ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МОДЕЛЕЙ ПРОЦЕССОВ ЧИСТОГО РАЗМНОЖЕНИЯ И ЧИСТОЙ ГИБЕЛИ

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА
2013
№ 195
УДК 519.248
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МОДЕЛЕЙ
ПРОЦЕССОВ ЧИСТОГО РАЗМНОЖЕНИЯ И ЧИСТОЙ ГИБЕЛИ
В СИСТЕМАХ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
И.Г. КАРПОВ, Ю.Т. ЗЫРЯНОВ, О.В. МЕЛЬНИК
В качестве входящих потоков в системах массового обслуживания рассматриваются дискретные марковские
процессы чистого размножения и чистой гибели. Произведено их вероятностное описание. Получены выражения
для законов распределения времени появления k-й точки размножения либо гибели и их основных числовых характеристик.
Ключевые слова: пуассоновский поток, распределение Эрланга, отрицательный биномиальный закон распределения.
Введение
При построении математических моделей процессов функционирования информационных
систем часто используется непрерывно-стохастический подход на основе систем массового обслуживания, позволяющий хорошо описать процессы, происходящие в информационных системах. Однако при сложных законах распределения входящих потоков он не дает возможности
получения результатов в явном виде [1-4]. Это обусловлено тем, что в настоящее время в качестве входящего потока в основном используется простейший пуассоновский поток, обладающий тремя свойствами: стационарности, ординарности и независимости приращений [5-7].
Свойство стационарности означает, что вероятность появления того или иного числа событий в интервале времени (t , t + ∆ t ) зависит от ∆ t , но не зависит от времени t .
Свойство ординарности означает, что события появляются поодиночке, а не группами. При
этом вероятность появления одного события в интервале длительностью ∆ t равна λ ∆ t + o( ∆ t ) ,
где λ > 0 - интенсивность простейшего потока, а вероятность появления двух и более событий
равна o( ∆ t ) .
Свойство независимости приращений означает независимость появления того или иного
числа событий на непересекающихся интервалах времени. Иногда, вместо независимости приращений, говорят об отсутствии последействия, отождествляя эти два термина [6].
В качестве входящих потоков в системах массового обслуживания можно также использовать дискретные марковские процессы чистого размножения (ПЧР) и процессы чистой гибели
(ПЧГ), обладающие свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия [5-7].
Однако решение уравнений Колмогорова для вероятностей состояний ПЧР и ПЧГ известно
только для некоторых частных случаев, например, когда интенсивность размножения либо гибели является постоянной величиной (пуассоновский процесс) [6].
Основная цель данной работы – получить решения уравнений Колмогорова для вероятностей состояний марковских ПЧР и ПЧГ с непрерывным временем, имеющих конечное число
состояний, а также выражения для законов распределения времени появления k-й точки размножения либо гибели и их основных числовых характеристик. В качестве основных числовых
характеристик законов распределений будем рассматривать математическое ожидание m(t ) ,
дисперсию D (t ) и третий центральный момент M 3 (t ) либо коэффициент k (t ) = M 3 (t ) D(t ).
52
И.Г. Карпов, Ю.Т. Зырянов, О.В. Мельник
1. Вероятностные характеристики моделей процессов чистого размножения
Рассмотрим дискретный марковский случайный процесс с непрерывным временем. Если у
него интенсивности всех потоков гибели равны нулю, то он называется процессом чистого размножения. В нем возможны только положительные скачки в любой момент времени. ПЧР ξ (t )
удовлетворяет двум условиям [5-7]:
1) процесс ξ (t ) имеет конечное число состояний x = 0, 1, 2, K , N ;
2) состояния x изменяются на +1 ( x → x + 1) с интенсивностью Λ ( x ) .
