Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé Êàôåäðà àíàëèçà äàííûõ Êðèïòîãðàôèÿ, îñåíü 2011 Çàäà÷è ïðî îäíîñòîðîííèå ôóíêöèè Ïóñòü k(n) è l(n) íåêîòîðûå ïîëèíîìû. Ôóíêöèÿ f : {0, 1}k(n) → {0, 1}l(n) íàçûâàåòñÿ ñèëüíî íåîáðàòèìîé, åñëè äëÿ ëþáîãî ïîëèíîìà p è ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñõåì ïîëèíîìèàëüíîãî ðàçìåðà Cn äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñõåìà Cn îáðàòèò ôóíêöèþ f íà ñëó÷àéíîì ñëîâå x äëèíû k(n), ò.å. f (Cn(f (x))) = f (x), 1 . íå áîëüøå p(n) Ôóíêöèÿ f : {0, 1}k(n) → {0, 1}l(n) íàçûâàåòñÿ ñëàáî íåîáðàòèìîé, åñëè äëÿ íåêîòîðîãî ïîëèíîìà q è ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñõåì ïîëèíîìèàëüíîãî ðàçìåðà Cn äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñõåìà Cn îáðàòèò ôóíêöèþ f íà ñëó÷àéíîì 1 ñëîâå x äëèíû n íå áîëüøå 1 − q(n) . Ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ñèëüíî (ñëàáî) îäíîñòîðîííåé, åñëè îíà âû÷èñëèìà çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ è ñèëüíî (ñëàáî) íåîáðàòèìà. Çàïèøèòå ïðè ïîìîùè êâàíòîðîâ îïðåäåëåíèå òîãî, ÷òî ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ ñèëüíî (ñëàáî) íåîáðàòèìîé. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ ñèëüíî íåîáðàòèìàÿ (îäíîñòîðîííÿÿ) ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ñëàáî íåîáðàòèìîé (îäíîñòîðîííåé). Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñóùåñòâóþò ñëàáî îäíîñòîðîííèå ôóíêöèè, òî P 6= NP. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóþò ñëàáî íåîáðàòèìûå ôóíêöèè äëÿ k(n) = l(n) = n. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî ïîëèíîìà s(n) è áåñêîíå÷íî ìíîãèõ n ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò íå áîëüøå s(n) ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé íà ìíîæåñòâå ñëîâ äëèíû k(n). Äîêàæèòå, ÷òî òîãäà ôóíêöèÿ f íå ÿâëÿåòñÿ ñëàáî íåîáðàòèìîé. Ïóñòü f : {0, 1}k(n) → {0, 1}l(n) ñèëüíî (ñëàáî) íåîáðàòèìà (îäíîñòîðîííÿÿ). Äîêàæèòå, ÷òî òîãäà ñëåäóþùèå ôóíêöèè òàêæå áóäóò ñèëüíî (ñëàáî) íåîáðàòèìûìè (îäíîñòîðîííèìè): a) g : {0, 1}k(n) → {0, 1}2l(n), îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì g(x) = f (x)f (x); b) g : {0, 1}2k(n) → {0, 1}2l(n), îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì g(xy) = f (x)f (y); c) g : {0, 1}2k(n) → {0, 1}k(n)+l(n), îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì g(xy) = f (x)y; Ïóñòü f : {0, 1}k(n) → {0, 1}l(n) ñèëüíî (ñëàáî) íåîáðàòèìà, m(n) ïîëèíîì, à g : {0, 1}l(n) → {0, 1}m(n) . Äîêàæèòå, ÷òî òîãäà ôóíêöèÿ h : {0, 1}k(n) → {0, 1}l(n)+m(n) , îïðåäåëÿåìàÿ ïî ïðàâèëó h(x) = f (x)g(f (x)), òàêæå ñèëüíî (ñëàáî) íåîáðàòèìà. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóþò ñèëüíî îäíîñòîðîííèå ôóíêöèè f : {0, 1}k(n) → {0, 1}k(n) è g : {0, 1}k(n) → {0, 1}k(n), òàêèå ÷òî ôóíêöèÿ h : {0, 1}k(n) → {0, 1}2k(n), îïðåäåëÿåìàÿ ïî ïðàâèëó h(x) = f (x)g(x), íå ÿâëÿåòñÿ ñëàáî îäíîñòîðîííåé. Ïóñòü f : {0, 1}k(n) → {0, 1}k(n) è g : {0, 1}k(n) → {0, 1}k(n) áèåêòèâíûå ïîëèíîìèàëüíî âû÷èñëèìûå ôóíêöèè. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè õîòÿ áû îäíà èç íèõ ñèëüíî (ñëàáî) íåîáðàòèìà, òî è èõ êîìïîçèöèÿ ñèëüíî (ñëàáî) íåîáðàòèìà. Âåðíî ëè ýòî, åñëè îòêàçàòüñÿ îò ïîëèíîìèàëüíîé âû÷èñëèìîñòè? 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 1 Çàìåíèì â îïðåäåëåíèè íåîáðàòèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõåì íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåðîÿòíîñòíûõ ñõåì (ò.å. ñõåì, èìåþùèõ äâå ãðóïïû àðãóìåíòîâ: y = f (x) äëèíû l(n) è r äëèíû m(n), âåðîÿòíîñòü îáðàùåíèÿ ñ÷èòàåòñÿ ïî ðàâíîìåðíîìó è íåçàâèñèìîìó ðàñïðåäåëåíèþ x è r). Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî íåîáðàòèìûõ ôóíêöèé íå èçìåíèòñÿ. Ïóñòü ñóùåñòâóåò îäíîñòîðîííÿÿ ôóíêöèÿ f : {0, 1}k(n) → {0, 1}l(n), ãäå k(n) ñòðîãî âîçðàñòàåò. Ïîêàæèòå, ÷òî å¼ ìîæíî ïðîäîëæèòü äî âñþäó îïðåäåë¼ííîé îäíîñòîðîííåé ôóíêöèè g : {0, 1}∗ → {0, 1}∗. Ñðàáîòàåò ëè òàêîé ñïîñîá: g(x) = f (x00 . . . 0), ãäå íóëè äîáàâëÿþòñÿ äî ìèíèìàëüíî âîçìîæíîé äëèíû, íà êîòîðîé îïðåäåëåíà f ? Ñòàòèñòè÷åñêèì ðàññòîÿíèåì ìåæäó ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè α è β , ïðèíèìàþùèìè çíà÷åíèÿ â ìíîæåñòâå A, íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà dist(α, β) = maxB⊂A |α(B) − β(B)|. (Çà ξ(T ) îáîçíà÷åíà âåðîÿòíîñòü P{ξP∈ T }). Äîêàæèòå, ÷òî dist(α, β) = 21 a∈A |α(a) − β(a)|. Âåðîÿòíîñòíûé àëãîðèòì K ãåíåðèðóåò ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó α íà ìíîæåñòâå {0, 1}k(n), åñëè äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ a âåðîÿòíîcòè òîãî, ÷òî α = a è ÷òî K(1n) = a ðàâíû. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ äîñòóïíîé, åñëè å¼ ìîæåò ñãåíåðèðîâàòü êàêîé-òî ïîëèíîìèàëüíûé âåðîÿòíîñòíûé àëãîðèòì. Ïóñòü ìíîæåñòâî S ⊂ {0, 1}k(n) ðàçðåøèìî íåêîòîðûì ïîëèíîìèàëüíûì àëãîðèòìîì è ñîäåðæèò íå ìåíåå 2q(n) ýëåìåíòîâ äëÿ íåêîòîðîãî ïîëèíîìà q. Ïîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò äîñòóïíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàññòîÿíèå îò êîòîðîé äî ðàâíîìåðíîé íà S ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëî. Ïóñòü ìíîæåñòâî S ⊂ {0, 1}k(n) ïåðå÷èñëèìî íåêîòîðûì ïîëèíîìèàëüíûì àëãîðèòìîì. (Àëãîðèòì ïî i ∈ [1, 2k(n)] âûäà¼ò i-ûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà èëè ñîîáùàåò, ÷òî â í¼ì ìåíüøå i ýëåìåíòîâ). Ïîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò äîñòóïíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàññòîÿíèå îò êîòîðîé äî ðàâíîìåðíîé íà S ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëî. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà α ñî çíà÷åíèÿìè â {0, 1}k(n) íàçûâàåòñÿ òðóäíîé äëÿ ôóíêöèè f : {0, 1}k(n) → {0, 1}l(n) , åñëè äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñõåì Cn ïîëèíîìèàëüíîãî ðàçìåðà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî f (Cn(f (α))) = f (α), ñòðåìèòñÿ ê íóëþ áûñòðåå ëþáîãî 1 äëÿ íåêîîáðàòíîãî ïîëèíîìà, è íåë¼ãêîé, åñëè ýòà æå âåðîÿòíîñòü ìåíüøå 1 − p(n) òîðîãî ïîëèíîìà p. Ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷íî ñèëüíî (ñëàáî) íåîáðàòèìîé, åñëè íåêîòîðàÿ äîñòóïíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà òðóäíà (íåëåãêà) äëÿ íå¼. Äîêàæèòå, ÷òî ñèëüíî (ñëàáî) íåîáðàòèìàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íî ñèëüíî (ñëàáî) íåîáðàòèìîé. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò ÷àñòè÷íî ñèëüíî íåîáðàòèìàÿ ôóíêöèÿ, íå ÿâëÿþùàÿñÿ ñèëüíî íåîáðàòèìîé. Ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷íî ñèëüíî (ñëàáî) îäíîñòîðîííåé, åñëè îíà ïîëèíîìèàëüíî âû÷èñëèìà è ÷àñòè÷íî ñèëüíî (ñëàáî) íåîáðàòèìà. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ÷àñòè÷íî ñèëüíî îäíîñòîðîííÿÿ ôóíêöèÿ. Äîêàæèòå, ÷òî òîãäà ñóùåñòâóåò ñèëüíî îäíîñòîðîííÿÿ ôóíêöèÿ. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ÷àñòè÷íî ñëàáî îäíîñòîðîííÿÿ ôóíêöèÿ. Äîêàæèòå, ÷òî òîãäà ñóùåñòâóåò ñëàáî îäíîñòîðîííÿÿ ôóíêöèÿ. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò ÷àñòè÷íî ñèëüíî íåîáðàòèìàÿ ôóíêöèÿ, íå ÿâëÿþ10. 11. 12. 13. k(n) 14. 15. 16. 17. 18. 19. 2 ùàÿñÿ ñëàáî íåîáðàòèìîé. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò ñëàáî íåîáðàòèìàÿ ôóíêöèÿ, íå ÿâëÿþùàÿñÿ ÷àñòè÷íî ñèëüíî íåîáðàòèìîé. 20. 3