Лекция 4.6 Теория поведения производителя: максимизация прибыли, минимизация издержек и предложение фирмы в долгосрочном периоде. Юрий Владимирович Автономов Департамент теоретической экономики 20.04.2016 Максимизация прибыли в долгосрочном периоде (LR) Задача максимизации прибыли в долгосрочном периоде принципиально не отличается от таковой в краткосрочном периоде. Если единственные факторы производства - это труд (L) и капитал (K), которые нанимаются по цене w и r за единицу, а готовая продукция продается по цене p за единицу, фирма решает задачу: max pf(K, L) − wL − rK K,L≥0 Юрий Автономов Высшая школа экономики 20.04.2016 2 / 18 Максимизация прибыли в LR Типы решений С точки зрения оптимального уровня выпуска, у этой задачи есть три типа решений: 1. Угловое: фирма не нанимает (и не производит) ничего. 2. Внутреннее: фирма нанимает положительное и конечное количество капитала и/или труда. 3. Задача не имеет конечного решения (фирма стремится нанять бесконечное количество одного или нескольких факторов). Тип решения тесно связан с характером отдачи от масштаба=> Юрий Автономов Высшая школа экономики 20.04.2016 3 / 18 Максимизация прибыли в LR Случай <глобально> возрастающей отдачи от масштаба При <глобально> возрастающей отдаче от масштаба, задача максимизации прибыли фирмы (при положительных и конечных p, w и r) не имеет конечных решений. Чтобы доказать это, рассмотрим выражение для прибыли фирмы, и домножим количество капитала и труда на λ > 1: pf(λK, λL) − [wλL + rλK] Так как отдача от масштаба возрастающая, уменьшаемое (выручка) возрастет больше, чем в λ раз, а вычитаемое (издержки) - только в λ раз ⇒ прибыль фирмы монотонно возрастает по λ ⇒ при λ → ∞ прибыль также стремится к бесконечности. Юрий Автономов Высшая школа экономики 20.04.2016 4 / 18 Максимизация прибыли в LR Случай <глобально> постоянной отдачи от масштаба При <глобально> постоянной отдаче от масштаба, возможны три варианта: • Фирма не производит ничего. • Фирма готова произвести любой уровень выпуска, и работает с нулевой экономической прибылью. • Задача максимизации прибыли фирмы не имеет конечных решений. Почему наша модель предсказывает именно такое поведение фирмы? Юрий Автономов Высшая школа экономики 20.04.2016 5 / 18 Максимизация прибыли в LR Случай <глобально> постоянной отдачи от масштаба (продолжение) Заметим, что при увеличении количества капитала и труда в λ > 1 раз, прибыль фирмы также возрастает в λ > 1 раз. Значит, если p, w и r таковы, что: • При любых K, L > 0 прибыль отрицательна - фирма прекратит производство. • Получить положительную прибыль невозможно, но существует хотя бы одна комбинация K, L > 0, при которой прибыль равна нулю - фирма готова производить любое количество товара, которое у неё купят. • Существует некоторая комбинация K, L > 0, дающая положительную прибыль - фирма захочет бесконечно масштабировать эту комбинацию, чтобы произвести бесконечное количество товара и получить бесконечную прибыль. Юрий Автономов Высшая школа экономики 20.04.2016 6 / 18 Максимизация прибыли в LR Случай <глобально> убывающей отдачи от масштаба Если технология характеризуется <глобально> убывающей отдачей от масштаба, решение полностью описывается условиями первого порядка: f(K,L) p = w, L > 0 или pMPL ≤ w, L = 0 L p f(K,L) = r, K > 0 или pMP ≤ r, K = 0 K K NB! Для L > 0, K > 0, pMPL и pMPK (т. е., предельные доходности труда и капитала) фактически представляют собой обратные функции спроса фирмы на труд и капитал. Если же выразить L и K из условий первого порядка и подставить в производственную функцию, вы получите долгосрочную функцию предложения фирмы. Юрий Автономов Высшая школа экономики 20.04.2016 7 / 18 Максимизация прибыли в долгосрочном периоде Графическая иллюстрация При желании, эту задачу можно проиллюстрировать графически: Юрий Автономов Высшая школа экономики 20.04.2016 8 / 18 Выбор фирмы в долгосрочном периоде Минимизация издержек => максимизация прибыли Но поскольку