Вероятностные оценки гипотез для генетического алгоритма с

5Ч
УДК 004.3+519.226.3
А.Ф. Чипига, Р.А. Воронкин
Северокавказский государственный технический университет, г. Ставрополь, Россия




Даны оценки условных вероятностей априорных и апостериорных гипотез в случае сохранения фиксированной позиции шаблона в теореме Холланда. На основании значений полученных величин произведен
выбор оптимального алгоритма мутагенеза с минимальной вероятностью разрушения шаблона.
Мутация – процесс изменения качественных признаков особей в результате
появления новых значений в отдельных генах или целиком во всей хромосоме. Тем
самым в каждом поколении мутации поставляют в хромосомный набор популяции
множество различных генетических вариаций, присущих особям, которые называются мутантами [1-3]. Для генетического алгоритма с расщеплением признаков с
мажоритарной структурой локуса хромосомы при неизменном значении доминирующего признака возможны несколько схем применения мутации [4], [5], дающих
разную величину вероятности разрушения шаблона в теореме Холланда. Материал
статьи посвящен определению величин условных вероятностей априорных и апостериорных гипотез в случае сохранения фиксированной позиции шаблона как в общем, так и в некоторых частных случаях использования мутации. Значения этих
величин позволяют сделать вывод о динамике разнообразных генотипов особей популяции в процессе эволюции и количестве измененных одновременно генов в локусе и, как следствие, выбрать алгоритм, по которому должен проходить мутагенез.
Введем четыре гипотезы, перекрывающие все пространство комбинаций
двух аллелеформ и доминирующего признака, для которых результат экспрессии
генов до мутации равен ait, j . Поскольку такие гипотезы описывают состояние локуса до мутации, то имеет смысл назвать их априорными гипотезами.
1. Гипотеза H 1 . Значение доминирующего признака d it, j  a it, j , значения
аллельных генов xit, j  a it, j , y it, j  a it, j . В этом случае мутации будет подвергнута
гомозигота, гены которой несут рецессивные признаки.
2. Гипотеза H 2 . Значение доминирующего признака d it, j  a it, j , значения
аллельных генов xit, j  a it, j , y it, j  a it, j . В этом случае мутации будет подвергнута
гетерозигота, у которой ген xi , j несет подавляющий признак.
384
«Искусственный интеллект» 4’2003
Вероятностные оценки гипотез для генетического алгоритма…
5Ч
3. Гипотеза H 3 . Значение доминирующего признака d it, j  a it, j , значения
аллельных генов xit, j  ait, j , y it, j  a it, j . В этом случае мутации будет подвергнута
гетерозигота, у которой ген y i , j несет подавляющий признак.
4. Гипотеза H 4 . Значение доминирующего признака x it, j  a it, j , значения ал-


лельных генов xit, j  a it, j , P 4 Si, j . В этом случае мутации будет подвергнута гомозигота, гены которой несут доминантный признак.
Гипотезы H k , k  1, 4 , образуют полную группу потому, что они попарно
несовместны и независимы, причем, очевидно, выполняется следующее равенство:
P  H 1   P  H 2   P H 3   P  H 4   1 ,
(1)
t
i, j
поскольку иных способов получить результат экспрессии аллелей равным a не существует [4]. Так как априори отсутствует информация о предпочтении той или иной
комбинации аллелей и доминирующего признака, то можно события H k , k  1, 4 ,
считать равновероятными, следовательно, исходя из выражения (1), получаем:
1
P H 1   P H 2   P H 3   P H 4   .
(2)
4
Введем событие S i , j , смысл которого сводится к тому, что в результате
мутации фиксированная позиция шаблона в теореме Холланда будет сохранена.
Это событие может наступить при появлении одного из несовместных событий H k , k  1, 4 , образующих полную группу, следовательно, его вероятность
может быть получена по формуле полной вероятности:


