Программа ГЭ 2006

Нижегородский государственный педагогический
университет
ПРОГРАММА
итоговой государственной аттестации
по специальности 032100.00 (математика с дополнительной
специальностью).
СОСТАВИТЕЛИ:
Старший преподаватель
кафедры алгебры и геометрии
______________ Н.М. Агафонова
Программа утверждена на
Совете ФМИФ
от ________ ____г., протокол № ___.
Доцент кафедры алгебры и геометрии
______________ А.Н. Пыжьянова
Доцент кафедры математического анализа
______________ Р.Г. Рахманкулов
Декан ФМИФ
профессор _________Е.Н. Перевощикова
Старший преподаватель
кафедры математического анализа
______________ Л.А. Дмитриева
Н.Новгород
2006
Программа государственного экзамена по математике
ОБЪЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Целью государственных аттестационных испытаний по математике является проверка математической подготовленности выпускников математического факультета в соответствии с требованиями к содержанию и уровню
предметной подготовки, отраженными в ГОС.
В задачи государственной аттестации входит:
 проверка глубины и прочности овладения испытуемыми основами математики;
 установление уровня математического развития выпускников, уровня
их математической культуры.
Программа содержит наиболее важные темы, раскрывающие принципы
математического анализа, вопросы, связанные с изучением основных алгебраических структур, а также аксиоматику и аналитические методы в геометрии. Включенное в программу госэкзамена содержание разделов математического анализа, алгебры и геометрии определяет фундаментальную основу
подготовки выпускника по дисциплинам предметного блока, является базовым для школьного курса математики и соответсвует требованиям ГОС.
Экзаменующиеся должны:
 владеть системой основных алгебраических и теоретико-числовых
понятий, сознавать их фундаментальный и прикладной характер,
понимать их роль и место в системе математических дисциплин;
знать основные факты теории важнейших алгебраических структур
(групп, колец, полей, векторных пространств), теорию колец многочленов, теорию сравнений и показателей чисел в кольце Z ; применять указанные теории при решении задач: уметь находить решение системы линейных алгебраических уравнений, применять
теорию сравнений к исследованию теоретико-числовых задач,
определять тип и свойства бинарных отношений;
 знать аксиоматический метод построения геометрии, аксиоматику
школьного курса геометрии и геометрии Лобачевского, иметь ясное
представление о различных группах преобразований плоскости и
уметь пользоваться этими преобразованиями при решении задач;
владеть векторным и координатным методами исследования геометрии плоскости и пространства; знать основы теории изображения плоских и пространственных фигур в параллельной проекции,
основные свойства линий и поверхностей в евклидовом пространстве, применять указанные теории в решении задач;
 владеть основными понятиями теории пределов, непрерывности,
производной и дифференциала, первообразной и определенного
интеграла, теории рядов и теории множеств; владеть техникой
дифференцирования и интегрирования, уметь исследовать сходимость числовых рядов и находить решения простейших дифференциальных уравнений; знать основные свойства элементарных аналитических функций.
Формами госаттестации по математике являются:
–
экзамен, проводимый по билетам;
–
экзамен, проводимый в форме защиты рефератов (для студентов
заочного отделения);
– защита выпускной квалификационной работы.
На экзамене студентам могут быть предложены дополнительные вопросы из разделов программы, не охваченных билетом, а также задачи принципиального характера по материалу, предусмотренному данной программой.
При оценки ответа на экзамене основное внимание обращается не
только на знание программного материала, но и на умение иллюстрировать
теоретический материал на примерах, применять теорию к решению задач, а
также строить изображения математических объектов.
При выставлении оценки учитываются в равной мере ответы на оба вопроса билета, а также учитываются ответы на возможные дополнительные
вопросы.
Оценка ”отлично” выставляется, если студент показал высокий уровень
математической культуры, умение свободно ориентироваться в вопросах
программы государственного экзамена, глубокое понимание проблем, идей и
методов классических разделов математики, вынесенных на ГАИ, отвечает
на вопросы правильно, свободно аргументирует свои ответы, выполняет все
практические задания.
Оценка “хорошо” выставляется, если студент понимает суть заданных
вопросов, но во время ответа допускает некоторые неточности, не имеющие
принципиального значения и не влияющие существенным образом на общее
благоприятное впечатление от его ответа на экзамене.
Оценка “удовлетворительно” выставляется, если студент допустил достаточно большое число мелких неточностей, либо показал недостаточно
глубокие, поверхностные знания по одному из вопросов билета, либо при ответе обнаружил существенные пробелы по одному – двум разделам программы, однако в целом обладает достаточным для будущей профессиональной
деятельности и продолжения образования уровнем математической культуры.
Оценка “неудовлетворительно” выставляется, если студент не ответил
на вопросы билета и при ответе на дополнительные вопросы не ориентируется в базовых вопросах.
Вопросы к государственному экзамену
АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
1. Векторные пространства. Линейно зависимая и линейно независимая системы векторов. Базис и размерность векторного пространства. Изоморфизм конечномерных векторных пространств.
2. Матрица. Ранг матрицы. Обратная матрица. Полная линейная
группа.
3. Система линейных уравнений, критерий их совместности и определенности, методы решения. Однородная система линейных уравнений,
фундаментальная система решений.
4. Группа. Подгруппа. Нормальный делитель группы. Факторгруппа.
5. Кольцо. Область целостности. Поле. Подкольцо. Идеалы кольца.
Фактор-кольцо.
6. Основные типы колец и связь между ними.
7. Линейный оператор. Матрица линейного оператора. Образ, ядро,
ранг, дефект линейного оператора. Критерий обратимости линейного оператора.
8. Многочлены над полем F. Евклидовость кольца F[x]. НОД и НОК
многочленов, алгоритм Евклида. Разложение многочлена в произведение неприводимых множителей.
9. Многочлены над С, R, Q. Рациональные корни целочисленного
многочлена.
10. Строение простого алгебраического расширения поля. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
11. Построение кольца многочленов от нескольких переменных над
полем F. Симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических
многочленах.
12. Простые и составные числа. Бесконечность множества простых
чисел в натуральном ряду. Факториальность кольца Z.
13. Сравнения в Z, их свойства. Полная и приведенная системы вычетов. Линейные сравнения с одной переменной.
14. Показатели, их свойства. Обращение обыкновенной дроби в десятичную и определение длины периода десятичной дроби. Приложение теории сравнений к выводу признаков делимости.
15. Функция Эйлера, ее свойства. Теоремы Эйлера и Ферма.
16. Цепные дроби. Существование и единственность цепной дроби.
Представление действительных чисел цепными дробями.
ГЕОМЕТРИЯ
1. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Приложения к решению задач школьного курса геометрии.
2. Уравнение линии. Алгебраические линии. Метод координат.
Приложение метода координат к решению задач школьного курса геометрии.
3. Линии второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола. Уравнения
и основные свойства линий второго порядка. Конические сечения.
4. Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы.
Приложение аффинных преобразований к решению задач школьного курса
геометрии.
5. Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Приложение
преобразований подобия к решению задач школьного курса геометрии.
6. Группа движений плоскости. Частные виды движений. Приложение движений плоскости к решению задач школьного курса геометрии.
7. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости, двух
плоскостей в пространстве.
8. Проективная плоскость и ее модели. Свойства проективной плоскости.
9. Преобразование проективной плоскости. Группа проективных
преобразований. Приложение проективных преобразований к решению задач
школьного курса геометрии.
10. Изображение плоских и пространственных фигур в параллельной
проекции.
11. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства. Непротиворечивость системы аксиом Вейля.
12. Аксиоматика Гильберта евклидовой геометрии (обзор).
13. Аксиомы плоскости Лобачевского. Непротиворечивость системы
аксиом плоскости Лобачевского.
14. Типы прямых в плоскости Лобачевского. Свойства параллельных
и расходящихся прямых..
15. Гладкие линии в евклидовом пространстве. Сопровождающий
трехгранник пространственной кривой. Формулы Френе.
16. Гладкие поверхности в евклидовом пространстве. Первая квадратичная форма поверхности и ее приложения.
17. Топологические пространства. Виды топологических пространств. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм.
