Ю. М. Бурман

Ю. М. Бурман
1. Матричная теорема о деревьях и ее аналоги для групп, порожденных отражениями.
«Реферативная» часть — матричная теорема о деревьях, принадлежащая Кэли: определитель
некоторой матрицы An равен сумме «древовидных» мономов от набора переменных wij, 1 ≤ i <
j ≤ n. Матрица An задается явной формулой; на самом деле это матрица действия взвешенной
суммы транспозиций на (n-1)-мерном представлении группы перестановок Sn.
Исследовательская часть — обобщить матричную теорему о деревьях на другие (кроме Sn)
группы, порожденные отражениями.
Для 1 и 2 курса; для 1 курса можно ограничиться «реферативной» частью.
Литература: У.Татт, «Теория графов».
2. SO(3) = RP3 и другие подобные соответствия.
Существует несколько доказательств того, что группа SO(3) вращений трехмерного
пространства является трехмерным проективным пространством. В том числе существуют
явные соответствия между ними, которые позволяют изучать вопрос, какие множества
вращений соответствуют определенным подмножествам в RP3 (например, проективным
прямым или плоскостям).
Для 1 курса.
3. Вероятность того, что два взятых наугад целых числа взаимно просты, равна 6/π2.
Для 1 курса.
Литература: А.М.Яглом, И.М.Яглом, «Неэлементарные задачи в элементарном изложении».
4. Третья проблема Гильберта (неравносоставленные многогранники) и пример Тарского.
Если два многоугольника имеют одинаковую площадь, то один из них можно разрезать на
конечное число многоугольных частей, из которых сложить второй. Аналогичная теорема для
разрезания многогранников на многогранники неверна, причем препятствие носит теоретикомножественный характер. Если в формулировке теоремы убрать слова «на многогранники»,
то результат будет совсем неожиданным...
Для 1 курса.
Литература: Болтянский, «Третья проблема Гильберта».
5. Явные формулы для корней алгебраических уравнений.
Первая («реферативная») часть — доказательство знаменитой теоремы Абеля о том, что не
существует формулы для решения уравнений степени 5 и выше, использующей только
арифметические операции и корни. Вторая часть — построение формулы для решения
уравнений 5-ой степени, использующей эллиптические функции, и исследование
аналогичного вопроса для степени 6. Третья (исследовательская) часть — можно ли найти
вещественные корни уравнения с вещественными коэффициентами, производя вычисления
только с вещественными числами.
Для 1 и 2 курса; для 1 курса можно ограничиться первой частью или первыми двумя.
Литература: Алексеев, «Теоремя Абеля в задачах и решениях».