Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè, 2011-12 ó÷. ãîä. Ôàêóëüòåò ïðèêëàäíîé ïîëèòîëîãèè Àëãåáðà è àíàëèç Çàäà÷è ïî ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêå È. À. Õîâàíñêàÿ, È. Â. Ùóðîâ, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, Ê. È. Ñîíèí (ÐÝØ) Äëÿ óñïåøíîãî îñâîåíèÿ òåìû ¾Îñíîâû ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêè¿ ñòóäåíò äîëæåí óìåòü ðåøàòü âñå ïåðå÷èñëåííûå íèæå çàäà÷è. Ðàçäåë II Íàø äîëã íåêîòîðîìó áàíêó ñîñòàâëÿåò 50000 ðóáëåé, ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà ýòîãî êðåäèòà ñîñòàâëÿåò 12% ãîäîâûõ.  êîíöå ãîäà ìû âíåñëè â áàíê 20000 ðóáëåé, â êîòîðûå âõîäÿò è ïîãàøåíèå ïðîöåíòîâ ïî êðåäèòó çà ýòîò ãîä, è ÷àñòè÷íîå ïîãàøåíèå òåëà êðåäèòà. Êàêóþ ñóììó ìû çàïëàòèëè â ñ÷¼ò ïîãàøåíèÿ ïðîöåíòîâ? Êàêóþ ñóììó ìû çàïëàòèëè â ñ÷¼ò ïîãàøåíèÿ òåëà êðåäèòà? Êàêóþ ñóììó ìû äîëæíû áàíêó íà íà÷àëî ñëåäóþùåãî ãîäà? Çàäà÷à 1. ×åëîâåê ñîáèðàåòñÿ âçÿòü êðåäèò 30.000 ðóáëåé ïîä 10% ãîäîâûõ. Ñîãëàñíî óñëîâèþ êðåäèòà, åãî åæåãîäíûå âûïëàòû (êðîìå, ìîæåò áûòü, ïîñëåäíåãî ãîäà âûïëàò) ñîñòàâëÿþò 5000 (òàêèå ïëàòåæè îáû÷íî íàçûâàþò àííóèòåòíûìè). Çàïîëíèòå òàáëèöó äàííûõ ïîãàøåíèÿ êðåäèòà. (Òàáë. 1.) Ñêîëüêî ëåò çàéì¼ò ïîãàøåíèå êðåäèòà? Êàêóþ ÷àñòü âûïëàò ñîñòàâëÿþò ïðîöåíòû ïî êðåäèòó â ïåðâûé ãîä âûïëàò? Âî âòîðîé?  òðåòèé?  ïðåäïîñëåäíèé? Çàäà÷à 2. Ñóììà êðåäèòà 30000 28000 25800 Åæåãîäíàÿ âûïëàòà 5000 5000 Ïðîöåíòû ïî êðåäèòó Ïîãàøåíèå êðåäèòà òåëà 0.1 × 30000 = 3000 0.1 × 28000 = 2800 5000 − 3000 = 2000 5000 − 2800 = 2200 Òåëî êðåäèòà íà íà÷àëî ñëåäóþùåãî ãîäà 30000 − 2000 = 28000 28000 − 2200 = 25800 Òàáëèöà 1: Ñõåìà âûïëàò (àííóèòåòíûå ïëàòåæè) ×åëîâåê ñîáèðàåòñÿ âçÿòü êðåäèò 100.000 ðóáëåé ïîä 10% ãîäîâûõ. Ñîãëàñíî óñëîâèþ êðåäèòà, åãî åæåãîäíûå âûïëàòû (êðîìå, ìîæåò áûòü, ïîñëåäíåãî ãîäà âûïëàò) ñîñòàâëÿþò 20000. Ñîñòàâüòå è çàïîëíèòå òàáëèöó äàííûõ ïîãàøåíèÿ êðåäèòà, àíàëîãè÷íóþ òàáëèöå èç çàäà÷è 32. Ñêîëüêî ëåò çàéì¼ò ïîãàøåíèå êðåäèòà? Êàêóþ ÷àñòü âûïëàò ñîñòàâëÿþò ïðîöåíòû ïî êðåäèòó â ïåðâûé ãîä âûïëàò? Âî âòîðîé?  òðåòèé?  