Методические указания к решению задач по теории вероятностей

Кыргызско-Российский Славянский Университет
Кафедра Высшей математики
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по
теории вероятностей
Бишкек 2008
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
УДК 519.212
Давидюк Тамара Алексеевна
Гончарова Ирина Витальевна
Методические указания к решению задач по теории вероятностей. Для
всех форм обучения. Кыргызско-Российский Славянский Университет.
Бишкек, 2008. – 108 стр.
Решение задач по теории вероятностей представляет для студентов
определенную сложность. Данные методические указания направлены на
оказание
помощи,
необходимой
при
решении
задач.
По
каждой
теме(вопросу) приводятся решение большого числа задач с подробным
разбором ситуации, приводящей к наступлению интересующего события.
Для закрепления материала, после разбора решения даются задания для
самостоятельного решения. Данные методические указания могут быть
использованы не только студентами всех специальностей и всех форм
обучения, но и молодыми преподавателями.
Рецензент: к.ф.-м.н., доцент
К.Ишмахаметов
2
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Типовой расчет 1. «Случайные события»
Тема: Непосредственное вычисление вероятности события
В теории вероятностей событием называют результат опыта или
испытания.
События обозначают латинскими буквами А, В, С, D, …
Вероятностью называют численную меру степени объективной
возможности наступления события. Обозначают латинской буквой P ; - P( A)
- читают: вероятность появления события А.
Вероятность можно вычислить по классической формуле:
P ( A) =
m
,
n
где n - общее число случаев, к которым ведет опыт,
m - число случаев, благоприятных событию А,
Или по формуле геометрической вероятности
P ( A) =
мера g
,
мера G
где под мерой одномерного пространства понимают длину, двумерного –
площадь, трехмерного – объем.
Главное свойство вероятности: 0 ≤ P( A) ≤ 1 .
P( A) = 0 , для невозможного события А;
P( A) = 1 , для достоверного события А.
Пример 1. На карточках написаны числа от 30 до 40. Наудачу извлекают
одну карточку. Найти вероятность того, что извлекут карточку с числом
кратным трем.
Решение.
Введем событие А – число кратно трем.
n = 11 (можно извлечь любую из 11 карточек),
m = 4 (чисел делящихся на три будет всего четыре: 30; 33; 36; 39).
P ( A) =
4
.
11
3
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Пример 2. В лифт девятиэтажного дома на первом этаже вошли 5 человек.
Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей,
начиная со второго. Вычислить вероятность того, что: 1) все пассажиры
выйдут на шестом этаже; 2) все пассажиры выйдут на одном и том же этаже.
Решение.
1. Введем событие А – все пассажиры выйдут на шестом этаже.
n = 85 (для одного человека возможных исходов 8, для двух - 8 ⋅ 8 = 8 2 , …, для
пяти - 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8 = 85 ),
m = 1.
P ( A) =
1
.
85
2. Введем событие В – все пассажиры выйдут на одном этаже.
n = 85 , m = 8 ( все могут выйти либо на втором, либо на третьем, либо …,
либо на девятом этаже).
P ( A) =
8
1
= 4.
5
8 8
При нахождении общего число случаев
n , и числа случаев
благоприятствующих событию А - m , нередко приходится использовать
понятия комбинаторики. Пусть рассматривается множество, состоящее из n
различных элементов a1 , a 2 , a3 ,...a n .
Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех же
n
элементов
и отличающиеся
только
порядком их
расположения.
Обозначают Pn .
Число всех перестановок из n элементов находится по формуле:
Pn = n!,
где n!= 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n , 1!= 1 , 0!= 1 .
Размещениями называют комбинации составленные из n различных
элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов,
либо их порядком. Обозначают Anm Число всех возможных размещений
вычисляют по формуле
4
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Anm = n(n − 1)(n − 2)(n − 3)...(n − m + 1) .
Сочетаниями называют комбинации составленные из n различных
элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом
(разница в порядке элементов не учитывается). Обозначают C nm . Число
сочетаний находят по формуле
C nm =
n!
.
m!(n − m)!
Пример 3. Ребенок не умеющий читать играет с буквами разрезной
азбуки к, к, л, л, о, о, о. Какова вероятность того, что переставляя эти буквы
наугад, он составит слово «колокол».
Решение.
Введем событие А – составлено слово «колокол».
n = 7!= 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 = 5040 (столько раз можно переставить семь
карточек).
m1 = 2! (столько раз можно переставить букву «к»),
m2 = 2! (столько раз можно переставить букву «л»),
m3 = 3! (столько раз можно переставить букву «о»).
m = m1 ⋅ m2 ⋅ m3 = 2!⋅2!⋅3!= 24
P ( A) =
24
1
=
.
5040 210
Пример 4. Телефонный номер состоит из шести цифр. Найти
вероятность того, что все цифры различны.
Решение.
Введем событие А –все цифры различны.
n = 10 6 (столько всех шестизначных номеров существует, считая
000000 – возможным).
5
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
m = A106 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 (столько будет существовать номеров с
различными цифрами).
A106 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5
P ( A) = 6 =
= 0.1512
10
10 6
Пример 5. Из колоды в 52 карты наугад выбирают четыре. Найти
вероятность того, что среди них окажется один туз.
Решение.
Введем событие А – среди извлеченных четырех карт есть один туз.
n = C524 =
52!
( столькими способами можно извлечь четыре карты из 52);
4!⋅48!
m1 = C41 =
4!
1!⋅3!
(столькими способами можно извлечь одного туза из
имеющихся четырех);
Так как извлекают четыре карты, а туз должен быть один, то остальные три
карты – не тузы.
3
m2 = C48
=
48!
3!⋅45!
C41 ⋅ C483
4!⋅48!⋅4!⋅48!
≈ 0.255
=
m = m1 ⋅ m2 . P( A) ==
4
1!⋅3!⋅3!⋅45!⋅52!
C52
Рассмотренное решение является важным применением классического
определения вероятности. Общая схема возникновения такого решения
такова: имеется N шаров (под шаром будем понимать элемент любой
природы), из них M – белых, остальные N-M – небелые. Случайным образом
берут k шаров. Следует вычислить вероятность того, что среди взятых k
шаров будет l белых шаров. Общее число исходов n = C Nk , l белых шаров
можно извлечь C Ml - способами, тогда остальные k-l шаров должны быть
небелыми и их можно извлечь
C Nk −−lM
- способами. Общее число
благоприятствующих исходов равно C Ml ⋅ C Nk −−lM .
C Ml ⋅ C Nk −−lM
Вероятность P( A) =
C Nk
6
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Пример 6. (задача о встрече)
Два лица условились встретиться в определенном месте между 15 и 16
часами. Пришедший первым ждет второго в течении 20 минут, после чего
уходит. Определить вероятность встречи, если время прихода каждого лица
независимо и равновозможно в течении указанного часа.
Решение.
Обозначим время прихода первого через x , а время прихода второго через
y.
y
60
20
x
0
20
60
Встреча произойдет если x − y ≤ 20 , а область возможных значений для x и
y будет 0 ≤ x ≤ 60 , 0 ≤ y ≤ 60 , т.е. это квадрат.
Площадь квадрата 60 ⋅ 60 = 3600 .
Неравенству
x − y ≤ 20 соответствует область, лежащая между двумя
прямыми x − y = 20 и x + y = 20 .
Если точка ( x, y ) попадет в заштрихованную часть встреча произойдет.
Обратимся к геометрической вероятности. Площадь всего квадрата 3600, а
площадь заштрихованной части равна:
⎛1
⎞
3600 − 2⎜ (60 − 20) 2 ⎟ = 3600 − 1600 = 2000 ;
⎝2
⎠
7
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
P( A) =
Методические указания к решению задач по ТВ
2000 5
= .
3600 9
Задания для самостоятельного решения.
1.1 Все буквы русского алфавита написаны на 33 карточках. Какова
вероятность того, что наудачу взятая карточка окажется с гласной
буквой?
1.2 Какова вероятность того, что случайно выбранное целое число от 1 до 30
является делителем числа 30.
1.3 Какова вероятность того, что задуманное двузначное число делится на 5.
1.4 Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма
очков равна 8, а разность 4.
1.5 В словаре языка А.С. Пушкина имеется 22000 различных слов, из
которых 16000 А.С. Пушкин употребляет в своих произведениях только
один раз. Найти вероятность того, что наудачу взятое из этого словаря
слово, употреблялось писателем более одного раза.
1.6 На складе хранится 500 аккумуляторов. Известно, что после года
хранения 20 штук выходят из строя. Требуется найти вероятность того,
что наудачу взятый после года хранения аккумулятор окажется годным.
1.7 Какова вероятность того, что четырехзначный номер случайно взятого
автомобиля имеет все цифры различные. Замечание: считать номер 0000
возможным.
1.8 Куб, грани которого окрашены, распилен на 64 одинаковых кубиков.
Кубики перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу взятый кубик
будет иметь одну окрашенную грань.
1.9 Подброшены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма
очков равна 5, а произведение равно 4.
1.10 Абонент забыл три последние цифры номера телефона и набирает их
наудачу. Найти вероятность того, что он наберет правильный номер.
8
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
1.11 Участники жеребьевки тянут жетоны из ящика. Номера жетонов от 1 до
100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного
жетона не содержит цифру 6.
1.12 В лотерее разыгрываются 1000 билетов. Среди них один выигрыш в 50
сомов, пять – по 20 сомов, двадцать – по 10 сомов
и пятьдесят
выигрышей по 5 сомов. Некто купил один билет. Найти вероятность
выигрыша не менее 10 сомов.
1.13 Найти
вероятность
того,
что
наудачу
выбранный
член
последовательности u n = n 2 + 1 , n = 1,2,...10 есть число кратное пяти.
1.14 Куб, грани которого окрашены, распилен на 64 одинаковых кубиков.
Кубики перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу взятый кубик
будет иметь две окрашенных грани.
1.15 В лотерее разыгрываются 500 билетов. Крупные выигрыши падают на
билеты, номера которых содержат три одинаковых цифры. Некто купил
один билет. Найти вероятность того, что он выиграет крупный выигрыш.
1.16 Куб, грани которого окрашены, распилен на 1000 одинаковых кубиков.
Кубики перемешали, после чего извлекли наудачу один. Найти
вероятность того, что кубик будет иметь три окрашенные грани.
1.17 В книге 50 страниц. Найти вероятность того, что номер наугад открытой
страницы будет кратен 8.
1.18 Подброшены две игральные кости. Найти вероятность того, что
произведение выпавших очков будет четным.
1.19 Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу извлекают одну. Найти
вероятность того, что будет извлечена фигура любой масти. Замечание:
под фигурой понимают даму, валета, короля.
1.20 Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятность того,
что произведение выпавших очков равно 8.
1.21 Замок с «секретом» на общей оси имеет четыре диска, каждый из
которых разделен на шесть секторов. Сектора дисков пронумерованы
цифрами от 1 до 6. Замок открывается, если на каждом диске будет
9
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
набрано определенное «секретное» число. Найти вероятность того, что
лицо не знающее секрета откроет замок.
1.22 Поездка пассажира с некоторой автобусной остановки обслуживается
автобусами маршрутов №3 и №8. Через данную остановку проходят
автобусы пяти маршрутов. Известно, что из сорока автобусов,
курсирующих через данную остановку, имеется восемь автобусов
маршрута №3 и десять автобусов маршрута №8. Найти вероятность того,
что пассажир уедет с первым подошедшим автобусом.
1.23 Одновременно подбрасываются две игральные кости. Найти вероятность
того, что на верхних гранях каждой из костей выпадет одно и тоже
число очков.
1.24 Найти вероятность того, что подброшенная кость упадет, показав на
верхней грани четное или кратное трем число очков.
1.25 Задумано
двузначное
число,
цифры
которого
различны.
Найти
вероятность того, что окажется равным задуманному числу:
а) случайно названное двузначное число;
б) случайно названное двузначное число цифры которого различны.
2.1.
Ребенок не умеющий читать играет с буквами разрезной азбуки: А, Г,
Е, З, Л, Ь. Какова вероятность того, что переставляя буквы наугад, он
составит слово «ГАЗЕЛЬ»?
2.2.
На книжной полке случайным образом расставлены четыре книги по
математике и три по физике. Найти вероятность того, что книги по
каждому предмету окажутся рядом.
2.3.
Из чисел 1, 2, 3, …30 случайно отбирают 10 различных. Найти
вероятность того, что 5 чисел четные и пять – нечетные.
2.4.
На шести одинаковых карточках написаны числа 2, 4, 7, 8, 12, 10.
Наудачу взяты две карточки. Какова вероятность того, что образованная
из этих чисел дробь сократима?
10
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
2.5.
Методические указания к решению задач по ТВ
Десять человек разбились на две команды, по пять человек в каждой,
для игры в волейбол. Найти вероятность того, что два брата попадут в
одну команду.
2.6.
Из чисел 1, 2, 3, …30 случайно отбирают 10 различных. Найти
вероятность того, что ровно 5 чисел делятся на три.
2.7.
В вещевой лотерее разыгрываются пять предметов. Всего в урне 30
билетов. Первый подошедший к урне вынимает четыре билета. Найти
вероятность того, что два из этих билетов окажутся выигрышными.
2.8.
Библиотечка состоит из 10 книг, причем 5 книг стоят по 4 сома каждая,
три книги – по одному сому и две книги по три сома. Найти вероятность
того, что взятые наудачу две книги стоят в сумме 5 сомов.
2.9.
Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на
разные месяцы.
2.10. Среди кандидатов в студенческий совет три первокурсника, пять
второкурсников и семь третьекурсников. Из этого состава отбирают 5
человек. Найти вероятность того, что: а) выбраны одни второкурсники; б)
выбраны одни третьекурсники.
2.11. В группе 18 девушек и 12 юношей. Надо выбрать делегацию из 2
человек. Найти вероятность того, что будут делегированы юноша и
девушка.
2.12. Из десяти деталей две являются бракованными. Наудачу взяли 5
деталей. Найти вероятность того, что три детали из взятых будут не
бракованными.
2.13. Студент знает 20 из 30 вопросов программы. В билете 3 вопроса. Найти
вероятность того, что студент, взявший билет, ответит на два вопроса
билета.
2.14. Из чисел 1, 2, 3, …30 случайно отбирают 10 различных. Найти
вероятность того, что все отобранные числа окажутся нечетными.
2.15. У сборщика 12 деталей, мало отличающихся друг от друга. Из них пять
деталей первого вида, четыре – второго, и три – третьего. Какова
11
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей окажутся три
детали первого вида, две – второго и одна третьего вида?
2.16. В партии, состоящей из 20 изделий, имеются 5 дефектных. Из партии
для контроля берут семь изделий. Если среди контрольных окажется
более трех дефектных вся партия бракуется. Найти вероятность того, что
партия будет забракована.
2.17. Из последовательности чисел 1, 2, 3, …10 наугад выбирают два числа.
Найти вероятность того, что одно из них меньше 6, а другое больше.
2.18. Колода из 52 игральных карт делится наугад на две равные части.
Найти вероятность того, что в одной из частей будет ровно один туз.
2.19. На один ряд, состоящий из семи мест, случайным образом
рассаживаются семь студентов. Найти вероятность того, что два друга
окажутся рядом.
2.20. Для выполнения упражнений по перетягиванию каната 12 участников
разбились на две команды по шесть человек в каждой. Найти вероятность
того, что два наиболее сильных спортсмена окажутся в одной команде.
2.21. Имеется шесть билетов в театр, четыре из которых на места первого
ряда. Какова вероятность того, что из трех случайно отобранных билетов,
два билета окажутся на места первого ряда.
2.22. Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд
кубиков на которых написаны буквы А, А, А, Н, Н, С, получится слово
«АНАНАС».
2.23. Группа туристов из 15 юношей и 5 девушек выбирает хозяйственную
комиссию в составе 4 человек. Найти вероятность того, что в составе
избранной комиссии окажутся двое юношей.
2.24. Десять человек случайным образом рассаживаются за круглым столом.
Найти вероятность того, что две подруги окажутся рядом.
2.25. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека.
Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей,
12
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
начиная со второго. Найти вероятность того, что все пассажиры выйдут на
разных этажах.
3.1
Две одинаковые монеты радиуса r размещены внутри круга R , в
который наудачу бросается точка. Вычислить вероятность того, что эта
точка упадет на одну из монет, если эти монеты не пересекаются.
3.2
В круг радиуса R вписан правильный треугольник. Внутрь круга
наудачу брошена точка. Вероятность попадания точки в фигуру
пропорциональна ее площади и не зависит от ее расположения. Найти
вероятность того, что точка попадет в треугольник.
3.3
В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r . Найти
вероятность того, что наудачу брошенная в большой круг точка, попадет
также и в меньший круг.
3.4
Абонент ждет телефонного звонка в течении одного часа. Найти
вероятность того, что вызов произойдет в последние 20 минут этого часа.
3.5
Два действительных числа выбираются так, что x ≤ 3 , y ≤ 5 . Какова
вероятность того, что дробь
3.6
x
окажется положительной.
y
Два действительных числа выбираются так, что x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 .
Найти вероятность того, что x 2 < y .
3.7
Наудачу выбираются два действительных числа x, y так, что
0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 . Найти вероятность того, что y 2 ≤ x .
3.8
На отрезке длиной 20 см помещен меньший отрезок длиной 10 см.
Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший
отрезок, попадет также и на меньший отрезок.
3.9
Наудачу взяты два положительных числа не превышающие 1. Какова
вероятность того, что их сумма не превышает 1, если сумма их квадратов
больше 1 .
4
13
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
3.10
Методические указания к решению задач по ТВ
Дано уравнение x 2 + ax + b = 0 . Известно, что 0 ≤ a ≤ 1 , 0 ≤ b ≤ 1,
причем вероятность попадания каждой из точек a и b в какой-либо
интервал отрезка [0;1] пропорциональна длине интервала и не зависит от
его положения относительно отрезка [0;1] . Найти вероятность того, что
данное уравнение имеет действительные корни.
3.11
В некоторый круг вписан правильный треугольник. Зная, что
попадание точки в круг достоверно и что вероятность попадания точки в
какую-либо часть этого круга зависит только от площади этой части и
пропорциональна ей, найти вероятность попадания точки в треугольник.
3.12
Найти
вероятность
положительных
правильных
произведение не больше
3.13
того,
что
сумма
дробей
не
двух
больше
наудачу
единицы,
взятых
а
их
3
.
16
На отрезок АВ длиной 12 см наугад бросают точку М, причем
вероятность попадания точки в какой-либо подынтервал отрезка АВ не
зависит от его положения внутри АВ и пропорциональна его длине.
Какова вероятность того, что площадь квадрата построенного на АМ,
будет больше 36 см2 и меньше 81 см2?
3.14
Наугад взяты два положительных числа, каждое из которых не
превышает единицы. Найти вероятность того, что их сумма не превышает
единицы, а произведение не меньше 0,09?
3.15
Внутрь круга радиуса R брошена точка. Вероятность попадания
точки в любую часть круга пропорциональна площади этой части и не
зависит от ее расположения относительной круга. Найти вероятность того,
что точка окажется внутри квадрата, вписанного в круг.
3.16
На отрезке L длиною 20 см помещен меньший отрезок l длиною 10
см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший
отрезок, попадет так же и на меньший отрезок. Предполагается, что
вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка
и не зависит от его расположения.
14
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
3.17
Методические указания к решению задач по ТВ
Два лица условились встретиться в определенном месте между 12 и
13 часами и договорились, что пришедший первым ждет другого в
течении 10 минут, после чего уходит. Найти вероятность их встречи, если
приход каждого в течение указанного часа может произойти в любое
время и моменты прихода независимы.
3.18
Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг
от друга на расстоянии 6 см. На плоскость наудачу брошен круг радиуса 1
см. Найти вероятность того, что круг не пересечет ни одной из прямых.
Предполагается,
что
вероятность
попадания
точки
на
отрезок
пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.
3.19
На плоскости начерчены две концентрические окружности радиусов
5 см и 10 см. Найти вероятность того, что точка брошенная в большой
круг,
попадет
также
и
в
кольцо,
образованное
построенными
окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в часть
круга пропорциональна площади этой части и не зависит от ее
расположения.
3.20
Два студента условились встретиться в определенном месте между
20 и21 часами. Пришедший первым ждет второго в течении
1
часа, после
4
чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый
студент наудачу выбирает момент своего прихода.
3.21
Два действительных числа выбирают так, что x ≤ 2 , y ≤ 4 . Какова
вероятность того, что дробь
3.22
y
окажется положительной?
x
На отрезок ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлена точка
В. Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет
длину большую
L
. Предполагается, что вероятность попадания точки на
3
отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения
на числовой оси.
15
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
3.23
Методические указания к решению задач по ТВ
Наудачу выбираются два действительных числа x, y так, что
0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 . Найти вероятность того, что y 2 ≥ x .
3.24
Два действительных числа выбирают так, что x ≤ 1 , y ≤ 1 . Найти
вероятность того, что x < y .
3.25
Абонент ждет телефонного звонка в течение одного часа. Какова
вероятность того, вызов произойдет в первые 20 минут.
Основные теоремы теории вероятностей. Алгебра событий
События A1 , A2 ,..., An называются несовместными, если появление
одного из них исключает возможность появления остальных. В противном
случае события – совместные.
Событии А и В называются зависимыми, если вероятность одного из
них зависит от появления другого события. В противном случае события
независимы.
Вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А
наступило, носит название условной вероятности и обозначается PA (B ) .
События A1 , A2 ,..., An называются независимыми в совокупности, если
независимы каждые два из них, и независимы каждое событие и возможные
произведения остальных.
Произведением событий A1 , A2 ,..., An называют событие, состоящее в
n
совместном появлении всех этих событий, обозначают A1 ⋅ A2 ⋅ ... ⋅ An = ∩ Ai .
i =1
Суммой
появлении
событий
хотя
бы
A1 , A2 ,..., An
одного
называют
из
этих
событие, состоящее
событий;
в
обозначают
n
A1 + A2 + ... + An = ∪ Ai .
i =1
Событие, состоящее в не появлении данного события А, называют
противоположным; обозначают A , читают «не А».
16
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Теорема 1. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме
вероятностей этих событий:
P ( A1 + A2 + ... + An ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + ... + P ( An ) .
Теорема 2. Вероятность произведения n зависимых событий равна
произведению вероятностей этих событий, вычисленных в предположении,
что все предшествующие события появились:
P ( A1 ⋅ A2 ⋅ ... ⋅ An ) = P ( A1 ) ⋅ PA1 ( A2 ) ⋅ PA1 A2 ( A3 ) ⋅ ... ⋅ PA1 ⋅...⋅ An −1 ( An ) .
Теорема 3. Вероятность произведения n независимых событий равна
произведению вероятностей этих событий:
P ( A1 ⋅ A2 ⋅ ... ⋅ An ) = P ( A1 ) ⋅ P ( A2 ) ⋅ P ( A3 ) ⋅ ... ⋅ P ( An ) .
