировать и доказать теорему обратную теореме Пифагора.
Контрольная № 2 по теме «Прямая линия на плоскости. Метод
координат»
Вариант 1
1. Через точку M 3,3 проведите прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный
между данными прямыми x  4 y  4  0 и 3x  2 y  2  0 , в точке M делился пополам.
2. По данным расстояниям a и b от концов некоторого отрезка до данной
прямой определите расстояние до этой прямой от середины данного отрезка.
3. Через точку M к сторонам треугольника проведены
перпендикуляры. Найти множество точек M, для каждой из которых
основания перпендикуляров принадлежат одной прямой.
4. Прямая d проходит через вершину A и середину медианы BM
треугольника ABC, N – точка пересечения прямой d со стороной BC.
Доказать, что отношение (BC, N)= 12 .
5. На прямой 2x–y–10=0 найти точку, сумма расстояний от которой
до точек A(–5,0) и B(–3,4) была бы наименьшей.
Вариант 2
1. Напишите уравнения сторон треугольника, если даны одна его вершина A2,7 
и уравнения двух медиан y  6  0 и 3x  4 y  9  0 .
2. Параллелограмм разбит своей диагональю, длина которого равна a , на два
равнобедренных прямоугольных треугольника. Найдите длину второй диагонали
параллелограмма. Рассмотрите возможные случаи.
3. Найдите множество точек, отношение расстояний от которых до данных
взаимно перпендикулярных прямых постоянно и равно  .
4. Даны два параллелограмма ABCD и AMNP, где M – точка стороны
AB, N – точка стороны AD. Доказать, что прямые MD, BP, NC
пересекаются в одной точке.
5. Даны точки A(5,2) и B(2,1). На прямой x+y–5=0 найти точку M,
такую, чтобы  AMB=450.
26
Вариант 3
1. Напишите уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину A2, 7  , а
также уравнения высоты 3x  y  11  0 и медианы x  2 y  7  0 , проведенных из одной
вершин.
2. Даны расстояния a, b, c от вершин A, B, C параллелограмма ABCD до
некоторой прямой. Найдите расстояние до этой прямой от точки пересечения
диагоналей параллелограмма.
3. Найдите множество точек плоскости, отношение расстояний от которых до
двух данных точек постоянно и равно  .
4. Точки M и N принадлежат соответственно сторонам DC и CB
параллелограмма ABCD. Через середину отрезков DM и AB проведена
прямая. Через середину отрезков AD и BN – вторая прямая,
пересекающая первую в точке P. Доказать, что прямая AP проходит
через середину отрезка MN.
5. Две прямые x+y–2=0, x+y+3=0 повернуты вокруг начала
координат на 900. Найти координаты точек пересечения данных прямых
и их образов при повороте. Доказать, что полученные точки являются
вершинами квадрата.
Вариант 4
1. Напишите уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C 2, 0 , а
также уравнения высоты x  y и медианы x  1 , проведенных из различных вершин.
2. Даны расстояния a, b, c от вершин A, B, C параллелограмма ABCD до
некоторой прямой. Найдите расстояние до этой прямой от четвертой его вершины.
3. Найдите множество точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух
данных точек постоянна и равна  .
4. Дан треугольник ABC. Прямая d пересекает прямые BC, CA, AB
соответственно в точках A1, B1 и C1. На каждой прямой построены
точки A2, B2, C2 симметричные точкам A1, B1, C1 относительно
середины содержащих их сторон. Доказать, что точки A2, B2 и C2
принадлежат на одной прямой.
5. На сторонах прямого угла ACB даны две точки A и B так, что
CA=CB. Найти множество точек M, расположенных внутри угла, для
которых луч MC есть биссектриса угла AMB.
27
Вариант 5
1. Напишите уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину A5, 4 , а
также уравнения высоты 8x  y  9  0 и биссектрисы 2 x  y  1  0 , проведенных из
одной вершины.
2. Докажите, что если m1 и m2 − медианы прямоугольного треугольника,
проведенные к катетам, причем m1  m2 , то
1 m1

