предельная форма свойства радона—никодима

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 37 (2010). С. 55–69
УДК 517.98
ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМА СВОЙСТВА РАДОНА—НИКОДИМА
СПРАВЕДЛИВА В ЛЮБОМ ПРОСТРАНСТВЕ ФРЕШЕ
c 2010 г.
И. В. ОРЛОВ, Ф. С. СТОНЯКИН
АННОТАЦИЯ. В работе предложена новая предельная форма свойства Радона—Никодима для интеграла
Бохнера. Доказано, что в отличие от обычного свойства Радона—Никодима, предельная форма справедлива в произвольном пространстве Фреше. Рассмотрены некоторые приложения как в линейном,
так и в нелинейном анализе.
ВВЕДЕНИЕ
Хорошо известно, что наиболее эффективный аналог интеграла Лебега в бесконечномерном
случае — интеграл Бохнера — не сохраняет, вообще говоря, одно из принципиальных свойств интеграла Лебега. А именно, не всякое абсолютно непрерывное отображение является (с точностью
до константы) неопределенным интегралом Бохнера (см. [6]).
Наиболее известный подход к этой проблеме заключается в выделении специального класса пространств со свойством Радона—Никодима, в которых всякое абсолютно непрерывное отображение
является неопределенным интегралом Бохнера (см. [14, 15]). Таковы, например, все рефлексивные банаховы пространства. Однако класс таких пространств недостаточно широк для многих
конкретных задач анализа.
Другой подход состоит в получении так называемых теорем типа Радона—Никодима, описывающие неопределенный интеграл Бохнера в пространствах без свойства Радона—Никодима
(см. [13, 16–18, 21, 22]). Эти исследования активно продолжаются и сегодня (см. [7, 9–12]).
В нашей работе [20] мы выделили, для отображений интервала в вещественное локально
выпуклое пространство F : I → E, класс компактно абсолютно непрерывных отображений
ACK (I, E), состоящий из абсолютно непрерывных отображений I во всевозможные банаховы пространства, порожденные абсолютно выпуклыми компактами C ∈ C(E). Основной результат работы
(см. [20, теорема 3.2]) утверждает, что любое отображение F ∈ ACK (I, E) является неопределенным интегралом Бохнера. Была высказана гипотеза о том, что в случае произвольного пространства Фреше E справедливо и обратное утверждение, т.е. классы компактно абсолютно непрерывных отображений ACK (I, E) и неопределенных интегралов Бохнера W11 (I, E) совпадают (иначе
говоря, E обладает K-свойством Радона—Никодима.
В настоящей работе мы доказываем справедливость этой гипотезы: любое пространство Фреше обладает К-свойством Радона—Никодима (теорема 1.4). Это позволяет установить еще более сильный топологический результат — предельную форму свойства Радона—Никодима (теоремы 3.6 и 3.7). А именно, для любого пространства Фреше E пространство неопределенных
интегралов Бохнера W11 (I, E) можно двумя способами представить как индуктивный предел:
top
W11 (I, E) =
lim
−−−−−−→
C∈C(E)
top
W11 (I, EC ) =
lim
−
−−−−−−
→
C ∈C(E)
AC(I, EC ).
(0.1)
Полученный результат позволяет в работе с линейными непрерывными операторами на W11 (I, E)
(либо L1 (I, E)) обходиться без глобального свойства Радона—Никодима и, в известном смысле,
решает проблему Радона—Никодима для всех пространств Фреше.
Работа состоит из четырех разделов. Основной результат первого раздела (теорема 1.4) утверждает, что всякое пространство Фреше обладает K-свойством Радона—Никодима. Во втором разделе исследованы топологические свойства шкалы {EC } банаховых пространств, порожденных
абсолютно выпуклыми компактами в пространстве Фреше E. Показано, что это σ-индуктивная
c
2010
РУДН
55
56
И. В. ОРЛОВ, Ф. С. СТОНЯКИН
шкала с компактными вложениями (теорема 2.3). Третий раздел содержит основной результат работы — предельную форму свойства Радона—Никодима (0.1) для пространств Фреше (теоремы 3.6
и 3.7). В четвертом разделе рассмотрены некоторые обобщения и приложения (включая аналог
p
(I, E)).
свойства (0.1) для пространств Соболева Wm
Напомним, что пространством Фреше называется всякое полное метризуемое локально выпуклое
пространство. Будем обозначать через EC = (spanC, · C ) банаховы пространства, порожденные
C ∈ C(E), где · C является функционалом Минковского, порожденным C.
1. K-СВОЙСТВО РАДОНА—НИКОДИМА
СПРАВЕДЛИВО ДЛЯ ВСЕХ ПРОСТРАНСТВ
ФРЕШЕ
Всюду далее E — вещественное локально выпуклое пространство, I = [a; b] ⊂ R. Начнем с
определения сильной компактной абсолютной непрерывности для отображений F : I → E. Через
AC(I, E) обозначим класс отображений F : I → E, имеющих обычное свойство сильной абсолютной непрерывности (относительно каждой непрерывной полунормы на E).
Определение 1.1. Будем говорить, что отображение F сильно компактно абсолютно непрерывно на I, если F : I → F (a) + EC для некоторого C ∈ C(E) и F ∈ AC(I, EC ). Примем
обозначение: F ∈ ACK (I, E).
В [20] нами было показано, что любое отображение F ∈ ACK (I, E) представимо в виде неопределенного интеграла Бохнера от своей производной. Был построен пример, показывающий, что
для произвольного локально выпуклого пространства E обратное утверждение, вообще говоря,
неверно, и высказана гипотеза о справедливости обратного утверждения в случае, когда E —
пространство Фреше. Теперь мы докажем справедливость этой гипотезы. Предлагаемое нами доказательство существенно опирается на следующий известный результат из [1].
Теорема 1.1. Любое сепарабельное банахово пространство изометрически изоморфно неко пространства C[0; 1].
торому замкнутому подпространству E
Будем рассуждать по схеме (см. [20, теорема 3.3]), где рассмотрен случай E = c0 . Сначала
⊂ C[0; 1]. Обозначим через
введем понятие эллипсоида в E
ωϕ (δ) :=
sup
|x1 −x2 |δ
|ϕ(x1 ) − ϕ(x2 )|,
δ > 0,
(1.1)
модуль непрерывности функции ϕ ∈ C[0; 1]. Фиксируем некоторую последовательность δ = (δk )∞
1 ,
δk → +0.
Определение 1.2. Для произвольной числовой последовательности ε = (εk > 0)∞
k=1 назовем
(невырожденным) δ-эллипсоидом в E ⊂ C[0; 1] множество
max |ϕ(0)|, sup ωϕ (δk ) 1 .
