ØÊÎËÀ  «ÊÂÀÍÒÅ» È òåëåæêà â ãîðó åäåò Ñ.ÑÅÌÈÊÎÂ Ê ÒÎ ÈÇ ÍÀÑ ÍÅ ÌÅ×ÒÀË ÈÌÅÒÜ ÑÀÍÊÈ, ÊÎÒÎÐÛÅ, ÑÚÅ- õàâ ñ ãîðû, êàê ïî ùó÷üåìó âåëåíüþ ñàìè áû âçáèðàëèñü íàâåðõ. Íî, îêàçûâàåòñÿ, êàòêè, ñïîñîáíûå ñàìîñòîÿòåëüíî âúåçæàòü â ãîðêó, âñå æå áûâàþò. Êàòîê ýòî âûòî÷åííûé, íàïðèìåð èç îðãñòåêëà, áèêîíóñ, ò.å. äâà îäèíàêîâûõ êîíóñà, ñëîæåííûõ îñíîâàíèÿìè, à ãîðêà ýòî äâå îäèíàêîâûå ñêîøåííûå ðåéêè, ðåáðîì ïîñòàâëåííûå íà ñòîë ïîä óãëîì äðóã ê äðóãó (ðèñ.1).  çàâèñèìîñòè îò ýòîãî óãëà è îò óãëà ñêîñà ðååê êàòîê, ïîñòàâëåííûé íà ðåéêè, ñëîâíî íà ðåëüñû, ëèáî ñêàòèòñÿ, ëèáî âúåäåò â ãîðêó, à ìîæåò è îñòàòüñÿ íà ìåñòå. Íå èìåÿ Ðèñ. 1 îïûòà, òðóäíî óãàäàòü, êàê èìåííî îí ñåáÿ ïîâåäåò. Ýòó íåõèòðóþ óñòàíîâêó ìîæíî ñîáðàòü è äîìà. Êàòîê ëåãêî ñäåëàòü èç äâóõ îäèíàêîâûõ ïëàñòèêîâûõ áóòûëîê, ñðåçàâ ó íèõ êîíè÷åñêèå âåðõóøêè, êîòîðûå ïîòîì ñêðåïëÿþòñÿ êëååì ëèáî òðóáêîé, ïðîïóùåííîé ÷åðåç ãîðëûøêè (ðèñ.2). À äåðåâÿííûå ðåéêè ìîæíî çàìåíèòü âûðåçàííûìè èç êàðòîíà. Êàòîê ïîìåíüøå ìîæíî ñîáðàòü èç äâóõ íàâèí÷èâàþùèõñÿ íàêîíå÷íèêîâ îò ãåëèåâûõ ðó÷åê. Åñëè ïîýêñïåðèìåíòèðîâàòü ñ ñîáðàííîé óñòàíîâêîé, ìåíÿÿ êàòêè è óãëû ðååê, ìîãóò âîçíèêíóòü äâà âîïðîñà. Âî-ïåðâûõ, ïî÷åìó êàòîê ñïîñîáåí êàê ñêàòûâàòüñÿ ñ ãîðêè, òàê è çàåçæàòü íà ãîðêó? À âî-âòîðûõ, êàê íàéòè òî ïåðåëîìíîå, êðèòè÷åñêîå ñîîòíîøåíèå ïàðàìåòðîâ óñòàíîâêè, ïî äîñòèæåíèè êîòîðîãî êàòîê, ïîëîæåííûé íà ãîðÐèñ. 2 êó, çàìèðàåò? Âíèìàòåëüíî íàáëþäàÿ çà ýêñïåðèìåíòîì, ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî äàæå åñëè êàòîê åäåò ââåðõ ïî ãîðêå, îí â äåéñòâèòåëüíîñòè îïóñêàåòñÿ. Âåäü â îòëè÷èå îò öèëèíäðîâ èëè ñàíîê, ñúåçæàþùèõ ñ ãîðû, ó êàòêà ðàññòîÿíèå äî îïîðû ìåíÿåòñÿ. Òàê, ïî ìåðå ïðîäâèæåíèÿ êàòêà â ãîðó ïðîñâåò ìåæäó ðåéêàìè ðàñøèðÿåòñÿ, è êàòîê îïèðàåòñÿ íà íèõ âñå áîëåå óçêèìè ÷àñòÿìè, êàòèòñÿ ïî âñå ìåíüøåìó ðàäèóñó, ïðèáëèæàÿñü îñüþ ê ðåéêàì.  çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÷òî ìåíÿåòñÿ áûñòðåå âûñîòà ðååê èëè ñîîòâåòñòâóþùåå åé ñíèæåíèå êàòêà, êàòîê ïîåäåò ââåðõ èëè âíèç. Êàòîê âñåãäà ñòðåìèòñÿ îïóñòèòüñÿ çàíÿòü ñîñòîÿíèå ñ íàèìåíüøåé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé, êàê ñêàçàë áû ôèçèê. Åñëè æå âûñîòà öåíòðà òÿæåñòè íå ìåíÿåòñÿ, ò.å. ïîäíÿòèå ïî ðåéêå êîìïåíñèðóåòñÿ òàêèì æå îïóñêàíèåì êàòêà, òî îí ñòîèò íà ìåñòå. Îòñþäà ëåãêî íàéòè òî ñàìîå êðèòè÷åñêîå ñîîòíîøåíèå ïàðàìåòðîâ óñòàíîâêè. Î÷åâèäíî, ÷òî ïàðàìåòðîâ, ñïîñîáíûõ âëèÿòü íà èñõîä îïûòà, òîëüêî òðè óãîë 2α ìåæäó ðåéêàìè, óãîë β èõ ñêîñà è óãîë γ êîíóñíîñòè êàòêà, ñîñòàâëÿåìûé îáðàçóþùåé êîíóñà ñ åãî îñüþ. Åñëè êàòîê ïðîéäåò âäîëü ðåéêè ðàññòîÿíèå l, òî÷êà åãî îïîðû K ïîäíèìåòñÿ íà l tg β , ïðè ýòîì òî÷êè îïîðû êàòêà ðàçîéäóòñÿ îò åãî ñðåäíåé ïëîñêîñòè (îò îáùåãî îñíîâàíèÿ êîíóñîâ) íà b = l sin α , à ðàäèóñ êà÷åíèÿ óìåíüb tg γ = øèòñÿ íà = l sin α tg γ (ðèñ. 3). Èòàê, ïîäíÿòèå îïîðû êàòêà íà l tg β èççà âúåçäà â ãîðêó ñîïðîâîæäàåòñÿ åãî îïóñêàíèåì íà l sin α tg γ èç-çà ñáëèæåíèÿ îñè Î ñ ðåéêîé. Åñëè ïåðâîå Ðèñ. 3 áîëüøå âòîðîãî, òî êàòîê ñúåçæàåò, åñëè ìåíüøå êàòèòñÿ â ãîðó, åñëè æå ýòè èçìåíåíèÿ âûñîòû êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà, òî âûñîòà öåíòðà êàòêà íå ìåíÿåòñÿ. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè âûïîëíåíî êðèòè÷åñêîå ñîîòíîøåíèå tg β = sin α tg γ , êàòîê íå ïîéäåò íè ââåðõ, íè âíèç ïî ãîðêå åìó áåçðàçëè÷íî, êóäà åõàòü è ãäå íàõîäèòüñÿ. Îäíàêî ýíåðãåòè÷åñêèå ñîîáðàæåíèÿ ïîçâîëÿþò ëèøü óçíàòü èñõîä îïûòà, ñêàçàòü, êàê ïîâåäåò ñåáÿ êàòîê, íî íå îáúÿñíÿþò ïî÷åìó. Ïîýòîìó ëó÷øå ðàññìîòðåòü äåéñòâóþùèå íà êàòîê ñèëû. Âåäü äâèæåíèå ñàíîê ñ ãîðû âíèç îáû÷íî îáúÿñíÿþò íå òåì, ÷òî ýòî èì âûãîäíî ýíåðãåòè÷åñêè, à òåì, ÷òî èõ ïðèòÿãèâàåò çåìëÿ. Öèëèíäð êàòèòñÿ ñ ãîðêè íå ïîòîìó, ÷òî çíàåò ãäå «ëó÷øå», à èç-çà òîãî, ÷òî äåéñòâóþùàÿ íà íåãî ñèëà òÿæåñòè G ñîçäàåò ñîîòâåòñòâóþùèé âðàùàòåëüíûé ìîìåíò îòíîñèòåëüíî òî÷êè îïîðû. Äëÿ öèëèíäðà, êàê ëåãêî âèäåòü, òî÷êà êàñàíèÿ K âñåãäà ëåæèò ïî îòíîøåíèþ ê ãîðå âûøå åãî öåíòðà òÿæåñòè Î, ïîýòîìó ìîìåíò íàïðàâëåí òàê, ÷òî öèëèíäð êàòèòñÿ âíèç (ðèñ. 4). Ó êàòêà æå òî÷êà K ìîæåò íàõîäèòüñÿ áëèæå ê íà÷àëó ãîðêè èëè ïîä öåíòðîì òÿæåñòè; ñîîòâåòñòâåí- Ðèñ. 4 !$ ÊÂÀÍT 2008/¹5 íî, ìîìåíò íàïðàâëåí òàê, ÷òî êàòîê ïîåäåò ââåðõ èëè îñòàíåòñÿ íåäâèæèì. (Ýòî íàïîìèíàåò èçâåñòíûé îïûò ñ êàòóøêîé, êîòîðàÿ â çàâèñèìîñòè îò óãëà, ïîä êîòîðûì ìû òÿíåì íàìîòàííóþ íà íåå íèòü, êàòèòñÿ ê íàì èëè îò íàñ.) Èòàê, ÷òîáû êàòîê íàõîäèëñÿ â ïîêîå, òî÷êà êàñàíèÿ K äîëæíà ëåæàòü òî÷íî ïîä îñüþ Î êîíóñà, ò.å. ïåðïåíäèêóëÿð KO ê îñè êîíóñà äîëæåí áûòü âåðòèêàëåí. Çíà÷èò, óãîë, îáðàçîâàííûé ðåéêîé-êàñàòåëüíîé è ïðÿìîé KO, äîëæåí áûòü ðàâåí 90 - β . Îòñþäà èç ãåîìåòðèè êîíóñà ëåãêî ïðèéòè ê òîìó æå ñîîòíîøåíèþ tg β = sin α tg γ , ïðè êîòîðîì êàòîê îñòàåòñÿ íåïîäâèæåí. Ìåíÿÿ îäèí èç óãëîâ, ìû ñìåùàåì òî÷êó K. Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ áèêîíóñà ãîðêà îêàçûâàåòñÿ «ãîðèçîíòàëüíîé» ëèáî íàêëîííîé «âïðàâî» èëè «âëåâî». Òåïåðü, êîãäà ÿñåí ñìûñë êðèòè÷åñêîãî ñîîòíîøåíèÿ, åãî ìîæíî íå òîëüêî ïðîâåðèòü íà ïðàêòèêå, èçìåðèâ òðàíñïîðòèðîì âñå óãëû, íî è ïðèìåíèòü äëÿ âèäîèçìåíåíèÿ îïûòà. Òàê, ñòàíîâèòñÿ ÿñíî, ÷òî íå îáÿçàòåëüíî èñïîëüçîâàòü êàòîê, èìåþùèé âèä áèêîíóñà òèïà «ïîïëàâîê», ò.å. êîíóñû ìîæíî ñîåäèíèòü íå òîëüêî îñíîâàíèÿìè, íî è âåðøèíàìè ïîëó÷èì áèêîíóñ òèïà «êàòóøêà». Ýòî áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü èçìåíåíèþ óãëà γ íà - γ . Çíà÷èò, íàäî ñìåíèòü è çíàê óãëà β ÷òîáû ðåéêè ñîåäèíÿëèñü óæå íå óçêèìè, à øèðîêèìè êîíöàìè. Èëëþçèþ ïîäíÿòèÿ êàòêà ââåðõ ïî ãîðêå ìîæíî óñèëèòü, åñëè ñäåëàòü óãîë β áîëüøèì ãðàäóñîâ â 45. Ïîíÿòíî, ÷òî îäíîâðåìåííî íàäî óâåëè÷èòü óãëû α è γ , òàê ÷òî â èòîãå êàòîê ñòàíåò áîëüøå ïîõîæ íà äâå ñëîæåííûå âìåñòå òàðåëêè. Èëè ìîæíî ïîïðîáîâàòü ñäåëàòü îïóñêàíèå öåíòðà òÿæåñòè ìàëîçàìåòíûì, äëÿ ÷åãî íàäî ïðåäåëüíî óìåíüøèòü óãîë α , ÷òîáû ðåéêè âûãëÿäåëè ïî÷òè ïàðàëëåëüíûìè, à óãîë γ , íàïðîòèâ, ñäåëàòü áîëüøèì. À ÷òîáû ðàçìåð êàòêà áûë íå ñëèøêîì âåëèê è åãî êîíóñíîñòü íå áðîñàëàñü â ãëàçà, íàäî îñòàâèòü òîëüêî åãî êîíöåâûå ÷àñòè, êàòÿùèåñÿ ïî ðåéêàì êàê êîëåñà âàãîíîâ ïî ðåëüñàì. Ïîýòîìó êîíóñíûå êîëåñà äîëæíû ñîåäèíÿòüñÿ íå îñíîâàíèÿìè èëè âåðøèíàìè, à îáùåé îñüþ. Åñëè òåïåðü ïðèñîåäèíèòü ïðîâîëîêîé ïàðó òàêèõ êîëåñíûõ îñåé (à ïðîùå ïàðó ïðîñòûõ êàòóøåê) ê êîðîáêó, ïîëó÷èòñÿ íàñòîÿùàÿ òåëåæêà-ñàìîêàòêà, ñïîñîáíàÿ åõàòü â ãîðó, ñ êîòîðîé äðóãèå ïðåäìåòû (öèëèíäðû è áðóñêè) ñúåçæàþò. Òàêàÿ òåëåæêà êàæåòñÿ ÷óäîì ñòîëü ñëîæíî ó íåå çàìåòèòü ñíèæåíèå öåíòðà ìàññ ïðè âúåçäå â ãîðêó. Åñëè æå ñîåäèíèòü êîëåñà ñ òåëåæêîé æåñòêî è ñìàçàòü «ðåëüñû», ìîæíî ïîëó÷èòü è ñàíè, «âúåçæàþùèå â ãîðó». Òåïåðü ìîæíî ðàññìîòðåòü è áîëåå ñëîæíûå âàðèàíòû. ×òî áóäåò, åñëè ìû èçîãíåì êàðòîííûå ðåéêè òàê, ÷òî óãîë α áóäåò èçìåíÿòüñÿ âäîëü ãîðêè (ðèñ.5)? Åñëè óãîë α íàðàñòàåò, òî êàòîê áóäåò âûøå íåêîòîðîé êðèòè÷åñêîé òî÷êè çàêàòûâàòüñÿ ââåðõ, à íèæå åå ñïóñêàòüñÿ âíèç, ò.å. áóäåò âñåãäà óäàëÿòüñÿ îò ýòîé òî÷êè. Åñëè æå êàðòîíÐèñ. 