Теорема 4. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме
вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:
P ( A1 + A2 ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) − P ( A ⋅ B ) .
Замечание: Сумма вероятностей двух противоположных событий
()
равна 1: P( A) + P A = 1 .
При вычислении вероятности появления события А, состоящего в
появлении хотя бы одного из независимых событий A1 , A2 ,..., An удобно
перейти к противоположному событию A , состоящему в не появлении ни
одного из этих событий: A = A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ⋅ ... ⋅ An . Тогда
()
( ) ( ) ( )
( )
P( A) = 1 − P A = 1 − P A1 ⋅ P A2 ⋅ P A3 ⋅ ... ⋅ P An ,
если события A1 , A2 ,..., An - независимые.
Запись события А в виде суммы, произведения событий A1 , A2 ,..., An
носит название алгебры событий.
Пример 1. В магазин поступила партия обуви одного фасона, размера,
но разного цвета. В ней 40 пар черного цвета, 26 – коричневого , 22 –
красного, 12 –синего. Коробки с обувью оказались нерассортированными по
цвету. Найти вероятность того, что наудачу взятая коробка, окажется с
обувью красного или синего цвета.
17
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Решение.
Введем событие А- взятая наудачу коробка с обувью красного или
синего цвета. Введем дополнительные два события :
В – коробка с обувью красного цвета;
С- коробка с обувью синего цвета.
Алгебра события A = B + C (или коробка с обувью красного цвета или
синего). События В, С несовместные. По теореме сложения имеем
P( A) = P(B ) + P(C ) =
22 12
34
+
=
= 0,34 .
100 100 100
Пример 2. На каждой отдельной карточке написаны буквы, составляющие
слово «МАШИНА» Карточки перемешали и положили в пакет. После чего
извлекли одну за другой (без возвращения) четыре карточки. Найти
вероятность того, что в порядке выхода карточек можно прочитать слово
«ШИНА».
Решение.
Введем событие А – можно прочитать слово «ШИНА».
Введем дополнительно еще события
A1 - первая буква «Ш»; A2 - вторая буква «И»; A3 - третья буква «Н»;
A4 - четвертая буква «А».
Алгебра
события
A = A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ⋅ A4 (одновременно
должны
наступить
события и первая буква «Ш» и вторая «И» и третья «Н» и четвертая «А»).
События A1 , A2 , A3 , A4 - зависимые.
По теореме умножения для зависимых событий:
1 1 1 2
1
P( A) = P( A1 ) ⋅ PA1 ( A2 ) ⋅ PA1 A2 ( A3 ) ⋅ PA1 A2 A3 ( A4 ) = ⋅ ⋅ ⋅ =
.
6 5 4 3 180
Пример 3. Два студента решают одну задачу. Вероятность решить задачу
первому студенту равна 0,9, второму -0,7. Найти вероятность того, что оба
студента решат задачу.
18
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Решение.
Введем событие А – оба студента решат задачу.
Введем дополнительно еще два события
A1 - задачу решил первый студент; A2 - задачу решил второй студент.
Алгебра события A = A1 ⋅ A2 (одновременное наступление событии и первый
решил и второй решил). События A1 , A2 - независимые.
По теореме умножения для независимых событий:
P ( A) = P ( A1 ) ⋅ P ( A2 ) = 0,9 ⋅ 0,7 = 0,63 .
Пример 4. Экспедиция издательства отправила газеты в два почтовых
отделения. Вероятности своевременной доставки газет по отделениям равны
0,85 и 0,9. Найти вероятность того, что только одно почтовое отделение
получит газеты вовремя.
Решение.
Введем событие А – только одно почтовое отделение получит газеты
вовремя.
Введем дополнительно события:
A1 - получит газеты вовремя первое отделение ; A2 - получит газеты вовремя
второе отделение.
Алгебра события A = A1 ⋅ A2 + A1 ⋅ A2 (или первое отделение получит газеты
вовремя и второе отделение получит с опозданием или первое получит с
опозданием и второе отделение получит газеты вовремя). По теореме
сложения для несовместных событий и умножения для независимых событий
получаем:
( ) ( )
P( A) = P( A1 ) ⋅ P A2 + P A1 ⋅ P( A2 ) = 0,85 ⋅ (1 − 0,9) + (1 − 0,85) ⋅ 0,9 = 0,22 .
Пример 5. Нужная студенту формула может быть найдена в одном из
четырех справочников с вероятностями соответственно 0,7; 0,8; 0,85; 0,6.
Какова вероятность того, что студент найдет нужную ему формулу.
19
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Решение.
Введем событие А – формула найдена (формула найдена, если хотя бы в
одном справочнике он ее найдет).
Введем дополнительные события:
A1 - найдет формулу в первом справочнике;
A2 - найдет формулу во втором справочнике;
A3 - найдет формулу в третьем справочнике;
A4 - найдет формулу в четвертом справочнике.
Перейдем к противоположному событию A - формула не найдена.
Алгебра события: A = A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ⋅ A4 ( и в пером справочнике не найдена и во
втором не найдена и в третьем не найдена и в четвертом не найдена).
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Тогда P( A) = 1 − P(A) = 1 − 0,0036 = 0,9964 .
P A = P A1 ⋅ P A2 ⋅ P A3 ⋅ P A4 = (1 − 0,7 ) ⋅ (1 − 0,8) ⋅ (1 − 0,85) ⋅ (1 − 0,9 ) = 0,0036
Пример 6. Истребитель атакует бомбардировщик и дает по нему две
независимые очереди. Вероятность сбить бомбардировщик первой очередью
равна 0,2, второй очередью – 0,3. Если бомбардировщик не сбит, он ведет
стрельбу по истребителю и сбивает его с вероятностью 0,25. Найти
вероятность
того,
что
в
результате
воздушного
боя
будет
сбит
бомбардировщик или истребитель.
Решение.
Введем событие А – сбит бомбардировщик или истребитель.
Дополнительно введем события:
В – сбит бомбардировщик; С – сбит истребитель. В, С – события
несовместные.
Алгебра события A = B + C . Тогда вероятность P( A) = P(B ) + P(C ) .
Вычислим вероятность события В, для чего введем еще события: B1 бомбардировщик сбит первой очередью; B2 - бомбардировщик сбит второй
20
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
очередью. Алгебра события B = B1 + B1 ⋅ B2 (или сбит первой очередью или
не сбит первой очередью и сбит второй очередью).
( )
P(B ) = P(B1 ) + P B1 ⋅ P(B2 ) = 0,2 + 0,8 ⋅ 0,3 = 0,44 .
Истребитель будет сбит, если не сбит бомбардировщик: C = B ⋅ C .
()
P(C ) = P B ⋅ P(C ) = (1 − 0,44) ⋅ 0,25 = 0,14 .
Вероятность: P( A) = 0,44 + 0,14 = 0,58 .
Задания для самостоятельного решения:
4.1. В ящике 15 шаров. Из них 3 белые, пять – синие, семь – черные. Наудачу
извлекают два шара без возвращения. Найти вероятность того, что шары
одного цвета.
4.2 Безотказная работа прибора обуславливается безотказной работой
каждого из трех механизмов-узлов, составляющих его и вероятности
безотказной работы которых в течении времени Т соответственно равны 0,6;
0,7; 0,9. Найти вероятность безотказной работы прибора за время Т.
4.3 Найти вероятность того, что выбранное наудачу изделие первосортное,
если известно, что 4%
всей продукции является браком, а 75% не
бракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.
4.4 На книжной полке 5 книг, из них четыре словаря. Студент наудачу взял
две книги. Найти вероятность того, что обе книги словари.
4.5
Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того,
что студент ответит на билет, содержащий три вопроса.
4.6 Из букв слова «РОТОР», составленного с помощью разрезной азбуки,
наудачу последовательно извлекают 3 буквы и складывают в ряд. Какова
вероятность того, что получится слово «ТОР».
4.7 Имеется 10 карточек, на которых написаны числа 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6,
6. Одну за другой вынимают две карточки. Найти вероятность того, что на
одной карточке будет четное число, а на другой нечетное.
21
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
4.8 В первом ящике шары с номерами 5, 6, 7, 8, а во втором с номерами 1, 2,
3, 4. Из каждого ящика наудачу извлекли по одному шару. Какова
вероятность того, что сумма номеров извлеченных шаров равна 10?
4.9 Вини Пух собрался вкусно пообедать. С вероятностью р1=0,3 чтонибудь вкусное есть у кролика, а с вероятностью р2=0,6 что-нибудь вкусное
есть у Пяточка, но с вероятностями q1 = 0,2 и
q 2 = 0,9 их нет дома. К кому
надежнее зайти, думает Вини Пух?
4.10 На участке АВ у мотоциклиста-гонщика имеется 2 препятствия.
Вероятность остановки на каждом из них 0,1. Вероятность, что от пункта В
до пункта С не будет остановки равна 0,7. Найти вероятность того, что на
участке АС не будет остановки.
4.11 В колоде 36 карт. Наудачу извлекают две карты без возвращения.
Найти вероятность того, что а) извлеченные карты разного цвета; б)
извлеченные карты одного цвета.
4.12 Студент знает 25 из 30 вопросов программы. В билете три вопроса.
Двойка ставится, если студент не отвечает ни на один вопрос. Найти
вероятность получения студентом двойки.
4.13 В урне 30 шаров из них 5 белых, 10 синих, 15 красных. Шары
извлекают без возвращения до тех пор, пока не появится белый шар. Найти
вероятность того, что придется производить четвертое извлечение.
4.14 Подброшены три игральные кости. Найти вероятность того, что на всех
костях выпадет тройка.
4.15 В урне 15 шаров из них 10 цветных, остальные белые. Шары извлекают
без возвращения до тех пор, пока не появится белый шар. Найти вероятность
того, что придется производить четвертое извлечение.
4.16 В одном ящике 10 белых и пять черных шаров. Во втором ящике семь
белых и три черных шара. Из каждого ящика наудачу извлекают по одному
шару. Найти вероятность того, что а) оба шара одного цвета; б) оба шара
разного цвета.
22
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
4.17 В партии, содержащей 20 радиоприемников, имеется три неисправных.
Наудачу отобрали три приемника. Найти вероятность того, что а) отобрали
только исправные радиоприемники; б) отобрали только неисправные.
4.18
Два биатлониста произвели по одному выстрелу. Вероятности
попадания в цель для каждого биатлониста соответственно равны 0,9 и
5
.
6
Найти вероятность того, что цель не поражена.
4.19 На шести карточках написаны буквы В, Д, З, О, Х, У. После
перетасовки вынимают наугад по одной шесть карточек с последующим их
возвращением. Каждая из букв на вынутой карточки записывается. Найти
вероятность того, что записано слово «ВОЗДУХ».
4.20 Четыре охотника договорились стрелять по дичи в определенной
последовательности. Следующий охотник производит выстрел лишь в том
случае, если промахнулся предыдущий. Вероятность попадания для первого
охотника равна 0,6, для второго – 0,7, для третьего – 0,8, для четвертого – 0,8.
Найти вероятность того, что будет произведено а) один выстрел; б) два; в)
три; г) четыре выстрела.
4.21 На каждой из шести одинаковых карточек написаны одна из
следующих букв: О, П, Р, С, Т, У. Карточки тщательно перемешаны. Найти
вероятность того, что на вынутых одна за другой четырех карточках и
расположенных в одну линию можно прочесть слово «трос».
4.22 В мешочке имеется пять одинаковых кубиков. На всех гранях каждого
кубика написана одна из следующих букв О, П, Р, С, Т. Найти вероятность
того, что на вынутых по одному и расположенных «в одну линию» кубиков
можно будет прочесть слово «СПОРТ».
4.23 В урне имеется шесть шаров с номерами от 1 до 6. Шары извлекают по
одному без возвращения. Какова вероятность того, что шары будут
извлечены в порядке возрастания их номеров.
4.24 Телефонный номер состоит из шести цифр. Найти вероятность того,
что при их случайном наборе номер будет оканчиваться на 240.
23
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
4.25 В урне имеется шесть шаров с номерами от 1 до 6. Шары извлекают по
одному с возвращением шесть раз. Какова вероятность того, что номера
шести извлеченных шаров расположатся в порядке возрастания?
5.1. Издательство отправило газеты в два почтовых отделения. Вероятность
своевременной доставки газет в каждое почтовое отделение равна 0,9. Найти
вероятность того, что а) оба отделения получат газеты вовремя; б) хотя бы
одно получит вовремя.
5.2. На обувной фабрике в отдельных цехах производят подметки, каблуки и
верхи ботинок. Дефектными оказываются 0,5% каблуков, 2% подметок и 4%
верхов. Произведенные верхи, подметки и каблуки случайно комбинируются
в цехе, где шьют ботинки. Найти вероятность того, что изготовленная пара
будет иметь хотя бы один дефект.
5.3. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих
сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый
сигнализатор 0,95, второй – 0,9. Найти вероятность того, что при аварии
сработает только один сигнализатор.
5.4. Из трех орудий произведен залп по цели. Вероятность промаха при
одном выстреле из первого орудия равна 0,3, из второго – 0,2, из третьего –
0,1. Найти вероятность того, что а) попадет только одно орудие; б) цель
будет поражена.
5.5.
Вычислительный
центр
располагает
тремя
вычислительными
устройствами. Вероятность отказа за некоторое время Т для первого
устройства равна 0,2, для второго – 0,15, для третьего – 0,1. Найти
вероятность того, что в данный момент откажут а) хотя бы одно устройство;
б) откажет только третье устройство.
5.6. Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Каждый экзаменационный
билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент знает
только два вопроса.
24
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
5.7. Журналист разыскивает нужную ему книгу в трех библиотеках.
Вероятность наличия книги в первой библиотеке рана 0,9, во второй – 0,8, в
третьей – 0,6. Найти вероятность того, что а) книга есть только в первой
библиотеке; б) книга есть только в одной библиотеке.
5.8. Из трех орудий произведен залп по цели. Вероятность промаха при
одном выстреле из первого орудия равна 0,5, из второго – 0,6, из третьего –
0,9. Найти вероятность того, что а) цель будет поражена; б) цель не
поражена; в) попадет только второе орудие.
5.9. Три студента решают одну и ту же задачу. Вероятность того, что задачу
решит первый студент равна 0,2, второй – 0,4, третий – 0,8. Найти
вероятность того, что а) задача решена; б) задача не решена; в) задачу решит
только третий студент.
5.10. На столе экзаменатора лежат 30 билетов, пронумерованных от 1 до 30.
Найти вероятность того, что первые два студента, берущие билеты возьмут а)
билеты с однозначными номерами; б) билеты с двузначными номерами; в)
один с однозначным другой с двузначным номером.
5.11. На участке АВ у гонщика имеется 12 препятствий, вероятность
остановки на каждом из которых равна 0,1. Вероятность того, что от пункта
В до пункта С не будет остановки равна 0,8. Найти вероятность того, что на
участке АС не будет остановки.
5.12. В одном ящике 6 белых и 4 черных шара, в другом 7 белых и 3 черных.
Из каждого ящика наудачу извлекают по одному шару. Найти вероятность
того, что а) шары черные; б) только один черный; в) хотя бы один черный.
5.13. Из колоды в 52 карты наугад одновременно вынимают три карты. Найти
вероятность того, что а) среди них нет красной масти; б) хотя бы одна карта
красной масти.
5.14. Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность выхода из
строя первого станка равна 0,1, для второго – 0,3, для третьего – 0,3. Найти
вероятность того, что а) выйдет из строя хотя бы один станок; б) из строя
выйдет только первый станок.
25
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
5.15. Вероятность уничтожения цели при одном выстреле равна 0,2.
Определить число выстрелов, необходимых для поражения цели с
вероятностью равной 0,6.
5.16. Из чисел 1, 2, 3, …20 наудачу выбирают пять чисел. Найти вероятность
того, что все числа нечетные.
5.17. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах
равна 0,9984. Найти вероятность попадания при одном выстреле.
5.18. В одном ящике 6 белых и 4 черных шара, в другом 8 белых и 2 черных.
Из каждого ящика наудачу извлекают по одному шару. Найти вероятность
того, что а) хотя бы один шар среди извлеченных белый; б) только один
белый.
5.19. Три охотника одновременно выстрелили по одному волку. Вероятность
попадания каждого из охотников одинакова и равна 0,4. Определить
вероятность того, что волк будет убит, если для этого достаточно одного
попадания.
5.20. Биатлонист производит четыре выстрела. Вероятность попадания при
одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что цель поражена а)
всеми выстрелами; б) одним выстрелом; в) только вторым выстрелом.
5.21. Слово «ЭФИР»
составлено из букв разрезной азбуки. Карточки
перемешали, а потом одну за другой извлекли три карточки. Найти
вероятность того, что в порядке выхода карточек можно прочитать слово
«РИФ».
5.22. В урне 9 белых и 6 черных шаров. Наудачу один за другим извлекают
четыре шара. Найти вероятности событий а) только второй шар будет
черным; б) хотя бы один шар будет черным.
5.23. Абонент забыл три последние цифры номера телефона друга, и помня,
что все цифры различные, набирает их наудачу. Найти вероятность того, что
номер будет набран правильно.
26
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
5.24. Все буквы русского алфавита написаны на 33 карточках. Наудачу одну
за другой извлекают две карточки. Найти вероятность того, что а) на обеих
карточках гласные буквы; б) только на одной карточке гласная буква.
5.25. Журналист разыскивает нужную ему статью в трех газетах.
Вероятность того, что статья может содержаться в первой газете, равна 0,6,
во второй – 0,2, в третьей – 0,5. Найти вероятность того, что а) журналист
найдет нужную статью; б) статья найдена только во второй газете.
6.1. Разрыв электрической цепи может произойти только в результате
выхода из строя элемента k1 или одновременного выхода двух элементов k 2
и k 3 , которые выходят из строя независимо друг от друга соответственно с
вероятностями 0,3, 0,2, 0,2. Найти вероятность разрыва цепи.
6.2. В партии, состоящей из 20 изделий, имеется 5 дефектных. Из партии
выбираются для контроля 7 изделий. Если среди контрольных окажется
более трех дефектных, бракуется вся партия. Найти вероятность того, что
партия будет забракована.
6.3. Какова вероятность того, что наудачу записанная дробь сократится на
2? Найти вероятность того, что дробь не сократится ни на два ни на три.
6.4. Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность выхода
из строя первого станка равна 0,1, второго – 0,3, третьего – 0,2. Найти
вероятность того, что из строя выйдут не менее двух станков.
6.5. Вероятность того, что нужная сборщику деталь содержится в первом,
втором, третьем, четвертом ящиках соответственно равна 0,6; 0,7; 0,8; 0,9.
Найти вероятность того, что деталь содержится не более чем в трех ящиках.
6.6. Пятнадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса,
которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить только на 25
вопросов. Найти вероятность того, что экзамен сдан, если для этого
достаточно ответить на два вопроса из первого билета и на указанный
дополнительный вопрос из другого билета.
27
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
6.7. Брошены три игральные кости. Найти вероятность того, что на двух
гранях будет одинаковое число очков, а на третьей – другое число очков.
6.8. Абонент забыл последнюю цифру нужного номера телефона и
набирает ее наудачу. Найти вероятность того, что ему придется звонить не
более чем в три места.
6.9. Студентам, едущим на практику предоставляется 15 мест в Москву,
10 мест в Киев и 5 мест в Новосибирск. Найти вероятность того, что три
определенные студента попадут на практику в один город.
6.10. При приеме партии подвергается проверке половина партии.
Условие приемки партии – наличие в выборке брака не более 2%. Вычислить
вероятность того, что партия из 100 изделий будет принята, если она
содержит 5% брака.
6.11. По цели производится три независимых выстрела. Вероятность
промаха при одном выстреле равна 0,4. Для поражения цели достаточно двух
попаданий. Найти вероятность поражения цели.
6.12. Студент знает 35 из 40 вопросов программы. Для получения зачета
необходимо ответить не менее чем на два из трех заданных вопросов. Найти
вероятность сдачи зачета студентом.
6.13. В ящике содержится 10 деталей, из которых четыре окрашены.
Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна
из деталей окрашена.
6.14. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры
берут три мяча. После игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные
от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трех игр в
коробке не останется неигранных мячей.
6.15. В десятиламповом радиоприемнике перегорела одна лампа. С целью
устранения неисправности наудачу выбранную лампу заменяют исправной
из запасного комплекта, после чего сразу проверяют работу приемника.
Какова вероятность того, что приемник будет работать нормально после
замены а) одной; б) пяти; в) десяти ламп?
28
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
6.16. Три стрелка поочередно ведут стрельбу по цели (одной и той же).
Каждый стрелок имеет два патрона. При первом же попадании стрельба
прекращается. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для
первого стрелка равна 0,2, для второго – 0,3, для третьего – 0,4. Найти
вероятность того, что все три стрелка израсходуют весь свой боезапас.
6.17. Вероятность того, что противник находится на обстреливаемом
участке равна 0,7, Вероятность попадания в этом случае равна 0,6. Для
поражения достаточно одного попадания. Найти вероятность поражения при
двух выстрелах.
6.18. Деталь проходит
четыре операции обработки. Вероятность
получения брака при первой обработке равна 0,01, при второй – 0,02, при
третьей – 0,03, при четвертой – 0,02. Найти вероятность получения детали
без брака после четырех операций, предполагая, что события получения
брака на отдельных операциях являются независимыми.
6.19.Числитель и знаменатель рациональной дроби написаны наудачу.
Какова вероятность того, что эта дробь несократима на пять?
6.20. Минное заграждение поставлено в четыре линии. Вероятность
подрыва корабля идущего без мер предосторожности на первой линии равна
0,6, на второй – 0,75, на третьей – 0,7, на четвертой – 0,65. Найти вероятность
подрыва корабля при форсировании минного поля.
6.21. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся
вторая цифра. Найти вероятность того, нечетная цифра будет выбрана а) в
первый раз; б) во второй раз; в) в оба раза.
6.22. Вероятность поражения цели при одном отдельном выстреле равна
0,6.
Найти
вероятность
того,
что
при
четырех
выстрелах
число
последовательных промахов будет оставаться меньше четырех.
6.23. Из урны, содержащей 12 черных и 8 белых шаров вынимаются
последовательно шары и возвращаются обратно в урну. Опыт повторяют до
тех пор, пока не появится белый шар. Вычислить вероятность того, что
белый шар появится после четвертого извлечения черного шара.
29
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
6.24. Сколько раз надо бросить игральную кость, чтобы появление пяти
очков хотя бы раз получило вероятность большую 0,85.
6.25. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы вероятность хотя бы
однократного появления герба была больше 0,875.
Формула полной вероятности. Формулы Бейеса.
