Рост населения Земли

Семинар № 7
Модели динамики популяций
•
•
•
•
•
•
Модель Мальтуса
Модель Ферхюльста
Модели Моно и Базыкина
Модели с запаздыванием
Возрастное распределение
Модель смертности
Где применяется
Главное отличие от физики и химии – изменение
численности объектов, составляющих систему.
Области применения математических моделей динамики
популяций:
•Микробиология (количество органелл клетки)
•Санитария (распространение патогенных бактерий)
•Медицина (раковые опухоли, распространение инфекций, рост и
дифференцирование тканей)
•Экология (борьба с вредителями, сохранение видов)
•Экономика (рост трудовых ресурсов, миграция, планирование
социальных программ по рождаемости, продлению жизни и
пенсионному страхованию)
•Страхование жизни (оценка рисков)
Определения
Население — непрерывно возобновляющаяся в процессе
воспроизводства совокупность людей, живущих на Земле
в целом или в пределах какой-либо её части (стране,
части страны, группе стран и т. п.).
Численность населения — один из демографических
показателей. В общем случае — число людей в
определенной их совокупности (регион и т. п.).
Постоянно изменяется вследствие рождений, смертей,
миграции, измеряется и оценивается по состоянию на
определенный момент времени.
Рост населения Земли
•15 тыс. лет до н.э. — 3 млн. человек
•2 тыс. лет до н.э. — 50 млн. человек
•0 год н.э. — 230 млн. человек
•в 1000 году — 275 млн. человек
•в 1800 году — 1 млрд. человек
•в 1900 году — 1,6 млрд. человек
•в 1960 году — 3 млрд. человек
•в 1993 году — 5,5 млрд. человек
•в 2003 году — 6,3 млрд. человек
•в 2011 году — 7,0 млрд. человек
•Прогноз на 2050 год — 9 млрд. человек.
Факты
Крупнейшие по численности народонаселения страны
(январь 2012 год):
•Китай — 1 349,7 млн. (+0,493%)
•Индия — 1 222,1 млн. (+1,344%)
•США — 313,3 млн. (+0,963%)
•Индонезия — 245,6 млн. (+1,213%)
•Бразилия — 196,0 млн. (+1,134%)
•Пакистан — 174,8 млн. (+1,573%)
•Бангладеш — 162,2 млн. (+1,573%)
•Нигерия — 154,0 млн. (+1,933%)
•Россия — 143,0 млн. (-0,03%)
•Япония — 127,0 млн. (-0,088%)
Факты
•Вплоть до 1970-х гг. численность населения
мира росла по гиперболическому закону; в
настоящее время наблюдается прогрессирующее
замедление темпов роста населения Земли.
•В начале 2000-х гг. народонаселение мира
ежегодно увеличивалось примерно на 90 млн.
человек.
•Географическое распределение народонаселения
неравномерно: на 7 % суши живет 70 %
человечества.
•В мире насчитывается свыше 2 тыс. народов (в
России — более 100).
Показатели населения
•численность и динамика численности
•интенсивность демографических процессов:
рождаемость, смертность, естественный прирост,
брачность
•расселение, урбанизация, миграция
•возрастно-половой состав и семейное состояние
•уровень образования
•расовый, языковой, этнический и религиозный
состав
Ряд Фибоначчи
Леонардо из Пизы, более известный
как Фибоначи (Leonardo Pisano,
Fibonacci (сын Боначи), около 1170 —
около 1250), — итальянский купец,
рассмотревший идею так называемых
чисел Фибоначчи и считающийся
одним
из
самых
значительных
западных математиков средневековья.
"Некто выращивает кроликов в пространстве, со всех сторон
обнесенном высокой стеной. Сколько пар кроликов рождается в
один год от одной пары, если через месяц пара кроликов
производит на свет другую пару, а рожают кролики, начиная со
второго месяца после своего рождения.".