Система дифференциальных уравнений Колмогорова для безусловных вероятностей его состояний имеет следующий вид [7; 8]:
dp ( 0, t ) dt = −Λ ( 0 ) p ( 0, t ) ; x = 0 ;
(1)
dp ( x, t ) dt = −Λ ( x ) p ( x, t ) + Λ ( x − 1) p ( x − 1, t ) ; 1 ≤ x ≤ N − 1 ;
(2)
dp ( N , t ) dt = Λ ( N − 1) p ( N − 1, t ) ; x = N .
(3)
Необходимо отметить, что для любого t (в том числе t = 0 ) должно выполняться нормировочное условие
N
∑ p ( x, t ) = 1 ,
(4)
x =0
а при t = 0 начальное условие p(0,0) = 1 .
Решением уравнения (1) с учетом начального условия является [6]
p ( 0, t ) = exp ( −Λ ( 0 ) t ) ; x = 0 .
(5)
Решение уравнений (2) можно найти методом вариации произвольной постоянной в виде
рекуррентной формулы [9]
t
p ( x, t ) = exp ( −Λ ( x ) t ) ∫ Λ ( x − 1) p ( x − 1,τ ) exp ( Λ ( x )τ ) dτ ; 1 ≤ x ≤ N − 1 .
(6)
0
С учетом условия нормировки (4) решением уравнения (3) является
N −1
p ( N , t ) = 1 − ∑ p ( x, t ) ; x = N .
x=0
Если Λ ( x ) является линейной функцией интенсивности размножения, то решение (6) с учетом (5) для ПЧР можно также представить в явном виде. При этом характерными являются три
случая, рассмотренных далее.
1.1. ПЧР с интенсивностью Λ ( x ) = λ (пуассоновский ПЧР)
Так, если Λ ( x ) = λ , то получим распределение Пуассона
p ( x, t )
(λ t )
=
x!
x
exp ( −λ t ) , 0 ≤ x ≤ N − 1 .
(7)
Основные числовые характеристики для распределения Пуассона (7) определяются выражением
53
Вероятностные характеристики моделей процессов …
m ( t ) = D ( t ) = λ t; k ( t ) = 1 .
В работе [6] показано, что закон распределения времени появления k - й точки размножения
подчинен распределению Эрланга
pk ( t ) =
λ
( k − 1) !
(λ t )
k −1
exp ( −λ t ) , 0 ≤ t < ∞
(8)
с числовыми характеристиками
m=
k
λ
; D=
k
λ
2
; M3 =
2k
λ3
,
где 1 ≤ k ≤ N .
1.2. ПЧР с интенсивностью Λ ( x ) = λ ( N − x ) (биномиальный ПЧР)
Если Λ ( x ) = λ ( N − x ) , то из (6) следует биномиальное распределение
p ( x, t ) =
x
N!
N−x
1 − exp ( −λ t ) ) exp ( −λ t ) , 0 ≤ x ≤ N .
(
( N − x )! x !
(9)
Для него числовые характеристики равны
m ( t ) = N (1 − exp ( −λ t ) ) ; D ( t ) = m ( t ) exp ( −λ t ) ; k ( t ) = 2 exp ( −λ t ) − 1; 0 < k ( t ) < 1 .
При этом закон распределения времени появления k-й точки размножения можно определить с помощью [6] аналогично распределению Эрланга
pk ( t ) =
k −1
N !λ
N − k +1
1 − exp ( −λ t ) ) exp ( −λ t )
, 0≤t < ∞.
(
( N − k ) !( k − 1) !
Его основные числовые характеристики с учетом [8] равны
k −1
m=∑
x =0
λ −1
N−x
k −1
; D=∑
x=0
λ −2
( N − x)
k −1
; M3 = ∑
2
x=0
2λ − 3
( N − x)
3
.
(10)
1.3. ПЧР с интенсивностью Λ ( x ) = λ (α + x ) (отрицательный биномиальный ПЧР)
Если Λ ( x ) = λ (α + x ) , то из (6) следует отрицательное биномиальное распределение
p ( x, t ) =
Γ (α + x )
x
1 − exp ( −λ t ) ) exp ( −α λ t ) ; 0 ≤ x ≤ N − 1 ,
(
Γ (α ) x !
