Развертки поверхностей документ PDF
реклама
Развертки поверхностей Разверткой поверхности называется плоская фигура, полученная в результате совмещения всех точек поверхности с одной плоскостью. Между поверхностью и ее разверткой устанавливается взаимное однозначное соответствие, т.е. каждой точке и линии на поверхности соответствует точка и линия на развертке. Развертываемыми поверхностями называются такие, у которых при развертывании сохраняются длины линий, расположенных на поверхности, величины углов между линиями и площади фигур, ограниченных замкнутыми линиями. К развертываемым поверхностям относятся все многогранники и линейчатые поверхности вращения. Построение разверток таких поверхностей сводится к определению натуральных величин всех элементов поверхности и последовательному изображению их на плоскости. Все остальные поверхности не развертываются, и при изготовлении их макетов их развертывают условно, т.е. приближенно. Развертка прямого кругового цилиндра На фронтальной плоскости проекций высота прямого кругового цилиндра проецируется в натуральную величину, а на горизонтальной плоскости проекций в натуральную величину проецируется его основание (рис. 56). Разверткой боковой поверхности прямого кругового цилиндра является прямоугольник, длина которого равна длине окружности его основания (2ПR), а высота равна высоте цилиндра. Основания цилиндра на развертке представляют собой окружности, равные горизонтальному очерку цилиндра. Рис. 56. Развертка прямого кругового цилиндра Развертка прямого кругового конуса У прямого кругового конуса длина всех образующих одинакова, и в натуральную величину она проецируется на фронтальной плоскости проекций. На горизонтальной плоскости проекций в натуральную величину проецируется его основание (рис. 57). Разверткой боковой поверхности является сектор окружности, радиус которой равен длине образующей L, а угол φ = R×360˚/ L, где R – радиус основания конуса. Основание конуса на развертке представляет собой окружность, равная горизонтальному очерку конуса. Рис. 57. Развертка прямого кругового конуса Развертка наклонной пирамиды Развертка наклонной пирамиды строится способом треугольников. Для построения развертки сначала необходимо определить натуральные величины всех ее ребер (рис. 58). Поскольку основание пирамиды треугольник АВС расположен параллельно горизонтальной плоскости проекций, то его горизонтальная проекция abc является натуральной величиной основания пирамиды. Рис. 58. Определение натуральных величин ребер пирамиды Для определения натуральной величины ребер пирамиды используется способ плоскопараллельного перемещения. Фронтальные проекции ребер a's', b's', c's' ставятся параллельно оси Х – s' a1', s' b1', s' c1'. На горизонтальной плоскости проекций точки a, b и с перемещаются по следам плоскостей, которые параллельны между собой и параллельны оси Х. На соответствующие следы плоскостей опускаются по линиям связи точки a1, b1, c1. Соединив полученные точки с неподвижной вершиной s, определяем натуральные величины ребер пирамиды. Для того чтобы перенести на развертку точку 1, необходимо построить ее недостающую горизонтальную проекцию. Поскольку точка 1' видимая, то она лежит на видимой грани пирамиды a'b's'. Для построения ее горизонтальной проекции необходимо через 1' провести вспомогательную образующую, зафиксировать точку пересечения этой образующей со стороной треугольника a'b', найти эту точку на горизонтальной плоскости проекций, построить горизонтальную проекцию этой образующей и на нее опустить по линии связи искомую точку 1. Далее определить натуральную величину вспомогательной образующей, так же как и ребер пирамиды, и перенести на нее точку 1. Для построения развертки пирамиды на свободном месте чертежа провести произвольную прямую и зафиксировать на ней произвольную точку – это будет вершина пирамиды S (рис. 59). На этой прямой отложить отрезок, равный натуральной величине ребра SА. Далее из точки S с помощью циркуля провести дугу, радиус которой равен натуральной величине ребра SВ, а из точки А провести дугу, радиус которой равен стороне треугольника АВ. Точка пересечения этих дуг определяет положение точки В. Для построения точки С из вершины пирамиды S проводится дуга радиусом, равным натуральной величине ребра SС, а из точки В – дуга радиусом, равным стороне треугольника ВС. Точка пересечения дуг определяет положение точки С. Аналогично достраивается грань пирамиды CAS, при этом используются натуральные величины ребра А и стороны треугольника АС. Последовательно соединяя полученные точки между собой и с вершиной S, получаем развертку боковой поверхности пирамиды, которая представляет собой три треугольника, т.