Если событие А может произойти только совместно с одним из событий
B1 , B2 ,...Bn , образующих полную группу несовместных событий (гипотез), то
вероятность события А вычисляют по формуле полной вероятности:
P( A) = P ( B1 ) ⋅ PB1 ( A) + P( B2 ) ⋅ PB2 ( A) + ... + P ( Bn ) ⋅ PBn ( A)
n
или P ( A) = ∑ P ( Bi ) ⋅ PBi ( A) , где P ( Bi )
i =1
- вероятность гипотезы Bi ,
i = 1,2,...n , PBi (A) - условная вероятность наступления события А при
гипотезе
Bi , причем
n
∑ P( Bi ) = 1 .
Алгебра события в этом случае
i =1
A = B1 ⋅ A + B2 ⋅ A + ... + Bn ⋅ A .
Если вероятности гипотез до опыта были
P ( Bi ) ( i = 1,2,...n ), а в
результате опыта появилось событие А, то условные вероятности гипотез Bi ,
PA ( Bi ) с учетом появления события А вычисляются по формуле Бейеса:
PA ( Bi ) =
P ( Bi ) ⋅ PBi ( A)
P( A)
,
i = 1,2,...n
Пример 1. На сборку поступают однотипные изделия из четырех цехов.
Вероятности брака в каждом из цехов соответственно равны 0,04, 0,03, 0,06,
0,02. Первый цех поставляет 30 изделий, второй цех – 20, третий цех – 50,
четвертый – 25. Изделия оказались перемешаны. Найти вероятность того, что
наудачу взятое изделие окажется бракованным.
Решение.
Введем событие А – взятое наудачу изделие бракованное.
Возможные гипотезы: B1 - изделие изготовлено в первом цехе;
30
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
B2 - изделие изготовлено во втором цехе; B3 - изделие изготовлено в
третьем цехе; B4 - изделие изготовлено в четвертом цехе.
Алгебра события A = B1 ⋅ A + B2 ⋅ A + B3 ⋅ A + B4 ⋅ A .
Вероятность P ( A) будет вычисляться по формуле полной вероятности.
Вычислим:
P( B1 ) =
30
,
125
PB1 ( A) = 0,04 ;
P( B2 ) =
20
,
125
PB2 ( A) = 0,03 ;
P( B3 ) =
50
,
125
PB3 ( A) = 0,06 ;
P( B4 ) =
30
,
125
PB4 ( A) = 0,02 .
30
n
20
50
25
∑ P( Bi ) = 125 + 125 + 125 + 125 = 1 .
i =1
Вероятность событии А равна:
P( A) =
30
20
50
25
⋅ 0,04 +
⋅ 0,03 +
⋅ 0,06 +
⋅ 0,02 = 0,0424 .
125
125
125
125
Пример 2. Из партии в пять изделий взято одно изделие, оказавшееся
бракованным. Количество бракованных изделий первоначально считается
равновозможно любое. Какое предположение о количестве бракованных
изделий, находившихся в урне до извлечения наиболее вероятно?
Решение.
Введем событие А – извлеченное изделие бракованное.
Возможные гипотезы: B1 - в партии 0 бракованных изделий;
B2 - в партии одно бракованное изделие;
B3 - в партии два бракованных изделия;
B4 - в партии три бракованных изделия;
B5 - в партии четыре бракованных изделия;
31
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
B6 - в партии пять бракованных изделия.
Требуется вычислить условные вероятности гипотез Bi , i = 1,6 при
условии наступления события А; PA ( B1 ) , PA ( B2 ) , … PA ( B6 ) по формуле
Бейеса.
Сначала вычислим:
P( B1 ) = P( B2 ) = P( B3 ) = P( B4 ) = P( B5 ) = P( B6 ) =
1
( т.к. по условию все
6
предположения о количестве бракованных изделий равновозможны)
1
2
3
4
PB1 ( A) = 0 ; PB2 ( A) = ; PB3 ( A) = ; PB4 ( A) = ; PB5 ( A) = ; PB6 ( A) = 1 .
5
5
5
5
Вероятность
P ( A)
вычислим
по
формуле
полной
вероятности:
n
P ( A) = ∑ P ( Bi ) ⋅ PBi ( A)
i =1
1
1 1 1 2 1 3 1 4 1
15 1
P( A) = ⋅ 0 + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ 1 =
= = 0,5 .
6
6 5 6 5 6 5 6 5 6
30 2
1 1
⋅
0
6
5 = 1 ; P (B ) =
= 0 ; PA ( B2 ) =
Тогда PA ( B1 ) =
A
3
1
0,5
15
2
1 3
⋅
6
5 = 3 ; P (B ) =
PA ( B4 ) =
A
5
1
15
2
1 4
⋅
6 5 = 4 ; P (B ) =
A
6
1
15
2
1 2
⋅
6 5= 2;
1
15
2
1
⋅1
6 =1.
1
3
2
Вероятнее всего, что бракованных изделий было 5.
Пример 3. Трое охотников одновременно выстрелили по медведю,
который был убит одной пулей. Найти вероятность того, что медведь был
убит
первым
охотником,
если
вероятности
попадания
для
них
соответственно равны 0,3; 0,4; 0,5.
Решение.
Введем событие А – медведь убит одной пулей и гипотезы:
B1 - все трое промахнулись;
32
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
B2 - первый попал, второй и третий промахнулись;
B3 - второй попал, первый, третий промахнулись;
B4 - третий попал, первый, второй промахнулись;
B5 - первый, второй – попали, третий промахнулся;
B6 - первый, третий – попали, второй промахнулся;
B7 - второй, третий - попали, первый промахнулся;
B8 - все три попали.
Вычислим вероятности гипотез по теореме умножения для независимых
событий:
P ( B1 ) = 0,7 ⋅ 0,6 ⋅ 0,5 = 0,21 ; P ( B2 ) = 0,3 ⋅ 0,6 ⋅ 0,5 = 0,09 ;
P ( B3 ) = 0,7 ⋅ 0,4 ⋅ 0,5 = 0,14 ; P ( B4 ) = 0,7 ⋅ 0,6 ⋅ 0,5 = 0,21 ;
P ( B5 ) = 0,3 ⋅ 0,4 ⋅ 0,5 = 0,06 ; P ( B6 ) = 0,3 ⋅ 0,6 ⋅ 0,5 = 0,09 ;
P ( B7 ) = 0,7 ⋅ 0,4 ⋅ 0,5 = 0,14 ; P ( B8 ) = 0,3 ⋅ 0,4 ⋅ 0,5 = 0,06 .
n
∑ P( Bi ) = 0,21 + 0,09 + 0,14 + 0,21 + 0,06 + 0,09 + 0,14 + 0,06 = 1 .
i =1
Условные вероятности события А при гипотезах B1 , B5 , B6 , B7 , B8 равны
нулю. А условные вероятности события А при гипотезах B2 , B3 , B4 равны 1.
PB2 ( A) = PB3 ( A) = PB4 ( A) = 1 ;
PB1 ( A) = PB5 ( A) = PB6 ( A) = PB7 ( A) = PB8 ( A) = 0 .
Вероятность события А по формуле полной вероятности будет равна:
P ( A) = 0,09 ⋅ 1 + 0,14 ⋅ 1 + 0,21 ⋅ 1 = 0,44 (остальные слагаемые равны 0).
Медведь убит первым охотником – соответствует гипотезе B2 :
PA ( B2 ) =
P ( B2 ) ⋅ PB2 ( A)
P ( A)
=
0,09 ⋅ 1
≈ 0,2 .
0,44
Задания для самостоятельного решения:
7.1. При разрыве снаряда образуются крупные, средние и мелкие осколки,
число которых составляет соответственно 0,1; 0,3; 0,6 от общего числа
осколков. При попадании в танк крупный осколок пробивает его броню с
33
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
вероятностью 0,9, средний - с вероятностью 0,3 и мелкий с вероятностью 0,1.
Найти вероятность того, что попавший в броню осколок пробьет его.
7.2. В трех урнах лежат шары. В первой урне пять белых и пятнадцать
черных; во второй – десять белых и десять черных и в третьей урне десять
черных. Найти вероятность того, что случайно взятый шар из случайно
выбранной урны окажется черным.
7.3. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого
завода содержит 20% брака, второго – 10%, третьего – 5%. Найти
вероятность приобретения исправного телевизора, если в магазин поступило
30% телевизоров с первого завода, 20% - со второго, 50% - с третьего завода.
7.4. В одной партии изделий 12 штук, а в другой – 10 штук. В каждой
партии по два изделия бракованные. Изделие взятое наудачу из второй
партии переложили в первую партию, после чего из первой партии наудачу
взяли изделие. Найти вероятность того, что изделие извлеченное из первой
партии будет годным.
7.5. В первом кармане три монеты по 20 копеек и три монеты по 3
копейки, а в левом кармане шесть монет по 20 копеек и три монеты по 3
копейки. Из правого кармана в левый перекладывают наугад пять монет.
Найти вероятность того, что монета, извлеченная из левого кармана после
перекладывания будет в 20 копеек.
7.6. Прибор, установленный на борту самолета может работать в двух
режимах: в условиях нормального крейсерского полета и в условиях
перегрузки взлета и посадки. Крейсерский режим осуществляется в 80%
всего времени полета, а условие перегрузки в 20%. Вероятность выхода
прибора из строя во время перегрузки равна 0,4, а во время крейсерского
полета – 0,1. Найти вероятность надежности прибора за время всего полета.
7.7. На столе экзаменатора 20 билетов, пронумерованных от 1 до 20.
Найти вероятность того, что студент берущий билет вторым, возьмет билет с
однозначным номером.
34
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
7.8. Группа студентов состоит из 5 отличников, 10 хорошистов, 8
троечников и двух двоечников. Отличники на предстоящем экзамене могут
получить только отличные оценки, хорошо успевающие студенты могут с
одинаковой вероятностью получить хорошие и отличные оценки, троечники
получают отличные оценки только в двух случаях из десяти. Двоечники
получить отличную оценку не могут. Найти вероятность того, что наугад
вызванный студент получит отличную оценку.
7.9. На столе экзаменатора 20 билетов, пронумерованных от 1 до 20.
Найти вероятность того, что студент, берущий билет вторым, возьмет билет с
двузначным номером.
7.10. Радиолампа может принадлежать к одной из двух партий с
вероятностями р1=0.6 и р2= 0,4. Вероятности того, что лампа проработает
заданное число часов, равны соответственно 0,7 и 0,8. Найти вероятность
того, что взятая лампа проработает заданное число часов.
7.11. В группе из десяти студентов, пришедших на экзамен, пять
подготовлены хорошо, два – отлично, два – удовлетворительно, один –
плохо. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов
из двадцати возможных; хорошо подготовленный студент может ответить на
16 вопросов; удовлетворительно подготовленный – на 10 вопросов; плохо
подготовленный – на 5 вопросов. Найти вероятность того, что наудачу
вызванный студент ответит на три заданные ему вопроса.
7.12.
В трех урнах лежат мячи. В первой 5 футбольных мячей и 10
волейбольных; во второй урне 6 футбольных и 4 волейбольных; в третьей 5
футбольных и 5 волейбольных. Какова вероятность того, что наудачу взятый
мяч из наудачу выбранной урны будет волейбольным.
7.13. В одном пакете 10 конфет «Ласточка» и 5 конфет «Весна». В другом
пакете 8 конфет «Ласточка» и 2 конфеты «Весна». Из первого пакета наудачу
взяли одну конфету и переложили во второй пакет, после чего из второго
пакета наудачу извлекли одну конфету. Найти вероятность того, что
извлекли конфету «Весна».
35
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
7.14. В партии саженцев имеются в одинаковых количествах саженцы
липы, тополя и березы. Вероятности того, что саженец приживается после
посадки, равны соответственно 0,8; 0,9; 0,7. Найти вероятность того, что
наудачу выбранный саженец приживется.
7.15. Электролампы изготавливаются
на трех заводах. Первый завод
производит 45% общего количества электроламп, второй - 40%, третий 15% . Продукция 1-го завода содержит 70% стандартных ламп, второго –
80%, третьего – 81% . В магазин лампы поступают с трех заводов. Найти
вероятность того, что купленная лампа окажется стандартной.
7.16. Литье в болванках поступает из двух цехов: 70% из первого,
остальные из второго. Материал первого цеха имеет 10% брака, а второго
20%. Найти вероятность того, что наудачу взятая болванка оказывается без
дефектов.
7.17. На карточках написаны числа от 20 до 30. Извлекают сначала одну
карточку, а потом другую (без возвращения). Найти вероятность того, что
число на второй карточке будет четным.
7.18. В ящике 20 деталей, изготовленных на заводе №1 и 40 деталей – на
заводе №2. На первом заводе брак составляет 5%, на втором – 10%. Найти
вероятность того, что наудачу взятая деталь будет не бракованной.
7.19. На карточках написаны цифры от 0 до 9. Наудачу извлекают сначала
одну, а потом другую карточку (без возвращения). Найти вероятность того,
число на второй извлеченной карточке будет нечетным.
7.20. В ящик, содержащий 3 одинаковые детали, брошена одна
стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти
вероятность того, что извлеченная деталь стандартная, если равновероятны
все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально
находящихся в ящике.
7.21. Из полного комплекта домино наудачу извлечена одна кость. Найти
вероятность того, что вторую извлеченную кость можно приставить к
первой.
36
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
7.22. В телевизионном ателье имеется четыре кинескопа. Вероятность
того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно
равны 0,8; 0,85;0,9; 0,95. Найти вероятность того, что наудачу взятый
кинескоп выдержит гарантийный срок службы.
7.23. В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике 12 ламп, из
них 2 нестандартные, во втором – 10 ламп, из них 1 нестандартная. Из
первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй ящик. Найти
вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет
нестандартная.
7.24. Два автомата производят детали, которые поступают на общий
конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате
равна 0,075, а на втором – 0,09. Производительность второго автомата вдвое
больше, чем первого. Найти вероятность того, что наудачу взятая с
конвейера деталь нестандартна.
7.25. Имеются две урны. В первой урне два белых и три черных шара, во
второй – три белых и пять черных шара. Из первой и второй урн, не глядя
берут по одному шару и кладут их в третью урну. Шары в третьей урне
перемешивают и берут наудачу один шар. Найти вероятность того, что этот
шар белый.
8.1. Вероятность для изделий некоторого производства удовлетворять
стандарту равна 0,96. Предлагается упрощенная схема проверки на
стандартность, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для
изделий удовлетворяющих стандарту, а для изделий, не удовлетворяющих
стандарту с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что изделие
признанное стандартным при проверке, действительно удовлетворяет
стандарту.
8.2. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях
выделено из первой группы курса – 4 , из второй – 6, из третьей группы – 5
студентов. Вероятность того, что студент первой, второй, третьей группы
37
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
попадает в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7; 0,8. Наудачу
выбранный студент попал сборную. К какой из групп вероятнее всего
принадлежит этот студент?
8.3. При отклонении от нормального режима работы автомата срабатывает
сигнализатор С-1 с вероятностью 0,8, а сигнализатор С-2 с вероятностью 1.
Вероятности того, что автомат снабжен сигнализатором С-1 или С-2
соответственно равны 0,6 и 0,4. Получен сигнал о разладке автомата. Найти
вероятность того, что сигнал получен от сигнализатора С-1.
8.4. Пассажир может купить билет в одной из трех касс. Вероятность
того, что он направится к первой кассе 0,5; ко второй –1/3; к третьей – 1/6.
Вероятность, что билетов уже нет в первой кассе – 1/5; во второй – 1/6; в
третьей – 1/8. Он обратился
в одну из касс и получил билет. Найти
вероятность того, что он обратился в первую кассу.
8.5. У рыбака есть три излюбленных места рыбалки. Эти места он
посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность того, что рыба клюнет на
первом месте 1/3, на втором – ½, на третьем – ¼. Известно, что рыбак
поймал рыбку, забросив удочку. Какова вероятность того, что он рыбачил на
третьем месте.
8.6. Имеются два ящика с красными и синими шарами: в первом 3 синих и
5 красных, во втором 7 синих и 11 красных. Наудачу выбирается шар. Шар
извлекали из наудачу взятого ящика. Известно, что извлеченный шар
оказался синим. Найти вероятность того, что извлекали из первого ящика.
8.7.
Три
оператора
радиолокационной
установки
производят
соответственно 25%, 35% и 40% всех измерений, допуская при этом 5%, 4%
и 2% ошибок. Случайно произведенное измерение оказалось ошибочным.
Какова вероятность того, что измерение производил второй оператор?
8.8. Электролампы изготавливаются
на трех заводах. Первый завод
производит 15% общего количества электроламп, второй - 40%, третий 45% . Продукция 1-го завода содержит 70% стандартных ламп, второго –
81%, третьего – 90% . В магазине лампы оказались не рассортированными, и
38
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
купленная наугад лампа оказалась негодной. Найти вероятность того, что
лампа изготовлена на заводе №2
8.9.Три стрелка производят по одному выстрелу по одной мишени.
Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,5, для
третьего – 0,4. В результате произведенных выстрелов в мишени оказалось
две пробоины. Найти вероятность того, что в мишень попали второй и третий
стрелки.
8.10. Имеется десять одинаковых коробок, из которых в девяти находятся
по два черных и два белых шара; а в одной (*) 5 белых и 1 черный шар. Из
одной наудачу взятой коробки извлечен белый шар. Какова вероятность того,
что шар извлекался из коробки (*)?
8.11. В группе 20 лыжников, 6 конькобежцев и 4 горнолыжника.
Вероятность выполнить норму мастера спорта для лыжника равна 0,9; для
конькобежца – 0,8; для горнолыжника 0,75. Наудачу выбранный спортсмен
не выполнил норму мастера спорта. Какова вероятность того, что это
лыжник?
8.12. Для сигнализации об аварии
используется индикатор. Он
принадлежит с вероятностями 0,2, 0,3, 0,5
к одному из трех типов.
Вероятности срабатывания для которых равны 1, 0,75, 0,4 . От индикатора
получен сигнал. К какому типу вероятнее всего он относится?
8.13. Из 18 стрелков пять попадают в мишень с вероятностью 0,8; семь – с
вероятностью 0,7; четыре –с вероятностью 0,6 и два – с вероятностью 0,5.
Наудачу вызванный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. Какова
вероятность того, что он принадлежит к четвертой группе стрелков?
8.14. На складе 20 холодильников, изготовленных на заводе №1 и 40 – на
заводе №2. Вероятность того, что холодильник изготовленный на заводе №1
будет иметь брак равна 0,1; для второго завода – 0,2. Холодильники
упакованы
в коробки. Наудачу взятый холодильник оказался с браком.
Найти вероятность того, что он изготовлен на заводе №1.
39
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
8.15. В группе и 20 стрелков имеются четыре отличных стрелка; десять –
хороших и шесть посредственных стрелков. Вероятность попадания в цель
при одном выстреле для отличного стрелка равна 0,9; для хорошего – 0,7, для
посредственного – 0,4. Наудачу вызванный стрелок поразил цель. Найти
вероятность того, что стрелял посредственный стрелок.
8.16. Два цеха штампуют однотипные детали. В первом цехе брак
составляет 0,1%; во втором – 1%. Для контроля отобрано 50 изделий первого
цеха и 60 – второго. Детали оказались перемешанными. Найти вероятность
того, что наудачу извлеченная деталь, оказавшаяся годной, изготовлена в
первом цехе.
8.17. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной и той же
мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания для
первого равна 0,8; для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена
одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит
первому стрелку.
8.18. В девять одинаковых закрытых урн помещено по десять шаров,
различающихся только цветом. В две урны положено по пять белых шаров; в
три урны – по четыре белых шара; в четыре урны – по три белых шара. Из
какой-то одной урны нажатием кнопки выброшен шар, оказавшийся белым.
Найти вероятность того, что эта урна содержала три белых шара.
8.19. Счетчик регистрирует частицы трех типов – А, В, С. Вероятности
появления этих частиц P( A) = 0,2 , P( B) = 0,5 , P(C ) = 0,3 . Частицы каждого
из этих типов счетчик улавливает с вероятностями 0,8; 0,2; 0,4. Счетчик
уловил частицу. Определить вероятность того, что это была частица типа В.
8.20. Четыре стрелка независимо один от другого стреляют по одной
мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в цель
при одном выстреле для первого стрелка равна 0,4; для второго – 0,6; для
третьего – 0,7; для четвертого – 0,8. После стрельбы в мишени обнаружены
три пробоины. Найти вероятность того, что промахнулся четвертый стрелок.
40
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
8.21. На столе экзаменатора двадцать билетов, пронумерованных от1 до
20. Студент, берущий билет вторым, взял билет с однозначным номером.
Найти вероятность того, что студент, который брал билет первым, то же взял
билет с однозначным номером.
8.22. Имеются две урны. В первой урне три белых и четыре черных шара;
во второй – два белых и три черных. Из первой урны наудачу перекладывают
во вторую урну два шара, а затем из второй урны наудачу вынимают один
шар. Он оказался белым. Какой состав переложенных шаров является
наиболее вероятным?
8.23. В группе из 20 студентов, пришедших на экзамен, восемь
подготовлены отлично, шесть хорошо, четыре посредственно и два плохо. В
экзаменационных билетах имеется 30 вопросов. Студент подготовленный
отлично может ответить на все вопросы; хорошо – на 25; посредственно – на
15; плохо – на 10 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на три
вопроса.
Найти
вероятность
того,
что
этот
студент
подготовлен
посредственно.
8.24. Три охотника производят по одному выстрелу по волку. Вероятность
попадания для первого охотника равна 0,6; для второго – 0,7; для третьего –
0,4. В результате произведенных выстрелов волк был убит двумя
выстрелами. Найти вероятность того, что попали второй и третий охотники.
8.25. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых
шаров; во втором – 10 белых и 10 черных; в третьем – 20 черных шаров. Из
наудачу взятого ящика наудачу извлекли один шар, оказавшийся белым.
Найти вероятность того, что шар извлекали из первого ящика.
Повторение опытов
Пусть производят n независимых испытаний (один и тот же опыт при
неизменных основных условиях повторяют n раз) в каждом из которых
появляется событие А с вероятностью P ( A) = p , а
противоположное
событие A с вероятностью P( A) = q , q = 1 − p . Вероятность того, что в n
41
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
опытах событие А наступит ровно k раз, k = 0, n вычисляют по формуле
Бернулли:
Pn (k ) = C nk p k q n − k ,
C nk =
n!
k!⋅(n − k )!
(1)
Если число опытов n достаточно велико, расчеты по формуле Бернулли
становятся очень громоздкими. В этом случае вероятность Pn (k ) вычисляют
по локальной теореме Муавра-Лапласа
Pn (k ) =
а
ϕ (x )
x2
(2),
npq
x=
1 −2
e
где ϕ ( x ) =
2π
k − np
npq
(3),
(4)
Значения функции
ϕ ( x ) берут из специальных таблиц, которые
приводятся в приложениях к учебным пособиям по теории вероятностей.