2.
2 m2
3. Найдите множество точек плоскости, модуль разности квадоатов расстояний
от которых до двух данных точек постояннен и равен  .
4. Доказать, что никакие три вершины квадратов клетчатой бумаги не образуют
равностороннего треугольника.
5. В равнобедренном треугольнике ABC  AB  BC  известны уравнения двух
сторон  AB : 3x  2 y  3  0,  AC  : 2 x  y  5  0 и точки M 1, 1 , принадлежащей третьей
стороне треугольника. Найти уравнение третьей стороны.
Вариант 6
1. Напишите уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B2,  1 , а
также уравнения высоты 3x  4 y  27  0 и биссектрисы 2 x  y  5  0 , проведенных из
разных вершин.
2. Основания трапеции a и b . Определите расстояние между точками,
делящими боковые стороны трапеции в отношении  .
3. Найдите множество середин отрезков, соединяющих данную точку со всеми
точками данной окружности.
4. Методом координат доказать, что произведение длин любых двух сторон
треугольника равно произведению длины его высоты, выходящей из общей
вершины этих сторон, на диаметр описанной окружности.
5. Луч света направили по прямой, уравнение которой имеет вид 2 x  3 y  6  0 .
Найти уравнение прямой, которая содержит луч, отраженный от оси абсцисс.
Вариант 7
1. Напишите уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C  5, 3 , а
также уравнения биссектрисы 2 x  y  5  0 и медианы 4 x  y  7  0 , проведенных из
одной вершины.
9
2. На графике функции y  x найдите точку, ближайшую к точке A , 0  .
2

3. Найдите множество концов B отрезков AB , исходящих из данной точки A ,
если известно, что их середины лежат на данной окружности.
4. Доказать, что каждая прямая, проходящая через основания высот,
проведенных из двух вершин непрямоугольного треугольника, перпендикулярна
28
прямой, проходящей через его третью вершину и центр окружности, описанной
около треугольника.
5. Луч света направили по прямой, уравнение которой имеет вид 2 x  3 y  6  0 .
Найти уравнение прямой, которая содержит луч, отраженный от оси ординат.
Вариант 8
1. Напишите уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B1, 5 , а
также уравнения биссектрисы x  y  1  0 и медианы 2 x  11y  3  0 , проведенных из
разных вершин.
2. Докажите, что любая точка графика функции y 
x2
одинаково удалена от
8
точки A0, 2  и прямой y  2 .
3. Найдите множество точек плоскости, сумма квадратов от которых до двух
противоположных вершин данного прямоугольника равна сумме квадратов
расстояний до двух других его вершин.
4. В прямоугольном треугольнике ABC (угол C − прямой) проведена высота CD .
Доказать, что медиана AA1 треугольника ADC перпендикулярна медиане CC1
треугольника CDB .
5. Даны вершины
A1, 2
и
 1

