Алгебра высказываний и предикатов

Ложь с позиции информатики.
Ложь - пропозициональная переменная, переменная для высказываний, из области
значений котороя состоит из двух т. н. истинностных значений: "истина" и "ложь"
Символы, употребляемые в качестве П. п., нужны, в частности, для описания исчисления
высказываний и др. систем математической логики
Алгебра высказываний и предикатов.
Информатика изучает информацию, сообщения или знаковые системы,
последовательности.
Информационные процессы лучше структурируются и
формализуются с помощью алгебраических структур.
Утверждение (высказывательная форма) – основная единица, неделимая с точки
зрения информации, семантического смысла знаний.
Высказывание – повествовательное утверждение, про которое можно однозначно
сказать, что оно истинно или оно ложно. (Логические переменные)
Рассмотрим примеры:
1. Москва – столица Российской Федерации.
2. Житель города Нальчика.
3. 5-9+8
4. 5-9+8=4
5. В пятую неделю зимы выпал снег.
6. На Юге Африки живут пингвины.
Высказывание должно быть однозначно истинным или ложным, поэтому
высказываниями являются только утверждения 1, 4 ,6.
Пример.
Не является высказыванием и парадокс лжеца (Эвбулид, учитель Демосфена, около
350 лет до н.э.): «То, что я сейчас утверждаю, ложно», ибо если оно истинно, то оно
ложно, а если допустить, что оно ложно, то оно истинно. Это неопределённая
высказывательная форма.
Аналогичный пример принадлежит Геделю (1931): «То, что утверждается в этом
предложении, не может быть доказано». Если его можно доказать, то его нельзя доказать,
а если его можно опровергнуть, то его можно доказать. Предложения такого рода не
могут быть доказаны в пределах данного языка алгебры логики.
Предикат – выражение с логическими переменными, имеющие смысл при любых
допустимых значениях этих пременных.
Выражения: х > 5, x > y – предикаты.
7>5 – высказывание.
Логической (булевой) функцией f(х) называется некоторая функциональная
зависимость, в которой аргумент х – логическая переменная с заданным множеством
изменений аргумента, а значения функции f(x) берутся из двухэлементного множества
R(f) = {1,0}.
Множество логических переменных
с определенными над ним
операциями:
– отрицания или инверсии,
– логического сложения или
дизъюнкции ,
– логического умножения или конъюнкции называется алгеброй
предикатов (и высказываний) , если эти операции удовлетворяют следующим аксиомам:
Основные аксиомы предикатов:
1.
Аксиома двойного отрицания:
2. Аксиомы переместительности операндов (относительно операций дизъюнкции и
конъюнкции):
3. Аксиомы переместительности операций дизъюнкции и конъюнкции
(относительно операндов):
4. Аксиомы одинаковых операндов:
5. Аксиомы поглощения (множителем — множителя-суммы или слагаемым —
слагаемого-произведения):
6. Аксиомы распределения операции (дизъюнкции относительно конъюнкции и
наоборот):
7. Аксиомы де Моргана (перенесения бинарной операции на операнды):
8. Аксиомы нейтральности (взаимноинверсных множителей или слагаемых):
9. Аксиома существования единицы (истина, true, 1) и нуля (ложь, false, 0),
причем,
Из этих аксиом следует ряд полезных соотношений, например,
Три базовых операций предикатов определяются таблицей истинностью.
0 0 1 0
0
0 1 1 0
1
1 0 0 0
1
1 1 0 1
1
Такая таблица всех значений некоторой логической функции называется таблицей
истинности этой функции.
Пример. Составим таблицу истинности функции
вид
0 0 1 0
0
1
0 1 1 1
0
1
1 0 0 0
0
1
1 1 0 0
0
1
. Эта таблица имеет
Следовательно, функция тождественно-истинна. Это можно было доказать (проверить)
и с помощью аксиом:
Всегда истинные формулы называют тавтологиями .
Логические функции эквивалентны, если совпадают их таблицы истинности, то
есть совпадают области определения и значения, а также сами значения функции при
одних и тех же наборах переменных из числа всех допустимых значений. Если это
совпадение происходит на части множества допустимых значений, то формулы
называются эквивалентными лишь на этой части (на этом подмножестве).
Задача упрощения логического выражения состоит в преобразовании его к
более простому (по числу переменных, операций или операндов) эквивалентному
выражению. Наиболее простой вид получается при сведении функции к постоянной –
1 (истина) или 0 (ложь).
Информационно-логическая (инфологическая) задача – это задача, в
которой необходимо установить некоторые информационные или логические связи и
сделать необходимые причинно-следственные логические выводы. Эти задачи
возникают в различных областях и часто являются плохо формализованными и
структурированными. Их нужно хорошо формализовать и структурировать. Насколько
хорошо будет возможно это сделать – настолько хорошо и полно будет решена
рассматриваемая проблема или задача. Рассмотрим пример информационнологической задачи (например, решаемой следователем, знакомым с алгеброй
предикатов).
Пример. Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в
ограблении банка. В ходе следствия Браун сказал, что преступники были на синем
"Бьюике", Джонс сказал, что это был черный "Крайслер", Смит утверждал, что это был
"Форд", но не синий. Каждый указал неправильно либо марку, либо цвет автомобиля.