(11)
где Γ( z ) - гамма-функция.
Для распределения вероятностей (11) числовые характеристики равны
m ( t ) = α ( exp ( λ t ) − 1) ; D ( t ) = m ( t ) exp ( λ t ) ; k ( t ) = 2 exp ( λ t ) − 1; k ( t ) > 1 .
Закон распределения времени появления k-й точки размножения определяется аналогично
распределению Эрланга (8)
pk ( t ) =
Γ (α + N + 1) λ
k −1
N + α − k +1
1 − exp ( −λ t ) ) exp ( −λ t )
, 0≤ t < ∞.
(
Γ (α + N + 1 − k ) ( k − 1)!
54
И.Г. Карпов, Ю.Т. Зырянов, О.В. Мельник
Его основные числовые характеристики с учетом [10] равны
k −1
m=∑
x =0
k −1
k −1
λ −1
λ −2
2λ − 3
; D=∑
; M3 = ∑
.
2
3
x+α
x=0 [ x + α ]
x=0 [ x + α ]
(12)
Анализ выражений для числовых характеристик распределений (7), (9) и (11) показывает,
что для процессов чистого размножения k (t ) > 0.
Плотность распределения вероятностей временных интервалов между соседними точками размножения для рассматриваемых ПЧР является экспоненциальной с параметром масштаба Λ ( x )
p (τ ) = Λ ( x ) exp ( −Λ ( x )τ ) ; 0 ≤ τ < ∞ .
(13)
Числовые характеристики распределения (13) равны
m=
1
1
2
; D=
; M3 =
.
2
3
Λ ( x)
( Λ ( x))
( Λ ( x))
(14)
Из сравнения выражений (10) и (12) с (14) следует, что они связаны между собой соотношением, подобному выражению
k
t k = ∑τ i ,
i =1
где τ i - независимые случайные величины с одинаковым законом распределения. Такой результат является закономерным, так как рассматриваемые ПЧР являются марковскими и обладают
свойством отсутствия последействия. Свойство независимости приращений для них, за исключением пуассоновского ПЧР, не выполняется.
2. Вероятностные характеристики моделей процессов чистой гибели
Процессом чистой гибели называется процесс, у которого равны нулю интенсивности всех
потоков размножения. В нем возможны только отрицательные скачки в любой момент времени.
Процесс чистой гибели ξ (t ) удовлетворяет двум условиям [5-7]:
1) процесс ξ (t ) имеет конечное число состояний x = 0, 1, 2, K , N ;
2) состояния x изменяются на −1 ( x → x − 1) с интенсивностью Μ ( x ) .
Система дифференциальных уравнений Колмогорова для безусловных вероятностей его состояний имеет следующий вид [7; 8]
dp ( 0, t ) dt = Μ (1) p (1, t ) ; x = 0,
(15)
dp ( x, t ) dt = −Μ ( x ) p ( x, t ) + Μ ( x + 1) p ( x + 1, t ) ; 1 ≤ x ≤ N − 1 ,
(16)
dp ( N , t ) dt = −Μ ( N ) p ( N , t ) ; x = N
(17)
с начальным условием p( N , 0) = 1.
Решением уравнения (17) с учетом начального условия является
p ( N , t ) = exp ( −Μ ( N ) t ) ; x = N .
(18)
Решение уравнения (16) можно найти методом вариации произвольной постоянной в виде
рекуррентной формулы [9]
t
p ( x, t ) = exp ( −Μ ( x ) t ) ∫ Μ ( x + 1) p ( x + 1,τ ) exp ( Μ ( x )τ ) dτ ; 1 ≤ x ≤ N − 1 .
0
(19)
55
Вероятностные характеристики моделей процессов …
С учетом условия нормировки, подобному (4) при t > 0 , решением уравнения (15) при
N < ∞ является
N
p ( 0, t ) = 1 − ∑ p ( x, t ) ; x = 0 .
