Методические указания и контрольное задание для 9 классов

Математика, 9 класс
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Карпова Ирина Викторовна,
доцент кафедры математики и ИТ ДВГГУ
Выражение, составленное из конечного числа букв и чисел, соединенных знаками действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень, извлечение корня, называется алгебраическим выражением.
Буквы, входящие в алгебраическое выражение, могут принимать значения из
некоторого числового множества, которое называется множеством его допустимых
значений или областью определения.
Примеры.
1. a 5  ba 2  a 3b 2  b 3 - целое алгебраическое выражение, множеством допустимых значений которого являются любые числа.
2.
y2  z 2  x2
- дробно-рациональное алгебраическое выражение. Так как на
x y
нуль делить нельзя, то множеством допустимых значений этого выражения являются
все значения x и y , удовлетворяющие условию x  y  0 или x   y .
3 a  3 b  a 2 4c
 2 - иррациональное алгебраическое выражение. Множество
a b
b
допустимых значений этого алгебраическое выражение состоит из всех значений a и
b , таких что аb, b0 и а>0 . Т.к. выражение, стоящее под знаком корня четной сте-
3.
пени должно быть, по определению арифметического корня, неотрицательным.
Замечание. В общем случае допустимыми значениями для
 целых алгебраических выражений являются любые числа;
 дробно-рациональных алгебраических выражений все числа, которые не обращают в нуль знаменатель дробей, входящих в это выражение;
 иррациональных выражений только те значения букв, при которых выражения, стоящие под знаком корня четной степени принимают неотрицательные значения.
Тождеством называется равенство двух алгебраических выражений справедливое для любых допустимых значений, входящих в него букв.
Тождественным преобразованием алгебраического выражения называется замена одного алгебраического выражения другим тождественно ему равным, но отличным по форме. Целью тождественного преобразования может быть
придание выражению вида, более удобного для численных расчетов или дальнейших
преобразований.
1) a3+3a2b=a2(a+3b)
2)
a  b a 2  b 2 2(a  b)  c(a 2  b 2 ) (a  b)( 2  ac  bc)