такие иллюстрации выглядят громоздко, а в случаях трех и более факторов и вовсе невозможны, задачу выбора оптимального выпуска в долгосрочном периоде обычно решают в два этапа: 1. минимизация издержек для произвольного объема выпуска 2. выбор объема выпуска, максимизирующего прибыль Рассмотрим задачу минимизации издержек в долгосрочном периоде => Юрий Автономов Высшая школа экономики 20.04.2016 9 / 18 Задача минимизации издержек в LR Условный спрос на факторы, долгосрочная функция издержек min wL + rK K,L≥0 f(K, L) = y Решением этой задачи являются функции условного спроса на труд и капитал: L = L(w, r, y), K = K(w, r, y) Подставляя их в выражение для издержек, мы получаем долгосрочную функцию издержек: c(w, r, y) = wL(w, r, y) + rK(w, r, y) Юрий Автономов Высшая школа экономики 20.04.2016 10 / 18 Задача минимизации издержек в LR Графическая иллюстрация внутреннего решения Юрий Автономов Высшая школа экономики 20.04.2016 11 / 18 Задача минимизации издержек в LR Условия первого порядка для внутренних решений Мы видели, что во внутренних решениях задачи минимизации издержек изокоста должна касаться соответствующей изокванты ⇒ если обе кривые гладкие, тангенсы угла их наклона должны совпадать: MRTSLK = w MPL = MPK r Для простоты интерпретации это выражение можно переписать в виде: MPL MPK = w r Т.е., предельный продукт каждого используемого фирмой фактора на единицу потраченных на этот фактор денег должен быть одинаковым. Юрий Автономов Высшая школа экономики 20.04.2016 12 / 18 Задача минимизации издержек в LR Долгосрочная «кривая расширения» фирмы Если технология производства гомотетична, долгосрочная кривая расширения представляет собой прямую линию. Юрий Автономов Высшая школа экономики 20.04.2016 13 / 18 Долгосрочная функция предложения фирмы Если мы располагаем долгосрочной функцией издержек, долгосрочная функция предложения фирмы вытекает из задачи: max py − c(w, r, y) y≥0 Так как в долгосрочном периоде постоянные издержки отсутствуют: • Фирма производит положительное количество товара только если её экономическая прибыль неотрицательна. • Внутренние решения должны удовлетворять условию первого порядка: p = MC(y) Юрий Автономов Высшая школа экономики 20.04.2016 14 / 18 Долгосрочная кривая предложения фирмы Следовательно, долгосрочная кривая предложения фирмы представляет собой участок кривой долгосрочных предельных издержек, лежащий над кривой долгосрочных средних издержек: Юрий Автономов Высшая школа экономики 20.04.2016 15 / 18 Экономия на масштабе Экономия на масштабе <производства> (economies of scale) имеет место, когда долгосрочные средние издержки снижаются с ростом выпуска. Одной из причин экономии на масштабе может быть наличие у фирмы возрастающей отдачи от масштаба. Чтобы прояснить связь между характером отдачи от масштаба и экономией на масштабе, рассмотрим пример => Юрий Автономов Высшая школа экономики 20.04.2016 16 / 18 Отдача от масштаба и экономия на масштабе Влияние отдачи от масштаба на форму кривой LAC Пусть технология гомотетична, и цены факторов постоянны. В таком случае, долгосрочные средние издержки фирмы можно представить в следующем виде: LAC = wL + rK f(K, L) где L и K - комбинация факторов, минимизирующая издержки производства f(K, L). Юрий Автономов Высшая школа экономики 20.04.2016 17 / 18 Теперь домножим количество каждого фактора на λ > 1. Заметим, что в силу гомотетичности, любая комбинация (λK, λL) также будет минимизировать издержки производства f(λK, λL). LAC = w·λ·L+r·λ·K f(λK, λL) Заметим, что числитель дроби вырос ровно в λ раз. Значит, если отдача от масштаба... • постоянная, знаменатель тоже вырос ровно в λ раз ⇒ с ростом выпуска LAC не изменились. • возрастающая, ... • убывающая, ... Эта закономерность справедлива и для локальной отдачи от масштаба: локальная отдача от масштаба определяет поведение LAC в дифференциально малой окрестности текущего уровня выпуска. Юрий Автономов Высшая школа экономики 20.04.2016 18 / 18