B  ,  1 при основании равнобедоенного
 2

x  y  1  0 прямой, содержащей биссектрису
треугольника ABC и уравнение
внутреннего угла при основании. Написать урпавнения сторон треугольника.
Вариант 9
1. Напишите уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину A4,  1 и
уравнения двух биссектрис x  1  0 и x  y  1  0 .
2. Найти точку, сумма квадратов расстояний которой до вершин треугольника
наименьшая. Выразить эту наименьшую сумму через длины a, b, c сторон
треугольника.
3. Найдите множество точек, для которых сумма расстояний до прямых,
содержащих две противоположные стороны прямоугольника, равна сумме
расстояний до прямых, содержащих две другие его стороны.
4. Точка M − середина основания AB равнобедренного треугольника ABC .
Доказать, что если N − середина перпендикуляра MP , проведенного из точки M на
сторону BC , то CN перпендикулярна AP .
5. Луч света проходит через точку M 1, 1 и, отразившись последовательно от
прямых x  y  2  0 и 2 x  y  1  0 , проходит через точку N 2, 2  . Найти уравнение
прямой, падающей на первую прямую.
29
Вариант 10
1. Напишите уравнения трех сторон квадрата, если известно, что четвертой
стороной является отрезок прямой 3x  2 y  6  0 , концы которого лежат на осях
координат.
2. На графике функции y  x 2 найти точку, ближайщую к прямой 3x  4 y  10  0 .
3. Найти множество точек плоскости, для каждой из которых расстояние до
данной точки A вдвое больше расстояния до данной прямой a, проходящей через
точку A.
4. Четыре диагонали пятиугольника соотвественно параллельны четырем его
сторонам. Доказать, что пятая диагональ плраллельна пятой стороне.
5.
ромб.
Известны
уравнения
прямых
ABCD −
AB : x  3 y  12  0, CD : x  3 y  8  0, AC : x  2 y  2  0 . Найти уравнения прямых BC и AD .
Контрольная работа № 3 по теме: «Кривые второго порядка»
Задание 1. Не приводя к каноническому виду найти:
1) центр линии;
2) асимптотические направления;
3) написать уравнение касательной к кривой, проходящей через
выбранную точку;
4) диаметр, проходящий через начало координат;
5) диаметр, сопряженный вектору i ;
6) уравнения главных диаметров.
Задание 2. Привести уравнение кривой к каноническому виду и
изобразить ее. Найти полуоси или параметр и эксцентриситет.
Варианты заданий
1. x2+y2+xy+x+y = 0
16. 3xy–4y2+6x–13y– 11 =0
2
2
2
2. 40x +36xy+25y –8x–14y+1=0
3. 3xy+6x+3y+ 15 =0
4.
2
3 2
4xy+ y +8x+6y–18=0
2
2
2
17. 12x –24xy+12y –48x=0
18. 12xy–16y2+24x–52y–22=0
19. 20x2+8xy+12 1 y2–4x–7y+ 1 =0
2
2
2xy+ 3 y2+8x+6y–18=0
2
5. 4xy+8x+4y+10=0
20.
6. 9x2+12xy+4y2+8x+14y+3=0
7. 4xy+3y2+16x+12y–36=0
8. 2x2+xy+2y2+15 2 x+50=0
21. x2+6xy+9y2–12x+24y+15=0
22. 4x2+4xy+y2+8x+6y+3=0
23. x 2  2xy  9 y 2  8x  6 y  12  0
9. 10x2+6xy+2y2–2x+4y–3=0
10. 3x2+4 2 xy+5y2+6x–1=0
11. 4x2+2xy+4y2+30 2 x+100=0
12. 5x2+4y2+6xy–3x–6y+1=0
13. xy+2x+y+ 5 =0
24. 9x2+6y2+4xy+2x–4y–4=0
25. 2 x 2  3xy  2 y 2  7 x  3 y  3  0
26. x2–2xy+y2–4x=0
27. 9x2+4y2–12xy+39=0
28. 3 x2– 3 y2+2xy–2x–2 3 y=0
2
2
14. 9 x 12xy  4 y 2  8x  14 y  3  0
15. 3 x 2  4 2 xy  5 y 2  6 x  1  0
29.
30.
x 2  6 xy  9 y 2  12x  24 y  15  0
4 xy  3 y 2  16 x  12 y  36  0
Контрольная работа №4
по теме «Прямая и плоскость в пространстве»
Вариант 1
1. Даны вершины пирамиды АВСD: А(1, 0, 3), В(0, 2, 5), С(-1, 3, 2),
D(5, 0, 2). Найти а) уравнение грани АВС, б) уравнение прямой АВ,
в) уравнение высоты DН, г) уравнение плоскости, проходящей через
точку С параллельно грани АВD, д) вычислить косинус угла между
прямыми АВ и ВD, е) вычислить длину высоты DН.
2. Найти расстояние от точки М(2, -1, 3) до прямой
x  1 y  2 z 1