4
PS i , j   P a it,j1  ait, j   P S i , j H k   PH k  .
(3)
k 1
Для определения условных вероятностей PS i , j H k , k  1, 4 , в выражении (3)
введем дополнительно четыре гипотезы, определяющие, какие именно аллельные
гены были подвергнуты мутации. Поскольку такие гипотезы описывают состояние
локуса после мутации, то имеет смысл назвать их апостериорными гипотезами.
1. Гипотеза 1 . В результате мутации не было изменено значение ни одного
аллельного гена, иными словами, xit,j1  xit, j , y it,j1  yit, j .
2. Гипотеза  2 . В результате мутации было изменено значение только аллельного гена xi , j , значение гена y i , j осталось прежним, иными словами, xit,j1  xit, j ,
y it,j1  yit, j .
3. Гипотеза  3 . В результате мутации было изменено значение только аллельного гена y i , j , значение гена xi , j осталось прежним, то есть xit,j1  xit, j , y it,j1  y it, j .
4. Гипотеза  4 . В результате мутации были изменены значения сразу двух
аллельных генов, то есть xit,j1  xit, j , y it,j1  y it, j .
«Штучний інтелект» 4’2003
385
Чипига А.Ф., Воронкин Р.А.
5Ч
Гипотезы  n , n  1, 4 , образуют полную группу, поскольку они попарно несовместны и независимы, причем, поскольку доминирующий признак d i , j не изменяется мутацией [4], то:
P1   P 2   P 3   P 4   1 .
(4)
События S i , j H k , k  1, 4 , могут наступить при появлении одного из несовместных событий  n , n  1, 4 , образующих полную группу, следовательно, вероятность каждого из них может быть получена по формуле полной вероятности:
4


PS i , j H k    P S i , j H k   n  P n , k  1, 4 .
(5)
n 1
Подставив правую часть (5) вместо PS i , j H k , k  1, 4 , в (3), найдем выражение, дающее окончательную оценку величины искомой вероятности:
4
 4

(6)
PS i , j     P S i , j H k   n  P n   PH k  .
k 1  n 1

Условные вероятности P S i , j H k   n , k  1, 4, n  1, 4 , могут быть найдены
из анализа величины, полученной в результате экспрессии генов в каждом конкретном случае. Результаты данного анализа показаны в [3], там же приведены и
значения соответствующих условных вероятностей.
Выражение (6) представляет собой билинейное преобразование двух векторов в скалярную величину, линейно зависящую от каждого из них, следовательно,
она может быть записана в матричном виде:
P S i , j   PHT  M  P  PT  M T  PH ,
(7)




где PH – вектор-столбец размера 4  1 , элементами которого являются вероятности
T
априорных гипотез H k , k  1, 4 , PH   P H 1  P H 2  P H 3  P H 4  ; P –
вектор-столбец размера 4  1 , элементами которого являются вероятности
T
апостериорных гипотез  n , n  1, 4 , P  P 1  P  2  P  3  P  4  ; M – матрица размера 4  4 , элементами которой являются условные вероятности
P S i , j H k   n , k  1, 4, n  1, 4 , следовательно,


1 0 0 0 


1 0 1 1 
.
(8)
M  M kn   P S i , j H k   n   
1 1 0 1


1 1 1 0 


Элементы матрицы M зависят только от результата экспрессии генов после мутации в каждом конкретном случае и не зависят от способа мутагенеза, поэтому
матрицу M можно назвать инвариантом мутагенеза.
Допустим, что в результате мутации фиксированная позиция шаблона после
экспрессии не изменилась, т.е. имело место событие S i , j . Поставим своей задачей


определить, как изменились (в связи с тем, что событие S i , j уже наступило)
вероятности априорных и апостериорных гипотез.
386
«Искусственный интеллект» 4’2003
Вероятностные оценки гипотез для генетического алгоритма…
5Ч
Другими словами, будем искать вероятности
PH k S i , j  , k  1, 4;

 P  n S i , j  , n  1, 4,
величина которых, в соответствии с формулой Байеса, может быть определена
следующим образом:
P S i , j H k   P H k 

, k  1, 4;
 P H k S i , j  
P S i , j 

(9)

P S i , j  n   P n 
 P  n S i , j  
, n  1, 4.

