1. Мария ожидает, что её доход составят $100. Если она серьезно заболеет, то доход снизится до $49. Мария считает, что вероятность заболеть равна 1/3. Функция полезности Марии имеет вид uy y , где y - её доход. Предположим, что нейтральная к риску страховая компания предлагает Марии застраховать потери. (а) Какую максимальную премию (Xmax) готова заплатить Мария за полную страховку? (б) При какой минимальной премии (Xmin) страховая компания готова продать полис с полным страховым покрытием? (в) Приведите графическое решение для пунктов (а) и (б): (1) в пространстве контингентных благ, (2) в пространстве богатство-полезность. Сравните X max и X min и приведите интуитивное объяснение. (г) Предположим, что Мария может приобрести любое количество страховки при страховой премии, равной $0.4 за $1 страхового покрытия. Найдите ее спрос на страховку. (д) Рассмотрите индивида-рискофоба, который находится в такой же ситуации, как и Мария. Пусть ему предлагают приобрести страховку, но страховая премия за единицу покрытия является неблагоприятной. Если данный индивид находит выгодным приобретение данной страховки, то как изменится его спрос на страховку при увеличении вероятности болезни? 2. Рассмотрите модификацию задачи #2. Пусть страховка не доступна, но Мария может объединить риски с Михаилом, который оказался в аналогичной ситуации. Считайте, что риск заболеть у Михаила идентичен, но риски являются независимыми. (a) Согласится ли Мария на объединение рисков с Михаилом? (б) Согласится ли Михаил объединить риски с Марией, если он является рискофилом? 3. Рассмотрите индивида с элементарной функцией полезности ux , ux 0 , ux 0 и первоначальным богатством w , который может понести потери L ( 0 L w) с вероятностью p , 0 p 1 . Страховая компания предлагает индивиду приобрести полис с полным покрытием. В случае отказа индивид останется в точке первоначального запаса (т.е. приобретение полиса с частичным покрытием невозможно). Верно ли, что этот индивид никогда не будет покупать предлагаемый полис с полным покрытием при неблагоприятной цене? 4. Индивид с первоначальным богатством $5 может инвестировать в рисковый проект, который с вероятностью 2/3 принесет ему чистую прибыль в $3, а с вероятностью 1/3 чистая прибыль составит $, где -5<0 (т.е., будут иметь место потери). Элементарная функция полезности агента имеет вид u(x)=ln(1+x). (a) Найдите все значения , при которых этот индивид не будет инвестировать в данный проект. (б) Пусть агент может разделить риск с несколькими соинвесторами. Предполагая, что соинвесторы делят прибыли и убытки поровну, какое количество соинвесторов выбрал бы данный индивид при =-4, не учитывая ограничение на целочисленность количества инвесторов. (Выпишите оптимизационную задачу и решите ее. Другие варианты не оцениваются). (в) Приведите графическое решение пунктов (a) и (б) на одном графике в осях контингентных благ. (г) Рассмотрите произвольный инвестиционный проект с двумя исходами, один из которых приносит положительную чистую прибыль b>0, а другой – убытки a<0. Покажите алгебраически, что для любого индивида-рискофоба оптимальное количество соинвесторов не убывает c ростом a. 5. Рассмотрите три инвестиционных проекта A, B и C, тоходности которых зависят от состояния мира (см.таблицу ниже). probability 0.25 0.5 0.25 Project State of the world Bad times Normal times Good times A B C 1 9 16 36 16 1 16 1 12 (a) Предпочтения индивида представим функцией ожидаемой полезности с элементарной функцией полезности вида ux lnx , где x - богатство. Отсрочив момент принятия решения, индивид может получить полную информацию относительно того, какое же из состояний мира будет иметь место. Найдите максимальную цену, которую данный индивид готов заплатить за отсрочку принятия решения. (б) Как изменится ваш ответ на пункт (а) для индивида, который нейтрален к риску? (в) Сравните цены, найденные в пунктах (а) и (б). Может ли этот результат быть обобщен для любого набора рисковых инвестиционных проектов? 6. 1 Figures a), b) define two random variables. Please, draw cumulative distribution function. Figures c), d) define Probability density function and cumulative distribution function of two random variables. Find expected value and compare variance. 1 From Eeckhoudt L., Gollier C., Schlesinger H.. Economic and Financial Decisions under Risk. Princeton University Press, 2005. p. 29. p. 31. (c) (d) Discuss stochastic dominance relation. Which random variable is more riskier? 7.2 Let random variables X, Y such that P(X = 2)=1/5, P(X = 12) = 4/5; P(Y = 8)=4/5, P(Y = 18) = 1/5. a) Verify that EX = EY, Var(X) = Var(Y ). b) Consider the nondecreasing and concave utility function u(x) = log x (for x > 0). Does any risk averse individual feel indifferent between the two risky prospects X and Y? In other words, is Eu(X) = Eu(Y)? 2 From S. Sriboonchita, W.K. Wong, S. Dhompongsa, H.T. Nguyen. Stochastic dominance and applications to finance, risk and economics. CRC Press, 2009, p. 85-86.
