Задача 1. На столе стояли три корзины с яблоками. Сначала

Задачи группы Пифагора для учеников 6 – 8 классов.
Срок представления решений первого тура 15 ноября 2011 г.
Решения посылай на почтовый адрес Tähe 4 – 143, Tartu 51010 (на конверте напиши KUUBIK).
Результаты и задачи следующего тура смотри на сайте http://www.teaduskool.ut.ee/kuubik
Задача 1. На столе стояли три корзины с яблоками. Сначала Дима забрал из первой
корзины несколько яблок, затем он взял из второй корзины столько же яблок, сколько
осталось в первой корзине. И, наконец, из третьей корзины он забрал столько же яблок,
сколько осталось во второй корзине. Причём из каждой корзины Дима забрал большую
часть яблок, но в каждой корзине оставил хотя бы одно яблоко.
a) Какое наименьшее количество яблок могло быть изначально во всех трёх корзинах
вместе?
b) Какое наибольшее количество яблок могло быть изначально во всех трёх корзинах
вместе, если из первой корзины Дима забрал 10 яблок?
Задача 2. Один пирог порезали на куски квадратной формы двух различных размеров.
Куски пирога со стороной 20 см стали продавать за 2 евро, а куски пирога со стороной
30 см стали продавать за 3 евро.
a) Что выгоднее купить, три меньших куска или два больших куска пирога?
b) От одного меньшего и одного большего кусков пирога отрезали части одного и того же
размера. Оказалось, что часть пирога, отрезанная от большего куска, должна стоить 40
центов. А сколько должна стоить часть пирога, отрезанная от меньшего куска?
Задача 3. Двадцать первых натуральных чисел записаны в таблицу по некоторой
закономерности.
После этого Катя продолжила заполнение этой таблицы последовательными
натуральными числами по той же самой закономерности.
a) Какие три числа она записала в 34-ом столбце?
b) В каком ряду сверху и в каком столбце слева она записала число 1234?
Задача 4. Пусть A и B такие
a) два положительных 3-значных числа, все шесть цифр которых различны;
b) два положительных 4-значных числа, все восемь цифр которых различны.
Найди наименьшую положительную разность чисел A и B.
Например, если A и B два двузначных числа, состоящих из различных цифр, то наименьшая
возможная положительная разность равна числу 1. Для проверки подходят числа 19 и 20.
Задача 5. Положительное целое число обладает
•
•
•
свойством A, если оно является трёхзначным;
свойством B, если оно делится на число 5;
свойством C, если сумма его цифр равна числу 7.
a) Сколько всего целых чисел обладают одновременно свойствами A, B и C?
b) А сколько всего чисел обладают свойствами A и B, но не обладают свойством C?
Задача 6. Простое число 7 имеет ровно два различных положительных делителя 1 и 7, а
следующее число 8 имеет уже четыре различных положительных делителя 1, 2, 4 и 8.
a) Катя нашла все числа от 1 до 100, которые имеют ровно три различных положительных
делителя. Найди наибольшее из них.
b) Найди все числа от 1 до 100, у которых ровно 12 различных положительных делителей.
Найдётся ли число от 1 до 100, у которого больше чем 12 различных положительных
делителей?
Задача 7. Необходимо изготовить столешницу, точный эскиз поверхности которой
заказчик нарисовал на листке клетчатой бумаги в масштабе 1 : 100 (см рисунок).
На этом эскизе площадь поверхности столешницы оказалась равна 36 см2.
a) Во сколько раз площадь поверхности реальной столешницы больше площади фигуры на
сделанном эскизе?
b) Найди периметр поверхности реальной столешницы.
Задача 8. На рисунке изображён один квадрат и 8 треугольников.
a) Во сколько раз сумма площадей всех треугольников на этом рисунке
больше площади изображённого на рисунке квадрата?
b) Что больше, сумма периметров всех треугольников на этом рисунке или
сумма периметров пяти таких же квадратов?
Задача 9. Для того, чтобы нарисовать правильный пятиугольник и все диагонали внутри
него, нужно начертить 10 отрезков, соединяющих вершины пятиугольника (смотри
рисунок).
a) А сколько соединяющих вершины отрезков нужно начертить, чтобы
получился правильный 10-угольник со всеми диагоналями внутри него?
b) Выведи формулу, по которой можно посчитать количество
соединяющих вершины отрезков для того, чтобы нарисовать правильный
n-угольник со всеми диагоналями внутри него.
Проверь правильность формулы при n=10.
Посчитай по формуле количество соединяющих вершины отрезков, которые нужно
начертить, чтобы получился правильный 50-угольник со всеми диагоналями внутри него.
Задача 10. В саду цветёт множество роз только красного, жёлтого и белого цвета. Катя
решила составить все различные по цвету букеты, состоящие из пяти роз.
Сколько различных по цвету букетов она может составить так, чтобы
a) в каждом букете была бы роза каждого из имеющихся цветов;
b) в каждом букете были бы розы по крайней мере двух различных цветов?
Замечание. Два букета назовём различными по цвету, если они отличаются цветом по
крайней мере одного цветка.
Задача 11. В конфетном аппарате 20 синих, 30 жёлтых и 50 красных жевательных конфет.
Для того, чтобы получить из аппарата одну конфету случайного цвета, нужно в аппарат
вставить одну 20-центовую монету.
a) Катя во что бы то ни стало хочет получить конфету красного цвета. Сколько денег у неё
по крайней мере должно быть при себе, чтобы в любом случае осуществить желаемое?
b) У Димы с собой 5 евро. Сможет ли он точно из этого аппарата получить 10 конфет
одинакового цвета?
Задача 12. В некоторой стране натуральные числа 1, 2, 3 и т.д. записываются при помощи
четырёх букв A, B, C и D.
Все однобуквенные числа в порядке возрастания имеют вид A, B, C и D, что соответствует
числам 1, 2, 3 и 4.
Все двухбуквенные числа в порядке возрастания имеют вид AA, AB, AC, AD, BA, BB, BC, BD,
CA, CB, CC, CD, DA, DB, DC и DD, что соответствует числам от 5 до 20.
И так далее, то есть все трёхбуквенные числа имеют вид
AAA, AAB, AAC, AAD, ABA, ..., DDC, DDD.
a) Сколько всего трёхбуквенных чисел в этой стране?
b) Какому натуральному числу соответствует четырёхбуквенное число ABCD?