Cε = ϕ ∈ E
εk
k
Проверим важный вспомогательный факт, обобщающий известный критерий компактности эллипсоида в 2 (см. [5]).
Лемма 1.1. Если последовательность ε сходится к нулю, то множество Cε является ком
пактным в E.
Доказательство. Во-первых, ∀ϕ ∈ Cε : ϕ |ϕ(0)| +
ω (δ )
ϕ 1 , т.е. множество Cε ограниε1 · 1 + δ11
чено.
Во-вторых, т.к. εk → 0, то ∀η > 0 ∃k0 ∈ N: ∀k k0 (η > εk ). Поэтому ∀η > 0 существует
окрестность нуля U (0) ⊂ R такая, что
sup
ϕ∈Cε
sup
t−s∈U (0)
|ϕ(s) − ϕ(t)| < η,
т. е. множество Cε равностепенно непрерывно и, следовательно, относительно компактно в E
(см. [1, с. 289]).
ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМА СВОЙСТВА РАДОНА—НИКОДИМА
57
Пусть ϕm ∈ Cε , ϕm → ϕ при m → ∞. В таком случае,
Покажем, что Cε замкнуто в E.
если x1 , x2 ∈ [0; 1] и |x1 − x2 | δk , k ∈ N, то |ϕm (x1 ) − ϕm (x2 )| εk . Отсюда в пределе,
|ϕ(x1 ) − ϕ(x2 )| εk при |x1 − x2 | δk , т. е. ϕ ∈ Cε и, следовательно, множество Cε замкнуто.
то Cε компактно в E.
Так как Cε замкнуто и относительно компактно в E,
Замечание 1.1. Ясно, что множество Cε абсолютно выпукло. Норма · Cε , порожденная Cε в
ECε = span Cε , имеет вид
ωϕ (δk )
.
(1.2)
ϕCε := max |ϕ(0)|, sup
εk
k
Напомним, что любое пространство Фреше E со счетной определяющей системой полунорм
{ · j }∞
j=1 является проективным пределом последовательности банаховых пространств Ej , где
Ej являются пополнениями по фактор-нормам фактор-пространств Ej = E/ker · j (j ∈ N). Для
банахова пространства Фреше E эта система сводится к одному пространству E. Заметим, что
интегрируемость отображения f : I → E по Бохнеру в E определяется как интегрируемость всех
j . Сформулируем теперь базисный результат этого
соответствующих фактор-отображений f : I → E
раздела.
Теорема 1.2. Пусть E — пространство Фреше. Тогда, если отображение
f : I = [a; b] → E
интегрируемо по Бохнеру, то существует такой компакт C ⊂ E, что f (t)C dt < ∞.
I
Доказательство. 1. Начнем доказательство со случая, когда пространство E банахово, тогда
f (t)dt < ∞. Поскольку отображение f интегрируемо по Бохнеру на I, то оно почти всюду
I
сепарабельнозначно, т. е. почти все значения f на I содержатся в некотором замкнутом сепарабельном подпространстве E0 ⊂ E (см. [6, с. 102]). Пространство E0 , в свою очередь, изометрически
явля ⊂ C[0; 1] (см. [1]); пусть ψ : E0 → E
изоморфно некоторому замкнутому подпространству E
ется соответствующей изометрией. Это означает, что множество C ⊂ E0 компактно тогда и только
Более того, если C абсолютно выпукло, то
тогда, когда компактно ψ(C) ⊂ E.
xC = ψ(x)ψ(C)
(∀x ∈ spanC).
и рассуждать по аналогии
Поэтому, не уменьшая общности рассуждений, можно заменить E0 на E
с доказательством [20, теорема 3.3], привлекая понятие компактного эллипсоида Cε ⊂ E.
2. Далее будем полагать, что f : I → E и что отображение f является конечным на I (поскольку
f почти всюду конечно на I ввиду интегрируемости по Бохнеру). Покажем, что функционалы
→ R из (1.1) непрерывны по ϕ. Действительно, ωϕ (δk ) — полунорма по ϕ при любом
ωϕ (δk ) : E
фиксированном δk и
ωϕ (δk ) =
sup
|x1 −x2 |δk
|ϕ(x1 ) − ϕ(x2 )| 2 sup |ϕ(x)| = 2ϕE ,
x∈[0;1]
(1.3)
откуда следует искомая непрерывность.
Поскольку f интегрируемо по Бохнеру на I, то существует последовательность простых отоб такая, что lim f (t) − fm (t) = 0 для почти всех t ∈ I. Поэтому для почти
ражений fm : I → E
всех t ∈ I, в силу (1.3), верно
m→∞
(fm (t) → f (t)) ⇒ (ωfm (t) (δk ) → ωfm (t) (δk )),
откуда, ввиду измеримости простых функций ωfm (·) (δk ) вытекает измеримость всех функций
ωf (·) (δk ).
Итак, ωf (·) (δk ) измерима ∀k ∈ N и поэтому функция f (·)Cε (Cε — произвольный невырожденный эллипсоид, см. определение 1.2) также является измеримой как поточечный супремум последовательности измеримых функций ωf (·) (δk ) и функции f (·), измеримой в силу интегрируемости
по Бохнеру f на I. По условию теоремы,
sup |f (t)(s)|dt < ∞
K := f (t)dt =
I
ввиду (B)-интегрируемости f в E.
I
s∈[0;1]
58
И. В. ОРЛОВ, Ф. С. СТОНЯКИН
3. Подберем такую последовательность ε = (εk > 0)∞
k=1 , сходящуюся к нулю, чтобы
f (t)Cε dt < ∞.
I
k-ое место
Обозначим через
εk
1 , 1, 1, . . . ) и
k ∈ N.
I k (f ) = f (t)Cεk dt, f : I → E,
= (0, 0, . . . , 0,
S
Ясно, что ∀t ∈ I: f (t)Cε1 f (t)Cε2 · · · 0. Поэтому последовательность интегралов {I k }∞
k=1
монотонно убывает при k → ∞ и имеет верхнюю грань
1
(1.4)
I (f ) = f (t)Cε1 dt 2K < ∞,
I
так как ∀ϕ ∈ E
ωϕ (δk )
= max |ϕ(0)|, sup ωϕ (δk ) =
ϕCε1 = max |ϕ(0)|, sup
ε11
k
k
sup
= max |ϕ(0)|, sup
k |x1 −x2 |δk
|ϕ(x1 ) − ϕ(x2 )|
т.е.
2 sup |ϕ(x)| = 2ϕ,
x∈[0;1]
∀ϕ ∈ E.