при с0.
c
2
2c
2c
Перечислим основные тождественные преобразования алгебраических вражений:
– приведение подобных членов;
– раскрытие скобок;
– разложение на множители;
– приведение алгебраических дробей к общему знаменателю;
– избавление от иррациональности в знаменателе и т.п.
Для успешного осуществления тождественных преобразований алгебраических выражений нужно помнить:
 формулы сокращенного умножения;
 свойства степени с целым показателем;
 формулы корней квадратного трехчлена ax2 + bx + c;
 теорему Виета;
 разложение квадратного трехчлена ax2 + bx + c на множители;
 определение арифметического корня n-ой степени;
 определение модуля числа;
 свойства арифметического корня;
Рассмотрим примеры тождественных преобразований алгебраических выражений.
Задача 1. Разложить многочлен на множители a 5  a 2b  a 3b 2  b 3
Решение.
Для решения задачи необходимо сгруппировать слагаемые так, чтобы они имели общий множитель, который можно будет, затем вынести за скобки, перейдя от
суммы к произведению.
1) Объединим первое и третье слагаемые в одну группу, второе и четвертое в
другую: a 5  a 2b  a 3b 2  b3  (a 5  a 3b 2 )  (a 2b  b3 )
2) Вынесем за скобки в первой группе a 3 , во второй – общий множитель (b) ,
получим: a 5  a 2b  a 3b 2  b3  (a 5  a 3b 2 )  (a 2b  b3 )  a 3 (a 2  b 2 )  b(a 2  b 2 )
3) Вынесем за скобки общий множитель первого и второго слагаемого (a 2  b 2 ) :
a 5  a 2b  a 3b 2  b3  (a 5  a 3b 2 )  (a 2b  b3 )  a 3 (a 2  b 2 )  b(a 2  b 2 )  (a 2  b 2 )(a 3  b)
Полученное выражение есть произведение двух сомножителей, а значит первоначальный многочлен разложен на множители.
Ответ: a 5  a 2b  a 3b 2  b3  (a 2  b 2 )(a 3  b)
Задача 2. Разложить на множители многочлен a 3  7a 2  7a 2  15
Решение.
Заметим, что как бы мы не группировали слагаемые получить группы слагаемых, имеющие одинаковые множители невозможно. Поэтому, сначала преобразуем
сами слагаемые.
1) –7а2 = –3а2 – 4а2;
7а = 12а – 5а
3
2
2
3
2) a  7a  7a  15  a  3a 2  4a 2  12a  5a  15
3) Сгруппируем слагаемые попарно, и из каждой скобки вынесем общий множитель:
a 3  7a 2  7a 2  15  a 3  3a 2  4a 2  12a  5a  15  (a3 – 3а2) +( – 4а2 +12а) + (– 5а +15) =
а2 (а – 3) – 4а (а – 3) – 5(а – 3)
4) В полученном выражении все слагаемые имеют общий множитель (а – 3),
который и выносим за скобки. a 3  7a 2  7a 2  15 = (а – 3)(а2 – 4а – 5)
5) Мы получили уже произведение двух множителей, но второй множитель в
свою очередь, может быть разложен на множители. Для этого, используя теорему Виета, разложим трехчлен (а2 – 4а – 5) на множители.
По теореме Виета корнями трехчлена (а2 – 4а – 5) являются а1=5 и а2= –1.
Тогда имеем (а2 – 4а – 5) = (а – 5)(а +1), следовательно
a 3  7a 2  7a 2  15 = (а – 3)(а – 5)(а + 1)
Ответ: a3 – 7а2 + 7а +15 = (а – 3)(а – 5)(а + 1).
Рассмотрим примеры тождественных преобразований дробно-рациональных
выражений. При выполнении тождественных преобразований таких выражений необходимо указывать их множество допустимых значений. Некоторые преобразования
могут приводить к расширению области допустимых значений выражения. Поэтому,
выполнив преобразования выражения, нужно всегда уметь ответить на вопрос, на каком множестве оно тождественно равно полученному.
Задача 3. Сократить дробь
x 4  x3  x  1
x 4  2x3  x 2  2x  1
Решение.
Чтобы сократить дробь нужно представить числитель и знаменатель дроби в
виде произведения сомножителей. Таким образом, задача сводится к разложению
многочленов на множители.
1)
x 4  x 3  x  1  x 3 ( x  1)  ( x  1)  ( x 3  1)( x  1)  ( x  1)( x 2  x  1)( x  1) 
 ( x  1) 2 ( x 2  x  1)
2) x 4  2 x 3  x 2  2 x  1  x 4  3x 3  x 3  3x 2  x 2  x 2  3x  x  1 
 ( x 4  3x 3  x 2 )  ( x 3  3x 2  x)  ( x 2  3x  1)  x 2 ( x 2  x  1)  x( x 2  x  1)  ( x 2  x  1) 
 ( x 2  x  1)( x 2  3x  1)
x 4  x3  x  1
( x  1) 2 ( x 2  x  1)

x 4  2 x 3  x 2  2 x  1 ( x 2  x  1)( x 2  3x  1)
Заметим, что выражение x 2  x  1  0 при любом x , следовательно дробь мож-
3)
но сократить на это выражение:
x 4  x3  x  1
( x  1) 2

x 4  2 x 3  x 2  2 x  1 ( x 2  3x  1)
Ответ:
( x  1) 2
( x 2  3x  1)
Задача 4. Упростить выражение
2
1
2a
1

