Анализ математических моделей демографической и

УДК 519.85
Камалян Р.З.,
д.т.н., профессор, профессор
кафедры математики и вычислительных систем ИМСИТ
Камалян С.Р.,
к.ф.-м.н,. доцент
кафедры математики и прикладной информатики
Краснодарского филиала РГТЭУ
Мнацаканян А.Р.,
ассистент
кафедры макроэкономики и финансов
Северо-Кавказского института филиала РАНХиГС
АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЕМОГРАФИЧЕСКОЙ И
ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ
ANALYSIS OF MATHMATICAL MODEL OF DEMOGRAPHIC AND ECONOMIC
DYNAMICS
Аннотация: рассматриваются математические модели роста населения Земли.
Проводится
сравнительный
анализ
демографической
динамики
и
темпов
экономического роста.
Abstract: the article analyzes the mathematical model of population growth. A
comparative analysis of population dynamics in economic growth is given.
Ключевые слова: демография, линейная модель, нелинейная модель.
Keywords: demography, linear model, nonlinear model.
Человечество
перешагнуло
семимиллиардный
рубеж.
Еще
в
начале
шестидесятых годов прошлого столетия численность населения Земли составляло
около трех миллиардов. За последние пятьдесят лет численность возросла на четыре
миллиарда, что значительно больше, чем за все время существования человечества.
Темп роста настолько велик, что его стали характеризовать как демографический
взрыв. Именно стремительное увеличение численности населения мира требует все
возрастающего производства пищи и энергии, потребления минеральных ресурсов и
приводит к усилению давления на биосферу планеты. Образ безудержного увеличения
численности
населения
Земли
порождает
тревожные
прогнозы,
и
даже
апокалипсические сценарии будущего человечества [1]. В этих условиях исследование
роста населения Земли и экономического развития с помощью математических
моделей может открыть путь к более глубокому пониманию эволюции человечества и
помочь в раскрытии того критического состояния, в котором оно находится в
настоящее время.
Эффективным методом являются модельные исследования [2]. Простейшая
модель роста населения Земли связана с именем Мальтуса [3]. В ее основу положено
простое утверждение – скорость изменения населения со временем t пропорциональна
его текущей численности N (t ) , умноженная на сумму коэффициентов рождаемости
k1 (t ) и смертности k2 (t ) . При этом, k1 (t )  0 , а k2 (t )  0 . В результате приходим к
уравнению
dN
  k1  k2  N .
dt
(1)
Интегрирование (1) дает
t

N(t )  N  0  exp    k1 (t )  k2 (t )  dt  ,
t

0

где N  0   N(t  t 0 ) – начальная численность.
На рисунке 1 приведены графики функции N(t) при постоянных k1 и k 2 (разным
подобным друг другу кривым соответствуют разные t0 – значение времени начала
процесса).
N (t )  N (0)e( k1 k2 )(t t0 ) ,
(2)
При k1 = k2 численность остается постоянной, т.е. в этом случае решением
уравнения
является
равновесная
величина
N (t ) = N (0) . Равновесие между
рождаемостью и смертностью неустойчиво в том смысле, что даже небольшое
нарушение равенства k1 = k2 приводит с течением времени к все большему
отклонению функции N (t ) от равновесного значения N (0) .
N (t )
k1 > k2
k1 = k2
N (0)
k1 < k2
t01 = 0
t02
t03
t
t04
Мальтуса (2)  k1  const , k2  const 
Рис. 1. Изменение численности населения со временем в модели.
Как следует из (2) при k1  k2 численность населения убывает и стремится к
нулю при t   , а при k1  k2 растет по некоторому экспоненциальному закону,
обращаясь в бесконечность при t   . Последнее обстоятельство и послужило
основанием для опасений Мальтуса о грядущем перенаселении Земли. Этот вывод был
сделан им не только из решения модели (2). Опираясь на наблюдения за ростом
численности населения в Америке, он установил, что в условиях неограниченных
территориальных ресурсов население растет экспоненциально, удваиваясь в этих
условиях за 18 лет. В тоже время он предположил, что производство пищи происходит
по линейному закону и будет отставать от роста населения.
Если исходить из этих наблюдений и модели Мальтуса (2), то население Земли
за последние 50 лет (с начала шестидесятых годов) должно было составить 24
миллиарда, что соответствует примерно k1  k2  0,04 . Однако население возросло до 7
миллиардов, т.е. k1  k2  0,02 (расчеты оценочные).
Иными словами рост населения происходит не по модели Мальтуса. Конечно
же,
сложнейший
процесс
изменения
численности
населения,
зависящий
от
сознательного вмешательства самих людей, не может, по-видимому, описываться
какими-либо простыми закономерностями. Простота модели Мальтуса во многом
связана с ее линейностью. В математическом плане это важное понятие означает, что
справедлив принцип суперпозиции, т.е. любая линейная комбинация решений
(например, их сумма) также является решением задачи. Пользуясь принципом
суперпозиции, нетрудно, найдя решение в каком-либо частном случае, построить
решение в более общей ситуации. Поэтому о качественных свойствах общего случая
можно судить по свойствам частного – различие между двумя решениями носит лишь
количественный характер (Рисунок 1).
Большинство реальных процессов и соответствующие им математические
модели нелинейны. Это относится и к процессу изменения численности населения
Земли. Если, например, учесть, что как коэффициент рождаемости, так и смертности
зависят от численности
N (t )
популяции, то уравнение (1) сразу становится
нелинейным.
dN
  k1 ( N )  k2 ( N ) N .
dt
(3)
Однако ни модель Мальтуса, ни модель (3), несмотря на свою простоту и
логичность, не могут быть использованы для описания роста населения в долгосрочном
прогнозе. Действительно человечество – система, в которой не только достаточно
сложно проследить и просуммировать все явления, определяющие его рост, но гораздо
труднее повлиять на ход событий в предвидимом будущем, что в значительной мере
определено поведением человечества как развивающейся динамической системы.
Подход Мальтуса неверен в первую очередь потому, что он не учитывал
систематический характер развития. Системность означает, что и производство пищи, и
развитие в целом и воспроизводство населения взаимообусловлены множеством связей.
Поэтому при построении модели необходимо учитывать законы эволюции в целом.
Здесь в первую очередь следует остановиться на демографическом переходе [3]. Это
явление состоит в резком возрастании скорости роста популяции, сменяющейся затем
столь
же
стремительным
его
уменьшением,
после
чего
население
страны
стабилизируется в своей численности [3]. Этот переход уже пройден развитыми
странами, и теперь такой процесс происходит в развивающихся странах.
Вопрос о том, как поведет себя демографическая динамика после перехода, была
предметом многих исследований. Наиболее серьезные результаты, по-нашему мнению,
получены С.П. Капицей [4].
Для описания демографического перехода С.П. Капица предлагает уравнение
dN
C

