Пример оформления программы курса

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
УТВЕРЖДАЮ
УТВЕРЖДАЮ
Руководитель
Департамента образовательных
программ и стандартов
профессионального образования
Декан факультета прикладной
математики – процессов управления
Санкт-Петербургского государственного
университета
___________________ В.И. Кружалин
____________________ Л.А. Петросян
«_____»_____________________ 2006
«_____»_____________________ 2006
Программа дисциплины
ГЕОМЕТРИЯ
Направление 510200 «Прикладная математика и информатика» (бакалавриат)
Блок естественно-научных дисциплин (ЕН), федеральный компонент
Лекций:
66
Практики
66
Итого аудиторной нагрузки
132
Форма итогового контроля
Зачет/Экзамен
Разработали:
к.ф.-м.н., доцент Еремеев В.В.
к.ф.-м.н., доцент Коровкин М.В.
к.ф.-м.н., доцент Погожев С.В.
Рецензент:
д.ф.-м.н., профессор Веремей Е.И.
Санкт-Петербург
2006
ГЕОМЕТРИЯ И АЛГЕБРА. ЧАСТЬ 1 ГЕОМЕТРИЯ
Цель и задачи курса
Цель дисциплины «Геометрия и алгебра. Часть 1 Геометрия»
Целью дисциплины является овладение студентами фундаментальными понятиями
геометрии, формирование у студентов навыков решения различных
геометрических задач; уяснение студентам тесной взаимосвязи геометрии и
алгебры.
Задачами курса являются изучение основных разделов геометрии; развитие
навыков самостоятельного решения практических задач; обеспечение основы для
понимания геометрического смысла алгебраических результатов, уяснение тесной
взаимосвязи алгебраических и геометрических результатов и представлений.
1. Системы координат
Векторы. Линейные операции над векторами. Линейные пространства. Базис.
Размерность. Линейная зависимость и независимость векторов. Изоморфизм
линеалов. Аффинные пространства. Аффинные системы координат. Декартовые
прямоугольные системы координат. Геометрический смысл декартовых координат.
Полярная система координат. Цилиндрическая система координат. Сферическая
система координат. Скалярное, векторное, смешанное, двойное векторное
произведения векторов. Евклидовы, нормированные, метрические пространства.
2. Преобразование координат
преобразование декартовых прямоугольных координат. преобразование координат
в многомерном линеале. Преобразование аффинных координат.
3. Линии и поверхности первого порядка
Уравнения линий и поверхностей. Алгебраические линии и поверхности.
Уравнения плоскости и прямой на плоскости. Взаимное расположение плоскостей.
Геометрический смысл линейных неравенств. Нормированное уравнение
плоскости. Пучки и связки плоскостей. Уравнения прямой в трехмерном
пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
4. Линии второго порядка
Эллипс. Гипербола. Парабола. Преобразование коэффициентов общего уравнения
линии второго порядка. Приведение к каноническому виду общего уравнения
линии второго порядка.
5. Поверхности второго порядка
Уравнения поверхностей вращения. Эллипсоид. Гиперболоид. Параболоиды.
Цилиндры второго порядка. Конические поверхности. Прямолинейные
образующие поверхностей второго порядка. Преобразование коэффициентов
общего уравнения поверхности второго порядка. Приведение к каноническому
виду общего уравнения поверхности второго порядка. Классификация
поверхностей второго порядка.
6. Исследование линий и поверхностей второго порядка с помощью
инвариантов
Инварианты общего линии второго порядка относительно преобразования
координат. Инварианты общего уравнения поверхности второго порядка
относительно преобразования координат. Исследование общего уравнения линии
второго порядка с помощью инвариантов. Исследование общего уравнения
поверхности второго порядка с помощью инвариантов.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСОВ КУРСА ПО ТЕМАМ И ВИДАМ РАБОТ
№
п/п
Наименование тем и
разделов
Всего
(часов)
Аудиторные
занятия
(часов)
Самостоятельная
работа
(часов)
1
Системы координат
34
32
2
2
Преобразование
координат
14
12
2
3
Линии и поверхности
первого порядка
44
38
6
4
Линии второго порядка
14
10
4
5
Поверхности второго
порядка
28
24
4
6
Исследование линий и
поверхностей второго
порядка с помощью
инвариантов
18
16
2
ИТОГО
152
132
20
Количество контрольных работ: 4.
Примечание. Во всех разделах таблицы указано минимальное число часов, необходимое
для усвоения соответствующего раздела. Оставшиеся часы используются в рабочей
программе для более глубокого изложения отдельных разделов курса.
ВОПРОСЫ ТЕСТИРОВАНИЯ




1. Какими свойствами обладают векторы, если a  b  c  0 ?
а) векторы ненулевые; б) векторы линейно зависимы; в) векторы линейно независимы;
г) ни один ответ не является правильным.
 
 
 


2. Какими свойствами обладают векторы, если (a , c )  (b , c )  0, c  0, a  b ?



а) векторы ненулевые; б) векторы компланарные; в) векторы a  b и c коллинеарные;



г) векторы a  b и c перпендикулярны.
 
 

 

3. Какими свойствами обладают векторы, если [a , c ]  [b , c ]  0, c  0, a  b ?
4.
5.
(20 – 25 ШТУК)
ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ/ЭКЗАМЕНУ
1. Понятие вектора. Коллинеарные, компланарные, равные, противоположные вектора.
2. Линейные операции над векторами. Сумма векторов. Ее свойства.
3. Линейные операции над векторами. Умножение вектора на число. Свойства
произведения вектора на число.
4. Линейная зависимость и независимость векторов. Теоремы.
5. Геометрический смысл линейной зависимости. Теоремы. Следствия.
6. Линейное пространство. Примеры.
7. Базис линейного пространства. Теоремы.
8. Размерность линейного пространства.
9. Изоморфизм линейных пространств.
10. Аффинные пространства.
11. Аффинные системы координат.
12. Геометрический смысл аффинных координат.
13. Декартовые прямоугольные системы координат. Лемма Шаля. Следствия.
14. Деление вектора в заданном отношении.
15. Полярная система координат. Обобщенные полярные координаты.
16. Цилиндрические и сферические координаты.
17. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Направляющие
косинусы.
18. Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения. Теоремы.
19. Смешанное произведение векторов. Теоремы. Следствия.
20. Двойное векторное произведение.
21. Евклидовые, нормированные, метрические пространства.
22. Преобразование декартовой прямоугольной системы координат на оси и плоскости.
23. Преобразование декартовой прямоугольной системы координат в пространстве.
24. Геометрический смысл преобразования декартовых координат. Углы Эйлера.
25. Преобразование координат в n-мерном линейном пространстве.
26. Преобразование аффинных координат.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. Геометрия. СПб.: Изд-во “Лань”,
2003. – 416 с.
2. Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. М.:
«Наука», 1976. – 384 с.
Список дополнительной литературы устанавливается кафедрой.