P S i , j 
В выражении (9) вероятности гипотез H k , k  1, 4 , и  n , n  1, 4 , изначально
известны и зависят от способа мутагенеза. Вероятность сохранения фиксированной
позиции шаблона P S i , j  может быть найдена согласно (6) или (7). Условные вероятности PS i , j H k , k  1, 4 , также могут быть получены из (5). Что касается условных
вероятностей PS i , j  n , n  1, 4 , то, поскольку события S i , j  n , n  1, 4 , могут
наступать при появлении одного из несовместных событий H k , k  1, 4 ,
образующих полную группу, вероятность каждого из них в отдельности может быть
получена по формуле полной вероятности:
PS
4
i, j
n
   PS
i, j

 n  H k  PH k  , n  1, 4 .
(10)
k 1
Так как события H k , k  1, 4 , и  n , n  1, 4 , образуют полные группы и H k и  n
попарно независимы, то имеет место следующее равенство условных вероятностей:
P S i , j  n  H k  P S i , j H k   n , k  1, 4, n  1, 4.
(11)
Таким образом, величины искомых условных вероятностей определяются выражением

 
4



PS i , j  n    P S i , j H k   n  PH k , n  1, 4 .
(12)
k 1
Подставляя правые части выражений (5) и (12) в (9), получим:
P H k  4



P
H
S

 P S i , j H k   n  P n , k  1, 4;
k
i
,
j

PS i , j  n1


4
 P  n S i , j   P n   P S i , j H k   n  PH k , n  1, 4.
P S i , j  k 1





(13)
С учетом (7) оба последних уравнения для простоты могут быть представлены в
матричном виде:
1

PS

diag  P H 1 , PH 2 , P H 3 , P H 4   M  P ;
H
T

PH  M  P
(14)

1
T
PS   T
diag

P



,
P



,
P



,
P





M

P
,
1
2
3
4
H
P  M T  PH

где M – инвариант мутагенеза из (8); PH – вектор-столбец вероятностей априорных
гипотез; P – вектор-столбец вероятностей апостериорных гипотез; PS H – вектор-
«Штучний інтелект» 4’2003
387
Чипига А.Ф., Воронкин Р.А.
5Ч
столбец размера S i , j H k , k  1, 4 , элементами которого являются условные вероятности априорных гипотез H k S i , j , k  1, 4 ,
PS H  PH 1 S i , j  PH 2 S i , j  PH 3 S i , j  P H 4 S i , j  ;
T
(15)
PS  – вектор-столбец размера 4  1 , элементами которого являются условные
вероятности апостериорных гипотез xi , j ,
PS   P1 S i , j  P 2 S i , j  P 3 S i , j  P 4 S i , j  ;
T
(16)
diag  PH 1 , PH 2 , PH 3 , P H 4  – диагональная матрица размера 4  4 , у
которой на главной диагонали элементы равны P H k , k  1, 4 , то есть
0
0
0 
 P H 1 


P H 2 
0
0 
 0
diag PH 1 , PH 2 , PH 3 , PH 4   
;
0
0
P H 3 
0 


 0
0
0
PH 4 

(17)
diag P1 , P 2 , P 3 , P 4  – диагональная матрица размера 4  4 , у
которой на главной диагонали элементы равны P  n , n  1, 4 , то есть
0
0
0 
 P1 


P 2 
0
0 
 0
. (18)
diag  P1 , P 2 , P 3 , P 4   
0
0
P 3 
0 


 0

0
0
P




4 
Найдем векторы PS H и PS  в некоторых конкретных случаях применения
мутации для генетического алгоритма с расщеплением признаков.
1. Предположим, что мутации может быть подвергнут с вероятностью p m
только ген xi , j , а ген y i , j мутации не подвергается. В этом случае вектор-столбец
вероятностей априорных гипотез, поскольку отсутствует информация о предпочтении той или иной комбинации аллелеформ и доминирующего признака, равен
1
PH  
4
1
4
1
4
T
1
 ,
4
(19)
тогда как вектор-столбец вероятностей апостериорных гипотез, исходя из значения вероятности точечной мутации гена p m , определяется выражением
P  1  p m
pm
T
0 0 .
(20)
Как показано в [5], вероятность сохранения фиксированной позиции шаблона при этом может быть найдена по формуле
P S i , j   1 
388
pm
.
2
(21)
«Искусственный интеллект» 4’2003
Вероятностные оценки гипотез для генетического алгоритма…
5Ч
Подставим в (14) найденные значения для PH и P . Тогда вектор-столбец
условных вероятностей априорных гипотез может быть задан как вектор-функция
в зависимости от вероятности точечной мутации p m гена xi , j :
T
 1 1  p m 1 1  pm 1
1
1
1 
 .
PS H   



