Все задачи 6 класса
реклама
Êðóæîê "Ìàòåìàòèêà, îáðàòíàÿ ñòîðîíà". Ïåðâûé ãîä îáó÷åíèÿ. 2007-2008 ó÷åáíûé ãîä. http://www.kazan-math.info/ ×àñòü 1. Âñòóïëåíèå. 1. Ìîæíî ëè êâàäðàò 1 × 1 îáëîæèòü ñî âñåõ ñòîðîí êâàäðàòàìè 10 × 10 âïëîòíóþ ê íåìó áåç íàëîæåíèÿ? 2.  ìåøêå 24 êã ãâîçäåé. Êàê, èìåÿ òîëüêî âåñû áåç ñòðåëêè, îòìåðèòü 9 êã ãâîçäåé? 3. ×åðâÿê ïîëçåò ïî ñòîëáó, íà÷àâ ïóòü îò åãî îñíîâàíèÿ. Êàæäûé äåíü îí ïðîïîëçåò ââåðõ íà 5 ñì, à çà êàæäóþ íî÷ü ñïîëçàåò âíèç íà 4 ñì. Êîãäà îí äîñòèãíåò âåðõóøêè ñòîëáà, åñëè åãî âûñîòà 75 ñì? 4.  ÿíâàðå íåêîòîðîãî ãîäà áûëî ÷åòûðå ïÿòíèöû è ÷åòûðå ïîíåäåëüíèêà. Êàêèì äíåì íåäåëè áûëî 20-å ÷èñëî ýòîãî ìåñÿöà? 5. Íà êíèæíîé ïîëêå ðÿäîì ñëåâà íàïðàâî ñòîÿò äâà òîìà Ïóøêèíà: ïåðâûé è âòîðîé. Ñòðàíèöû êàæäîãî òîìà èìåþò âìåñòå òîëùèíó 2 ñì, à îáëîæêà - êàæäàÿ - 2 ìì. ×åðâü ïðîãðûç (ïåðïåíäèêóëÿðíî ñòðàíèöàì) îò ïåðâîé ñòðàíèöû ïåðâîãî òîìà äî ïîñëåäíåé ñòðàíèöû âòîðîãî òîìà. Êàêîé ïóòü îí ïðîãðûç? 6. Ïåòÿ ãîâîðèò: ïîçàâ÷åðà ìíå áûëî 10 ëåò, à â ñëåäóþùåì ãîäó ìíå èñïîëíèòñÿ 13. Ìîæåò ëè òàêîå áûòü? 7. Ïÿòèêëàññíèê âûïèñàë â ñâîþ òåòðàäü ÷èñëà: 58, 59, 60, . . . , 630. Ñêîëüêî ÷èñåë íàïèñàë ïÿòèêëàññíèê? 8. Èç êíèãè âûïàë êóñîê, ïåðâàÿ ñòðàíèöà êîòîðîãî èìååò íîìåð 587, à íîìåð ïîñëåäíåé çàïèñûâàåòñÿ òåìè æå öèôðàìè â êàêîì-òî äðóãîì ïîðÿäêå. Ñêîëüêî ñòðàíèö â âûïàâøåì êóñêå? Êðóæîê "Ìàòåìàòèêà, îáðàòíàÿ ñòîðîíà". Ïåðâûé ãîä îáó÷åíèÿ. 2007-2008 ó÷åáíûé ãîä. http://www.kazan-math.info/ ×àñòü 2. Ìû íà÷èíàåì... 1. Íàçîâåì íàòóðàëüíîå ÷èñëî "ñèìïàòè÷íûì", åñëè â åãî çàïèñè âñòðå÷àþòñÿ òîëüêî íå÷åòíûå öèôðû. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ÷åòûðåõçíà÷íûõ "ñèìïàòè÷íûõ" ÷èñåë? 2. Äâîå÷íèê Èãíàò ïëîõî çàíèìàåòñÿ â øêîëå.  èòîãå îí çíàåò 22 ñîãëàñíûõ è 10 ãëàñíûõ áóêâ. Ñêîëüêî äâóõáóêâåííûõ ñëîâ çíàåò Èãíàò ñî ñëåäóþùèì óñëîâèåì: áóêâû äîëæíû áûòü ðàçëè÷íûå è â ñëîâå îáå áóêâû ëèáî ãëàñíûå, ëèáî ñîãëàñíûå. 3. Ìîæíî ëè êóá 1 × 1 × 1 îáëîæèòü ñî âñåõ ñòîðîí êóáàìè 10 × 10 × 10 âïëîòíóþ ê íåìó áåç íàëîæåíèÿ? 4. Íà ñêîâîðîäêå îäíîâðåìåííî ìîæíî æàðèòü íå áîëåå äâóõ êîòëåò. Îäíà ñòîðîíà êîòëåòû æàðèòñÿ ìèíóòó. Êàê áûñòðåå âñåãî îáæàðèòü 2007 êîòëåò ñ îáåèõ ñòîðîí? 5. Êàêèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ìåíüøèõ 200 000, áîëüøå: òåõ, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 8 è íå äåëÿòñÿ íà 9, èëè òåõ, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 9 è íå äåëÿòñÿ íà 8? 6. Ôèãóðà íà ðèñóíêå ñîñòàâëåíà èç êâàäðàòîâ. Íàéäèòå ñòîðîíó ëåâîãî íèæíåãî êâàäðàòà, åñëè ñòîðîíà ñàìîãî ìàëåíüêîãî êâàäðàòà ðàâíà 1. 7. Íàéòè íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, çàïèñàííîå ñ ïîìîùüþ äâîåê è òðîåê, ó êî- òîðîãî ñóììà è ïðîèçâåäåíèå öèôð äåëÿòñÿ íà 6. 8.  êëàññå 14 ÷åëîâåê çàíèìàþòñÿ ìóçûêîé, 8 ðèñîâàíèåì, è 10 òàíöàìè. Òðîå - ðèñîâàíèåì è òàíöàìè, ÷åòâåðî - ðèñîâàíèåì è ìóçûêîé, à ïÿòåðî ìóçûêîé è òàíöàìè. Îäíà òîëüêî Þëÿ ïîñåùàåò ñðàçó âñ¼. Ñêîëüêî ÷åëîâåê â êëàññå, åñëè èçâåñòíî, ÷òî êàæäûé õîäèò õîòÿ áû íà îäèí êðóæîê? Êðóæîê "Ìàòåìàòèêà, îáðàòíàÿ ñòîðîíà". Ïåðâûé ãîä îáó÷åíèÿ. 2007-2008 ó÷åáíûé ãîä. http://www.kazan-math.info/ ×àñòü 3. Âçâåøèâàåì, ñ÷èòàåì. 1. Àðáóç óðàâíîâåøèâàåò äûíþ è ñâ¼êëó. Äûíÿ óðàâíîâåøèâàåò êàïóñòó è ñâ¼êëó. Äâà àðáóçà âåñÿò ñòîëüêî æå, ñêîëüêî òðè êî÷àíà êàïóñòû. Âî ñêîëüêî ðàç äûíÿ òÿæåëåå ñâ¼êëû. 2. Èç òðåõ îäèíàêîâûõ ïî âèäó êîëåö îäíî íåñêîëüêî ëåã÷å äðóãèõ. Êàê íàéòè åãî îäíèì âçâåøèâàíèåì íà ÷àøå÷íûõ âåñàõ? 3. Êàêèì îáðàçîì ìîæíî ïðèíåñòè èç ðåêè 6 ëèòðîâ âîäû, åñëè èìååòñÿ òîëüêî äâà âåäðà: îäíî - åìêîñòüþ 4ë, äðóãîå - 9ë? 4.  ñòðàíå Ëèìïîïî 9 êîìàíä, ïðè÷¼ì ìåæäó êàæäûìè äâóìÿ áûëî ñûãðàíî ïî îäíîìó ìàò÷ó. Ñêîëüêî âñåãî áûëî ïðîâåäåíî ìàò÷åé? 5.  ìàãàçèíå "Âñå äëÿ ÷àÿ" â ïîíåäåëüíèê áûëî 5 ðàçíûõ ÷àøåê è 7 ðàçíûõ êðóæåê. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî êóïèòü îäèí èç ýòèõ ïðåäìåòîâ? 6. Ê ñðåäå â ìàãàçèíå "Âñå äëÿ ÷àÿ" ðàçîáðàëè âñå êðóæêè, íî ïðèâåçëè 3 ðàçíûõ áëþäöà (÷àøåê òàê è îñòàëîñü 5). Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî êóïèòü ÷àøêó ñ áëþäöåì? 7.  ÷åòâåðã â ìàãàçèí "Âñå äëÿ ÷àÿ" çàâåçëè åùå è 4 ÷àéíûå ëîæêè. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî êóïèòü êîìïëåêò èç ÷àøêè, áëþäöà è ëîæêè? 8. Íà äîñêå íàïèñàíû 10 åäèíèö è 10 äâîåê. Çà õîä ðàçðåøàåòñÿ ñòåðåòü äâå ëþáûå öèôðû è, åñëè îíè áûëè îäèíàêîâûìè, íàïèñàòü äâîéêó, à åñëè ðàçíûìè åäèíèöó. Åñëè ïîñëåäíÿÿ îñòàâøàÿñÿ íà äîñêå öèôðà åäèíèöà, òî âûèãðûâàåò ïåðâûé èãðîê, à åñëè äâîéêà òî âòîðîé. Äîêàæèòå, ÷òî èãðîê, êîòîðûé õîäèò âòîðûì, âñåãäà âûèãðûâàåò. Êðóæîê "Ìàòåìàòèêà, îáðàòíàÿ ñòîðîíà". Ïåðâûé ãîä îáó÷åíèÿ. 2007-2008 ó÷åáíûé ãîä. http://www.kazan-math.info/ ×àñòü 4. C÷èòàåì è äóìàåì. 1.  îëèìïèéñêîì òóðíèðå ó÷àñòâîâàëî 199 êîìàíä. Ñêîëüêî ìàò÷åé îíè ñûãðàëè? 2. Ìîæíî ëè óñòðîèòü òàêîé òðåíèðîâî÷íûé òóðíèð, ÷òîáû â í¼ì ó÷àñòâîâàëî 11 êî- ìàíä, è êàæäàÿ â í¼ì ñûãðàëà ðîâíî 3 ìàò÷à? 3. Ìîæíî ëè óñòðîèòü òàêîé òðåíèðîâî÷íûé òóðíèð, ÷òîáû â í¼ì ó÷àñòâîâàëî 8 êîìàíä, è êàæäàÿ â í¼ì ñûãðàëà ðîâíî 3 ìàò÷à? 4. Ìîæíî ëè íà ïëîñêîñòè îòìåòèòü 7 òî÷åê è ñîåäèíèòü èõ îòðåçêàìè (ñ êîíöàìè â ýòèõ òî÷êàõ) òàê, ÷òîáû èç êàæäîé òî÷êè âûõîäèëî ðîâíî ïî 3 îòðåçêà? 5. Çàìîñòèòå êâàäðàò 6 × 6 ïðÿìîóãîëüíèêàìè 1 × 4. 6.  ôóòáîëüíîé êîìàíäå (11 ÷åëîâåê) íóæíî âûáðàòü êàïèòàíà è åãî çàìåñòèòåëÿ. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ýòî ìîæíî ñäåëàòü? 7. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ïîñòàâèòü íà øàõìàòíóþ äîñêó áåëóþ è ÷åðíóþ ëàäüè òàê, ÷òîáû îíè íå áèëè äðóã äðóãà? 8. Èç ïóíêòîâ A è B îäíîâðåìåííî âûøëè äâà ïåøåõîäà.  ìîìåíò âñòðå÷è îäíîìó èç íèõ îñòàâàëîñü èäòè ÷àñ, à äðóãîìó 4 ÷àñà. Ñêîëüêî âðåìåíè øåë êàæäûé èç íèõ äî âñòðå÷è? Êðóæîê "Ìàòåìàòèêà, îáðàòíàÿ ñòîðîíà". Ïåðâûé ãîä îáó÷åíèÿ. 2007-2008 ó÷åáíûé ãîä. http://www.kazan-math.info/ ×àñòü 5. C÷èòàåì è äóìàåì 2. 1.  îäèí äåíü òóðíèðà îêàçàëîñü, ÷òî 8 êîìàíä ñûãðàëè ñîîòâåòñòâåííî 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 ìàò÷åé. Ìîãëî ëè òàêîå áûòü? 2. Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîé ìîìåíò òóðíèðà ñðåäè 11 êîìàíä íàéäóòñÿ äâå êîìàíäû, ñûãðàâøèå îäèíàêîâîå ÷èñëî ìàò÷åé. 3. ×åòûðå êîìàíäû A, B, C è D ïðîâåëè äðóã ñ äðóãîì íåñêîëüêî òðåíèðîâî÷íûõ ìàò÷åé. Èçâåñòíî, ÷òî êîìàíäà A ó÷àñòâîâàëà â 6 ìàò÷àõ, êîìàíäà B - â 5, Ñ - â 7, D - â 10. Ñêîëüêî âñåãî ñîñòîÿëîñü ìàò÷åé? 4. Òðè êîìàíäû A, B, C ïðîâåëè äðóã ñ äðóãîì íåñêîëüêî òðåíèðîâî÷íûõ ìàò÷åé. Èçâåñòíî, ÷òî êîìàíäà A ó÷àñòâîâàëà â 6 ìàò÷àõ, êîìàíäà B - â 7, Ñ - â 11. Ñêîëüêî ìàò÷åé ñûãðàëè äðóã ñ äðóãîì êîìàíäû À è Ñ? 5. Ó÷åíèê âûïîëíÿåò òåñò, ñîñòîÿùèé èç 20 âîïðîñîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ èìååò äâà âàðèàíòà îòâåòîâ - "âåðíî"èëè "íåâåðíî'. Ñêîëüêî ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ ðàçíûõ âàðèàíòîâ îòâåòà íà âåñü òåñò? 6. Èç êëàññà â 20 ÷åëîâåê âûáèðàþò ãðóïïó òåõ, êòî ïîéä¼ò â òåàòð. ×èñëî ÷åëîâåê â òàêîé ãðóïïå ìîæåò áûòü ëþáûì îò 0 äî 20 ÷åëîâåê. Êàêèì ÷èñëîì ñïîñîáîâ ìîæíî ñäåëàòü òàêîé âûáîð? 7. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè a + b äèëèòñÿ íà 7, òî è ÷èñëî aba òàêæå äåëèòñÿ íà 7. 8. Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà ïÿòè ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷èñåë äåëèòñÿ íà 5. Êðóæîê "Ìàòåìàòèêà, îáðàòíàÿ ñòîðîíà". Ïåðâûé ãîä îáó÷åíèÿ. 2007-2008 ó÷åáíûé ãîä. http://www.kazan-math.info/ ×àñòü 6. Ïî÷òè âñå ñòàðîå. 1. Ïÿòèêëàññíèê âûïèñàë â ñâîþ òåòðàäü ÷èñëà: 58, 59, 60, . . . , 630 (âñå ÷èñëà îò 58 äî 630). Ñêîëüêî öèôð íàïèñàë ïÿòèêëàññíèê? 2.  îäíîé 13-ìåòðîâîé êîìíàòå ÿ îáíàðóæèë íà ïîëó òðè îäèíàêîâûõ êîâðà, êàæäûé ïëîùàäüþ â 6 êâ.ì. Êàæäûé ïåðåêðûâàëñÿ ñ êàæäûì, è îáùàÿ ÷àñòü ëþáûõ äâóõ êîâðîâ áûëà ðàâíà 2 êâ.ì. À ïëîùàäü òîé ÷àñòè ïîëà, êîòîðàÿ áûëà ïîêðûòà âñåìè òðåìÿ êîâðàìè, îêàçàëàñü ðàâíîé 1 êâ.ì. Êàêàÿ ÷àñòü ïëîùàäè ïîëà íå áûëà ïîêðûòà íè îäíèì êîâðîì? 3. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ïîñòàâèòü íà äîñêó äâå ÷åðíûå ëàäüè òàê, ÷òîáû îíè íå áèëè äðóã äðóãà? 4. Âñåãäà ëè ñóììà äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷èñåë äåëèòüñÿ íà äâà? À ñóììà òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷èñåë ìîæåò ëè íå äåëèòüñÿ íà 3? 5. Êàêèõ âîñüìèçíà÷íûõ ÷èñåë áîëüøå: òåõ, ó êîòîðûõ ïåðâûå äâå öèôðû íå ïÿòåðêè, èëè òåõ, êîòîðûå íå äåëÿòñÿ íà 5? 6. Íåñêîëüêî (áîëüøå îäíîãî) øàõìàòèñòîâ ïðîâåëè ìåæäó ñîáîé ìàò÷-òóðíèð â íåñêîëüêî êðóãîâ (â îäíîì êðóãå êàæäûé ñ êàæäûì ñûãðàë ïî îäíîé ïàðòèè). Âî ñêîëüêî êðóãîâ ïðîøëî ýòî ñîðåâíîâàíèå, åñëè âñåãî áûëî ñûãðàíî 224 ïàðòèè? 7. Ðàçðåæüòå êâàäðàò íà òðåóãîëüíèêè òàê, ÷òîáû êàæäûé èç òðåóãîëüíèêîâ ãðàíè÷èë ðîâíî ñ òðåìÿ äðóãèìè. 8. Èìååòñÿ 19 êàìåííûõ ãëûá âåñîì 1,2 ò êàæäàÿ è 47 ãëûá âåñîì 1,1 ò êàæäàÿ. Íà÷àëüíèê ñòàíöèè õî÷åò ïîãðóçèòü èõ â äâà âàãîíà òàê, ÷òîáû îáùèé âåñ êàìíåé â íèõ áûë îäíèì è òåì æå. Ñìîæåò ëè îí ñäåëàòü ýòî, íå äðîáÿ êàìíè? Êðóæîê "Ìàòåìàòèêà, îáðàòíàÿ ñòîðîíà". Ïåðâûé ãîä îáó÷åíèÿ. 2007-2008 ó÷åáíûé ãîä. http://www.kazan-math.info/ ×àñòü 7. Ïî÷òè âñå ñòàðîå 2. 1. Ìîæíî ëè íà ïëîñêîñòè îòìåòèòü 6 òî÷åê è ñîåäèíèòü èõ íåïåðåñåêà- þùèìèñÿ îòðåçêàìè (ñ êîíöàìè â ýòèõ òî÷êàõ) òàê, ÷òîáû èç êàæäîé òî÷êè âûõîäèëî ðîâíî ïî 4 îòðåçêà? 2.  îäíîé 13-ìåòðîâîé êîìíàòå ÿ îáíàðóæèë íà ïîëó òðè îäèíàêîâûõ êîâðà, êàæäûé ïëîùàäüþ â 6 êâ.ì. Êàæäûé ïåðåêðûâàëñÿ ñ êàæäûì, è îáùàÿ ÷àñòü ëþáûõ äâóõ êîâðîâ áûëà ðàâíà 2 êâ.ì. À ïëîùàäü òîé ÷àñòè ïîëà, êîòîðàÿ áûëà ïîêðûòà âñåìè òðåìÿ êîâðàìè, îêàçàëàñü ðàâíîé 1 êâ.ì. Êàêàÿ ÷àñòü ïëîùàäè ïîëà íå áûëà ïîêðûòà íè îäíèì êîâðîì? 3.  êóçíèöå åñòü 4 êóçíåöà. Êàæäûé èç íèõ ìîæåò ïîäêîâàòü îäíó íîãó ëîøàäè çà 1 ìèíóòó. Îäíó ëîøàäü îäíîâðåìåííî ìîãóò ïîäêîâûâàòü íå áîëåå îäíîãî êóçíåöà. Çà êàêîå íàèìåíüøåå âðåìÿ ýòè êóçíåöû ïîäêóþò 4 ëîøàäè? à 5 ëîøàäåé? à 75? 4. Íàïèøèòå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ñîñòàâëåííîå èç âñåõ âîçìîæíûõ ðàçëè÷íûõ öèôð. 5. Íàïèøèòå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ñîñòàâëåííîå èç âñåõ âîçìîæíûõ ðàçëè÷íûõ öèôð, äåëÿùååñÿ áåç îñòàòêà íà 5. 6.  êëàññå èìååòñÿ 5 ðàçëè÷íûõ ðó÷åê è 6 êàðàíäàøåé. Íàòàøà ïðèøëà ðàíüøå âñåõ: Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè îíà ìîæåò âûáðàòü íàáîð èç ðó÷êè è êàðàíäàøà? 7. Íà âåðøèíó ãîðû âåäóò 5 äîðîã. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè òóðèñò ìîæåò ïîäíÿòüñÿ íà ãîðó è ñïóñòèòüñÿ ñ íå¼? À åñëè ñïóñê è ïîäú¼ì ïðîèñõîäèò ïî ðàçíûì ïóòÿì? 8.  ëåâîì íèæíåì óãëó øàõìàòíîé äîñêè 5 × 5 ñòîèò ôèøêà. Çà îäèí õîä ôèøêó ðàçðåøàåòñÿ ïåðåäâèíóòü íà îäíó êëåòêó âïðàâî èëè ââåðõ.  êàæäîé êëåòêå çàïèñûâàåòñÿ ÷èñëî ñïîñîáîâ ïåðåäâèíóòü ôèøêó èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ â äàííóþ êëåòêó. Êàêîå ÷èñëî çàïèñàíî â ïðàâîì âåðõíåì óãëó? Êðóæîê "Ìàòåìàòèêà, îáðàòíàÿ ñòîðîíà". Ïåðâûé ãîä îáó÷åíèÿ. 2007-2008 ó÷åáíûé ãîä. http://www.kazan-math.info/ Íó, ïîãîäè? Íå ìîæåò áûòü! Ïîÿñíåíèÿ.  áåññìåðòíîì ñîâåòñêîì ìóëüòôèëüìå "Íó, ïîãîäè!"áûëè äâà îñíîâíûõ ïåðñîíàæà: Âîëê è Çàÿö. Òàê êàê ýòîò ìóëüòôèëüì áåññìåðòåí, òî è âîçðàñò åãî ïåðñîíàæåé ìîæåò áûòü ñêîëü óãîäíî áîëüøèì. Ê òîìó æå, íèêîìó íå èçâåñòíî, íà ñêîëüêî ðàçëè÷àþòñÿ âîçðàñòà Âîëê è Çàéöà. Ñóùåñòâóåò ìíîãî èññëåäîâàòåëåé âîçðàñòîâ Âîëêà è Çàéöà, ïîðîé ïðèõîäÿùèå ê ïðîòèâîðå÷èâûì âûâîäàì. Èõ íàçûâàþò íóïîãîäèîëîãàìè. 1. Ïî ìíåíèþ îäíîãî èç íóïîãîäèîëîãîâ åñëè ê âîçðàñòó Âîëêà ïðèáàâèòü âîçðàñò Çàéöà, òî ïîëó÷èòüñÿ 28. Äàëåå îí óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè òî æå ñàìîå ñäåëàòü ÷åðåç íåñêîëüêî ëåò, òî ïîëó÷èòñÿ 51. Ìîæåò ëè ýòîò íóïîãîäèîëîã áûòü ïðàâûì? 2. Ïî ìíåíèþ äðóãîãî íóïîãîäèîëîãà åñëè ê âîçðàñòó Âîëêà ïðèáàâèòü âîçðàñò Çàéöà, òî ïîëó÷èòüñÿ 33. Äàëåå ýòîò æå íóïîãîäèîëîã óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè òî æå ñàìîå ñäåëàòü ÷åðåç íåñêîëüêî ëåò, òî ïîëó÷èòñÿ 88. Ìîæåò ëè óòâåðæäàòü, ÷òî ýòîò íóïîãîäèîëîã îøèáàåòñÿ? 3. Î÷åðåäíîé íóïîãîäèîëîã óòâåðæäàåò, ÷òî âîçðàñò Âîëêà è Çàéöà ñâÿçàí ñ äðóãèì ñîâåòñêèì ïåðñîíàæåì: ×åáóðàøêîé. Îí óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè ñëîæèòü âîçðàñòà âñåõ òðåõ ïåðñîíàæåé, òî ïîëó÷èòüñÿ 52. À åñëè ñëîæèòü èõ âîçðàñòà ÷åðåç íåñêîëüêî ëåò, òî ïîëó÷èòüñÿ 101. Ïðàâ ëè ýòîò íóïîãîäèîëîã? 