Модель Мальтуса
Томас Роберт Мальтус (англ. Thomas
Robert
Malthus,
1766-1834)
—
английский священник и учёный,
демограф и экономист
В 1798 году он опубликовал свою
книгу «Essay on the Principle of
Population»
(«Опыт
о
законе
народонаселения»).
Модель Мальтуса
Основные идеи «Опыта»:
•Если рост населения не задерживается какимилибо причинами, то население будет удваиваться
каждые четверть века, и, следовательно,
возрастать в геометрической прогрессии.
•В своей книге ученый впервые использовал
категорию «борьба за существование», которая
затем была использована биологом Ч. Дарвином
в его «Происхождении видов»
Модель Мальтуса
r0 – постоянный темп роста численности
однополой популяции (бактерий, клеток
опухоли) при избытке ресурса.
dN
= r0 ⋅ N
dt
N (t ) = N 0 e r0t
r0 > 0 ⇒ N → ∞
r0 < 0 ⇒ N → 0
r0 = a − b
где a – рождаемость, b – смертность
Модель Ферхюльста
Пусть ресурсы ограничены, k - емкость среды
(какое максимальное количество особей могут
прокормиться)
⎛ N⎞
r0 = r ⎜ 1 − ⎟
k ⎠
⎝
dN
⎛ N⎞
= r ⋅ N ⎜1 − ⎟
dt
k ⎠
⎝
r >0⇒ N →k
Модель Ферхюльста
Задача. Вылов рыбы в пруду.
Найти долю или количество рыбы, которую необходимо
отлавливать из пруда, чтобы количество отлавливаемой
рыбы было максимальным и постоянным. Изменение
численности рыбы при отсутствии вылова описывается
моделью Ферхюльста с параметрами r и k.
Модель Ферхюльста
dN
⎛ N⎞
= r ⋅ N ⎜1 − ⎟ − v ⋅ N = 0
dt
k ⎠
⎝
⎛ N⎞
r ⎜1 − ⎟ − v = 0
k ⎠
⎝
⎛ v⎞
N стац = k ⎜1 − ⎟
⎝ r⎠
Вылов рыбы: v ⋅ N стац
⎛ 2v ⎞
f ′ ( v ) = 0 ⇒ k ⎜1 − ⎟ = 0
r ⎠
⎝
⎛ v⎞
= k ⋅ v ⎜1 − ⎟ = f ( v ) → max
⎝ r⎠
r
⇒v=
2
N стац
r ⋅k
Количество отлавливаемой рыбы:
4
k
=
2
Разнополая популяция
Для разнополой популяции при неограниченных
ресурсах скорость размножения популяции
определяется числом встреч самцов и самок:
dN
= r⋅N2
dt
При большой плотности размножение
лимитируется числом самок в популяции (модель
Моно):
2
dN
β ⋅N
= a⋅
dt
β +τ ⋅ N
Разнополая популяция
2
−
γ
⋅
x
−
σ
⋅
x
Смертность:
Слагаемые – обычная и внутривидовая
конкуренция соответственно.
Модель Базыкина:
dN
β ⋅N2
= a⋅
− γ ⋅ N −σ ⋅ N 2
dt
β +τ ⋅ N
Система имеет 3 стационарные точки:
•N=0 и N=k (ёмкость среды) – устойчивые
•N=L, 0<L<k – неустойчивая.
Критическая численность
Смысл величины L: при низких плотностях популяции время,
необходимое для встречи разнополых особей и оплодотворения,
становится больше времени пути отдельной особи, способной к
оплодотворению.
Пренебрегая квадратичным членом в смертности (тут не до
конкуренции, встретиться бы), получим:
γ ⋅β
L≈
α ⋅ β − γ ⋅τ
Модель с запаздыванием
dN
dN
= f (N) ⇒
= f ( N t −τ )
dt
dt
Например , T – время вынашивания плода и развития
особи.