(22)
 2 2  pm 2 2  pm 2 2  pm 2 2  p m 
Поскольку для значения вероятностей точечной мутации 0  p m  1 выполняется неравенство
1 1  pm 1
1

 
,
2 2  pm 2 2  pm
что, в свою очередь, влечет за собой выполнение неравенства
P H 1 S i , j   P H 2 S i , j   P H 3 S i , j   PH 4 S i , j  , то при использовании последовательности «отбор-мутация» в процессе эволюции в популяции будут накапливаться
особи, у которых ген y i , j , не подвергающийся мутации, несет доминантный признак,
что приведет к нарушению симметрии количества гетерозиготных особей, что нежелательно с позиции разнообразия генотипов. Графики соответствующих условных
вероятностей априорных гипотез в зависимости от вероятности точечной мутации
гена показаны на рис. 1.
Рисунок 1 – Графики условных вероятностей априорных гипотез в зависимости
от величины вероятности точечной мутации гена в случае, когда мутации может быть
подвергнут только ген xi , j : а) P H 1 S i , j   P H 2 S i , j  ; б) P H 3 S i , j   P H 4 S i , j 
Вектор-столбец условных вероятностей апостериорных гипотез, как следует из (14), равен
 1  pm
PS    2 
 2  pm
«Штучний інтелект» 4’2003
pm
2  pm
T

0 0  .

(23)
389
Чипига А.Ф., Воронкин Р.А.
5Ч
Следует обратить внимание на тот факт, что, как явствует из (23), условные
вероятности P  3 S i , j   P  4 S i , j   0 . Это еще раз является свидетельством того,
что ген y i , j в процессе мутации не участвует. При значении вероятности точечной
мутации p m  2 3 условные вероятности апостериорных гипотез равны друг другу:
P 1 S i , j   P  2 S i , j   1 2 . Таким образом, при данном значении вероятности точечной мутации гена наблюдается баланс между числом особей, у которых генотип
не был затронут мутацией, и числом особей-мутантов. Графики соответствующих
условных вероятностей апостериорных гипотез в зависимости от вероятности точечной мутации гена показаны на рис. 2.
2. Предположим, что мутации подвергаются оба аллельных гена независимо
друг от друга с одинаковой величиной вероятности точечной мутации p m . В этом
случае вектор-столбец вероятностей априорных гипотез может быть найден из
соотношения (19), тогда как вектор-столбец апостериорных гипотез равен

2
P  1  p m 
p m  1  p m 

T
p m  1  p m  p m2 .
(24)
Рисунок 2 – Графики условных вероятностей апостериорных гипотез
в зависимости от величины вероятности точечной мутации гена, в случае, когда
мутации может быть подвергнут только ген xi , j :
а) P 1 S i , j  ; б) P  2 S i , j 
390
«Искусственный интеллект» 4’2003
Вероятностные оценки гипотез для генетического алгоритма…
5Ч
Вероятность сохранения фиксированной позиции шаблона в данном случае
может быть найдена по формуле [5]
p 

(25)
PS i , j   1  p m  1  m  .
2 

Согласно выражению (14), при подстановке в которое найденных значений для
PH и P вектор-столбец условных вероятностей априорных гипотез может быть задан
как вектор-функция в зависимости от вероятности точечной мутации p m :
2
1

