методы решения задач

Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 16
Щелковского муниципального района
Московской области
Тождественные алгебраические преобразования ( методы решения задач)
Разработчик:
Тарас Марина Валентиновна
учитель математики
2011 год
Преобразование алгебраических выражений является важным классом задач
элементарной математики, так как с ними сталкиваются школьники не только на уроках
алгебры при решении задач на упрощение выражений, но и при решении уравнений,
неравенств, систем уравнений и неравенств, в ряде задач по физике.
Нередко решение задач на упрощение предлагаются на вступительных экзаменах во
ВТУЗЫ, в чем можно убедиться, просматривая справочники и пособия для поступающих.
Это и понятно, так как технический ВУЗ готовит инженеров, которые должны при
практической работе обладать умениями производить порой достаточно сложные расчеты
по определенным формулам и прийти к окончательному результату.
Отсюда вытекает постоянная необходимость в приобретении твердых навыков при
решении задач на преобразование алгебраический выражений.
Преобразование рациональных выражений
Алгебраическое выражение-это выражение, составленное из букв и чисел,
соединенных между собой знаками алгебраических действий. Если в алгебраическом
выражении производятся сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целую
степень, то такое алгебраическое выражение называют рациональным.
При преобразовании алгебраических выражений используются прежде всего
свойства степеней для любых x и y и положительных a и b имеют место равенства:
=1; ·
;
=
; (ax )y=axy; (ab)x=axbx; (a/b)x=ax/bx; a-x=1/ax
Пример 1
Выполнить действия:
а) ( 3/2a3b)3 (2/3a2b)3=33/23a9b3·23/33a6b3=a15b6;
б) (15a6b3c2):(3a2b2c)=15/3(a6:a2)·(b3:b2)·(c2:c)=5a4bc
Кроме этого используются формулы сокращенного умножения
1) разность квадратов:
a2-b2=(a-b)(a+b);
2) квадрат суммы:
( a+b)2=a2+2ab+b2;
3) квадрат разности:
(a-b)2=a2-2ab+b2;
4) куб суммы:
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;
5) куб разности:
( a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3;
6) сумма кубов:
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
Замечание: Нередко формулы 4 и 5 удобно использовать в форме:
(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b);
(a-b)3=a3-b3-3ab(a-b)
Разложение алгебраического выражения на множители приходится
производить в различных целях, например, при сокращении дробей или при
приведении их к общему знаменателю.
Для этого могут быть использованы различные приемы и кроме
приведенных выше формул сокращенного умножения для этого используются
следующие методы, которые поясню примерами.
1) Вынесение общего множителя за скобки:
а) 12x2y3+18x3y2+6x2y2=6x2y2(2y+3x+1);
б) 2x( a-b)-4(b-a)2=2x(a-b)-4(a-b)2=2(a-b)(x-2a+2b).
2) Группировка несеольких слагаемых, а затем вынесение за скобки общего
множителя:
12-4x+3x2-x3=(12+3x2)-(4x+x3)=3(4+x2)-x(4+x2)=(4+x2)(3-x)
3) «Прибавление нуля»:
a4+a2+1=a4+a2+1+(a2-a2)=a4+2a2+1-a2=(a2+1)2-a2=(a2+1+a)(a2-a+1)
4) Представление некоторых слагаемых в виде суммы:
c2+12c+32=c2+4c+8c+32=c(c+4)+8(c+4)=(c+4)(c+8)
Особо останавливаюсь на вопросе о разложении множители многочлена
a0xn+a1xn-1+…an-1x+an,
В случае, когда он представляет собой квадратный трехчлен ax2+bx+c(a≠0) с
дискриминантом D= b2-4ac 0, то как известно, что у такого квадратного трехчлена
имеются два различных корня x1 и x2 b и он представляется в виде:
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
В случае, когда исходный многочлен имеет степень n≥3, то приходится поступать
следующим образом. Методом подбора находят один из его корней. Для того, чтобы
ограничить круг поиска, сформулируем теорему( аналог теоремы Виета для приведенного
уравнения высших степеней).
Целые корни многочлена Pn(x)=xn+a1xn-1+…+an-1x+an с целыми коэффициентами
следует искать среди делителей свободного члена. Далее воспользуемся теоремой Безу:
остаток от деления многочлена Pn(x) на (х-a) равен P(a).
