Кафедра высшей математики Методические указания

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ДЕПАРТАМЕНТ КАДРОВОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ
ЧЕЛЯБИНСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АГРОИНЖЕНЕРНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра высшей математики
Методические указания
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Челябинск
2003
Методические указания по изучению темы «Комплексные
числа» содержат теоретические сведения, примеры решения типовых
задач, задачи для самостоятельной подготовки к экзамену.
Составители
С.А.Скрипка
- ст. преподаватель (ЧГАУ)
А.С.Угрюмова
- ассистент (ЧГАУ)
Рецензенты
В.Н.Гулявцев
- доцент (ЧГАУ)
А.В.Кунгурцева
- доцент кафедры прикладной
мате-
матики ЮурГУ, к.ф.- м.н.
Печатаются по решению методической комиссии факультета
ЭАСХП.
Редактор Казиева Ю.М.
Подписано к печати
Уч.-изд.л. 1,5. Заказ
21.01.03.
Формат 60x84/16.
Тираж 50
РИО ЧГАУ
454080, Челябинск, пр. Ленина, 75
ООП ЧГАУ.
ãЧелябинский государственный агроинженерный университет, 2003
2
Определение, изображение комплексных чисел. Дейст-
1.
вия над комплексными числами в алгебраической форме
1.
Комплексным числом Z называется выражение вида
Z = x + iy, где х и у – действительные числа, а i – так называемая
мнимая единица, i 2 = -1. Если х = 0, то число 0 + iy = iy называется
чисто мнимым; если у = 0, то число х + i0 = х отождествляется с действительным числом х. Число х называется действительной частью
комплексного числа Z и обозначается х = ReZ, а у – мнимой частью
Z и обозначается у=Im Z. Запись числа Z в виде Z = x + iy называют
алгебраической формой комплексного числа.
2.
Два комплексных числа Z 1 = x 1 + iy 1 и Z 2 = x 2 + iy 2 называ-
ются равными (Z 1 = Z 2 ) тогда и только тогда, когда равны их действительные части и их мнимые части: x 1 = x 2 , y 1 = y 2 . В частности, комплексное число Z = x + iy равно нулю тогда и только тогда, когда х =
= у = 0.
Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.
Пример 1. При каких действительных значениях х и у выполняются равенства:
а) x (2 – i ) + y (2i – 1) = 4 – 5i;
б) ix 2 + ( 3 – i ) x – ( 1 – 2i ) y = 2 + 2i ?
Решение: а) преобразуем левую часть выражения, а именно, выделим действительную и мнимую части комплексного числа:
2x – y–xּi + 2yּi = 4 – 5i
( 2x – y ) + (–x + 2y ) i = 4 + (–5)i
3
Используя условие равенства двух комплексных чисел, получим
систему двух уравнений:
ìï 2 x - y = 4
ì 4 x-2 y=8
+ í
í
ïî- x + 2 y = -5 î- x+2 y =-5
ì
ï 3x=3
í
ï y= x-5
î
2
ì x =1,
í
î y=-2
б) аналогично преобразуем левую часть:
3x – y + ix 2 - xi + 2yi = 2 + 2i,
откуда
(3x – y) + (x 2 - x +2y)i = 2 + 2i,
ì 3x- y= 2, ì y= 3 x-2,
í
í
î x2-x+2 y= 2 î x2- x+2(3 x-2)=
2
ì y = 3 x - 2, ì y = 3 x - 2,
í
í
2
î x +5 x -6+ 0 î x1 = -6; x2 = 1
ì y1= -20, y2= 1,
í
î x1= -6, x2= 1.
-
3.
Два комплексных числа Z = x + iy и Z = x – iy, отличающие-
ся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.
Например:
1 + i и 1 – i; 2i и –2i.
Комплексные числа, отличающиеся знаком действительной и
мнимой частей, называются противоположными.
3.
Всякое комплексное число Z = x + iy можно изобразить
точкой М(х;у) плоскости Оху такой, что x = ReZ, y = ImZ. Ось OX называется действительной, ось OY-мнимой. И, наоборот, каждую точку М(х;у) координатной плоскости можно рассматривать как образ
комплексного числа Z = x + iy. Комплексное число Z можно задавать
с помощью радиус-вектора r = OM = {x; y}.
4
Пример 2. Изобразите геометрически следующие комплексные
числа и им сопряженные: а) 3; б) 2i; в) –2-3i; г) 1 + 2i.
Решение:
а) Z 1 = 3 = 3 + 0i
б) Z 2 = 2i = 0 + 2i
Z 1 = 3 – 0i = 3, т.е. Z 1 = Z 1 .
Z 2 = 0 – 2i = -2i.
в) Z 3 = -2 – 3i
г) Z 4 = 1 + 2i
Z 3 = -2 + 3i
Z 4 = 1 – 2i
5
5.
Длина вектора r называется модулем комплексного числа и
обозначается Z или r : r = Z = x 2 + y 2 . Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором r , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg Z или j . Arg Z = arg Z + 2 pk , k любое целое число ; arg Z – главное значение аргумента,
-p < arg Z ≤ p. Аргумент j определяется из формулы:
Так как - p < arg Z £ p , то из формулы: tgj =
y
x
tg j = y .
x
получаем, что
ì arctg y
x
ïï
y
arg Z = íarctg + p
x
ï
y -p
arctg
ïî
x
Если точка Z лежит на действительной или мнимой оси, то arg Z
можно найти непосредственно.
6
Пример 3. Найдите модуль и главное значение аргумента следующих комплексных чисел:
2 - i 2 ; б) –3i.
а)
Решение:
Z 1 = ( 2 ) 2 + (- 2 ) 2 = 4 = 2
а) Z 1 = 2 - i 2 ,
arg Z 1 = arctg
- 2
p
= arctg (-1) = -arctg1 = - - главное значение
4
2
аргумента, т.к. - p < -
p
< p.
4
б) Z 2 = -3i = 0 - 3i
Z 2 = 0 2 + (-3) 2 = 9 = 3
Из изображения числа Z 2 следует, что arg Z 2 = чение, т.к. - p < 6.
p
- главное зна2
p
< p.
2
Суммой двух комплексных чисел Z 1 = x1 + iy1 и
Z 2 = x 2 + iy 2 называется комплексное число, определяемое равенством
Z = Z 1 + Z 2 = ( x1 + x 2 ) + i ( y1 + y 2 ).
Свойства сложения комплексных чисел:
a)
Z 1 + Z 2 = Z 2 + Z1
b)
( Z 1 + Z 2 ) + Z 3 = Z 1 + ( Z 2 + Z 3 ).
7.
Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Если Z 1 = x1 + iy1 , Z 2 = x 2 + iy 2 , то
Z = Z 1 - Z 2 = ( x1 - x 2 ) + i ( y1 - y 2 ).
8.