ïðåäïîñëåäíèé? Çàäà÷à 3. Íàø äîëã íåêîòîðîìó áàíêó ñîñòàâëÿåò 50000 ðóáëåé, ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà ýòîãî êðåäèòà ñîñòàâëÿåò 12% ãîäîâûõ.  êîíöå ãîäà ìû âíåñëè â áàíê 10000 ðóáëåé â ñ÷¼ò ïîãàøåíèÿ òåëà êðåäèòà, êðîìå òîãî ìû äîëæíû îïëàòèòü ïðîöåíòû ïî êðåäèòó çà ýòîò ãîä. Êàêóþ ñóììó ìû çàïëàòèëè â ñ÷¼ò ïîãàøåíèÿ ïðîöåíòîâ? Êàêóþ ñóììó ìû çàïëàòèëè â îáùåé ñëîæíîñòè? Êàêóþ ñóììó ìû äîëæíû áàíêó íà íà÷àëî ñëåäóþùåãî ãîäà? Çàäà÷à 4. 1 È. À. Õîâàíñêàÿ, È. Â. Ùóðîâ, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, Ê. È. Ñîíèí (ÐÝØ) ×åëîâåê ñîáèðàåòñÿ âçÿòü êðåäèò 30.000 ðóáëåé ïîä 10% ãîäîâûõ. Ñîãëàñíî óñëîâèþ êðåäèòà, åãî åæåãîäíûå âûïëàòû ïî ïîãàøåíèþ òåëà êðåäèòà ñîñòàâëÿþò 3000 ðóáëåé, êðîìå ýòîãî îí âûïëà÷èâàåò ïðîöåíòû ïî êðåäèòó (òàêèå ïëàòåæè îáû÷íî íàçûâàþò äèôôåðåíöèðîâàííûìè). Çàïîëíèòå òàáëèöó äàííûõ ïîãàøåíèÿ êðåäèòà. (Ñì. òàáë. 2.) Ñêîëüêî ëåò çàéì¼ò ïîãàøåíèå êðåäèòà? Êàêóþ ÷àñòü âûïëàò ñîñòàâëÿþò ïðîöåíòû ïî êðåäèòó â ïåðâûé ãîä âûïëàò? Âî âòîðîé?  òðåòèé?  ïðåäïîñëåäíèé? Çàäà÷à 5. Ñóììà êðåäèòà 30000 27000 24000 Ïîãàøåíèå òåëà êðåäèòà 3000 3000 Ïðîöåíòû ïî êðåäèòó Ñóììà âûïëàò çà ãîä 0.1 × 30000 = 3000 0.1 × 27000 = 2700 3000 + 3000 = 6000 3000 + 2700 = 5700 Òåëî êðåäèòà íà íà÷àëî ñëåäóþùåãî ãîäà 30000 − 3000 = 27000 27000 − 3000 = 24000 Òàáëèöà 2: Ñõåìà âûïëàò (äèôôåðåíöèðîâàííûå ïëàòåæè) ×åëîâåê ñîáèðàåòñÿ âçÿòü êðåäèò 100.000 ðóáëåé ïîä 10% ãîäîâûõ. Ñîãëàñíî óñëîâèþ êðåäèòà, åãî åæåãîäíûå âûïëàòû ïî ïîãàøåíèþ òåëà êðåäèòà ñîñòàâëÿþò 10000 ïëþñ ïðîöåíòû ïî êðåäèòó. Ñîñòàâüòå è çàïîëíèòå òàáëèöó äàííûõ ïîãàøåíèÿ êðåäèòà, àíàëîãè÷íóþ òàáëèöå èç çàäà÷è 40. Ñêîëüêî ëåò çàéì¼ò ïîãàøåíèå êðåäèòà? Êàêóþ ÷àñòü âûïëàò ñîñòàâëÿþò ïðîöåíòû ïî êðåäèòó â ïåðâûé ãîä âûïëàò? Âî âòîðîé?  òðåòèé?  ïðåäïîñëåäíèé? Çàäà÷à 6. Ìû áåð¼ì êðåäèò 40.000$ ïîä 10% ãîäîâûõ ñ óñëîâèåì ïîñòîÿííîé âûïëàòû 5.000$ åæåãîäíî (âêëþ÷àÿ ïðîöåíòû). Ðàññ÷èòàéòå, ÷åðåç ñêîëüêî ëåò ìû âûïëàòèì âåñü êðåäèò. Çàäà÷à 7. Ðàçäåë III Ñòàâêà âêëàäà ¾Íîðìàëüíûé¿ ñîñòàâëÿåò 5% â ãîä. Êàêóþ ñóììó ïîëó÷èò ÷åëîâåê, âëîæèâøèé 100 ðóáëåé ÷åðåç 2 ãîäà? Êàêóþ ñóììó ïîëó÷èò ÷åëîâåê, âëîæèâøèé 