Определим истинный цвет и истинную марку автомобиля. Рассмотрим простые
высказывания вида: х = "машина – синяя", у = "машина – Бьюик", z = "машина –
черная", u = "машина – Крайслер", v = "машина – Форд". На их основе высказывание
Брауна можно записать в виде сложного логического выражения вида
,
высказывание Джонса – в виде
, а высказывание Смита – в виде
. Так как
в каждом из этих выражений одна из переменных принимает значение "истина", то
истинны и дизъюнкции вида:
. По определению
конъюнкции,
. Это выражение мы взяли из-за
однозначности равенства 1 конъюнкции и неоднозначности (многовариантности) его
равенства нулю. Упростим выражение:
Мы использовали тот факт, что одновременно не могут быть истинными два
высказывания относительно цвета или два высказывания относительно марки
машины. Так как конъюнкция истинна только тогда, когда
заключаем, что автомобиль был черным "Бьюиком".
, то
Законы алгебры высказываний и предикатов сходны с правилами, по которым человек
делает умозаключения, доказывает, мыслит.
Пример. Операции конъюнкции, дизъюнкции, отрицания алгебры высказываний –
аналоги союзов "и", "или", приставки "не", используемых (возможно, интуитивно) при
выражении мысли человеком.
Чтобы переложить на ЭВМ работы мыслительного характера, эти правила необходимо
строго сформулировать, формализовать. Это позволяет осуществить алгебра логики.
Приведем некоторые аксиомы логики – науки, изучающей методы доказательства и
опровержения утверждений.
1. Аксиома исключения третьего : либо имеет место высказывание, либо его
отрицание.
2. Аксиома противоречия : высказывания и его отрицание не могут иметь места
одновременно.
3. Аксиома двойного отрицания : двукратное отрицание какого-либо утверждения
равносильно исходному утверждению.
4. Аксиома тождества : всякое высказывание тождественно самому себе.
Если высказывания x и y связаны друг с другом отношением
, то говорят, что
высказывание y следует из высказывания x (или y – следствие x); если множество
истинности Х высказывания х содержит множество истинности Y высказывания y, то
высказывание x – условие, высказывание y – заключение, а само соотношение
– вывод.
Доказательство
формальных
математических
утверждений
(теорем)
–
последовательность корректных выводов, ведущих от условия к заключению. Алгебра
логики помогает доказывать теоремы (дает общие подходы и методы доказательства).
Общий подход к доказательству теорем методом от противного, обратных
противоположных теорем можно формализовать с помощью алгебры логики.
и
Вопросы для самоконтроля:
1. Что такое высказывание, предикат, логическая функция?
2. В чём суть задачи упрощения логического выражения?
Транзисторные схемы, соответствующие логическим схемам.
Схематически инвертор, дизъюнктор и конъюнктор на логических схемах различных
устройств можно изображать условно следующим образом (рис.1). Есть и другие
общепринятые формы условных обозначений.
Рис.1Условные обозначения вентилей (вариант)
Из
указанных
простейших
базовых
логических
элементов
собирают,
конструируют сложные логические схемы ЭВМ, например, сумматоры, шифраторы,
дешифраторы и др. Большие (БИС) и сверхбольшие (СБИС) интегральные схемы
содержат в своем составе (на кристалле кремния площадью в несколько квадратных
сантиметров) десятки тысяч вентилей. Это возможно еще и потому, что базовый набор
логических схем (инвертор, конъюнктор, дизъюнктор) является функционально
полным (любую логическую функцию можно представить через эти базовые вентили),
представление логических констант в них одинаково (одинаковы электрические
сигналы, представляющие 1 и 0) и различные схемы можно "соединять" и
"вкладывать" друг в друга (осуществлять композицию и суперпозицию схем).
Таким способом конструируются более сложные узлы ЭВМ – ячейки памяти,
регистры, шифраторы, дешифраторы, а также сложнейшие интегральные схемы.
Пример. "Черным ящиком" называется некоторое закрытое устройство
(логическая, электрическая или иная схема), содержимое которого неизвестно и
может быть определено (идентифицировано) только по отдельным проявлениям
входа/выхода ящика (значениям входных и выходных сигналов). В "черном ящике"
находится
некоторая
логическая
схема,
которая
в
ответ
на
некоторую
последовательность
входных
(для
ящика)
логических
констант
выдает
последовательность логических констант, получаемых после выполнения логической
схемы внутри "черного ящика". Определим логическую функцию внутри "черного
ящика" (рис.2 ), если операции выполняются с логическими константами для входных
последовательностей (поразрядно). Например, х
=
00011101 соответствует
последовательности поступающих значений: "ложь", "ложь", "ложь", "истина",
"истина", "истина", "ложь", "истина".
Рис.2
Схема "черного ящика 1"
Из анализа входных значений (входных сигналов) х, у и поразрядного сравнения
логических констант в этих сообщениях с константами в значении z – результате
выполнения функции в "черном ящике", видно, что подходит, например, функция вида
Действительно, в результате "поразрядного" сравнения сигналов
(последовательностей значений "истина", "ложь") получаем следующие выражения
(последовательности логических констант):
Пример. Попробуйте самостоятельно выписать функцию для "черного ящика"?
указанного на рис. 6.11:
Рис. 6.11. Схема "черного ящика 2"
Важной задачей (технической информатики) является минимизация числа вентилей
для реализации той или иной схемы (устройства), что необходимо для более
рационального, эффективного воплощения этих схем, для большей
производительности и меньшей стоимости ЭВМ.
Эту задачу решают с помощью методов теоретической информатики (методов булевой
алгебры).
Вопросы для самоконтроля:
1. Что такое логическая схема, вентиль, и для чего они применяются?
2. В чём сущность чёрного ящика?
1. Большая советская энциклопедия http://slovari.yandex.ru
2. Информатика в примерах и задачах: кн для уч-ся 10-11 кл. В.М Казиев.М.Просвещение, 2007.-304с