Произведением
комплексных
чисел
Z=
x 1 +iy1
1
и
Z 2 = x 2 + iy 2 называется комплексное число, определяемое равенст7
вом:
Z = Z1 × Z 2 = ( x1 x2 - y1 y 2 ) + i ( x1 y 2 + y1 x2 ).
Z ×=
Z ( x + iy) × ( x - iy
=
) x2 + y2 -
Заметим,
что
действительное число.
Свойства умножения комплексных чисел:
a)
Z1 × Z 2 = Z 2 × Z1 .
b)
(Z1 × Z 2 ) × Z 3 = Z1 (Z 2 × Z 3 )
c)
Z 1 ( Z 2 + Z 3 ) = Z 1 ×Z 2 + Z 1 × Z 3 .
Например:
(2 - 3i )(-5 + 4i ) = -10 + 8i + 15i - 12i 2 = -10 + 23i + 12 = 2 + 23i.
9. Деление определяется как действие, обратное умножению. Если Z 1 = x1 + iy1 , Z 2 = x 2 + iy 2 , то Z =
z1 x1 x 2 + y1 y 2
y1 x2 - x1 y 2
i
=
+
.
2
2
2
2
z2
x2 + y 2
x2 + y2
На практике частное двух комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю («избавляются от мнимости в знаменателе»).
Пример 4. Выполните деление
Решение:
1 + 3i
.
2+i
1 + 3i (1 + 3i )(2 - i ) 2 - i + 6i + 3 5 + 5i
= 1 + i.
=
=
=
2 + i (2 + i )(2 - i)
4 +1
5
Пример 5. Выполните указанные действия:
а) (2 – 3i) – (i – 2);
б) (2 – i) (i + 1) – (1,5i + 1) 4i;
в)
1
i
+
;
1 + 2i 2 - i
г)
2
1- i
(2 - i);
1 + i 1 + 2i
д) ( 2 + i 2 ) 2 .
8
Решение:
а) (2 – 3i) – (i – 2) = 2 – 3i – i + 2 = 4 – 4i;
б ) (2 - i) × (i + 1) - (1,5i + 1) × 4i = 2i - i 2 + 2 - i - 6i2 - 4i =
= 2i + 1 + 2 - i + 6 - 4i = 9 - 3i;
1 + i = 2 - i + i(1 + 2i) = 2 - i + i + 2i 2 = 2 - i + i - 2 =
1 + 2i 2 - i (1 + 2i)(2 - i) (1 + 2i)(2 - i) (1 + 2i)(2 - i)
0
=
= 0;
(1 + 2i)(2 - i)
в)
2 - 1 - i × (2 - i) = 2 - 2 - 2i - i + i 2 = 2 - 2 - 2i - i - 1 =
1+ i
1+ i 1 + 2i
1 + 2i
1+ i
1 + 2i
2
= 2 - 1 - 3i = 2(1 + 2i) - (1 - 3i)(1 + i) = 2 + 4i - (1 - 3i + i - 3i ) =
1 + i 1 + 2i
(1 + i)(1 + 2i)
1 + i + 2i + 2i2
= 2 + 4i -1 + 3i - i - 3 = - 2 + 6i = 2(-1 + 3i) = 2;
1 + i + 2i - 2
- 1 + 3i (-1 + 3i)
д) ( 2 + i 2 )2 = ( 2 )2 + 2 2 × i 2 + (i 2 )2 = 2 + 2 × 2i + i 2 × 2 = 2 + 4i - 2 = 4i
г)
Пример 6. Определите полное сопротивление цепи
если известно Z 1 = (6 + 8i ) Ом;
Z=
Z1 × Z 2
,
Z1 + Z 2
Z 2 = 8i Ом.
Решение:
2
(6 + 8i ) × 8i
= 48 i + 64 i = - 64 + 48 i = - 32 + 24 i =
6 + 8i + 8i
6 + 16 i
6 + 16 i
3 + 8i
( - 32 + 24 i )( 3 - 8 i ) - 96 + 72 i + 256 i - 192 i 2
=
=
=
9 + 64
( 3 + 8 i )( 3 - 8 i )
= - 96 + 328 i + 192 = 96 + 328 i » (1, 32 + 4 , 5 i ) Ом .
73
73
Z =
Пример 7. Постройте на плоскости комплексного переменного
линии, заданные уравнениями:
а) Z - 2i =
3;
б) Re(Z 2 ) = 1;
9
в) arg Z =
p
;
4
г) 2 Re Z - ( JmZ ) = 1.
2
Решение: а) Z - 2i = 3.
Т.к. Z = x + iy, то Z – 2i = x + iy – 2i = x + i(y – 2).
Найдем
Z - 2i = x 2 + ( y - 2) 2 .
По условию
Z - 2i = 3, т.е.
x 2 + ( y - 2) 2 = 3 , x 2 + ( y - 2) 2 = 32. Это уравнение задает окружность
с центром в т. С (0;2), радиуса 3.
б) Re(Z 2 ) = 1 .
Т.к. Z = x + iy, то
Z 2 = ( x + iy ) 2 = x 2 + 2 xyi + i 2 y 2 = ( x 2 - y 2 ) + 2 xyi.
Re( Z 2 ) = x 2 - y 2 .
По условию x 2 - y 2 = 1. Это уравнение равнобочной гиперболы.
Вершина находится в начале координат, полуоси: а = в = 1.
10
в) arg Z =
p
.
4
y
y p
Т.к. arg Z = arctg , то arctg = ;
x
x 4
y
= 1, y = x. Это уравнение
x
прямой (биссектриса І и III координатных четвертей).
Рассматриваем точки прямой у = х, лежащие только в I четверти.
г) 2 Re Z - (JmZ )2 = 1.
11
Т.к.
то
Z=x+iy,
2x=
- y 1,
2
ReZ=x,
тогда
ImZ=y,
y2 +1
2 x y + 1, =
=
x
.
2
2
Это уравнение параболы, вершина в точке с координатами
æ1 ö
ç ;0 ÷, ось ОХ – ось симметрии.
è2 ø
Пример 8. Изобразите области, заданные условиями:а) Z ³ 1; б)
2
Z + 2 - i < 3; в) Re Z £ 2; г) 1 £ z - 1 + i £ 4; д)
а)
Z ³ 1. Т.к.
Z
=
x
+
x 2 + y 2 ³ 1, x2 + y 2 ³ 1.
12
iy,
ì Im Z £ 2,
ï
í
π
ïî0 £ arg Z < 4
Решение:
Z = x2 + y 2 ,
то
б) Z + 2 - i < 3;
Т.к. Z = x + iy, то Z + 2 - i = x + iy + 2 - i = (x + 2 ) + (y -1 )i
Найдем Z + 2 - i = (x + 2 )2 + (y - 1 )2.
По условию Z + 2 - i < 3, т.е.