18. n-мерные аффинные и евклидовы пространства. Прямые и гиперплоскости в Аn .
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, ТФДП, ТФКП,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Эквивалентные (равномощные) множества. Счетные множества и
их свойства. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел.
2. Предел числовой последовательности, его единственность. Теорема о пределе монотонной последовательности. Число е .
3. Частичный предел. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Критерий
Коши сходимости последовательности.
4. Предел функции в точке. Различные определения предела, их эквивалентность. Свойства пределов. Непрерывность функции в точке. Операции над непрерывными функциями.
5. Свойства функции непрерывных на отрезке.
6. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Верхняя
и нижняя грани множества. Их существование. Принцип вложенных отрезков.
7. Показательная функция, ее основные свойства. Разложение в степенной ряд. Натуральная логарифмическая функция. Ее основные свойства.
Разложение в степенной ряд.
8. Экспонента в комплексной области. Ее свойства. Формулы Эйлера. Логарифмическая функция w  Ln z в комплексной области. Ее многозначность.
9. Тригонометрические функции (синус и косинус), их свойства.
Синус и косинус в комплексной области.
10. Дифференцирование функций одной переменной. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования.
Таблица производных. Дифференциал. Его связь с производной и геометрический смысл.
11. Основные теоремы дифференциального исчисления. Условия постоянства и монотонности функции на промежутке.
12. Экстремумы функции. Условия выпуклости на промежутке. Точки перегиба.
13. Первообразная и неопределенный интеграл. Их свойства. Интегрирование подстановкой и по частям. Примеры.
14. Определенный интеграл. Необходимое условие интегрируемости.
Критерий интегрируемости функции. Интегрируемость непрерывной функции.
15. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула НьютонаЛейбница.
16. Длина дуги и площадь плоской фигуры. Приложения определенного интеграла к вычислению площади плоской фигуры и длины дуги.
17. Числовые ряды. Определение сходимости числового ряда. Критерий сходимости положительных рядов. Теоремы сравнения и признаки
сходимости положительных рядов. Примеры.
18. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Признаки абсолютной
сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Теорема Лейбница.
Примеры.
19. Функциональные ряды. Понятие равномерной сходимости функционального ряда. Степенные ряды в действительной и комплексной области. Интервал и круг сходимости. Свойства степенных рядов.
20. Формула и ряд Тейлора. Условия разложимости функции в ряд
Тейлора. Биномиальный ряд.
21. Метрические пространства. Примеры. Открытые и замкнутые
множества. Сходящиеся и фундаментальные последовательности точек метрического пространства. Полные метрические пространства. Принцип сжимающих отображений, его применение.
22. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения первого
порядка.
23. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Их применение к изучению свободных и вынужденных колебаний.
24. Производная функция комплексного переменного. Условия дифференцируемости. Правила дифференцирования. Понятие аналитической
функции.
Дипломная работа относится к разряду учебно-исследовательских работ, которые показывают уровень квалификации автора в самостоятельном
ведении научного поиска, в знании методов и приемов решения научных
проблем по соответствующему профилю. Дипломная работа по математике
может быть посвящена изучению и изложению важного с образовательной и
профессиональной точек зрения раздела математики с целью овладения
субъективно новыми математическими фактами и методами, а также самостоятельному исследованию по теме, отвечающей профилю факультета.
Дипломная работа должна включать в себя следующие обязательные
компоненты, каждая из которых подлежит оценке в процессе экспертизы и
защиты.
1.Познавательная компонента, которая состоит в изучении и творческой переработке литературы, в проведении исследований по теме работы, предусмотренных планом.
2.Самостоятельное получение планируемого творческого результата по теме
работы. Творческими результатами могут служить продукты исследователь-
ской деятельности (новые научные знания), а также продукты трансляции
научных знаний в другую форму.
3.Обоснование полученного творческого результата (доказательство, теоретическое построение, опытная проверка).
4.Коммуникативная компонента, включающая в себя составление текста дипломной работы, ее защиту, а также возможное участие в конференциях, семинарах и т.д.
