16  ÀÎ ÍÐ T È2È 000/¹6 È Ç È ÑÊ Ò ÍÀÓÊÈ «...Î ïðèÿòíîì ðàññìîòðåíèè êðèâîëèíåéíûõ ôèãóð» À.ÂÀÑÈËÜÅ  ÅËÈÊÈÉ ÍÅÌÅÖÊÈÉ Ó×ÅÍÛÉ ÃÎÒÔÐÈÄ ÂÈËÜ- ãåëüì Ëåéáíèö îäíà èç íàèáîëåå ÿðêèõ ôèãóð â èñòîðèè ìèðîâîé íàóêè. Åãî âêëàä â ðàçâèòèå èäåé ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè ïîëó÷èë âñåîáùåå ïðèçíàíèå. Íàðÿäó ñ Íüþòîíîì Ëåéáíèö äåëèò ñëàâó îòêðûòèÿ àíàëèçà áåñêîíå÷íî ìàëûõ âåëè÷èí, ÿâëÿåòñÿ ñîçäàòåëåì äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèé, ïðè÷åì ñàìè ýòè òåðìèíû ââåäåíû Ëåéáíèöåì, èì æå ïðåäëîæåíà è ñèìâîëèêà äëÿ îáîçíà÷åíèÿ äèôôåðåíöèàëîâ è èíòåãðàëîâ. Íî äåÿòåëüíîñòü Ëåéáíèöà íå îãðàíè÷èâàëàñü òîëüêî ìàòåìàòèêîé. Îí âíåñ çíà÷èòåëüíûé âêëàä â ðàçâèòèå ìåõàíèêè è ôèçèêè, ÿâëÿëñÿ îäíèì èç êðóïíåéøèõ ôèëîñîôîâ íîâîãî âðåìåíè, çàíèìàëñÿ ëîãèêîé, þðèñïðóäåíöèåé, èñòîðèåé è òåîëîãèåé, âûäâèíóë öåííûå èäåè â ãåîëîãèè, ÿçûêîçíàíèè è ïñèõîëîãèè, áûë ïðè÷àñòåí ê ãîðíîìó, ìîíåòíîìó è áèáëèîòå÷íîìó äåëó, èçîáðåòàë ðàçëè÷íûå óñòðîéñòâà, â òîì ÷èñëå ñ÷åòíóþ ìàøèíó, áûë ïóáëèöèñòîì, ïîëèòèêîì è äèïëîìàòîì, îðãàíèçîâûâàë àêàäåìèè íàóê, ñòàâèë õèìè÷åñêèå îïûòû è èíòåðåñîâàëñÿ ìåäèöèíîé. Íå âåçäå îí äîñòèã òàêèõ âåðøèí, êàê â ôèëîñîôèè èëè ìàòåìàòèêå, íî òî, ÷òî èì ñäåëàíî, ñîõðàíÿåò è ïî ñåé äåíü íåïðåõîäÿùèé èíòåðåñ. Ëåéáíèö ðîäèëñÿ 21 èþíÿ (3 èþëÿ ïî íîâîìó ñòèëþ) 1646 ãîäà â ñåìüå ïðîôåññîðà ìîðàëè Ëåéïöèãñêîãî óíèâåðñèòåòà.  15 ëåò îí ïîñòóïèë íà þðèäè÷åñêèé ôàêóëüòåò òîãî æå óíèâåðñèòåòà è â 1666 ãîäó îêîí÷èë åãî, ïðîó÷èâøèñü, êðîìå òîãî, îäèí ñåìåñòð â Éåíå ó çíàìåíèòîãî òîãäà íåìåöêîãî ìàòåìàòèêà ß.Âåéãåëÿ. Ïî âîçâðàùåíèè èç Éåíû Ëåéáíèö ïîëó÷èë çâàíèå ìàãèñòðà ôèëîñîôèè, à çàòåì áàêàëàâðà þðèñïðóäåíöèè, ÷òî îçíà÷àëî îêîí÷àòåëüíîå îâëàäåíèå ñïåöèàëüíîñòüþ þðèñòà. Íî Ëåéáíèö õîòåë ïîéòè äàëüøå.  