.
dT (T1  T )2
(4)
Далее он ввел в уравнение (4) характерное для жизни человека время 
dN
C

.
dT (T1  T )2   2
(5)
Интегрируя (5), С.П. Капица получил решение
c
 T T 
N  arcctg  1
.

  
(6)
Значение постоянных, определяющих решение модели, получены С.П. Капицей
по данным мировой демографии [3]. Главный вывод модели следующий: из
полученных выражений можно определить предел, к которому стремится численность
населения в обозримом будущем
N   k 2  12 109 .
Согласно утверждению С.П. Капицы глобальный демографический переход
происходит за время, равное 2 , т.е. за 90 лет. Эволюционное демографическое
развитие человечества по модели (6) представлено на рисунке 2, из которого видно, что
модель
Капицы
человечества.
достаточно
хорошо
описывает
демографическую
динамику
Рис.2. Эволюционная модель Капицы С.П.
Рассмотрим теперь модели экономического роста. Основополагающая модель
экономического роста принадлежит Р. Солоу [5] и имеет вид
Y (t )  A(t ) K  (t ) L1 (t ),
(7)
где Y (t ) – текущий объем выпуска национального продукта (ВВП); K (t ) –
текущий объем физического капитала; L(t ) – численность занятых в экономике; A(t ) –
технический прогресс.
Ключевую роль в модели роста Р. Солоу (7) играет фактор технического
прогресса A(t), что по существу представляет собой совокупную факторную
производительность. Однако модель Р. Солоу хорошо описывает экономическое
развитие присущее для индустриальной эпохи, когда физический капитал, и в
особенности высокая капиталловооруженность труда, играли основную роль. Но в
постиндустриальную эпоху все возрастающую роль играет человеческий капитал,
который
становится
ведущим
фактором
производства.
Поэтому
возникла
необходимость учета человеческого капитала в производственной функции наряду с
такими традиционными факторами производства как физический капитал, труд и
природные ресурсы. Для этого можно в базовую модель роста Р. Солоу ввести
величину, учитывающую человеческий фактор. Сравнительный анализ показал, что
наиболее подходящей моделью является модель Менкью-Ромера-Уэйла с техническим
прогрессом, нейтральным по Харроду [6].
1- a - b
Y (t ) = K a (t ) H b (t )[A(t ) L(t )]
,
(8)
где H – численность населения,   0,   0 .
Технический рост описывается уравнением Кузнеца-Кремера
1 dA
 bN ,
A dt
(9)
где N – численность населения, b – постоянный коэффициент.
Поскольку для мира в целом, а также большинства стран, технологический рост
A хорошо описывается уравнением (9), то можно, используя дополнительную
информацию и полагая, что демографическая динамика описывается моделью Капицы
С.П. (5), представить уравнение (9) в виде
dA
 T T 
 bK 2 arcctg  1
 dT , T  T1.
A
  
(10)
Интегрируя (10), при определенных дополнительных условиях, и подставляя
выражение для A в (7) или (8) можно получить формулу для расчета динамики ВВП.
Литература:
1.
КапицаС.П. О циклах, кризисах и катастрофизме // Формирование новой
парадигмы обществоведения: Материалы IV Кондратьевских чтений – М.: МФК, 1996.
2.
Математическое моделирование / Под. Ред. Дж. Эндрюса и Р. Мак-Лоуна.
– М.: Мир, 1979.
3.
Камалян Р.З., Камалян С.Р., Гергенридер К.А. Сравненительный анализ
моделей роста населения Земли // Вестник ИМСИТа, 2007. № 1 – 2.
4.
Капица С.П. Общая теория роста человечества. – М.: Наука, 1999.
5.
Замков О.О, Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы
в экономике. – М.: ДНС, 1997.
6.
2006.
Шараев Ю.В. Теория экономического роста. – М.: Изд. Дом ГУ ВШЭ,