При нахождении значений функции ϕ ( x ) следует помнить:
1) ϕ (− x ) = ϕ ( x ) - функция четная.
2) ϕ ( x ) → 0 , при x → ∞ - функция убывающая.
Берут ϕ ( x ) = 0 для x ≥ 4 .
Если число опытов n достаточно велико, а вероятность
p < 0,1 -
достаточно мала вероятность Pn (k ) вычисляют по формуле Пуассона:
Pn (k ) =
e − λ ⋅ λk
k!
(5), где λ = np
Частота, которой соответствует
наибольшая вероятность, называется
наивероятнейшей частотой и обозначается k 0 .
np − q ≤ k 0 ≤ np + p
Если n достаточно велико: k 0 = np .
(6)
(7)
При нахождении вероятности появления события не менее k1 раз и не
более k 2 раз (обозначим эту вероятность P (k1 ; k 2 ) ) пользуются интегральной
теоремой Лапласа:
42
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
P (k1 ; k 2 ) = Ф ( x2 ) − Ф ( x1 ) ,
(8)
x2
1 x −2
e dx
где Ф( x) =
2π ∫0
x1 =
k1 − np
,
npq
x2 =
(9), - значения функции берут из таблиц, а
k 2 − np
.
npq
При нахождении значений функции Ф(x) следует помнить:
1) Ф(− x) = −Ф( x) - нечетная функция.
2) Ф( x) → 0,5 при x → ∞ . Берут Ф( x) = 0,5 , для x > 5 .
При вычислении вероятностей
отклонения частоты и частости от
своих наивероятнейших значений по абсолютной величине не более чем на
ε , пользуются формулами:
⎛ ε ⎞
⎟
P( m − np ≤ ε ) = 2Ф⎜⎜
⎟
⎝ npq ⎠
P(
⎛
m
− p ≤ ε ) = 2Ф⎜⎜ ε
n
⎝
(10), где Ф(x) функция (9).
n ⎞
⎟
pq ⎟⎠
(11).
Формулы (10), (11) связывают величины n, ε , P . Если задается P и
находятся n или ε , задачу называют задачей «обратного хода».
Пример 1. В урне 25 шаров из них 10 красных и 15 зеленых. Шары
извлекают последовательно с возвращением 5 раз. Найти вероятность того,
что зеленый шар появился три раза.
Решение
Запишем условие задачи.
Дано: n = 5 ; k = 3 ; p =
15 3
3 2
= ; q =1− = ;
25 5
5 5
P5 (3) − ?
Вычислим вероятность по формуле Бернулли (1).
3
2
5! ⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞
216
P5 (3) = C p q =
⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =
.
3!⋅2! ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠
625
3
5
3
2
43
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Пример 2. По имеющимся данным в среднем 90% посаженных саженцев
приживаются. Найти наивероятнейшее число саженцев, которые не
приживутся, среди посаженных 15 штук.
Решение:
Дано: n = 15 ; q =
90
= 0,9 ; p = 1 − 0,9 = 0,1 ;
100
k0 − ?
Наивероятнейшее число саженцев найдем по формуле
np − q ≤ k 0 ≤ np + p
15 ⋅ 0,1 − 0,9 ≤ k 0 ≤ 15 ⋅ 0,1 + 0,1 ;
0,6 ≤ k 0 ≤ 1,6 ;
k0 = 1 .
Пример 3. Вероятность изготовления стандартной детали на автомате
равна 0,95. Изготовлена партия в 200 деталей. Найти наивероятнейшее число
нестандартных деталей и вероятность этого наивероятнейшего числа.
Решение:
Дано:
n = 200 ; q = 0,95 ; p = 1 − 0,95 = 0,05 ;
k 0 − ? ; P200 ( k 0 ) − ?
Так как n = 200 достаточно велико, то k 0 = np .
k 0 = 200 ⋅ 0,05 = 10 .
Вычислим вероятность P200 (10) используя локальную теорему Лапласа,
т.е. формулу (2).
x=
10 − 200 ⋅ 0,05
=0.
200 ⋅ 0,05 ⋅ 0,95
По таблице найдем ϕ (0 ) = 0,3989 .
P200 (10) =
0,3989
0,3989
=
≈ 0,13 .
200 ⋅ 0,05 ⋅ 0,95
9,5
Пример 4. Пять работниц окрашивают одинаковые по форме и размерам
игрушки. Две из них производят окраску в красный цвет и три в зеленый.
44
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Производительность труда работниц одинакова. Окрашенные игрушки
оказались перемешанными. Найти вероятность того, что среди случайно
отобранных 600 штук, красных окажется от 228 до 264.
Решение:
Дано: n = 600 ; k1 = 228 ; k 2 = 264 p =
2
3
= 0,4 ; q = = 0,6 ;
5
5
P600 ( 228;264) − ?
Для вычисления вероятности используем интегральную теорему Лапласа,
т.е. формулу (8).
Вычислим x1 =
228 − 600 ⋅ 0,4
264 − 600 ⋅ 0,4
= −1 ; x 2 =
= 2.
600 ⋅ 0,4 ⋅ 0,6
600 ⋅ 0,4 ⋅ 0,6
По таблице найдем Ф(−1) = −Ф(1) = −0,3413 ; Ф(2) = 0,4772 .
Тогда: P600 ( 228;264) = 0,4772 − ( −0,3413) = 0,8185 .
Пример 5. Всхожесть семян данного сорта цветов оценивается
вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что из посеянных пяти семян
взойдут меньше четырех?
Решение
Дано: n = 5 ; 0 ≤ k ≤ 3 ; p = 0,8 ; q = 0,2 . P5 (0 ≤ k ≤ 3) − ?
Требование «взойдет меньше четырех семян» означает, что их будет или 0
или 1или 2 или 3. Использование интегральной теоремы Лапласа при
небольшом n приводит к значительной ошибке. Вычислим нужную нам
вероятность по теореме сложения с использованием формулы Бернулли. Для
ускорения вычислений, перейдем к противоположному событию: взошло не
менее четырех семян, т.е. взошло 4 или 5.
Найдем вероятности
P5 (4) = C54 p 4 q =
5!
4
⋅ (0,8) 0,2 = 0,4096 ;
4!⋅1!
P5 (5) = C55 p 5 q 0 =
5!
5
⋅ (0,8) (0,2) 0 = 0,32768 .
5!⋅0!
45
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Тогда P5 ( 4) + P5 (5) = 0,4096 + 0,32768 ≈ 0,738 .
Искомая вероятность P5 (0 ≤ k ≤ 3) = 1 − 0,738 = 0,262 .
Пример 6. Вероятность того, что из взятого наудачу яйца выведется
петушок, равна 0,5. В инкубатор заложили 38416 яиц. Определить
вероятность того, что среди выведенных цыплят число курочек будет
отличаться от наиболее вероятного их числа по абсолютной величине не
более чем на 208 штук.
Решение:
Наиболее вероятное число курочек равно np = 38416 ⋅ 0,5 = 19208 .
Дано: n = 38416 ; p = 0,5 ; q = 0,5 ; ε = 208 .
P ( m − 19208 ≤ 208) − ?
Вычислим искомую вероятность по формуле (10):
⎞
⎛
208
208 ⎞
⎟⎟ = 2Ф⎛⎜
P( m − 19208 ≤ 208) = 2Ф⎜⎜
⎟=
98
38416
0
,
5
0
,
5
⋅
⋅
⎝
⎠
⎠
⎝
= 2Ф(2,12) = 2 ⋅ 0,4830 = 0,966
С
вероятность
0,966
число
курочек
будет
заключено
в
пределах
19000 ≤ m ≤ 19416 .
Пример 7. По данным переписи населения, произведенной в 1959 году,
на каждую 1000 рабочих приходилось 534 человека со средним и высшим
образованием.
Случайно
отобрали
600
рабочих.
Какое
предельное
отклонение числа рабочих, имеющих среднее и высшее образование, от
наиболее вероятного их числа можно гарантировать с вероятностью 0,98?
Решение:
Дано: n = 600 ; p =
534
= 0,534 ; q = 1 − 0,534 ; P = 0,98 ; np = 600 ⋅ 0,534 .
1000
ε −?
По условию задана вероятность 0,98 = P( m − 600 ⋅ 0,534 ≤ ε ) .
46
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Заданная вероятность может быть вычислена по формуле (10). Имеем
⎛
⎞
ε
⎛ ε ⎞ 0,98
⎟⎟ = 0,98 , Ф⎜
= 0,49 .
2Ф⎜⎜
⎟=
12
,
22
2
⋅
⋅
600
0
,
534
0
,
466
⎝
⎠
⎝
⎠
По таблице значений Ф( x ) находим, что значение 0,49 функция
принимает при x = 2,33 .
Значит
ε
12,22
= 2,33 ; ⇒
ε = 2,33 ⋅ 12,22 = 28,47 ;
ε = 28 .
Пример 8. Французский ученый Бюффон бросил монету 4040 раз,
причем герб появился 2048 раз. Найти вероятность того, что при повторении
опыта Бюффона относительная частота появления герба отклонится от
вероятности появления герба по абсолютной величине не более, чем в опыте
Бюффона.
Решение:
Относительная частота в опыте равна
2048
= 0,5069 , отклонение от
4040
вероятности 0,5069 − 0,5 = 0,0069 .
Дано: n = 4040 ; p = 0,5 ; q = 0,5 ; ε = 0,0069 .
⎛m
⎞
P⎜ − 0,5 ≤ 0,0069 ⎟ − ?
⎝ n
⎠
Искомую вероятность вычислим по формуле (11)
⎛
4040 ⎞
⎛m
⎞
⎟⎟ = 2Ф(0,88) = 2 ⋅ 0,3106 = 0,6212 .
P⎜ − 0,5 ≤ 0,0069 ⎟ = 2Ф⎜⎜ 0,0069
n
⋅
0
,
5
0
,
5
⎝
⎠
⎝
⎠
Пример 9. Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6
можно было утверждать, что отклонение относительной частоты появления
герба от вероятности равной 0,5 по абсолютной величине будет не более
0,01?
Решение:
Дано: p = 0,5 ; q = 0,5 ; ε = 0,01; P = 0,6 .
n−?
47
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
⎛m
⎞
Задана вероятность события P⎜ − 0,5 ≤ 0,01⎟ = 0,6 .
⎝ n
⎠
Эта вероятность может быть вычислена по формуле (11)
⎛
n ⎞
⎛m
⎞
⎟⎟ .
P⎜ − 0,5 ≤ 0,01⎟ = 2Ф⎜⎜ 0,01
n
0
,
5
0
,
5
⋅
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛
n ⎞
⎟⎟ = 0,6 ;
Имеем 2Ф⎜⎜ 0,01
⋅
0
,
5
0
,
5
⎝
⎠
По
таблице
значений
⎛
n ⎞
⎟⎟ = 0,3 .
Ф⎜⎜ 0,01
⋅
0
,
5
0
,
5
⎝
⎠
функции
Ф( x )
находим,
что
Ф( x ) = 0,3 принимается при x = 0,84 .
Имеем 0,01
n
= 0,84 ;
0,5 ⋅ 0,5
n = 0,84 ⋅ 50 = 42 ;
n = 1764 .
Пример 10. Вероятность того, что изделие некоторого производства
окажется нестандартным рана 0,01. Чему равна вероятность того, что в
партии из 1000 наудачу выбранных изделий окажется пять нестандартных?
Решение:
Дано: n = 1000 ; p = 0,01 ; q = 0,99 ; k = 5 .
P1000 (5) − ?
По условию задачи n = 1000 достаточно велико, а p = 0,01 достаточна
мала. Искомую вероятность следует вычислить по формуле Пуассона (5).
Имеем λ = np = 1000 ⋅ 0,01 = 10 .
P1000 (5) =
e −10 ⋅ 10 5
10 5
100000
= 10
=
≈ 0,38
e ⋅ 120 120 ⋅ 22026
5!
Задачи для самостоятельного решения:
9.1. Всхожесть семян цветов оценивается вероятностью 0,6. Найти
вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдет 600?
48
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
9.2. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность попадания
в цель равна 0.9. вычислить вероятность того, что из 19 выстрелов удачными
будут 10.
9.3. Два равносильных игрока играют в настольный теннис. Какова
вероятность того, что игрок выиграет не менее трех партий из пяти.
9.4. Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0,001. Найти
вероятность того, что при 1000 выстрелах будет не менее двух попаданий.
9.5. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника в шахматы
три партии из четырех или пять из восьми?
9.6. В среднем 90% поездов прибывают без опоздания.
Считая
опоздания поездов независимыми событиями, найти вероятность того, что из
пяти поездов опаздывают не более одного.
9.7.
Всхожесть
семян
оценивается
вероятностью
0,8.
Найти
наивероятнейшее число семян, которые не взойдут, если посеяли 10 семян.
9.8. Оптовая база снабжает 10 магазинов, вероятность поступления от
каждого из которых заявки на очередной день равна 0,6. Найти
наивероятнейшее число заявок в день и вероятность этого наивероятнейшего
числа.
9.9. Вероятность того, что покупателю магазина не требуется обувь 37
размера, равна 0,2. Найти наивероятнейшее число покупателей, которым
потребуется обувь 37 размера, если в магазине ожидается 800 покупателей.
9.10. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Найти
вероятность не менее пяти попаданий при шести выстрелах.
9.11. Было посеяно 28 семян тыквы с одинаковой всхожестью. Найти
вероятность всхожести семян, если наиболее вероятные числа проросших
семян 17 и 18.
9.12. В мастерской имеется 190 моторов. Вероятность того, что в
данный момент мотор работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти
вероятность того, что в данный момент времени работают 140 моторов.
49
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
9.13. В ВУЗе обучается 730 студентов. Найти наиболее вероятное число
студентов,
родившихся
первого
января
и
вероятность
этого
наивероятнейшего числа.
9.14. В цехе имеется 10 однотипных станков. Вероятность того, что
каждый станок в течении смены будет работать с остановками равна 0,2.
Найти вероятность того, что в течении смены без остановок будут работать
не менее двух станков.
9.15. На заводе вырабатывается в среднем 80% холодильников
отличного качества. Какова вероятность того, что в партии из 1000
холодильников окажется наивероятнейшее число холодильников отличного
качества?
9.16. В серии из 5 бросаний монеты вероятность k выпадений герба
равна
5
.
16
Найти число выпадений k.
9.17. Радиоаппаратура состоит из 1000 электроэлементов. Вероятность
отказа одного из них (безразлично какого) в течении года равна 0,001. Какова
вероятность отказа а) двух элементов; б) не менее двух элементов в год.
9.18.Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в
течении часа равна 0,005. Телефонная станция обслуживает 600 абонентов.
Найти вероятность того, что в течении часа позвонят пять абонентов.
9.19. В принятой партии хлопка число длинных волокон составляет
30% от общего числа волокон. Найти вероятность того, что в пучке из семи
волокон четыре окажутся длинными.
9.20. Вероятность, для данного баскетболиста забросить мяч в корзину
при броске равна 0,3. Произведено 12 бросков. Какова вероятность
наивероятнейшего числа попаданий.
9.21. Игральную кость бросают 5 раз. Какова вероятность того, что
шестерка выпадет менее двух раз.
9.22. Вероятность того, что изготовленный на заводе телевизор в пути
повредится, равна 0,002. Найти вероятность того, что из доставленных 500
телевизоров бракованных окажется три.
50
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
9.23. Чему равна вероятность того, что среди 100 случайных прохожих
окажется 32 женщины, если предположить, что в данном городе число
мужчин равно числу женщин.
9.24. Проверяют партию из 50 приборов. Вероятность того, что прибор
будет без брака равна 0,9. Найти наивероятнейшее число приборов с браком
и вероятность этого наивероятнейшего числа.
9.25. В некотором городе N число женщин относится к числу мужчин
как 2:1. Найти вероятность того, что среди 100 случайных прохожих мужчин
окажется 32.
10.1. Известно, что в среднем 86% деталей изготовляемых в цехе
являются
стандартными.
Случайно
отобрали
1000
деталей.
Найти
вероятность того, что относительная частота нестандартных деталей
отклонится от вероятности такой детали по модулю не более чем на 0,04.
10.2. По данным телевизионного ателье в течении гарантийного срока
выходят из строя в среднем 12% кинескопов. Какова вероятность того, что из
46 наугад выбранных кинескопов не менее 20 проработают гарантийный
срок.
10.3. Вероятность того, что изготовленные часы будут стандартными
равна 0,97. Найти вероятность того, что среди 1000 изготовленных часов
относительная частота стандартных часов отклонится от вероятности таких
часов по модулю не более чем на 0,02.
10.4. Найти вероятность того, что из 100 посаженных семян прорастут
не менее 80, если их всхожесть равна 0,6.
10.5. Штамповка металлических клемм дает 20% брака. Найти
вероятность того, что в партии из 600 клемм число не соответствующих
стандарту клемм будет от 100 до 125.
10.6. В среднем из 100 деталей не удовлетворяют стандарту 20 деталей.
Найти вероятность того, что среди 2500 деталей будет от 1950 до 2060
стандартных деталей.
51
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
10.7. Статистическая вероятность рождения мальчика равна 0,515.
Какова вероятность того, что среди 10000 новорожденных мальчиков будет
не больше, чем девочек.
10.8. В среднем 30% студентов сдают экзамен на хорошо и отлично (по
данной дисциплине). Найти вероятность того, что, по крайней мере, семь
человек из десяти получат хорошие или отличные оценки.
10.9. Найти вероятность того, что в партии из 5000 изделий отклонение
относительной частоты бракованных изделий от вероятности таких изделий
равной 0,02, по модулю превысит 0,01.
10.10. Всхожесть хранящихся на складе зерен пшеницы составляет
80%. Наудачу отобрали 100 зерен. Найти вероятность того, что число
проросших семян будет в пределах от 68 до 90 штук.
10.11. Если в среднем левши составляют 1% , то каковы шансы на то,
что среди случайно выбранных 200 человек левшей будет не более четырех.
10.12. В НИИ земледелия проверяется всхожесть семян кукурузы.
Сколько семян следует посеять, чтобы относительная частота всхожих семян
отличалась от вероятности всхожести равной 0,95 меньше чем на 0,01 с
вероятностью 0,99.
10.13. Из каждого десятка деталей девять удовлетворяют стандарту.
Найти вероятность того, что из 50 взятых со склада деталей число
стандартных окажется между 42 и 48.
10.14. При контрольной проверке изготовленных приборов было
установлено, что в среднем 15 из 100 штук оказываются дефектными. Найти
вероятность того, что число дефектных приборов среди взятых наудачу 400
штук будет отличаться от наиболее вероятного их числа по модулю не более
чем на 20 штук.
10.15. В течении года за индивидуальной консультацией по теории
вероятностей обращаются в среднем 80% студентов. Найти вероятность того,
что в этом году из 120 студентов за консультацией обратятся не менее 95
человек.
52
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
10.16. Вероятность того, что покупателю магазина потребуется обувь
37 размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что доля покупателей,
которым необходим 37 размер, отклонится от вероятности этого события по
модулю не более чем на 0,4, если в магазине ожидается 8000 покупателей.
10.17. С конвейера сходит в среднем 85% изделий первого сорта.
Определить сколько следует взять изделий, чтобы с вероятностью 0,997
можно было утверждать, что частота изделий первого сорта отличается от
наиболее вероятного их числа по модулю не более чем на 2?
10.18. Медиками установлено, что 94% лиц, которым сделаны
прививки против туберкулеза, приобретают иммунитет против этого
заболевания. Какова вероятность того, что среди 10000 граждан, получивших
прививки менее 1000 не будут защищены от этого заболевания.
10.19. Из каждого десятка деталей две оказываются с дефектами. Найти
вероятность того, что среди 50 наудачу взятых деталей без дефекта будет
большинство.
10.20. ОТК проверяет 900 деталей на стандартность. Вероятность того,
что деталь стандартна, равна 0,8. Найти с вероятностью 0,9544 границы, в
которых будет заключено число стандартных деталей среди проверенных.
10.21. Игральную кость бросают 80 раз. Найти с вероятностью 0,9973
границы, в которых будет заключено число выпадений шестерки.
10.22. В партии из 2000 гаек имеется 30 с браком. Для контроля
наудачу взяты 100 гаек. Найти вероятность того, что бракованных среди них
будет меньше пяти.
10.23. Вероятность бракованного шарикоподшипника равна 0,015.
Взято
500
шарикоподшипников.
Какое
предельное
отклонение
относительной частоты брака от вероятности брака можно гарантировать с
вероятностью 0,95?
10.24. При автоматической прессовке карболитовых болванок 2
3
общего числа не имеют зазубрин. Найти вероятность того, что из 450 взятых
53
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
наудачу болванок число болванок без зазубрин заключено в пределах между
280 и 320.
10.25. При установившемся технологическом процессе происходят в
среднем десять обрывов нити на сто веретен в час. Определить вероятность
того, что в течении часа на восьмидесяти веретенах произойдет от 5 до 8
обрывов нити.
54
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Типовой расчет 2: «Случайные величины»
Случайной величиной называется величина, которая в результате
опыта может принимать различные числовые значения, при этом тот факт,
что она примет какое-то определенное значение, является случайным
событием.
Случайные величины обозначают буквами X, Y, Z, а их возможные
значения соответствующими маленькими буквами: x1 , x2 ,...xn или y1 , y 2 ,... y m ,
и т.д. Случайная величина называется дискретной, если она принимает
отдельные изолированные значения. Случайная величина называется
непрерывной, если она принимает все значения из некоторого интервала.
Значения дискретной величины можно занумеровать (множество значений
счетное). Значения непрерывной величины занумеровать невозможно
(бесконечное несчетное множество). Каждое значение случайной величины
принимается с определенной вероятностью.
Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными
значениями случайной величины и их вероятностями носит название закона
распределения.
Закон распределения может задаваться:
1) таблично
X
x1
x2
…
xn
p
p1
p2
…
pn
где pi = P ( X = xi ) , i = 1, n , причем
n
∑ pi = 1 .
i =1
2) аналитически: а) F ( x) = P ( X < x ) - функция распределения;
б)
f ( x) = F ′( x)
- функция плотности распределения
вероятностей.
3) графически.
55
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
К
основным
Методические указания к решению задач по ТВ
числовым
характеристикам
случайной
величины
относятся: математическое ожидание - M (X ) , - дающее значение близкое к
среднему;
дисперсия
-
D( X ) , - показывающая как отдельные значения
отклоняются от среднего значения;
среднее квадратическое отклонение σ ( X ) = D ( X ) - также говорит об
отклонениях отдельных значений от среднего значения, но имеет в отличие
от дисперсии размерность, совпадающую с размерностью случайной
величины.
Дискретная случайная величина
Если случайная величина Х – дискретная, то основной способ задания
закона распределения – табличный.