(1.5)
ϕ1 (t) = lim f (t)Cεk = 0,
(1.6)
ϕCε1 2ϕ
Из (1.4) следует, что ∀t ∈ I существует предел
k→∞
поскольку wf (t) (δk ) → 0 при k → ∞. По следствию из теоремы Б. Леви (см. [8]), ввиду (1.4) и (1.6)
справедливо
(1.7)
lim I k (f ) = 0 ∀f : I → E.
k→∞
Воспользовавшись (1.7), построим последовательность {km }∞
m=1 так, чтобы ∀m ∈ N ∃km ∈ N
1
. Введем ε = (ε )∞
∀k km выполнялось неравенство I k (f ) < m
=1 :
2 (m + 1)
⎞
⎛
k1 -ое место
k2 -ое место
kn -ое место
⎟
⎜
1
1
1
1
1
1
⎟.
,
.
.
.
,
;
,
.
.
.
,
;
.
.
.
;
,
.
.
.
;
.
.
.
ε=⎜
1,
.
.
.
,
1;
⎠
⎝
2
2
3
3
n+1
n+1
Как
Последовательность ε сходится к нулю, и поэтому множество Cε является компактным в E.
показано ранее, функция f (t)Cε измерима. Далее,
wf (t) (δ )
dt I(f ) := f (t)Cε dt = max |f (t)(0)|, sup
ε
∈N
I
f (t)dt +
I
I
I
∞
wf (t) (δ )
1
sup
dt K +
= K + 2 < ∞.
m
ε
2
∈N
m=0
Для банаховых пространств теорема доказана.
4. Перейдем теперь к случаю, когда E — пространство Фреше. Поскольку теорема доказана для
j , что
j ⊂ E
банаховых пространств, то ∀j ∈ N существует такой абсолютно выпуклый компакт C
f (t)Cj dt < ∞.
I
ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМА СВОЙСТВА РАДОНА—НИКОДИМА
Заметим, что · λC =
59
1
· C ∀λ > 0 и подберем числа nj (j ∈ N) так, чтобы
λ
1
f (t)nj Cj dt < 2 ∀j ∈ N.
j
I
Рассмотрим множество
x ∈ E sup xnj Cj 1 .
C=
j∈N
j и поэтому может быть плотно и
Поскольку E является проективным пределом пространств E
непрерывно вложено в
Ej , то C может быть инъективно (ввиду отделимости пространства E),
j∈N
j , компактное по теореме Тихонова. Следонепрерывно и плотно вложено в произведение
nj C
j∈N
вательно, C является непустым абсолютно выпуклым компактом в E.
5. Функция f (t)C = sup f (t)nj Cj измерима как супремум последовательности измеримых
j∈N
функций f (t)nj Cj . Далее, воспользовавшись теоремой Б. Леви о предельном переходе, имеем
∞
f (t)C dt = sup f (t)nj Cj dt f (t)nj Cj dt =
I
=
j∈N
I
∞ I j=1
∞
j=1 I
j=1
f (t)nj Cj dt <
1
< ∞.
j2
В [20, теорема 3.2] нами был получен следующий критерий сильной компактной абсолютной
непрерывности.
Теорема 1.3. Пусть E — отделимое локально выпуклое пространство. Тогда F ∈ ACK (I, E)
в том и только в том случае, если
1. F представимо в виде неопределенного интеграла Бохнера:
x
F (x) = F (a) + (B) f (t)dt (a x b);
2.
b
a
a
f (t)C dt < ∞ при F ∈ AC(I, EC ), C ∈ C(E).
Из теорем 1.2 и 1.3 вытекает
Теорема 1.4. Пусть E — пространство Фреше. Тогда для любого интегрируемого по Бохнеру
отображения f : I → E существует такой компакт C ⊂ E, что отображение
x
F (x) = F (a) + (B) f (t)dt (a x b)
a
принадлежит классу AC(I, EC ). Таким образом, любое пространство Фреше E обладает Kсвойством Радона—Никодима.
2. K-ШКАЛА
ПРОСТРАНСТВ, ПОРОЖДЕННЫХ КОМПАКТАМИ В ПРОСТРАНСТВЕ
ФРЕШЕ
В данном пункте мы остановимся на топологических результатах, которые представляют и самостоятельный интерес. Начнем с обобщения на случай пространств Фреше теоремы о представлении основного пространства в виде (локально выпуклого) индуктивного предела банаховых
пространств, порожденных абсолютно выпуклыми компактами:
top
E =
lim
−−−−−−→
C∈C(E)
EC .
60
И. В. ОРЛОВ, Ф. С. СТОНЯКИН
Эта теорема доказана ранее для гильбертовых (а фактически, для банаховых) пространств в [5].
top
E (отТеорема 2.1. Для любого пространства Фреше E верно соотношение E = −−−lim
−−−→ C
носительно непрерывных вложений, порождаемых порядком C1 ⊂ M · C2 ).
C∈C(E)
Доказательство. Пусть { · m }∞
m=1 — стандартная определяющая система полунорм в E ( · m E . Имеем:
и попарно неэквивалентны), EC := −−−lim
−−−→ C
C∈C(E)
1. Так как ∀C ∈ C(E): EC → E (непрерывно), то EC → E и необходимо доказать лишь обратное
непрерывное вложение: E → EC . Допустим противное. Тогда существует такая окрестность нуля
U ⊂ EC , которая не является окрестностью нуля в E.
2. Для фиксированного m ∈ N обозначим Bm = {x ∈ E | xm 1}. Так как Bm не поглощается
множеством U, то для любой последовательности αn → +0 найдется такая последовательность
{xmn }∞
n=1 ⊂ E, что
xmn ∈ (αn · Bm )\U (n = 1, 2, 3, . . . ).
При этом, поскольку Bm+1 ⊂ Bm , то
xm+k,n ∈ (αn Bm+k )\U ⊂ (αn Bm )\U ;
3. Положим
C = abs.coE
1
√ xnn
αn
(∀n ∈ N, k ∈ N0 ).
(2.1)
∞
n=1
и покажем, что C ∈ C(E). Действительно, в силу (2.1),
1
1
xm+k,n xm+k,n 1 (∀m, n ∈ N, k ∈ N0 ).
αn
αn
m
m+k
Отсюда, в частности, при m + k = n имеем:
1
√ xnn √αn
αn
(∀n m, m ∈ N).
(2.2)
m
Фиксируя m и переходя теперь в (2.2) к пределу при n → ∞, получаем:
1
√ xnn → 0 при n → ∞ (∀m ∈ N),
αn
m
1
E
откуда √ xnn −→ 0 при n → ∞, и следовательно, C ∈ C(E).