  1  p m  
 2 2  2 p m  p m2 
 1 1 p  p2 
m
m
 

2
2
2

2
p

p

m
m 
PS  
.
(26)
 1 1  p m  p m2 
 

2
 2 2  2 pm  p m 
1

1  p m2
 
2 
 2 2  2 pm  p m 
Величина условной вероятности P H 1 S i , j  монотонно убывает от 1 4 до 0 на
отрезке p m  0, 1 , что можно объяснить уменьшением числа гомозиготных особей
с рецессивными признаками в процессе эволюции при применении
последовательности «отбор-мутация»; скорость такого уменьшения увеличивается с
увеличением величины вероятности точечной мутации p m , что явствует из рис. 3.
Рисунок 3 – Графики условных вероятностей априорных гипотез в зависимости
от величины вероятности точечной мутации гена в случае, когда мутации могут
быть подвергнуты оба аллельных гена:
а) P H 1 S i , j  ; б) P H 2 S i , j   P H 3 S i , j  ; в) P H 4 S i , j 
«Штучний інтелект» 4’2003
391
Чипига А.Ф., Воронкин Р.А.
5Ч
Величины вероятностей P H 2 S i , j   P H 3 S i , j  монотонно возрастают от
1 4 до 1 2 на отрезке p m  0, 1 . Таким образом, в популяции постоянно будет
возрастать количество гетерозиготных особей, а при значениях вероятности
точечной мутации p m  1 2 гетерозиготные особи постепенно вытеснят
гомозиготных особей. Величина верояности PH 4 Si , j  монотонно возрастает на
 

1 от 
отрезке pm  0, 3 5 2 от 1 4 до


pm  3 5 2 ,
 5 1 4
и монотонно убывает на отрезке



5  1 4 до 0 при pm  3 5 2 вероятность достигает


максимального значения, равного 5  1 4 . Поскольку для всех p m  1 2 выполняется неравенство PH 4 Si, j   PH 2 Si, j   PH 3 Si, j  , то в популяции при данных
условиях постепенно будут накапливаться гомозиготные особи с доминантными
признаками. Графики соответствующих условных вероятностей априорных
гипотез в зависимости от вероятности точечной мутации гена приведены на рис. 3.
Вектор-столбец условных вероятностей апостериорных гипотез, как
следует из (14), равен
 21  p m 2 


 2  2 p m  p m2 
 p m  1  p m  


2  2 p m  p m2 

PS  
.
(27)
 p m  1  p m  
 2  2 p  p2 
m
m 

p m2


 2  2 p  p2 
m
m 



Величина условной вероятности P 1 S i , j монотонно убывает при pm  0, 1
от 1 до 0, таким образом, в популяции с увеличением p m уменьшается количество
особей, у которых оба гена не были подвергнуты мутации. Величина вероятностей
P  2 S i , j  P  3 S i , j монотонно возрастает от 0 до
2  1 2 на отрезке

 



pm  0, 2  2 и монотонно убывает от






2  1 2 до 0 на отрезке p m  2  2 , 1 ;
при p m  2  2 данные вероятности достигают максимального значения.
Величина условной вероятности P  4 S i , j  монотонно возрастает от 0 до 1 на
отрезке p m  0, 1 , следовательно, в популяции в процессе эволюции с увеличением
значения p m будет возрастать количество особей, у которых мутации подверглись
оба аллельных гена. Графики соответствующих условных вероятностей апостериорных гипотез в зависимости от вероятности точечной мутации гена показаны на рис. 4.
3. Предположим, что мутации подвергаются оба аллельных гена xi , j и y i , j независимо друг от друга с вероятностями p mx и p my соответственно. В этом случае
вектор-столбец вероятностей априорных гипотез может быть найден из (19).
392
«Искусственный интеллект» 4’2003
Вероятностные оценки гипотез для генетического алгоритма…
5Ч
Рисунок 4 – Графики условных вероятностей апостериорных гипотез
в зависимости от величины вероятности точечной мутации гена в случае,
когда мутации могут быть подвергнуты оба аллельных гена:
а) P 1 S i , j  ; б) P  2 S i , j   P  3 S i , j  ; в) P  4 S i , j 
Тогда как вектор-столбец вероятностей апостериорных гипотез дается
соотношением
 1  p mx   1  p my 


 p mx  1  p my  
.
(28)
P  

1  p mx   p my 




p

p
mx
my


Как показано в [5], вероятность сохранения фиксированной позиции шаблона в данном случае может быть найдена по формуле
1
PS i , j   1   p mx  p my  p mx  p my  .
(29)
2
Согласно (14), при подстановке в которое найденных значений для PH и P
векторы-столбцы условных вероятностей априорных и апостериорных гипотез
PS H и PS  могут быть представлены следующими выражениями:
1  p mx   1  p my 
1
 