 (a  3)  12a
f (a)   2
 2
 2


2
 a  3a  2 a  4a  3 a  5a  6 
2
Решение:
1) Найдем область определения: а2+3а+20, а2+4а+30, а2+5а+60.
Используя т. Виета найдем значения а, при которых трехчлены обращаются в
нуль:
а2+3а+2=0 при а1= –2, а2= –1
а2+4а+3=0 при а1= –3, а2= –1
а2+5а+6=0 при а1= –3, а2= –2
таким образом, О.О. f(а): а –2, а –1, а –3
2) Приведем сумму дробей, стоящую в скобках, к общему знаменателю, предварительно определив его, используя 1)
а2+3а+2=(а+2)(а+1)
а2+4а+3=(а+3)(а +1)
а2+5а+6=(а+3)(а +2)
тогда общий знаменатель: (а+2)(а+3)(а+1).
2

 (a  3) 2  12a
1
2a
1
 
f (a)  



2
 (a  2)( a  1) (a  3)( a  1) (a  3)( a  2) 
2
 a  3  2a(a  2)  (a  1)  (a  3) 2  12a
 
 

2
 (a  2)( a  1)( a  3) 
2

 (a  3) 2  12a
2a 2  6a  4
 
 
2
 (a  2)( a  1)( a  3) 
3) Разложим числитель первой и второй дроби на множители:
2а2+6а+4=2(а2+3а+2)=2(а+2)(а+1)
(а–3)2+12а=а2–6а+9+12а=а2+6а+9=(а+3)2
2
 2(a  2)( a  1)  (a  3) 2
(a  3) 2
4
 


2
4) f (a)  
2
2
(a  3) 2
 (a  2)( a  1)( a  3) 
2
1
2a
1

 (a  3)  12a
 2
 2
2
Ответ: f (a)   2
 
2
 a  3a  2 a  4a  3 a  5a  6 
2
при а –3, а –2, а –1.

4 a 9 
2a a 
 : 2 a 

Задача 5. Упростить выражение  a 
 


a 2  
a2 a 
Решение.
1) Множество допустимых значений этого выражения a  0 , a  4 .
2) Приведем выражения, стоящие в скобках к общим знаменателям:

4 a 9 
2a a 
 a
 : 2 a 




a 2  
a  2 a 

a ( a  2)  (4 a  9) 2 a (a  2 a )  2a a
:
a ( a  2)
a 2
3) Раскроем скобки в числителях дробей, приведем подобные члены, запишем
отношение дробей в виде произведения первой дроби на дробь, обратную ко второй, и
сократим полученную дробь:

a ( a  2) ( a  3) 2
4 a a 
2a a  a  6 a  9
 a
 : 2 a 




 4a
a  2  
a  2 a 
a 2
4 a


4 a 9 
2a a  ( a  3) 2




Ответ  a 
 :  2 a  a  2 a    4 a при a  0 , a  4 .
a

2

 

2
 m 0,5  n 0, 5

n1,5
n 0,5


Задача 6. Упростить выражение (m  0,5 ) 3  
0,5
0,5
0,5 
m
m n 
 m
Решение:
1.
Найдем область определения алгебраического выражения

2
3
m 0,5  0  m  0; m 0,5  n 0,5  0  m 0,5  n 0,5  m  n
1
2
т.к. m  m  m , то m  0 и
в результате имеем m  0, n  0, m  n .
0,5
n 0,5  n , n  0
2.
Перейдем в показателях степеней от десятичных дробей к обыкновенным, и выражения, стоящие в скобках, приведем к общему знаменателю
2
3


n2
f (m, n)   m   1

m2

3
 32
 m  n2

m


2
3








3




 m
2
1
1
 12
 m  n2
n2

 1
1
1
 m2
2
m  n2







 

2
3
 2 mn  n  mn 

m m n

2


3
 32
 m  n2

m


2
3




2
3









 m  
3

m  n  n  m 

m m n

2

2
3

2
3
 n 

m

3

 m  mn  n
 
 m m n










2
3
Числитель первой дроби преобразуем как сумму кубов
3.


f (m, n)  



 





 
m  n  m  mn 

m
2


 n   
2

m  n m  mn  n
m m n

m
m  mn  n
m n

m n

2
3

 m m n
  
  m  mn  n


2
3



 
 
   
2
  m 

2
3



2
3
 


2
m  n m  mn  n  m m  n  3
 

m m  mn  n

2


3
2
n   m  n  3  3 m  n 

2
2
Задача 7. Найти значение выражения, при b  2 .


