Малая северо-восточная олимпиада школьников 2014 5 класс II

Малая северо-восточная олимпиада школьников 2014
5 класс
II тур (Демонстрационный вариант)
1. Внук спросил деда, сколько ему лет. Дед ответил, что если к его возрасту добавить
удвоенное количество полных десятков его лет, то получится 84. Сколько лет деду?
2. Произведение двух чисел умножили на их сумму. Могло ли в результате
получиться число 2013?
3. Мышка нашли прямоугольный кусок сыра и начала его есть. За 35 секунд кусок
уменьшился по длине, ширине и высоте в 2 раза. Сколько ещё времени мышка
будет есть сыр?
4. Вдоль аллеи высадили несколько берез. Потом между каждыми двумя березами
посадили ещё по две березы. Потом между каждыми двумя березами посадили ещё
по одной березе, и всего берез стало 1357. Сколько берез посадили первоначально?
5. Вася попал на остров, где живут лжецы, которые всегда лгут, и рыцари, которые
всегда говорят правду. Вася встретил 3-х островитян и спросил у них, кто они
такие. Первый ответил: «Мы все лжецы», второй сказал: «Среди нас только один
рыцарь». Мог ли Вася определить, кто из этих троих кто?
1.
2.
3.
4.
5.
5 класс (решения)
70. Количество полных десятков не более 8. Перебрав все возможные варианты,
получим ответ.
Нет. Если оба нечетны, то сумма четна. Если хотя бы одно из них четное, то
произведение четно. Поэтому результат умножения произведения и суммы
всегда четен.
Объём куска сыра, оставшегося через 35 секунд, в 2·2·2 = 8 раз меньше
начального. Значит, мышка съела в 7 раз больше сыра, чем осталось.
Следовательно, оставшийся кусок она будут есть ещё 35 : 7 = 5 секунд.
Добавим ещё одну березу. Получается, что на втором шаге после каждой
березы (в том числе и после последней) посадили по одной березе, и их стало
1358. Значит, до этого (после первого шага) их было 1358 : 2 = 679. Теперь
добавим к ним ещё две березы (в самый конец). Получается, что в самом начале
после каждой березы (в том числе и после последней) посадили по две березы,
и их стало 681. Значит, в самом начале их было 681 : 3 = 227.
Первый и третий — лжецы, второй — рыцарь. Первый не может быть
рыцарем: рыцарь не сказал бы, что все они лжецы. Значит, первый лжец. Тогда
среди второго и третьего один или два рыцаря. Если второй лжец, то среди них
двое рыцарей, чего быть уже не может, так как первый и второй лжецы. Значит,
второй – рыцарь; поскольку он говорит правду, то он и является единственным
рыцарем.