(20)
x =1
Если Μ ( x ) является линейной функцией интенсивности гибели, то решение (19) с учетом
(18) для ПЧГ можно также представить в явном виде. При этом характерными являются три
рассмотренных ниже случая.
2.1. ПЧГ с интенсивностью Μ ( x ) = µ (пуассоновский ПЧГ)
Так, если Μ ( x ) = µ , то получим распределение Пуассона
( µ t ) exp − µ t ,
p ( x, t ) =
(
)
( N − x )!
N −x
1≤ x ≤ N .
(21)
Для него основные числовые характеристики равны
m ( t ) = N − µ t ; D ( t ) = µ t ; k ( t ) = −1 .
В соответствии с работой [6] можно показать, что время появления k-й точки гибели подчинено распределению Эрланга
pk ( t ) =
µ
( N − k )!
(µ t)
N−k
exp ( − µ t ) , 0 ≤ t < ∞
с числовыми характеристиками
m=
N − k +1
µ
; D=
N − k +1
µ
2
; M3 =
N − k +1
.
0,5 µ 3
2.2. ПЧГ с интенсивностью Μ ( x ) = µ x (биномиальный ПЧГ)
Если Μ ( x ) = µ x , то из (15) следует биномиальное распределение
N −x
N!
1 − exp ( − µ t ) ) exp ( − x µ t ) , 0 ≤ x ≤ N .
p ( x, t ) =
(
( N − x )! x !
При этом числовые характеристики определяются соотношениями
(22)
m ( t ) = N exp ( − µ t ) ; D ( t ) = m ( t ) (1 − exp ( − µ t ) ) ; k ( t ) = 1 − 2 exp ( − µ t ) ; − 1 < k ( t ) < 0 .
Закон распределения времени появления k-й точки гибели определяется аналогично распределению Эрланга (8)
pk ( t ) =
N −k
N !µ
k
1 − exp ( − µ t ) ) exp ( − µ t ) , 0 ≤ t < ∞ .
(
( N − k ) !( k − 1) !
Его основные числовые характеристики с учетом [10] равны
m=
N − k +1
∑
x =1
µ −1
N − x +1
; D=
N − k +1
µ −2
∑ ( N − x + 1)
x =1
; M3 =
2
N − k +1
2µ − 3
∑ ( N − x + 1)
x =1
3
.
(23)
2.3. ПЧГ с интенсивностью Μ ( x) = µ (α + N − x) (отрицательный биномиальный ПЧГ)
Если интенсивность Μ ( x ) = µ (α + N − x ) , то из (20) следует отрицательное биномиальное
распределение
56
И.Г. Карпов, Ю.Т. Зырянов, О.В. Мельник
p ( x, t ) =
Γ (α + N − x )
N−x
1 − exp ( − µ t ) ) exp ( −αµ t ) , 1 ≤ x ≤ N .
(
Γ (α ) ( N − x ) !
Для него основные числовые характеристики равны
m ( t ) = N − α ( exp ( µ t ) − 1) ; D ( t ) = α exp ( µ t ) ( exp ( µ t ) − 1) ; k ( t ) = 1 − 2 exp ( µ t ) ; k ( t ) < −1 .
Закон распределения времени появления k-й точки гибели определяется аналогично распределению Эрланга (8)
pk ( t ) =
Γ (α + N − k + 1) µ
N −k
1 − exp ( − µ t ) ) exp ( −α µ t ) , 0 ≤ t < ∞ .
(
Γ (α ) ( N − k ) !
Его основные числовые характеристики с учетом [10] равны
m=
N − k +1
∑
x =1
µ −1
α + x −1
; D=
N − k +1
µ−2
∑ (α + x − 1)
x =1
; M3 =
2
N − k +1
2µ − 3
∑ (α + x − 1)
x =1
3
.
(24)
Анализ выражений для числовых характеристик распределений (21), (22) и (23) показывает,
что для процессов чистой гибели k (t ) < 0.