В дипломной работе студент должен показать владение следующими
умениями и навыками:
 владение методами познания в соответствующей научной области
 достаточный уровень логического мышления
 проведение библиографической работы, анализ литературы по
теме исследования
 определение целей и задач исследования, выдвижение гипотезы и определение методов исследования
 изложение результатов исследования, их обоснование на языке соответствующей научной области.
Дипломная работа должна быть представлена в ГАК вместе с отзывами
научного руководителя и рецензента.
В отзыве научного руководителя должна быть обрисована поставленная
перед студентом задача, степень ее новизны и актуальности. В отзыве указывается, насколько полно и глубоко студент освоил необходимый теоретический и практический материал и овладел соответствующими методами исследования, говорится о степени самостоятельности и инициативности студента при работе над темой, отмечается соответствие результатов работы поставленным задачам.
В рецензии дается краткая характеристика содержания дипломной работы и
полученных результатов, оцениваются актуальность темы исследования,
адекватность выбранных методов исследования поставленным задачам, степень владения студентом необходимым теоретическим и практическим материалом, обстоятельность и полнота изложения решения поставленной проблемы.
Тематика
дипломных работ по математике
1. Исследования свойств групп автоморфизмов конечно порожденных
абелевых групп.
2. Изучение строения и свойств абелевых групп без кручения ранга 1 и их
групп гомоморфизмов.
3. Исследование строения и свойств абелевых конечных групп и их групп
эндоморфизмов.
4. Обобщение поверхности вращения.
5. Изучение геометрии двумерных римановых пространств с общими
геодезическими.
6. Исследование геометрических свойств двумерных римановых пространств с тензорными структурами.
7. Тензорная и внешняя алгебры и их приложения в линейной алгебре и
геометрии.
8. Геометрические приложения линейной алгебры.
9. Последовательности дробей и их приложения.
10.Изучение методов решений неопределенных уравнений и систем.
11.Изучение свойств коэффициента искажения дифференцируемого отображения евклидовых пространств.
12.Исследование свойств и признаков простых элементов кольца целых
чисел.
13.Исследование геометрических свойств двумерной 3-ткани.
14.Применение метода подвижного реппера к изучению геометрии поверхности в Е3.
15.Исследование свойств конгруенции прямых в пространстве Р 3 .
16.Изучение свойств отображения Фубини-Чеха в пространстве Е6.
17.Об отображении сетей в конструкции Фубини-Чеха в Е5 и его свойствах.
18.Исследование свойств симметрии плоскости относительно эллипса.
19.Построение модели Бельтрами-Клейна и изучение основных фактов
геометрии Лобачевского.
20.Автоморфизмы группы движений плоскости и их приложения.
21.Изучение свойств гладких кривых средствами дифференциальной геометрии.
22.Развитие теории параллельных линий в трудах математиков стран ислама.
23.Развитие теории кубических уравнений в трудах О.Хайяма.
24.Исследование свойств инверсии относительно кривых второго порядка.
25.Изучение основных свойств параболической конгруэнции прямых в Е3.
26.Исследование свойств нормальной конгруэнции прямых в Е3.
27.Изучение свойств гиперболической конгруэнции прямых в Е3.
28.Инверсия плоскости относительно правильного треугольника и ее
свойства.
29.Исследование проблемы изгибаемости гиперповерхности в Rn.
30.Изучение топологических свойств орбит группы GL(2,R).
31.Исследование геометрических свойств однородного пространства гипербол на плоскости.
32.Принцип сжимающих отображений и его применение.
33.Применение ортогональных рядов к исследованию свойств функций.
34.Контрпримеры в анализе как способ доказательства.
35.Несобственные интегралы. Применение теории вычетов к их вычислению.
36.Различные способы аналитического построения теории тригонометрических функций.
37.Схема Куммера. Дополнительные признаки сходимости и их применение к исследованию рядов.
38.Применение основных разложений элементарных функций в степенной
ряд к решению различных задач.
39.Применение математической статистики в педагогических исследованиях.
40. Исследование и построение графика итерации функции.
41.Метод Монте-Карло (метод статистических испытаний).
42.Применение матричного метода для интегрирования однородной системы дифференциальных уравнений.
43.Исследование устойчивости решений систем дифференциальных уравнений.
