Факультет мировой экономики и мировой политики НИУ ВШЭ, 2011-2012 Ю.В. Автономов Теория потребительского выбора в условиях определенности - 2: функция полезности ¾Примеры предпочтений ¾Предельная норма замещения и предельная полезность ¾Функция полезности Примеры предпочтений - 1 Линейные кривые безразличия: блага 1 и 2 являются совершенными субститутами x2 a x1 Пример: бумага в пачках по 500 листов, и в коробках по 5000 листов. Если x1 – это пачки, а x2 – коробки, чему был бы равен тангенс угла наклона кривых безразличия (tgα)? Примеры предпочтений - 2 «Леонтьевские» предпочтения: блага 1 и 2 являются совершенными комплементами x2 x1 Пример: правые и левые ботинки. Примеры предпочтений - 3 Одно из благ является антиблагом x2 x1 Пример: время спуска со склона и время, проведенное затем на горнолыжном подъемнике. Какое из благ на графике выше является антиблагом? Примеры предпочтений - 4 Предпочтения с «точкой насыщения» x2 x1 Пример: предпочтения посетительницы фитнесс-центра относительно своей фигуры. Предельная норма замещения: определение Пусть x, y e X, x ~ y – потребительские наборы, различающиеся всего двумя компонентами: xi + ∆xi = yi, xj + ∆xj = yj, i,j e [0, L], i ≠ j, где ∆xi, ∆xj – предельно малые величины. Будем называть отношение Δx j Δxi предельной нормой замещения блага i благом j ( MRS ) xi x j Экономический смысл предельной нормы замещения: – это такое количество блага j, которое необходимо дать потребителю взамен одной единицы блага i, чтобы его полезность осталась неизменной. MRS xi x j Чему для вас равнялась бы предельная норма замещения доллара рублем? Графическая интерпретация MRS x2 α Δx2 Δx1 Δx 2 = tgα MRS12 = Δx1 NB! tgα < 0 x1 Обратите внимание: для этих предпочтений |MRS12| непрерывно убывает по мере роста потребления блага 1! Это важный факт. Попробуйте интерпретировать его своими словами. От иерархии (’) к количественному измерению (¥): функция полезности Будем называть U(.) функцией полезности, отражающей предочтения ’, если, для " x, y e X: если x y, U(x) > U(y) если x ~ y, U(x) = U(y) NB! если U(.) – функция полезности, соответствующая предпочтениям ’, любая функция V(U(.)), где V(.) монотонно возрастающая функция, также соответствует этим предпочтениям! Тот факт, что функция полезности определяется с точностью до положительного монотонного преобразования, отражает т.н. порядковый (ординалистский) характер теории полезности в неоклассической микроэкономике: Функция полезности позволяет сказать, что один потребительский набор нравится человеку больше другого – но не позволяет оценить, насколько больше. Функция полезности позволяет нам взглянуть иначе на уже знакомые понятия кривых безразличия и MRS Î Кривые безразличия можно интерпретировать как линии уровня функции полезности: Примеры функций полезности: функция полезности вида Кобба-Дугласа α β u( x1 , x2 ) = x1 x2 , α > 0, β > 0 Охарактеризуйте закономерность изменения MRS для таких предпочтений. Линейная функция полезности: u ( x1 , x2 ) = α x1 + β x2 , α > 0, β > 0 Леонтьевская функция полезности: u ( x1 , x2 ) = min{α x1 ; β x2 }, α > 0, β > 0 y x Квазилинейная функция полезности: u ( x1 , x 2 ) = x1 + v( x 2 ) где v(x2) – любая непрерывная функция. На этом графике v( x) = x Î Теперь мы также можем придать новый смысл определению MRS. Нам уже известно, что MRS12 – это: • «минимальное количество блага 2, которое потребитель обменял бы на единицу блага 1» • или, «предельная готовность платить за благо 1 в терминах блага 2», • или «тангенс угла наклона касательной к кривой безразличия, изображенной на графике, где благо 1 отложено по горизонтальной, а 2 – по вертикальной оси», • или, наконец, «Dx2/Dx1 где Dx2 и Dx1 таковы, что уровень полезности не меняется» MRS легко определяется и в терминах функции полезности, но для этого нам необходимо определить еще одно понятие Î Предельная полезность Пусть u(x1,…,xL) – дифференцируемая функция полезности. Будем называть предельной полезностью i-того блага (marginal utility) следующее отношение: u ( x1 ,..., xi + Δxi ,..., x L ) − u ( x1 ,..., xi ,..., x L ) MU i = Δx i где ∆xi – малая величина (ее также обычно считают положительной). Именно настолько изменяется общая полезность потребителя при изменении количества i-того блага на одну единицу. Для предельно малых ∆xi : ∂u ( x1 ,...x L ) MU i = ∂xi Благо 2 dx2 x dx1 0 1) Отнимая у человека dx1 единиц блага 1, мы должны добавить ему dx2 единиц блага 2 (если хотим, чтобы его полезность не поменялась). Благо 1 2) От потери dx1 блага 1, полезность изменится на величину – dx1*MU1 3) От приобретения dx2 блага 2, полезность изменится на величину dx2*MU2 4) Чтобы полезность потребителя не изменилась: dx2*MU2 = dx1*MU1 Î MRS12 = dx2/dx1 = – MU1/MU2 Этот результат можно получить более строгим и элегантным способом, если вспомнить теорему о производной неявной функции: Она говорит, что если f(x1,x2) = a, и f(.) дифференцируема по обоим аргументам, ∂f ( x1 , x2 ) dx1 ∂x2 =− ∂f ( x1 , x2 ) dx2 ∂x1 Применив эту теорему к уравнению кривой безразличия, вы легко получите нужный результат.