αn
4. Поскольку вложение EC → EC непрерывно, то C поглощается множеством U. В то же время,
из включений
1
1
(∀n ∈ N)
√ xnn ∈ C\ √ U
αn
αn
1
следует, что C\ √ U = ∅ при любом n, т.е. C не поглощается множеством U. Полученное
αn
противоречие доказывает теорему.
Теперь мы установим важное свойство пространств Фреше, которое понадобится нам в дальнейшем.
Определение 2.1. Будем говорить, что локально выпуклое пространство E обладает свойством
компактной аппроксимации (E ∈ Kap ), если ∀C ∈ C(E) ∃C ∈ C(E) такое, что имеет место
компактное вложение EC →→ EC .
Теорема 2.2. Любое пространство Фреше E обладает свойством компактной аппроксимации. Более того, существует непрерывное отображение ϕ : E → E такое, что:
1. для любого C ∈ C(E) вложение EC →→ ECϕ компактно, где
Cϕ = co ϕ(C);
2. ϕ(x) = x/ψ(x) (при x = 0), где 0 < ψ(x) < 1, ψ непрерывна, ψ(0) = 0, ψ(∞) = 1;
ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМА СВОЙСТВА РАДОНА—НИКОДИМА
3.
61
!
(x ∈ C) ⇒ xCϕ ψ(x) .
(2.3)
Доказательство. Пусть { · j }∞
j=1 — определяющая система полунорм в E. Введем отображения
(∀x ∈ E):
"
∞
xj
1
x
"
(x = 0), ϕ(0) = 0. Имеем:
·
, ϕ(x) =
ψ(x) =
j
2 1 + xj
ψ(x)
j=1
1. Функция ψ(x) непрерывна как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций:
"
∞
xj
1
1
1
"
0 j ·
< j (∀j ∈ N), 0 ψ(x) <
= 1, ψ(0) = 0.
2 1 + xj
2
2j
j=1
При этом ∀N ∈ N
⎛
⎞
"
N
xj
1 ⎠
1
⎝1 lim ψ(x) "
·
lim
=
1
−
ψ(x)
=
1
.
⇒
lim
x→∞
x→∞
2j xj →∞ 1 + xj
2N −1
j=1
2. Функция ϕ(x) =
верно
x
непрерывна при x = 0. Проверим непрерывность при x = 0: ∀j ∈ N
ψ(x)
xj
xj
"
= 2j ·
ϕ(x)j =
ψ(x)
xj
1
"
·
j
2 1 + xj
#
#
xj · 1 + xj → 0
при
x → 0.
3. Обозначим Cϕ = co ϕ(C) ∈ C(E) и докажем, что вложение EC → ECϕ компактно.
1
верно λ · x ∈
а). Пусть x
∈ ∂ co C (∂ co C — выпуклая граница C). Тогда при некотором λ ψ(
x)
∂ co Cϕ . Отсюда
x).
(2.4)
xCϕ ψ(
Если же x ∈ C, x
= μx (при некотором μ 1), то подставляя x
= μx в (2.4), получаем: μ · xCϕ =
xCϕ ψ(μx), откуда
√ "
∞
μ xj
1
1
x) =
·
ψ(x),
(2.5)
xCϕ ψ(μ
√ "
j
μ
2 1 + μ xj
j=1
т.е. (2.3) верно. Заметим также, что из (2.5) следует, что при μ 1
ψ(x) ψ(μx) μψ(x).
б). Пусть {xk }∞
1 ⊂ C. Тогда существует подпоследовательность xkn сходящаяся к некоторому
xkn − x0
E
∈ C (n ∈ N).
x0 ∈ C, т.е. xkn − x0 −→ 0. При этом xkn − x0 ∈ C − C = 2C, т.е.
2
xkn − x0
Применяя (2.3) к x =
, получаем:
2
xkn − x0 ψ xkn − x0 , откуда xk − x0 2ψ xkn − x0 → 0
n
Cϕ
2
2
2
Cϕ
ECϕ
при n → ∞ ввиду непрерывности ψ. Таким образом, xkn − x0 −→ 0, т.е. C предкомпактно в ECϕ
и, следовательно, вложение EC → ECϕ компактно.
Замечание 2.1. Если E — банахово пространство, то можно ввести более простую функцию
"
"
x
при x = 0, ϕ(0) = 0. В этом случае (x ∈ C) ⇒ xCϕ x и,
ψ(x) = x, ϕ(x) = "
x
следовательно,
"
(x ∈ EC ) ⇒ xCϕ x · xC .
62
И. В. ОРЛОВ, Ф. С. СТОНЯКИН
В общем случае (E — пространство Фреше), из (2.3) следует лишь соотношение
!
x
· xC ⇒ xCϕ ψ(x) · xC ).
(x ∈ EC ) ⇒ xCϕ ψ
xC
Для доказательства основного результата работы нам потребуется несколько усилить результат
теоремы 2.2. Введем свойство σ-компактной аппроксимации для локально выпуклого пространства и докажем, что этим свойством также обладают все пространства Фреше.
Определение 2.2. Будем говорить, что локально выпуклое пространство E обладает свойством
σ-компактной аппроксимации, если ∀{Cn }∞
n=1 ⊂ C(E) ∃C ∈ C(E), что вложения ECn → EC
σ .
компактны ∀n ∈ N. Примем обозначение: E ∈ Kap
Далее нам потребуется следующее вспомогательное утверждение.
Лемма 2.1. Пусть E — пространство Фреше. Если {Cn }∞
n=1 ⊂ C(E) и ∀m ∈ N αn =
o (1/diamm (Cn )) , то
∞
$
αn Cn ∈ C(E).
C = co
n=1
В частности, если lim diamm (Cn ) = 0 ∀m ∈ N, то
n→∞
∞
$
C = co
Cn ∈ C(E).
n=1
∞
Доказательство. Пусть {xk }k=1 ⊂ C. Имеются ровно две возможности:
1. Последовательность {xk }∞
k=1 содержится в конечном числе множеств αn Cn . Тогда существует такое n0 ∈ N и такая подпоследовательность {xki }∞
i=1 , что xki ∈ αn0 · Cn0 (i = 1, 2, . . . ).
содержит
некоторую
субподпоследовательность {xkij }∞
Так как αn0 Cn0 компактно, то {xki }∞
i=1
j=1 ,
сходящуюся к некоторой точке x0 ∈ αn0 C0 ⊂ C.
2. Последовательность {xk }∞
k=1 не содержится ни в каком конечном числе множеств αn Cn .
∞
Тогда существуют такие подпоследовательности {ni }∞
i=1 и {ki }i=1 , что xki ∈ αni · Cni (i = 1, 2, . . . ).