Основные числовые характеристики дискретной случайной величины
вычисляют по формулам:
n
M ( X ) = ∑ xi pi = x1 p1 + x2 p 2 + ... + xn p n
(1)
i =1
(
)
n
D ( X ) = M ( X − M ( X )) = ∑ ( xi − M ( X )) pi
2
2
(2)
i =1
Дисперсию удобно (кроме формулы (2)) вычислять по упрощенной
формуле:
D( X ) = M ( X 2 ) − M 2 ( X ) ,
где M (X 2 ) = ∑ xi2 pi
(3)
σ ( X ) = D( X ) .
Пример 1. Батарея состоит из трех орудий. Вероятность попадания в
цель при одном выстреле из первого, второго и третьего орудия равна
соответственно 0,5; 0,6; 0,8. Каждое орудие стреляет по цели один раз.
Составить закон распределения случайной величины Х – числа попаданий в
цель. Вычислить M (X ) , D( X ) , σ ( X ) . Построить график распределения.
Найти функцию распределения F ( x ) и построить ее график.
56
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Решение:
Введем случайную величину Х – число попаданий в цель. Возможные
значения величины:
x1 = 0 - ни одно орудие не попало; x2 = 1 - попало одно орудие;
x3 = 2 - попали два орудия; x4 = 3 - попали три орудия.
Величина Х – дискретная. Вычислим вероятность каждого значения:
p1 = P ( X = 0 ) = (1 − 0,5)(1 − 0,6 )(1 − 0,8) = 0,5 ⋅ 0,4 ⋅ 0,2 = 0,04 (и первое и
второе и третье орудия промахнулись);
p 2 = P ( X = 1) = 0,5 ⋅ 0,4 ⋅ 0,2 + 0,5 ⋅ 0,6 ⋅ 0,2 + 0,5 ⋅ 0,4 ⋅ 0,8 = 0,26
(первое
орудие попало, второе и третье промахнулись или второе орудие попало,
первое и третье промахнулись или третье орудие попало, первое и второе
промахнулись);
p3 = P ( X = 2 ) = 0,5 ⋅ 0,6 ⋅ 0,2 + 0,5 ⋅ 0,4 ⋅ 0,8 + 0,5 ⋅ 0,6 ⋅ 0,8 = 0,46 ;
p 4 = P( X = 3) = +0,5 ⋅ 0,6 ⋅ 0,8 = 0,24 .
Закон распределения:
Проверим
1
2
∑ pi
X
0
p
0,04 0,26 0,46 0,24 1
правильность
3
составленного
закона
∑ pi = 1
⇒ 0,04 + 0,26 + 0,46 + 0,24 = 1 (внесено в последнюю графу).
Построим график распределения
0,52
0,48
0,44
0,4
0,36
0,32
0,28
0,24
0,2
0,16
0,12
0,08
0,04
0
P
x
0
1
2
3
4
57
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Вычислим M ( X ) = 0 ⋅ 0,04 + 1 ⋅ 0,26 + 2 ⋅ 0,46 + 3 ⋅ 0,24 = 1,9 .
Для
дисперсии
вычислим
M ( X 2 ) = 0 2 ⋅ 0,04 + 12 ⋅ 0,26 + 2 2 ⋅ 0,46 + 32 ⋅ 0,24 = 4,26 .
D( X ) = 4,26 − (1,9) = 0,65 ;
2
σ ( X ) = D( X ) = 0,65 ≈ 0,81 .
Найдем функцию распределения F ( x ) = P( X < x ) :
F (x ) = 0 , x ≤ 0 ;
при изменении 0 < x ≤ 1 , F ( x ) = 0,04 ;
при изменении 1 < x ≤ 2 , F ( x ) = 0,04 + 0,26 = 0,3 ;
при изменении 2 < x ≤ 3 , F ( x ) = 0,04 + 0,26 + 0,46 = 0,76 ;
для всех x > 3 , F ( x ) = 1.
⎧ 0,
⎪ 0,04,
⎪⎪
F ( x) = ⎨ 0,3,
⎪0,76,
⎪
⎪⎩ 1,
1,2
F(x)
x≤0
0 < x ≤1
1< x ≤ 2
2< x≤3
x>3
1
0,8
0,6
0,4
0,2
Построим график функции F (x)
x
0
-1
0
1
2
3
4
Пример 2. Из урны, в которой три белых и пять черных шаров, наудачу
извлекают три шара. Составить закон распределения случайной величины X
– числа вынутых черных шаров.
Решение:
Введем случайную величину X – число вынутых черных шаров.
Возможные значения величины Х:
x1 = 0 - черных шаров вынули 0 (все белые);
x2 = 1 - вынули один черный шар (два белых);
x3 = 2 - вынули два черных шара (один белый);
x4 = 3 - вынули три черных шара.
58
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Вычислим вероятности всех возможных значений величины Х по формуле
P( A) =
m
.
n
Число всех возможных исходов равно:
n = C83 =
8!
= 56 (столькими способами можно извлечь три шара из восьми);
3!⋅5!
m1 = C33 =
3!
= 1 (столькими способами можно извлечь три белых шара из
3!⋅0!
трех);
m2 = C32 ⋅ C51 =
3! 5!
⋅
= 15 (столькими способами можно извлечь два белых
2!⋅1! 1!⋅4!
из трех и один черный из пяти);
m3 = C31 ⋅ C52 =
3! 5!
⋅
= 30 (столькими способами можно извлечь один
1!⋅2! 2!⋅3!
белый из трех и два черных из пяти);
m4 = C53 =
5!
= 10 (столькими способами можно извлечь три черных шара из
3!⋅2!
пяти).
Закон распределения принимает вид:
X
0
1
2
3
∑ pi
p
1
56
15
56
15
28
5
28
1
Так как p1 = P( X = 0) =
m1 1
= ;
n 56
p2 = P( X = 1) =
m2 15
= ;
n 56
p3 = P ( X = 2 ) =
m3 30 15
=
= ;
n 56 28
p4 = P( X = 3) =
m4 10 5
=
=
.
n 56 28
1
15
30
10
56
∑ pi = 56 + 56 + 56 + 56 = 56 = 1 .
59
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Пример 3. Дискретная случайная величина Х может принимать только
два значения x1 и x2 ( x1 < x2 ). Известны вероятность p1 = 0,1 значения
X = x1 , математическое ожидание M ( X ) = 3,9 и дисперсия D( X ) = 0,09 .
Найти закон распределения этой случайной величины.
Решение.
Для дискретной
величины, принимающей
два значения
закон
распределения имеет вид:
X
x1
x2
∑ pi
p
p1
p2
1
По условию p1 = 0,1 , тогда p 2 = 1 − p1 = 1 − 0,1 = 0,9 .
Для отыскания x1 и x2 воспользуемся M (X ) и D( X ) .
x1 ⋅ 0,1 + x2 ⋅ 0,9 = 3,9
⎧
⎨ 2
2
2
⎩ x 1 ⋅ 0,1 + x 2 ⋅ 0,9 − (3,9) = 0,09
Решим эту систему
x1 ⋅ 0,1 + x2 ⋅ 0,9 = 3,9
⎧
⎨ 2
2
⎩ x 1 ⋅ 0,1 + x 2 ⋅ 0,9 = 0,09 + 15,21
⎧ x1 + 9 x2 = 39
⎨ 2
2
⎩ x 1 + 9 x 2 = 153
x1 = 39 − 9 x2
⎧
⎨
2
2
⎩(39 − 9 x2 ) + 9 x 2 = 153
x1 = 39 − 9 x2
⎧
⎨
2
⎩90 x 2 − 702 x2 + 1368 = 0
Решим уравнение: 90 x 22 − 702 x2 + 1368 = 0 ;
10 x 22 − 78 x2 + 152 = 0
x2,1 = 4 ,
x2, 2 = 3,8
Тогда x1,1 = 39 − 9 ⋅ 4 = 3 ,
x1, 2 = 39 − 9 ⋅ 3,8 = 4,8 .
Из полученных пар решений выбираем ту, где x1 < x2 , т.е. x1 = 3 , x2 = 4 .
Закон распределения принимает вид:
X
3
4
p
0,1
0,9
60
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Задания для самостоятельного решения:
1.1.
В ящике лежат 10 изделий, одно из них бракованное. Из ящика
вынимают изделия одно за другим до тех пор пока не будет вынуто наугад
бракованное. Составить закон распределения случайной величины X - числа
вынутых изделий. Найти F (x) и построить ее графически. Вычислить M (X ) ,
D( X ) , σ ( X ) . Построить график распределения.
1.2.
Вероятность того, что телевизор не потребует ремонта в течение
гарантийного срока, равна 0,8. Со склада отпущено 6 телевизоров. Требуется:
1) составить закон распределения случайной величины
- числа
X
телевизоров, которые потребуют гарантийного ремонта; 2) построить график
распределения; 3) вычислить M (X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 4) найти F (x) и построить
ее график.
1.3.
Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,9. Из партии
контролер берёт деталь и проверяет её качество. Если она оказывается
нестандартной,
дальнейшие
испытания
прекращаются,
а
партия
задерживается. Если деталь окажется стандартной, то контролер берет
следующую и т.д. Но всего он проверяет не более 5 деталей. Требуется:
1)составить
закон
распределения
случайной
величины
X
-
числа
проверенных деталей; 2) построить график распределения; 3) вычислить
M (X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 4) найти F (x) и построить её график.
1.4.
Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа
первый станок не потребует регулировки – 0,9, второй – 0,98, третий – 0,75,
четвертый – 0,7. Требуется: 1) составить закон распределения числа станков,
которые в течение часа не потребуют регулировки; 2) построить график
распределения; 3) вычислить M (X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 4) найти F (x) и построить
её график.
1.5.
Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задает ему 5
вопросов. Пятерка ставится за 5 правильных ответов, четверка за четыре из
5, и т.д. Требуется: 1)составить закон распределения случайной величины X
61
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
- оценки студента; 2) построить график распределения; 3) вычислить M (X ) ,
D( X ) , σ ( X ) ; 4) найти F (x) и построить её график.
1.6.
В некотором цехе брак составляет 5% всех изделий. Наудачу взяты
четыре изделия. Требуется: 1) составить закон распределения случайной
величины X - числа бракованных изделий среди четырех; 2) построить
график распределения; 3) вычислить M (X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 4) найти функцию
распределения F (x) и построить её график.
1.7.
В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны
четыре детали. Требуется: 1)составить закон распределения случайной
величины X - числа стандартных среди отобранных; 2) построить график
распределения; 3) вычислить M (X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 4) найти функцию
распределения F (x) и построить её график.
1.8.
В коробке лежат 10 темных и 5 светлых галстуков. Продавец отобрал 3
галстука. Требуется: 1) составить закон распределения случайной величины
X - числа светлых галстуков среди трех отобранных. 2) построить график
распределения; 3) вычислить M (X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 4) найти функцию
распределения F (x) и построить её график.
1.9.
этого
На базе хранятся 10 холодильников, среди которых 2 бракованных. Из
числа
холодильников
в
магазин
привезли
5
холодильников.
Требуется:1) составить закон распределения случайной величины X - числа
годных холодильников среди привезённых в магазин; 2) построить график
распределения; 3) вычислить M (X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 4) найти функцию
распределения F (x) и построить её график.
1.10. Стрелок ведет стрельбу по цели. Вероятность попадания при одном
выстреле равна 0,7, при этом за каждое попадание стрелок получает 8 очков.
Сделано три выстрела. Требуется: 1) составить закон распределения
случайной величины X - числа очков полученных стрелком за три выстрела;
2) построить график распределения; 3) вычислить M (X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 4)
найти функцию распределения F (x) и построить её график.
62
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
1.11. В лотерее на каждые 100 билетов приходится один выигрыш в 1000
сомов, два выигрыша по 100 сомов и десять выигрышей по 10 сомов. Билет
стоит 20 сомов. Требуется: 1)составить закон распределения случайной
величины Х – величины выигрыша на один билет; 2) построить график
распределения; 3) вычислить M (X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 4) найти функцию
распределения F (x) и построить её график.
1.12. Известно, что на некоторой фирме 10 сотрудников получают за одну
неделю по 45 долларов, 25 сотрудников по 55, 40 по 65, 50 по 75, 50 по 85 и
25 по 100 долларов. Требуется: 1) составить закон распределения случайной
величины X - зарплаты сотрудников; 2) построить график распределения; 3)
вычислить M (X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 4) найти функцию распределения F (x) и
построить её график.
1.13. Среди 20 приборов имеется 6 неточных. Наудачу берется 4 прибора.
Требуется: 1) составить закон распределения случайной величины Х - числа
точных приборов среди отобранных; 2) построить график распределения; 3)
вычислить M (X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 4) найти функцию распределения F (x) и
построить её график.
1.14. Среди поступивших в ремонт 10 часов 6 штук нуждаются в общей
чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая
найти часы, нуждающиеся в общей чистке механизма, рассматривает их
поочередно, и, найдя такие, прекращает дальнейший осмотр. Требуется: 1)
составить закон распределения случайной величины
X
- количества
просмотренных часов; 2) построить график распределения; 3) вычислить
M (X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 4) найти функцию распределения F (x) и построить её
график.
1.15. Вероятность попадания в цель для стрелка, делающего четыре
выстрела, равна 0,3. За каждое попадание стрелок получает пять очков, а за
каждый промах у него вычитают два очка. Требуется: 1) составить закон
распределения случайной величины Х – числа очков, полученных стрелком
63
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
за 4 выстрела; 2) построить график распределения; 3) вычислить M (X ) ,
D( X ) , σ ( X ) ; 4) найти функцию распределения F (x) и построить её график.
1.16. В партии, насчитывающей 50 изделий имеется шесть бракованных.
Случайно из неё отобрали три изделия. Требуется: 1) составить закон
распределения случайной величины X - числа бракованных изделий; 2)
построить график распределения; 3) вычислить M (X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 4)
найти функцию распределения F (x) и построить её график.
1.17. А.А. Марков при статистическом исследовании языка «Евгения
Онегина» установил, что частость гласных букв составляет 0,45. Кроме того,
вероятность, что после гласной будет следовать гласная, составляет 0,128, а
вероятность, что после гласной будет следовать согласная 0,872. Требуется:
1) составить закон распределения случайной величины Х – числа гласных
букв среди двух последовательно расположенных букв; 2) построить график
распределения; 3) вычислить M (X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 4) найти функцию
распределения F (x) и построить её график.
1.18. Некто решил играть в кости до первого выигрыша, но не более пяти
раз, на следующих условиях: если выпадет шестерка, он получает 5
долларов, а если другое число он платит один доллар. Требуется: 1)
составить закон распределения случайной величины Х – суммарного
выигрыша; 2) построить график распределения; 3) вычислить M (X ) , D( X ) ,
σ ( X ) ; 4) найти функцию распределения F (x) и построить её график.
1.19. На пути движения автомобиля пять светофоров, каждый из которых
разрешает или запрещает проезд с вероятностью 0,5. Требуется: 1) составить
закон
распределения
случайной
величины
Х
–
числа
светофоров,
пройденных автомобилем до первой остановки; 2) построить график
распределения; 3) вычислить M (X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 4) найти функцию
распределения F (x) и построить её график.
1.20. Два стрелка стреляют по одной мишени, делая независимо друг от
друга по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого
64
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
стрелка равна 0,5, для второго – 0,6. Требуется: 1) составить закон
распределения случайной величины Х – общего числа попаданий; 2)
построить график распределения; 3) вычислить M (X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 4)
найти функцию распределения F (x) и построить её график.
1.21. Из урны содержащей пять белых и три черных шара последовательно
без возвращения извлекают шары до тех пор, пока не появится белый шар.
Требуется: 1) составить закон распределения случайной величины Х – числа
извлеченных шаров; 2) построить график распределения; 3) вычислить
M (X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 4) найти функцию распределения F (x) и построить её
график.
1.22. Вероятность выдержать испытание для прибора равна 0,3. Производят
последовательные испытания пяти приборов на надежность. Каждый
следующий прибор испытывают, если предыдущий оказался надежным.
Требуется: составить закон распределения случайной величины Х – числа
испытанных приборов; 2) построить график распределения; 3) вычислить
M (X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 4) найти функцию распределения F (x) и построить её
график.
1.23. Вероятность баскетболисту забросить мяч в корзину равна 0,6. Сделано
два броска. Требуется: 1) составить закон распределения случайной
величины Х – числа попаданий мяча в корзину; 2) построить график
распределения; 3) вычислить M (X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 4) найти функцию
распределения F (x) и построить её график.
1.24. Три одинаковые электрические лампочки временно выворачивают из
патронов и кладут в ящик. Затем их случайным образом вынимают из него и
вворачивают в патроны. Требуется: 1) составить закон распределения
случайной величины Х – числа лампочек, попавших в те же патроны, из
которых они были вывернуты; 2) построить график распределения; 3)
вычислить M (X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 4) найти функцию распределения F (x) и
построить её график.
65
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
1.25. В связке из шести ключей один подходит к замку. Ключ после
опробования не возвращается в связку. Составить закон распределения
случайной величины Х – числа опробованных ключей. Вычислить M (X ) ,
D( X ) , σ ( X ) .
В задачах 2.1.-2.25. задана случайная величина Х, которая может принимать
только два значения
x1 и x2 ( x1 < x2 ). Значение X = x1 принимается с
вероятностью p1 . Известны математическое ожидание M (X ) и дисперсия
D( X ) . Составить закон распределения случайной величины Х.
2.1. p1 = 0,4 ; M ( X ) = 3,2 ; D ( X ) = 0,96 .
2.2. p1 = 0,3 ; M ( X ) = 3,7 ; D ( X ) = 0,21
2.3. p1 = 0,5 ; M ( X ) = 3,5 ; D( X ) = 0,25
2.4. p1 = 0,7 ; M ( X ) = 3,3 ; D ( X ) = 0,21
2.5. p1 = 0,9 ; M ( X ) = 3,1 ; D ( X ) = 0,09
2.6. p1 = 0,9 ; M ( X ) = 2,2 ; D ( X ) = 0,36
2.7. p1 = 0,8 ; M ( X ) = 3,2 ; D( X ) = 0,16
2.8. p1 = 0,6 ; M ( X ) = 3,4 ; D( X ) = 0,24
2.9. p1 = 0,4 ; M ( X ) = 3,6 ; D( X ) = 0,24
2.10. p1 = 0,2 ; M ( X ) = 3,8 ; D( X ) = 0,16
2.11. p1 = 0,4 ; M ( X ) = 3,6 ; D( X ) = 0,24
2.12. p1 = 0,5 ; M ( X ) = 3,5 ; D( X ) = 0,25
2.13. p1 = 0,3 ; M ( X ) = 4,7 ; D ( X ) = 0,21
2.14. p1 = 0,5 ; M ( X ) = 4 ; D( X ) = 4
2.15. p1 = 0,1 ; M ( X ) = 5,5 ; D( X ) = 2,25
2.16. p1 = 0,2 ; M ( X ) = 5,8 ; D ( X ) = 5,76
2.17. p1 = 0,3 ; M ( X ) = 6,6 ; D ( X ) = 13,44
2.18. p1 = 0,4 ; M ( X ) = 4,4 ; D( X ) = 3,84
66
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
2.19. p1 = 0,6 ; M ( X ) = 4 ; D( X ) = 6
2.20. p1 = 0,7 ; M ( X ) = 3,8 ; D ( X ) = 7,56
2.21. p1 = 0,8 ; M ( X ) = 3,4 ; D ( X ) = 7,84
2.22. p1 = 0,9 ; M ( X ) = 2,8 ; D ( X ) = 5,76
2.23. p1 = 0,1 ; M ( X ) = 0,6 ; D( X ) = 1,64
2.24. p1 = 0,7 ; M ( X ) = 1,3 ; D ( X ) = 0,21
2.25. p1 = 0,5 ; M ( X ) = 2,5 ; D( X ) = 0,25
Непрерывные случайные величины
Закон
распределения
непрерывной
случайной
величины
задать
таблично не удается. В этом случае прибегают к аналитическому заданию.
Задают функцию распределения F ( x) = P( X < x) или функцию плотности
вероятности f ( x) = F ′( x) . В общем виде:
⎧ 0,
⎪
F ( x) = ⎨ϕ ( x),
⎪ 1,
⎩
x≤a
a< x≤b
x>b
или
0,
⎧
⎪
f ( x) = ⎨ F ′( x),
⎪
0,
⎩
x≤a
a< x≤b
x>b
Функция распределения F (x) по известной функции плотности
вероятности f (x) находится по формуле:
F ( x) =
x
∫ f (t )dt
(1)
−∞
Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины
вычисляют по формулам:
+∞
M ( X ) = ∫ x ⋅ f ( x)dx ,
(2)
−∞
+∞
M ( X ) = ∫ x 2 ⋅ f ( x)dx ,
(3)
D( X ) = M ( X 2 ) − M 2 ( X ) ,
(4)
2
−∞
67
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
σ ( X ) = D( X ) ,
(5)
где x ∈ (−∞;+∞) .
Вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной
величины принимается равной нулю. Поэтому находят вероятность
попадания непрерывной случайной величины в интервал
(α ; β )
по
формулам:
P(α < X < β ) = F (β ) − F (α )
(6)
β
или P(α < X < β ) = ∫ f ( x)dx
(7)
α
Выбор формулы зависит от того, какая функция известна. Следует
помнить, что
+∞
− ∞ < X < +∞
∫ f ( x)dx = 1 ,
(8)
−∞
Если плотность вероятности постоянна
f ( x) = C ,
a < x < b , то
величину Х называют равномерно распределенной на интервале ( a; b) . В
этом случае
C=
1
b−a
0,
⎧
⎪ 1
f ( x) = ⎨
,
b
−
a
⎪
0,
⎩
(9)
x≤a
a< x≤b
(10),
x>b
a+b
M (X ) =
2
(12),
0,
⎧
⎪x − a
F ( x) = ⎨
,
b
a
−
⎪
1,
⎩
x≤a
a< x≤b
(11)
x>b
2
(
b − a)
D( X ) =
(13)
12
Если функция плотности вероятности f (x) задается формулой:
f ( x) =
1
b 2π
e
−
( x − a )2
2b 2
,
где a = M ( X ), b = σ ( X ), b 2 = σ 2 ( X ) = D( X ) ,
(14)
(15)
случайную величину называют нормально распределенной.
68
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Для нормальной случайной величины
⎛β −a⎞
⎛α − a ⎞
P(α < X < β ) = F ⎜
⎟ − F⎜
⎟,
σ
σ
⎝
⎠
⎝
⎠
(16)
t2
1 x −2
где значения функции Ф( x) =
∫ e dt берут из таблиц.
2π 0
Вероятность отклонения отдельных значений нормальной случайной
величины от математического ожидания по модулю не более чем на ε ,
вычисляют по формуле
⎛ε ⎞
P ( X − M ( X ) ≤ ε ) = 2Ф⎜ ⎟
⎝σ ⎠
(17)
Следует помнить, что Ф(− x) = −Ф( x)
Ф( x) = 0,5 ,
Пример
1.
Непрерывная
x > 5.