Сезонное размножение – «взросление» занимает год:
N n +1 = f ( N n )
Поедание мальков взрослыми:
N = N ⋅ ( r − δ ⋅ Nt −τ )
Первое слагаемое – естественные размножение и
смертность, второе – поедание.
Уравнение Хатчинсона
dN t
⎛ N ⎞
= r ⋅ N t ⎜ 1 − t −T ⎟
dt
k ⎠
⎝
•При T >> 1/r (собственное время системы) могут
возникать нарастающие колебания
•При T < 1/r колебания затухают.
Пример: у саранчи время развития от яйца до взрослой
особи больше времени естественной смертности ->
периодически возникают «вспышки» численности.
При этом амплитуда “вспышки” пропорциональна
интервалу между вспышками ( “регулярный хаос“)
Уравнение Морана
Для простоты рассмотрим упрощенную модель Морана:
xn +1 = rxn (1 − xn )
Возможны следующие варианты :
• r < 1 – численность стремится к устойчивому
равновесию
• 1< r < 2,570 – устойчивые циклы, по мере увеличения
длина цикла растет, и значения численности повторяются
через 2, 4, 8, …, 2n поколений
• r > 2,570 – хаотизация решений
Уравнение Морана
Типы динамики численности
в модели популяции с
неперекрывающимися
поколениями при разных
значениях собственной
скорости роста:
•а - затухающие колебания;
•б - монотонный рост;
•в - двухточечный цикл;
•г - четырехточечный цикл;
•д, е - квазистохастическое
поведение.
Уравнение Морана
Точка бифуркации – качественная перестройка системы c
возникновением нового режима ее поведения. Вхождение
системы в непредсказуемый режим описывается каскадом
бифуркаций, следующих одна за другой.
Распределение по возрасту
Дискретные возрастные модели, в которых
популяция делится на конечное число возрастных
групп, описываются системой разностных
уравнений Лесли: G
G
x ( t + 1) = Lx ( t )
где x - вектор численности возрастных групп , а L матрица вероятностей перехода.
Матрица Лесли
Вид матрицы перехода:
L=
0 0 ... bk
m1 0 ... 0
0 m2 ... 0
...
0
0
...
0
0
... ...
...
...
bk +1 ... bk + p
0 ... 0
0 ... 0
...
...
...
...
...
...
0
0
0
0
0
0
... ... ...
... 0
0
... mn −1 0
Двухвозрастная модель
Предельный случай: n = 2 – двухвозрастная модель
Степановой
1
⎧ dN1 2
⎪ dt = T ⋅ N 2 − T ⋅ N1 − D ⋅ N1
⎪
2
1
⎨
⎪ dN 2 = 1 ⋅ N − 1 ⋅ N − D ⋅ N
1
2
2
⎪⎩ dt
T1
T2
T1 – среднее время созревания “молодой” клетки
T2 – среднее время пребывания “старой” клетки в
детородном периоде
Непрерывное распределение
Предельный случай: n → ∞ – модель МакКендрикафон Ферстера.
Для x>0:
∂n ( t , x ) ∂n ( t , x ) dx ∂n ( t , x ) ∂n ( t , x )
d
n (t, x ) =
+
⋅ =
+
∂t
∂x
∂t
∂x
dt
dt
∂n ( t , x ) ∂n ( t , x )
+
= −M (t, x ) ⋅ n (t, x )
∂t
∂x
∞
n ( t , 0 ) = ∫ B ( t , x ) ⋅ n ( t , x ) dx
0
n ( 0, x ) = n0 ( x )
Модель Капицы
K 2τ
20 ⋅109
N=
=
Tкр − T 2015 − T
При T ≈ Tкр
dN N 2 1
dN
C
=
+ →
=
dT
C τ
dT (T − T )2 + τ 2
кр
Прогноз – стабилизация численности населения
Земли на 11-14 млрд. человек.