( x + 2)2 + ( y - 1)2 < 3
( x + 2)2 + ( y -1)2 < 9.
в) Re Z £ 2.
Т.к. Z = x + iy, Re Z =x, то x ≤ 2.
13
г) 1 £ Z - 1 + i £ 4.
2
Т.к. Z = x + iy, Z – 1 + i = x + iy – 1 + i = (x – 1) + (y + 1) i,
Z - 1 + i = ( x - 1) 2 + ( y + 1) 2 , Z - 1 + i 2 = ( x - 1) 2 + ( y + 1) 2 ,
1 £ ( x - 1) 2 + ( y + 1) 2 £ 4.
ìï Im Z £ 2
p
д) í
0
£
arg
Z
<
ïî
4
JmZ £ 2.
Т.к. Z = x + iy, ImZ = y, то y ≤ 2 , 0 £ arg Z < p .
4
y
Т.к. arg Z = arctg , то 0 £ arctg y < p ; tg 0 £ y < tg p
x 4
x
4
x
0 £ y < 1; 0 £ y < x.
x
Т.о.,
ì y£2
í
î0£ y< x
14
то
Решите задачи
1.1. Изобразите геометрически комплексные числа и им сопряженные:
2; -i; -2; 3 – 2i; 1 + 2i; - 1 – i.
1.2. а) Найдите сумму и произведение комплексных чисел Z 1 и
Z 2 , если:
1) Z 1 = 4 + 5i; Z 2 = 3 - 2i.
2) Z 1 = 0,5 - 3,2i; Z 2 = 1,5 - 0,8i.
3) Z 1 = 2 - 3i; Z 2 = 2 + 3i.
б) Найдите разность и частное комплексных чисел Z 1 и Z 2 ,
если:
1)
Z1 = 3 + 4i; Z2 = 0,4 - 0,2i.
2)
Z1 = 1 - 2i; Z2 = 0,6.
3)
Z1 = 5 - i; Z 2 = 5 - 2i.
1.3.
Найдите мнимую часть Z, если:
15
1)
Z = (2 - i ) 3 × (2 + 11i ).
2)
Z=
2 - 3i 6
+i .
1 + 4i
3)
Z=
5 + 2i 3 - 4i 1
- .
2 - 5i 4 + 3i i
1.4.
Выполните действия:
1)
i 17 + i 18 + i 19 + i 20 .
2)
1
3
1
3
2i × ( +
i) × (- +
i ).
2 2
2 2
3)
1+ i 1- i
+
.
1- i 1+ i
4)
13 + 12i (1 + 2i) 2
+
.
6i - 8
2+i
(1 + 2i ) 2 - (1 - i ) 3
.
(3 + 2i ) 3 - (2 + i ) 2
5)
6)
(7 + i ) × (2 - i ) - (3 + 5i ) × (-i).
7)
i (3 - i) - (2 + 3i ) × (1 - i ).
8)
3 5 - i 10 + i
+
i
2
1 + i.
1.6. Определите, при каких действительных значениях x и y комплексные числа:
а) Z1 = 2i (x +2yi) + 3x и
Z2 = 1- 2i ;
б) Z2 = y2 – 7y + 9xi и Z2 = -12 + 20i + x2i
равны.
1.7. Найдите модуль комплексного числа Z:
1) Z = -4;
2) Z = -i;
16
3) Z = -5 - 2 6 i;
4) Z = 2 5) Z =
2 i;
2-i
.
1+ i
1.8. В плоскости комплексного переменного начертите линии, заданные уравнениями:
1) | Z + 1| = 1;
5) | 2i – Z |2 = 1;
2) | Z – 2| + | Z + 2| = 26;
6) ImZ2 = 4;
3) | Z – 2|2 + | Z + 2|2 = 26;
7) arg Z =
4) | Z |2 + 3Z +3Z = 0;
3p
;
4
8) (ImZ)2 = 4 - Re Z.
1.9. Изобразите области, заданные условиями:
1) | Z + 2i -1|
£
2;
5) | Z + i |
6)
3) lg | Z – 10i | < 2 ;
7) -
£
Re Z
£
4;
1;
p
p
< arg Z < ;
6
4
2) | Z – i | < | Z + i |;
4) 1
£
p
£ arg Z
4
£
p
;
2
ìï 1 < Re Z < 2
p .
8) í p
arg
<
<
Z
ïî 4
4
2. Тригонометрическая и показательная формы комплексного
числа. Показательная функция комплексного переменного
1. Рассмотрим комплексное число Z в алгебраической форме:
z = x + iy .
Изобразим
это
число
на
комплексной плоскости в виде вектора
OA = { x, y} .Рассмотрим
B (x,0) .
17
DAOB ,
где
Пусть r - модуль комплексного числа z; j -один из его аргументов
(любой). Тогда из DAOB следует, что x = r × cos j , y = r × sin j . Откуда
число z запишется в виде: z = r × cos j + i × r × sin j . Представление числа z в виде: z = r (cos j + i × sin j ) называется тригонометрической
формой комплексного числа z.
Пример 1. Представьте в тригонометрической форме комплексные числа z1 = -1 - i, z 2 = -2, z3 = i, z4 = -3 + 4i .
Решение.
Так
=
z1
как
(-1) 2 + (-=
1) 2
2,
y
-1
p
3p
=
j1 arctg =
- p arctg =
- p arctg1=
-p
=
-p - ,
x
-1
4
4
=
z1
2 (cos( -
a
то
3p
3p
) + i sin(- )) .
4
4
Так как z 2 = (-2) 2 + 0 2 = 2 , a j 2 = p (по изображению числа на
плоскости), то z 2 = 2(cos p + i sin p ) . Учитывая, что z 2 =
a j3 =
0 2 + 12 = 1 ,
p
p
p
- один из аргументов z3 , получаем z 3 = cos + i sin .
2
2
2
В
связи
с
тем
что
z 4 = (-3) 2 + 4 2 = 5 ,
y
4
+ p » 2,21424 рад » 126 o 52¢ ,
j 4 = arctg + p = arctg
x
-3
4
4
получаем z 4 = 5(cos(p - arctg ) + i sin(p - arctg ))
3
3
или
z 4 = 5(cos 126 o 52¢ + i sin 126 o 52¢)) .
Пример 2. Записать числа в тригонометрической форме
z 1 = 2 cos
7p
p
p
p
- 2i sin , z 2 = - cos - i sin
4
4
17
17
18
а
Решение.
Воспользуемся
тем,
что
cos
7p
p
= cos( - ) ,
4
4
а
p
p
= sin(- ) , тогда получим тригонометрическую форму для
4
4
z :
z = 2(cos p - i sin p ) .
Аналогично
учитывая,
что
1
1
4
4
p cos(p - p=
p sin(p - p=
- cos =
) cos 16p , sin =
) sin 16p ,
17
17
17
17
17
17
- sin
получаем z= cos 16p - i sin 16p .