100 ðóáëåé ÷åðåç 5 ëåò? Êàêóþ ñóììó ïîëó÷èò ÷åëîâåê, âëîæèâøèé 100 ðóáëåé ÷åðåç 10 ëåò? Êàêóþ ñóììó ïîëó÷èò ÷åëîâåê, âëîæèâøèé 100 ðóáëåé ÷åðåç 12 ëåò? Ñêîëüêî íóæíî ïîëîæèòü â áàíê ñåé÷àñ, ÷òîáû ÷åðåç 5 ëåò ïîëó÷èòü 100 ðóáëåé? Ñêîëüêî íóæíî ïîëîæèòü â áàíê ñåé÷àñ, ÷òîáû ÷åðåç 15 ëåò ïîëó÷èòü 100 ðóáëåé? Çàäà÷à 8. a. b. c. d. e. f. Ñòàâêà âêëàäà ¾Åæåìåñÿ÷íûé¿ ñîñòàâëÿåò 1% â ìåñÿö. Êàêóþ ñóììó ïîëó÷èò ÷åëîâåê, âëîæèâøèé 100 ðóáëåé ÷åðåç 2 ìåñÿöà? Êàêóþ ñóììó ïîëó÷èò ÷åëîâåê, âëîæèâøèé 100 ðóáëåé ÷åðåç ïîëãîäà? Êàêóþ ïðîöåíòíóþ ñòàâêó â ãîäîâîì èñ÷èñëåíèè äà¼ò âêëàä ¾Åæåìåñÿ÷íûé¿? Êòî ïîëó÷èò áîëüøå: ÷åëîâåê, ïîëîæèâøèé 100 ðóáëåé íà ãîä íà âêëàä åæåìåñÿ÷íûé èëè ÷åëîâåê, ïîëîæèâøèé 100 ðóáëåé ïîä 10% ãîäîâûõ? Êòî ïîëó÷èò áîëüøå: ÷åëîâåê, ïîëîæèâøèé 100 ðóáëåé íà ãîä íà âêëàä åæåìåñÿ÷íûé èëè ÷åëîâåê, ïîëîæèâøèé 100 ðóáëåé ïîä 12% ãîäîâûõ? Çàäà÷à 9. a. b. c. d. e. ÂØÝ, 2011-12, ¾Àëãåáðà è àíàëèç¿ 2 È. À. Õîâàíñêàÿ, È. Â. Ùóðîâ, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, Ê. È. Ñîíèí (ÐÝØ) f. Êòî ïîëó÷èò áîëüøå: ÷åëîâåê, ïîëîæèâøèé 100 ðóáëåé íà ãîä íà âêëàä åæåìåñÿ÷íûé èëè ÷åëîâåê, ïîëîæèâøèé 100 ðóáëåé ïîä 13% ãîäîâûõ? Çàäà÷à 10. ñòàâêó 24%? Çàäà÷à 11. ñòàâêó 15%? Çàäà÷à 12. 200 ðóáëåé? Ñêîëüêî ïðîöåíòîâ íóæíî íà÷èñëÿòü åæåìåñÿ÷íî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ãîäîâóþ Ñêîëüêî ïðîöåíòîâ íóæíî íà÷èñëÿòü åæåìåñÿ÷íî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ãîäîâóþ Ñêîëüêî äåíåã íóæíî âëîæèòü ïîä 15% ãîäîâûõ, ÷òîáû ÷åðåç ïÿòü ëåò ïîëó÷èòü Îïðåäåëåíèå 1. Ïóñòü ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà ñîñòàâëÿåò i ïðîöåíòîâ â ãîä. Òîãäà n ðóá- n ëåé, ïîëó÷åííûå ÷åðåç ãîä, ìû áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíûìè 1+i/100 ðóáëåé ñåãîäíÿ. Åñëè ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà íå ìåíÿåòñÿ â òå÷åíèå k ëåò, ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî n ðóáëåé, ïî- ëó÷åííûå ÷åðåç k ëåò, ðàâíûìè n ðóáëåé ñåãîäíÿ. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî n ðóáëåé, (1+i/100)k ïîëó÷åííûå ÷åðåç k ëåò ïðè äåéñòâóþùåé ïðîöåíòíîé ñòàâêå i ïðîöåíòîâ â ãîä, ïðèâån ä¼ííûå ê ñåãîäíÿøíåìó äíþ, ñîñòàâëÿþò (1+i/100) k ðóáëåé. Ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà ñîñòàâëÿåò 15% ãîä. ×åìó ñîîòâåòñòâóåò ïëàò¼æ 200 ðóáëåé ÷åðåç ïÿòü ëåò, ïðèâåä¼ííûé ê ñåãîäíÿøíåìó äíþ? Ñðàâíèòå ñ ðåçóëüòàòàìè çàäà÷è 12. Çàäà÷à 13. Ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà ñîñòàâëÿåò 10% ãîäîâûõ. Ñêîëüêî íóæíî âåðíóòü äåíåã ÷åëîâåêó, çàíÿâøåìó 100 ðóáëåé íà òðè ãîäà? Âñå ïëàòåæè, âêëþ÷àÿ ïðîöåíòû, âûïëà÷èâàþòñÿ åäèíîâðåìåííî, ïî îêîí÷àíèè òð¼õ ëåò. Çàïèøèòå ïîëó÷åííîå ðåøåíèå â òåðìèíàõ ïëàòåæåé, ïðèâåä¼ííûõ ê ñåãîäíÿøíåìó äíþ. Çàäà÷à 14. Ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà ïî êðåäèòó â áàíêå ñîñòàâëÿåò 15% ãîäîâûõ. Ôèðìà áåð¼ò êðåäèò â 100 òûñÿ÷ äîëëàðîâ. Ïåðâûé òðàíø ôèðìà ïîëó÷àåò â ìîìåíò âçÿòèÿ êðåäèòà, îí ñîñòàâëÿåò 60 òûñÿ÷ äîëëàðîâ. Âòîðîé òðàíø ôèðìà ïîëó÷àåò ÷åðåç äâà ãîäà, îí ñîñòàâëÿåò 40 òûñÿ÷ äîëëàðîâ. Âåðíóòü êðåäèò ôèðìà îáÿçóåòñÿ ÷åðåç ïÿòü ëåò ïîñëå âçÿòèÿ êðåäèòà, ïðîöåíòû ïî êðåäèòó âûïëà÷èâàþòñÿ òîãäà æå. Ñêîëüêî äåíåã äîëæíà ôèðìà âåðíóòü áàíêó? Çàïèøèòå ïîëó÷åííîå ðåøåíèå â òåðìèíàõ ïëàòåæåé, ïðèâåä¼ííûõ ê ñåãîäíÿøíåìó äíþ. Çàäà÷à 15. Çàäà÷à 16. Ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà ïî êðåäèòó ñîñòàâëÿåò 10% ãîäîâûõ. Ôèðìà áåð¼ò êðåäèò â 100 òûñÿ÷ äîëëàðîâ. Ïåðâûé òðàíø ôèðìà ïîëó÷àåò â ìîìåíò âçÿòèÿ êðåäèòà, îí ñîñòàâëÿåò 60 òûñÿ÷ äîëëàðîâ. Âòîðîé òðàíø ôèðìà ïîëó÷àåò ÷åðåç äâà ãîäà, îí ñîñòàâëÿåò 40 òûñÿ÷ äîëëàðîâ. Âåðíóòü êðåäèò ôèðìà îáÿçóåòñÿ ÷åðåç ïÿòü ëåò ïîñëå âçÿòèÿ êðåäèòà, ïðîöåíòû ïî êðåäèòó âûïëà÷èâàþòñÿ åæåãîäíî. Ñêîëüêî äåíåã äîëæíà âåðíóòü ôèðìà áàíêó? Çàïèøèòå âñå äåéñòâèÿ â òåðìèíàõ ïëàòåæåé, ïðèâåä¼ííûõ ê ñåãîäíÿøíåìó äíþ. Ôèðìà ïîëó÷èëà â áàíêå êðåäèò íà 100 òûñÿ÷ äîëëàðîâ. Ïî óñëîâèþ êðåäèòà, ôèðìà âåðíóëà êðåäèò ÷åðåç ÷åòûðå ãîäà, ïëàò¼æ âìåñòå ñ ïðîöåíòàìè ñîñòàâèë 146410 äîëëàðîâ. Ïîä êàêèå ïðîöåíòû áûë âçÿò êðåäèò? Çàïèøèòå âñå äåéñòâèÿ â òåðìèíàõ ïëàòåæåé, ïðèâåä¼ííûõ ê ñåãîäíÿøíåìó äíþ. Çàäà÷à 17. Îïðåäåëåíèå 2. Ýôôåêòèâíîé ïðîöåíòíîé ñòàâêîé ïî êðåäèòó íàçûâàåòñÿ òàêàÿ ïðî- öåíòíàÿ ñòàâêà, ïðè êîòîðîé ñóììà âñåõ äåíåæíûõ ïîòîêîâ, ïðèâåä¼ííûõ ê ñåãîäíÿøíåìó äíþ, ðàâíà íóëþ. Ïîëó÷åííûå äåíüãè ñ÷èòàþòñÿ ñî çíàêîì ïëþñ, îòäàííûå ñî çíàêîì ìèíóñ. ÂØÝ, 2011-12, ¾Àëãåáðà è àíàëèç¿ 3 È. À. Õîâàíñêàÿ, È. Â. Ùóðîâ, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, Ê. È. Ñîíèí (ÐÝØ) Ôèðìà ïîëó÷èëà â áàíêå êðåäèò íà 100 òûñÿ÷ äîëëàðîâ. Ïî óñëîâèþ êðåäèòà, ôèðìà âåðíóëà êðåäèò ÷åðåç ÷åòûðå ãîäà, ïëàò¼æ âìåñòå ñ ïðîöåíòàìè ñîñòàâèë 146410 äîëëàðîâ. Íàéäèòå ýôôåêòèâíóþ ïðîöåíòíóþ ñòàâêó. Ñðàâíèòå ñ ðåøåíèåì çàäà÷è 17. Çàäà÷à 18. Áàíê îáÿçàëñÿ îïëàòèòü ñòóäåíòó äâóõëåòíåå îáó÷åíèå íà ñëåäóþùèõ óñëîâèÿõ: çà ïåðâûé ãîä âûïëà÷èâàåòñÿ 5.000$, çà âòîðîé 7.000$, à ïî îêîí÷àíèè äâóõ ëåò ñòóäåíò äîëæåí âåðíóòü áàíêó 15.000$. Íàéäèòå ýôôåêòèâíóþ ïðîöåíòíóþ ñòàâêó áàíêà. Çàäà÷à 19. Íà ðàçâèòèå áèçíåñà ôèðìà âçÿëà â áàíêå 40.000$, à çàòåì ÷åðåç ãîä åù¼ 20.000$. Åù¼ ÷åðåç ãîä ôèðìà âåðíóëà áàíêó 66.000$. Êàêîâà ýôôåêòèâíàÿ ïðîöåíòíóþ ñòàâêó ïî ýòîìó êðåäèòó? Çàäà÷à 20. Áàíê îáÿçàëñÿ îïëàòèòü ñòóäåíòó äâóõëåòíåå îáó÷åíèå íà ñëåäóþùèõ óñëîâèÿõ: çà ïåðâûé ãîä âûïëà÷èâàåòñÿ 7.000$, çà âòîðîé 10.000$, à ïî îêîí÷àíèè äâóõ ëåò ñòóäåíò äîëæåí âåðíóòü áàíêó 20.000$. Êàêîâà ýôôåêòèâíàÿ ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà ïî ýòîìó êðåäèòó? Çàäà÷à 21. Äîïîëíèòåëüíûå çàäàíèÿ Íàó÷èòüñÿ çàïîëíÿòü òàáëèöû èç çàäà÷ 2 è 5 ïðè ïîìîùè ïðîãðàììû Microsoft Excel (èëè ñ ïîìîùüþ å¼ àíàëîãà). Çàäàíèå 1. Íàó÷èòüñÿ èñêàòü ýôôåêòèâíóþ ïðîöåíòíóþ ñòàâêó ïðè ïîìîùè ïðîãðàììû Excel. Äëÿ ýòîãî èçó÷èòå ôèíàíñîâûå ôóíêöèè ÂÑÄ è/èëè ×ÈÑÒÂÍÄÎÕ (â àíãëîÿçû÷íîé âåðñèè XIRR). Çàäàíèå 2. Âçÿòü óñëîâèÿ êðåäèòà â ëþáîì áàíêå, óçíàòü î äîïîëíèòåëüíûõ ïëàòåæàõ èëè ïîïðîñèòü ðàñïèñàòü ñõåìó âûïëàò. Íàéòè ýôôåêòèâíóþ ïðîöåíòíóþ ñòàâêó.  ðàáîòå íåîáõîäèìî óêàçàòü âñå èñòî÷íèêè èñïîëüçîâàííîé èíôîðìàöèè. Íå áåðèòåñü çà ýòî çàäàíèå, íå íàó÷èâøèñü ïîëüçîâàòüñÿ ôèíàíñîâûìè ôóíêöèÿìè Excel èëè äðóãîé ïðîãðàììû, âû÷èñëåíèå ýôôåêòèâíîé ïðîöåíòíîé ñòàâêè ¾âðó÷íóþ¿ ñëîæíàÿ è íå âñåãäà ðåøàåìàÿ çàäà÷à, òðåáóþùàÿ áîëüøèõ âû÷èñëåíèé. Çàäàíèå 3. ÂØÝ, 2011-12, ¾Àëãåáðà è àíàëèç¿ 4