.
3
4
5
3. Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую
пересечения плоскостей
3 x  y  5 z  2  0 ,  2 x  y  11z  6  0 ,
перпендикулярно плоскости 3 x  y  2 z  4  0.
4. Даны вершины треугольника А(-6, 3), В(8, 10), С(2, -6) и прямая
3 x  y  3  0 . Определить, какие стороны треугольника пересекаются
данной прямой.
Вариант 2
1. Даны вершины пирамиды АВСD: А(4, 2, 0), В(1, -1, 3), С(0, 2, 1), D(1, -1, 2). Найти а) уравнение грани АВС, б) уравнение прямой АС, в)
уравнение высоты DН, г) уравнение плоскости, проходящей через
точку А параллельно грани ВСD, д) вычислить косинус угла между
прямыми АВ и ВС, е) вычислить длину высоты DН.
2. Определите взаимное расположение прямой, заданной как пересечение двух
плоскостей
2x  3 y  4z  1  0 , x  2 y  z  5  0 ,
и
плоскости
4 x  y  3z  0 .
3. Найти
уравнение
плоскости,
проходящей
через
прямую
x 1 y 1 z  2


и перпендикулярной плоскости 2 x  3 y  z  4  0 .
1
2
2
4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения
прямых 5 x  y  10  0 , 8 x  4 y  9  0 и параллельно прямой x  3 y  0.
31
Вариант 3
1. Даны вершины пирамиды АВСD: А(1, 0, -4), В(0, 2, 3), С(-1, 1, 5),
D(1, 0, 6). Найти а) уравнение грани АВС, б) уравнение прямой АВ,
в) уравнение высоты DН, г) уравнение плоскости, проходящей через
точку С параллельно грани АВD, д) вычислить косинус угла между
прямыми АВ и ВD, е) вычислить длину высоты DН.
2. Найти расстояние от точки М(2, 1, -1) до прямой
3. Найти
уравнение
x  4 y 1 z  5


,
2
2
7
4. Даны
плоскости,
проходящей
x 1 y  2 z


.
2
1
3
через
прямые
x  2 y 1 z 1


.
2
2
7
уравнения
двух
сторон
прямоугольника
3 x  2 y  5  0 , 2 x  3 y  7  0 и одна из его вершин А(-2, 1). Найти
площадь прямоугольника.
Вариант 4
1.Даны вершины пирамиды АВСD: А(1, 1, 3), В(5, 2, 0), С(-1, 0, 1), D(-1,
3, 2). Найти а) уравнение грани АВС, б) уравнение прямой АD, в)
уравнение высоты DН, г) уравнение плоскости, проходящей через
точку В параллельно грани АСD, д) вычислить косинус угла между
прямыми АВ и АС, е) вычислить длину высоты DН.
2.Найти проекцию точки А(3, 2, -1) на плоскость 5 x  2 y  3z  1  0 .
3.Определить
взаимное
расположение
прямых
x3 y4
z


,
2
1
1
2.
3.
4.
5.
x2 y4 z 3


.
0
2
0
4.Через точку М(1, 2) провести прямую так, чтобы она прошла на
равных расстояниях от точек А(3, 3) и В(5, 2).
Дополнительные задачи на тему: «Векторы»
1. Дана треугольная призма АВСА1В1С1. Приняв векторы АВ, АС , АА1 за
базисные, найти координаты вектора MN , где М – центр
параллелограмма ВСС1В1, N - центр тяжести треугольника
А1В1С1.
В кубе найти величину угла между его диагональю и скрещивающейся с
ней диагональю грани.
В кубе найти величину угла между скрещивающимися диагоналями двух
соседних граней.
Найти величину угла ВАС равнобедренного треугольника АВС, зная,
что медианы ВВ0 и СС0, проведенные из вершин основания,
перпендикулярны.
 

Дан вектор а ( а1 , а 2 ) относительно ортонормированного базиса (i , j ) .