2
17
17
2. Пусть z1 = r1 (cos j 1 + i × sin j1 ) ,
z 2 = r2 (cos j 2 + i × sin j 2 ) ,
тогда z1 × z 2 = r1 × r1 (cos(j1 + j 2 ) + i × sin(j1 + j 2 )) ,
z1 r1
= (cos(j1 - j 2 ) + i × sin(j 1 - j 2 )) .
z 2 r2
Пример 3. Найти произведение чисел
z 1 = 2 (cos
11p
11p
3p
3p
+ i sin
) и z 2 = 8 (cos
+ i sin ) .
4
4
8
8
Решение. Так как z1 = 2 , z 2 = 8 , то z1 × z 2 = 16 = 4 .
Аргументом
j1 +=
j2
произведения
z1 × z2
будет
сумма
11p 3p 25p
+=
.
4
8
8
Следовательно,
=
z1 × z 2 4 cos(
z1 =
× z 2 4 cos(
9p
9p
+ i sin ) .
8
8
19
25p
25p
+ i sin
)
8
8
или
Пример 4. Записать в тригонометрической форме комплексное
число z =
(cos
p
p
- i sin ) × ( 3 + i)
3
3
.
i -1
Решение. Число z = cos
p
p
- i sin имеет модуль, равный 1, и ар3
3
гумент j 2 = -
p
; число z 2 =
3
мент j 3 = arctg
1
3p
+p =
.
-1
4
Поэтому z =
z1 × z 2 1 × 2
=
= 2,
z3
2
а аргумент j = j 1 + j 2 - j 3 = Следовательно, z = 2 (cos(-
3 + i имеет модуль
2 и аргу-
p p 3p
11
+ =- p.
3 6 4
12
11p
11p
)) .
) + i sin(12
12
3. Пусть z = r (cos j + i × sin j ) , тогда z n = r n (cos nj + i × sin nj )
(формула Муавра), где n Î N .
Пример 5. Вычислить. ( 3 - i ) 9 .
Решение. Пусть z =
3 - i , тогда z =
( 3) 2 + (-1) 2 = 2 , откуда
по формуле Муавра имеем
p
p
3p
3p
( 3 - i ) 9 = 29 (cos 9(- ) + i sin 9(- )) = 512(cos
- i sin ) = 512i .
6
6
2
2
4.Корнем n-ой степени из комплексного числа Z называется такое комплексное число W (обозначается n Z ), если W n = Z .
20
Все значения корня n-ой степени из Z = r (cos j + i sin j ) содержатся в формуле
n
Z =
n
j + 2pk
j + pk ö
æ
+ i sin
r ç cos
÷
n ø
n
è
(1), где
k=0,1,2,…,n-1.
Пример 6.Найти все значения:
a)
4
- 16 ; б) 3 i ; в)
3 -i .
Решение: а) запишем число Z=-16 в тригонометрической форме
Z = -16 = 16(cos p + i sin p ) .
Согласно формуле (1) получаем
æ æ p 2p ö
æ p 2p ö ö
Wk = 2 × ç cosç +
k ÷ = i sin ç +
k ÷ ÷ , где k=0,1,2,3.
4
4
4
4
øø
ø
è
è
è
Следовательно,
p
pö
æ
W0 = 2 × ç cos + i sin ÷ = 2 + i 2 ,
4
4ø
è
3p
3p ö
æ
+ i sin ÷ = - 2 + i 2 ,
W1 = 2 × ç cos
4
4 ø
è
5p
5p ö
æ
+ i sin ÷ = - 2 - i 2 ,
W2 = 2 × ç cos
4
4 ø
è
æ
ö
W 3 = 2 × çç cos 7p + i sin 7p ÷÷ =
4
4 ø
è
2 -i 2 .
б) Модуль числа i равен единице, а аргумент равен
p
, поэтому
2
æ æ p 2pk ö
æ p 2pk ö ö
Wk = 3 1ç cosç +
÷ ÷ , где k=0,1,2.
÷ + i sinç +
6
3
6
3
øø
ø
è
è è
Получаем
p
pö
3 1
æ
W0 = 1 × ç cos + i sin ÷ =
+i ;
6
6ø 2
2
è
21
5p ö
3 1
5p
æ
W1 = 1 × ç cos
+i ;
+ i sin ÷ = 6 ø
2
2
6
è
3p
3p ö
æ
+ i sin ÷ = -i .
W2 = 1 × ç cos
2
2 ø
è
в) Пусть Z = 3 - i , тогда Z =
j = arctg
( 3 ) + (- 1) = 2 ,
2
-1
p
=- .
6
3
Поформуле (1) имеем
æ æ p
öö
æ p
ö
ç ç - + 2pk ÷
ç - + 2pk ÷ ÷
÷ ÷ , где k=0,1.
÷ + i sin ç 6
Wk = 2 ç cosç 6
2
2
ç ç
÷÷ ÷
çç
÷÷
÷
ç ç
øø
è
ø
è è
p
p
æ æ p ö
æ p öö
W0 = 2 ç cosç - ÷ + i sinç - ÷ ÷ = 2 cos - 2 sin i ,
12
12
è 12 ø ø
è è 12 ø
æ
öö
æ p
ç æ - p + 2p ö
ç - + 2p ÷ ÷
÷ + i sin ç 6
÷÷ =
W = 2 ç cosç 6
1
ç
÷
2
2
ç è
÷÷
ç
ø
÷÷
ç
ç
øø
è
è
æ æ p
öö
ö
æ p
= 2 ç cosç - + p ÷ + i sinç - + p ÷ ÷ =
øø
ø
è 12
è è 12
p
p ö
p
p
æ
= 2 ç - cos + i sin ÷ = - 2 cos + 2 sin i .
12
12 ø
12
12
è
Пример7. Записать число
5 + 12i - 5 - 12i
в алгебраической
5 + 12i + 5 - 12i
форме при условии, что действительные части корней
5 + 12i отрицательны.
22
5 + 12i
и
Решение. Для извлечения квадратного корня из числа 5 + 12i положили
5 + 12i = x + iy , тогда 5 + 12i = x 2 + 2 xyi - y 2 и, следователь-
2
2
ìx - y = 5
.
но, x и y удовлетворяют системе уравнений í
xy
=
6
î
Решив эту систему, получим два решения (3;2) и (- 3;-2 ) . По условию действительная часть отрицательна, поэтому 5 + 12i = -3 - 2i .
Аналогично
Z=
5 - 12=
i -3 + 2i .
найдем
Таким
образом,
- 3 - 2i - (- 3 + 2i ) 2
i.
=
- 3 - 2i + (- 3 + 2i ) 3
5. Пусть z = x + iy . Если x и y действительные переменные, то z
называется комплексной переменной.