 2 2  p mx  p my  p mx  p my
1
1  p mx  p mx  p my
 
 2 2  p mx  p my  p mx  p my
PS H  
1  p my  p mx  p my
1
 
 2 2  p mx  p my  p mx  p my
1
1  p mx  p my
 
 2 2  p mx  p my  p mx  p my

«Штучний інтелект» 4’2003






;






(30)
393
Чипига А.Ф., Воронкин Р.А.
5Ч
 21  p mx   1  p my 

 2  p mx  p my  p mx  p my

p mx  1  p my 

 2  p mx  p my  p mx  p my
PS   
1  p mx   p my

 2  p mx  p my  p mx  p my

p mx  p my

 2  p mx  p my  p mx  p my







.






(31)
Следует заметить, что (22) и (26) являются частным случаем (30), а (23) и
(27) – частным случаем (31).
4. Величина вероятности разрушения шаблона в теореме Холланда будет
наименьшей тогда, когда мутации подвергается только один аллельный ген [5],
однако в этом случае в процессе эволюции постепенно будет нарушена симметрия
генотипов особей популяции в сторону увеличения числа индивидуумов, у
которых не подвергающийся мутации ген несет доминантный признак.
Это явление может быть устранено путем определения некоторого алгоритма, по которому будет происходить мутагенез. Структурная схема одного из
вариантов такого алгоритма показана на рис. 5. В блоке 1 алгоритма происходит
инициализация некоторой переменной MFlag случайным числом из множества
{0, 1}, этот блок должен быть выполнен до начала эволюционного цикла.
В блоке 2 на некотором этапе эволюции производится сравнение значения MFlag с
единицей, если данное условие истинно, то мутации подвергается ген xi , j с вероятностью p m (блок 3), в противном случае мутации подвергается ген y i , j с вероятностью p m (блок 4). Независимо от того, был или нет изменен ген мутацией,
переменной MFlag присваивается новое значение, равное 1 – MFlag, что означает
замену единицы на нуль и наоборот.
Найдем вероятность сохранения фиксированной позиции шаблона в теореме
Холланда для предложенного алгоритма.
Алгоритм не определяет предпочтений той или иной априорной гипотезы,
следовательно, вектор-столбец вероятностей априорных событий дается соотношением (19), тогда как вектор-столбец апостериорных гипотез равен
P  1  p m
T
pm 2 0 .
(32)
Подставив полученные значения PH и P в (7), определим вероятность сохранения значения фиксированной позиции шаблона
p
P S i , j   1  m ,
(33)
2
сравнивая которую с величиной вероятности сохранения фиксированной позиции
шаблона, полученной по (21), можно заключить, что характеристики алгоритма с
позиции наименьшего значения вероятности разрушения шаблона в теореме Холланда не хуже, чем в случае, когда мутации подвергается только один аллельный ген.
394
pm 2
«Искусственный интеллект» 4’2003
Вероятностные оценки гипотез для генетического алгоритма…
5Ч
Вектор-столбец условных вероятностей априорных гипотез может быть найден, исходя из значений элементов векторов вероятностей априорных и апостериорных гипотез, согласно (14):
T
 1 1  pm 1 1 1
1 
 .
PS H   