4. Îðòîäîêñàëüíûé íóïîãîäèîëîã ñ÷èòàåò, ÷òî çàâåòíûå âîçðàñòà íàäî íå ñêëàäûâàòü, à óìíîæàòü. À òî÷íåå, îí äóìàåò, ÷òî åñëè óìíîæèòü âîçðàñò âîëêà íà âîçðàñò Çàéöà, òî ïîëó÷èòüñÿ 210. À åñëè ýòî æå ñäåëàòü ÷åðåç íåñêîëüêî ëåò, òî ïîëó÷èòüñÿ 345. Ïðàâ ëè ýòîò íóïîãîäèîëîã? 5. Ïî ìíåíèþ äðóãîãî îðòîäîêñàëüíûé íóïîãîäèîëîãà ïðè ïåðåìíîæåíèè âîçðàñòîâ Âîëêà è Çàéöà 252. À åñëè ýòî æå ñäåëàòü ÷åðåç íåñêîëüêî ëåò, òî ïîëó÷èòüñÿ 327. Ïðàâ ëè ýòîò íóïîãîäèîëîã? 6. Äðóãîé îðòîäîêñàëüíûé íóïîãîäèîëîã, ó÷åíèê íóïîãîäèîëîãà èç çàäà÷è 3 óòâåðæäàåò, ÷òî íàäî ïåðåìíîæèòü Âîçðàñòà Âîëêà, Çàéöà è ×åáóðàøêè è òîãäà ïîëó÷èì 1890. À åñëè ýòî æå ñäåëàòü ÷åðåç íåñêîëüêî ëåò, òî ïîëó÷èì 2157. Ïðàâèëüíî ëè äóìàåò ýòîò íóïîãîäèîëîã? 7. Ñàìûé õèòðûé íóïîãîäèîëîã ñ÷èòàåò, ÷òî åñëè ñëîæèòü âîçðàñòà Âîëêà, Çàéöà è ×åáóðàøêè, à ïîòîì ïðèáàâèòü ñóììó èõ ïîïàðíûõ ïðîèçâåäåíèé, òî ïîëó÷èòüñÿ 8430. À åñëè ñäåëàòü òî æå ñàìîå ÷åðåç íåñêîëüêî ëåò, òî ïîëó÷èì â èòîãå 13133. Ïðàâ ëè îí? Êðóæîê "Ìàòåìàòèêà, îáðàòíàÿ ñòîðîíà". Ïåðâûé ãîä îáó÷åíèÿ. 2007-2008 ó÷åáíûé ãîä. http://www.kazan-math.info/ ×àñòü 9. Äîëãîæäàííîîãðîìíàÿ. 1. Áàðîí Ìþíõãàóçåí ãîâîðèò, ÷òî, êàê áû íè ñòîÿëè íà øàõìàòíîé äîñêå 6 ëàäåé, íå áüþùèõ äðóã äðóãà, îí âñåãäà ñìîæåò äîáàâèòü åùå êîíÿ òàê, ÷òîáû íè îäíà èç ôèãóð íå áèëà äðóãóþ. Ïðàâ ëè îí? 2. Ôåäîòó âûñòàâèëè ãîäîâûå îöåíêè ïî 12 ïðåäìåòàì. Îêàçàëîñü, ÷òî åãî ñðåäíèé áàëë ðàâåí 3, 5. Ïî ñêîëüêèì ïðåäìåòàì â ñëåäóþùåì ãîäó îí äîëæåí óëó÷øèòü ñâîþ îöåíêó íà îäèí áàëë äëÿ òîãî, ÷òîáû ñðåäíèé áàëë ñòàë ðàâåí 4? 3. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, â çàïèñè êîòîðûõ öèôðû 1, 2, 3 âñòðå÷àþòñÿ ðîâíî ïî ðàçó? 4. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûëîæèòü â ðÿä êðàñíûé, ÷åðíûé, ñèíèé è çåëåíûé øàðèêè? 5. Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ ñëîâ (íå îáÿçàòåëüíî îñìûñëåííûõ) ìîæíî ïîëó÷èòü, ïåðåñòàâëÿÿ áóêâû ñëîâà "ÑÏÅÊÒÐ". 6. Ìîæíî ëè íà ïëîñêîñòè îòìåòèòü 6 òî÷åê è ñîåäèíèòü èõ íåïåðåñåêàþùèìèñÿ îòðåçêàìè (ñ êîíöàìè â ýòèõ òî÷êàõ) òàê, ÷òîáû èç êàæäîé òî÷êè âûõîäèëî ðîâíî ïî 4 îòðåçêà? 7. Ðàçðåæüòå êâàäðàò íà 5 ïðÿìîóãîëüíèêîâ òàê, ÷òîáû ó ñîñåäíèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ ñòîðîíû íå ñîâïàäàëè. 8. Ñóììà íåñêîëüêèõ ÷èñåë ðàâíà 1. Ìîæåò ëè ñóììà èõ êâàäðàòîâ áûòü ìåíüøå 0,01? 9. Ñêîëüêî ðåøåíèé èìååò ðåáóñ Â+Î+Ë+Ã+À=13, åñëè ãëàñíûå áóêâû - öèôðû îäíîé ÷¼òíîñòè, à ñîãëàñíûå - äðóãîé ÷¼òíîñòè? (ðàçíûå áóêâû ðàçíûå öèôðû) 10. Àëåøà Ïîïîâè÷ è Äîáðûíÿ Íèêèòè÷ âîþþò ñ äåâÿòèãëàâûì çìååì. Ïî î÷åðåäè áîãàòûðè õîäÿò ê åãî ïåùåðå è îòðóáàþò 1, 2 èëè 3 ãîëîâû. Êàê íà÷àâøåìó áîé Àëåøå îáðåñòè ñëàâó ïîáåäèòåëÿ çìåÿ (ò.å. îòðóáèòü ïîñëåäíþþ ãîëîâó)? À åñëè çìåé äâåíàäöàòèãëàâûé? 11. Ðàçíîñòü äâóõ öåëûõ ÷èñåë óìíîæèëè íà èõ ïðîèçâåäåíèå. Ìîãëî ëè ïîëó÷èòüñÿ ÷èñëî 2007? 12. Íà îêðóæíîñòè îòìå÷åíû 5 êðàñíûõ è 7 ñèíèõ òî÷åê. Ðàññìîòðèì âñåâîçìîæíûå îòðåçêè (õîðäû) ñ êîíöàìè â îòìå÷åííûõ òî÷êàõ. Ó ñêîëüêèõ îòðåçêîâ êîíöû à) ðàçíîãî öâåòà; á) îäèíàêîâîãî öâåòà? Êðóæîê "Ìàòåìàòèêà, îáðàòíàÿ ñòîðîíà". Ïåðâûé ãîä îáó÷åíèÿ. 2007-2008 ó÷åáíûé ãîä. http://www.kazan-math.info/ ×àñòü 10. Ðåøàåì íà êàíèêóëàõ! 1. Ëåñïðîìõîç ðåøèë âûðóáèòü ñîñíîâûé ëåñ, íî ýêîëîãè çàïðåòèëè. Òîãäà äèðåêòîð ëåñïðîìõîçà âñåõ óñïîêîèë, ñêàçàâ: " âàøåì ëåñó 99% ñîñåí. Ìû áóäåì ðóáèòü òîëüêî ñîñíû. Ïîñëå ðóáêè èõ îñòàíåòñÿ 96% îò âñåõ äåðåâüåâ". Êàêóþ ÷àñòü ëåñà âûðóáèò ëåñïðîìõîç? 2. ßíà è Èííà âûïèñûâàþò 12-çíà÷íîå ÷èñëî, ñòàâÿ öèôðû ïî î÷åðåäè, íà÷èíàÿ ñî ñòàðøåãî ðàçðÿäà. Íà÷èíàåò Èííà. Äîêàæèòå, ÷òî êàêèå áû öèôðû îíà íå ïèñàëà, ßíà âñåãäà ñìîæåò äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èâøååñÿ ÷èñëî äåëèëîñü íà 9. 3. Äàòó ïîñëåäíåãî äíÿ îêòÿáðÿ ìîæíî çàïèñàòü êàê 31 ∗ 10 ∗ 2007. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè âìåñòî çâ¼çäî÷åê ìîæíî ïîñòàâèòü äâå öèôðû òàê, ÷òîáû ïîëó÷èâøååñÿ äåñÿòèçíà÷íîå ÷èñëî äåëèëîñü íà 9? 4. Õóëèãàíû Ðóñòåì è Íèÿç ïîðâàëè ñòåíãàçåòó, ïðè÷åì Ðóñòåì ðâàë êàæäûé êóñîê íà 5 ÷àñòåé, à Íèÿç íà 9. Ïðè ïîïûòêå ñîáðàòü ñòåíãàçåòó Àëèíà íàøëà 2007 îáðûâêà. Äîêàæèòå, ÷òî îíà íàøëà íå âñå îáðûâêè. 5. Ïîäíèìàÿñü ïåøêîì ïî ëåñòíèöå ìíîãîýòàæíîãî äîìà Þðà íà ïîäú¼ì ìåæäó ïåðâûì è âòîðûì ýòàæîì ïîòðàòèë 10 ñåêóíä, à íà êàæäûé ñëåäóþùèé ïðîë¼ò ìåæäó ýòàæàìè òðàòèë íà 1 ñåêóíäó áîëüøå, ÷åì íà ïðåäûäóùèé. Ìåæäó êàêèìè ýòàæàìè áóäåò Þðà ÷åðåç 10 ìèíóò? 6. Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü ïåðèìåòð øåñòèêëåòî÷íîãî ìíîãîóãîëüíèêà íà êëåò÷àòîé ïëîñêîñòè (ñòîðîíà êëåòîê ðàâíà 1)? 7. Äâà ìóäðåöà íàïèñàëè íà êàðòî÷êàõ ÷èñëà îò 5 äî 11 è ïåðåìåøàëè èõ, ïîñëå ÷åãî ïåðâûé âçÿë ñåáå òðè èç íèõ, âòîðîé äâå, à îñòàâøèåñÿ äâå ìóäðåöû ñïðÿòàëè â ìåøîê. Ïåðâûé, ïîñìîòðåâ íà ñâîè êàðòî÷êè, âîñêëèêíóë: ß òî÷íî çíàþ, ÷òî ñóììà ÷èñåë íà òâîèõ êàðòî÷êàõ ÷¼òíà!"Êàêèå ÷èñëà íàïèñàíû íà êàðòî÷êàõ ïåðâîãî? 8. Ìîæíî ëè èç ïîëîñîê 1 × 1, 1 × 2, . . . , 1 × 13 ñëîæèòü ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè áîëüøå 1? Êðóæîê "Ìàòåìàòèêà, îáðàòíàÿ ñòîðîíà". Ïåðâûé ãîä îáó÷åíèÿ. 2007-2008 ó÷åáíûé ãîä. http://www.kazan-math.info/ ×àñòü 11. Îöåíêà+ïðèìåð. 1. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ïðÿìîóãîëüíèêîâ 1 × 5 ìîæíî âûðåçàòü èç êâàäðàòà 8 × 8? 2. Íà êëåò÷àòîé äîñêå 100 × 100 çàêðàñèëè n äîìèíîøåê. Îêàçàëîñü, ÷òî â êàæäîé ñòðîêå è â êàæäîì ñòîëáöå åñòü õîòÿ áû îäíà çàêðàøåííàÿ êëåòêà. Ïðè êàêîì íàèìåíüøåì n ýòî âîçìîæíî? 3. Íà êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî êóñî÷êîâ ìîæíî ðàçðåçàòü òðè êîðî÷êè õëåáà òðåìÿ ïðÿìîëèíåéíûìè ðàçðåçàìè, åñëè êóñî÷êè ìîæíî ñêëàäûâàòü äðóã íà äðóãà? 4. Êâàäðàò 10 × 10 õîòÿò ïîêðûòü êâàäðàòàìè 3 × 3 ñî ñòîðîíàìè, ïàðàëëåëüíûìè ñòîðîíàì áîëüøîãî êâàäðàòà. Êàêèì íàèìåíüøèì ÷èñëîì êâàäðàòîâ 3 × 3 ìîæíî îáîéòèñü? 5. Ó êàæäîãî èç 7 ÷ëåíîâ êîìàíäû íå áîëåå äâóõ áëèçêèõ ïðèÿòåëåé. Îêàçàâøèñü â îäíîì ïîìåùåíèè, äâà áëèçêèõ ïðèÿòåëÿ íà÷èíàþò íåïðåðûâíî áîëòàòü, è âñÿêàÿ ðàáîòà â ýòîì ïîìåùåíèè ïðåêðàùàåòñÿ. Ñêîëüêî êîìíàò íàâåðíÿêà õâàòèò êàïèòàíó ÷òîáû îáåñïå÷èòü áåñïåðåáîéíóþ ðàáîòó âñåé êîìàíäû. 6. Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî êîðàáëåé 1 × 2 ìîæíî óëîæèòü íà äîñêå 10 × 10 áåç íàðóøåíèÿ ïðàâèë "ìîðñêîãî áîÿ"? 7. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî êëåòî÷åê íà äîñêå 8 × 8 ìîæíî çàêðàñèòü â ÷åðíûé öâåò òàê, ÷òîáû â ëþáîì óãîëêå èç òðåõ êëåòî÷åê áûëî õîòÿ áû îäíà íåçàêðàøåííàÿ êëåòêà? 