случайная
величина
задана
законом
распределения:
⎧
⎪
0,
⎪⎪
F ( x) = ⎨2 sin x,
⎪
⎪
1,
⎪⎩
x≤0
0< x≤
x>
π
π
6
6
Требуется: 1) найти f (x) ; 2) вычислить M ( X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 3)
построить графики f (x) , F (x) .
Решение: 1. f ( x) = F ′( x) . Следовательно:
⎧
⎪
0,
⎪⎪
f ( x) = ⎨2 cos x,
⎪
⎪
0,
⎪⎩
2.
x≤0
0< x≤
x>
π
π
6
.
6
Вычислим
69
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
u = 2x
π
6
6
π
dv = cos xdx
M ( X ) = ∫ x ⋅ 2 cos xdx =
= 2 x ⋅ sin x 06 − 2 ∫ sin xdx =
du = 2dx
0
0
v = sin x
π
π
⎛ 3 ⎞ π
π
π
π 1 ⎛ π
⎞ π
− 1⎟⎟ = + 3 − 2
= 2 sin + 2 cos x 06 = 2 ⋅ + 2⎜ cos − cos 0 ⎟ = + 2⎜⎜
6
6
6 2 ⎝
6
2
⎠ 6
⎝
⎠ 6
π
6
M ( X 2 ) = ∫ x 2 ⋅ 2 cos xdx =
0
u = 2x2
dv = cos xdx
du = 4 xdx
v = sin x
π
π
6
= 2 x 2 ⋅ sin x 6 − ∫ 4 x sin xdx =
0
0
u = 4x
π
⎛
⎞
6
π
dv = sin xdx
⎟
π
π ⎜
=
= 2 sin − ⎜ − 4 x cos x 06 + 4 ∫ cos xdx ⎟ =
du = 4dx
36
6 ⎜
0
⎟
⎝
⎠
v = − cos x
2
=
π2
36
+4
π
6
cos
π
6
π
− 4sin x 06 =
π2
36
+
3
− 4 sin
π
6
=
π2
36
+
π 3
3
−2
2
⎞
⎛π
D( X ) = M ( X ) − M ( X ) =
+
− 2 − ⎜ + 3 − 2 ⎟ ≈ 0,02
36
3
⎠
⎝6
2
2
π2
π 3
π 3
Вычислим σ ( X ) = 0,02 ≈ 0,14 .
Построим графики:
y
y
F(x)
1
0
f(x)
2
π
6
х
0
π
х
6
70
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Пример 2. Случайная величина задана законом распределения:
x ≤1
0,
⎧
⎪
F ( x) = ⎨α (x 2 − x ), 1 < x ≤ 2
⎪
x>2
1,
⎩
Требуется: 1) найти параметр α ;
2) вычислить вероятность событий 1 < X < 1,5 ,
1,5 < X < 2,5 .
Решение:
1)
Параметр α найдем из свойства функции плотности вероятности:
+∞
∫ f ( x)dx = 1
−∞
Найдем f ( x) = F ′( x)
0,
x ≤1
⎧
⎪
f ( x) = ⎨α (2 x − 1), 1 < x ≤ 2
⎪
0,
x>2
⎩
1 (2 x − 1)
Вычислим: ∫ α (2 x − 1)dx = α ⋅ ⋅
2
2
1
2 2
2
=
α
1
4
⋅ (9 − 1) =
α
4
⋅ 8 = 2α .
1
Приравняем: 2α = 1 , α = .
2
Функции F (x) , f (x) принимают вид:
x ≤1
0,
⎧
⎪1
F ( x) = ⎨ (x 2 − x ), 1 < x ≤ 2
⎪2
x>2
1,
⎩
2)
0,
x ≤1
⎧
⎪1
f ( x) = ⎨ (2 x − 1), 1 < x ≤ 2
⎪2
0,
x>2
⎩
Вычислим вероятность события:
P (1 < X < 1,5) = F (1,5) − F (1) = 0,375
Найдем F (1,5) =
1 2
1
(
x − x)
= (1,5 2 − 1,5) = 0,375 ,
x =1, 5
2
2
F (1) = 0 .
Эту же вероятность вычислим по формуле:
71
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
1
1 (2 x − 1)
P(1 < X < 1,5) = ∫ (2 x − 1)dx = ⋅
4
2
1 2
2 1, 5
1, 5
=
1
(
)
1
(2 ⋅ 1,5 − 1)2 − (2 ⋅ 1 − 1)2 = 0,375
8
- ответы совпали.
Теперь вычислим вероятность события
P (1,5 < X < 2,5) = F (2,5) − F (1,5) = 1 − 0,375 = 0,625 ,
F ( 2,5) = 1 , F (1,5) = 0,375 .
Эту же вероятность вычислим по формуле
2,5
1 (2 x − 1)
1
P(1 < X < 1,5) = ∫ f ( x)dx = ∫ (2 x − 1)dx + ∫ 0dx = ⋅
4
2
1, 5
1, 5 2
2
2,5
=
(
2 2
2
=
1, 5
)
1
(2 ⋅ 2 − 1)2 − (2 ⋅ 2 − 1)2 = 1 (9 − 4) = 5 = 0,625.
8
8
8
Пример 3. Непрерывная случайная величина распределена по закону:
0,
x≤0
⎧
⎪⎪ 2 ⎛
x⎞
f ( x) = ⎨ ⎜1 − ⎟, 0 < x ≤ α
⎪α ⎝ α ⎠
⎪⎩
0,
x >α
Найти функцию распределения F (x) .
Решение:
Функцию F (x) найдем по формуле (1)
x
t⎞
t2 ⎞
x2 ⎞ x ⎛
x⎞
2⎛
2⎛
2⎛
⎟⎟ = ⎜⎜ x − ⎟⎟ = ⎜ 2 − ⎟ , тогда:
F ( x) = ∫ ⎜1 − ⎟dt = ⎜⎜ t −
α⎠
α ⎝ 2α ⎠ 0 α ⎝
α ⎠ α⎝ α⎠
0α ⎝
x
0,
x≤0
⎧
⎪⎪ x ⎛
x⎞
F ( x) = ⎨ ⎜ 2 − ⎟, 0 < x ≤ α
α⎠
⎪α ⎝
⎪⎩
1,
x >α
Пример 4.
Непрерывная случайная величина распределена равномерно в интервале
(− 2;6) . Требуется: 1) найти функции
F (x) , f (x) ; 2) Вычислить M (x) , D(x) ,
σ (x) . Вычислить вероятность события 2 < X < 3 .
72
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Решение:
Х
–
случайная
величина
следовательно f ( x) = C =
распределенная
равномерно
на
(− 2;6) ,
1
1
1
= .
=
b−a 6+2 8
x ≤ −2
⎧ 0,
⎪1
f ( x) = ⎨ , − 2 < x ≤ 6
⎪8
x>6
⎩ 0,
0,
⎧
⎪x + 2
,
Функция распределения F ( x) = ⎨
8
⎪
1,
⎩
Вычислим M ( X ) =
σ (X ) =
− 2 < x ≤ 6.
x>6
a+b 6−2
=
= 2,
2
2
2
2
(
(
b − a)
6 + 2)
D( X ) =
=
12
x ≤ −2
12
=
64 16
=
12 3
16
4 4 3
.
=
=
3
3
3
3
3
1
1
1
Вероятность P(2 < X < 3) = ∫ dx = x = .
8 2 8
28
Пример 5. Рост взрослых мужчин является нормальной случайной
величиной Х с математическим ожиданием M ( X ) = 175 см и σ 2 ( X ) = 36 .
Найти вероятность того, что рост трех наудачу взятых мужчин будет в
пределах от 170 см до 180 см. Написать функцию плотности вероятности
f (x) .
Решение:
Функция f (x) имеет вид: f ( x) =
1
6 2π
( x −175)2
−
e 72 .
Введем события: А – рост троих мужчин в пределах от 170 см до 180 см.
A1 - рост первого от 170 см до 180;
73
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
A2 - рост второго от 170 см до 180;
A3 - рост третьего от 170 см до 180.
A = A1 ⋅ A2 ⋅ A3 - по теореме умножения для независимых событий.
P( A) = P( A1 ) ⋅ P( A2 ) ⋅ P( A3 ) = (0,5934 ) ≈ 0,21
3
Вычислим
⎛ 180 − 175 ⎞
⎛ −5⎞
⎛5⎞
⎛ 170 − 175 ⎞
P( A1 ) = P(170 < X < 180 ) = Ф⎜
⎟ − Ф⎜
⎟=
⎟ = Ф⎜ ⎟ − Ф⎜
6
6
⎠
⎝
⎝ 6 ⎠
⎠
⎝6⎠
⎝
т.к.
⎛5⎞
= 2Ф⎜ ⎟ = 2Ф(0,83) = 2 ⋅ 0,2967 = 0,5934
⎝6⎠
Ф(0,83) = 0,2967 - взято из таблиц.
P ( A1 ) = P ( A2 ) = P ( A3 ) = 0,5934 .
Пример 6. Размер диаметра втулок, изготовленных на заводе, можно считать
нормально распределенной случайной величиной с
M ( X ) = 2,5 см и
σ ( X ) = 0,01 см. Втулки считаются годными, если их размер находится в
пределах 2,5 ± 0,02 . Какой процент изготовленных втулок, являются браком?
В каких границах можно гарантировать размер диаметра втулок с
вероятностью 0,9973?
Решение:
1.
Найдем процент втулок с браком.
Дано: M ( X ) = 2,5 см , σ ( X ) = 0,01 , ε = 0,02 . P( X − 2,5 > 0,02 ) − ?
Втулка будет негодной, если X − 2,5 ≥ 0,02 , где Х – случайная величина, размер диаметра втулки.
Вначале
вычислим
вероятность
⎛ 0,02 ⎞
P( X − 2,5 ≤ 0,02) = 2Ф⎜
⎟ = 2Ф(2) = 2 ⋅ 0,4772 = 0,9544 .
0
,
01
⎠
⎝
Тогда P( X − 2,5 > 0,02) = 1 − 0,9544 = 0,0456 .
Следовательно, 4,56% ≈ 5% - втулок бракованных.
74
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Найдем границы ( ε ) размера диаметра втулок, которые можно
2.
гарантировать с вероятностью 0,9973.
⎛ ε ⎞
P( X − 2,5 ≤ ε ) = 0,9973 , с другой стороны P( X − 2,5 ≤ ε ) = 2Ф⎜
⎟.
⎝ 0,01 ⎠
⎛ ε ⎞
⎛ ε ⎞ 0,9973
= 0,49865 .
Следовательно: 2Ф⎜
⎟ = 0,9973 , Ф⎜
⎟=
2
⎝ 0,01 ⎠
⎝ 0,01 ⎠
Из таблицы находим:
ε
0,01
= 3,
ε = 3 ⋅ 0,01 = 0,03 .
Границы размера диаметра (2,5 − 0,03;2,5 + 0,03) или (2,47;2,53)
Задания для самостоятельного решения:
3.1. Непрерывная случайная величина задана законом распределения
f ( x) =
a
, − ∞ ≤ x < ∞ . Найти: 1) параметр a ; 2) функцию распределения
e + ex
−x
F(x); 3) вероятность того, что в двух независимых опытах X примет значение
меньшее единицы.
3.2. Случайная величина X задана законом распределения
2
⎧
0, x ≤
⎪
3
⎪⎪ 2
2
F ( x ) = ⎨3 x − 2 x, < x ≤ 1
3
⎪
x
1
,
>1
⎪
⎪⎩
Требуется: 1) найти функцию f (x) 2) вероятность того, что в двух опытах
величина примет значение из интервала (0,7;0,8) ; 3) построить графики F(x) и
f (x ) .
3.3. Случайная величина задана законом распределения
0, x ≤ 0
⎧
⎪
F ( x) = ⎨a (1 − cos x), 0 < x ≤ π
⎪
1, x > π
⎩
75
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Требуется: 1) найти параметр a ; 2) найти
f (x ) ; 3) вычислить вероятность
того, что случайная величина примет значение большее 5π 6 ; 4) построить
графики F(x) и f (x) .
3.4. Случайная величина задана законом распределения:
x≤0
⎧ 0,
2
⎪
f ( x) = ⎨ x − x 2
.
2σ
≥
e
,
x
0
⎪⎩σ 2
Требуется: 1) Найти функцию F (x) ; 2) вычислить вероятность того, что в
трех испытаниях величина Х примет значение из интервала (0; 1).
3.5. Случайная величина задана законом распределения
0, x ≤ 2
⎧
⎪
3
F ( x ) = ⎨a ( x − 2 ) , 2 < x ≤ 3
⎪
1, x > 3
⎩
Требуется: 1) найти параметр a ; 2) найти функцию f (x) ; 3) вычислить
вероятность того, что величина X
примет значение большее 5 2 ; 4)
построить графики F(x) и f (x) .
3.6. Случайная величина распределена по закону:
0, x ≤ 1
⎧
⎪ 2
F ( x ) = ⎨ a x − x ,1 < x ≤ 2
⎪
1, x > 2
⎩
(
)
Требуется: 1) найти параметр a ; 2) найти
функцию f (x) ; 3) вычислить
вероятность того, что в двух испытаниях хотя бы раз величина
примет
значение из интервала (1,5; 2,0) ; 4) построить графики F(x) и f (x) .
3.7. Случайная величина задана законом распределения
0, x < 0
⎧
⎪
F ( x ) = ⎨a 4 x − x 2 , 0 ≤ x ≤ 2
⎪
1, x > 2
⎩
(
)
Требуется: 1) найти параметр a ; 2) найти функцию f (x) ; 3) вычислить
вероятность того, что величина в результате испытания примет значение
меньшее 1; 4) построить графики F(x) и f (x) .
76
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
3.8. Непрерывная случайная величина распределена по показательному
закону распределения:
⎧ 0, x < 0
.
f ( x) = ⎨ −5 x
⎩5e , x ≥ 0
Требуется: 1) найти функцию F (x) ; 2) вычислить вероятность того, что в
двух испытаниях величина примет значение меньшее 1; 3) построить
графики F(x) и f (x) .
3.9. Непрерывная случайная величина X распределена по закону:
⎧ 0, x ≤ 0
⎪
F ( x) = ⎨ax 5 , 0 < x ≤ 2
⎪ 1, x > 2
⎩
Требуется: 1) найти параметр a ; 2) найти функцию f (x) ; 3) вычислить
вероятность того, что величина в результате испытания примет значение
большее 1,5.
3.10. Непрерывная случайная величина задана законом распределения
π
⎧
2
⎪a cos x, x ≤ 2
f ( x) = ⎨
π
⎪ 0, x >
⎩
2
Требуется: 1) найти параметр a ; 2) найти функцию F (x) ; 3) вычислить
вероятность того, что в двух независимых испытаниях случайная величина
примет значение больше чем π 4 .
3.11. Случайная величина задана законом распределения
⎧
0, x ≤ 0
⎪
⎪⎪
3
F ( x) = ⎨a (3 x − x 2 ), 0 < x ≤
2
⎪
3
⎪
1, x >
⎪⎩
2
Требуется: 1) найти параметр a ; 2) найти функцию f (x) ; 3) вычислить
вероятность того, что после испытания величина примет значение большее 1.
77
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
3.12. Случайная величина Х задана законом распределения f ( x) =
a
,
1 + x2
− ∞ < x < +∞ . Требуется: 1) найти параметр a ; 2) найти функцию F (x) ; 3)
вычислить вероятность того, что Х примет значение большее
3.
3.13. Непрерывная случайная величина задана законом распределения:
⎧
⎪
0,
⎪⎪
F ( x) = ⎨a sin x,
⎪
⎪
1,
⎪⎩
x≤0
0< x≤
x>
π
π
6
6
Требуется:1) найти параметр a ; 2) найти функцию f (x) ; 3) вычислить
вероятность того, что в результате опыта величина примет значение меньшее
π
12
.
3.14. Случайная величина задана законом распределения
0, x ≤ 2
⎧
⎪ 2
F ( x ) = ⎨a (x − 2 x ), 2 < x ≤ 4
⎪
1, x > 4
⎩
Требуется: 1) найти параметр a ; 2) найти функцию f (x) ; 3) вычислить
вероятность того, что в двух опытах величина Х примет значение большее 3;
4) построить графики F(x) и f (x) .
3.15. Непрерывная случайная величина задана законом распределения:
⎧
0,
x ≤ −3
⎪⎪ a
, −3< x <3
f ( x) = ⎨
2
9
−
x
⎪
⎪⎩
0,
x≥3
Требуется:1) найти параметр a ; 2) найти функцию F (x) ; 3) вычислить
вероятность того, что величина примет значение большее
3
.
2
3.16. Случайная величина задана законом распределения
78
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
0, x ≤ 0
⎧
⎪
f ( x ) = ⎨a (3 x − x 2 ), 0 < x ≤ 3
⎪
0, x > 3
⎩
Требуется:1) найти параметр a ; 2) найти функцию F (x) ; 3) вычислить
вероятность того, что
в трех испытаниях величина примет значение из
интервала (1;2 ) .
3.17. Случайная величина Х задана законом распределения:
1
⎧
, −3< x <3
⎪
f ( x ) = ⎨π 1 − x 2
⎪⎩ 0, x ≤ −3, x ≥ 3
Требуется: 1) найти функцию F (x) ; 3) вычислить вероятность того, что
X < 1 или X > 2 .
3.18. Случайная величина задана законом распределения:
⎧ 0,
⎪ x −1
F ( x) = ⎨
,
2
⎪
⎩ 1,
x ≤1
1< x ≤ 3
x>3
Требуется: 1) найти функцию f (x) ; 2) вычислить вероятность того, что при
двух испытаниях величина хотя бы раз
примет значение из интервала
(2; 2,5) ; 3) построить графики F(x) и f (x) .
3.19. Случайная величина задана законом распределения:
0, x < 0
⎧
⎪1
F ( x) = ⎨ (1 − cos x ), 0 ≤ x ≤ π
⎪2
1, x > π
⎩
Требуется: 1) найти
π
6
<X<
π
3
функцию f (x) ; 2) вычислить вероятность события
; 3) построить графики F(x) и f (x) .
3.20. Случайная величина задана законом распределения:
⎧a (4 x − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 2
f ( x) = ⎨
⎩ 0, x < 0, x > 2
79
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Требуется:1) найти параметр a ; 2) найти функцию F (x) ; 3) вычислить
вероятность события 0 < X < 1 ; 4) вычислить M ( X ), D( X ) .
3.21. Случайная величина задана законом распределения:
0, x < −1
⎧
⎪
F ( x) = ⎨a + b arcsin x, − 1 ≤ x ≤ 1
⎪
1, x > 1
⎩
Требуется: 1) найти параметры a и b;2) найти функцию f (x) ; 2) вычислить
вероятность события 0 < X <
1
.
2
3.22.Функция распределения случайного времени безотказной работы
радиоаппаратуры равна:
−
t
F (t ) = 1 − e T ,
0 < t < ∞ . Требуется: 1) найти
функцию f (t ) ; 2) вычислить вероятность безотказной работы аппаратуры в
течении времени Т.
3.23. Случайная величина задана законом распределения:
⎧ ax 2 , 0 ≤ x ≤ 2
f ( x) = ⎨
⎩0, x < 0, x > 2
Требуется: 1) найти параметр a ; 2) найти функцию F (x) ; 3) вычислить
вероятность события X < 1 ; 4) вычислить M ( X ), D( X ) , σ ( X ) .
3.24. Случайная величина задана законом распределения:
π
⎧
⎪a cos x, 0 ≤ x ≤ 2
f ( x) = ⎨
π
⎪ 0,
x < 0, x >
⎩
2
Требуется: 1) найти параметр a ; 2) найти функцию F (x) ;3) вычислить
вероятность того, что в двух испытаниях величина хотя бы раз попадет в
⎛π π ⎞
интервал ⎜ ; ⎟ .
⎝4 3⎠
3.25. Случайная величина задана законом распределения:
80
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
⎧ 0, x ≤ 0
⎪
F ( x ) = ⎨ax 3 , 0 < x ≤ 3
⎪ 1, x > 3
⎩
Требуется: 1) найти параметр a ; 2) найти функцию f (x) ;3) вычислить
вероятность того, что в двух опытах величина примет значение большее 2.
4.1. При каком значении параметра
C функция
x <1
⎧⎪0,
будет
f ( x ) = ⎨C
⎪⎩ x 4 , x ≥ 1
плотностью вероятности случайной величины X ? Вычислить M ( X ) , D( X ) ,
σ (X ).
4.2. Длительность жизненного цикла (в днях) для некоторого растения
является случайной величиной
X
с функцией плотности вероятности
x
⎧
, 0 ≤ x ≤ 200
⎪
f ( x) = ⎨ 20000
⎪⎩0 , x > 200, − 200 < x < 0
каковы средняя длительность и дисперсия длительности жизненного цикла
растения?
4.3.
Непрерывная
⎧0,
распределения: f ( x) = ⎪⎨ a
⎪⎩ x
случайная
величина
задана
законом
x <1
.
7 , x ≥1
Требуется: 1) Найти параметр a ; 2) Вычислить M ( X ) , D( X ) , σ ( X ) ;3)
вычислить вероятность события 0,5 < X < 3 .
4.4. Пригородные поезда данного маршрута идут с интервалом 5 минут.
Пассажир подходит к платформе в некоторый момент времени. Каково
среднее время ожидания поезда? Какова дисперсия времени ожидания
поезда? Какова вероятность появления пассажира не ранее, чем через минуту
после ухода предыдущего поезда, но не позднее, чем за две минуты до
прихода следующего поезда?
81
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
x <1
⎧⎪0,
4.5. Случайная величина задана законом распределения: f ( x) = ⎨ c
.
x
,
1
≥
9
⎪⎩ x
Требуется: 1) Найти параметр c ; 2) Вычислить M ( X ) , D( X ) , σ ( X ) ;3)
вычислить вероятность события 0,5 < X < 3 .
4.6. Случайная величина Х подчинена равномерному закону распределения
на интервале (1;3) . Требуется: 1) Найти параметр c ; 2) Вычислить M ( X ) ,
D( X ) , σ ( X ) ;3) найти функцию F (x) .
4.7. Непрерывная случайная величина задана законом распределения:
x <1
⎧⎪0,
f ( x) = ⎨ c
.
⎪⎩ x 8 , x ≥ 1
Требуется: 1) Найти параметр c ; 2) Вычислить M ( X ) , D( X ) , σ ( X ) ;3) )
найти функцию F (x) .
4.8. Автобусы идут строго по расписанию с интервалом в 10 минут. Считая,
что случайная величина Х – время ожидания автобуса, распределена
равномерно, найти функции F(x) и f (x) . Вычислить вероятность того, что
время ожидании превысит 3 минуты. Найти среднее время ожидания и
дисперсию времени ожидания автобуса.