5 íûå ðåéêè ïîñòåïåííî ñõîäÿòñÿ è óãîë α óìåíüøàåòñÿ, êàòîê áóäåò âñåãäà ñòðåìèòüñÿ ê òî÷êå ñ êðèòè÷åñêèì óãëîì α . Äîåõàâ äî íåå, îí ñòàíåò, êàê â ÿìå, êàòàòüñÿ òóäà-ñþäà, ïîêà íå çàìðåò â ýòîé òî÷êå. Äðóãîé âàðèàíò ýòî êîãäà ðåéêè ïëîñêèå (óãîë α ïîñòîÿíåí), çàòî ìåíÿåòñÿ óãîë β ãîðà ìåíÿåò íàêëîí (ðèñ.6). Íà íåé òîæå áóäåò êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ïðè íåêîÐèñ. 6 òîðîì óãëå β , ÿâëÿþùàÿñÿ òî÷êîé óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ êàòêà, ñìîòðÿ ïî òîìó âîãíóòà ãîðêà èëè âûïóêëà. Íàêîíåö, òðåòèé âàðèàíò óãëû α è β ïîñòîÿííû, íî ìåíÿåòñÿ óãîë γ . Òàêîå âîçìîæíî, åñëè ìû èñïîëüçóåì êàòîê íå èç êîíóñîâ, à èç äðóãèõ òåë âðàùåíèÿ, èìåþùèõ Ðèñ. 7 êðèâîëèíåéíóþ îáðàçóþùóþ. Íàïðèìåð, êàòîê, ñäåëàííûé èç äâóõ ïëàñòèêîâûõ áóòûëîê íå ñ êîíóñíîé, à ñ çàêðóãëåííîé âåðõóøêîé (ðèñ.7). Òàêæå ìîæíî èñïîëüçîâàòü âìåñòî êîíè÷åñêèõ ñêðóãëåííûå íàêîíå÷íèêè îò ðó÷åê èëè æå øàðèêè äëÿ ïèíã-ïîíãà. Äëÿ êàæäîãî èç òàêèõ êàòêîâ åñòü ñâîå îïðåäåëåííîå êðèòè÷åñêîå ìåñòî íà ãîðêå, â òî÷êå êîíòàêòà ñ êîòîðûì óãîë γ ðàâåí êðèòè÷åñêîìó. Ïîëîæåííûé âûøå ýòîãî ìåñòà êàòîê êàòèòñÿ ââåðõ, à íèæå âíèç. Äëÿ òîãî ÷òîáû ýòà òî÷êà ñëóæèëà ìåñòîì óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ, íåîáõîäèìî ïðèìåíÿòü êàòêè ñ âîãíóòîé ïîâåðõíîñòüþ. Âîçìîæíû è ñëîæíûå êîìáèíàöèè âñåõ òðåõ âàðèàíòîâ. Íî ìîæåò ëè âñå ýòî èìåòü ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå? Íåëüçÿ ëè, ê ïðèìåðó, ïîñòðîèòü æåëåçíóþ äîðîãó, èäóùóþ «ïîä ãîðó» â îáå ñòîðîíû, ÷òîáû ïîåçä ñàì ïî ñåáå, áåç çàòðàò ýíåðãèè, ìîã äîåõàòü òóäà è îáðàòíî? Êàçàëîñü áû, äîñòàòî÷íî óëîæèòü ðåëüñû íàïîäîáèå íàêëîííûõ ðàñõîäÿùèõñÿ ðååê è ñäåëàòü ïîåçäó äâà êîìïëåêòà êîëåñ îäíè ñ óãëîì γ , áóëüøèì êðèòè÷åñêîãî, äðóãèå ñ ìåíüøèì. Äîåõàë ïîåçä äî êîíå÷íîé ñòàíöèè, ñìåíèëè åìó êîëåñà, è îí ñàì ïîéäåò íàçàä. À êàê äîåäåò, åìó ñíîâà ñìåíÿò êîëåñà, è îí òðîíåòñÿ â îáðàòíûé ïóòü. Êîíå÷íî, òàêîé ïîåçä, ñàì èäóùèé â îáà êîíöà, íåâîçìîæåí, êàê è ëþáîé âå÷íûé äâèãàòåëü. Ýòî ÿñíî èç ýíåðãåòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé. Ðàç öåíòð ìàññ âñåãäà îïóñêàåòñÿ, òî, ÷òîáû ïîåçä ñàì øåë òóäà è îáðàòíî, íà êîíå÷íûõ ñòàíöèÿõ ïðèäåòñÿ ëèáî ïîäíèìàòü åãî, çàòðà÷èâàÿ ïðè ýòîì ýíåðãèþ, ëèáî óìåíüøàòü ðàçìåðû êîëåñ, ïîêà îíè íå ñòàíóò íóëåâûìè. Òàê ÷òî êàêèõ ÷óäî-ïàðîâîçîâ è åäóùèõ â ãîðó òåëåæåê íè âûäóìûâàé, âñå ðàâíî îáíàðóæèòñÿ êàêîé-íèáóäü îáìàí. Èíôîðìàöèþ î æóðíàëå «Êâàíò» è íåêîòîðûå ìàòåðèàëû èç æóðíàëà ìîæíî íàéòè â ÈÍÒÅÐÍÅÒÅ ïî àäðåñàì: Ðåäàêöèÿ æóðíàëà «Êâàíò» kvant.info Ìîñêîâñêèé öåíòð íåïðåðûâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ kvant.mccme.ru Ìîñêîâñêèé äåòñêèé êëóá «Êîìïüþòåð» math.child.ru Êîñòðîìñêîé öåíòð äîïîëíèòåëüíîãî îáðàçîâàíèÿ «Ýâðèêà» ceemat.ru ØÊÎËÀ Ìåõàíè÷åñêèé ãåíåðàòîð Â.ÄÐÎÇÄΠ ΠÌÍÎÃÈÕ ÇÀÄÀ×ÍÈÊÀÕ ÏÎ ÔÈÇÈÊÅ ÌÎÆÍÎ ÂÑÒÐÅ- òèòü òàêóþ çàäà÷ó: «Ñïëîøíîé ìåòàëëè÷åñêèé öèëèíäð ðàäèóñîì R âðàùàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω . Íàéäèòå çàâèñèìîñòü íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ îò ðàññòîÿíèÿ r äî îñè öèëèíäðà è ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó ïîâåðõíîñòüþ öèëèíäðà è åãî îñüþ». Ñíà÷àëà ïðèâåäåì ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è â îáùåì âèäå. Ïîñêîëüêó âíóòðè ìåòàëëè÷åñêîãî öèëèíäðà èìåþòñÿ ñâîáîäíûå ýëåêòðîíû, ïðè åãî âðàùåíèè îíè áóäóò îòáðàñûâàòüñÿ ê êðàÿì öèëèíäðà.  ðåçóëüòàòå âáëèçè îñè êîíöåíòðàöèÿ ýëåêòðîíîâ ïîíèçèòñÿ, à íà êðàÿõ ïîâûñèòñÿ, ò.å. âíóòðè öèëèíäðà âîçíèêíåò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, íàïðàâëåííîå îò îñè ê ïåðèôåðèè. Ðàâíîâåñèå óñòàíîâèòñÿ òîãäà, êîãäà îáðàçîâàâøååñÿ ïîëå Å áóäåò â ñîñòîÿíèè ïîäåéñòâîâàòü íà êàæäûé ýëåêòðîí ñ òàêîé ñèëîé, ÷òîáû îí äâèãàëñÿ ïî îêðóæíîñòè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω . Ïóñòü íåêèé ýëåêòðîí äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì r, 0 < r < R (ðèñ.1). Òîãäà ïî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà èìååì mω2r = Ee , ãäå m ìàññà, å çàðÿä ýëåêòðîíà. Îòñþäà íàõîäèì Ðèñ. 1 mω2 E= r. e ur Ïîíÿòíî, ÷òî âåêòîðû ñèëû F , äåéñòâóþùåé íà ýëåêòðîí, è ur íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E íàïðàâëåíû ïðîòèâîïîëîæíî. Âèäèì, ÷òî âîçíèêøåå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íåîäíîðîäíî, îíî ðàñòåò ïðîïîðöèîíàëüíî ðàññòîÿíèþ r îò îñè öèëèíäðà. ur Òàê êàê âåêòîð E âñåãäà íàïðàâëåí â ñòîðîíó óìåíüøåíèÿ ïîòåíöèàëà, òî ïîòåíöèàë ϕ1 íà îñè öèëèíäðà áîëüøå ïîòåíöèàëà ϕ2 íà åãî ïîâåðõíîñòè. Ïðè ýòîì èñêîìàÿ âåëè÷èíà ϕ1 - ϕ2 ÷èñëåííî ðàâíà çàøòðèõîâàííîé «ïëîùàäè» ïîä ãðàôèêîì çàâèñèìîñòè E (r ) , èçîáðàæåííûì íà ðèñóíêå 2: 1 ϕ1 - ϕ2 = R × E ( R) = 2 1 mω2 R mω2 R2 R× = . 2 2e e Çàäà÷à â îáùåì âèäå ðåøåíà. Îäíàêî êîíå÷íîé öåëüþ ôèçè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî. Èíòåðåñíî îöåíèòü ïîðÿäîê âåëè÷èíû ìàêñèìàëüíîé ýëåêòðè÷åñêîé ìîùíîñòè, âîçíèêàþùåé ïðè âðàùåíèè öèëèíäðà, ôàêòè÷åñ- = Ðèñ. 2  !% «ÊÂÀÍÒÅ» êè ÿâëÿþùåãîñÿ ìåõàíè÷åñêèì ãåíåðàòîðîì ýëåêòðîýíåðãèè.  ôîðìóëå äëÿ ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ ââåäåì äëÿ óäîáñòâà óäåëüíûé çàðÿä ýëåêòðîíà e m = γ = 1,76 × 1011 Êë êã è ó÷òåì, ÷òî ωR = v ýòî ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü òî÷åê ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà. Òîãäà ïîëó÷èì v2 ϕ1 - ϕ2 = . 2γ Îöåíèì ìàêñèìàëüíî âîçìîæíóþ âåëè÷èíó ñêîðîñòè v, èñïîëüçóÿ ñîîáðàæåíèÿ ðàçìåðíîñòåé. ßñíî, ÷òî îíà çàâèñèò îò ïðåäåëà ïðî÷íîñòè ìàòåðèàëà öèëèíäðà σ è îò åãî ïëîòíîñòè D. Çàïèøåì ýòî òàê: v : σα × Dβ . Âûïèøåì åäèíèöû èçìåðåíèÿ âñåõ âåëè÷èí: [v] = ì × ñ-1 , [σ] = Ïà = Í ì 2 = êã × ì -1 × ñ -2 , [ D] = êã × ì -3 . Òàê êàê îáå ÷àñòè ôîðìóëû äëÿ v èçìåðÿþòñÿ â îäíèõ è òåõ æå åäèíèöàõ, ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó ì × ñ -1 = êãα × ì - α × ñ -2α × êãβ × ì -3β , èëè ì × ñ -1 = ì - α - 3β × ñ -2α × êãα +β . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ α è β ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé èç êîòîðîé íàõîäèì ì - α - 3β = 1, ï í -2α = -1, ïα + β = 0, î 1 1 , β=- . 2 2 Òåïåðü ôîðìóëà äëÿ ñêîðîñòè ïðèíèìàåò âèä α= σ , D à ôîðìóëà äëÿ ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ âûãëÿäèò òàê: v: ϕ1 - ϕ2 : σ . γD Âñïîìíèì ôîðìóëó ýëåêòðè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ Rý ïðîâîäà äëèíîé l è ïëîùàäüþ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ S: l , S ãäå ρ óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ìàòåðèàëà ïðîâîäà. Ñ åå ïîìîùüþ îöåíèì ñîïðîòèâëåíèå Rý íàøåãî öèëèíäðà. Åñëè åãî âûñîòà h, òî S : Rh , çíà÷èò, Rý = ρ R ρ , èëè Rý : . Rh h Âûäåëÿåìàÿ â ïðîâîäíèêå ýëåêòðè÷åñêàÿ ìîùíîñòü ðàâíà Rý : ρ P: (ϕ1 - ϕ2 )2 . Rý Ñ ó÷åòîì ïðåäûäóùèõ ôîðìóë îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì P: σ2h . γ D2ρ 2 Îáðàòèì âíèìàíèå: â ýòîé ôîðìóëå ðàäèóñ öèëèíäðà R îòñóòñòâóåò, à ïðèñóòñòâóåò ôàêòè÷åñêè îäíà ïåðåìåííàÿ h. Îñòàëüíûå âåëè÷èíû õàðàêòåðèçóþò ìàòåðèàë öèëèíäðà. 8 Íàïðèìåð, äëÿ ðåëüñîâîé ñòàëè σ = 7,5 × 10 Ïà , -7 D = 7,9 × 103 êã ì 3 , ρ = 1,2 × 10 Îì × ì . Ïóñòü h = 1 ñì, èáî ñëèøêîì âûñîêèé öèëèíäð áóäåò ÷åðåñ÷óð òÿæåëûì. !