е. три ее грани. Рис. 59. Развертка наклонной пирамиды Для построения основания пирамиды к любой из сторон АВ, ВС или СА достраивается недостающая точка, при этом используются натуральные величины сторон треугольника. Для того чтобы перенести на развертку точку 1, необходимо построить на ней вспомогательную образующую, для чего на стороне основания АВ от одной из точек А или В отложить отрезок, равный расстоянию от этой точки до начала образующей, замерив его на горизонтальной плоскости проекций, и соединить полученную точку с вершиной пирамиды S. По этой образующей отложить отрезок s11, замерив его вдоль натуральной величины вспомогательной образующей. Развертка наклонного конуса Для построения развертки наклонного конуса следует вписать в него пирамиду, при этом, чем больше граней будет иметь пирамида, тем более точной получится развертка (рис. 60). Для того чтобы вписать в конус пирамиду, необходимо окружность, лежащую в основании конуса, разделить на 8 – 12 равных частей и через полученные точки провести образующие. Определить натуральные величины полученных ребер вписанной пирамиды с помощью плоскопараллельного перемещения. Построить развертку вписанной пирамиды, используя натуральные величины ребер и сторон основания (рис. 61). Соединить плавной кривой линией полученные точки развертки 1 – 8 и достроить основание в виде окружности, замерив ее радиус на горизонтальной плоскости проекций. Рис. 60. Определение натуральных величин образующих конуса Рис. 61. Развертка наклонного кругового конуса Развертка наклонной призмы и наклонного цилиндра Несмотря на то что цилиндр относится к развертываемым поверхностям, его развертку строят приближенно, заменяя цилиндрическую поверхность вписанной призматической. Построение развертки наклонной призмы сводится к определению натуральных величин ее граней, которые представляют собой параллелограммы, и оснований. Эти построения могут быть выполнены различными способами. Способ раскатки Способ раскатки используется в том случае, когда основание призмы или цилиндра на одной из плоскостей проекций изображается в натуральную величину, а на другой плоскости проекций в натуральную величину проецируются ребра призмы или образующие цилиндра. Этот способ основан на последовательном совмещении всех граней призмы с плоскостью путем вращения их вокруг ребер. Последовательность построения развертки наклонной призмы способом раскатки рассмотрим на примере (рис. 62). Заданная наклонная призма расположена таким образом, что ее основание АВС параллельно горизонтальной плоскости проекций и изображается на ней в натуральную величину, а ребра параллельны фронтальной плоскости, на которой проецируются в натуральную величину. Для построения развертки необходимо повернуть каждую грань вокруг ребра до совмещения его с фронтальной плоскостью проекций. Развертывание начинается с крайнего ребра а', которое остается на месте и является элементом развертки А. При вращении грани АВ точка b' будет перемещаться по окружности, которая на фронтальной плоскости проекций проецируется в виде прямой, перпендикулярной ребру А. По этому перпендикуляру из точки А делают засечку радиусом АВ, который равен ab на горизонтальной плоскости проекций. Через полученную точку В проводят прямую, параллельную ребру А и равную ему по длине. Соединив построенные точки, получают параллелограмм, который является гранью развертываемой призмы. Рис. 62. Развертка наклонной призмы При вращении грани ВС относительно ребра В точка с' будет перемещаться по окружности, которая на фронтальной плоскости проекций проецируется в виде прямой, перпендикулярной ребрам А и В. По этому перпендикуляру из точки В делают засечку радиусом ВС, который равен bс на горизонтальной плоскости проекций. Через полученную точку С проводят ребро, равное и параллельное ребрам А и В. Аналогично вращают грань СА вокруг ребра С. Боковая развертка призмы представляет собой три параллелограмма, которые являются гранями развертываемой призмы. Для получения полной развертки верхнее и нижнее основания призмы строятся способом треугольников с использованием проекций ab, bc и ac как натуральных величин сторон основания АВ, ВС и АС. Чтобы перенести на