Теория выбора в условиях неопределенности - 2 Приложения теории ожидаемой полезности: ¾

Факультет мировой экономики
и мировой политики НИУ ВШЭ,
2011-2012
Ю.В. Автономов
Теория выбора в условиях
неопределенности - 2
¾Приложения теории ожидаемой полезности:
модель спроса на страховку
¾ Частный случай: спрос рискофоба на актуарно
справедливую страховку
¾ Модель спроса на страховку в терминах
контингентных благ
¾ Функция ожидаемой полезности в пространстве
контингентных благ: иллюстрация отношения к риску
Примеры использования теории ожидаемой полезности:
модель спроса на страховку
- индивид-рискофоб, предпочтения описываются функцией
ожидаемой полезности
- первоначальное богатство составляет w
- с вероятностью p ∈ (0; 1) происходит несчастный случай
- если он происходит, индивид несет потери L ∈ (0; w)
- Страховая компания предлагает индивиду застраховать ущерб:
- стоимость страховки: γ за каждую единицу покрытия (то есть,
заплатив γx долларов, индивид, в случае наступления ущерба,
получит возмещение x долларов).
На какую сумму индивид застрахует свой ущерб?
Индивид стремится выбрать размер покрытия x так, чтобы
максимизировать свою ожидаемую полезность:
max pv( w − L + x − γ x ) + (1 − p )v ( w − γ x )
L ≥ x ≥0
Индивид – рискофоб, v(.) – строго вогнутая функция
Æ функция ожидаемой полезности тоже строго вогнута.
Условия первого порядка, необходимые и достаточные для ее
максимизации:
pv '( w − L + x − γ x )(1 − γ ) − (1 − p )v '( w − γ x )γ = 0, L > x > 0
(1)
pv '( w − L + x − γ x )(1 − γ ) − (1 − p )v '( w − γ x )γ ≤ 0, x = 0
(2)
pv '( w − L + x − γ x )(1 − γ ) − (1 − p )v '( w − γ x )γ ≥ 0, x = L
(3)
Так на какую же сумму индивид застрахует ущерб?
Чтобы ответить, нам нужны какие-то предположения о p, γ и v(.)!
Рассмотрим один из наиболее важных случаев: случай актуарно
справедливой страховки, при которой цена единицы страхового
покрытия равна вероятности наступления страхового случая: γ = p.
Перепишем выведенные ранее условия первого порядка, заменив γ на p.
Начнем с условия (3):
pv '( w − L + x − px )(1 − p ) − (1 − p )v '( w − px ) p ≥ 0, x = L
Разделим это неравенство на p(1 – p) и подставим x = L:
v '( w − pL) − v '( w − pL) ≥ 0
Условия первого порядка выполнены – x = L является решением
задачи рискофоба.
при актуарно справедливой страховке, рискофоб всегда страхуется
на полную стоимость ущерба!
Контингентные блага
Для описания выбора в условиях неопределенности иногда бывает
удобно переопределить понятие блага:
- Пусть S – мн-во состояний мира
- ps – объективная вероятность состояния мира s Œ S
Будем называть контингентным благом xis право на получение
x единиц i-того физического блага в состоянии мира s.
Реальный пример контингентного блага – опцион.
Эта конструкция оказывается очень полезной при формулировке,
например, моделей общего равновесия в экономике с неопределенностью.
Но помимо этого, она позволяет создавать красивые и удобные
иллюстрации для более простых моделей – например, модели
спроса на страховку Î
Модель спроса на страховку в терминах
контингентных благ
Вернемся к модели спроса на страховку.