2
(b  4)2  3  b  2
Решение. Прежде чем подставлять значение параметра b , упростим выражение.
1. Так как выражение иррациональное, найдем множество допустимых значений для
параметра b : 3  b  0  b  3 .
(b  4)2  b  4 , учитывая это, по-
2. По свойству 7 арифметического корня имеем:
лучим:
(b  4) 2 


2
3  b  2  b  4  3  b  2  b  4  b 1 .
3. По определению модуля при b  2 , b  4  4  b , следовательно, подставляя в полученное выражение значение для b , получим: b  4  b  1  4  2  2  1  3
Ответ: значение выражения
(b  4)2 


2
3  b  2 при b  2 равно 3.
Задача 8. Доказать тождество:
1

 4 a3 1
 2  4 a3 1

4

 
  a  a3

a

a
 4 a 1
  4 a 1


 

Решение.

1

1
a
1. Найдем множество допустимых значений для параметра a . Потребуем, чтобы все
выражения, стоящие в знаменателях дробей были отличны от нуля, а все выражения стоящие
под знаками арифметических корней четной степени были неотрицательными:
a>0, 4 a  1  0  4 a  1  a  1 , 4 a  1  0 при любом значении a>0,
a  a  0  a  1, a  0 . Таким образом, окончательно получаем, что множество допу3
стимых значений для параметра a : a>0 и a  1 .
2. Обозначим левую часть тождества через А, и приведем её к правой, для чего сначала числители дробей, стоящих в первой и второй скобках разложим на множители, используя формулы разности и суммы кубов и проведем сокращение полученных дробей. Для преобразования выражения, стоящего в третьей скобке воспользуемся свойствами степени:
1

 (4 a  1)( a  4 a  1) 4  2  (4 a  1)( a  4 a  1)
1
 
 
А= 

a

a
 a (1  a ) =
 
4
4
a

1
a

1


 
1
( a  24 a  1) 2  (1  4 a ) 
4
1
a (1  a )
3. Выражение, стоящее в первых скобках есть полный квадрат 4 a  1 ,а т.к. a>0 , то и
a  1 >0, поэтому по свойствам арифметического квадратного корня четной степени
(4 a  1) 2 
4
a  1  4 a  1, учитывая это получим:
А= ( 4 a  1 ) (1  4 a ) 
1
1
1
 ,
= (1  a ) 
a (1  a )
a (1  a ) a
что и требовалось доказать.
Контрольная работа для учащихся 9 классов
Разложить на множители
1. В каком случае выражение преобразовано в тождественно равное?
1) ( x  2) y  x  2 y ;
2) (2  x) 2  4  4 x  x 2 ;
2) ( x  y)( y  x)  x 2  y 2 ;
3) ( x  y) 2  x 2  y 2
2. Найдите значения переменных х и y, при которых выражение не имеет смысла
1
2
x
2
x 1
2

3
2
y
8 xy  4 x  2 y
4 y2  4 y 1
3. Сократите дробь
4. Разложите на множители
1) c 2  a  1  ac 2
2) x 2 y  xy2  x 2 z  xz2  yz 2  y 2 z  2 xyz
5. Упростите выражение

1)

2
a  1  4 10 a  10
;

2
a 3
5 a 1
p3  4 p 2  10 p  12 p3  3 p 2  8 p
2)
 2
p3  p 2  2 p  16
p  2p  6


x2  4x  4  x
2  x2
6. Доказать тождество
:
 2

2
4x
2x
 2x  4 x  2x 