Так как один корень x=x1 найден, то P(x1)=0, и, следовательно, многочлен Pn(x)
разделится без остатка на ( x-x1) отсюда следует:
Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...an-1x+an=(x-x1)Q(x), где
Q(x)- частное от деления,
Pn(x) на (x-x1).
Частное можно найти либо делением многочлена на многочлен, либо
группировкой.
Пример 3: Разложить на множители P3(x)=x3-2x2-11x+12
Решение: Свободный член многочлена 12 делится на 1,
2,
3,
4,
6,
12
Непосредственно проверкой убеждаемся, что x1=1 является корнем многочлена, так как
P(1)=1-2+12-11=0. Поэтому в силу вышесказанного ( x-x1)=(x-1) выносится за скобку.
Отсюда становится понятна и обоснована следующая группировка членов данного
многочлена.
P3(x)=x3-2x2-11x+12=(x3-x2)-(x2-x)-(12x-12)=x2(x-1)-x(x-1)-12(x-1)=(x-1)(x2-x-12)
Квадратный трехчлен x2-x-12, имеющий корни x2=4, x3=-3, раскладывается на множители
(x2-x-12)=(x-4)(x+3)/
Поэтому оканчательно имеем P3(x)=x3-2x2-11x+12=(x-1)(x-4)(x+3).
Пример 4: Найдите значение выражения
-
;
Решение: Обозначим данное выражение через А, А =
-
;
Возведем обе части в куб, воспользовавшись формулой куба разности.
Имеем А3=5
+ 7-5
+7-3
(
-
).
В силу обозначения выражение в круглых скобках равно А, поэтому так как (
5 +7)(5
7)= 50-49=1, то равенство можно переписать в виде А3=14-3А или А3+3А14=0. Таким образом, А должно быть корнем последнего уравнения третьей степени с
целыми коэффициентами. Если у него имеются целые корни, то они должны быть
делителями свободного члена. Таковыми являются числа 1, 2,
, 14.
Непосредственной подстановкой значения А=2 убеждаемся, что оно является корнем
уравнения. Но может быть он не единственный? Для того, чтобы проверить это, разложим
многочлен в правой части уравнения на множители. По теореме Безу он должен делиться
без остатка на ( А-2). Становится понятной следующая группировка членов:
А3+3А-14=А3-2А2+2А2-4А+7А-14=А2(А-2)+2А(А-2)+7(А-2)=(А-2)(А2+2А+7).
Поэтому,
2
возможно А +2А+7=0, но это уравнение решения не имеет, поскольку его дискриминант
Д<0. Поэтому А=2. Ответ: 2
1.2. Разбор задач
При упрощении алгебраических выражений рациональных, иррациональных,
содержащих функции прежде всего следует обязательно остановиться на нахождении
области допустимых значений( О.Д.З.), входящих в него букв, то есть тех значений, при
которых существуют все выражения, входящие в исходные. Каждая задача решается
экономным путем. Для этого каждую дробь, входящую в исходное выражение,
необходимо максимально упростить, разложить числитель и знаменатель на множители и
сократить, а уже затем приводить дроби к общему знаменателю. При этом условие задачи
лучше всего разбить на фрагменты, сосредоточившись на их преобразовании, то есть
выполнить решение по действиям.
Пример 1. Упростите выражения (
-
)·
+
;
Решение:
О.Д.З. выражения определяется условиями неравенства нулю знаменателей, т.е. а≠ 2,
а≠4. Ввиду простоты выражения, преобразуем его целиком, предварительно обозначив его
через А.
А=(
-
)·
+
=
(
.
- )
Пример 2: Упростите выражение
(1+
);
Решение: ОчевидноОДЗ определяется условиями а≠0, b≠0,с≠0, b≠-c, a≠-b-c.
1)
;
2)
;
3) 1+
;
4)
Ответ:
.
, если a≠0,b≠0,c≠0,b≠-c,a≠-b-c.
Пример 4: Сократите дробь
;
Решение:
«Изюминка» этой задачи в умелой группировке
членов, стоящих в
знаменателе. Дело в том, что в знаменателе можно вынести за скобку выражение,
совпадающее с числителем данной дроби. А именно:
;
Ответ:
при a≠2b.