8. 20 øêîëüíèêîâ ðåøàëè çàäà÷è. Îäèí ðåøèë 18 çàäà÷, à îñòàëüíûå ìåíüøå. Äîêàçàòü, ÷òî êàêèå-òî 2 øêîëüíèêà ðåøèëè ïîðîâíó çàäà÷. Êðóæîê "Ìàòåìàòèêà, îáðàòíàÿ ñòîðîíà". Ïåðâûé ãîä îáó÷åíèÿ. 2007-2008 ó÷åáíûé ãîä. http://www.kazan-math.info/ ×àñòü 12. Ñ ìèðà ïî íèòêå. 1.  ñòðàíå Ñåìåðêà 15 ãîðîäîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ñîåäèíåí äîðîãàìè íå ìåíåå, ÷åì ñ ñåìüþ äðóãèìè. Äîêàæèòå, ÷òî èç ëþáîãî ãîðîäà ìîæíî äîáðàòüñÿ äî ëþáîãî äðóãîãî (âîçìîæíî, ïðîåçæàÿ ÷åðåç äðóãèå ãîðîäà). 2. ×èñëà 0, 1, 2, . . . , 9 çàïèñàíû ïî êðóãó. Çà îäèí õîä ðàçðåøàåòñÿ ïðèáàâèòü ê äâóì ñîñåäíèì ÷èñëàì îäíî è òî æå öåëîå ÷èñëî. Ìîæíî ëè çà íåñêîëüêî õîäîâ ïîëó÷èòü äåñÿòü íóëåé? 3. Ó Äèíàðû 4 êíèãè ïî ìàòåìàòèêå, à ó Ëåøè 5 (íà óäèâëåíèå âñå êíèãè ðàçíûå!). à) Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè Äèíàðà ìîæåò îòäàòü òðè êíèãè Ëåøå, ÷òî áû òîò ïîäãîòîâèë î÷åðåäíîå çàíÿòèå? á) Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè îíè ìîãóò îáìåíÿòüñÿ òðåìÿ êíèãàìè? 4. Åñëè ê íåêîòîðîìó äâóçíà÷íîìó ÷èñëó ïðèáàâèòü ñóììó åãî öèôð, åãî öèôðû ïîìåíÿþòñÿ ìåñòàìè. ×òî ýòî çà ÷èñëî? 5. Ëåøà ïðèíåñ ñ íàïóøêè î÷åðåäíóþ ïàðòèþ áóòÿâîê. Àëèíà âçÿëà ñåáå 1/3 âñåõ áóòÿâîê è åùå 1/3 áóòÿâêè. Ïîñëå ýòîãî ïðèøåë Âàäèì è òîæå âçÿë 1/3 âñåõ áóòÿâîê è åùå 1/3 áóòÿâêè. Çàòåì ïðèøåë Ïàøà è ïîñòóïèë òî÷íî òàê æå. Ìàøà âçÿëà ñåáå ïîëîâèíó îñòàâøèõñÿ áóòÿâîê è åùå ïîëáóòÿâêè. Íàêîíåö, Ìèëà òîæå âçÿëà ïîëîâèíó âñåõ áóòÿâîê è åùå ïîëáóòÿâêè. Çàïîçäàâøåìó Ðóñëàíó äîñòàëàñü âñåãî îäíà áóòÿâêà. Ñêîëüêî áóòÿâîê ïðèíåñ Èðåê ñ íàïóøêè? 6. Äàíî øåñòèçíà÷íîå ÷èñëî abcdef , ïðè÷åì abc − def äåëèòñÿ íà 7. Äîêàæèòå, ÷òî è ñàìî ÷èñëî äåëèòñÿ íà 7. 7. Ëàäüÿ ñòîèò â ïðàâîì âåðõíåì óãëó äîñêè 9 × 12. Çà îäèí õîä ðàçðåøàåòñÿ ñäâèíóòü åå íà ëþáîå ÷èñëî êëåòîê âëåâî èëè íà ëþáîå ÷èñëî êëåòîê âíèç. Ïðîèãðûâàåò òîò, êîìó íåêóäà õîäèòü. Êòî èç äâóõ èãðîêîâ âûèãðàåò ïðè ïðàâèëüíîé èãðå? 8. Äåñÿòè÷íàÿ çàïèñü ÷èñëà 5 · A ñîñòîèò èç 1000 íóëåé è 1000 åäèíèö. Íàéäèòå ñóììó öèôð ÷èñëà A. Êðóæîê "Ìàòåìàòèêà, îáðàòíàÿ ñòîðîíà". Ïåðâûé ãîä îáó÷åíèÿ. 2007-2008 ó÷åáíûé ãîä. http://www.kazan-math.info/ ×àñòü 13. È ñòàðîñòü, è ðàäîñòü. 1. à) Äàíî øåñòèçíà÷íîå ÷èñëî abcdef , ïðè÷åì abc − def äåëèòñÿ íà 11. Äîêàæèòå, ÷òî è ñàìî ÷èñëî äåëèòñÿ íà 13. á) 2. Äàíî øåñòèçíà÷íîå ÷èñëî abcdef , ïðè÷åì abc − def äåëèòñÿ íà 13. Äîêàæèòå, ÷òî è ñàìî ÷èñëî äåëèòñÿ íà 13. 3. Íà ïëîñêîñòè íàðèñîâàíû òî÷êè, ïðîíóìåðîâàííûå ÷èñëàìè îò 2 äî 30. Ïðè ýòîì äâå òî÷êè ñ íîìåðàìè a è b ñîåäèíåíû ðåáðîì òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè îäíî èç ÷èñåë a èëè b äåëèòñÿ íà äðóãîå. Íà ñêîëüêî íåñâÿçàííûõ ÷àñòåé ðàçáèâàåòñÿ äàííûé ðèñóíîê? 4.  òð¼õ âåðøèíàõ ïðàâèëüíîãî ïÿòèóãîëüíèêà ðàñïîëîæèëè ïî ôèøêå. Ðàçðåøàåòñÿ äâèãàòü èõ ïî äèàãîíàëè íà ñâîáîäíîå ìåñòî. Ìîæíî ëè òàêèìè äåéñòâèÿìè äîáèòüñÿ, ÷òîáû îäíà èç ôèøåê âåðíóëàñü íà ïåðâîíà÷àëüíîå ìåñòî, à äâå äðóãèå ïîìåíÿëèñü ìåñòàìè? 5. 2000 øàøåê âûñòàâëåíû â ðÿä. Ëþáûå äâå øàøêè, ñòîÿùèå ÷åðåç îäíó ìîæíî ïîìåíÿòü ìåñòàìè. Ìîæíî ëè ïåðåñòàâèòü øàøêè â îáðàòíîì ïîðÿäêå? 6. (Ïÿòü áðàòüåâ) Îäèí èç ïÿòè áðàòüåâ èñïåê ìàìå ïèðîã. Àíäðåé ñêàçàë: Ýòî Âèòÿ èëè Òîëÿ. Âèòÿ ñêàçàë: Ýòî ñäåëàë íå ÿ è íå Þðà. Òîëÿ ñêàçàë: Âû îáà øóòèòå. Äèìà ñêàçàë: Íåò, îäèí èç íèõ ñêàçàë ïðàâäó, à äðóãîé íåò. Þðà ñêàçàë: Íåò, Äèìà, òû íå ïðàâ. Ìàìà çíàåò, ÷òî òðîå èç åå ñûíîâåé âñåãäà ãîâîðÿò ïðàâäó. Êòî èñïåê ïèðîã? 7. (Åâðî-2008)  ôèíàë ÷åìïèîíàòà Åâðîïû âûõîäèëè äâå êîìàíäû. Äî ñîðåâíîâàíèé ïÿòü áîëåëüùèêîâ âûñêàçàëè ïðîãíîçû, ÷òî â ôèíàë âûéäóò êîìàíäû: 1) Ôðàíöèè è Ãîëëàíäèè; 2) Áåëüãèè è Èòàëèè; 3) Áåëüãèè è Ôðàíöèè; 4) Ðîññèÿ è Ãîëëàíäèè; 5) Ãîëëàíäèè è Èòàëèè. Îäèí ïðîãíîç îêàçàëñÿ ïîëíîñòüþ íåâåðíûì, à â îñòàëüíûõ áûëà ïðàâèëüíî íàçâàíà òîëüêî îäíà èç êîìàíä-ôèíàëèñòîê. Êàêèå êîìàíäû âûøëè â ôèíàë? 8. Ñóììà ïÿòè ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë ðàâíà 875. Íàéäèòå ýòè ÷èñëà. Êðóæîê "Ìàòåìàòèêà, îáðàòíàÿ ñòîðîíà". Ïåðâûé ãîä îáó÷åíèÿ. 2007-2008 ó÷åáíûé ãîä. http://www.kazan-math.info/ ×àñòü 14. Âñÿêîðàçíî. 1. Ïóëåìåò÷èê - ëàäüÿ, áüþùàÿ òîëüêî â îäíó èç ÷åòûð¼õ ñòîðîí. Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî ïóëåìåò÷èêîâ ìîæíî ïîñòàâèòü íà øàõìàòíóþ äîñêó, ÷òîáû îíè íå áèëè äðóã äðóãà? 2.  10 ìåøêàõ ëåæàò 1000 îðåõîâ, ïðè÷¼ì âî âñåõ ìåøêàõ êîëè÷åñòâî îðåõîâ ðàçíîå. Äàëåå ìíîãîêðàòíî âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ îïåðàöèÿ: èç ìåøêà, â êîòîðîì áîëüøå âñåãî îðåõîâ, âûíèìàåòñÿ 9 îðåõîâ, êîòîðûå ðàñêëàäûâàþòñÿ ïî îäíîìó îðåõó â êàæäûé èç îñòàëüíûõ ìåøêîâ. Äîêàæèòå, ÷òî íàñòóïèò ìîìåíò, êîãäà â êàêèõ-òî äâóõ ìåøêàõ îðåõîâ ñòàíåò ïîðîâíó. 3. Ñåìü õîááèòîâ ðîñòîì 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 äåöèìåòðîâ âñòàëè â õîðîâîä. Ãýíäàëüô èçìåðèë ðàçíîñòè ðîñòà âñåõ ïàð ñîñåäíèõ õîááèòîâ è ñëîæèë ñåìü ïîëó÷èâøèõñÿ ÷èñåë. Êàêîå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ìîæåò èìåòü ýòà ñóììà? 4. Äâà èãðîêà èãðàþò, äåëàÿ õîäû ïî î÷åðåäè.  ñâîé õîä êàæäûé èãðîê ïèøåò íå äåëÿùååñÿ íè íà 2, íè íà 5 íàòóðàëüíîå ÷èñëî, â çàïèñè êîòîðîãî íå áîëåå äâóõ öèôð. Ïðîèãðûâàåò òîò èãðîê, ïîñëå õîäà êîòîðîãî ñóììà âñåõ âûïèñàííûõ ÷èñåë â ïåðâûé ðàç ïðåâûñèò 1000. Êòî âûèãðàåò ïðè ïðàâèëüíîé èãðå? 5. æ è Çàÿö áèëè â êîìíàòå êîìàðîâ. æ áèë êîìàðîâ äâåðüþ, ïðè÷åì êàæäûì ñâîèì óäàðîì îí óáèâàë 500 êîìàðîâ, îäíàêî â ýòî âðåìÿ â îòêðûòóþ äâåðü çàëåòàëî 925 êîìàðîâ. Çàÿö æå áèë êîìàðîâ ôóìèãàòîðîì, óáèâàÿ îäíèì óäàðîì 323 êîìàðà. Èçâåñòíî, ÷òî îíè ëåãëè ñïàòü, óáèâ âñåõ êîìàðîâ. Ìîãëî ëè ïåðâîíà÷àëüíî â êîìíàòå íàõîäèòüñÿ ðîâíî 2004 æèâûõ êîìàðà? 6. Ñåìèêëàññíèê ðàçðåçàë áóìàæíûé êâàäðàò íà ïðÿìîóãîëüíèêè ïåðèìåòðà 7 ñì, à âîñüìèêëàññíèê - òî÷íî òàêîé æå êâàäðàò íà ïðÿìîóãîëüíèêè ïåðèìåòðà 8 ñì. Ìîæåò ëè ó âîñüìèêëàññíèêà ïîëó÷èòüñÿ áîëüøå ïðÿìîóãîëüíèêîâ, ÷åì ó ñåìèêëàññíèêà? 7. Íà êðóæêå ôèçèêè ó÷èòåëü ïîñòàâèë ñëåäóþùèé ýêñïåðèìåíò. Îí ðàçëîæèë íà ÷àøå÷íûå âåñû 16 ãèðåê ìàññàìè 1, 2, 3, . . ., 16 ãðàììîâ òàê, ÷òî îäíà èç ÷àøåê ïåðåâåñèëà. Ïÿòíàäöàòü ó÷åíèêîâ êëàññà ïî î÷åðåäè âûõîäèëè èç êëàññà è çàáèðàëè ñ ñîáîé îäíó ãèðüêó, ïðè÷åì ïîñëå âûõîäà êàæäîãî ó÷åíèêà ïåðåâåøèâàëà ïðîòèâîïîëîæíàÿ ÷àøêà âåñîâ. Êàêàÿ ãèðüêà îñòàëàñü íà âåñàõ? 