4.9. Непрерывная случайная величина задана законом распределения:
x <1
⎧⎪0,
f ( x) = ⎨ c
.
x
≥
,
1
6
⎪⎩ x
Требуется: 1) Найти параметр c ; 2) Вычислить M ( X ) , D( X ) , σ ( X ) ;3)
вычислить вероятность события 0,5 ≤ X ≤ 3 .
4.10. Непрерывная случайная величина распределена
равномерно на
интервале (− 4;6) . Требуется: 1) найти функции F(x) и f (x) ; 2) Вычислить
M ( X ) , D( X ) , σ ( X ) ;3) построить графики функций F(x) и f (x) .
4.11. . Непрерывная случайная величина распределена по закону:
x <1
⎧⎪ 0,
f ( x) = ⎨ c
.
⎪⎩ x12 , x ≥ 1
82
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Требуется: 1) Найти параметр c ; 2) Вычислить M ( X ) , D( X ) , σ ( X ) ;3)
вычислить вероятность события 0,5 ≤ X ≤ 2 .
4.12. Непрерывная случайная величина задана законом распределения:
x<0
⎧ 0,
f ( x) = ⎨
− 0 , 04 x
,x≥0
⎩0,04e
Требуется: 1) найти функцию F(x); 2) Вычислить M ( X ) , D( X ) , σ ( X ) ;3)
построить графики функций F(x) и f (x) .
4.13. Непрерывная случайная величина распределена по закону:
x <1
⎧⎪ 0,
f ( x) = ⎨ c
.
,
≥
1
x
10
⎪⎩ x
Требуется: 1) Найти параметр c ; 2) Вычислить M ( X ) , D( X ) , σ ( X ) ;3)
вычислить вероятность события 0,5 < X < 5 .
4.14. Случайная величина Х имеет равномерное распределение с M ( X ) = 3 и
D( X ) =
4
. Найти функции F(x) и f (x) .
3
4.15. Непрерывная случайная величина распределена по закону:
x <1
⎧⎪0,
f ( x) = ⎨ c
.
⎪⎩ x 5 , x ≥ 1
Требуется: 1) Найти параметр c ; 2) Вычислить M ( X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 3)
вычислить вероятность события 0,5 < X < 4 .
4.16. Непрерывная случайная величина распределена
по закону прямоугольного треугольника на интервале
(0;1) .
Требуется: 1) найти функции F(x) и f (x) ; 2)
y
1
F(x
)
Вычислить M ( X ) , D( X ) , σ ( X ) .
0
1
х
4.17. . Непрерывная случайная величина распределена по закону:
x <1
⎧⎪ 0,
f ( x) = ⎨ c
.
⎪⎩ x 20 , x ≥ 1
83
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Требуется: 1) Найти параметр c ; 2) Вычислить M ( X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 3)
вычислить вероятность события 0,5 < X < 5 .
4.18. Функция распределения
случайной
y
f (x) ; 2) Вычислить
1
F(x)
величины задана графиком:
Требуется: 1) найти
M ( X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 3) построить график
f (x) .
0
3
7
х
4.19.Непрерывная случайная величина распределена по закону:
x <1
⎧⎪0,
f ( x) = ⎨ c
.
x
≥
,
1
11
⎪⎩ x
Требуется: 1) Найти параметр c ; 2) Вычислить M ( X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 3)
вычислить вероятность события 0,5 < X < 6 .
4.20. Точку бросают внутрь круга радиуса R. Вероятность ее попадания в
любую область, расположенную внутри круга, пропорциональна площади
этой области. Требуется: 1) найти функцию распределения случайной
величины Х – расстояния точки до центра круга; 2) найти функцию f (x) .
4.21. Непрерывная случайная величина распределена по закону:
x <1
⎧⎪0,
f ( x) = ⎨ c
.
⎪⎩ x13 , x ≥ 1
Требуется: 1) Найти параметр c ; 2) Вычислить M ( X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 3)
вычислить вероятность события 0,5 < X < 3 .
4.22. Непрерывная случайная величина распределена по закону:
x <1
⎧⎪ 0,
f ( x) = ⎨ c
.
⎪⎩ x14 , x ≥ 1
Требуется: 1) Найти параметр c ; 2) вычислить M ( X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 3)
вычислить вероятность события 0,5 < X < 4 .
84
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
4.23. Случайная величина Х имеет равномерное распределение с M ( X ) = 1 и
D( X ) = 3 . Требуется: 1) найти функции F(x) и f (x) ; 2) построить графики
F(x) и f (x) .
4.24. Точку бросают наудачу внутрь шара радиуса R. Вероятность ее
попадания в любую область, расположенную внутри шара, пропорциональна
объему этой области. Требуется: 1) найти функции F(x) и f (x) ; 2) вычислить
M ( X ) , D( X ) , σ ( X ) .
4.25. Непрерывная случайная величина задана законом распределения:
x <1
⎧⎪ 0,
f ( x) = ⎨ c
⎪⎩ x16 , x ≥ 1
Требуется: 1) Найти параметр c ; 2) вычислить M ( X ) , D( X ) , σ ( X ) ; 3)
вычислить вероятность события 0,5 < X < 5 .
5.1. На автомате изготовляются заклёпки. Диаметр их головок представляет
собой случайную величину, распределённую по нормальному закону с
параметрами M ( X ) = 2 мм, σ 2 = 0,01 мм2. Какие размеры диаметра головок
можно гарантировать с вероятность 0,95? Записать функцию f (x) .
5.2. При средней длине некоторой детали в 20 см. найдено, что отклонения,
превосходящие ± 0,5 см, встречаются в среднем 4 раза из 100 деталей.
Считая, что длина детали распределена по нормальному закону, определите
её стандартное отклонение σ ( X ) .
5.3. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со
средним квадратическим отклонением σ ( X ) = 20 мм и M ( X ) = 0 . Найти
вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы
одного не превзойдет по модулю 4 мм.
5.4. При весе некоторого изделия в 10 кг, найдено, что отклонение, по
абсолютной величине превосходящее 50 г, встречается в среднем 34 раза из
85
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
тысячи изделий. Считая, что вес изделия есть случайная величина Х,
распределенная по нормальному закону, найти ее среднее квадратическое
отклонение σ ( X ) .
5.5. Станок автомат изготавливает валики, причем контролируется их
диаметр Х, который имеет нормальный закон распределения с M ( X ) = 10
мм, σ = 0,1 мм. Найти интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут
заключены диаметры изготовленных валиков.
5.6. Для нормального распределения с параметрами a = 5 , σ = 2 требуется
определить: 1) значение плотности вероятности в точке x = 4 ; 2) вероятность
события 7 < X < 8 ; 3) вероятность того, что Х не отклонится за пределы 3σ .
5.7. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее
контролируемого размера от проектного не превосходит 10 мм. Случайные
отклонения подчинены нормальному закону с a = 0 , σ ( X ) = 5 мм. Сколько
процентов годных деталей изготавливает автомат?
5.8. Рост взрослых мужчин является нормальной случайной величиной,
имеющей M ( X ) = 175 см. и σ ( X ) = 6 см. Требуется: 1) написать функцию
плотности вероятности этой случайной величины; 2) вычислить вероятность
того, что хотя бы один из отобранных четырех мужчин, будет иметь рост от
170 см до 180 см.
5.9. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с
M ( X ) = 10 мм. И σ ( X ) = 5 мм. Найти длину интервала, симметричного
относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973
попадет Х в результате опыта.
5.10. Рост взрослых женщин является случайной величиной, распределенной
по нормальному закону с M ( X ) = 164 см. и σ ( X ) = 5,5 см. Найти вероятность
того, что рост двух наудачу взятых женщин будет не меньше 162 см. и не
больше 166 см.
5.11. Стрельба из орудия ведется вдоль определенного направления. Средняя
дальность полета 10000 м. Предполагая, что дальность полета есть случайная
86
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
величина Х, распределенная по нормальному закону с D( X ) = 1600 . Найти
какой процент выпускаемых снарядов дает перелет от 100 до 200 м.
5.12. Для замера напряжения используются специальные тензодатчики.
Определить
среднюю
стандартную
ошибку
тензодатчика,
если
он
систематических ошибок не дает , а случайные ошибки распределены по
нормальному закону, и с вероятностью 0,8 не выходят за пределы ± 0,2 мк.
5.13. Размер диаметра втулок является нормальной случайной величиной с
M ( X ) = 2,5 см. и σ ( X ) = 0,001. В каких границах можно гарантировать размер
диаметра втулок с вероятностью 0,9973?
5.14. Завод изготавливает шарики для подшипников. Номинальный диаметр
шариков 5 мм. Вследствие неточности изготовления шарика, фактически его
диаметр есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с
M ( X ) = 5 мм. и σ ( X ) = 0,05 мм. При контроле шарики бракуются, если их
диаметр отличается от номинального больше, чем на 0,1 мм. Определить
какой процент шариков будет отбраковываться?
5.15. Случайная величина Х подчинена нормальному закону с M ( X ) = 0 .
Вероятность попадания этой величины в интервал от -1 до 1 равна 0,5. Найти
среднее квадратическое отклонение этой случайной величины и записать
функцию f (x) .
5.16. Случайная величина Х – ошибка измерения некоторым прибором
распределена по нормальному закону с σ ( X ) = 3 мк. Систематическая
ошибка прибора отсутствует. M ( X ) = 0 . Найти вероятность того, что в трех
независимых измерениях ошибка хотя бы одного из них окажется в
интервале (0;2,4) .
5.17. Случайное отклонение Х размера детали от номинала распределено по
нормальному закону с M ( X ) = 0 и σ ( X ) = 5 мк. Каким должен быть допуск,
чтобы с вероятностью не более 0,0027 получилась деталь с контролируемым
размером вне поля допуска?
87
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
5.18. Детали, выпускаемые цехом, считаются высшего качества, если
отклонения их размера от номинала не превосходят по абсолютной величине
2,6 мм. Случайное отклонение размера детали от номинала подчиняется
нормальному закону со средним квадратическим отклонением равным 2 мм.
Систематические ошибки отсутствуют ( M ( X ) = 0 ). Определить среднее
число деталей высшего качества среди наудачу выбранных пяти деталей.
5.19. Какова вероятность того, что нормально распределенная случайная
величина со средним значением равным 1 и дисперсией равной 4, примет
значение меньшее 5, но больше 0. Составить функцию плотности
распределения вероятностей этой случайной величины.
5.20. Случайная величина Х распределена по нормальному закону со
средним значением равным 40 и дисперсией равной 200. Вычислить
вероятность попадания этой величины в интервал (30;80) . Написать функцию
f (x) .
5.21.
Плотность
вероятности
величины Х имеет вид f ( x) = ce
нормально
−
( x − 2 )2
18
распределенной
случайной
. Требуется: 1) найти σ ( X ) ; 2) найти
параметр с; 3) вычислить вероятность события X ∈ (2;5) .
5.22. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами
подчинены нормальному закону распределения со средним значением
равным 16 км и дисперсией равной 10000м2. Найти вероятность того, что
расстояние между этими пунктами 1) не менее 15,8 км; 2) не менее 15,75 км
но не более 16,3 км.
5.23. Считается, что отклонение длины изготовляемых деталей от стандарта,
является случайной величиной, распределенной по нормальному закону.
Стандартная длина равна 40 см, а стандартное отклонение 0,4см. Найти,
какую точность длины детали можно гарантировать с вероятностью 0,8?
Составить функцию плотности вероятности этой случайной величины.
88
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
5.24. Химический завод изготавливает серную кислоту номинальной
плотности 1,84 г
см3
. В результате статистических испытаний обнаружено,
что практически 99,9% всех выпускаемых реактивов имеют плотность в
интервале (1,82;1,86) . Найти вероятность того, что кислота удовлетворяет
стандарту, если для этого достаточно, чтобы ее плотность не отклонялась от
номинала более чем на 0,01 г
см 3
.
5.25. Из пункта О ведется стрельба из орудия вдоль прямой Ox. Дальность
полета снаряда есть случайная величина, распределенная по нормальному
закону со средним значением 1000м и средним квадратическим отклонением
50 м. Найти сколько процентов снарядов пролетят расстояние 1) меньшее
средней дальности; 2) большее средней дальности.
Закон больших чисел
Как
известно,
теория
вероятностей
изучает
закономерности,
проявляющиеся в массовой совокупности однородных явлений. Наличие
этих закономерностей связано именно с большим числом выполняемых
однородных опытов или с большим числом складывающихся случайных
воздействий, порождающих в своей совокупности случайную величину,
подчиненную
вполне определенному
закону. Свойство
устойчивости
массовых случайных явлений известно давно и сводится к следующему:
конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не
сказываются
на среднем результате массы таких явлений; случайные
отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном явлении, в массе
взаимно погашаются, нивелируются, выравниваются. Устойчивость средних
и представляет собой физическое содержание закона больших чисел. В узком
смысле слова под законом больших чисел понимают ряд математических
теорем и утверждений.
89
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
1.
Если
Методические указания к решению задач по ТВ
случайная
величина
Х
принимает
неотрицательные
значения и имеет математическое ожидание M ( X ) , то вероятность
принятия случайной величиной значения большего чем α > 0 меньше, чем
M ( X ) деленное на α :
P( X ≥ α ) ≤
(1)
α
P( X < α ) ≥ 1 −
Тогда
2.
M (X )
M (X )
(2)
α
Если случайная величина имеет математическое ожидание
M ( X ) и дисперсию D( X ) , то каково бы ни было положительное число
ε > 0 вероятность того, что случайная величина Х отклонится от
математического ожидания по модулю не более, чем на ε , не менее, чем
единица минус дисперсия деленная на ε 2
P( X − M ( X ) < ε ) ≥ 1 −
P( X − M ( X ) ≥ ε ) ≤
Тогда
D( X )
ε2
D( X )
(3)
(4)
ε2
Если случайная величина X есть среднее арифметическое n попарно
независимых случайных величин X i ,
i = 1, n , имеющих математические
ожидания M ( X i ) и дисперсии D ( X i ) i = 1, n , то
⎛
P⎜⎜
⎝
∑ X i − ∑ M ( X i ) < ε ⎞⎟ ≥ 1 − ∑ D( X i )
2 2
⎟
n
n
⎠
nε
(5)
С увеличением числа случайных величин ( n → ∞ ) вероятность,
стоящая в левой части (5) стремится к единице. Формулы (1)-(5) выражают
закон больших чисел в форме Чебышева. Более простой формой закона
больших чисел является теорема Бернулли, устанавливающая связь между
относительной частотой появления события
m
и его вероятностью при
n
неограниченном увеличении числа независимых опытов:
90
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
⎞
⎛m
− p ≤ ε ⎟ =1
⎠
⎝ n
P⎜
lim
n →∞
Вероятность отклонения относительной частоты появления события
от его вероятности по модулю не более чем на ε оценивается по формуле
pq
⎛m
⎞
P⎜ − p ≤ ε ⎟ ≥ 1 − 2 .
nε
⎝ n
⎠
Пример 1. Среднее число дождливых дней в году в данном пункте
равно 120. Какова вероятность того, что в этом пункте будет более 200
дождливых дней в году?
Решение:
Введем случайную величину Х – число дождливых дней в году.
По условию
M ( X ) = 120 , α = 200 . Надо оценить вероятность
P( X > 200 ) -?
Согласно формуле (1): P( X > 200) ≤
120
= 0,6 .
200
Следовательно P( X > 200) ≤ 0,6 .
Пример 2. Устройство состоит из 10 независимо работающих
элементов. Вероятность отказа каждого за время Т равна 0,05. Оценить
вероятность того, что абсолютная величина разности между числом
отказавших элементов и средним числом отказов за время Т окажется а)
менее двух; б) не менее двух.
Решение:
Число отказавших элементов за время Т есть случайная величина Х,
подчиненная биномиальному закону. Следовательно:
M ( X ) = np , D( X ) = npq .
M ( X ) = 10 ⋅ 0,05 = 0,5 , D( X ) = 10 ⋅ 0,05 ⋅ 0,95 = 0,475 ,
ε = 2 - по условию.
91
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
а) Требуется оценить вероятность P( X − M ( X ) ≤ 2) .
Согласно формуле (3) P( X − 0,5 ≤ 2) ≥ 1 −
0,475
= 0,88125
22
Имеем P( X − 0,5 ≤ 2) ≥ 0,88125
б) Вероятность P( X − 0,5 ≥ 2) ≤
0,475
= 0,11875 .
22
Имеем P( X − 0,5 ≥ 2 ) ≤ 0,11875 .
Пример 3. Сколько раз нужно измерить данную величину, истинное
значение которой равно а, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95 можно
было утверждать, что среднее арифметическое значение этих измерений
отличается от а по абсолютной величине меньше, чем на 2, если среднее
квадратическое отклонение каждого из измерений меньше 10?
Решение:
Результат каждого измерения есть случайная величина, обозначим ее
через X i , i = 1,2,...n . Требуется определить количество измерений, т.е.
число n , при котором
X 1 + X 2 + ... + X n
− a < 2.
n
Приняв в качестве истинного значения а среднее арифметическое
математических ожиданий случайной величины X i , имеем
∑
Xi
−
n
∑
M (X i)
< 2 . Согласно формуле (5), учитывая, что
n
D ( X i ) < 10 2 (по условию σ ( X i ) < 10 ) получаем
⎛
P⎜⎜
⎝
∑ Xi − ∑ M (Xi )
n
n
⎞
10 2
∑
< 2 ⎟⎟ ≥ 1 − 2 2 .
n 2
⎠
По условию вероятность не меньше, чем 0,95
25
25
n10 2
, ⇒ n≥
.
1 − 2 2 ≥ 0,95 , ⇒ 0,05 ≥
n
0,05
n 2
Решив это неравенство, получаем n ≥ 500 .
92
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Пример 4. Вероятность наступления события в каждом испытании
равна 0,4. Оценить вероятность того, что в 20000 испытаний отклонение
относительной частоты события от его вероятности по модулю не
превзойдет 0,01.
Решение:
Требуется оценить вероятность события
m
− p ≤ ε , где n = 20000 ,
n
p = 0,4 , q = 1 − 0,4 = 0,6 , ε = 0,01.
Согласно формуле (6)
0,4 ⋅ 0,6
0,24
⎞
⎛m
=
1
−
= 0,88 .
P⎜ − 0,4 ≤ 0,01⎟ ≥ 1 −
2
20000
⋅
0
,
01
2
n
⎠
⎝
⎞
⎛m
Имеем: P⎜ − 0,4 ≤ 0,01⎟ ≥ 0,88 .
⎠
⎝ n
Задания для самостоятельного решения:
6.1. Средний срок службы мотора 4 года. Оценить вероятность того, что
взятый случайно мотор прослужит более 15 лет.
6.2. В среднем из 100 деталей 20 не удовлетворяют стандарту. Оценить
вероятность того, что из случайно взятых 2500 деталей будет 1950 до 2050
стандартных.
6.3. В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того,
что за время Т лампа будет включена, равна 0,8. Оценить вероятность того,
что число включенных в данный момент ламп будет отличаться от среднего
числа включенных ламп по модулю а) не больше чем на 3; 2) не меньше чем
на 3.
6.4. Среднее число вызовов на АТС за оду минуту равно 20. Оценить
вероятность того, что в течении случайно выбранной минуты на АТС
поступят: а) более 30 вызовов б) менее 20 вызовов.
93
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
6.5. Сумма всех вкладов в некоторой сберегательной кассе составляет
200000$, а вероятность того, что случайно взятый вклад не превышает 1000
$, равна 0,8. Что можно сказать о числе вкладчиков этой сберегательной
кассы?
6.6. На поле прямоугольной формы посеяно 2000 рядов кукурузы. Для
определения средней урожайности собрали початки в каждом десятом ряду и
на основании этих данных вычислили выборочную среднюю урожайность.
Дисперсия урожайности на каждом обследованном участке не превышает 20.
Оценить вероятность того, что средняя урожайность на всем поле и
выборочная средняя урожайность будут отличаться по абсолютной величине
не более чем на 0,5 ц/га. Указание: средняя урожайность на всем поле
принимается равной математическому ожиданию выборочной средней
урожайности.
6.7. Известно, что в среднем 86% составляют стандартные детали. Оценить
вероятность того, что в результате проверки 1000 деталей относительная
частота нестандартных деталей отклонится от вероятности изготовления
нестандартной детали по абсолютной величине меньше чем на 0,04.
6.8. Среднее количество осадков выпадающих в данной местности равно 55
см. Оценить вероятность того, что в этой местности выпадет а) более 175 см
осадков; б) менее 120см.
6.9. Среднее суточное потребление электроэнергии в данной местности равно
20000квт/час, а среднее квадратическое отклонение равно 200квт/час. Какого
потребления электроэнергии можно ожидать в ближайшие сутки с
вероятностью не меньшей 0,96?
6.10. Электростанция обслуживает сеть из 1800 ламп, вероятность включения
каждой из которых в зимней вечер равна 0,9. Оценить вероятность того, что
число ламп, включенных в сеть зимним вечером, отличается от своего
математического ожидания по абсолютной величине не более, чем на 200
штук.
94
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
6.11. Среднее квадратическое отклонение каждой из 450000 независимых
случайных величин не превосходит десяти. Оценить вероятность того, что
абсолютная величина отклонения средней арифметической этих случайных
величин от средней арифметической их математических ожиданий не
превзойдет 0,02.
6.12. При контрольной проверке изготовленных приборов установлено, что в
среднем 15 из 100 приборов оказываются с дефектами. Оценить вероятность
того, что доля приборов с дефектами среди 400 изготовленных будет по
абсолютной величине отличаться от вероятности изготовления такого
прибора не более, чем на 0,02.
6.13. Для некоторого автопарка среднее число автобусов, отправляемых в
ремонт после месяца эксплуатации равно 5. Оценить вероятность того, что по
истечении месяца в одном автопарке будет отправлено в ремонт а) менее 15
автобусов; б)более 10.
6.14. Вероятность того, что покупатель совершит покупку в магазине, равна
0,6. Оценить вероятность того, что из 10000 покупателей число сделавших
покупку будет заключено в пределах от 5900 до 6100.
6.15. Выборочным путем требуется определить средний вес зерен пшеницы.
Сколько нужно обследовать зерен, чтобы с вероятностью большей 0,9 можно
было утверждать, что средний вес отобранных зерен будет отличаться от
математического ожидания этого среднего (принимаемого за средний вес
зерен во всей партии) не более чем на 0,001 г? Установлено, что среднее
квадратическое отклонение веса зерен не превышает 0,04г.
6.16. Сколько следует проверить изделий, чтобы с вероятностью, не меньшей
0,95, можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения
относительной частоты годных деталей от вероятности годной детали,
равной 0,9, не превысит 0,01.
6.17. Среднее число пассажиров скорого поезда равно 620. Оценить
вероятность того, что в наудачу взятом скором поезде пассажиров окажется
более 630.