(34)
2
2

p
4
4
2
2

p
m
m 





Поскольку P H 2 S i , j  P H 3 S i , j  1 4 , то количество гетерозигот в популяции будет иметь тенденцию оставаться постоянным в процессе эволюции и составлять примерно половину от общего числа особей популяции. При изменении вероятности точечной мутации p m данное соотношение изменяться не будет.
1
Инициализировать
MFlag числом из
множества {0, 1}
…
2
да
нет
MFlag = 1 ?
3
Подвергнуть
мутации ген xi,j
с вероятностью pm
4
Подвергнуть
мутации ген yi,j
с вероятностью pm
5
MFlag := 1 – MFlag
Рисунок 5 – Структурная схема алгоритма мутагенеза
Кроме того, так как выполняется неравенство P H 1 S i , j   P H 4 S i , j  , то в
процессе эволюции в популяции будут накапливаться особи, в генотипе которых
доминируют оба гена. Графики соответствующих условных вероятностей априорных
гипотез в зависимости от вероятности точечной мутации гена показаны на рис. 6.
«Штучний інтелект» 4’2003
395
Чипига А.Ф., Воронкин Р.А.
5Ч
Рисунок 6 – Графики условных вероятностей априорных гипотез
в зависимости от величины вероятности точечной мутации гена
для определенного алгоритма мутагенеза:
а) P H 1 S i , j  ; б) P H 2 S i , j   P H 3 S i , j  ; в) P H 4 S i , j 
Вектор-столбец условных вероятностей апостериорных гипотез, исходя из
равенств (19), (32) и (14), определяется выражением
T
 1  pm 1

1
1
1
PS    2


0  .
(35)
 2  pm 2 2  pm 2 2  pm

Поскольку P  4 S i , j   0 , то это еще раз показывает, что совместная мутация
генов xi , j и y i , j в данном случае невозможна. При значении вероятности точечной
мутации p m  4 5 условные вероятности апостериорных гипотез равны друг
другу: P 1 S i , j   P  2 S i , j   P  3 S i , j   1 3 . Графики соответствующих условных вероятностей апостериорных гипотез в зависимости от вероятности точечной
мутации гена показаны на рис. 7.
Рисунок 7 – Графики условных вероятностей апостериорных гипотез
в зависимости от величины вероятности точечной мутации гена
для определенного алгоритма мутагенеза:
а) P 1 S i , j  ; б) P  2 S i , j   P  3 S i , j 
396
«Искусственный интеллект» 4’2003
Вероятностные оценки гипотез для генетического алгоритма…
5Ч
Таким образом, анализ величин условных вероятностей априорных и апостериорных гипотез в случае сохранения фиксированной позиции шаблона в теореме Холланда помогает не только определить динамику в процессе эволюции разнообразия
генотипов особей популяции и количество измененных одновременно генов в локусе
при использовании последовательности «отбор – мутация» для генетического
алгоритма с расщеплением признаков в каждом конкретном случае. Он позволяет
также выявить один из наиболее предпочтительных способов применения мутации,
оформленный в виде алгоритма, по которому должен протекать мутагенез.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
Скурихин А.Н. Генетические алгоритмы // Новости искусственного интеллекта. – 1995. – № 4.
Былинович А.П. Многохромосомная оптимизация оценки качества программных средств //
Автоматизация проектирования. – 1999. – № 1.
Holland J.H. Adaptation in Natural and Artificial Systems. – Ann Arbor: The University of Michigan
Press, 1975.
Чипига А.Ф., Воронкин Р.А. Введение в генетический алгоритм с расщеплением признаков //
Сб. науч. тр. ученых ФМФ СГУ. – Ставрополь: СГУ, 2003.
Чипига А.Ф., Воронкин Р.А. Вероятность разрушения шаблона в теореме Холланда при
использовании мутации для генетического алгоритма с расщеплением признаков // Сб. науч.
тр. СевКавГТУ. Физико-математическая серия. – Ставрополь: СевКавГТУ, 2003.
Goldberg D.E. Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning. – MA: AddisonWesley, 1989.
The evaluations of conditional probabilities of prior and posterior hypotheses in case of preservation of the fixed
positions of the pattern in Holland’s theorem are given. On the basis of received values the suitable algorithm of
the mutagenesis with minimum probability of the pattern destruction is chosen.
Дані оцінки умовних імовірностей апріорних і апостеріорних гіпотез у випадку збереження
фіксованої позиції шаблону в теоремі Холланда. На основі значень отриманих величин здійснений
вибір оптимального алгоритму мутагенезу з мінімальною імовірністю руйнування шаблону.
Статья поступила в редакцию 20.08.03.
«Штучний інтелект» 4’2003
397