E
Следовательно, xki m αni · diamm (Cni ) → 0 при i → ∞ (∀m ∈ N), откуда xki −→ 0 ∈ C при
i → ∞. Таким образом, C компактно в E.
Приведем также определение σ-индуктивной шкалы локально выпуклого пространства, введенное ранее в [2].
Определение 2.3. Будем говорить, что индуктивная шкала (индуктивный спектр) локально
выпуклого пространства {Eλ }λ∈Λ является σ-индуктивной шкалой, если для любого счетного
подмножества {λn }∞
n=1 ⊂ Λ существует такое λ∞ ∈ Λ, что вложения Eλn → Eλ∞ непрерывны
∀n ∈ N.
Теорема 2.3. Любое пространство Фреше E обладает свойством σ-компактной аппрокси→
σ . Иначе говоря, шкала −
мации Kap
E C = {EC }C∈C(E) является σ-индуктивной шкалой банаховых
пространств с компактными вложениями.
Доказательство. 1. Пусть Cn ∈ C(E) (n ∈ N), { · m }∞
m=1 — определяющая система полунорм
в E,
rmn = sup x − ym = diamm (Cn ) (∀m, n ∈ N) (rmn < ∞).
x,y∈Cn
По известной теореме из теории последовательностей, выберем такую последовательность
αn → +0, что
αn = o (1/rmn ) при n → ∞ (∀m ∈ N).
∞
%
αn Cn ; тогда, по лемме 2.1, C ∈ C(E).
Положим C =
n=1
2. Применяя теорему 2.2, найдем такое Cϕ ∈ C(E), что вложение EC →→ ECϕ компактно. Тем
более, ∀n ∈ N:
ECn = Eαn Cn → EC →→ ECϕ .
→
−
Таким образом, E C — σ-индуктивная шкала с компактными вложениями.
ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМА СВОЙСТВА РАДОНА—НИКОДИМА
3. ПРЕДЕЛЬНАЯ
ФОРМА СВОЙСТВА
РАДОНА—НИКОДИМА
63
В ПРОСТРАНСТВАХ
ФРЕШЕ
Далее мы переходим к исследованию свойств интегральных пространств W11 над пространствами Фреше с целью доказать представимость любого пространства Соболева W11 (I, E) в виде
индуктивного предела как пространств W11 (I, EC ), так и пространств AC(I, EC ) (C ∈ C(E)). Проверим вначале, что подпространства EC ⊂ E, порожденные компактами C ∈ C(E), индуцируют
соответствующую σ-индуктивную шкалу интегральных пространств.
Приведем обозначения пространств, которые мы будем использовать в дальнейшем. В отличие от
скалярного случая, мы должны различать абсолютно непрерывные отображения и неопределенные
интегралы Бохнера.
Определение 3.1. Пусть E — пространство Фреше. Введем пространства (векторный интеграл
везде понимается в смысле Бохнера):
x
а). W11 (I, E) = {F : I → E | F (x) = F (a) + (B) F (t)dt (a x b)} с определяющей системой
a
полунорм
⎧
⎫
b
⎨
⎬
F n = F (a)n + F (t)n dt
⎩
⎭
В частности,
◦
W 11 (I, E)
,
= F ∈
a
.
n∈N
| F (a) = 0 с определяющей системой полунорм
⎫
⎧
b
⎬
⎨
.
F n = F (t)n dt
⎭
⎩
W11 (I, E)
a
n∈N
◦
∼
Отметим сразу же очевидный изоморфизм
= L1 (I, E) (при соответствии F ↔ F ).
б). При C ∈ C(E) мы аналогично введем банаховы пространства W11 (I, EC ) с нормами
W 11 (I, E)
F C = F (a)C +
b
F (t)C dt
a
(поскольку дифференцируемость F : I → EC влечет дифференцируемость F : I → E), и соответ◦
◦
ствующие подпространства W 11 (I, EC ). Здесь также W 11 (I, EC ) ∼
= L1 (I, EC ).
в). При любых C ∈ C(E) мы также введем банаховы пространства AC(I, EC ) абсолютно непрерывных отображений F : I → (EC , · C ) с нормами
C
F b
= F (a)C +
F (t)C dt
a
(здесь, вообще говоря, нет дифференцируемости для F : I → EC , но есть дифференцируемость
для F : I → E) и соответствующие подпространства
◦
AC(I, EC ) = {F ∈ AC(I, EC ) | F (a) = 0} с нормами F C
b
=
F (t)C dt.
a
Теорема 3.1. Для любого пространства Фреше E система
→
−
L 1,C (I, E) := {L1 (I, EC )}C∈C(E)
(3.1)
образует σ-индуктивную шкалу банаховых пространств относительно непрерывных вложений.
Доказательство. Пусть C1 C2 (C1 ⊂ M · C2 ), тогда xC1 M · xC2 при x ∈ EC1 . Имеем:
x(·)L1 (I,C1 ) = x(t)C1 dt M · x(t)C2 dt = x(·)L1 (I,C2 ) ,
I
I
откуда следует непрерывное вложение L1 (I, C1 ) → L1 (I, C2 ).
64
И. В. ОРЛОВ, Ф. С. СТОНЯКИН
Далее, для произвольной последовательности {Cn }∞
n=1 ⊂ C(E), согласно теореме 2.3, ∃Cϕ ∈
C(E): Cn Cϕ (∀n ∈ N), откуда
L1 (I, ECn ) → L1 (I, ECϕ ) (∀n ∈ N),
−
→
т.е. шкала L 1,C (I, E) σ-индуктивна относительно непрерывных вложений.
Из доказанной теоремы и определения 3.1(б) вытекает
Следствие 3.1. Для любого пространства Фреше E система
,
−
→
W 11,C (I, E) := W11 (I, EC ) C∈C(E)
(3.2)
образует σ-индуктивную шкалу банаховых пространств относительно непрерывных вложений.
Заметим, что вопрос о компактности вложений в шкалах (3.1)–(3.2) остается открытым.
В пункте 1 (теорема 1.2) было отмечено, что всякое отображение F ∈ AC(I, EC ) можно представить в виде интеграла Бохнера в E, причем функция F (·)C суммируема на I. При этом
возникает естественный вопрос: будет ли отображение f = F в общем случае интегрируемым
по Бохнеру в EC (или, что то же самое, обладает ли всякое EC свойством Радона—Никодима)?
Это верно, например, в случае E = p (1 p < ∞) и C = Cε — компактного эллипсоида в E
(см. [20, теорема 3.4]), однако это неверно в общем случае. Например, если E = c0 , то ECε ∼
= ∞
(см. [20, определение 3.2]), а пространство ∞ не обладает свойством Радона—Никодима (см. [14]).