Если каждому значению комплексной переменной z из некоторой
области комплексных значений соответствует определенное значение
другой комплексной величины w, то w есть функция комплексной
переменной z. Функции комплексного аргумента обозначают w=f(z)
или w=w(z)
В качестве примера рассмотрим одну функцию комплексной переменной - показательную функцию w = e z , или w = e x+iy .
Комплексные значения функции w определяются так:
e
x+iy
= e x (cos y + i sin y) .
Свойства показательной функции:
1. e
z1+ z2
z z
= e 1 ×e 2
2. e
z1- z2
z
e1
= z
e 2
3. (e z )m = emz где m – целое число
23
(2)
4. e z + 2pi = e z
Если в формуле (2) положим x=0, то получим eiy = cos y + i sin y .
Это есть формула Эйлера. С ее помощью можно от тригонометрической записи комплексного числа z = r (cos j + i × sin j ) перейти к показательной форме z = reij где r - модуль числа z, а j - его аргумент.
ij
ij
а) Если z1 = r1 × e 1 и z2 = r2 × e 2 ,
i(j +j )
то z1 × z2 = r1r2e 1 2 ,
(3)
z
r
1 = 1 ei(j1-j 2 )
r
z
2
2
(4)
б) Если z = reij , то z n = r neinj
(5)
j 2pK
n z = n r e( n + n )i , где к=0,1,2,3,4,5...,n-1.
Пример 8. Представить в показательной форме комплексное число z =
3 1
- i.
8 8
Решение. Находим модуль числа z =
3
1 1
+
= и один из его
64 64 4
1
p
p
æ 1 ö
1 - 6i
8
= arctgç аргументов j = arctg
.
÷ = - ., откуда, z = 4 e
6
3
3
ø
è
8
Пример 9. Записать в показательной форме комплексное число
z=
p
p
- i sin )
12
12 .
1- i
(- 3 + i )(cos
24
Решение: каждое из чисел - 3 + i, cos
p
p
- i sin , i - 1 представим
12
12
в показательной форме
5p i
- 3 + i = 2e 6 ,
-p i
1 - i = 2e 4 ,
-p i
p
p
p
p
cos - i sin
= cos(- ) + i sin(- ) = e 12 .
12
12
12
12
Используя формулы (3), (4) получаем
5p i - p i
i (5p - p +p )
2e 6 e 12
z=
= 2e 6 12 4 = 2eip .
p
- i
2e 4
Пример 10. Записать все значения корня
4
3 + i в показательной
форме.
p (12 K +1)i
pi
Решение: 4 3 + i = 2e 6 = 4 2e 24
(к=0,1,2,3).
4
Решите задачи
2.1. Представьте в тригонометрической и показательной формах
комплексные числа:
1) Z = - 3 + i ,
2) Z = -1 ,
3) Z = - cos
p
p
- i sin ,
12
12
4) Z = 1 + cos
10p
10p
+i
,
9
9
5) Z = tg1 - i .
2.2. Записать комплексное число
25
в алгебраической и в тригонометрической формах:
5p
5p ö
æ
iç cos
+ i sin ÷
3
3 ø
1) Z = è
,
p
p
cos + i sin
6
6
2) Z =
3) Z =
1
4p
4p
cos
- i sin
3
3
,
1
,
(1 + i )2
5p
5p
+ i sin
12 ,
12
4) Z =
13p
13p
cos
- i sin
12
12
- cos
3ö
p
p öæ 1
æ
÷÷
ç cos - i sin ÷çç + i
3
3
2
2
øè
è
ø.
5) Z =
i
2.3. Представить в тригонометрической форме комплексное число Z:
5(cos100 0 + i sin 100 0 )i
1) Z =
,
3(cos 40 0 - i sin 40 0 )
sin
2) Z =
2p
2p æ
+ iç1 - cos
5
5
è
i -1
ö
÷
ø.
2.4 . Записать комплексное число Z в алгебраической форме:
12
æi
3ö
÷÷ ,
1) Z = çç 2
2
è
ø
2) Z = (cos 310 + i sin 310 ) ,
-10
26
3) Z = -
(2i )
(-
7
2 +i 2
(1 + i )
Z=
(1 - i )
)
6
,
9
4)
.
7
2.5. Записать комплексное число Z в тригонометрической форме:
1) Z =
(
3 -i
)
100
,
æ 3i + 1 ö
÷÷ ,
2) Z = çç
i
1
è
ø
6
(1 + i )
3) Z =
(1 - i )
2 n +1
,nÎ N ,
2 n -1
4) Z = (tg 2 - i ) ,
4
6p ö ö
æ 6p æ
5) Zç sin
+ iç1 + cos ÷ ÷ .
5 øø
5
è
è
5
2.6. Найти значения
n
Z если:
1) Z = -1, n = 3 ,
2) Z = 8i, n = 3 ,
3) Z = 1, n = 5 ,
4) Z = 1 + i, n = 8 .
2.7 . Решить уравнения:
1) Z 3 = 1 + i ,
2) Z 4 + 1 = 0 ,
3) Z 5 = 1 + 3i ,
4) Z 6 + 64 = 0 ,
5) Z 2 = Z 3 .
2.8 . Представить Z в алгебраической форме:
27
1) Z = e2-i ,
- 3pi+12pi
2) Z = e 2
,
3i +7 +3pi -p i
2 .
3) Z = e
2.9. Представить в показательной форме комплексное числа:
1) Z = - 12 - 2i ,
2) Z = - cos
p
p
+ i sin .
7
7
2.10. Записать в показательной и алгебраической формах комплексное число:
pi
pi
1) Z = 5e 4 × 0.2e 6 æç cos 5p - i sin 5p ö÷ ,
12
12 ø
è
2)
p iö
æ
ç 1 12 ÷
Z=ç e ÷
÷
ç2
ø
è
-3
,
3) Z =
(
)
4) Z =
1
,
(cos12 0 + i sin 12 0 )5
3-i ,
6
-pi
7
e 3 1 + 3i
5) Z =
.
i
(
)
2.11. Записать в показательной форме все значения n Z :
1) Z = 1, n = 3 ,
2) Z = -1, n = 5 ,
3) Z = -4 + 48i, n = 3 ,
4) Z = -1 - 3i, n = 4 .
4. Примеры из электротехники
Пример 1.
28
Определить ток в неразветвленной
части схемы (показания амперметра электромагнитной
системы),
если
=
Ι1 3 + j 4,A;
=
I 5 - j8, A
2
Решение. В электротехнике мнимую
единицу обозначают j.
Ток I можно определить по I закону Кирхгофа I = I 1 + I 2 , A :
I = 3 + j 4 + 5 - j8 = 8 - j 4, A .
Амперметр электромагнитной системы показывает действующее
значение тока, поэтому перейдем к показательной форме
- j arctg 4
8 = 8.944e- j 26.5 , A
I = 82 + 42 e
Показания амперметра 8.944.