& ÊÂÀÍT 2008/¹5 Òîãäà âû÷èñëåíèÿ äàþò òàêîé ðåçóëüòàò: P : 24 íÂò . Ïîëó÷èëè íàíîâàòòû. Ëåãêî ïîäñ÷èòàòü, ÷òî ìåõàíè÷åñêèé ãåíåðàòîð, âðàùàþùèéñÿ íà ïðåäåëå âîçìîæíîãî ðàçðóøåíèÿ, âûðàáîòàåò îäèí äæîóëü ýëåêòðîýíåðãèè çà 1,3 ãîäà. Ìàãíèòíàÿ ñèëà è çàêîí ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè Å.ÐÎÌÈØÅÂÑÊÈÉ, À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ Ëàïëàñ ïðèñóòñòâîâàë íà ïåðâîé ïóáëè÷íîé äåìîíñòðàöèè îïûòà Àìïåðà. Ïóáëèêà óæå ðàñõîäèëàñü, è Ëàïëàñ ó âûõîäà ñòàë æäàòü àññèñòåíòà õëîïíóë åãî ïî ïëå÷ó è, ïðèñòàëüíî ãëÿäÿ íà íåãî, ñïðîñèë: «À íå âû ëè ýòî, ìîëîäîé ÷åëîâåê, ïîäòàëêèâàëè ïðîâîä?» Ì.Ëüîööè. Èñòîðèÿ ôèçèêè Ê ÍÀÑÒÎßÙÅÌÓ ÂÐÅÌÅÍÈ ÓÆÅ ÌÈËËÈÀÐÄÛ ËÞÄÅÉ âîñïîëüçîâàëèñü óñëóãàìè ýëåêòðîïîåçäîâ, àâòîìîáèëåé, àâòîáóñîâ, ñàìîëåòîâ, êîðàáëåé, ýëåêòðîñòàíöèé è ò.ï., â êîòîðûõ íåóñòàííî âðàùàþòñÿ ðîòîðû ýëåêòðîìîòîðîâ è ãåíåðàòîðîâ òîêà.  îñíîâå ðàáîòû ýòèõ ñòàðàòåëüíûõ òðóæåíèêîâ ëåæàò ôóíäàìåíòàëüíûå çàêîíû ýëåêòðîìàãíåòèçìà, îòêðûòûå çàìå÷àòåëüíûìè ó÷åíûìè äåâÿòíàäöàòîãî âåêà. Âñïîìíèì âêðàòöå ëèøü î òåõ èç íèõ, î êîòîðûõ ïîéäåò ðå÷ü â ýòîé ñòàòüå. Àíäðå Ìàðè Àìïåð (17751836) îòêðûë âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ è óñòàíîâèë ñîîòâåòñòâóþùèé çàêîí, ðàçðàáîòàë òåîðèþ ìàãíåòèçìà (1820). Ìàéêë Ôàðàäåé (17911867) â 1821 ãîäó âïåðâûå îñóùåñòâèë âðàùåíèå ìàãíèòà âîêðóã ïðîâîäíèêà ñ òîêîì, à òàêæå, íàîáîðîò, ïðîâîäíèêà ñ òîêîì âîêðóã ìàãíèòà, ñîçäàâ, òàêèì îáðàçîì, ïðèíöèïèàëüíóþ ìîäåëü ýëåêòðîäâèãàòåëÿ.  ýòîì íåñëîæíîì îïûòå áûëà íàãëÿäíî ïîêàçàíà ñâÿçü ìåæäó ýëåêòðè÷åñêèìè è ìàãíèòíûìè ÿâëåíèÿìè. ×åðåç äåñÿòü ëåò îí óæå îòêðûë ÿâëåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè âîçíèêíîâåíèå òîêà â çàìêíóòîì ïðîâîäíèêå ïðè èçìåíåíèè ìàãíèòíîãî ïîòîêà ÷åðåç êîíòóð ýòîãî ïðîâîäíèêà. Ýìèëèé Õðèñòèàíîâè÷ Ëåíö (18041865) â 1833 ãîäó óñòàíîâèë ïðàâèëî îïðåäåëåíèÿ íàïðàâëåíèÿ èíäóêöèîííîãî òîêà (ïðàâèëî Ëåíöà). Êñòàòè ñêàçàòü, è Àìïåð, è Ôàðàäåé, è Ëåíö áûëè ÷ëåíàìè Ïåòåðáóðãñêîé Àêàäåìèè íàóê. Õåíäðèê Àíòîí Ëîðåíö (18531928) äàë âûðàæåíèå äëÿ ñèëû, äåéñòâóþùåé íà äâèæóùèéñÿ çàðÿä â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå (ñèëà Ëîðåíöà). Èíîñòðàííûé ÷ëåí Àêàäåìèè íàóê ÑÑÑÐ. Ïðîäåìîíñòðèðóåì «ðàáîòó» çàêîíîâ, îòêðûòûõ ýòèìè ôèçèêàìè, â ñàìîì ïðîñòîì ñëó÷àå ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæå- Èíòóèòèâíî áûëî ÿñíî, ÷òî âðàùàþùèéñÿ öèëèíäð êàê èñòî÷íèê ýëåêòðè÷åñòâà êðàéíå íåýôôåêòèâåí èíà÷å òàê ïîëó÷àëè áû ýëåêòðîýíåðãèþ. È âñå æå, êàê èíòåðåñíî è ïîó÷èòåëüíî ïîäòâåðäèòü ýòî ôèçè÷åñêèì ðàñ÷åòîì. íèÿ ïðîâîäíèêà â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå. Ñèëà Ëîðåíöà «íàïðàâëÿåò» â ðàçíûå ñòîðîíû äâèæóùèåñÿ ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû ðàçíûõ çíàêîâ, à çíà÷èò, ñîçäàåò â ïðîñòðàíñòâå êóëîíîâñêèå ýëåêòðè÷åñêèå ïîëÿ è â ïðîâîäÿùåé ñðåäå âîçáóæäàåò ýëåêòðè÷åñêèå òîêè, ò.å. ÿâëÿåòñÿ ñîçäàòåëåì èñòî÷íèêîâ ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ. Ðàññìîòðèì òàêîé ïðèìåð.  îäíîðîäíîì ãîðèçîíòàëüíîì ur ìàãíèòíîì ïîëå Bz ïîñòóïàòåëüíî äâèæåòñÿ âåðòèêàëüíûé äëèííûé ïðîâîäÿùèé ñòåðæåíü äëèíîé l ñ ïîñòîÿííîé ñêîur r ðîñòüþ vx ^ Bz (ðèñ.1). (Çäåñü èíäåêñû óäîáíî óêàçûâàþò íàïðàâëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âåêòîðîâ â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò XYZ. Êðóæîê ñ òî÷êîé îçíà÷àåò, ÷òî îñü Z è ìàãíèòíîå ïîëå íàïðàâëåíû ê íàì.) Ïîëîæèòåëüíûå èîíû (ê ïðèìåðó, èîíû ìåäè Cu + ) çàêðåïëåíû â óçëàõ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè, à ñâîáîäíûå ýëåêòðîíû, ïåðåìåùàÿñü ââåðõ ïîä äåéñòâèåì ìàãíèòíîé ur Ðèñ. 1 ñèëû Ëîðåíöà FË = ur r = e vx ´ Bz , ñîçäàþò â îáúåìå ïðîâîäíèêà îäíîðîäíîå ur ur r êóëîíîâñêîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå EÊ = vx ´ Bz , óðàâíîâåøèâàþùåå äåéñòâèå ìàãíèòíîé ñèëû. (Çàìåòèì, ÷òî çäåñü ó÷òåí îòðèöàòåëüíûé çàðÿä ýëåêòðîíà, ðàâíûé å, ãäå e = 1,6 × 10-19 Êë ïîëîæèòåëüíàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ êîíñòàíòà.)  ðåçóëüòàòå ìåæäó êîíöàìè ñòåðæíÿ âîçíèêàåò ïîñòîÿííàÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ, ðàâíàÿ EÊl = vx Bzl . Òàêèì îáðàçîì, ñîçäàåòñÿ «ýëåêòðîìàãíèòíàÿ áàòàðåéêà» ñ ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëîé Ýýì = vx Bzl è ñòîðîííåé (ò.å. íå êóëîíîâñêîãî ïðîèñõîæäåíèÿ) íàïðÿæåííîñòüþ. À ÷òî ýòî çà èçîãíóòûå ëèíèè ñ áîêó îò ñòåðæíÿ? Îíè íàðèñîâàíû äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü ñóùåñòâåííîå îòëè÷èå êóëîíîâñêîãî ïîëÿ îò ñòîðîííèõ ïîëåé: ðàáîòà ïî ïåðåíåñåíèþ ïðîáíîãî çàðÿäà â êóëîíîâñêîì ïîëå ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó (âûäåëåí öâåòîì) ðàâíà íóëþ. Çàìåòèì, ÷òî ýëåêòðîäâèæóùèå ñèëû (ÝÄÑ) è ñâÿçàííûå ñ íèìè ñòîðîííèå íàïðÿæåííîñòè â ñâîåé îñíîâå îïÿòü-òàêè èìåþò ýëåêòðîìàãíèòíûé õàðàêòåð, íî óæå äðóãîãî (òîæå íåêóëîíîâñêîãî) ðîäà. Òåïåðü èñïîëüçóåì ýòó «ýëåêòðîìàãíèòíóþ áàòàðåéêó» äëÿ ïîëó÷åíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà è ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè. Äëÿ ýòîãî áóäåì äâèãàòü íàø ñòåðæåíü âäîëü äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ãîðèçîíòàëüíûõ ïðîâîäíèêîâ, íàõîäÿùèõñÿ íà ðàññòîÿíèè l äðóã îò äðóãà (ðèñ.2). Ïðîâîäíèêè Ðèñ. 2 ( ) ( ) ØÊÎËÀ çàìêíåì íà ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R. Ïðè÷åì äâèãàòüñÿ áóäåò òîëüêî ñòåðæåíü, à ïðîâîäíèêè è ðåçèñòîð äîëæíû áûòü íåïîäâèæíûìè. (Èíà÷å â íèõ òîæå áóäåò ñîçäàâàòüñÿ «ýëåêòðîìàãíèòíàÿ áàòàðåÿ» òîé æå ñèëû, ÷òî è âîçíèêàþùàÿ â ñòåðæíå, íî ïðîòèâîïîëîæíî «íàïðàâëåííàÿ», òàê ÷òî òîêà â çàìêíóòîì êîíòóðå íå áóäåò.) Òîãäà â çàìêíóòîì êîíòóðå abcd ïîòå÷åò ýëåêòðè÷åñêèé òîê I = Ýýì R , è íà ñîïðîòèâëåíèè R áóäåò âûäåëÿòüñÿ òåïëîâàÿ ìîùíîñòü I2 R . Çà ñ÷åò ÷åãî æå âûäåëÿåòñÿ òåïëîâàÿ ýíåðãèÿ, è ñïðàâåäëèâ ëè çäåñü çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè? Ïî äâèæóùåìóñÿ ñòåðæíþ ñâåðõó âíèç òå÷åò ýëåêòðè÷åñêèé òîê I. Çíà÷èò, íà ïðîâîäíèê ur ñ òîêîì, íàõîäÿùèéñÿ â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå Bz , äåéñòâóåò ñèëà Àìïåðà, íàïðàâëåííàÿ ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ ñòåðr æíÿ, ò.å. âåêòîðó vx . ×òîáû ñòåðæåíü ñîõðàíÿë ïîñòîÿííóþ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ vx , ê íåìó íåîáõîäèìî ïðèëîæèòü ñèëó ur F * , ðàâíóþ ïî âåëè÷èíå ñèëå Àìïåðà FA = IBzl , íî íàïðàâëåííóþ ïðîòèâîïîëîæíî åé. Ïðè ýòîì ìîùíîñòü ýòîé ñèëû ( N = F*vx = IBzlvx = I2 R ) â òî÷íîñòè ðàâíà òåïëîâîé ìîùíîñòè, âûäåëÿþùåéñÿ íà ñîïðîòèâëåíèè R, ÷òî, êîíå÷íî æå, íåóäèâèòåëüíî. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè âåðåí! Ïîäêëþ÷èì òåïåðü ê ïàðàëëåëüíûì ïðîâîäàì, ïî êîòîðûì ñêîëüçèò ñòåðæåíü, åùå îäèí ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R (ñì. ðèñ.2). Òîãäà, åñëè ñòåðæåíü ïî-ïðåæíåìó áóäåò äâèãàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ vx , ÷åðåç íåãî óæå ïîòå÷åò ýëåêòðè÷åñêèé òîê âåëè÷èíîé 2I. Ñèëà Àìïåðà óâåëè÷èòñÿ â äâà ðàçà, è â äâà ðàçà áîëüøå ñòàíåò âûäåëÿþùàÿñÿ íà ñîïðîòèâëåíèÿõ òåïëîâàÿ ìîùíîñòü. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè ýëåêòðè÷åñêèé ãåíåðàòîð ïîñòîÿííîãî òîêà. Âêëþ÷åíèå íåñêîëüêèõ ïàðàëëåëüíûõ ñîïðîòèâëåíèé R âî ñòîëüêî æå ðàç óâåëè÷èò ñèëó Àìïåðà, òîðìîçÿùóþ ñòåðæåíü. Ðàñïîëîæèì òåïåðü ïàðàëëåëüíûå ïðîâîäíèêè âåðòèêàëüíî (ðèñ.3), è ïóñòü ïî íèì ñêîëüçèò íàø ïðîâîäÿùèé (óæå ãîðèçîíòàëüíûé) ñòåðæåíü ìàññîé m, çàìûêàþùèé öåïü ñ ðåçèñòîðîì ñîïðîòèâëåíèåì R è àêêóìóëÿòîðíîé áàòàðååé ñ ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëîé Ýá . Êîíòóð ïðîíèçûâàåòñÿ ïðåæíèì îäíîðîäíûì ãîðèçîíòàëüur íûì ìàãíèòíûì ïîëåì B , íàïðàâëåííûì ê íàì, è íàõîäèòñÿ â ïîëå òÿãîòåíèÿ Çåìëè. (Èíäåêñû äëÿ âåêòîðîâ è èõ ïðîåêöèé äëÿ ïðîñòîòû îïóñòèì, òàê êàê ìû óæå ðàçîáðàëèñü, ÷òî êóäà íàïðàâëåíî.) Åñëè çàìêÐèñ. 3 íóòü êëþ÷ K è îòïóñòèòü ñòåðæåíü, òî ïî öåïè ïîòå÷åò òîê I = Ýá R , íàïðàâëåííûé ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Åñëè âåëè÷èíà Ýá áóäåò äîñòàòî÷íî áîëüøîé, òî ñèëà Àìïåðà, äåéñòâóþùàÿ íà ñòåðæåíü, áóäåò áîëüøå ñèëû òÿæåñòè mg, è ñòåðæåíü íà÷íåò äâèãàòüñÿ ââåðõ ñ íà÷àëüíûì óñêîðåíèåì à, îïðåäåëÿåìûì ðàâåíñòâîì ma = FA - mg . Åñëè ñêîðîñòü ñòåðæíÿ v, îí ïðåâðàùàåòñÿ â «ýëåêòðîìàãíèòíóþ áàòàðåéêó», èìåþùóþ ýëåêòðîäâèæóùóþ ñèëó Ýýì = vBl è «äåéñòâóþùóþ», ïî ïðàâèëó Ëåíöà, ïðîòèâ âûçûâàþùåé åå ïðè÷èíû, ò.å. ïðîòèâ Ýá .  êîíöå êîíöîâ ìîæåò óñòàíîâèòüñÿ ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå (îòìåòèì åãî èíäåêñîì 0): I0 Bl = mg , I0 R = Ýá - Ýýì = Ýá - v0 Bl , (* ) îòêóäà ïîëó÷èì ïîñòîÿííóþ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ñòåðæíÿ: v0 = Ýá Bl - mgR ( Bl )2 Ý æ mgR ö . = á ç1 Bl è Ýá Bl ø÷  !' «ÊÂÀÍÒÅ» Åñëè ïåðâîå ðàâåíñòâî âûðàæåíèÿ ( * ) óìíîæèòü íà v0 , à âòîðîå íà I0 , ìû îïÿòü ïîëó÷èì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè: Ýá I0 = Ýýì I0 + I02 R = mgv0 + I02 R . Âèäíî, ÷òî ìîùíîñòü àêêóìóëÿòîðíîé áàòàðåè ðàñõîäóåòñÿ íà ïîëåçíóþ ìîùíîñòü ïîäíÿòèÿ ãðóçà ìàññîé m ñî ñêîðîñòüþ v0 è íà âûäåëÿþùóþñÿ ïðè ýòîì òåïëîâóþ ìîùíîñòü. Òàêèì îáðàçîì, íà ðèñóíêå 3 ôàêòè÷åñêè èçîáðàæåíà ïðèíöèïèàëüíàÿ ñõåìà ýëåêòðè÷åñêîãî ìîòîðà: âåäü ê íàøåìó ïðîâîäÿùåìó ñòåðæíþ âïîëíå ìîæíî ïðèêðåïèòü, íàïðèìåð, âåäðî âîäû, ïîäíèìàåìîå èç êîëîäöà. Èòàê, ïîëåçíàÿ (ìåõàíè÷åñêàÿ) ìîùíîñòü íàøåãî ìîòîðà ðàâíà Nïîë = Ýýì I0 = Ýýì (Ýá - Ýýì ) R , ñëåäîâàòåëüíî, åãî êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ ðàâåí ÊÏÄ = Nïîë Ýýì I0 Ýýì , = = Nçàò Ýá I0 Ýá ãäå Nçàò ïîëíàÿ ìîùíîñòü, çàòðà÷èâàåìàÿ áàòàðååé. Íà ðèñóíêå 4 èçîáðàæåí ãðàôèê çàâèñèìîñòè ïîëåçíîé ìîùíîñòè îò Ýýì , â íàøåì ñëó÷àå îò Ýýì = vBl . Ýòî ïàðàáîëà. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ìàêñèìàëüíàÿ ïîëåçíàÿ ìîùíîñòü ìîòîðà Nmax äîñòèãàåòñÿ, êîãäà «ýëåêòðîìàãíèòíàÿ» ÝÄÑ Ýýì îêàçûâàåòñÿ âäâîå ìåíüøå ÝÄÑ âêëþ÷åííîé â öåïü áàòàðåè Ýá . Ïðè ýòîì êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ ìîòîðà ñîñòàâëÿåò Ðèñ. 4 Ýýì Ýá = 0,5, ò.å. 50%. Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè ìû èìååì ýëåêòðè÷åñêèé ìîòîð, â öåïè êîòîðîãî ñîäåðæèòñÿ áàòàðåÿ ñ ÝÄÑ Ýá è ñîïðîòèâëåíèåì R, è îí ïîäíèìàåò ãðóç ìàññîé m, òî ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü ïîäíÿòèÿ ýòîãî ãðóçà ìîæíî íàéòè òàê: Ýá Ýá (Ýá - Ýá 2) Ýá2 = , è vmax = . 4mgR 2 4R R 2 mgvmax = Ýýì Imax = Ïî ãðàôèêó ðèñóíêà 4 âèäíî, ÷òî îäíó è òó æå ïîëåçíóþ ìîùíîñòü ñ îäíèì è òåì æå ìîòîðîì ìîæíî ïîëó÷èòü, ïîäíèìàÿ áûñòðî ( v2 > v1 ) ëåãêèé ãðóç èëè ìåäëåííî òÿæåëûé ãðóç. Ïðè÷åì ïîäíèìàòü áûñòðî ëåãêèé ãðóç çíà÷èòåëüíî âûãîäíåå, ïîòîìó ÷òî êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ ìîæåò áûòü çíà÷èòåëüíî áîëüøå è ìîòîð ïðè ýòîì áóäåò ãðåòüñÿ ñóùåñòâåííî ìåíüøå. Ìàêñèìàëüíî âîçìîæíàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ áåñêîíå÷íî ëåãêîãî ãðóçà ( mg ® 0 ) äîñòèãàåòñÿ, êîãäà Ýýì = v*Bl = Ýá , ïðè ýòîì I ® 0 è ÊÏÄ ® 1. Ýòó ñêîðîñòü v* = Ýá ( Bl ) íàçûâàþò ñêîðîñòüþ õîëîñòîãî õîäà ìîòîðà. Âåðíåìñÿ ñíîâà ê ñõåìå «ýëåêòðîìîòîðà» (ñì. ðèñ.3). Ýòó ñõåìó î÷åíü ïðîñòî ïðåâðàòèòü â ñõåìó «ãåíåðàòîðà», ïîìåíÿâ ïîëþñà áàòàðåè. Åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò çàìêíóòü êëþ÷ è îòïóñòèòü ñòåðæåíü, òî âíà÷àëå ñèëà Àìïåðà áóäåò íàïðàâëåíà âíèç, è ñòåðæåíü áóäåò ïàäàòü ñ óñêîðåíèåì, áóëüøèì óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ: ma = mg + IBl . Çàòåì òîê íà÷íåò óìåíüøàòüñÿ, èçìåíèò ñâîå íàïðàâëåíèå, êîãäà Ýýì = vBl ñòàíåò áîëüøå Ýá , è â äàëüíåéøåì óñòàíî- " ÊÂÀÍT 2008/¹5 âèòñÿ ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå: Ý æ mgR ö vóñò Bl - Ýá = Ióñò R , mg = Ióñò Bl , è vóñò = á ç1 + . Bl è Ýá Bl ÷ø Ïðè ýòîì çà ñ÷åò óìåíüøåíèÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñòåðæíÿ â ïîëå òÿæåñòè íà÷íåò çàðÿæàòüñÿ áàòàðåÿ è, êðîìå òîãî, áóäåò âûäåëÿòüñÿ òåïëîâàÿ ìîùíîñòü íà ñîïðîòèâëåíèè. Íà ÿçûêå ìîùíîñòåé çàïèøåì: 2 mgvóñò = vóñò BlIóñò = Ýá Ióñò + Ióñò R. Ðàññìîòðåííûå ïðèìåðû óáåäèòåëüíî ïîêàçûâàþò, ÷òî òàêèå âàæíûå äëÿ ÷åëîâå÷åñòâà ôèçè÷åñêèå îáúåêòû, êàê ýëåêòðè÷åñêèå ãåíåðàòîðû è ýëåêòðè÷åñêèå ìîòîðû, ÿâëÿþòñÿ êàê áû «ðîäñòâåííûìè» ïî ëèíèè ìàãíèòíûõ ñèë Ëîðåíöà è Àìïåðà. Îáîáùèì òåïåðü ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû. Âåðíåìñÿ ê íàøåìó íà÷àëüíîìó ïðèìåðó, èçîáðàæåííîìó íà ðèñóíêå 2. Ïàðàëëåëüíûå ïðîâîäà è ïåðåìû÷êà ñ ðåçèñòîðîì ñîïðîòèâëåíèåì R íåïîäâèæíû. Ñòåðæåíü äëèíîé l äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ vx .  äàííûé ìîìåíò âðåìåíè t êîîðäèíàòà ñòåðæíÿ ðàâíà õ. Ìàãíèòíûé ïîòîê Φ t ÷åðåç çàìêíóòûé êîíòóð abcd ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ èíäóêöèè ïîëÿ  íà ïëîùàäü lx (t ) ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïîëþ ïëîùàäêè: Φ (t ) = Blx (t ) . Çàìåòèì, ÷òî dΦ dx = Bl = Blvx . dt dt Çíà÷èò, ìîæíî çàïèñàòü, ÷òî dΦ Ýýì = . dt Ïî÷åìó ñòîèò çíàê «ìèíóñ»?  íàøåì ñëó÷àå ìàãíèòíûé ïîòîê óâåëè÷èâàåòñÿ, òàê êàê óâåëè÷èâàåòñÿ ïëîùàäü êîíòóðà abcd, à òîê â êîíòóðå áóäåò òå÷ü ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè è ñîçäàâàòü âíóòðè êîíòóðà ñîáñòâåííîå ìàãíèòíîå ïîëå, ïî íàïðàâëåíèþ ïðîòèâîïîëîæíîå ìàãíèòíîìó ïîëþ Â. Ýòî ïîëîæåíèå è íàçûâàåòñÿ ïðàâèëîì Ëåíöà. Íàøó ýëåêòðîìàãíèòíóþ ýëåêòðîäâèæóùóþ ñèëó Ýýì íàçâàëè ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëîé ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè, à óñòàíîâëåííûé îïûòíûìè ôàêòàìè çàêîí dΦ Ýi = dt çàêîíîì ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè Ôàðàäåÿ. Äàëüíåéøåå îáîáùåíèå çàêîíà (ýòî îïÿòü-òàêè óñòàíîâëåíî îïûòíûìè ôàêòàìè) ãîâîðèò î òîì, ÷òî åñëè ïîòîê Φ ur ìàãíèòíîãî ïîëÿ B ÷åðåç ëþáóþ ïîâåðõíîñòü, îïèðàþùóþñÿ íà çàìêíóòûé êîíòóð, çàâèñèò îò âðåìåíè, òî â ýòîì êîíòóðå âîçíèêàåò ÝÄÑ ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè, îïðåäåëÿåìàÿ çàêîíîì Ôàðàäåÿ. Ïðè÷åì ñî âðåìåíåì ìîãóò èçìåíÿòüñÿ (â îòäåëüíîñòè èëè îäíîâðåìåííî) ôîðìà êîíòóðà, åãî ïëîùàäü, îðèåíòàöèÿ â ïðîñòðàíñòâå îòíîñèòåëüíî ur ìàãíèòíîãî ïîëÿ B , à òàêæå ñàìî ìàãíèòíîå ïîëå B t , êîòîðîå â îáùåì ñëó÷àå äîëæíî ñêëàäûâàòüñÿ èç âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ è ñîáñòâåííîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî âîçíèêàþùèì ñîáñòâåííûì ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì â ïðîâîäÿùåì êîíòóðå. Åñëè âû çàïîìíèòå ïðåäûäóùèé àáçàö, òî ïðîñëûâåòå â øêîëå áîëüøèì çíàòîêîì ôèçèêè. ×åãî âàì è æåëàåì. ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈ Êàê øàðèê î ïëèòó óäàðèëñÿ À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ «× òî æå òóò îñîáåííîãî? ñêàæåò Îòëè÷íèê. Áóäåì ñ÷èòàòü óäàð àáñîëþòíî óïðóãèì » Ñ ýòîãî è íà÷íåì. ×òî òàêîå óäàð? È ÷òî çíà÷èò àáñîëþòíî óïðóãèé? Óäàð ïîíèìàþò îáû÷íî êàê íå÷òî ìãíîâåííîå; ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îí ïðèâîäèò ê áåñêîíå÷íî áûñòðîìó èçìåíåíèþ ñêîðîñòåé ñîóäàðÿþùèõñÿ òåë.  ÷àñòíîñòè, ïðè íîðìàëüíîì ñòîëêíîâåíèè øàðèêà ñ ìàññèâíîé ïëèòîé ïðîèñõîäèò, êàê ñêàçàë áû ìàòåìàòèê, ñêà÷îê èëè ðàçðûâ íîðìàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè: ∆vn = v2n - v1n . Íî ïîñêîëüêó øàðèê îáëàäàåò êîíå÷íîé ìàññîé m, òàêîé ñêà÷îê ñêîðîñòè ïîòðåáîâàë áû áåñêîíå÷íî áîëüøîé íîðìàëüíîé ñèëû: Fn ® ¥ , êîòîðàÿ çà áåñêîíå÷íî ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè: τ ® 0 äîëæíà ïðèâåñòè ê êîíå÷íîìó ïðèðàùåíèþ èìïóëüñà: m∆vn = Fn × τ ( = ¥ × 0) . (1) Ïî ñóòè äåëà, ïðè ýòîì íå èíòåðåñóþòñÿ òåì, ÷òî ïðîèñõîäèò â òå÷åíèå âðåìåíè ñòîëêíîâåíèÿ τ , âàæíî òîëüêî òî, ÷òî ïîëó÷èëîñü â êîíöå ýòîãî ïðîöåññà. Òàê ÷òî ýòî âðåìÿ ìîæåò è íå áûòü ðàâíûì íóëþ; «ìãíîâåííîñòü» óäàðà ìîæíî ïîíèìàòü êàê ìàëîñòü âðåìåíè τ ïî ñðàâíåíèþ ñ êàêèì-òî äðóãèì «áîëüøèì» îòðåçêîì âðåìåíè, íàïðèìåð âðåìåíåì ïîäúåìà øàðèêà â ïîëå òÿæåñòè íà âûñîòó h ïîñëå îòñêîêà: 2h . g Íî òîãäà è ñèëà Fn íå äîëæíà áûòü áåñêîíå÷íî áîëüøîé âàæíî ëèøü ïðèðàùåíèå èìïóëüñà. Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó óäàð ýòî óæå ïðîöåññ, äëÿùèéñÿ êîíå÷íîå âðåìÿ τ , «âíóòðè» êîòîðîãî ñèëà Fn ìîæåò êàê-òî èçìåíÿòüñÿ, òî ìîæíî ââåñòè åå ñðåäíåå çíà÷åíèå Fn òàêîå, ÷òî åãî ïðîèçâåäåíèå íà âðåìÿ óäàðà â òî÷íîñòè ðàâíî òîìó æå ïðèðàùåíèþ èìïóëüñà (1): τ= m∆vn = Fn × τ . ( 1¢ ) À ÷òî çíà÷èò àáñîëþòíî óïðóãèé? Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïîñëå ñîóäàðåíèÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ îòñêî÷èâøåãî øàðèêà îñòàëàñü â òî÷íîñòè òàêîé æå, êàê äî óäàðà (ìàññà ïëèòû ñ÷èòàåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîé). Çíà÷èò, íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè èçìåíèò òîëüêî çíàê: v2n = -v1n . Êîíå÷íî, ýòî èäåàëèçèðîâàííàÿ ìîäåëü ãäå æå íàéòè òàêóþ ïëèòó è òàêîé øàðèê, êîòîðûé ïîñëå ïàäåíèÿ ñ âûñîòû h îòñêî÷èë áû íà òó æå âûñîòó? ×òî æå ïðîèñõîäèò íà ñàìîì äåëå ïðè ñòîëêíîâåíèè? Ïðåäñòàâèì ñåáå óïðóãîå òåëî ìàññîé m â âèäå äâóõ æåñòêèõ ÷àñòåé ìàññîé m/2 êàæäàÿ, ñêðåïëåííûõ íåâåñîìîé ïðóæèíêîé æåñòêîñòüþ k (ðèñ.1). Ïóñòü ýòî ñîñòàâíîå òåëî íîðìàëüíî ïàäàåò íà àáñîëþòíî æåñòêóþ ïëèòó ñî ñêîðîñòüþ ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ Ðèñ. 1 v1n .  ìîìåíò âðåìåíè t = 0 íèæíÿÿ ïîëîâèíà ïðèõîäèò â ñîïðèêîñíîâåíèå ñ ïëèòîé. Ïðèïèøåì ýòîé ïîëîâèíå ñâîéñòâî «àáñîëþòíî óïðóãî îòðàæàòüñÿ» îò ïëèòû. Ýòî çíà÷èò, ÷òî â ñëåäóþùåå ìãíîâåíèå t = +0 íèæíÿÿ ïîëîâèíà èçìåíèò çíàê ñêîðîñòè íà ïðîòèâîïîëîæíûé: v2n = -v1n , à âåðõíÿÿ ïîëîâèíà ïîêà ÷òî íè÷åãî îá ýòîì «íå çíàåò» è ïðîäîëæàåò äâèãàòüñÿ âíèç ñ ïðåæíåé ñêîðîñòüþ -v1n . Íî ïîñêîëüêó òåïåðü îáå ïîëîâèíû äâèæóòñÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ñ îäèíàêîâûìè ïî ìîäóëþ, íî ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûìè ñêîðîñòÿìè, ïðóæèíà íà÷íåò ñæèìàòüñÿ, è â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè, îáîçíà÷èì åãî τ 2 , îáå ïîëîâèíû íà ìãíîâåíèå îñòàíîâÿòñÿ. Çàòåì ïðóæèíà íà÷íåò èõ ðàñòàëêèâàòü è â ìîìåíò âðåìåíè t = τ - 0 ïîëíîñòüþ ðàñïðÿìèòñÿ, åå ðàñòàëêèâàþùàÿ ñèëà èñ÷åçíåò.  òî æå ìãíîâåíèå «àáñîëþòíî æåñòêàÿ» íèæíÿÿ ïîëîâèíà òåëà âòîðè÷íî «àáñîëþòíî óïðóãî» îòðàçèòñÿ îò «àáñîëþòíî æåñòêîé» ïëèòû è â ìîìåíò âðåìåíè t = τ + 0 ïðèîáðåòåò òó æå ñêîðîñòü, ÷òî è äî ñîóäàðåíèÿ, íî òåïåðü íàïðàâëåíóþ ââåðõ. À ýòó æå ñêîðîñòü óæå èìååò è âåðõíÿÿ ïîëîâèíà. Òàêèì îáðàçîì, íàøå äâóõïîëîâèííîå òåëî ñòàíåò äâèãàòüñÿ ââåðõ, íå ïîòåðÿâ íè÷åãî èç ñâîåé ïåðâîíà÷àëüíîé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè. Íà ðèñóíêå 1 øòðèõàìè ïîêàçàíî, ÷òî òðàåêòîðèÿ òåëà, ïîäëåòàþùåãî ê ïëèòå è îòðàçèâøåãîñÿ îò íåå, ìîæåò áûòü êðèâîëèíåéíîé (íàïðèìåð, ïàðàáîëîé), íî â ìàñøòàáå âðåìåíè âçàèìîäåéñòâèÿ τ ýòî èñêðèâëåíèå ñîâåðøåííî íåçíà÷èòåëüíî, à ñèëà òÿæåñòè mg ïðåíåáðåæèìî ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ íîðìàëüíîé ñèëîé, âûçûâàþùåé ñêà÷îê ñêîðîñòè ïðè ñîïðèêîñíîâåíèè ñ ïëèòîé. Çàìåòèì, ÷òî öåíòð ìàññ ýòîãî äâîéíîãî òåëà íåïîäâèæåí âî âñå âðåìÿ ñòîëêíîâåíèÿ ( 0 < t < τ ). Èòàê, ÷åðåç êîíå÷íûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ïîðÿäêà ïåðèm îäà êîëåáàíèé ýòîãî óñòðîéñòâà îíî îòñêî÷èò îò ïëèòû 2k ñî ñêîðîñòüþ, ðàâíîé ïî ìîäóëþ ñêîðîñòè ïàäåíèÿ. À åùå áîëåå ñëîæíîå òåëî óïðóãèé øàðèê ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ìíîæåñòâà ìàëûõ ìàññ, ñîåäèíåííûõ ïðóæèíêàìè. Ïðè óäàðå îò ìåñòà êîíòàêòà ïî øàðèêó ïîáåæèò âîëíà äåôîðìàöèè, êîòîðàÿ, ïðîéäÿ åãî äèàìåòð, îòðàçèòñÿ â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó è, âíîâü ïðîéäÿ ðàññòîÿíèå, ðàâíîå äèàìåòðó, äîéäåò äî ìåñòà êîíòàêòà. Òóòòî øàðèê è îòñêî÷èò îò ïëèòû. Âïðî÷åì, è ïëèòó òî÷íî òàê æå ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñîñòîÿùåé èç ìíîæåñòâà ìàññ (àòîìîâ, èîíîâ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè), ñîåäèíåííûõ «ïðóæèíêàìè», îáåñïå÷èâàþùèìè óïðóãîñòü òâåðäîãî òåëà (êîòîðîå òåïåðü óæå íåëüçÿ íàçâàòü àáñîëþòíî æåñòêèì). È â ýòîì òåëå òîæå ïîáåæèò âîëíà, óíîñÿ ñ ñîáîé ÷àñòü êèíåòè- ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈ " ÷åñêîé ýíåðãèè øàðèêà. Çíà÷èò, åãî ñêîðîñòü ïîñëå ñîóäàðåíèÿ îáÿçàòåëüíî ñòàíåò ìåíüøå ñêîðîñòè ïàäåíèÿ. Íî ÷òî ýòî ìû äî ñèõ ïîð ãîâîðèì òîëüêî î íîðìàëüíîì ñîóäàðåíèè? Âåäü òåëî ìîæåò ïàäàòü ïîä ëþáûì óãëîì ê ïëîñêîñòè, è òîãäà åãî ñêîðîñòü â ìîìåíò ñîïðèêîñíîâåíèÿ ìîæåò èìåòü ñîñòàâëÿþùóþ, íàïðàâëåííóþ âäîëü ïëîñêîñòè, èëè êàñàòåëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ, èëè òàíãåíöèàëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ êîìó êàê íðàâèòñÿ, íî â ëþáîì ñëó÷àå ìû áóäåì åå îòìå÷àòü èíäåêñîì s. Ïóñòü â êàêîé-òî ìîìåíò ïðîèñõîäèò ñîóäàðåíèå êðóãëîãî òåëà (øàðèêà, öèëèíäðà èëè îáðó÷à) ñ òâåðäîé ïîâåðõíîñòüþ. Ñèòóàöèÿ ñîâñåì íå ðåäêàÿ. Íàïðèìåð, íà ñîðåâíîâàíèÿõ ïî õóäîæåñòâåííîé ãèìíàñòèêå ìîæíî íàáëþäàòü, êàê Ãèìíàñòêà îòáðàñûâàåò â ñòîðîíó îáðó÷, çàêðóòèâ åãî òàê, ÷òî, ïðîñêîëüçèâ íåêîòîðîå ðàññòîÿíèå, íî íå ïîòåðÿâ ïîëíîñòüþ âðàùåíèÿ, îí ñàì âîçâðàùàåòñÿ ê õîçÿéêå. Çíà÷èò, çà âðåìÿ ñêîëüæåíèÿ τ s òðåíèå ïîëíîñòüþ «ñúåëî» ïåðâîíà÷àëüíûé òàíãåíöèàëüíûé èìïóëüñ îáðó÷à mv1s , ïîñëå ÷åãî íà÷àëîñü ÷èñòîå êà÷åíèå, íî ïîñòóïàòåëüíàÿ ñêîðîñòü îáðó÷à ñìåíèëà çíàê. Íà ðèñóíêå 2 óñëîâíî èçîáðàæåíû èçìåíåíèÿ ñî âðåìåíåì ñèëû Fs , óãëîâîé ñêîðîñòè îáðó÷à ω è åãî ïîñòóïàòåëüíîé ñêîðîñòè vs . Êîíå÷íî, ýòîò ïðèìåð ïîíàñòîÿùåìó íåëüçÿ íàçâàòü ñîóäàðåíèåì çäåñü ïðîöåññ ðàçâèâàåòñÿ äîâîëüíî äîëãî, òàê ÷òî çðèòåëè óñïåâàþò ïîëþáîâàòüñÿ åùå íåñêîëüêèìè äâèæåíèÿìè Ãèìíàñòêè. À âîò äðóãîé ïðèìåð: òÿæåëûé àâèàëàéíåð ñàäèòñÿ íà âçëåòíî-ïîñàäî÷íóþ ïîëîñó, è èç-ïîä åãî øàññè ëåòÿò ïûëü è äûì áóêâàëüíî äûì! ãîðÿò ïîêðûøêè êîëåñ, åñëè Ðèñ. 2 åùå äî êàñàíèÿ çåìëè íå ïîçàáîòèòüñÿ ðàñêðóòèòü ýòè ñîòíè êèëîãðàììîâ äî íóæíîé ñêîðîñòè. Êàêîé? Òàêîé, ÷òîáû óæå â ìîìåíò êàñàíèÿ ñîáëþäàëîñü óñëîâèå êà÷åíèÿ -v ω1 = 1s , r ãäå r ðàäèóñ êîëåñà (ýòî óñëîâèå äîëæíî áûòü ñîáëþäåíî äëÿ ëþáîãî êðóãëîãî òåëà îáîäà, äèñêà, øàðà). Íî âåðíåìñÿ ê øàðèêó. Íà ðèñóíêå 3 èçîáðàæåíû ïîñëåäîâàòåëüíûå ñòàäèè åãî âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ïëèòîé, íà÷èíàÿ ñ ìîìåíòà ïàäåíèÿ ïîä óãëîì, îïðåäåëÿåìûì óñëîâèåì -v tg β = 1n . v1s Ïîêàçàíû ñêîëüæåíèå â òå÷åíèå âðåìåíè τ s , ïîñëåäóþùåå êà÷åíèå â òå÷åíèå âðåìåíè τ - τs è, íàêîíåö, îòñêîê â ìîìåíò âðåìåíè τ + 0 . Èçîáðàæåí ñëó÷àé, êîãäà âðåìÿ ñêîëüæåíèÿ τ s ìåíüøå âðåìåíè ñîïðèêîñíîâåíèÿ τ .  ÷àñòíîì ñëó÷àå îíè ìîãóò è ñîâïàäàòü. Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà çíàêè âåëè÷èí. Ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ω ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé, åñëè âðàùåíèå ïðîèñõîäèò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. (Ìàòåìàòèê ñêàçàë áû, ÷òî âåêòîðû, íàïðàâëåííûå âäîëü îñåé s, n, ω , îáðàçóþò ïðàâóþ òðîéêó âåêòîðîâ.) Íà ðèñóíêå 3 çàâèñèìîñòè ñîñòàâëÿþùèõ ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ Fn è Fs îò âðåìåíè èçîáðàæåíû ïðîèçâîëüíûìè " ÊÂÀÍT 2008/¹5 2 mr 2 . Ââîäÿ 5 áåçðàçìåðíóþ âåëè÷èíó γ = J mr 2 , ïîëó÷èì: äëÿ îáðó÷à 1 2 2 γ = 1 , äëÿ ñôåðû γ = , äëÿ äèñêà γ = , äëÿ øàðà γ = . 2 5 3 Òàêèì îáðàçîì, èç íàçâàííûõ òåë îáðó÷ òðóäíåå âñåãî ðàñêðóòèòü äî çàäàííîé óãëîâîé ñêîðîñòè, à øàðèê ëåã÷å âñåãî (ïðè îäèíàêîâûõ çíà÷åíèÿõ ìàññû è ðàäèóñà). Èì-òî ìû è èíòåðåñóåìñÿ ïðåæäå âñåãî. Äàëåå, â óðàâíåíèè (2) íà âñÿêèé ñëó÷àé ó÷òåíà è ñèëà òÿæåñòè ïàäàþùåãî òåëà íà òîò ñëó÷àé, êîãäà îíà îêàæåòñÿ åäèíñòâåííîé ïðèæèìàþùåé ñèëîé (Ãèìíàñòêà ñ îáðó÷åì èëè êîëåñî àâèàëàéíåðà). Íàïîìíèì, ÷òî ïðè óäàðå Fn ? mg , è ñèëîé òÿæåñòè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ê çàïèñàííîé ñèñòåìå óðàâíåíèé Òåîðåòèê è Ýêñïåðèìåíòàòîð îòíåñóòñÿ ïî-ðàçíîìó. Òåîðåòèê áóäåò ðàññóæäàòü òàê. Ïóñòü çàäàíû âñå ïàðàìåòðû äî ñòîëêíîâåíèÿ (èíäåêñ 1): v1n , v1s , ω1 è õàðàêòåð âçàèìîäåéñòâèÿ òåë: êîýôôèöèåíò òðåíèÿ µ . Òðåáóåòñÿ íàéòè ïàðàìåòðû ïîñëå îòñêîêà v2n , v2 s è ω2 , ñîñòàâëÿþùèå âíóòðåííîñòü ñôåðû (ò.å. ñäåëàòü øàð), òî J = ñèëû Fn è Fs , âðåìÿ ñîóäàðåíèÿ τ è âðåìÿ ñêîëüæåíèÿ τ s ñåìü âåëè÷èí. Ñëåäîâàòåëüíî, íóæíû åùå êàêèå-òî ñîîòíîøåíèÿ äëÿ çàìûêàíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (2)(4) . Ïðåæäå âñåãî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ çàêîíîì Êóëîíà Àìîíòîíà Fs = -µ Fn Ðèñ. 3 âîëíèñòûìè ëèíèÿìè. Ìû íå èíòåðåñóåìñÿ òî÷íûì «óñòðîéñòâîì» ýòèõ çàâèñèìîñòåé. Íàñ èíòåðåñóåò êîíå÷íûé èìïóëüñ ñèë Fn τ è Fs τ s , ãäå â óãëîâûõ ñêîáêàõ ïîêàçàíû ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ñèë. Ïîñêîëüêó øàðèê íå åñòü òî÷êà, à èìååò êîíå÷íûé ðàçìåð, òàíãåíöèàëüíàÿ ñèëà (êîëü ñêîðî îíà íàïðàâëåíà âëåâî) ñîçäàåò êðóòÿùèé ìîìåíò, íàïðàâëåííûé ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå è ðàâíûé rFs t . Ïîäîáíî òîìó êàê â ïîñòóïàòåëüíîì äâèæåíèè â òå÷åíèå âðåìåíè ñêîëüæåíèÿ ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå òàíãåíöèàëüíîãî èìïóëüñà íà âåëè÷èíó Fs τs , âî âðàùàòåëüíîì äâèæåíèè ïðîèçîéäåò èçìåíåíèå ÷åãî? ìîìåíòà èìïóëüñà íà âåëè÷èíó r Fs τ s , ò.å. íà âåëè÷èíó ìîìåíòà èìïóëüñà ñèëû. Íî íàïèøåì, íàêîíåö, óðàâíåíèÿ: m (v2n - v1n ) = ( Fn + mg) τ , m (v2 s - v1s ) = Fs τs , J (ω2 - ω1 ) = r Fs τ s . (2) (3) (4) Èõ ñìûñë ïðîñò: â ðåçóëüòàòå ñòîëêíîâåíèÿ ïðîèçîøëè èçìåíåíèÿ íîðìàëüíîãî è òàíãåíöèàëüíîãî èìïóëüñîâ øàðèêà, è ýòè èçìåíåíèÿ ðàâíû èìïóëüñàì ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèë. Êðîìå òîãî, ïðîèçîøëî èçìåíåíèå óãëîâîé ñêîðîñòè. Ïðè ýòîì êîýôôèöèåíò J ìîìåíò èíåðöèè îïèñûâàåò èíåðòíîñòü òåëà âî âðàùàòåëüíîì äâèæåíèè, ïîäîáíî òîìó êàê m ìàññà õàðàêòåðèçóåò èíåðòíîñòü â ïîñòóïàòåëüíîì äâèæåíèè. Òóò íàäî ñêàçàòü åùå íåñêîëüêî ñëîâ.  êðóãëîì òåëå ðàäèóñîì r åãî ìàññó ìîæíî ðàñïðåäåëèòü ïî-ðàçíîìó. Ìîæíî ðàçìåñòèòü ìàññó íà îäíîì è òîì æå ðàññòîÿíèè r îò öåíòðà. Òîãäà ïîëó÷èì îáðó÷, äëÿ êîòîðîãî J = mr 2 . Ìîæíî 1 2 «ðàçìàçàòü» åå ïî äèñêó, è òîãäà ïîëó÷èì J = mr . Ìîæíî 2 ðàñïðåäåëèòü åå ðàâíîìåðíî ïî ñôåðå (êàê ó øàðèêà äëÿ 2 ïèíã-ïîíãà), òîãäà J = mr 2 . À åñëè çàïîëíèòü ìàññîé 3 (ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî â òå÷åíèå âñåãî âðåìåíè ñêîëüæåíèÿ òàíãåíöèàëüíàÿ ñèëà ïðîïîðöèîíàëüíà íîðìàëüíîé). Äàëåå, äëÿ âðåìåíè ñîóäàðåíèÿ ìîæíî ïðèíÿòü îöåíêó æ 1 1ö , τ : 4r ç + è cø cï ÷ø ãäå cø è cï ñêîðîñòè çâóêà â ìàòåðèàëàõ øàðèêà è ïëèòû. ×åì æåñò÷å ìàòåðèàë, òåì áîëüøå ñêîðîñòü çâóêà â íåì. Íàïðèìåð, äëÿ ñòàëè îíà ïîðÿäêà 5000 ì/ñ, à äëÿ ñâèíöà ~ 1000 ì/ñ. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ïëèòà «àáñîëþòíî æåñòêàÿ» è ñêîðîñòü çâóêà â íåé áåñêîíå÷íî âåëèêà, òî âðåìÿ ñîóäàðåíèÿ áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ âðåìåíåì ïðîõîæäåíèÿ âîëíîé âîçìóùåíèÿ äèàìåòðà øàðèêà 2r «òóäà è îáðàòíî». À åñëè ïëèòà «àáñîëþòíî ìÿãêàÿ» (íàïðèìåð, èç ïëàñòèëèíà), òî cï ® 0 , è øàðèê íèêóäà íå îòñêî÷èò ( τ ® ¥ ). Èòàê, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñåìè íåèçâåñòíûõ èìååòñÿ âñåãî ïÿòü ñîîòíîøåíèé. Çàäà÷à âñå åùå íå çàìêíóòà. ×òî æå äåëàòü? Ñòðîãî ãîâîðÿ, íóæíî ðåøèòü ñëîæíóþ ïðîáëåìó íåñòàöèîíàðíîé äåôîðìàöèè äâóõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ òåë øàðèêà è ïëèòû, â îáúåìå êîòîðîé è ïî ïîâåðõíîñòè êîòîðîé ïðè óäàðå ïîáåãóò âîëíû, óíîñÿùèå ÷àñòü íà÷àëüíîé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè øàðèêà. Íî äëÿ ýòîãî íóæíî çíàòü òåîðèþ óïðóãîñòè è ÷èñëåííûå ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ïîýòîìó îáðàòèìñÿ ê Ýêñïåðèìåíòàòîðó. Íà îïûòå äîâîëüíî ïðîñòî ìîæíî èçìåðèòü ñîñòàâëÿþùèå ñêîðîñòè v1n , v1s , v2n , v2 s ïðè ïîìîùè êèíîñúåìêè èëè îñâåùàÿ ÷àñòèöó ñòðîáîñêîïè÷åñêèìè âñïûøêàìè. Ýòî òàê íàçûâàåìûé âðåìÿïðîëåòíûé ìåòîä. Ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòà îáû÷íî ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå çàâèñèìîñòåé îò óãëà ïàäåíèÿ îòíîøåíèé ñîñòàâëÿþùèõ ñêîðîñòè ïîñëå è äî ïàäåíèÿ òàê íàçûâàåìûõ êîýôôèöèåíòîâ âîññòàíîâëåíèÿ íîðìàëüíîé è òàíãåíöèàëüíîé ñîñòàâëÿþùèõ èìïóëüñà v v an = 2n è as = 2 s . -v1n v1s Âèäíî, ÷òî ïåðâûé èç íèõ âñåãäà íåîòðèöàòåëåí, òàê êàê v1n âñåãäà íåïîëîæèòåëüíà; âòîðîé æå ìîæåò èìåòü ëþáîé çíàê (íàïðèìåð, áûòü îòðèöàòåëüíûì â ñëó÷àå Ãèìíàñòêè ñ îáðó- ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÷åì) èëè áûòü ðàâíûì íóëþ (òîãäà ïðåäâàðèòåëüíî çàêðó÷åííîå òåëî îòñêî÷èò âåðòèêàëüíî ââåðõ, òàê êàê åãî òàíãåíöèàëüíûé èìïóëüñ áóäåò ïîëíîñòüþ «ñúåäåí» òðåíèåì). Ýêñïåðèìåíòû ïîêàçûâàþò, ÷òî îáå ýòè âåëè÷èíû çàâèñÿò îò óãëà ñêîëüæåíèÿ β . Íà ðèñóíêå 4, à êà÷åñòâåííî èçîáðàæåí õàðàêòåðíûé âèä ýòèõ çàâèñèìîñòåé, à âåðòèêàëüíûå îòðåçêè ïîêàçûâàþò, ÷òî âñÿêèé ÷åñòíûé ýêñïåðèìåíò äàåò "! ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈ Ïåðåïèøåì óðàâíåíèÿ (2)(4), èñïîëüçóÿ ââåäåííûå êîýôôèöèåíòû âîññòàíîâëåíèÿ (çäåñü ñèëó òÿæåñòè ó÷èòûâàòü íå áóäåì): F -v1n (1 + an ) = n τ , ( 2¢ ) m τ v1s (1 - as ) = -v1n 1 + an s µ , ( 3¢ ) τ 1 v2 s 1 - as ω2 - ω1 = ( 4¢ ) γ r as . Ïîìíÿ, ÷òî íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè ïàäàþùåãî òåëà v1n âñåãäà îòðèöàòåëüíà â âûáðàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, ïðè íåé ñîõðàíåí çíàê «ìèíóñ» (òàê ÷òî -v1n ³ 0 ). Èç ( 3¢ ) ìîæíî ïîëó÷èòü îòíîñèòåëüíîå âðåìÿ ñêîëüæåíèÿ: 1 - as τs v = 1s τ -v1nµ 1 + an . Êîíå÷íî, îíî ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé óãëà β , íî â ëþáîì ñëó÷àå íå äîëæíî ïðåâîñõîäèòü åäèíèöó ( τ s £ τ ) íå ìîæåò øàðèê ñêîëüçèòü äîëüøå, ÷åì äëèòñÿ åãî êîíòàêò ñ ïëèòîé! Ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ ( 4¢ ) òîæå èçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ β , ñëåäîâàòåëüíî, ýòî óðàâíåíèå äàñò ïðèðàùåíèå óãëîâîé ñêîðîñòè ω2 - ω1 . Âïðî÷åì, åñëè ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé òàêîâû, êàê íà ðèñóíêå 4,à, ò.å. as ® 1 ïðè β ® π 2 , òî óãëîâàÿ ñêîðîñòü ïàäàþùåãî øàðèêà çàâåäîìî ðàâíà íóëþ ( ω1 = 0 ) îí íå âðàùàåòñÿ ïåðåä ñòîëêíîâåíèåì. Òîãäà ω2 = - mr 2 v2 s 1 - as . J r as À â êîíöå ó÷àñòêà ñêîëüæåíèÿ èìååì v ω2 = - 2 s . r Îòñþäà 1 - as 1 J . = = γ , as = 1+ γ as mr 2 5 2 , òàê ÷òî as = . Èíòåðåñíî, ÷òî âûñîòà 5 7 7 áîðòèêà áèëüÿðäíîãî ñòîëà äåëàåòñÿ ðàâíîé îò ðàäèóñà 5 øàðà ýòî ëè íå ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå çàêîíîâ ôèçèêè! Åñëè τ s = τ , òî èç ( 3¢ ) è ( 4¢ ) ìîæíî íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèé êîýôôèöèåíò òðåíèÿ, îáåñïå÷èâàþùèé ýòî óñëîâèå: Äëÿ øàðèêà γ = Ðèñ. 4 ðàçáðîñ ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé, çàâèñÿùèé îò ìíîãèõ ïðè÷èí (øåðîõîâàòîñòè ïëèòû, íåñôåðè÷íîñòè «øàðèêà», íåñîâåðøåíñòâà èçìåðèòåëüíîãî ïðèáîðà, , íàñòðîåíèÿ Ýêñïåðèìåíòàòîðà). Õîòåëîñü áû èçìåðèòü è óãëîâûå ñêîðîñòè ω1 è ω2 . Êîíå÷íî, ýòî ìîæíî ñäåëàòü, íàïðèìåð, â ñëó÷àå ôóòáîëüíîãî ìÿ÷à, øàðèêà äëÿ ïèíã-ïîíãà èëè äëÿ ìèëëèìåòðîâûõ øàðèêîâ, íà êîòîðûõ åñòü êàêèå-òî ìåòêè (òóò óæ íóæíà áóäåò ôîòî- èëè êèíîñúåìêà). Íî åñëè ÷àñòèöû èìåþò ìèêðîííûå ðàçìåðû? Íàïðèìåð, ÷àñòèöû çàïûëåííîé àòìîñôåðû, â êîòîðîé äâèæåòñÿ ñàìîëåò èëè ñïóñêàåìûé êîñìè÷åñêèé êîðàáëü? Ðàçóìååòñÿ, êîå-÷òî ìîæíî ñêàçàòü îá óãëîâîé ñêîðîñòè è ïî ðåçóëüòàòàì èçìåðåíèÿ ëèíåéíîé ñêîðîñòè. Íàïðèìåð, èç ðèñóíêà 4,à âèäíî, ÷òî â ýòèõ ýêñïåðèìåíòàõ ïàäàþùèå øàðèêè íå âðàùàëèñü äî ñîóäàðåíèÿ ñ ïîâåðõíîñòüþ ( ω1 = 0 ) èíà÷å âåëè÷èíà as áûëà áû áîëüøå èëè ìåíüøå åäèíèöû èëè äàæå îòðèöàòåëüíà. Èòàê, ïóñòü èçìåðåíû v1n , v1s , v2n , v2 s â ôóíêöèè óãëà ñêîëüæåíèÿ β . (Æåëàòåëüíî, êîíå÷íî, ÷òîáû è â çàâèñèìîñòè îò ω1 , ïîòîìó ÷òî, åñëè øàðèêó ïðèäåòñÿ âòîðè÷íî ñòîëêíóòüñÿ ñ ïëèòîé, îí îêàæåòñÿ óæå çàêðó÷åííûì ïîñëå ïåðâîãî ñòîëêíîâåíèÿ. Íî ýòî íåëåãêî ñäåëàòü äëÿ ìèêðî÷àñòèö.) Íóæíî íàéòè ω2, Fn , Fs , τ, τs òåïåðü óæå ïÿòü âåëè÷èí, â îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ ñ Òåîðåòèêîì. µ* = γ (ω1r + v1s ) . + γ ( 1) (v2n - v1n ) Îòñþäà âèäíî, ÷òî ïðè µ* = 0 (ñîâñåì íåò òðåíèÿ) äîëæíî v âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå ω1 = - 1s , èëè ω2 = ω1 , v2 s = v1s , r as = 1 . Âîò ïî÷åìó è íóæíî ðàñêðó÷èâàòü êîëåñà øàññè àâèàëàéíåðà ïåðåä ïîñàäêîé. È âîò ïî÷åìó âîäèòåëü àâòîìîáèëÿ, âúåõàâ íà ëåä, äîëæåí íå òîðìîçèòü è íå ðàçãîíÿòüñÿ, à ñèäåòü òèõî. Ðàññìîòðèì êîíêðåòíûé ïðèìåð. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîé ïàðû âåùåñòâ øàðèêà è ïëèòû ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå ðèñóíêà 4,à ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü ïðîñòûìè çàâèñèìîñòÿìè 3 1 an = 1 - sin β , as = 1 - sin 2β . 2 4 Òîãäà ïîëó÷èì τs cos2 β = £ 1. 3 τ æ ö µ ç 2 - sin β÷ è ø 4 "" ÊÂÀÍT 2008/¹5 Îòñþäà âèäíî, ÷òî óñëîâèå ñîâïàäåíèÿ âðåìåíè ñêîëüæåíèÿ ñî âðåìåíåì ñîïðèêîñíîâåíèÿ äîñòèãàåòñÿ ñ óìåíüøåíèåì µ ïðè âñå áîëüøåì óãëå β . Äàëåå, èç ( 4¢ ) íàéäåì 2 r ω2 sin β × cos2 β =, ãäå γ = . 5 v1 γ Ýòè âåëè÷èíû êà÷åñòâåííî ïîêàçàíû íà ðèñóíêå 4,á. Âèäíî, íàïðèìåð, ÷òî óãëîâàÿ ñêîðîñòü îñòàíåòñÿ ðàâíîé íóëþ â äâóõ ñëó÷àÿõ: êîãäà β = 0 (ñêîëüçÿùèé óäàð, êîãäà íåò ïðèæèìàþùåé ñèëû) è êîãäà β = π 2 (íîðìàëüíîå ïàäåíèå, êîãäà íåò íà÷àëüíîé òàíãåíöèàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè). È òóò ìàññà äðóãèõ âîïðîñîâ âîçíèêëà â ãîëîâå Îòëè÷íèêà. Âåäü óæå ðèñóíîê 1 ñîäåðæèò íàìåê íà òî, ÷òî äëÿ îòñêîêà øàðèêà èëè ñàì øàðèê, èëè ïëèòà, èëè îáà ýòèõ òåëà äîëæíû äåôîðìèðîâàòüñÿ â ïðîöåññå âçàèìîäåéñòâèÿ. Çíà÷èò, ïëå÷î òàíãåíöèàëüíîé ñèëû, êîòîðîå ðàíüøå ïðèíèìàëîñü ðàâíûì ðàäèóñó øàðèêà r, òåïåðü äîëæíî áûòü âåëè÷èíîé ïåðåìåííîé â ïðîöåññå âçàèìîäåéñòâèÿ. À åñëè ïàäàåò íå îäíîðîäíûé øàð, à øàðèê äëÿ ïèíã-ïîíãà èëè òåííèñíûé ìÿ÷, ó êîòîðûõ îáîëî÷êà è âîçäóøíîå íàïîëíåíèå îáëàäàþò ðàçëè÷íûìè çíà÷åíèÿìè ïëîòíîñòè, ìîäóëÿ óïðóãîñòè è ò.ï.? À åñëè ïàäàþùèé «øàðèê» îáëàäàåò íå ñîâñåì ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ è ïëèòà íå ñîâñåì ïëîñêàÿ, à øåðîõîâàòàÿ, äà åùå è âîëíèñòàÿ? À åñëè äåôîðìàöèè íå ñîâñåì óïðóãèå, à ïëàñòè÷åñêèå? À åñëè â ïðîöåññå òðåíèÿ ïðîèñõîäèò ðàçäåëåíèå ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ? À åñëè ñòîëêíîâåíèå ïðîèñõîäèò â âîçäóõå, êîòîðûé íàäî óñïåòü âûòåñíèòü èç îáëàñòè ìåæäó ñáëèæàþùèìèñÿ òåëàìè, à îí òîæå îáëàäàåò èíåðòíîñòüþ? À åñëè «Ý, áðàò, ïîäóìàë Îòëè÷íèê, ÷òîáû âî âñåì ýòîì ðàçîáðàòüñÿ, íóæíî ïîñòóïèòü â Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò, à ïîòîì çàùèòèòü äèññåðòàöèþ íà ýòó òåìó». È îí áûë ïðàâ. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ Äâà òþðåìùèêà È.ÀÊÓËÈ×, Â.ËÅÖÊÎ Íå íàéäåøü êîãî âèíèòü? ß äîëæîí òåáÿ êàçíèòü. Ãîñóäàðñòâåííîå äåëî! Òû óëàâëèâàåøü íèòü? Ëåîíèä Ôèëàòîâ Ï ÐÅÇÈÄÅÍÒ ÀÍ×ÓÐÈÈ ÌÈÐÀÔËÎÐÅÑ, ÇÀÍß ÑÂÎÉ ÂÛ- ñîêèé ïîñò, ïåðâûì äåëîì îòêðûë äâå òþðüìû íà 100 ïîñàäî÷íûõ ìåñò êàæäàÿ. Ïî÷åìó äâå, à íå îäíó äâîéíîé âìåñòèìîñòè? Ïîòîìó ÷òî îí áûë ñòîðîííèêîì ðûíî÷íûõ ðåôîðì è ñ÷èòàë, ÷òî ìåæäó íà÷àëüíèêàìè ýòèõ òþðåì (ñ íåçàòåéëèâûìè ôàìèëèÿìè Áëýê è Óàéò) ðàçîâüåòñÿ çäîðîâàÿ ñâîáîäíàÿ êîíêóðåíöèÿ, ðåçóëüòàòîì êîòîðîé áóäåò ïðîãðåññ è ïðîöâåòàíèå óêàçàííûõ ïåíèòåíöèàðíûõ ó÷ðåæäåíèé. Óâû! Ñëîâî «ñâîáîäíàÿ» ïëîõî ïðèìåíèìî ê çàâåäåíèÿì òàêîãî ðîäà, è âìåñòî ðûíî÷íîé êîíêóðåíöèè ðàçâèëîñü ñîöèàëèñòè÷åñêîå ñîðåâíîâàíèå, ñëåäñòâèåì ÷åãî ÿâèëîñü ñòîïðîöåíòíîå çàïîëíåíèå îáåèõ òþðåì â êðàò÷àéøèå ñðîêè. Ðåçóëüòàò íå çàñòàâèë ñåáÿ æäàòü: îñòàâøàÿñÿ íà ñâîáîäå îïïîçèöèÿ, ïðîíþõàâ, ÷òî ñàæàòü åå óæå íåêóäà, îáíàãëåëà äîíåëüçÿ è ïðèíÿëàñü îðãàíèçîâûâàòü ìàññîâûå ìåðîïðèÿòèÿ ïîä íàäóìàííûìè ëîçóíãàìè (ìàðøè ïóñòûõ êàñòðþëü, ñêîâîðîäîê è ïðî÷åãî êóõîííîãî èíâåíòàðÿ). ×òîáû íå äîïóñòèòü íàöèîíàëüíîé êàòàñòðîôû, ïðåçèäåíò ïðèêàçàë íà÷àëüíèêàì îñâîáîäèòü òþðüìû: ëèáî âûãíàòü, ëèáî êàçíèòü âñåõ â íèõ íàõîäÿùèõñÿ. Ëó÷øå, êîíå÷íî, êàçíèòü, äàë îí íåíàâÿç÷èâóþ ðåêîìåíäàöèþ, íî ÷òîáû âñå áûëî ïî ñïðàâåäëèâîñòè. ß íå õî÷ó îáâèíåíèé â íåìîòèâèðîâàííîé æåñòîêîñòè. Óñòðîéòå èì êàêîå-íèáóäü èñïûòàíèå (êàê ãîâîðÿò ñîâðåìåííûå èãðîêèêîìïüþòåðùèêè, êâåñò). Íå ïðîéäóò êîãî âèíèòü? Òîëüêî èõ ñàìèõ È âîò íà÷àëüíèêè òþðåì ñîáðàëèñü, ÷òîáû îáñóäèòü ñèòóàöèþ è ïîèñêàòü âûõîä. Ïðåçèäåíò ÿñíî äàë ïîíÿòü: èñïûòàíèå äîëæíî ïðàêòè÷åñêè ãàðàíòèðîâàííî ïðèâåñòè ê êàçíè çàêëþ÷åííûõ, íî âíåøíå íå âûãëÿäåòü íåïðåîäîëèìûì, çàäóì÷èâî ïðîèçíåñ Óàéò. ×òî æå íàì èçîáðåñòè? Èäåÿ! çàÿâèë Áëýê. Ïóñòü èùóò ñàìèõ ñåáÿ! Ýòî êàê? íå ïîíÿë Óàéò. À âîò êàê. Çàãîòîâëþ ñòî çàïèñîê ñ ôàìèëèÿìè âñåõ çàêëþ÷åííûõ (ïî îäíîé ôàìèëèè íà çàïèñêå) è ñòî ïðîíóìåðîâàííûõ êîðîáîê. Ïåðåòàñóþ çàïèñêè, êàê êîëîäó êàðò, è ïîëîæó ïî îäíîé â êàæäóþ êîðîáêó. Âñå ýòè êîðîáêè ïîìåùó â îòäåëüíóþ êîìíàòó è ìèëîñòè ïðîñèì! Ïóñòü îíè ïî î÷åðåäè âõîäÿò è îòêðûâàþò â ëþáîì ïîðÿäêå 99 êîðîáîê ò.