   
Найти координаты вектора x , такого, что x  a , x  a .
6.
7.
32
На сторонах АВ, ВС квадрата АВСD соответственно даны точки Р, Q,
такие, что BP=BQ. Пусть BH – высота треугольника BPC. Доказать,
что HQ  HD.
Доказать, что сумма квадратов длин медиан треугольника равна ¾
суммы квадратов длин его сторон.
Задачи на тему: «Прямая. Метод координат на плоскости»
8. Точка А (-1;3) является вершиной квадрата, диагональ BD которого лежит
на прямой l: 7x-y-15=0. Составить уравнения второй диагонали и
сторон квадрата.
9. Дан треугольник ABC: А (6;-2),В (4;0), С (-1;-7).Составить уравнения:
а) высоты, проведенной из вершины А;
б) медианы, проведенной из вершины В;
в) биссектрисы внутреннего угла С.
10. В прямоугольной системе координат задано уравнение линии второго
порядка: x 2  y 2  xy  x  y  0 . Не приводя к каноническому виду найти:
1) центр линии;
2) асимптотические направления линии.
11.
Доказать, что в любом четырехугольнике, противоположные
стороны которого не параллельны, середины диагоналей и середина
отрезка, концами которого являются точки пересечения прямых,
содержащих противоположные стороны четырехугольника, лежат на одной
прямой (теорема Гаусса).
12.
Окружность и ромб имеют общий центр. Доказать, что сумма
квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин ромба
постоянна.
13.
Доказать, что если вершины одного параллелограмма лежат
соответственно на различных сторонах другого, то центры этих
параллелограммов совпадают.
14. Вокруг квадрата со стороной 2а описана окружность. Доказать, что
сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до прямых,
содержащих стороны квадратов, постоянна и равна 8а2 .
15. На прямой х+2у-1=0 и на осях прямоугольной декартовой
системы координат найти точки, равноудаленные от точек А(2,5) и В(0,1).
16. Написать уравнения всех сторон квадрата АВСД, вписанного в
окружность, заданную уравнением х2+у2 = 169, если точка А
имеет координаты (5,-12). Система координат прямоугольная
декартова.
17. Написать уравнение прямой, которая проходит через точку
18.
19.
20.
21.
33
А(8,6) и отсекает от координатного угла треугольник с
площадью, равной 12. Система координат прямоугольная
декартова.
Две стороны и медиана треугольника лежат на прямых, заданных
уравнениями х+2у3=0, х+у-2=0 и 5х+6у-15=0 соответственно.
Написать уравнение прямой, содержащей третью сторону
треугольника.
Составить уравнение окружности, которая касается прямых у = 0,
у = 2х и проходит через точку А(2,1).
Найти множество центров тяжести всех треугольников, две
вершины которых зафиксированы, а третьи вершины лежат на
данной прямой.
Точки Е и К - середины сторон АД и ВС параллелограмма АВСД.
Доказать, что прямые BE и КД делят диагональ АС
параллелограмма на три равные части.
Задачи на тему: «Метод координат в пространстве»
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Написать параметрические уравнения плоскости, которая
проходит через точку А(2,-1,3) параллельно плоскости, заданной
уравнением
2х-y+3z-l=0.
Перейти
от
полученных
параметрических уравнений к общему уравнению плоскости.
Система координат - аффинная.
Написать уравнения прямой: а) проходящей через точку А(1, -3,
4) параллельно прямой, заданной системой уравнений 2x-y+z-3=0,
x+3y-z-1=0. б) проходящей через точку А(0, 0, 2) и