þðèñïðóäåíöèè îí óâèäåë ïóíêòû ñîïðèêîñíîâåíèÿ ñ ìàòåìàòèêîé è ëîãèêîé. Óåõàâ â 1666 ãîäó â Íþðíáåðã, Ëåéáíèö ñòàíîâèòñÿ äîêòîðîì ïðàâà, îäíîâðåìåííî óâëåêàÿñü àëõèìèåé. Çàòåì, óæå â Ìàéíöå, îí âûñòóïàåò ñ ïåðâûìè ñàìîñòîÿòåëüíûìè ðàáîòàìè â îáëàñòè åñòåñòâîçíàíèÿ, ãäå èçëàãàåò ñâîè ïðåäñòàâëåíèÿ î òåëàõ, èõ ñâîéñòâàõ, ïðîñòðàíñòâå è âðåìåíè, î äâèæåíèè è ñèëàõ è íà÷èíàåò ðàáîòàòü íàä ñ÷åòíîé ìàøèíîé.  26 ëåò Ëåéáíèö ïåðåñåëÿåòñÿ â Ïàðèæ. Çäåñü îí ëè÷íî çíàêîìèòñÿ ñ èçâåñòíûìè ôðàíöóçñêèìè ó÷åíûìè, â òîì ÷èñëå ñ Õ.Ãþéãåíñîì, çäåñü íà÷èíàåòñÿ íàèáîëåå àêòèâíûé è ïëîäîòâîðíûé ïåðèîä åãî ìàòåìàòè÷åñêîãî òâîð÷åñòâà. Ãþéãåíñ çíàêîìèò Ëåéáíèöà ñ ðàáîòàìè Äåêàðòà, Ãàëèëåÿ, Òîððè÷åëëè, Ïàñêàëÿ. Âî âðåìÿ ïîåçäêè â Ëîíäîí â 1672 ãîäó Ëåéáíèö çíàêîìèòñÿ ñ àíãëèéñêèìè ìàòåìàòèêàìè, âñòðå÷àåòñÿ ñ Íüþòîíîì, ñòàíîâèòñÿ ÷ëå- íîì Ëîíäîíñêîãî Êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà.  ïàðèæñêèé ïåðèîä ó Ëåéáíèöà ñôîðìèðîâàëèñü îñíîâíûå èäåè äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèé. Ê ýòîìó îòêðûòèþ Ëåéáíèö áûë ïîäãîòîâëåí çíàíèåì òîãî, ÷òî áûëî ñäåëàíî åãî ïðåäøåñòâåííèêàìè â òå÷åíèå ñòîëåòèÿ, åãî ñîáñòâåííûìè ðåçóëüòàòàìè è òåì ñî÷åòàíèåì ïðîíèöàòåëüíîñòè, èçîáðåòàòåëüíîñòè è ñòðåìëåíèÿ ê îáîáùåíèÿì, êîòîðîå áûëî õàðàêòåðíî äëÿ åãî ìûøëåíèÿ. Íå ïðèáåãàÿ ê ìàòåìàòè÷åñêîé ñèìâîëèêå, îòêðûòèå Ëåéáíèöà ìîæíî îïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äâà øèðîêèõ êëàññà çàäà÷ áûëè ïðåäìåòîì èññëåäîâàíèÿ ìàòåìàòèêîâ XVII âåêà. Îäèí èç íèõ ñîñòàâëÿë òàê íàçûâàåìûå êâàäðàòóðû çàäà÷è íà âû÷èñëåíèå ïëîùàäåé ôèãóð ñî ñëîæíûìè êðèâîëèíåéíûìè ãðàíèöàìè («êðèâîëèíåéíûõ ôèãóð»), à òàêæå îáúåìîâ è ïîëîæåíèé öåíòðîâ òÿæåñòåé òàêèõ òåë. Îáùèì âî âñåõ ýòèõ çàäà÷àõ áûëî òî, ÷òî èõ ìîæíî áûëî ðåøàòü ïî åäèíîìó ïëàíó: ñíà÷àëà, êàê ïðè ïðèáëèæåííîì âû÷èñëåíèè ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé ôèãóðû, ñîñòàâëÿòü ñóììó êîíå÷íîãî ÷èñëà ëåãêî âû÷èñëÿåìûõ ñëàãàåìûõ, çàòåì óâåëè÷èâàòü ÷èñëî ñëàãàåìûõ äî áåñêîíå÷íîñòè è òàêèì îáðàçîì, åñëè óäàåòñÿ, íàõîäèòü òî÷íûé ðåçóëüòàò. Ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ êâàäðàòóð ïðåäëàãàëèñü ðàçíûå, îíè áûëè ïðèñïîñîáëåíû äëÿ ðåøåíèÿ îïðåäåëåííîãî êðóãà çàäà÷ èëè ñâîäèëèñü ê ïðèåìó, îáåñïå÷èâàþùåìó óñïåõ òîëüêî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ. Ïðè ýòîì âûñîêî öåíèëè èìåííî ÷àñòíûå ìåòîäû, à ñòðåìëåíèå âûÿâèòü òî îáùåå, ÷òî áûëî â ýòèõ ìåòîäàõ, îòíþäü íå ïðåîáëàäàëî. Ê òîìó æå íå áûëî äîñòàòî÷íîé ñèñòåìû ïîíÿòèé è îáîçíà÷åíèé, ÷òîáû óäîáíûì îáðàçîì âûðàçèòü è ìàòåìàòè÷åñêè çàïèñàòü ýòî îáùåå. Äðóãîé êëàññ çàäà÷ ýòî çàäà÷è íà ïðîâåäåíèå êàñàòåëüíûõ. ×òîáû äàòü ïðàâèëî ïîñòðîåíèÿ êàñàòåëüíîé ê çàäàííîé êðèâîé â îïðåäåëåííîé òî÷êå, íàäî óêàçàòü íàïðàâëåíèå êàñàòåëüíîé. Äëÿ îêðóæíîñòè, êàê èçâåñòíî, ýòîò âîïðîñ ðåøàåòñÿ âåñüìà ïðîñòî, ïîòîìó ÷òî êàñàòåëüíàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ðàäèóñó, ïðîâåäåííîìó â òî÷êó êàñàíèÿ. Äëÿ íåêîòîðûõ êðèâûõ èõ ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà òîæå ïîçâîëÿþò äàòü óäîáíîå ïðàâèëî äëÿ ïîñòðîåíèÿ êàñàòåëüíîé.  îáùåì ñëó÷àå êàñàòåëüíóþ ïîëó÷àþò êàê ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå ñåêóùåé, ïðîâåäåííîé ÷åðåç äâå òî÷êè êðèâîé. Ïðè ýòîì îäíó èç òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ êðèâîé ïðèáëèæàþò êî âòîðîé, íåïîäâèæíîé; ñåêóùàÿ êàê áû âðàùàåòñÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè, ïðåâðàùàÿñü, ïðè ñëèÿíèè îáåèõ òî÷åê, â êàñàòåëüíóþ. Ñëåäèòü íàäî çà óãëîì, êîòîðûé ñåêóùàÿ îáðàçóåò ñ ôèêñèðîâàííûì íàïðàâëåíèåì (îñüþ Îõ), îí îïðåäåëÿåò íàïðàâëåíèå ñåêóùåé. Âû÷èñëÿòü ýòîò óãîë óäîáíî ïî åãî òàíãåíñó, à òàíãåíñ íàõîäèòñÿ ïî îòíîøåíèþ ðàçíîñòåé êîîðäèíàò ∆y è ∆x ðàññìàòðèâàåìûõ òî÷åê. Êîãäà ïîäâèæíàÿ