Пример 2.
Определить мгновенное значение напряжения на входе электрической цепи,
если
U 1 = 50e j30 , B;U 2 = 60e- j 60 B
Решение. По II закону Кирхгофа
U = U 1 +U 2
U = 50e j30 + 60e-j 60 = 50 cos 30 + j 50 sin 30 + 60 cos -j 60 sin 60 =
= 43.3 + j 25 + 30-j 51.96 = 73.3-j 26.96,B
Перейдем к показательной форме
U = 73.32 + 26.962 e
- j arctg 26.96
73.3 = 78.1e- j 20.2 B .
Запишем мгновенное значение
29
U (t ) = U m sin (10t + j ) = 78.1 2 sin (314t - 20.2), B
Пример 3.
Определить комплекс входного сопротивления цепи, если
r1 = 3 - j 4, Ом
r 2 = 5 + j 6, Ом
r 3 = 4 - j8, Ом
(5 + j6)(4 - j8) =
r = r1 + r 2 r 3 = 3 - j 4 +
r 2 + r3
5 + j 6 + 4 - j8
= 3 - j 4 + 20 + j 24 - j 40 + 48 =
9 - j2
(
)(
)
= 3 - j 4 + 68 - j16 9 + j 2 =
(9 + j 2)(9 + j 2)
= 10.576 - j 4.094;Ом
Пример 4
Записать комплексное сопротивление
I - 5e j 60 A
цепи в алгебраической форме, если ток и
U = 100 e j 30 B
напряжение указаны на рис.
Решение. По закону Ома
U 100e j 30
r= =
= 20e - j 30 =
j 60
I
5e
= 29 cos 30 - j 20 sin 30 = 16.2 - j10, Ом
Пример 5. Показания какого амперметра электромагнитной системы больше, если I 1 = 3 + j 4, A I 2 = 2.5 - j 4.7, A
30
Решение. Перейдем к показательной форме
I1 = 32 + 42 e
j arctg 3
4 = 5e j 53, A
- j arctg 4.5
2.5 = 5.324e- j 62 , A
I 2 = 2.52 + 4.72 e
Действующее значение
I1 = 5A
I 2 = 5.324 A
I 2 > I1
3. Функции комплексной переменной (продолжение).
Логарифмическая функция
1.
Эта функция определяется как функция, обратная показа-
тельной: число w называется логарифмом числа Z ¹ 0, если e w = Z,
обозначается w = Ln Z. Так как показательная функция ew = Z принимает любое значение, кроме нуля, то логарифмическая функция
w = Ln Z определена на всей плоскости Z, кроме точки Z = 0 (значит,
имеет смысл, например, выражение Ln(-2)).
2.
Ln Z определяется равенством :
Ln Z = ln|Z| + i Arg Z , Arg Z = arg Z + 2kp
(k-любое целое число).
Эта формула показывает, что логарифмическая функция
комплексного переменного имеет бесчисленное множество значений,
т.е. w = Ln Z- многозначная функция.
При определённом значении k можно выделить однозначную
ветвь этой функции. Положив k=0, получим однозначную функцию,
31
которую называют главным значением логарифма Ln Z и обозначают
символом ln Z:
ln Z = ln|Z| + i arg Z, где - p <arg Z £ p .
Свойства логарифмической функции w = Ln Z :
1)
Ln (Z1Z2) = Ln Z1 + Ln Z2,
2)
æ ö
Ln ç Z 1 ÷ = Ln Z1 – Ln Z2,
è Z2 ø
3)
Ln Zn = nLn Z,
4)
Ln
n
Z = 1 Ln Z
n
Пример 1. Вычислите Ln (-1) и ln (-1) ; ln 2i.
Решение. Для числа Z = -1 имеем |Z| = (-1)2 + 02 = 1 ,
arg Z = p . Следовательно,
Ln (-1) = ln 1 + i (p + 2kp ) = ip (1+2k),
ln (-1) = p i .
Для числа Z = 2i имеем |Z| = 02 + 22 = 2 ,
arg Z = p . Следовательно, ln 2i = ln 2 + p i .
2
2
Тригонометрические функции
3.
Тригонометрические функции комплексного аргумента
Z = x+iy определяются равенствами:
iz -iz
sin Z = e - e ,
2i
tg Z =
sin Z
cos Z
,
iz -iz
cos Z = e + e ,
2
ctg Z =
32
cos Z
sin Z
.
3.1. Тригонометрические функции комплексного переменного сохраняют многие свойства тригонометрических функций действительного переменного. В частности,
sin2 Z + cos2 Z = 1,
sin2Z = 2sinZcosZ,
cos(Z1 + Z2) = cosZ1cosZ2 – sinZ1sinZ2,
sin(Z+2p ) = sinZ ,
tg 2z =
2tgZ
, и.т.д.
1 - tg Z
2
Пример 2: Докажите тождество sin2Z + cos2Z = 1.
iz -iz
iz -iz
Доказательство: sin2Z + cos2Z = ( e - e )2 + ( e + e )2 =
2i
2
e 2iz - 2 + e- 2iz + e2iz + 2 + e -2iz = - e2iz + 2 - e - 2iz + e 2iz + 2 + e- 2iz
4
-4
4
= 4 =1
4
Пример 3: Вычислите:
а) cos (
p
+i)
4
б) sin 2i
Решение:
iz -iz
а) т.к. cos Z = e + e , то
2
p
cos ( + i ) =
4
(p +i )i -(p +i )i
+e 4
e 4
2
p
p
p
p
1 éê 4 -i - 4 +1ùú
1 éê -1 4 i 1 - 4 i ùú
= e
= e e +e e
=
+e
ú
ú
2ê
2ê
ë
û
ë
= 1 éêe-1(cosp + i sin p ) + e(cos(- p ) + i sin(- p ))ùú =
4
4
4
4 û
2ë
é
ù
= 1 ê1 ( 2 + i 2 ) + e( 2 - i 2 )ú = 2 1 (1 + i) + 2 e(1 - i) »
2 êë e 2
2
2
2 úû 4 e
4
33
û
» 0.350.37(1+i) + 0.352.7(1-i)
» 0.35(0.37+2.7+0.37i-2.7i) »
» 1.07 – 0.81i .
iz - e-iz
e
б) Т.к. Z =
, то
2i
2i 2 - e-2i 2 1 -2 2
e
sin 2i =
= (e - e ) = 1 ( 1 - e2 ) »
2i
2i
2i e2
» 1 (0.14 - 7.29) = - 7.15 = - 7.15i = - 7.15i » 3.6i
2i
2i
2
2i 2
Гиперболические функции
Эти функции определяются равенствами:
z - e- z
z + e- z
e
e
sh Z =
, ch Z =
, th Z = sh Z ,
2
2
ch Z
5.
cth Z = ch Z .
sh Z
Легко заметить связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями. Заменяя в указанных функциях Z на iZ, получим:
sh iZ = i sin Z,
или
sin Z = -i sh iZ,
ch iZ = cos Z,
sin iZ = i sh Z,
cos iZ = ch Z.