развертку заданную точку, необходимо через нее провести вспомогательную образующую, построить эту образующую на развертке и зафиксировать на ней искомую точку. Заданная на горизонтальной плоскости проекций точка 1 невидима, следовательно, она лежит на грани призмы ВС. Строится фронтальная проекция точки 1' с помощью вспомогательной образующей, принадлежащей грани ВС. Для построения этой образующей на развертке через ее основание на b'c' проводится перпендикуляр в ребрам А и В до пересечения со стороной развертки ВС. Через полученную точку проводится образующая параллельно ребрам призмы, и на нее с помощью перпендикуляра к ребрам А и В переносится искомая точка 1. Способ нормального сечения Суть этого способа состоит в том, что сначала заданная поверхность пересекается плоскостью, перпендикулярной к ребрам или образующим поверхности. Затем определяется натуральная величина полученного сечения, строится его развертка, и по обе стороны от нее через точки, являющиеся вершинами сечения, проводят прямые, параллельные между собой и перпендикулярные к развертке сечения. На этих прямых откладываются длины отрезков ребер или образующих, заключенных между линией сечения и основаниями. Развертка получается после соединения концов построенных отрезков прямыми (для призмы) или кривыми (для цилиндра) линиями. Последовательность построения развертки наклонного цилиндра способом нормального сечения рассмотрим на примере. На рис. 63 задан наклонный круговой цилиндр, расположенный таким образом, что его основания параллельны горизонтальной плоскости проекций, а образующие – фронтальной плоскости и, следовательно, проецируются на эти плоскости проекций в натуральную величину. Разделим основание цилиндра на 8 частей и проведем через точки деления образующие. Пересечем его плоскостью Р, которую зададим фронтальным следом Pv перпендикулярно к образующим. Полученное сечение на фронтальной плоскости проекций совпадает со следом секущей плоскости. Фиксируем точки 1', 2', 3', 4', 5', 6', 7', 8' и строим их горизонтальные проекции, опуская по линиям связи на соответствующие образующие. С помощью плоскопараллельного перемещения определяем натуральную величину полученного сечения. Для этого фронтальную проекцию сечения ставим параллельно оси Х, сохраняя расстояние между точками. На горизонтальной плоскости проекций каждая точка перемещается в плоскостях, следы которых параллельны между собой и оси Х. На следы этих плоскостей проецируем точки 1'1, 2'1, 3'1, 4'1, 5'1, 6'1, 7'1, 8'1, получая, таким образом, натуральную величину сечения. Рис. 63. Построение нормального сечения наклонного цилиндра На свободном поле чертежа проводим горизонтальную прямую, на которую переносим все точки, начиная с 1 и заканчивая ей же (рис. 64). Расстояние между точками замеряем по хорде на натуральной величине сечения. Эта прямая 11 – 11 является разверткой нормального сечения. Через каждую из точек проводим вертикальные прямые, на которых вверх и вниз откладываем отрезки, равные расстояниям от сечения до верхнего и нижнего основания цилиндра. Эти расстояния замеряются на фронтальной проекции цилиндра от секущей плоскости Pv до соответствующего основания. Соединив концы полученных отрезков плавной кривой линией, получаем развертку боковой поверхности наклонного цилиндра. Для получения полной развертки достраиваем верхнее и нижнее основания, замеряя их радиус на горизонтальной плоскости проекций. Рис. 64. Развертка наклонного кругового цилиндра Чтобы перенести на развертку заданную точку, необходимо через нее провести вспомогательную образующую, построить эту образующую на развертке и зафиксировать на ней искомую точку. Через заданную точку а' провести вспомогательную образующую и построить ее горизонтальную проекцию. С помощью плоскопараллельного перемещения определить положение этой образующей на натуральной величине нормального сечения между точками 71 и 81. Замерив расстояние от любой из этих точек, перенести его на развертку нормального сечения, построить вспомогательную образующую на развертке и отложить на ней расстояние до точки А, измерив его на фронтальной проекции цилиндра. Вопросы для самопроверки 1. Какими свойствами обладают развертываемые поверхности? 2. Из каких элементов состоит развертка поверхности? 3. На каких геометрических построениях основан способ треугольников? 4. В чем суть способа раскатки? 5. Развертки каких поверхностей можно строить способом нормального сечения?