Однако, оказывается, что абсолютно непрерывные отображения в EC являются интегралами
Бохнера в некотором EC (C, C ∈ C(E)).
Теорема 3.2. Если E — пространство Фреше, то ∀C ∈ C(E) ∃C ∈ C(E) такой, что для
любого F ∈ AC(I, EC ) его производная f = F интегрируема по Бохнеру в пространстве EC .
Доказательство. По теореме 2.2, существует такой компакт C = ϕ(C ) ∈ C(E), что EC →→
EC . Это позволяет нам рассмотреть банахово пространство EC как основное; при этом C ∈
C(EC ), (EC )C = EC , F ∈ AC(I, (EC )C ) = AC(I, EC ). Следовательно, по теореме 1.3, f = F интегрируемо по Бохнеру в пространстве EC .
Из теоремы 1.3, следствия 3.1 и теоремы 3.2 немедленно вытекают:
Теорема 3.3. Пусть E — пространство Фреше, и отображение f : I → E интегрируемо по
Бохнеру. Тогда ∃C ∈ C(E) такой, что f интегрируемо по Бохнеру в EC . Следовательно, имеет
место векторный изоморфизм
vect
W11 (I, E) =
lim
−−−−−−→
C∈C(E)
W11 (I, EC ).
Теорема 3.4. Пусть E — пространство Фреше, отображение F : I = [a; b] → E сильно абсолютно непрерывно и почти всюду дифференцируемо на I. Тогда F ∈ ACK (I, E) и существует
абсолютно выпуклый компакт C ⊂ E такой, что F почти всюду дифференцируемо как отображение I в пространство EC .
◦
◦
Замечание 3.1. 1. Как уже отмечалось, W 11 (I, E) ∼
= L1 (I, E) и аналогично, W 11 (I, EC ) ∼
=
L1 (I, EC ). Отсюда следуют изоморфизмы
W 1 (I, E) ∼
= E × L1 (I, E), W 1 (I, EC ) ∼
= E × L1 (I, EC ).
1
2. По свойствам интеграла Бохнера,
◦
1
1
W1 (I, EC )
→ AC(I, EC ) (вложение изометрично, см.
◦
определение 3.1(b, c)) и аналогично, W 11 (I, EC ) → AC(I, EC ) (равенство имеет место только в
случае, когда EC обладает свойством Радона—Никодима).
3. По теореме 2.2, ∀C ∈ C(E) ∃C ∈ C(E) такое, что вложение EC → EC компактно, и,
следовательно, вложение AC(I, EC ) → W11 (I, EC ) непрерывно. Итак, ∀C ∈ C(E) ∃C ∈ C(E)
такое, что
(3.3)
W11 (I, EC ) → AC(I, EC ) → W11 (I, EC ).
Отсюда сразу следует топологическое равенство:
ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМА СВОЙСТВА РАДОНА—НИКОДИМА
65
Теорема 3.5. Для любого пространства Фреше верно соотношение
lim
top
−−−−−−→
C∈C(E)
W11 (I, EC ) =
lim
−
−−−−−−
→
C ∈C(E)
AC(I, EC ).
(3.4)
Следующая теорема 3.6 и вытекающая из нее теорема 3.7 являются основными результатами
работы в целом.
Теорема 3.6. Для любого пространства Фреше E верно соотношение
top
W11 (I, E) =
W11 (I, EC ).
lim
−−−−−−→
C∈C(E)
◦
(3.5)
◦
Y C.
Доказательство. Обозначим Y = W 11 (I, E), Y C = W 11 (I, EC ), Y C = −−−lim
−−−→
top
C∈C(E)
C.
Докажем, что Y = Y
1. Имеем ∀C ∈ C(E):
(EC → E) ⇒ (Y
C
→ Y ) ⇒
lim
−−−−−−→
C∈C(E)
Y
C
C
= Y → Y
.
Таким образом, необходимо проверить только непрерывность обратного вложения: Y → Y C .
Y
2. Пусть Fn −→ 0, причем Fn = fn — простые. Следовательно, ∀m (в каноническом представлеE ) имеем Fn m → 0 при n → ∞. Положим
нии E ∼
= ←lim
−m
−−
− m
.
Bm = {x ∈ E | xm 1}, Cmn = Bm spanfn (I) (n ∈ N).
mn =
Так как dim spanfn (I) < ∞, то Cmn ∈ C(E); при этом diamm Cmn = diamm Bm = 2. Отсюда C
mn =
em (Cmn ) (em : E → Em — канонические вложения) принадлежат C(Em ), причем diamEm C
diamm Bm ≡ 2 (n ∈ N). Далее, так как
n
fn (t)C
m = fn (t)m
то
αmn =
n
Fn C
m
=
n
fn (t)C
m dt
fn (t)m dt = Fn m → 0
=
I
(∀t ∈ I, n ∈ N),
при
n → ∞.
I
Положим
m = co
C
∞
$
√
m ).
(C
αmn · Cmn
n=1
m ∈ C(Em ). При этом
Согласно лемме 2.1, C
√
√
1
αmn
m
αmn Cm
mn
Fn C
=√
Fn C
=√
= αmn → 0 при n → ∞.
m Fn m
m
αmn
αmn
= E
= C
m . Тогда C
m —
3. Рассмотрим E как плотное подпространство произведения E
m
по теореме Тихонова (см. [8]). При этом
абсолютно выпуклый компакт в E
/
⊃
,
E
E
C
m, Cm
m
0 E = ∅, C ∈ C(E) и lim E
откуда C = C
←−− m,
образом,
m
⎛
m
C
Ym
Fn −→ 0 (∀m) ⇐⇒ ⎝Fn
m
C
Cm
lim Ym
←
−−
m
−→
Отсюда
Y
∼
=
Em,
m
⎞
m
C
0
0 E = EC . Таким
E → E
C
C
C
Y
Y
0⎠ =⇒ Fn −→ 0 =⇒ Fn −→ 0 .
YC
(Fn −→ 0) =⇒ (Fn −→ 0).
m
66
И. В. ОРЛОВ, Ф. С. СТОНЯКИН
4. Следовательно, вложение Y → Y C непрерывно на плотном подмножестве {F ∈ Y |
— простые} пространства Y, а значит, и на всем Y. Из непрерывности вложений Y C → Y
и Y → Y C следует изоморфизм
Y ∼
(3.6)
= Y C.
1
1
C
5. Так как W1 (I, E) ∼
= E × Y, W1 (I, EC ) ∼
= EC × Y , то из (3.6) и теоремы 2.1 следует соотношение
F
lim
−−−−−−→
C∈C(E)
W11 (I, EC ) =
lim
−−−−−−→
C∈C(E)
EC
×
lim
−−−−−−→
C∈C(E)
YC
∼
= W11 (I, E),
=E×Y ∼
т.е. (3.5) верно. Теорема доказана.