В ней фигурирует только одно физическое благо – деньги или
богатство, и имеется два состояния мира:
L: страховой случай наступает (вероятность: p)
NL: страховой случай не наступает (вероятность: 1 – p)
Таким образом, можно задать два контингентных блага:
xL: богатство в состоянии мира L
xNL: богатство в состоянии мира NL
Предположительно, вначале агент не имеет никакой страховки,
поэтому его богатство составляет w – L рублей, если страховой случай
наступает, и w, если он не наступает. Таким образом, его
первоначальный запас контингентных благ:
(w – L, w)
Выведем уравнение бюджетной линии в терминах
контингентных благ:
Как и прежде, обозначим объем приобретаемой индивидом страховки
за x. Тогда богатство индивида в состояниях мира L и NL описывается
следующей системой:
⎧XL = w − L −γ x + x
⎪
⎨ X NL = w − γ x
⎪0 ≤ x ≤ L
⎩
Чтобы получить уравнение бюджетной линии в терминах контингентных благ,
выразим x из второго уравнения системы и подставим в первое.
После некоторых преобразований,
мы получим:
XL +
1−γ
γ
X NL = w − L +
w − L ≤ X L ≤ w − γ L;
w − γ L ≤ X NL ≤ w;
1−γ
γ
w;
А вот графическая иллюстрация бюджетного ограничения в модели
спроса на страховку в терминах контингентных благ:
XNL
бюджетная линия
ω
w
w –γL
«безрисковая линия»
0
w–L
w – γL
XL
Примеры предпочтений в пространстве
контингентных благ.
NB! В наших иллюстрациях мы будем опираться на т.н. обобщенную функцию
ожидаемой полезности, в которой элементарная ф-ция полезности v(.) может
зависеть от состояния мира.
Пример 1:
XNL
Индивид заботится
только о своем богатстве
в состоянии мира L.
Как мог бы рассуждать человек,
наделенный такими предпочтениями?
0
XL
Пример 2:
XNL
Индивид заботится только о
своем богатстве в состоянии
мира NL.
0
XL
Пример 3: Индивид, нейтральный к риску. Его обобщенная функция
ожидаемой полезности имеет вид:
U(.) = pLvL(xL) + (1 – pL)vNL(xNL)
где vL(xL) = aL + bLxL и vNL(xNL) = aNL + bNLxNL
Предельная норма замещения блага контингентного блага xL
контингентным благом xNL для такого агента постоянна и
отрицательна:
MRSxL xNL
pLbL
=−
(1 − pL )bNL
XNL
Кривые безразличия функции
ожидаемой полезности
этих людей представляют собой
прямые линии.
0
XL
Пример 4: Рассмотрим радикальную форму рискофобии, когда
индивид заботится только о той сумме, которую он получит
гарантированно (независимо от состояния мира), а в возможность
случайно выиграть что-то сверх нее он просто не верит.
XNL
0
безрисковая линия
XL
Пример 5: Рассмотрим классического рискофоба, чья элементарная
функция полезности строго вогнута и не зависит от состояния мира.
Его функция ожидаемой полезности имеет вид:
U(.) = pLv(xL) + (1 – pL)v(xNL)
где v’(.) > 0, v”(.) < 0
Модуль предельной нормы замещения контингентного блага xL
контингентным благом xNL
непрерывно убывает
XNL
по xL (и непрерывно
возрастает по xNL):
MRSxL xNL =
pL v '( xL )
(1 − pL )v '( xNL )
Кривые безразличия функции
ожидаемой полезности
для него строго выпуклы.
0
XL
Пример 6: Рассмотрим классического рискофила, чья элементарная
функция полезности строго выпукла и не зависит от состояния мира.
Рассуждая аналогично предыдущему случаю, можно показать, что
кривые безразличия его функции ожидаемой полезности строго
вогнуты:
XNL
0
XL
Вернемся к нашей модели, и проиллюстрируем рассмотренный ранее
пример со спросом рискофоба на актуарно справедливую страховку:
XNL
XL = XNL, “certainty line”
U = pv( X L ) + (1 − p)v( X NL )
w
w
tgα = −
γ
1− γ
w – γL
XL +
0
w–L
w – γL
α
1− γ
γ
X NL = w − L +
1− γ
γ
w
XL