Отсюда, в частности, получаются такие формулы, как:
ch2Z – sh2Z = 1
ch2Z + sh2Z = ch2Z
sh2Z = 2shZchZ,
ch (Z1+Z2) = chZ1chZ2 + shZ1shZ2,
ch (-Z) = ch Z, и.т.д.
Пример 4: Вычислите:
34
а) ch(1- i)
б) sh(2+i).
Решение:
1-i + e-1+i 1 é 1 -i -1 i ù
z + e- Z
e
e
, то ch (1-i ) =
= êe e + e e ú =
а) т.к. ch Z =
2
2ë
2
û
é
ù
= 1 êe(cos(-1) + i sin(-1) + 1 (cos1 + i sin1)ú »
e
2ë
û
é
ù
» 1 êe(0.54 - i0.84) + 1 (0.54 + i0.48)ú » 1 (1.46–2.26i+0.19 + 0.31i)=
e
2ë
û 2
1
2
= (1.65 – 1.95i) » 0.82 – 0.98i .
z -z
б) Так как sh Z = e - e , то
2
2+i - e-2-i 1 é 2 i -2 -i ù
sh (2+i) = e
= êe e - e e ú =
2
2ë
û
é
ù
= 1 êe2 (cos1 + i sin1) - 1 (cos(-1) + i sin(-1)ú »
2 êë
úû
e2
»
1 éêe2 (0.54 + i0.84) - 1 (0.54 - i0.84)ùú » 1 (3.94+6.12i– .08+0.18i)=
2 êë
úû 2
e2
=
1
(3.86 + 6.3i ) = 1.94 + 3.15i .
2
Пример 5: Вычислите Re W, Im W, если:
а) W= sin Z
б) W= ch Z
Решение. Для решения используем формулу сложения, обозначая
Z = x + iy, а также формулы:
cos iZ = chZ , ch iZ = cos Z , sin iZ = i shZ, sh iZ = i sinZ.
а) W = sinZ = sin (x+iy) = sinxcosiy+siniycosx = sinxchy+ishycosx,
35
поэтому Re W = sinxchy, Im W = shy cosx.
б) W = ch Z = cos iZ = cosi(x+iy) = cosixcosy+sinixsiny=
= cosy chx + ishxsiny,
Поэтому Re W = cosy chx, Im W = shxsiny.
Решите задачи
3.2. Вычислите:
1) Ln (2-2i),
ln (2-2i),
9) ch i
2) Ln (-2),
ln (-2),
10) sh (1+i)
3) Ln e
ln e,
11) sh (2+i)
,
4) Ln (-3+4i), ln (-3+4i),
12) ch (1- i)
5) cos (p +i),
p
6) sin (1+ i ) ,
2
7) cos (2+
3p
i) ,
4
8) sin pi .
3.3. Докажите тождества:
1) sin (Z1+Z2) = sinZ1cosZ2 + cosZ1sinZ2 ,
2) cos2Z = cos2Z – sin2Z,
3) ch2Z – sh2Z = 1,
4) tg2Z =
2tgZ
.
1 - tg 2 Z
3.4. Найдите Re W, Im W, если:
1) W = sin2Z,
2) W = cos2Z,
36
3) W = cosZ,
4) W = shZ.
Примеры. 4.1. Изобразить на комплексной плоскости и записать в
показательной форме токи и напряжения:
а) U = -40 + j 40, B; I = 3 - j 4, A
б ) U = 40 - j 40, B; I = -3 - j 4, A
в) U = -40 - j 40, B; I = 3 + j 4, A
4.2. Определить комплексное сопротивление цепи, если
i(t ) = 14.1sin (10t + 60), A
u (t ) = 14.1sin (10t - 30), B
4.3. Определить комплексные сопротивления
r = r1 +
r2 × r3 × r4
, если
r2 ×r3 + r3 ×r4 + r2 ×r4
r 1 = 3 + j 4, Ом, r 2 = 4 + j 3, Ом, r 3 = 8 - j 6Ом, r 4 = 6 + j8, Ом .
4.4. Определить коэффициент A четырехполосника по формуле
A=
r10
, если известно, что
r20 - r2 к
r 10 = r20 = 6 + j8Ом
r 2 к = 6 - j8Ом
4.5. Определить волновое сопротивление линии по формуле
LB =
R0 + jwL0
,
g 0 + jwC 0
если
R0 = 0.1
Ом
Ом
Ом
, g 0 = 5 × 10 -8 Сим,10 L0 = 0.4
,10C 0 = 2.85 × 10 -6
км
км
км
4.6. Вычислить комплекс напряжения смещения нейтрали
37
UN =
U AУ А + U BУ В + U C У С
,
У А +У В +У С
если:
U A = 120, B;U B = 120e - j120, B;U C = 120e - j 240, B;
У А = 0.1Сим;У В = j 0.1Сим;У С = - j 0.1Сим
Ответы:
1.2.
1) 7+3i; 22+7i;
2) 2- 4i; -1.81-5.2i;
3) 2 2 ; 5.
1.3. 1) -2.6-4.2i; 0.016-0.088i;
2) -0.4+2i; 0.12+0.24i;
3) –i;
7
5
i.
6 6
1.4. 1) 0;
2) -
11
;
17
3) 3.
1.5. 1) 0;
5)
22
5
i;
159 318
2) -2i;
6) 10- 2i ;
3) 0;
7) -4 + 2i;
4) -
18 23
+ i;
25 50
8) -3+i.
1.6.
1) (-1;-1); 2) (4;3).
1.7.
1) 4;
4) 2;
2) 1;
5)
10
;
2
38
3) 7.
1) Окружность радиуса R=1 с центром в точке (-1;0);
1.8.
2) Эллипс с фокусами в точках (-2;0) и (2;0) и с большой полуосью а = 13;
3) Окружность радиуса R = 3 с центром в точке (0;0);
4) Окружность радиуса R = 3 с центром в точке (-3;0);
5) Окружность радиуса R = 1 с центром в точке (0;2);
6) Гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях;
7) Прямая – биссектриса II координатного угла;
8) Парабола с вершиной в точке (4;0);
(0;2) и (0;-2) – точки пересечения с осью Y.