Из равенств (3.4) и (3.5) немедленно следует финальный результат:
Теорема 3.7. Для любого пространства Фреше E верно соотношение
top
W11 (I, E) =
lim
−−−−−−→
C∈C(E)
top
W11 (I, EC ) =
lim
−
−−−−−−
→
C ∈C(E)
AC(I, EC ).
(3.7)
Равенство (3.7) мы будем называть предельной формой свойства Радона—Никодима для интеграла Бохнера. Таким образом, теорема 3.7 означает, что предельная форма свойства Радона—
Никодима справедлива в любом пространстве Фреше. Используя изоморфизм L1 (I, E) ∼
=
◦
W 11 (I, E), переформулируем полученный результат для пространства L1 (I, E).
Следствие 3.2. Для любого пространства Фреше E верно соотношение
top
L1 (I, E) =
top
lim L1 (I, EC ) ∼
=
−−−−−→
C∈C(E)
◦
lim AC(I, EC ).
−−−−−−→
C ∈C(E)
Из известного критерия непрерывности линейных операторов, заданных на индуктивном пределе
(см. [23, II.6.1]) вытекает
Следствие 3.3. Пусть E — пространство Фреше, X — произвольное локально выпуклое пространство, A : W11 (I, E) → X (соответственно A : L1 (I, E) → X) — линейный оператор. Тогда
следующие условия равносильны:
1. A непрерывен на W11 (I, E) (соответственно, на L1 (I, E));
2. A непрерывен на каждом W11 (I, EC ), C ∈ C(E) (соответственно, на L1 (I, EC ));
◦
3. A непрерывен на каждом AC(I, EC ), C ∈ C(E) (соответственно, на AC(I, EC )).
4.
НЕКОТОРЫЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ И ОБОБЩЕНИЯ
4.1. Обобщенная формула конечных приращений и теорема о среднем с компактной оценкой в пространствах Фреше. В работе [3] была получена для отображений F : [a; b] → E (E —
отделимое локально выпуклое пространство) обобщенная формула Лагранжа
⎞
⎛
⎟
⎜
ϕ(x)dx⎠ · B,
(4.1)
F (b) − F (a) ∈ ⎝
[a;b]\e
в предположении непрерывности F на [a; b], дифференцируемости на [a; b]\e, нулевой слабой меры
F (e) и локальной оценки F (x) ∈ ϕ(x) · B, где ϕ(x) неотрицательна и суммируема на [a; b]\e, а
множество B замкнуто и выпукло в E. Оказывается, если E — пространство Фреше, то в случае,
когда множество e имеет нулевую меру, а множество B абсолютно выпукло и ограничено, оценку (4.1) можно усилить, заменив B на некоторое его компактное подмножество. Обозначим через
mes меру Лебега на вещественной прямой. Справедлива следующая
Теорема 4.1. Пусть E — пространство Фреше, а отображение F : [a; b] → E непрерывно
на [a; b], дифференцируемо на [a; b]\e, причем mes(e) = 0 и множество F (e) имеет скалярную
меру нуль. Если F (x) ∈ ϕ(x) · B при x ∈ [a; b]\e, где ϕ(x) неотрицательна и суммируема на
ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМА СВОЙСТВА РАДОНА—НИКОДИМА
67
[a; b]\e, множество B замкнуто, выпукло и ограничено в E, то существует такое компактное
= abs.co C и
подмножество C ⊂ B, что F ∈ W11 (I, EC ), C
⎛
F (b) − F (a) ∈ ⎝
⎞
b
ϕ(t)dt⎠ · C.
(4.2)
a
Доказательство. 1. Покажем сначала, что F ∈ AC(I, E). Пусть {·}∞
j=1 — определяющая система
полунорм в E, E = ←lim
E — соответствующее каноническое представление E (см. замечание 1.1).
−−−− j
j→∞
j вытекает, что для всякой неперекрываюТогда из оценки (4.1) и ограниченности
B в каждом E
%
щейся системы отрезков [αk ; βk ] ⊂ [a; b] при любом j ∈ N верно соотношение
k
⎛
⎞
βk
F (βk ) − F (αk )j sup Bj · ⎝
ϕ(t)dt⎠ −→ 0
k
k
при
(βk − αk ) → 0,
k
αk
j ) ∀j ∈ N, а значит, F ∈ AC(I, E).
т.е. F ∈ AC([a; b], E
2. Так как F по условию почти всюду дифференцируемо на [a; b], то, согласно известной теореме
о представимости интеграла Бохнера (см. [6, теорема 3.8.6]),
x
F (x) = F (a) + (B)
F (t)dt
(a x b).
a
∈ C(E). При
Тогда, по теореме 3.2, F интегрируемо по Бохнеру в некотором пространстве EC , C
этом можно считать, что
F (x) ∈ ϕ(x) · C
x ∈ [a; b]\e,
(4.3)
0
где C = B C.
3. Теперь остается применить формулу конечных приращений (4.1) с заменой B на C.
Из доказанной теоремы стандартным образом выводится
Следствие 4.1 (Теорема о среднем). Пусть E — пространство Фреше, отображение F :
[a; b] → E непрерывно на [a; b], дифференцируемо на [a; b]\e, причем mes(e) = 0, множество
F (e) имеет скалярную меру нуль, а множество F ([a; b]\e) ограничено. Тогда существует та ∈ C(E), что
кое C
F (b) − F (a)
∈ abs.coEC F ([a; b]\e).
b−a
(4.4)
в соответствии с доказательством теоремы 4.1 можно взять C
=
Заметим, что в качестве C,
abs.co (F ([a; b]\e) . Заметим также, что оценка (4.4) точнее оценки, вытекающей из (4.1) за счет
того, что замыкание множества F ([a; b]\e) в пространстве EC меньше, чем замыкание в E. Таким
образом, оценка (4.4) может быть незамкнутой в E.
Следствие 4.2. В условиях следствия 4.1 существует такой абсолютно выпуклый компакт
C ∈ C(E), при котором справедлива оценка
F (b) − F (a)C sup F (x)C · (b − a).
x∈[a;b]\e
(4.5)
p
4.2. Предельная форма свойства Радона—Никодима в пространствах Соболева Wm
(I, E).
p
Пусть E — пространство Фреше. Введем пространства Соболева Wm (I, E) (m ∈ N0 , p 1), а также
p
p
(I, EC ) и ACm
(I, EC ).