8. Ëåøà, Êàìèëü, Âàäèì, Ñòåïàí è Àëåêñàíäð Ñåðãååâè÷ åëè êîíôåòû (ïðè÷åì íå äåëÿ èõ íà ÷àñòè). Êîãäà âñå êîíôåòû êîí÷èëèñü, èõ ñïðîñèëè: "Êòî ñêîëüêî ñúåë êîíôåò?"Íà ÷òî îíè îòâåòèëè: Ëåøà: "ß è Âàäèì ñúåëè 13 êîíôåò"; Êàìèëü: "ß è Ñòåïàí ñúåëè 566 êîíôåò"; Âàäèì: "ß, Êàìèëü è Àëåêñàíäð Ñåðãååâè÷ ñúåëè 21 êîíôåòó"; Ìàêñèì: "ß, Àëåêñàíäð Ñåðãååâè÷ è Ëåøà ñúåëè 579 êîíôåò". Ïîñëå ýòîãî Àëåêñàíäð Ñåðãååâè÷ ñêàçàë, ÷òî òàê áûòü íå ìîãëî. Ïî÷åìó îí ïðèøåë ê òàêîìó âûâîäó? Êðóæîê "Ìàòåìàòèêà, îáðàòíàÿ ñòîðîíà". Ïåðâûé ãîä îáó÷åíèÿ. 2007-2008 ó÷åáíûé ãîä. http://www.kazan-math.info/ ×àñòü 15. Ðàñêðàñêè è åùå íåìíîãî. 1. Ôèãóðà "âåðáëþä"õîäèò ïî øàõìàòíîé äîñêå õîäîì òèïà (1, 3). Ìîæíî ëè ïðîéòè õîäîì "âåðáëþäà"ñ ïðîèçâîëüíîãî ïîëÿ íà ñîñåäíåå? 2. Ìîæíî äîñêó 8 × 8 ñ âûðåçàííîé óãëîâîé êëåòêîé ðàçðåçàòü à) íà îäèíàêîâûå óãîëêè, êàæäûé èç êîòîðûõ ñîñòîèò èç òðåõ êëåòîê; á) íà "òðèìèíîøêè"(ïðÿìîóãîëüíèêè 1 × 3)? 3. Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ ôèãóð (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîâîðîòà) èç ÷åòûðåõ êëåòîê ñóùåñòâóåò â èãðå "Òåòðèñ"? Äëÿ êàæäîé ôèãóðû îòâåòüòå íà ñëåäóþùèé âîïðîñ: ìîæíî ëè êâàäðàò 10×10 ðàçðåçàòü íà 25 îäèíàêîâûõ ôèãóðîê äàííîãî âèäà? 4. Ôèãóðà "çàÿö"õîäèò ëèáî íà îäíó êëåòêó âíèç, ëèáî íà îäíó êëåòêó ïî äèàãîíàëè ââåðõ-âïðàâî èëè ââåðõ-âëåâî. Çà êàêîå ìèíèìàëüíîå ÷èñëî õîäîâ îíà îáîéäåò äîñêó 7 × 7 è âåðíåòñÿ íà èñõîäíîå ïîëå? 5. Çàïèøèòå òðåõçíà÷íîå ÷èñëî. Äîïèøèòå ê íåìó ñïðàâà òàêîå æå ÷èñëî. Ïîëó÷åííîå ÷èñëî ðàçäåëèòå íà 13. ×àñòíîå ðàçäåëèòå íà 11. Íîâîå ÷àñòíîå ðàçäåëèòå íà çàäóìàííîå ÷èñëî. ×òî ó Âàñ ïîëó÷èëîñü? Ïîâòîðèòå îïûò. Ïî÷åìó ðåçóëüòàò íå çàâèñèò îò çàäóìàííîãî ÷èñëà? 6. Ñîñòàâüòå èç äîìèíîøåê ðàçìåðîì 1 × 2 áåç ïðîïóñêîâ è íàëîæåíèé ïðÿìîóãîëüíèê ðàçìåðîì 5 × 6 òàê, ÷òîáû ýòîò ïðÿìîóãîëüíèê íåëüçÿ áûëî ðàçðåçàòü íà äâà ïðÿìîóãîëüíèêà ïî ëèíèÿì ñåòêè, íå ïîâðåäèâ íè îäíîé äîìèíîøêè. 7. Ïî äëèííîìó óçêîìó êàíàëó îäèí çà äðóãèì èäóò òðè ïàðîõîäà. Íàâñòðå÷ó èì - åùå òðè ïàðîõîäà. Êàíàë òàêîé óçêèé, ÷òî äâà ïàðîõîäà â íåì ðàçúåõàòüñÿ íå ìîãóò, íî â íåì åñòü çàëèâ, ãäå ìîæåò ïîìåñòèòüñÿ îäèí ïàðîõîä. Ìîãóò ëè îíè ðàçúåõàòüñÿ? 8. Ñêîëüêî äåòåé â ñåìüå, åñëè 7 èç íèõ ëþáÿò êàïóñòó, 6 ìîðêîâü, 5 ãîðîõ, 4 êàïóñòó è ìîðêîâü, 3 êàïóñòó è ãîðîõ, 2 ìîðêîâü è ãîðîõ, à 1 ëþáèò è êàïóñòó, è ãîðîõ, è ìîðêîâü? Êðóæîê "Ìàòåìàòèêà, îáðàòíàÿ ñòîðîíà". Ïåðâûé ãîä îáó÷åíèÿ. 2007-2008 ó÷åáíûé ãîä. http://www.kazan-math.info/ ×àñòü 16. Âñåãî ïîíåìíîãó 2. 1. Òðè ÷åëîâåêà èãðàþò â òåííèñ. Ïðîèãðàâøèé óñòóïàåò ñâîå ìåñòî èã- ðîêó, íàáëþäàâøåìó çà èãðîé. Ñêîëüêî ïàðòèé ñûãðàë êàæäûé, åñëè ïåðâûé âûèãðàë 6, âòîðîé - 8, à òðåòèé - 10 ïàðòèé? 2. Ó÷èòåëü çàäàë íà óðîêå ñëîæíóþ çàäà÷ó.  ðåçóëüòàòå ÷èñëî ìàëü÷èêîâ, ðåøèâøèõ ýòó çàäà÷ó, îêàçàëîñü ðàâíûì ÷èñëó äåâî÷åê, å¼ íå ðåøèâøèõ. Êîãî â êëàññå áîëüøå: ó÷åíèêîâ, ðåøèâøèõ çàäà÷ó èëè äåâî÷åê? 3. Ðóñëàí ïðîäàâàë ðàêîâ: êðóïíûõ ïî 5 ðóáëåé çà øòóêó, ìåëêèõ ïî 3 ðóáëÿ. Äî ïîëóäíÿ âûðó÷êà ñîñòàâèëà 23 ðóáëÿ. Ïîñëå ïîëóäíÿ îí ïðîäàë áîëüøå ðàêîâ, à âûðó÷èë òîëüêî 21 ðóáëü. Ñêîëüêî âñåãî ðàêîâ áûëî ïðîäàíî? 4.  âàçî÷êå ëåæàò êîíôåòû òðåõ ñîðòîâ. Èçâåñòíî, ÷òî ìîæíî âçÿòü 5 êîíôåò òàê, ÷òîáû êîíôåò êàæäîãî ñîðòà ñòàëî ïîðîâíó. Äîêàæèòå, ÷òî â èñõîäíóþ âàçî÷êó ìîæíî äîáàâèòü 10 êîíôåò òàê, ÷òîáû êîíôåò êàæäîãî ñîðòà ñòàëî ïîðîâíó. 5. Êàæäûé èç òðåõ èãðîêîâ çàïèñûâàåò 100 ñëîâ, ïîñëå ÷åãî çàïèñè ñðàâíèâàþò. Åñëè ñëîâî âñòðåòèëîñü õîòÿ áû ó äâîèõ, òî åãî âû÷åðêèâàþò èç âñåõ ñïèñêîâ. Ìîãëî ëè ñëó÷èòüñÿ òàê, ÷òî ó ïåðâîãî èãðîêà îñòàëîñü 61 ñëîâî, ó âòîðîãî - 80 ñëîâ, à ó òðåòüåãî - 82 ñëîâà? 6. Äâà êàðàíäàøà è ëàñòèê ñòîÿò ñòîëüêî æå, ñêîëüêî îäèí êàðàíäàø è ÷åòûðå ëàñòèêà. Âî ñêîëüêî ðàç êàðàíäàø äîðîæå ëàñòèêà? 7.  ëåñó íà Ìþíõãàóçåíà íàïàëà ñòàÿ âîëêîâ. Êîãäà îí ïðîñêî÷èë íà ëîøàäè ìèìî äâóõ âîëêîâ, îíè áðîñèëèñü íà íåãî, ïðîìàõíóëèñü è çàãðûçëè äðóã äðóãà. Ìþíõãàóçåí ïîâòîðÿë ýòîò ìàíåâð åùå ðàç, è åùå, äî òåõ ïîð, ïîêà âñå âîëêè íå çàãðûçëè äðóã äðóãà. Ìîãëî ëè â ñòàå áûòü 97 âîëêîâ? 8. Ó øàõìàòíîé äîñêè âûïèëåíû à) óãëîâàÿ êëåòêà; á) äâå ïðîòèâîïîëîæíûå óãëîâûå êëåòêè; â) äâå êëåòêè ðàçíîãî öâåòà. Ìîæíî ëè òàêóþ èñïîð÷åííóþ äîñêó ðàñïèëèòü íà äâóêëåòî÷íûå ïðÿìîóãîëüíèêè? Êðóæîê "Ìàòåìàòèêà, îáðàòíàÿ ñòîðîíà". Ïåðâûé ãîä îáó÷åíèÿ. 2007-2008 ó÷åáíûé ãîä. http://www.kazan-math.info/ ×àñòü17. Ëîãèêà1. Îñòðîâ ðûöàðåé è ëæåöîâ. Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî õèòðîóìíûõ çàäà÷ îá îñòðîâå, íàñåëåííîì "ðûöàðÿìè", âñåãäà ãîâîðÿùèìè òîëüêî ïðàâäó, è ëæåöàìè, èçðåêàþùèìè òîëüêî ëîæü. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî êàæäûé îáèòàòåëü îñòðîâà ëèáî ðûöàðü, ëèáî ëæåö. 1. Ìîæåò ëè óðîæåíåö îñòðîâà ðûöàðåé è ëæåöîâ ïðîèçíåñòè ôðàçó: "ß ëæåö"? 2. Åñëè ÷åëîâåê ïðîèçíîñèò ôðàçó: "ß ðûöàðü", òî ìîæíî ëè îïðåäåëèòü êòî îí? 3. Çà êðóãëûì ñòîëîì ñèäÿò 12 ÷åëîâåê (ëæåöû è ðûöàðè). à) Êàæäûé ñèäÿùèé çà ñòîëîì ïðîèçíåñ äâà âûñêàçûâàíèÿ: 1) ñëåâà îò ìåíÿ ñèäèò ðûöàðü; 2) ñïðàâà îò ìåíÿ ñèäèò ëæåö. Ìîãëî ëè òàêîå áûòü? á) Êàæäûé èç ñèäÿùèõ çà ñòîëîì ïðîèçíåñ: "Íàïðîòèâ ìåíÿ ñèäèò ëæåö". Ñêîëüêî ëæåöîâ çà ñòîëîì? 4. Ïî äîðîãå â ãîðîä ÿ íàòîëêíóëñÿ íà äâóõ îñòðîâèòÿí À è Â. "Ìû îáà ëæåöû! áîäðî ñîîáùèë À. Êòî îíè? 5. Òðîå æèòåëåé îñòðîâà (À,  è Ñ) ðàçãîâàðèâàëè ìåæäó ñîáîé â ñàäó. Ïðîõîäèâøèé ìèìî íåçíàêîìåö ñïðîñèë ó À: "Âû ðûöàðü èëè ëæåö?"Òîò îòâåòèë, íî òàê íåðàçáîð÷èâî, ÷òî íåçíàêîìåö íå ñìîã íè÷åãî ïîíÿòü. Òîãäà íåçíàêîìåö ñïðîñèë ó Â: "×òî ñêàçàë À?À ñêàçàë, ÷òî îí ëæåö",-îòâåòèë Â. "Íå âåðüòå Â! Îí ëæåò! âìåøàëñÿ â ðàçãîâîð îñòðîâèòÿíèí Ñ. Êòî èç îñòðîâèòÿí  è Ñ ðûöàðü è êòî ëæåö? 6.  ýòîé çàäà÷å äâà. ïåðñîíàæà: À è Â. Êàæäûé èç íèõ ëèáî ðûöàðü, ëèáî ëæåö. À âûñêàçûâàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: "Ïî êðàéíåé ìåðå îäèí èç íàñ ëæåö". Êòî èç äâóõ ïåðñîíàæåé À è  ðûöàðü è êòî ëæåö? 7. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî À ãîâîðèò: "Èëè ÿ ëæåö, èëè  ðûöàðü". Êòî èç äâóõ ïåðñîíàæåé À è  ðûöàðü è êòî ëæåö? 8. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî À ãîâîðèò: "Èëè ÿ ëæåö, èëè äâà ïëþñ äâà-ïÿòü". Ê êàêîìó çàêëþ÷åíèþ ìîæíî ïðèéòè íà îñíîâàíèè ýòîãî óòâåðæäåíèÿ? 9. Ïåðåä íàìè ñíîâà òðè îñòðîâèòÿíèíà À,  è Ñ, î êàæäîì èç êîòîðûõ èçâåñòíî, ÷òî îí ëèáî ðûöàðü, ëèáî ëæåö. Äâîå èç íèõ (À è Â) âûñêàçûâàþò ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: À: Ìû âñå ëæåöû. Â: Îäèí èç íàñ ðûöàðü. Êòî èç òðåõ îñòðîâèòÿí À,  è Ñ ðûöàðü è êòî ëæåö? 10. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî À âûñêàçûâàåò óòâåðæäåíèå: "ß ëæåö, à  íå ëæåö". Êòî èç îñòðîâèòÿí À è  ðûöàðü è êòî ëæåö? Êðóæîê "Ìàòåìàòèêà, îáðàòíàÿ ñòîðîíà". Ïåðâûé ãîä îáó÷åíèÿ. 2007-2008 ó÷åáíûé ãîä. http://www.kazan-math.info/ Ìîñê íè÷òî. ×èñëà âñ¼. ×àñòü18 íå äàé ìîçãó çàñîõíóòü! 1. Âñå êîñòÿøêè äîìèíî âûëîæèëè â öåïü ïî ïðàâèëàì. Íà îäíîì êîíöå îêàçàëîñü 5 î÷êîâ. Ñêîëüêî î÷êîâ îêàçàëîñü íà äðóãîì? 2. Èç íàáîðà äîìèíî âûáðîñèëè âñå êîñòè ñ ïóñòûøêàìè". Ìîæíî ëè îñòàâøèåñÿ êîñòè âûëîæèòü â ðÿä ïî ïðàâèëàì? 3. Ìîæíî ëè ðàçìåíÿòü 25 òóãðèêîâ äåñÿòüþ êóïþðàìè äîñòîèíñòâîì â 1, 3 è 5 òóãðèêîâ? 4. 98 ñïè÷åê ðàçëîæèëè â 19 êîðîáêîâ è íà êàæäîì íàïèñàëè êîëè÷åñòâî ñïè÷åê â ýòîì êîðîáêå. Ìîæåò ëè ïðîèçâåäåíèå ýòèõ ÷èñåë áûòü íå÷¼òíûì ÷èñëîì? 5. Ïàðëàìåíò ñîñòîèò èç äâóõ ðàâíûõ ïî ÷èñëåííîñòè ïàëàò. Íà ñîâìåñòíîì çàñåäàíèè ïðèñóòñòâîâàëè âñå, è íèêòî íå âîçäåðæàëñÿ ïðè ãîëîñîâàíèè. Êîãäà áûëî îáúÿâëåíî, ÷òî íåêîòîðîå ðåøåíèå áûëî ïðèíÿòî áîëüøèíñòâîì â 23 ãîëîñà, îïïîçèöèÿ çàêðè÷àëà Ýòî îáìàí!". Ïî÷åìó? 6. Ïðîèçâåäåíèå 10 öåëûõ ÷èñåë ðàâíî 1. Äîêàæèòå, ÷òî èõ ñóììà íå ðàâíà íóëþ. 7. Ìîæíî ëè ñîñòàâèòü ìàãè÷åñêèé êâàäðàò èç ïåðâûõ 36 ïðîñòûõ ÷èñåë? 8. à) a + 2 äåëèòñÿ íà 5, äîêàæèòå, ÷òî 7a + 4 äåëèòñÿ íà 5; á) 2004 + a è 1003 − b äåëÿòñÿ íà 11, äîêàæèòå, ÷òî a + b äåëèòñÿ íà 11. Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ. 9. Äîêàçàòü: à) åñëè ñóììà ëþáûõ äâóõ èç òð¼õ ÷èñåë äåëèòñÿ íà 3, òî è ñóììà âñåõ òð¼õ ÷èñåë äåëèòñÿ íà 3; á) åñëè ñóììà ëþáûõ òð¼õ èç ÷åòûð¼õ ÷èñåë äåëèòñÿ íà 4, òî è êàæäîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 4; â) ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå óòâåðæäåíèå á) äëÿ n ÷èñåë. 10. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî, ñîñòàâëåííîå èç ïÿòèäåñÿòè ïÿòè åäèíèö, ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâíûì. Êðóæîê "Ìàòåìàòèêà, îáðàòíàÿ ñòîðîíà". Ïåðâûé ãîä îáó÷åíèÿ. 2007-2008 ó÷åáíûé ãîä. http://www.kazan-math.info/ ×àñòü 19. Ñïîðò â íàøåé æèçíè. 1.  ôóòáîëüíîì òóðíèðå ó÷àñòâîâàëî n êîìàíä (çà ïîáåäó 2 î÷êà, çà íè÷üþ 1, çà ïîðàæåíèå 0). Êàæäàÿ êîìàíäà ñûãðàëà n − 2 ìàò÷à. Ïåðâàÿ íàáðàëà 1 î÷êî, âòîðàÿ 2 î÷êî, ... , nàÿ íàáðàëà n î÷êî. Äëÿ êàêèõ n ýòî âîçìîæíî? 2.  ôóòáîëüíîì òóðíèðå ó÷àñòâîâàëî 8 êîìàíä: êàæäàÿ êîìàíäà ñûãðàëà ñî âñåìè (çà ïîáåäó 3 î÷êà, çà íè÷üþ 1, çà ïîðàæåíèå 0). Îêàçàëîñü, ÷òî ñóììà î÷êîâ, íàáðàííûõ âñåìè êîìàíäàìè ðàâíà 81. Ñêîëüêî áûëî íè÷üèõ â òóðíèðå? 3. (Ñïîðòñìåíû) Ïåòð, Ãåííàäèé, Àëåêñåé è Âëàäèìèð çàíèìàþòñÿ â äåòñêîé ñïîðòèâíîé øêîëå â ðàçíûõ ñåêöèÿõ: ãèìíàñòèêè, ëåãêîé àòëåòèêè, âîëåéáîëà è áàñêåòáîëà. Ïåòð, Àëåêñåé è âîëåéáîëèñò ó÷àòñÿ â îäíîì êëàññå. Ïåòð è Ãåííàäèé íà òðåíèðîâêè õîäÿò ïåøêîì âìåñòå, à ãèìíàñò åçäèò íà àâòîáóñå. Ëåãêîàòëåò íå çíàêîì íè ñ âîëåéáîëèñòîì, íè ñ áàñêåòáîëèñòîì. Êòî â êàêîé ñåêöèè çàíèìàåòñÿ? 4. Íà îêðóæíîñòè ðàññòàâëåíû 20 òî÷åê. Çà õîä ðàçðåøàåòñÿ ñîåäèíèòü ëþáûå äâå èç íèõ îòðåçêîì, íå ïåðåñåêàþùèì îòðåçêîâ, ïðîâåä¼ííûõ ðàíåå. Ïðîèãðûâàåò òîò, êòî íå ìîæåò ñäåëàòü õîä. Êòî èç èãðîêîâ âûèãðàåò ïðè ïðàâèëüíîé èãðå? 5. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî íå áüþùèõ äðóã äðóãà êîíåé ìîæíî ïîñòàâèòü íà äîñêó 8 × 8? 6. Ïðÿìîóãîëüíèê ìîæíî ðàçáèòü áåç îñòàòêà íà óãîëêè èç òðåõ êëåòîê. Äîêàæèòå, ÷òî åãî ìîæíî ðàçáèòü íà ïðÿìîóãîëüíèêè 1 × 3. 7. Íàéòè 10 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ñóììà êîòîðûõ ðàâíà èõ ïðîèçâåäåíèþ. 8. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî ìîæíî óìíîæàòü íà 2 è ëþáûì îáðàçîì ïåðåñòàâëÿòü åãî öèôðû. (Íåëüçÿ ñòàâèòü 0 íà ïåðâîå ìåñòî) Ìîæíî ëè ïðåâðàòèòü ÷èñëî 1 â 811? Êðóæîê "Ìàòåìàòèêà, îáðàòíàÿ ñòîðîíà". Ïåðâûé ãîä îáó÷åíèÿ. 2007-2008 ó÷åáíûé ãîä. http://www.kazan-math.info/ ×àñòü 20. Ïðàêòèêà ïîñëå ÷ñê 4. 1. Âåëèêèé áèçíåñìåí Âàñÿ óæå 11 ëåò âåäåò ñâîé áèçíåñ. Îêàçàëîñü, ÷òî çà ëþáûå äâà ñîñåäíèõ ãîäà åãî äåÿòåëüíîñòè îí, ÷òî-òî çàðàáàòûâàë. Ìîæåò ëè òàê îêàçàòüñÿ, ÷òî çà âñå 11 ëåò Âàñÿ ïîòåðÿë íåêîòîðóþ ñóììó? 2. Âñòðåòèëèñü äâà ìàòåìàòèêà: Ëåîíàðä è Àíäðåé. Àíäðåé ñïðàøèâàåò Ëåîíàðäà: - Ñêîëüêî ëåò äâóì òâîèì ñûíîâüÿì? - Îíè äîøêîëüíèêè. È ïðîèçâåäåíèå èõ âîçðàñòîâ ðàâíî êîëè÷åñòâó ãîëóáåé, ñèäÿùèõ âî äâîðå. Ïîñëå ðàçäóìèé Àíäðåé îòâåòèë: - Ýòèõ äàííûõ íåäîñòàòî÷íî. - Còàðøèé èç íèõ ïîõîæ íà ìàòü. - À, íó òîãäà ïîíÿòíî. Ñêîëüêî ëåò ñûíîâüÿì Ëåîíàðäà? 3. Õóëèãàí Âàñÿ ðåøàë ïðèìåð: 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + . . . + 98 · 99 · 100 è ïîëó÷èë îòâåò 16738922. Äîêàæèòå, ÷òî îí îøèáñÿ. 4. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî 12345678926 íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì êâàäðàòîì. 5. Âûÿñíèòå, ìîæåò ëè ÷èñëî n! îêàí÷èâàòüñÿ íà 7 íóëåé. 6. Íàéäèòå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå n òàêîå, ÷òî n! äåëèòñÿ íà 990. 7. Îáîçíà÷èì ñóììó òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ÷åðåç a , à ñóììó òðåõ ñëåäóþùèõ çà íèìè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë - ÷åðåç b. Ìîæåò ëè ïðîèçâåäåíèå ab ðàâíÿòüñÿ 111111111? 8. Äîêàæèòå, ÷òî íàòóðàëüíîå ÷èñëî, äåñÿòè÷íàÿ çàïèñü êîòîðîãî ñîñòîèò èç îäíîé åäèíèöû, äâóõ äâîåê, òðåõ òðîåê, ..., äåâÿòè äåâÿòîê, íå ìîæåò áûòü òî÷íûì êâàäðàòîì. Äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ. 9. Èìååòñÿ òàáëèöà 2008 × 2008, â êîòîðîé ñòîèò 2007 åäèíèö, à îñòàëü- íûå íóëè. Ñ íåé ðàçðåøàåòñÿ ïðîäåëûâàòü ñëåäóþùóþ îïåðàöèþ: âûáðàòü êëåòêó, âû÷åñòü èç ÷èñëà, ñòîÿùåãî â ýòîé êëåòêå åäèíèöó, à êî âñåì îñòàëüíûì ÷èñëàì, ñòîÿùèì èëè â îäíîé ñòðîêå, èëè â îäíîì ñòîëáöå ñ âûáðàííîé êëåòêîé, ïðèáàâèòü åäèíèöó. Ìîæíî ëè èç ýòîé òàáëèöû ñ ïîìîùüþ óêàçàííûõ îïåðàöèé ïîëó÷èòü òàáëèöó, â êîòîðîé âñå ÷èñëà ðàâíû? 