Плотность распределения вероятностей временных интервалов между соседними точками
гибели для рассматриваемых ПЧГ является экспоненциальной с параметром масштаба
Μ ( N − x + 1)
p (τ ) = Μ ( N − x + 1) exp ( −Μ ( N − x + 1)τ ) ; 0 ≤ τ < ∞ .
(25)
Числовые характеристики распределения (25) равны
m=
1
1
2
; D=
; M3 =
.
2
3
Μ ( N − x + 1)
( Μ ( N − x + 1) )
( Μ ( N − x + 1) )
(26)
Из сравнения выражений (23) и (24) с (26) следует, что они связаны между собой соотношением, подобным выражению tk =
N − k +1
∑
x =1
τ x , где τ x - независимые случайные величины с одинако-
вым законом распределения. Такой результат является закономерным, так как рассматриваемые
ПЧГ являются марковскими и обладают свойством отсутствия последействия. Свойство независимости приращений для них, за исключением пуассоновского ПЧГ, не выполняется.
Заключение
Таким образом, получены решения уравнений Колмогорова для безусловных вероятностей
состояний дискретных марковских процессов чистого размножения и чистой гибели с конечным
числом состояний. Показано, что полученные распределения для марковских ПЧР и ПЧГ можно
различать по величине коэффициента k (t ) при линейных функциях интенсивностей размножения
либо гибели. Получены также выражения для законов распределения времени появления k-й точки размножения либо гибели и их основных числовых характеристик. Модели входящих потоков (7), (9) и (11) можно использовать в системах массового обслуживания с отказами, а модели
входящих потоков (21), (22) и (23) в замкнутых системах массового обслуживания.
ЛИТЕРАТУРА
1. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. - М.: Высшая школа, 2007.
57
Вероятностные характеристики моделей процессов …
2. Шелухин О.И., Тенякшев А.М., Осин А.В. Моделирование информационных систем. - М.: Радиотехника,
2005.
3. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. - М.: КомКнига, 2005.
4. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения / пер. с англ. / под ред. И.Н. Коваленко.
- М.: Либроком, 2010.
5. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. - М.: Наука,
1991.
6. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. - М.: Сов. радио, 1977.
7. Шахтарин Б.И. Случайные процессы в радиотехнике. - М.: Радио и связь, 2000.
8. Карпов И.Г. Вероятностное описание дискретных марковских процессов размножения и гибели // Радиотехника. - 2003. - № 5. - С. 48-55.
9. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Физматлит,
2001.
10. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. - М.: Наука,
1984.
PROBABILISTIC CHARACTERISTICS OF PROCESSES
MODELS OF PURE BIRTH AND PURE DEATH IN MASS SERVIC SYSTEMS
Karpov I.G., Zyryanov J.T., Melnik O.V.
As the incoming flow in queuing systems are considered discrete Markov processes of pure reproduction and pure destruction. Made of a probabilistic description. Were obtained expressions for the laws of distribution time of the appearance
k – th reproduction or destruction point and the main numerical characteristics.
Key words: Poisson process, Erlang distribution, the negative binomial distribution.
Сведения об авторах
Карпов Иван Георгиевич, 1949 г.р., окончил РВВАИУ (1977), доктор технических наук, профессор
ТГТУ, почетный работник высшего профессионального образования РФ, почетный радист РФ, автор
более 200 научных работ, область научных интересов – методы оптимизации обработки сигналов в радиотехнических системах на фоне негауссовских помех.
Зырянов Юрий Трифонович, 1960 г.р., окончил ТВВАИУ (1983), доктор технических наук, профессор кафедры конструирования радиоэлектронных и микропроцессорных систем Тамбовского государственного технического университета, почетный работник высшего профессионального образования
РФ, автор более 100 научных работ, область научных интересов – управление состоянием организационно-технических систем при ограниченных ресурсах.
Мельник Олег Васильевич, 1989 г.р., окончил ТГТУ (2011), аспирант ТГТУ, область научных интересов – методы оценки надежности программного обеспечения информационно-измерительных и
управляющих систем.