соответствующие пространства Wm
68
И. В. ОРЛОВ, Ф. С. СТОНЯКИН
1.
p
Wm
(I, E)
=
F () сильно измеримы, b
p
()
F :I→E F (t)n dt < ∞ с определяющей сис(0m, n∈N)
a
темой полунорм
F n =
2. В частности,
стемой полунорм
◦
W pm (I, E)
m−1
,
⎛
F () (a)n + ⎝
=0
= F ∈
b
⎞1/p
F (m) (t)pn dt⎠
.
a
p
Wm
(I, E)
| F (a) = · · · = F (m−1) (a) = 0 с определяющей си-
⎛ b
⎞1/p
F n = ⎝ F () (t)pn dt⎠ .
a
Имеет место изоморфизм
◦
p
(I, E) ∼
Wm
= E m × W pm (I, E) ∼
= E m × Lp (I, E).
p
3. При этом, аналогично определению 3.1, можно ввести банаховы пространства Wm
(I, EC ),
C ∈ C(E), и пространства
⎧
⎫
b
⎨
⎬
()
AC(I, EC ),
p
(I, EC ) = F : I → E F ∈0m−1
F (m) (t)pC dt < ∞ ,
ACm
⎩
⎭
C
∈ C(E) с нормами
F C
=
m−1
1
=0
F () (a)C +
b
a
a
1/p
F (m) (t)pC dt
.
Справедлив аналог равенства (3.7):
top
p
(I, E) =
Wm
lim
−−−−−−→
C∈C(E)
top
p
Wm
(I, EC ) =
lim
−
−−−−−−
→
C ∈C(E)
p
ACm
(I, EC ).
(4.6)
◦
p
Используя изоморфизм Lp (I, E) ∼
= W m (I, E), тождество (4.6) можно переписать в виде
◦
lim
Lp (I, EC ) ∼
AC pm (I, EC ).
Lp (I, E) = −−−
= −−−lim
−−→
−−−→
C∈C(E)
C ∈C(E)
Справедлив также аналог следствия 3.3: если E — пространство Фреше, X — произвольное лоp
(I, E) → X, 1 p < ∞, m ∈ N0 (соответственно,
кально выпуклое пространство, A : Wm
A : Lp (I, E) → X) — линейный оператор, то следующие условия равносильны:
p
(I, E) (соответственно, на Lp (I, E));
1. A непрерывен на Wm
p
(I, EC ), C ∈ C(E) (соответственно, на Lp (I, EC ));
2. A непрерывен на каждом Wm
◦
p
(I, EC ), C ∈ C(E) (соответственно, на AC pm (I, EC )).
3. A непрерывен на каждом ACm
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. — М.: ИЛ, 1962.
2. Орлов И. В. Сходимость почти всюду как сходимость в нелинейной индуктивной шкале локально
выпуклых пространств // Ученые записки Таврического нац. университета. Математика. — 2001. — 14
(53). — С. 75–80.
3. Орлов И. В. Формула конечных приращений для отображений в индуктивные шкалы пространств//
Математическая физика, анализ, геометрия (МАГ). — 2001. — 8, № 4. — С. 419–439.
4. Орлов И. В., Стонякин Ф. С. Компактные субдифференциалы: формула конечных приращений и смежные результаты// Современная математика. Фундаментальные направления. — 2009. — 34. — С. 121–
138.
5. Треногин В. А., Писаревский Б. М., Соболева Т. С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. — М.: Наука, 1984.
6. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. — М.: ИЛ, 1962.
7. Arvanitakis A. D., Aviles A. Some examples of continuous images of Radon—Nikodym compact spaces //
arXiv:0903.0653v1 [math.GN],3 Mar 2009. — P. 1–11.
ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМА СВОЙСТВА РАДОНА—НИКОДИМА
69
8. Berezansky Yu. M., Sheftel Z. Gr., Us G. F. Functional Analysis. Vol.1. — Basel–Boston–Berlin: Birkhäuser
Verlag, 1995.
9. Bu Q., Buskes G. and Wei-Kai L.. The Radon—Nikodym property for tensor products of banach lattices
II // Positivity. — 2008. — 12. — P. 45—54.
10. Chakraborty N.D., Jaker Ali Sk.. Type II-Λ-weak Radon—Nikodym property in a Banach space associated
with a compact metrizable abelian group// Extracta Math. — 2008. — 23, №3. — P. 201–216.
11. Cheeger J. Kleiner B. Characterization of the Radon—Nikodym property in terms of inverse limits //
arXiv:0706.3389v3 [math.FA], 11 Jan 2008. — P. 1–12.
12. Cheeger J. Kleiner B. Differentiability of Lipschitz maps from metric measure spaces to Banach spaces
with the Radon—Nikodym property // arXiv:0808.3249v1 [math.MG], 24 Aug 2008. — P. 1–17.
13. Chi G. A geometric characterization of Frechet spaces with the RNT // Proc. Amer. Math. Soc. — 1975. —
48. — P. 371–380.
14. Davis W.J. The Radon—Nikodym property // Seminaire d’analyse fonctionelle (Polytechnique)(1973 –
1974). — exp no. 0. — P. 1–12.
15. Diestel J., Uhl J.J. Vector Measures. — Providence, Amer. Math. Soc., 1977.
16. Dunford N., Pettis B.J. Linear operations on summable functions // Trans. Amer. Math. Soc. — 1940. —
47. — P. 323–392.
17. Gilliam D. Geometry and the Radon—Nikodym theorems in strict Mackey convergence spaces // Pacific
J. Math. — 1976. — 65, №2. — P. 353–364.
18. Moedomo S., Uhl J.J. Radon—Nikodym theorems for the Bochner and Pettis integrals // Pacific J. Math. —
1971. — 38, №2. — P. 531–536.
19. Orlov I. V., Stonyakin F. S. Compact variation, compact subdifferential and indefinite Bochner integral //
Methods Funct. Anal. Topology. — 2009. — 15, №1. — P. 74–90.
20. Orlov I. V., Stonyakin F. S. Strong compact properties of the mappings and K-property of Radon—Nikodym
// Methods Funct. Anal. Topology — в печати.
21. Phillips R.S. On weakly compact subsets of a Banach space // Amer. J. Math. — 1943. — 65, №3. —
P. 108–136.
22. Rieffel M.A. The Radon—Nikodym theorem for the Bochner integral // Trans. Amer. Math. Soc. — 1968. —
131. — P. 466–487.
23. Shaefer H.H. Topological vector spaces. — New York–London: McMillan, 1966.
И. В. Орлов
Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского, Симферополь, Украина
E-mail: oiv@tnu.crimea.ua
Ф. С. Стонякин
Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского, Симферополь, Украина
E-mail: fedyor@mail.ru