1.8.1.1) Круг (вместе с границей) радиуса R = 2, с центром в точке
(1;-2);
2) Полуплоскость Im Z >0;
3) Круг радиуса R = 10 с центром в точке (0;10), за исключением
центра круга и граничной окружности;
4) Часть полуплоскости, заключенная между прямыми x =1 и
x =4 (включая эти прямые);
5) Круг (вместе с границей) радиуса R=1 с центром в точке
(0;-1);
6) Часть плоскости, расположенная в I координатной четверти,
заключенная между прямыми y=
3
x и y = x (исключая эти пря3
мые);
7) Область, заключённая между прямыми x=1, x=2, y= - x, y= x
(исключая эти прямые);
39
8) Часть плоскости, расположенная в I и IV координатных четвертях, заключённая между прямыми y= - x и x = 0 (включая эти
прямые).
2.1.
1)
æ
2çç cos 5p
6
è
5p i
ö
5
p
+ i sin ÷÷ = 2e 6 ,
6 ø
2) cosp + i sinp = epi ,
13p i
13p
13p
+ i sin
= e 12 ,
3) cos
12
12
14p
5p æ 14p
14p ö
5p 9
,
4) - 2 cos ç cos
+ i sin
e
÷ = -2 cos
9 è
9
9 ø
9
1+ 3p ÷÷÷i
1 æç æ 3p ö
3p ö ö÷
1
æ
2ø .
cosç1 + ÷ + i sin ç1 + ÷ ÷ =
e
5)
ç
cos1 è è
2 ø
2 ø ø cos1
è
æ
ç
ç
ç
è
2.2.
ö
1) Z = 1 = cos 0 + i sin 0 ,
1
3
4p
4p
2) Z = - ,
i = cos
+ i sin
2 2
3
3
3) Z =
1 1
= (cos 0 + i sin 0) ,
2 2
4) Z =
1
3
5p
5p
,
i = cos
+ i sin
2 2
3
3
5) Z = -i = cos
3p
3p
+ i sin .
2
2
5
(cos 2300 + i sin 2300 ), 2)
3
pæ
29p ö
29p
+ i sin
ç cos
÷,
20 ø
20
5è
2.3.
1)
2.4.
1) 1, 2) cos 50 0 + i sin 50 0 , 3) -2 , 4) 2.
2.5.
4p ö
4p
æ
1) 2100 ç cos
+ i sin
÷,
3 ø
3
è
40
2 sin
3p ö
3p
æ
+ i sin ÷ ,
2) 8ç cos
2 ø
2
è
3)
2(cos 0 + i sin 0 ), если _ n - четное
2(cos p + i sin p ), если _ n - нечетное
1
(cos 8 + i sin 8),
cos 4 2
4)
5) - 32 cos 5
2.6.
p
pö
3p æ
ç cos + i sin ÷ ,
5 è
2
2ø
1
3
1
3
, 2)
+i
,-1, - i
2
2
2
2
1)
3) cos
4)
,
16
3 + i,- 3 + i,-2i ,
2pk
2pk
+ i sin
, (k = 0,1,2,3,4) ,
5
5
8k + 1 ö
8k + 1
æ
p + i sin
p ÷, (k = 0,1,2,3,4,5,6,7 ) .
2 ç cos
32
32
è
ø
2.7.
6
p
p ö
3p
3p
æ
æ
+ i sin
2 ç cos + i sin ÷, 6 2 ç cos
4
4
12
12 ø
è
è
2)
ö6
÷,
ø
17p ö
17p
æ
2 ç cos
+ i sin
÷,
12
12
è
ø
2
2
2
2
2
2
2
2
+
i,+
i,i,
i,
2
2
2
2
2
2
2
2
3)
5
5
p
pö
7p ö
7p
æ
æ
+ i sin
2 ç cos + i sin ÷, 5 2 ç cos
÷,
15
15
15
15
è
ø
è
ø
19p
19p ö 5 æ 5p
5p ö
æ
2 ç cos
+ i sin ÷
+ i sin
÷, 2 ç
15
15 ø
3 ø
è 3
è
4)
3 + i, 2i, - 3 + i, - 3 - i, - 2i, - i,
5) 0; cos
2.8.
5
2pk
2pk
+ i sin
5
5
13p ö
13p
æ
2 ç cos
+ i sin
÷,
15
15
è
ø
3 - i.
(k = 0,1,2,3,4) .
1) e 2 cos1 - ie 2 sin 1, 2) i, 3) - e7 sin 3 + ie7 cos3 ,.
41
2.9.
7p i
6p i
1) 4e 6 , 2) e 7 .
-p i
2
p
i
2.10. 1) e = 1, 2) 8e 4 = 4 2 - 4 2i , 3) 64eip = -64 ,
3p i
-p i 1
3
7
3
4) e
, 5) 2 e 2 = -27 i .
= -i
2
2
çç 2k +1÷÷p
2pk i
ø
è
i
3
5
2.11. 1) e
(k = 0,1,2) , 2) e
(k = 0,1,2,3,4) ,
ö
æ
ö
æ
2æççè 3k +1ö÷÷øp
çç 3k + 2 ÷÷p
ø
è
i
i
4
9
2
(k = 0,1,2), 4) 2e
(k = 0,1,2,3) .
3) 2e
3.1. 1) 1.04 + 0.79i (8k-1), k- любое целое число; 1.04 – 0.79i
2) 0.69 + 3.14i (2k+1), k - любое целое число; 0.69 + 3.14i
3) 1+2 p ki, k- любое целое число; 1
4) 1.61+(2.21+6.28k)i, k - любое целое число; 1.61+2.21i
5) -1.54i,
8) 11.53i,
6) 2.11+1.24i,
9) 0.54,
11) 1.96 + 3.16i,
7) -2.24 – 4.78i,
10) 0.63 + 1.29i,
12) 0.83 – 0.98i.
3.3. 1) Re W = sin2xch2y,
2) Re W = cos2xch2y,
3) Re W = cosx chy,
Im W = cos2xsh2y,
Im W = sin2xsh2y,
Im W = sinxshy,
4) Re W = shxcosy, Im W = sinychx.
4.2. r = 100e- j90 = - j100Ом. 4.3. r = 5.737 + I5.277 Ом.
4.4.
A = 0.79e- j18.4 . 4.5.
4.6.
U N = 328 B.
Z B = 380 × e- j 6.5 Ом .
42
Литература
1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 1. М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2001.
2. Толстов Г. В. Элементы математического анализа. Т. 1. М.:
Наука, 1974.
3. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А. Д., Чехлов В.И., Шабунин М. И.
Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность.
Дифференцируемость. Учебное пособие / Под ред. Кудрявцева Л.Д. –
М.: Наука. 1984 г. - 592 стр.
4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике.
Часть 1. - М.: Рольф, 2001 - 288 стр.
5. Фукс Б.А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и
некоторые их приложения. М.: Наука, 1964 -388 стр.
6.
Шабалина А.А. Комплексные числа и функции комплекс-
ного переменного (методические указания для студентов факультета
электрификации и автоматизации сельского хозяйства). ЧИМЭСХ,
1990.
43
44