95
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
6.18. Длина изготовляемых деталей представляет случайную величину,
среднее значение которой равно 50мм. Среднее квадратическое отклонение
этой величины равно 0,2мм. Оценить вероятность того, что отклонение
длины изготовленной детали от средней длины по абсолютной величине не
превзойдет 0,4 мм.
6.19. Дисперсия каждой из 30000 независимых случайных величин не
превышает шести. Какой должна быть верхняя граница абсолютной
величины отклонения средней арифметической случайных величин от
средней арифметической их математических ожиданий, чтобы вероятность
такого отклонения превышала 0,92?
6.20. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,04. Какое
наименьшее число деталей следует отобрать, чтобы с вероятностью 0,88
можно было утверждать, что доля нестандартных деталей среди них будет
отличаться от вероятности изготовления
нестандартной детали по
абсолютной величине не более чем на 0,02?
6.21. Среднее число солнечных дней в году для данной местности равно 90.
Оценить вероятность того, что в течении года в этой местности будет более
240 солнечных дней?
6.22. Среднее число учеников первого класса равно 30 человек. Оценить
вероятность того, что число учеников в наудачу взятом первом классе
превзойдет 35.
6.23. Средний вес новорожденной девочки составляет 3кг. Оценить
вероятность того, что вес случайно взятой новорожденной девочки превысит
4 кг.
6.24. На заводе произведено 10000 радиоламп. Радиолампы без дефектов
составляют 75%. Оценить вероятность того, что число радиоламп без
дефектов среди произведенных будет отличаться от их среднего числа по
абсолютной величине не более чем на 100.
6.25. Выборочным путем требуется определить средний рост мужчин
двадцатилетнего возраста. У скольких мужчин следует измерить рост, чтобы
96
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
с вероятностью, превышающей 0,98, можно было утверждать, что средний
рост у отобранной группы будет отличаться от среднего роста всех
двадцатилетних мужчин по абсолютной величине не более чем на 1 см?
Известно, что среднее квадратическое отклонение роста для каждого
мужчины у отобранной группы не превышает 5см.
Операции над случайными величинами.
Свойства математического ожидания и дисперсии
Две случайные величины X и Y называются независимыми, если будут
независимыми события X = xi , Y = y j , где xi , y j , i = 1, n , j = 1, m любые
возможные начения величин X и Y.
Суммой случайных величин X и Y называется случайная величина X+Y,
возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения X
с каждым возможным значением Y. Вероятности возможных значений X+Y
для независимых X и Y равны произведениям вероятностей слагаемых; для
зависимых величин – произведениям вероятностей одного слагаемого на
условную вероятность второго слагаемого.
Произведением случайных величин X и Y называют случайную
величину X ⋅ Y , возможные значения которой равны произведениям каждого
возможного значения величины X на каждое возможное значение величины
Y.
Для
математического
ожидания
M ( X ) справедливы
следующие
свойства:
1. M (C ) = C ;
2. M (CX ) = CM ( X ) ;
3. M ( X ± Y ) = M ( X ) ± M (Y ) , X , Y -любые;
4. M ( X ⋅ Y ) = M ( X ) ⋅ M (Y ) , X , Y -независимые;
5. M ( X − M ( X )) = 0 .
97
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Свойства дисперсии:
1. D(C ) = 0 ;
2. D (CX ) = C 2 D( X ) ;
3. D( X + Y ) = D( X ) + D(Y ) , X , Y -независимые;
4. D( X − Y ) = D( X ) + D(Y ) , X , Y -независимые.
Пример 1. Случайная величина Х задана законом распределения:
Х
0
1
4
p
0,25
0,5
0,25
Требуется: 1) составить законы распределения случайных величин а)
X + X ; б) 2 X ; в) X ⋅ X ; г) X 2 ;
2)
Вычислить математические ожидания и дисперсии этих величин
двумя способами: а) непосредственно, пользуясь формулами; б)
используя (где это возможно) свойства M ( X ) и D( X ) .
Решение:
1)
Составим закон распределения величины X + X = Y , обозначив
P(Y = y ) = q .
Для наглядности выкладок:
Х
0
1
4
Х
0
1
4
p
0,25
0,5
0,25
p
0,25
0,5
0,25
y1 = 0 + 0 = 0, q1 = 0,25 ⋅ 0,25 = 0,0625 ;
y 2 = 0 + 1 = 1, q 2 = 0,25 ⋅ 0,5 = 0,125 ;
y3 = 0 + 4 = 4, q3 = 0,25 ⋅ 0,25 = 0,0625 ;
y 4 = 1 + 0 = 1, q 4 = 0,5 ⋅ 0,25 = 0,125 ;
y5 = 1 + 1 = 2, q5 = 0,5 ⋅ 0,5 = 0,25 ;
y 6 = 1 + 4 = 5, q6 = 0,5 ⋅ 0,25 = 0,125 ;
98
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
y 7 = 4 + 0 = 4, q7 = 0,25 ⋅ 0,25 = 0,0625 ;
y8 = 4 + 1 = 5, q8 = 0,25 ⋅ 0,5 = 0,125 ;
y9 = 4 + 4 = 8, q9 = 0,25 ⋅ 0,25 = 0,0625 .
Закон распределения величины X + X
Х+Х 0
q
1
0,0625 0,25
2
4
5
0,25
0,125 0,25
8
∑q
0,0625 1
Каждое значение записывается один раз. Вероятности повторяющихся
значений по теореме сложения складываются. Вычислим
M ( X + X ) = 0 ⋅ 0,0625 + 1 ⋅ 0,25 + 2 ⋅ 0,25 + 4 ⋅ 0,125 + 5 ⋅ 0,25 + 8 ⋅ 0,0625 = 3 .
Вычислим M ( X ) = 0 ⋅ 0,25 + 1 ⋅ 0,5 + 4 ⋅ 0,25 = 1,5 .
Согласно свойства математического ожидания M ( X + X ) = M ( X ) + M ( X ) ,
3 = 1,5 + 1,5 ;
3=3 – свойство верно.
Вычислим
D( X + X ) ,
дисперсию
предварительно
вычислим
M (( X + X ) 2 ) = 0 2 ⋅ 0,0625 + 12 ⋅ 0,25 + 2 2 ⋅ 0,25 + 4 2 ⋅ 0,125 + 5 2 ⋅ 0,25 + 8 2 ⋅ 0,062 = 13,5
Тогда D( X + X ) = 13,5 − 32 = 4,5 .
Теперь вычислим дисперсию, пользуясь свойством.
Вычислим M ( X 2 ) = 0 2 ⋅ 0,25 + 12 ⋅ 0,5 + 4 2 ⋅ 0,25 = 4,5 .
Тогда D( X ) = M (X 2 ) − M 2 ( X ) = 4,5 − (1,5) 2 = 2,25 .
Имеем: D( X + X ) = D( X ) + D( X ) ;
4,5=2,25+2,25;
4,5=4,5 – свойство верно.
2) Составим закон распределения величины 2 X :
2X
p
0
2
8
0,25
0,5
0,25
Вычислим : M (2 X ) = 0 ⋅ 0,25 + 2 ⋅ 0,5 + 8 ⋅ 0,25 = 3 ,
По свойству M (2 X ) = 2 M ( X ) ;
99
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
3 = 2 ⋅ 1,5 ; 3=3 – свойство верно.
(
)
Найдем дисперсию D ( 2 X ) = M (2 X ) − M 2 ( 2 X ) ;
2
M ((2 X ) ) = 0 2 ⋅ 0,25 + 2 2 ⋅ 0,5 + 8 2 ⋅ 0,25 = 18 ;
2
D(2 X ) = 18 − 32 = 9 .
По свойству D (2 X ) = 2 2 D( X ) ; 9 = 4 ⋅ 2,25 - свойство верно.
3)
Составим
закон
распределения
величины
X ⋅ X = Z , обозначив
P (Z = z ) = r ) .
z1 = 0 ⋅ 0 = 0, r1 = 0,25 ⋅ 0,25 = 0,0625 ;
z 2 = 0 ⋅ 1 = 0, r2 = 0,25 ⋅ 0,5 = 0,125 ;
z 3 = 0 ⋅ 4 = 0, r3 = 0,25 ⋅ 0,25 = 0,0625 ;
z 4 = 1 ⋅ 0 = 0, r4 = 0,5 ⋅ 0,25 = 0,125 ;
z 5 = 1 ⋅ 1 = 1, r5 = 0,5 ⋅ 0,5 = 0,25 ;
z 6 = 1 ⋅ 4 = 4, r6 = 0,5 ⋅ 0,25 = 0,125 ;
z 7 = 4 ⋅ 0 = 0, r7 = 0,25 ⋅ 0,25 = 0,0625 ;
z8 = 4 ⋅ 1 = 4, r8 = 0,25 ⋅ 0,5 = 0,125 ;
z 9 = 4 ⋅ 4 = 16, r9 = 0,25 ⋅ 0,25 = 0,0625 .
Закон распределения величины X ⋅ X
X ⋅X
0
r
0,4375 0,25
1
∑r
4
16
0,25
0,0625 1
Вычислим M ( X ⋅ X ) = 0 ⋅ 0,4375 + 1 ⋅ 0,25 + 4 ⋅ 0,25 + 16 ⋅ 0,0625 = 2,25 .
По свойству M ( X ⋅ X ) = M ( X ) ⋅ M ( X ) ;
2,25 = 1,5 ⋅ 1,5 - свойство верно.
(
)
Найдем дисперсию D ( X ⋅ X ) = M ( X ⋅ X ) − M 2 ( X ⋅ X ) ;
2
M (( X ⋅ X ) 2 ) = 0 2 ⋅ 0,4375 + 12 ⋅ 0,25 + 4 2 ⋅ 0,25 + 16 2 ⋅ 0,0625 = 20,25 ;
Тогда
D( X ⋅ X ) = 20,25 − (2,25) 2 = 15,1875
(свойства
о
дисперсии
произведения нет!).
100
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
4)
Методические указания к решению задач по ТВ
Составим закон распределения величины X 2 :
X2
p
0
1
16
0,25
0,5
0,25
Вычислим M ( X 2 ) = 0 ⋅ 0,25 + 1 ⋅ 0,5 + 16 ⋅ 0,25 = 4,5 .
(
)
Для дисперсии D(X 2 ) вычислим M (X 2 ) :
(
)
2
M (X 2 ) = 0 2 ⋅ 0,25 + 12 ⋅ 0,5 + 16 2 ⋅ 0,25 = 64,5 .
2
Тогда D (X 2 ) = 64,5 − (4,5) 2 = 44,25 .
Пример 2. Независимые случайные величины X и Y имеют
M ( X ) = −3 ; M (Y ) = 4 ;
D( X ) = 2 ; D(Y ) = 5 .
Найти математические ожидания и дисперсии величин а) 2 X + 3 ; б) 3 X − 2Y .
Решение:
1.
Вычислим
M (2 X + 3) = M (2 X ) + M (3) = 2 M ( X ) + 3 = 2 ⋅ (−3) + 3 = −3
(использованы свойства 1, 2, 3 для M ( X ) ).
Вычислим D(2 X + 3) = D(2 X ) + D(3) = 2 2 D( X ) + 0 = 4 ⋅ 2 = 8 .
2.
Вычислим
M (3 X − 2Y ) = M (3 X ) − M (2Y ) = 3M ( X ) − 2M (Y ) = 3 ⋅ (−3) − 2 ⋅ 4 = −17 ;
D(3 X − 2Y ) = D(3 X ) + D(2Y ) = 32 D( X ) + 2 2 D(Y ) = 9 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 = 38 .
101
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Задания для самостоятельного решения:
7.1. На двух автоматических станках производятся одинаковые детали.
Законы распределения количества бракованных изделий, производимых в
течении смены на каждом из станков заданы:
Х
0
1
2
3
Y
0
1
2
p
0,1
0,6
0,2
0,1
q
0,5
0,3
0,2
Где Х – число бракованных деталей для первого станка;
Y-
число бракованных деталей для второго станка. Требуется: 1) составить
закон распределения количества бракованных изделий производимых в
течении смены обоими станками; 2) вычислить математическое ожидание и
дисперсию этой величины а) непосредственно; б) пользуясь свойствами
M ( X ) и D( X ) .
7.2. Потребление электроэнергии предприятиями №1 и №2 в течении суток
характеризуется следующими законами:
Х
840
860 880
900
Y
950
980
1000
p
0,1
0,3
0,1
q
0,3
0,5
0,2
0,5
Где Х – кВт/час, количество электроэнергии, потребляемой первым
предприятием;
Y - кВт/час, количество электроэнергии, потребляемой
вторым предприятием.
Требуется: 1) составить закон распределения количества электроэнергии,
потребляемой обоими предприятиями; 2) вычислить математическое
ожидание и дисперсию этой величины а) непосредственно; б) пользуясь
свойствами M ( X ) и D( X ) .
7.3. Случайные величины Х и Y заданы законами распределения:
Х
10
12
16
Y
1
2
p
0,4
0,1
0,5
q
0,2
0,8
Требуется: 1) составить закон распределения случайной величины Х+Y; 2)
вычислить математическое ожидание и дисперсию этой величины а)
непосредственно; б) пользуясь свойствами M ( X ) и D( X ) .
102
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
7.4.
Независимые
Методические указания к решению задач по ТВ
случайные
величины
Х
и
Y
заданы
законами
распределения:
Х
0
3
p
0,15 ?
5
Y
1
2
4
0,5
q
0,1
0,35 ?
6
0,4
Требуется: 1) определить с какой вероятностью величина Х принимает
значение равное 3, а величина Y – значение равное 4; 2) составить закон
распределения случайной величины Х+Y; 3) вычислить математическое
ожидание и дисперсию этой величины а) непосредственно; б) пользуясь
свойствами M ( X ) и D( X ) .
7.5. Составить закон распределения случайной величины – суммы очков,
появляющихся при подбрасывании двух игральных костей. Вычислить
математическое ожидание и дисперсию этой величины а) непосредственно из
закона; б) пользуясь свойствами M ( X ) и D( X ) .
7.6.
Независимые
случайные
величины
Х
и
Y
заданы
законами
распределения:
Х
1
2
3
Y
-2
-1
0
p
0,1
?
0,6
q
?
0,3
0,1
Требуется: 1) определить с какой вероятностью величина Х принимает
значение равное 2, а величина Y – значение равное -2; 2) составить закон
распределения случайной величины X ⋅ Y ; 3) вычислить математическое
ожидание и дисперсию этой величины а) непосредственно из закона; б)
используя (где это возможно) свойства M ( X ) и D( X ) .
7.7. Составить закон распределения случайной величины – произведения
числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой величины а)
непосредственно из закона; б) пользуясь (где это возможно) свойствами
M ( X ) и D( X ) .
7.8. Существует три способа контроля партии изделий. При использовании
каждого из способов число ошибочно принятых за годные является
103
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
случайной величиной. Законы распределения этих случайных величин
представлены таблицами:
Х
0
1
3
4
p
0,5 0,4 0,05 0,05
Y
0
1
2
3
q
0,7 0,1 0,1 0,1
Z
0
1
2
r
0,8 0,05 0,15
Требуется выбрать способ контроля, обеспечивающий минимум среднего
числа негодных изделий в партии.
7.9. Выбиваемые двумя стрелками числа очков при одних и тех же
условиях
стрельбы,
характеризуются
следующими
законами
распределения
Х
2
3
4
p
0,05 0,15 0,4
5
Y
2
3
4
5
0,4
q
0,1
0,1
0,5
0,3
Где Х – число очков, выбиваемых первым стрелком; Y - вторым. Требуется:
1) составить закон распределения суммы очков, выбиваемых обоими
стрелками; 2) вычислить математическое ожидание и дисперсию этой
величины а) непосредственно; б) пользуясь свойствами M ( X ) и D( X ) .
7.10.
Независимые
случайные
величины
Х
и
Y
заданы
законами
распределения:
Х
2
4
6
Y
2
4
p
0,2
0,3
?
q
?
0,6
Требуется: 1) определить с какой вероятностью величина Х принимает
значение равное 6, а величина Y – значение равное 2; 2) составить закон
распределения случайной величины X − Y ; 3) вычислить математическое
ожидание и дисперсию этой величины а) непосредственно из закона; б)
используя (где это возможно) свойства M ( X ) и D( X ) .
7.11. Два стрелка стреляют каждый по своей мишени, делая, независимо друг
от друга, по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого
стрелка 0,7, для второго – 0,6. Рассматриваются две случайные величины: X
- число попаданий первого стрелка; Y - число попаданий второго стрелка.
Требуется: 1) составить закон распределения Z = X − Y ; 2) вычислить
104
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
математическое ожидание и дисперсию этой величины а) непосредственно из
закона ; б) используя свойства M ( X ) и D( X ) ..
7.12.
Независимые случайные величины Х и Y заданы законами
распределения:
Х
1
2
3
Y
-2
-1
0
p
0,1
0,6
0,3
q
0,6
0,1
0,3
Требуется: 1) составить закон распределения случайной величины Х-Y; 2)
вычислить математическое ожидание и дисперсию этой величины а)
непосредственно; б) пользуясь свойствами M ( X ) и D( X ) .
7.13. Урожайность пшеницы на двух участках есть случайные величины,
заданные законами распределения:
Х
18
20
22
Y
18
19
21
p
0,2
0,4
0,4
q
0,25 0,125 0,625
Какой участок имеет более устойчивую урожайность? Составить закон
распределения урожайности на обоих участках вместе. Вычислить M ( X + Y )
и D ( X + Y ) а) непосредственно; б) пользуясь свойствами M ( X ) и D( X ) .
Замечание: Х – ц/га – урожайность на первом участке: Y – на втором участке.
7.14. Производится два независимых выстрела по мишени. Вероятность
попадания при каждом выстреле равна 0,7. Рассматриваются случайные
величины: X - разность между числом попаданий и числом промахов; Y сумма числа попаданий и числа промахов. Составить законы распределения
X и Y . Пользуясь этими законами показать, что D ( X + Y ) = D ( X ) + D (Y ) .
7.15. Случайная величина Х задана законом распределения:
Х
2
3
?
11
∑ pi
p
0,1
?
0,3
0,2
1
Известно, что математическое ожидание Х равно 5,7. Требуется: 1) Найти
вероятность того, что величина Х примет значение равное 3; 2) найти
значение величины Х, которое она принимает с вероятностью 0,3; 3)
105
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Составить закон распределения величины Х+Х; 4) проверить свойство
математического ожидания суммы случайных величин.
7.16.
Независимые
случайные
величины
Х
и
Y
заданы
законами
распределения:
Х
0
3
5
p
0,15 0,35 0,5
Y
1
2
3
4
q
0,1
0,35 0,15 0,4
Требуется: 1) составить закон распределения случайной величины Y-Х; 2)
вычислить математическое ожидание и дисперсию этой величины а)
непосредственно; б) пользуясь свойствами M ( X ) и D( X ) .
7.17. Случайные величины X и Y заданы законами распределения:
X
1
2
3
Y
-2
-1
0
p
0,1
0,3
0,6
q
0,2
0,2
0,6
Найти: 1) M (5 X 2 + 4Y ) ; 2) D(4 X − 3Y ) .
7.18.
Независимые
случайные
величины
Х
и
Y
заданы
законами
распределения:
Х
1
2
3
Y
0
2
p
0,3
0,4
0,3
q
0,6
0,4
Требуется: 1) составить закон распределения случайной величины X ⋅ Y ; 2)
проверить свойство математического ожидания произведения случайных
величин; 3) вычислить D ( X ⋅ Y ) .
7.19.
Независимые
случайные
величины
Xи
Y
заданы
законами
распределения:
X
1
2
4
6
Y
-1
0
1
p
0,2
0,1
0,5
0,2
q
0,2
0,5
0,3
Найти: 1) M (5 X − 2Y ) ; 2) D(5 X − 2Y ) .
7.20. Случайная величина Х задана законом распределения:
Х
-1
0
2
p
0,3
0,6
0,1
106
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Требуется: 1) Составить закон распределения величин Х+Х и 2Х; 2) на этих
случайных величинах проверить свойства M ( X ) и D( X ) .
7.21. Случайная величина Х задана законом распределения:
Х
-3
0
2
5
p
0,15 0,05 0,4
0,4
Вычислить M (3 X − 5) и D(4 X + 7) .
7.22.
Независимые
случайные
величины
Х
и
Y
заданы
законами
распределения:
Х
2
4
5
6
Y
-1
0
2
p
0,2
0,1
0,4
0,3
q
0,3
0,6
0,1
Требуется: 1) составить закон распределения случайной величины Y-Х; 2) на
этой величине проверить свойства M ( X ) и D( X ) .
7.23. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Х
-2
-1
0
1
2
p
0,1
0,2
0,3
0,3
0,1
Требуется: 1) вычислить M ( X 2 + 1) ; 2) составить закон распределения
величины Х-Х; 3) вычислить математическое ожидание и дисперсию этой
величины, проверив при этом свойства M ( X ) и D( X ) .
7.24. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Х
-2
-1
0
1
2
p
0,1
0,2
0,3
0,1
0,3
Требуется: 1) составить закон распределения величины X ⋅ X ; 3) вычислить
математическое
ожидание
M (X ⋅ X ),
проверив
при
этом
свойство
заданы
законами
математического ожидания; 3) вычислить D ( X ⋅ X ) .
7.25.
Независимые
случайные
величины
Xи
Y
распределения:
X
5
7
8
Y
-2
2
p
0,6
0,3
0,1
q
0,4
0,6
Вычислить M (5 X − 4) ; 2) и D(3 X − 4Y ) .
107
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Методические указания к решению задач по ТВ
Использованная литература:
1. Белинский В.А., Калихман И.Л., Майстров Л.Е., Митькин А.М.
«Высшая математика с основами математической статистики». М.,
1965 г.
2. Лозинский
С.И.
«Сборник
задач
по
теории
вероятностей
и
вероятностей
и
математической статистике» М.,1969 г.
3. Гурский
Е.И.
«Сборник
задач
по
теории
математической статистике», Минск, 1976 г.
4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. «Теория вероятностей. Задачи и
упражнения». М., 1973 г.
5. Гмурман В.Е. «Теория вероятностей и математическая статистика», М.,
1977 г.
6. Вайнер Э.М., Головина В.Г., Картанбаев А.К. Теория вероятностей.
Индивидуальные типовые расчеты и методические указания для
студентов всех специальностей. Бишкек, 1996.
7. Федорова Е.С., Эгембердиев Ш.А. Типовые расчеты по теории
вероятностей и математической статистике. КРСУ, 2001.
8. Кадыров Т.К., Могилевский Р.И. Теория вероятностей в упражнениях и
задачах. Части 1, 2. Бишкек, 1999 г.
9. Попов В.В. Лекции и задачи по теории вероятностей. КРСУ, 2001 г.
10. Давидюк Т.А. Методическое руководство для практических занятий по
теории вероятностей для студентов специальности ИЭ (1721), занятия
1-6, 7-15. Фрунзе, 1986.
108