44.Применение интегралов различного типа к решению задач естествознания.
45.Ортогональные многочлены и их приложения.
46.Теоремы Вейерштрасса и их приложения.
47.Обобщающий принцип сжимающих отображений и его применение.
48.Метод простой итерации для решения систем линейных и нелинейных
уравнений.
49.Дифференцирование в нормированных пространствах.
50.Суженое псевдообращение матриц и их приложение.
51.Многочлены Лежандра и их приложение.
Темы фондовых заданий для гос. аттестации
выпускников заочного отделения
математического факультета
Алгебра и теория чисел
1. Группа. Простейшие свойства групп. Подгруппа. Гомоморфизмы и
изоморфизмы групп.
2. Кольцо. Простейшие свойства колец. Подкольца. Гомоморфизмы и
изоморфизмы колец.
3. Системы линейных уравнений. Критерии совместности и определенности. Методы решения систем линейных уравнений. Однородные системы.
4. Линейный оператор. Матрица линейного оператора. Образ, ядро, ранг,
дефект линейного оператора. Критерий обратимости линейного оператора. Диагонализируемость линейного оператора.
5. Сравнения в Z, их свойства. Полная и приведенная система вычетов.
Теоремы Эйлера и Ферма. Решение линейных сравнений с одной переменной.
6. Многочлены над полями C, R, Q. Рациональные корни целочисленного многочлена.
7. Векторные пространства. Линейная зависимость и независимость систем векторов. Базис и размерность векторного пространства. Подпространство векторного пространства.
8. Многочлены над полем F. Факториальность и евклидовость кольца
F[x]. НОД и НОК многочленов. Алгоритм Евклида.
9. Расширение поля. Строение простого алгебраического расширения
поля. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
Геометрия
1. Линии второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола. Уравнение и основные свойства линий второго порядка. Конические сечения.
2. Группа движений плоскости. Частные виды движений. Приложение
движений плоскости к решению задач школьного курса геометрии.
3. Выпуклые многогранники. Группа симметрий выпуклого многогранника. Элементы симметрий. Элементы и группы симметрий правильных многогранников.
4. Правильные многогранники. Существование правильных многогранников. Классификация правильных многогранников. Геометрические
характеристики правильных многогранников.
5. Изображение плоских и пространственных фигур в параллельной проекции.
6. Система аксиом Вейля трехмерного эвклидова пространства. Основные
геометрические понятия в схеме Вейля. Непротиворечивость системы
аксиом Вейля.
7. Аксиомы школьного курса геометрии и их связь с системой аксиом
Вейля.
8. Аксиомы плоскости Лобачевского. Непротиворечивость системы аксиом плоскости Лобачевского. Модели.
9. Понятие топологического пространства. База топологии. Внутренние,
внешние и граничные точки подмножества. Связные пространства.
Компактность. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы.
10. Гладкие линии в эвклидовом пространстве. Сопровождающий трехгранник пространственной кривой. Формулы Френе.
11. Гладкие поверхности в эвклидовом пространстве. Первая и вторая
квадратичные формы поверхности. Полная кривизна поверхности.
12. Проективное пространство, координаты точек на проективной прямой
и плоскости, преобразование координат точек на плоскости и прямой.
Уравнение прямой на проективной плоскости, сложное отношение четырех прямых пучка. Гармоническая четверка точек.
13. Теорема Дезарга. Проективные преобразования плоскости. Гомология.
Гомология на расширенной плоскости. Приложения к решению задач
школьного курса геометрии.
Математический анализ
1. Мощность множества.
2. Метрические пространства. Полные метрические пространства. Принцип сжимающих отображений и его применения.
3. Производная функции вещественной и комплексной переменной.
4. Числовые ряды.
5. Степенные ряды в вещественной и комплексной области.
6. Предел последовательности и функции. Свойства. Замечательные пределы. Число e.
7. Непрерывность функции в точке. Операции над непрерывными функциями. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
8. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывных функций.
Формула Ньютона – Лейбница.
9. Показательная и логарифмическая функции. Основные свойства. Разложение в степенной ряд.
10.Дифференциальные уравнения первого порядка.
11.Линейные дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.