10. Èìååòñÿ òàáëèöà 2008 × 2008, â êîòîðîé ñòîèò 2007 åäèíèö, à îñòàëüíûå íóëè. Ñ íåé ðàçðåøàåòñÿ ïðîäåëûâàòü ñëåäóþùóþ îïåðàöèþ: âûáðàòü êëåòêó, âû÷åñòü èç ÷èñëà, ñòîÿùåãî â ýòîé êëåòêå åäèíèöó, à êî âñåì îñòàëüíûì ÷èñëàì, ñòîÿùèì â îäíîé ñòðîêå, èëè â îäíîì ñòîëáöå ñ âûáðàííîé êëåòêîé, ïðèáàâèòü åäèíèöó. Ìîæíî ëè èç ýòîé òàáëèöû ñ ïîìîùüþ óêàçàííûõ îïåðàöèé ïîëó÷èòü òàáëèöó, â êîòîðîé âñå ÷èñëà ðàâíû? Íàìåê. Ïîïðîáóéòå íàéòè êâàäðàò 2 × 2, â êîòîðîì âñåãî îäíà åäèíèöà. Êðóæîê "Ìàòåìàòèêà, îáðàòíàÿ ñòîðîíà". Ïåðâûé ãîä îáó÷åíèÿ. 2007-2008 ó÷åáíûé ãîä. http://www.kazan-math.info/ ×àñòü 21. Î÷åâèäíàÿ:-) Âî âñåì ëèñòî÷êå ëàòèíñêèìè áóêâàìè îáîçíà÷åíû ÷èñëà. Ðàâåíñòâà, êîòîðûå íóæíî çíàòü. 1. a = a. 2. a + (−b) = a − b. 3. (ñëåäñòâèå èç 1. è 2.) a − a = 0. 4. a + a = 2a. 5. a + b = b + a. 6. a − b = −b + a. 7. a − (a + b) = −b. 8. ab = ba. 9. a(b + c) = ab + ac. 10. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. 11. (ab)n = an bn . 12. an · am = an+m . 13. (an )m = an·m . Çàäà÷è. 1. Âûíåñèòå çà ñêîáêè ÷èñëîâîé ìíîæèòåëü: à) (7x + 7y)2 ; á) (5q − 30)3 ; â) (2a − 8)4 ; 2. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè b + c = 10, òî (10a + b)(10a + c) = 100a(a + 1) + bc. 3. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ab + c2 = 0, òî (a + c)(b + c) + (a − c)(b − c) = 0. 4. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè a + b = 9, òî (a + 1)(b + 1) − (a − 1)(b − 1) = 18. 5. Äîêàæèòå òîæäåñòâî: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc. 6. Ðàñêðîéòå ñêîáêè: à)((a + b)2 )2 ; á)(a − b)4 . 7. Óïðîñòèòå: à)(a − 3)(a2 − 8a + 5) − (a − 8)(a2 − 3a + 5); á)(x2 − 3x + 2)(2x + 5) − (2x2 + 7x + 17)(x − 4). 8. Äîêàæèòå, ÷òî: (b + c − 2a)(c − b) + (c + a − 2b)(a − c) − (a + b − 2c)(a − b) = 0. 9. Äîêàæèòå òîæäåñòâà: à)(ax − 2(a + 2))(a(x − 1) + 2) + 2(4 − a2 ) + 3a2 x = ax(ax − 2); á)(3 − b(c − 1))(bc + 4(b + 1)) + bc(bc + 3b + 1) = 4b(b + 4) + 12; â)(a2 + b2 )(a4 − a2 b2 + b4 ) − (a3 − b3 )(a3 + b3 ) = 2b6 . 10. [Òîæäåñòâî Äèîôàíòà (III â.)] (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ac + bd)2 + (ad − bc)2 . 11. [Òîæäåñòâî Ýéëåðà (XVIII â.)] (p2 + cq 2 )(r2 + cs2 ) = (pr + cqs)2 + c(ps − qr)2 . Êðóæîê "Ìàòåìàòèêà, îáðàòíàÿ ñòîðîíà". Ïåðâûé ãîä îáó÷åíèÿ. 2007-2008 ó÷åáíûé ãîä. http://www.kazan-math.info/ ×àñòü 22. Ñìàëëèàíîâùèíà. 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåçíàêîìåö çàäàë À äðóãîé âîïðîñ: "Ñêîëüêî ðûöà- ðåé ñðåäè âàñ?"È íà ýòîò âîïðîñ À îòâåòèë íåðàçáîð÷èâî. Ïîýòîìó íåçíàêîìöó ïðèøëîñü ñïðîñèòü ó Â: "×òî ñêàçàë À?" îòâåòèë: "À ñêàçàë, ÷òî ñðåäè íàñ îäèí ðûöàðü". È òîãäà Ñ çàêðè÷àë: "Íå âåðüòå Â! Îí ëæåò!"Êòî èç äâóõ ïåðñîíàæåé  è Ñ ðûöàðü è êòî ëæåö? 2. Ïåðåä íàìè â î÷åðåäíîé ðàç òðè îñòðîâèòÿíèíà À,  è Ñ, î êàæäîì èç êîòîðûõ èçâåñòíî, ÷òî îí ëèáî ðûöàðü, ëèáî ëæåö. Óñëîâèìñÿ íàçûâàòü äâóõ îñòðîâèòÿí îäíîòèïíûìè, åñëè îíè îáà ðûöàðè èëè îáà ëæåöû. Ïóñòü À è  âûñêàçûâàþò ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: À:  - ëæåö. Â: À è Ñ îäíîòèïíû. Êòî òàêîé Ñ: ðûöàðü èëè ëæåö? 3. Ïåðåä íàìè ñíîâà òðîå îñòðîâèòÿí À,  è Ñ. À âûñêàçûâàåò óòâåðæäåíèå: " è Ñ îäíîòèïíû". Êòî-òî ñïðàøèâàåò ó Ñ: "À è  îäíîòèïíû?"×òî îòâåòèò îñòðîâèòÿíèí Ñ? Êàê âåñòè ñåáÿ â ëåñó, ãäå âîäÿòñÿ îáîðîòíè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Âû íàõîäèòåñü â ëåñó, êàæäûé îáèòàòåëü êîòîðîãî ëèáî ðûöàðü, ëèáî ëæåö (Íàïîìíèì, ÷òî ðûöàðè âñåãäà ãîâîðÿò ïðàâäó, à ëæåöû âñåãäà âðóò). Êðîìå òîãî, â ëåñó âîäÿòñÿ îáîðîòíè, èìåþùèå íà ðåäêîñòü íåïðèÿòíóþ ïðèâû÷êó èíîãäà ïðåâðàùàòüñÿ â âîëêîâ è ïîæèðàòü ëþäåé. Îáîðîòåíü ìîæåò áûòü ëèáî ðûöàðåì, ëèáî ëæåöîì. 4. Âû áåðåòå èíòåðâüþ ó òð¼õ î îáèòàòåëåé ëåñà A,B,C. Èçâåñòíî, ÷òî ðîâíî îäèí èç íèõ îáîðîòåíü.  áåñåäå ñ Âàìè îíè çàÿâëÿþò: A: Cîáîðîòåíü. B: ß íå îáîðîòåíü. C: Ïî êðàéíåé ìåðå äâîå èç íàñ ëæåöû. Íàøà çàäà÷à ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé. a) Êòî îáîðîòåíü: ðûöàðü èëè ëæåö? á) Åñëè áû Âàì ïðåäñòîÿëî âûáðàòü îäíîãî èç òð¼õ îáèòàòåëåé ëåñà â ïîïóò÷èêè è Âàì áû õîòåëîñü ñòàíîâèòüñÿ îáîðîòíåì ìåíüøå, ÷åì ñòàòü îáìàíóòûì, òî íà êîì èç òð¼õ Âû áû îñòàíîâèëè ñâîé âûáîð. 5. Âû ñíîâà áåðåòå èíòåðâüþ ó òð¼õ îáèòàòåëåé ëåñà A,B,C. Èçâåñòíî, ÷òî êàæäûé èç íèõ, ëèáî ðûöàðü,ëèáî ëæåö è ñðåäè íèõ èìååòñÿ ðîâíî îäèí îáîðîòåíü.  áåñåäå ñ Âàìè îíè çàÿâëÿþò: A: ß îáîðîòåíü. B: ß îáîðîòåíü. C: Íå áîëåå ÷åì îäèí èç íàñ ðûöàðü. Ïðîâåäèòå ïîëíóþ êëàññèôèêàöèþ A,B,C. 6.  ýòîé è â äâóõ ñëåäóþùèõ çàäà÷àõ ìû ñíîâà âñòðå÷àåì òð¼õ îáèòàòåëåé ëåñà A,B,C, êàæäûé èç êîòîðûõ ëèáî ëæåö, ëèáî ðûöàðü. Çàÿâëåíèÿ äåëàþò òîëüêî äâîå èç íèõ: A è B.  èõ âûñêàçûâàíèÿõ ñëîâî "íàñ"îòíîñèòñÿ êî âñåì òðåì ãåðîÿì (ê A,B è C), à íå òîëüêî ê A è B. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî A è B çàÿâèëè ñëåäóþùèå: A: Ïî êðàéíåé ìåðå îäèí èç íàñ ðûöàðü. B: Ïî êðàéíåé ìåðå îäèí èç íàñ ëæåö. Èçâåñòíî, ÷òî ïî êðàéíåé ìåðå îäèí èç íèõ îáîðîòåíü è íè îäèí íå ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî ðûöàðåì è îáîðîòíåì. Êòî îáîðîòåíü? 7. Íà ýòîò ðàç A è B ñäåëàëè ñëåäóþùèå çàÿâëåíèÿ: A: Ïî êðàéíåé ìåðå îäèí èç íàñ ëæåö. B: Ñ ðûöàðü. Èçâåñòíî, ÷òî ðîâíî îäèí èç íèõ îáîðîòåíü è ÷òî îí ðûöàðü. Êòî îáîðîòåíü? 8.  ýòîé çàäà÷å A è B çàÿâèëè ñëåäóþùåå: A: Ïî êðàéíåé ìåðå îäèí èç íàñ ëæåö. B: C îáîðîòåíü. È â ýòîé çàäà÷å èçâåñòíî, ÷òî ðîâíî îäèí èç íèõ îáîðîòåíü è ÷òî îí ðûöàðü. Êòî îáîðîòåíü? 9.  ýòîé çàäà÷å èçâåñòíî, ÷òî èç òð¼õ îáèòàòåëåé ëåñà ðîâíî îäèí îáîðîòåíü, ÷òî îí ðûöàðü, à äâà îñòàëüíûõ ëæåöû. Çàÿâëåíèå ñäåëàë òîëüêî B: "Ñ îáîðîòåíü". Êòî îáîðîòåíü? 10.  ýòîé çàäà÷å, îòëè÷àþùåéñÿ èçÿùíîé ïðîñòîòîé, ëèøü äâà äåéñòâóþùèõ ëèöà: A è B. Ëèøü îäíî èç íèõ îáîðîòåíü. A è B çàÿâèëè ñëåäóþùåå: A: Îáîðîòåíü ðûöàðü. B: Îáîðîòåíü ëæåö. Êîãî èç íèõ âû âûáðàëè áû ñåáå â ïîïóò÷èêè? Êàê âûáðàòü èëè çàâîåâàòü íåâåñòó. 11. Âû ïîëþáèëè äåâóøêó è õîòèòå æåíèòñÿ íà íåé. Íî ó Âàøåé èçáðàííè- öû ñòðàííûå âêóñû: îíà æåëàåò âûéòè çàìóæ òîëüêî çà ëæåöà. Ïðè ýòîì åé ïîäàâàé íå áåäíîãî, à íåïðåìåííî áîãàòîãî ëæåöà. Êàê îäíîé-åäèíñòâåííîé ôðàçîé óáåäèòü âàøó âîçëþáëåííóþ, ÷òî âû áîãàòûé ëæåö? 12. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî âàøà äåâóøêà ìå÷òàåò âûéòè çàìóæ òîëüêî çà áîãàòîãî ðûöàðÿ. Êàê îäíîé-åäèíñòâåííîé ôðàçîé óáåäèòü âàøó âîçëþáëåííóþ, ÷òî âû áîãàòûé ðûöàðü? 13. Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà îñòðîâå äåéñòâóåò òàáó çàïðåùàâøèå ðàçãîâîðû ìåæäó ìóæ÷èíîé è æåíùèíîé, åñëè îíè íå ìóæ è æåíà. Íî Âàì õî÷åòñÿ óçíàòü êòî Âàøà âîçëþáëåííàÿ (Âû âåäü íå õîòèòå æåíèòüñÿ íà ëæåöå?!). Âàì ðàçðåøàåòñÿ çàäàòü òîëüêî îäèí âîïðîñ åå áðàòó (îí òîæå ëèáî ðûöàðü, ëèáî ëæåö), íà êîòîðûé ìîæíî îòâåòèòü ëèáî "äà",ëèáî "íåò". Êàêîé âîïðîñ Âû áû çàäàëè, ÷òîáû ñ óâåðåííîñòüþ ìîæíî áûëî ñêàçàòü êòî Âàøà âîçëþáëåííàÿ? 14. Âàì íàäëåæèò âûáðàòü ñåáå â íåâåñòó îäíó èç òð¼õ ñåñòåð A,B è C. Èçâåñòíî, ÷òî îäíà èç íèõ ðûöàðü, îäíà ëæåö è îäíà íîðìàëüíûé ÷åëîâåê. Èçâåñòíî òàêæå, ÷òî íîðìàëüíàÿ ñåñòðà îáîðîòåíü, à äâå äðóãèå íåò. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî æåíèòüñÿ íà îáîðîòíå äàæå äëÿ òàêîãî ïîêëàäèñòîãî ÷åëîâåêà, êàê Äàâëåòøèí Ñàìàò, ýòî óæ ñëèøêîì!!! Âàì ðàçðåøàåòñÿ çàäàòü òîëüêî îäèí âîïðîñ , íà êîòîðûé ìîæíî îòâåòèòü ëèáî "äà",ëèáî "íåò". Êàêîé âîïðîñ Âû áû çàäàëè? Êðóæîê "Ìàòåìàòèêà, îáðàòíàÿ ñòîðîíà". Ïåðâûé ãîä îáó÷åíèÿ. 2007-2008 ó÷åáíûé ãîä. http://www.kazan-math.info/ ×àñòü 23. È ñòàðîñòü, è ðàäîñòü 2. 1. Äàí êâàäðàò 6 × 6 ðàçáèòûé íà äîìèíîøêè. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ïî ëèíèÿì ñåòêè, òàêàÿ, ÷òî âåñü ïðÿìîóãîëüíèê ðàçáèò åþ íà äâà íå ïóñòûõ ïðÿìîóãîëüíèêà è íåò íè îäíîé ðàçðåçàííîé äîìèíîøêè. 2. Âñå ãàíãñòåðû ìèðà ñîáðàëèñü íà ñëåò, íà êîòîðîì âñå ïåðåðóãàëèñü.  èòîãå êàæäûé ãàíãñòåð âûñòðåëèë â îäíîãî ãàíãñòåðà, è â êàæäîãî ïîïàëî ïî îäíîé ïóëè. Äîêàæèòå, ÷òî âñå ãàíãñòåðû ðàçáèëè íà öèêëû, â êîòîðûõ êàæäûé ñëåäóþùèé ãàíãñòåð âûñòðåëèë â ñëåäóþùåãî. 3. Ìàëü÷èê ïî ÷åòâåðãàì è ïÿòíèöàì âñåãäà ãîâîðèò ïðàâäó, à ïî âòîðíèêàì âñåãäà ëæåò. Îäíàæäû åãî 7 äíåé ïîäðÿä ñïðàøèâàëè, êàê åãî çîâóò. Øåñòü ïåðâûõ äíåé îí äàâàë òàêèå îòâåòû: Âàñèëèé, Áîðèñ, Âàñèëèé, Áîðèñ, Àíäðåé, Áîðèñ. Êàêîé îòâåò îí äàë íà ñåäüìîé äåíü? 4. Ñàøà âçÿë íåñêîëüêî ïóñòûõ êàðòî÷åê è íàïèñàë íà íèõ ðàçíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, íå áîëüøèå 1000. Îêàçàëîñü, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ êàðòî÷åê ÷èñëî íà îäíîé èç íèõ äåëèòñÿ íà ÷èñëî íà äðóãîé. Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî êàðòî÷åê ìîã çàïîëíèòü Ñàøà? 5. Õóëèãàí Ñàìàò è øåñòü åãî äðóçåé êèäàëèñü áóìàæêàìè. Êàæäûé êèíóë áóìàæêó â òðåõ äðóãèõ õóëèãàíîâ. Ìîãëî ëè íå îêàçàòüñÿ íè îäíîé ïàðû õóëèãàíîâ, êèíóâøèõ áóìàæêè äðóã â äðóãà? 6.  ñåíàòå Ïðîäàæíîãî êîðîëåâñòâà 100 ñåíàòîðîâ. Èçâåñòíî, ÷òî ñðåäè ëþáûõ ïÿòè ñåíàòîðîâ íàéäåòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå îäèí ïðîäàæíûé. Ñêîëüêî ïðîäàæíûõ ñåíàòîðîâ ìîæåò áûòü â ñåíàòå? Óêàæèòå âñå âîçìîæíîñòè è äîêàæèòå, ÷òî äðóãèõ âîçìîæíîñòåé íåò. 7.  îäíîì ïðèõîäå ãðàôñòâà Ëèïøèð æèâóò 15 äæåíòëüìåíîâ. Íåêîòîðûå èç íèõ ïîññîðèëèñü äðóã ñ äðóãîì. Ìîãëî ëè áûòü òàê, ÷òî êàæäûé ïîññîðèëñÿ ðîâíî ñ îäíèì èç îñòàëüíûõ? 8. Ñðåäè 5 äæåíòëüìåíîâ ëþáûå äâîå èìåþò ðîâíî îäíîãî îáùåãî çíàêîìîãî. Äîêàæèòå, ÷òî õîòÿ áû îäèí èç íèõ çíàêîì ñî âñåìè îñòàëüíûìè. Êðóæîê "Ìàòåìàòèêà, îáðàòíàÿ ñòîðîíà". Ïåðâûé ãîä îáó÷åíèÿ. 2007-2008 ó÷åáíûé ãîä. http://www.kazan-math.info/ ×àñòü 24. È ñòàðîñòü, è ðàäîñòü ïðîòèâ ïî÷òè âñå ñòàðîå. 1. Ìîãóò ëè ïðîèçâåäåíèÿ âñåõ íåíóëåâûõ öèôð äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îòëè÷àòüñÿ ðîâíî â 72 ðàçà? 2. ×òîáû îò òåàòðà äîåõàòü äî öèðêà, ìîæíî ñåñòü íà îñòàíîâêå íà àâòîáóñ N1 èëè íà àâòîáóñ N2. Îíè õîäÿò ñ ïîñòîÿííûìè èíòåðâàëàìè, ïðè÷åì àâòîáóñ N1 â 2 ðàçà ðåæå, ÷åì N2. Çà ïîñëåäíèå 20 ìèíóò àâòîáóñ ïðîøåë 16 ìèíóò íàçàä, 10 ìèíóò íàçàä è 2 ìèíóòû íàçàä. Êîãäà áóäåò ñëåäóþùèé àâòîáóñ? 3.  êëóáå "Ìèëåïåóì"ó êàæäîãî ÷ëåíà ðîâíî îäèí äðóã è ðîâíî îäèí âðàã. à) Äîêàæèòå, ÷òî â ýòîì êëóáå ÷åòíîå ÷èñëî äæåíòëüìåíîâ. á) Äîêàæèòå, ÷òî ýòîò êëóá ìîæíî ðàñïóñòèòü, ñîñòàâèâ èç åãî ÷ëåíîâ äâà êëóáà òàê, ÷òîáû âíóòðè íîâûõ êëóáîâ íå áûëî íè äðóçåé, íè âðàãîâ. 4. Çàìåíèòå áóêâû â ñëîâå ÒÐÀÍÑÏÎÐÒÈÐÎÂÊÀ öèôðàìè (ðàçíûå áóêâû ðàçíûìè öèôðàìè, îäèíàêîâûå îäèíàêîâûìè) òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü íåðàâåíñòâà: Ò>Ð>À>Í<Ñ<Ï<Î<Ð<Ò>È>Ð>Î<Â<Ê<À. Íàéäèòå âñå îòâåòû è äîêàæèòå, ÷òî äðóãèõ íåò. 5. Íà ïðîøëîé íåäåëå Âàñÿ áûë â øêîëå 4 ðàçà è ïîëó÷èë 17 äâîåê. Äîêàæèòå, ÷òî â îäèí èç äíåé îí ïîëó÷èë íå ìåíåå 5 äâîåê. 6.  êîðîáêå ëåæàò êðàñíûå, æåëòûå è çåëåíûå êàðàíäàøè òð¼õ ðàçìåðîâ: êîðîòêèå, ñðåäíèå è äëèííûå. Èçâåñòíî, ÷òî èìåþòñÿ êàðàíäàøè âñåõ òð¼õ öâåòîâ è âñåõ òð¼õ ðàçìåðîâ. Âåðíî ëè, ÷òî îáÿçàòåëüíî íàéäóòñÿ òðè êàðàíäàøà, ïîïàðíî ðàçëè÷àþùèåñÿ îäíîâðåìåííî è ïî öâåòó, è ïî ðàçìåðó? 7. Ëÿãóøîíîê, ñèäÿùèé â îäíîì èç óçëîâ áåñêîíå÷íîãî êëåò÷àòîãî áîëîòà, îäíèì ïðûæêîì ìîæåò ïåðåñêî÷èòü íà ëþáóþ ñîñåäíþþ ïî äèàãîíàëè êî÷êó. Ìîæåò ëè îí îòïðàâèòüñÿ èç äîìà íà ïðîãóëêó è âåðíóòüñÿ äîìîé, ñäåëàâ ðîâíî 25 ïðûæêîâ? 8. Âàñèí ëÿãóøîíîê ïîäðîñ è òåïåðü îäíèì ïðûæêîì ìîæåò ïåðåìåñòèòüñÿ ïî äèàãîíàëè ëþáîãî ïðÿìîóãîëüíèêà 1x2. Ìîæåò ëè îí îòïðàâèòüñÿ èç äîìà íà ïðîãóëêó è âåðíóòüñÿ äîìîé, ñäåëàâ ðîâíî 25 ïðûæêîâ? 9.  êîðîáêå ëåæàò 5 ìàíäàðèíîâ. Èçâåñòíî, ÷òî ëþáûå òðè èç íèõ âåñÿò â ñóììå áîëüøå 300 ã, íî ìåíüøå 600 ã. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ ìàíäàðèí, âåñÿùèé îò 100 äî 200 ã. 10.  ìàãàçèí ïðèâåçëè 25 ÿùèêîâ ñ ÿáëîêàìè òðåõ ñîðòîâ, ïðè÷åì â êàæäîì ÿùèêå ëåæàëè ÿáëîêè êàêîãî-òî îäíîãî ñîðòà. Äîêàæèòå, ÷òî ÿùèêîâ êàêîãî-òî ñîðòà íå ìåíüøå äåâÿòè. 11. Íà øàõìàòíîé äîñêå ñòîÿò 8 ëàäåé, ïðè÷åì íè îäíà èç íèõ íå áüåò íè îäíó èç äðóãèõ. Õóëèãàí Âàñÿ âçÿë îñòðûé íîæèê è ðàçðåçàë äîñêó íà ÷åòûðå êâàäðàòà 4x4. Äîêàæèòå, ÷òî â ëåâûé âåðõíèé êâàäðàò 4x4 ïîïàëî ñòîëüêî æå ëàäåé, ñêîëüêî â ïðàâûé íèæíèé êâàäðàò 4x4. 12. Íàéäèòå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êðàòíîå 4, â çàïèñè êîòîðîãî âñòðå÷àþòñÿ âñå öèôðû îò 0 äî 9. 13.  êëåòêàõ òàáëèöû 100 × 100 ðàññòàâëåíû ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ÷èñëà. Êàæäóþ ìèíóòó êàæäîå èç ÷èñåë ìåíÿåòñÿ íà íàèáîëüøåå èç ÷èñåë, ñòîÿùèõ â ñîñåäíèõ ñ íèì ïî ñòîðîíå êëåòêàõ. Ìîãóò ëè ÷åðåç 4 ÷àñà âñå ÷èñëà â òàáëèöå îêàçàòüñÿ îäèíàêîâûìè?