перпендикулярной прямым, заданным уравнениям: х =1+t, y=l-t,
z=t; x=l-t, y=2, z=3-t.
Определить взаимное расположение двух прямых, заданных в
аффинной системе координат уравнениями: x-y-z=0, 2x-y+2z=0;
х/1=(у+8)/(-4)=(z+3)/(-3).
Написать уравнения прямой, проходящей через точку А(2,3,1) и
пересекающей прямые, заданные в аффинной системе координат
уравнениями x+y=0, х+Зу-1= 0, x-y+z+4=0; y+z-2=0.
Найти уравнения ортогональной проекции прямой d, заданной
системой уравнений 5х+8у-3z +9=0, 2х-4у+ z-1=0, на
координатную плоскость Оху и величину угла, который прямая
d образует с этой плоскостью.
Написать уравнения прямой, которая проходит через точку Р(2,1,0) и пересекает под прямым углом прямую, заданную
уравнениями: x/1=(y+1)/(-3)=(z+1)/(-2).
Найти точку, симметричную точке М(2,7,1) относительно
29.
30.
31.
32.
33.
34.
34
плоскости, заданной уравнением х-4у+ z +7=0.
Написать уравнения прямой, содержащей общий перпендикуляр
оси ординат и прямой, заданной уравнениями: x=3+4t, y=l-t, z
=2+5t.
Найти расстояние между прямыми l1: x=2+4t, y=-l+t, z=1-t и l2:
(x+4)/2 = (y-2)/(-2) =( z+2)/(-3).
На оси аппликат найти точку, которая удалена от плоcкости x+2y2z -2 =0 на расстояние  =4.
Даны плоскости 3х+5у-4 z +1=0 и х-z-5=0. Найти угол между
этими плоскостями и написать уравнение биссекторной
плоскости того угла между ними, в котором лежит начало
координат.
Написать уравнение плоскости, проходящей через линию
пересечения плоскостей, заданных уравнениями x+y-z+l=0 и
2х+3у-z+2=0, и перпендикулярной к плоскости, заданной
уравнением х-у+2z -1=0.
Написать уравнения прямой, содержащей общий перпендикуляр
двух прямых, заданных уравнениями (х-1)/2 = - ( y-l)/1 = (z-3)/4
и (х- 6)/3 = - ( у+1)/2 = - ( z +2)/1.
35
12.Рейтинг-планы дисциплины
Аналитическая геометрия
__
(название дисциплины согласно рабочему учебному плану)
специальность физика
курс 1 , семестр 1
2012 /2013 гг.
Количество часов по учебному плану 72, в т.ч. аудиторная работа 60, самостоятельная работа 12.
Преподаватель:
Шустрова Н.В., к.ф.-м.н.
(Ф.И.О., ученая степень, ученое звание)
Кафедра: алгебры, геометрии и методики обучения математике
Балл за
Число
Виды учебной деятельности
конкретное
заданий за
студентов
задание
семестр
Баллы
Минимальный
35
Модуль 1 Векторы. Прямые и квадрики на плоскости
Максимальный
110
18
Текущий контроль
50
7
39
1. Аудиторная работа
3
9
1
27
2. Тестовый контроль
3
3
3
9
3. Экспресс-опрос на лекциях
1
3
3
3
Рубежный контроль
11
11
1. Письменная контрольная работа
7
1
7
7
2. Коллоквиум
4
1
4
4
Модуль 2 Прямые, плоскости, квадрики в n-мерном пространстве
17
Текущий контроль
50
6
39
1. Аудиторная работа
3
9
0
27
2. Тестовый контроль
3
3
3
9
3. Экспресс-опрос на лекциях
1
3
3
3
Рубежный контроль
11
11
1. Письменная контрольная работа
7
1
7
7
2. Коллоквиум
4
1
4
4
Поощрительные баллы
0
10
1. Студенческая олимпиада
4
0
4
2. Публикация статей
4
0
4
3. Работа со школьниками (кружок,
2
0
конкурсы, олимпиады)
Посещаемость (баллы вычитаются из общей суммы набранных баллов)
2
1. Посещение лекционных занятий
0
–6
2. Посещение практических
0
–10
Итоговый контроль
Экзамен
35
30
Допуск - не менее 35 баллов,
• отлично - от 80 до 110 баллов (включая 10 поощрительных баллов),
• хорошо - от 60 до 79 баллов,
• удовлетворительно - от 45 до 59 баллов,
•
неудовлетворительно - менее 45 баллов.
110
0
30