å. âñå, êðîìå îäíîé. È åñëè êàæäûé èç íèõ ñóìååò îòêðûòü êîðîáêó ñî ñâîåé ôàìèëèåé òî ÿ âñåõ îòïóùó. Åñëè æå õîòÿ áû îäèí íå íàéäåò ñåáÿ òî âñåõ êàçíþ! Ðàçóìååòñÿ, ïîñëå âûõîäà êàæäîãî óçíèêà èç êîìíàòû âñå îòêðûòûå èì êîðîáêè áóäóò çàêðûòû îáðàòíî. Íó, è ïðîñëåäèì, ÷òîáû îíè íå ñóìåëè îñòàâèòü êàêèõ-íèáóäü ïîìåòîê è òîìó ïîäîáíîå. Íî ýòî âåäü âñå ðàâíî, ÷òî ïðîñòî îòïóñòèòü çàêëþ÷åííûõ íà âîëþ áåç âñÿêîãî èñïûòàíèÿ! âîñêëèêíóë Óàéò. ß íå ñèëåí â ìàòåìàòèêå, íî äàæå äëÿ ìåíÿ î÷åâèäíî, ÷òî âåðîÿòíîñòü íå íàéòè ñâîåé ôàìèëèè âñåãî 0,01. Ýòî äîêàçûâàåò, ÷òî ìîÿ èäåÿ õîðîøà! Èñïûòàíèå âûãëÿäèò ñîâñåì ëåãêèì. Íà ñàìîì æå äåëå øàíñû óçíèêîâ íå ñëèøêîì âåëèêè. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íàéòè «ñâîþ êîðîáêó» óäàñòñÿ âñåì, ðàâíà 0,99100 , à ýòî íå òàê ìíîãî.  ñàìîì äåëå? Íó-êà, ãäå êàëüêóëÿòîð Ìîæíî è áåç íåãî. Îáðàòèòå âíèìàíèå: 100 1 ö æ 0,99100 = ç 1 ÷ , à ýòà âåëè÷èíà, êàê è âîîáùå çíà÷åíèå è 100 ø n 1ö æ çè1 - ÷ø ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ï, äîâîëüíî áëèçêà ê n 1/å, ãäå å = 2,718 ÷èñëî Ýéëåðà. Ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü âûæèòü äëÿ íèõ ðàâíà 1/2,718 » 0,368 çàìåòíî ìåíüøå ïîëîâèíû. È âñå æå ðèñê ñëèøêîì âåëèê! çàñîìíåâàëñÿ îñòîðîæíûé Óàéò. Áîþñü, åñëè íàì ïðèäåòñÿ âûïóñòèòü çàêëþ÷åí- ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ íûõ, ìû ñ âàìè áóäåì ïåðâûìè êàíäèäàòàìè íà îñâîáîäèâøèåñÿ ìåñòà. Ïîæàëóé, âû ïðàâû, ñîãëàñèëñÿ Áëýê. Òîãäà ðàçðåøèì îòêðûâàòü íå ïî 99, à ïî 90 êîðîáîê. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âñå 100 ÷åëîâåê íàéäóò ñåáÿ, ñîñòàâëÿåò 0,9100 , à ýòî îé êàê ìàëî ìåíüøå 0,00003. Ïîæàëóé, ÿ äàæå äàì èì âîçìîæíîñòü ïîîáùàòüñÿ ìåæäó ñîáîé. Ïóñòü âñå âèäÿò, êàêîé ÿ ãóìàííûé! Ðàçóìååòñÿ, îáùàòüñÿ îíè áóäóò òîëüêî äî íà÷àëà èñïûòàíèÿ. À âäðóã îíè ïðèäóìàþò êàêóþ-íèáóäü õèòðóþ ñòðàòåãèþ? À ÷òî îíè ìîãóò ïðèäóìàòü?! Äîïóñòèì, èçîáðåòóò ñòðàòåãèþ, ïðè êîòîðîé êàêóþ-òî êîðîáêó òàê íè ðàçó íèêòî è íå îòêðîåò. Òîãäà èõ øàíñû èç ïðèçðà÷íûõ ñòàíóò íóëåâûìè âåäü óçíèê, ôàìèëèÿ êîòîðîãî ñîäåðæèòñÿ â ýòîé íåîòêðûòîé êîðîáêå, äî ñâîåé ôàìèëèè òàê è íå äîêîïàåòñÿ! Ïîýòîìó ñàìîå âûãîäíîå äëÿ íèõ îòêðûâàòü êîðîáêè «ðàâíîìåðíî-ðàçìàçàííî», ÷òîáû êàæäàÿ áûëà îòêðûòà ïî 90 ðàç. Íî è ýòà ñòðàòåãèÿ íå ìîæåò ñóùåñòâåííî óâåëè÷èòü øàíñû çàêëþ÷åííûõ. Äàâàéòå-êà îöåíèì, êàêîâû áóäóò øàíñû íà óñïåøíîå ïðîõîæäåíèå èñïûòàíèÿ, ñêàæåì, âñåãî äâóìÿ ïåðâûìè óçíèêàìè â çàâèñèìîñòè îò ðàçíûõ ñòðàòåãèé. À êàê ýòî ñäåëàòü? Î÷åíü ïðîñòî! Ïîñêîëüêó ïåðâûé îòêðûâàåò 90 êîðîáîê èç 100, åãî øàíñ íàéòè çàïèñêó ñî ñâîåé ôàìèëèåé ïðè ëþáîé ñòðàòåãèè áóäåò ðàâåí 0,9. Åñëè âòîðîé óçíèê îòêðîåò òå æå êîðîáêè, ÷òî è ïåðâûé, âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îáà îíè 90 89 89 × = . Ýòî ÷óòüâûäåðæàò èñïûòàíèå, áóäåò ðàâíà 100 99 110 ÷óòü ìåíüøå 0,81 (âåðîÿòíîñòè óñïåõà ïðè îòêðûâàíèè êîðîáîê áåç ïðåäâàðèòåëüíîé äîãîâîðåííîñòè). Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî âòîðîé óçíèê ñðåäè ñâîèõ 90 îòêðîåò 10 êîðîáîê, êîòîðûå íå îòêðûâàë åãî ïðåäøåñòâåííèê. Äëÿ íàõîæäåíèÿ âåðîÿòíîñòè óñïåõà ïðè òàêîé ñòðàòåãèè íàì ïðèäåòñÿ ðàññìîòðåòü äâà ñëó÷àÿ. Äîïóñòèì ñíà÷àëà, ÷òî êîðîáêà ñ ôàìèëèåé ïåðâîãî óçíèêà íå ïîïàëà â ÷èñëî òåõ 90, êîòîðûå îòêðûâàåò âòîðîé. Âåðîÿòíîñòü ýòîãî ñîáûòèÿ ðàâíà 10 , à øàíñû íà óñïåõ âòîðîãî çàêëþ÷åííîãî â ýòîì ñëó÷àå 90 90 80 ðàâíû . Ñ âåðîÿòíîñòüþ êîðîáêà ñ ôàìèëèåé ïåðâîãî 99 90 óçíèêà ïîïàäåò â ÷èñëî êîðîáîê, îòêðûâàåìûõ âòîðûì.  ýòîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòü óñïåõà âòîðîãî çàêëþ÷åííîãî ðàâíà 89 90 . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî øàíñû ïåðâîãî óçíèêà íà óñïåõ , 99 100 îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì, ÷òî âåðîÿòíîñòü îáíàðóæåíèÿ «ñâîèõ êîðîáîê» îáîèìè çàêëþ÷åííûìè ðàâíà 90 æ 10 90 80 89 ö 401 . Ýòî, êîíå÷íî, áîëüøå, ÷åì ×ç × + × ÷ = 100 è 90 99 90 99 ø 495 1 0,81, íî íåçíà÷èòåëüíî âñåãî-òî íà . Ïîýòîìó è ïðè 9900 ñàìîé îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè óçíèêàì íè÷åãî íå ñâåòèò! Ïðè îñòàëüíûõ ñòðàòåãèÿõ âåðîÿòíîñòü, åñòåñòâåííî, áóäåò ëåæàòü â äèàïàçîíå ìåæäó äâóìÿ íàéäåííûìè çíà÷åíèÿìè. ß âîñõèùåí âàøèìè ïîçíàíèÿìè â ìàòåìàòèêå, êîëëåãà! Íè÷åãî óäèâèòåëüíîãî â ñèñòåìó èñïîëíåíèÿ íàêàçàíèé ÿ ïîïàë ñëó÷àéíî, à îáðàçîâàíèå ó ìåíÿ ìàòåìàòè÷åñêîå. Âîò îíî è ïðèãîäèëîñü. Íà ñëåäóþùèé äåíü óçíèêè òþðüìû Áëýêà íà÷àëè èãðó. Èñïûòàíèå ïðîõîäèëî â ïðèñóòñòâèè áäèòåëüíîé îõðàíû, ïðåäñòàâèòåëåé ïðåññû è íàáëþäàòåëåé îò îïïîçèöèè (ïðåçèäåíò Ìèðàôëîðåñ íå õîòåë, ÷òîáû åãî îáâèíèëè â ïîäòàñîâêå). Ðàçóìååòñÿ, çäåñü æå áûëè Áëýê è Óàéò. Óçíèêè îäèí çà äðóãèì çàõîäèëè â êîìíàòó è, îòêðûâàÿ êîðîáêè â êàêîì-òî çàìûñëîâàòîì ïîðÿäêå, ðàíî èëè ïîçäíî íàõîäèëè çàïèñêó ñî ñâîåé ôàìèëèåé. ÊÐÓÆÎÊ "# Áëýê áûë ñïîêîåí è äàæå óëûáàëñÿ. Òî, ÷òî íåñêîëüêî ÷åëîâåê, ñêîðåå âñåãî, íàéäóò «ñâîè êîðîáêè», ìíå áûëî î÷åâèäíî çàðàíåå. Íî øàíñû èõ ïîïðåæíåìó ìèçåðíû, øåïíóë îí Óàéòó. Êîãäà ÷èñëî óçíèêîâ, óñïåøíî ïðîøåäøèõ èñïûòàíèå, ïåðåâàëèëî çà âòîðîé äåñÿòîê, óëûáêà Áëýêà ñòàëà íàòÿíóòîé. Ïî ìåðå òîãî, êàê ÷èñëî «âåçóí÷èêîâ» ïðèáëèæàëîñü ê ñîòíå, Áëýê òåìíåë, êàê ãðîçîâàÿ òó÷à. Ê òîìó ìîìåíòó, êîãäà ïîñëåäíèé óçíèê óñïåøíî ïðîøåë èñïûòàíèå, åãî ëèöî ïîëíîñòüþ ñîîòâåòñòâîâàëî ôàìèëèè. Íåâåðîÿòíî! Êîøìàðíîå âåçåíèå! Ïðåñòóïíèêè! Áàíäèòû! Óãîëîâíèêè! Èì óäàëîñü ïîïàñòü â òûñÿ÷íûå äîëè ïðîöåíòà! Ó ìîèõ ýòîò ôîêóñ íå ïðîéäåò, íàáû÷èëñÿ Óàéò. Ïóñòü îòêðûâàþò ïî 70 êîðîáîê, è áàñòà! Íå÷åãî ñ íèìè ëèáåðàëüíè÷àòü! Íî ýòî æå íå èñïûòàíèå, à ïðÿìîå óáèéñòâî! Èõ øàíñû ÷òî-òî ïîðÿäêà 10 -16 , ñêàçàë Áëýê, òû÷à îäåðåâåíåâøèìè ïàëüöàìè â êëàâèøè êàëüêóëÿòîðà. Íè÷åãî. Ïîïîëîñêàþò ìîå èìÿ â îïïîçèöèîííîé ïðåññå è çàáóäóò. Ýòî ëó÷øå, ÷åì ñåñòü â ñâîå æå çàâåäåíèå. Âû âåäü â êóðñå, ó ìåíÿ òóò íå êóðîðò! È âîò íàñòóïèë «äåíü èêñ» äëÿ óçíèêîâ òþðüìû, âîçãëàâëÿåìîé Óàéòîì. Îáà íà÷àëüíèêà âíîâü îêàçàëèñü ñîñåäÿìè íà ýòîì ïðåäñòàâëåíèè. Ïåðâûé óçíèê äåéñòâîâàë íå ìåíåå çàòåéëèâî, ÷åì áûâøèå çàêëþ÷åííûå òþðüìû Áëýêà. Îòêðûâ î÷åðåäíóþ êîðîáêó, îí âíèìàòåëüíî ÷èòàë ëåæàâøóþ òàì çàïèñêó, íà íåñêîëüêî ñåêóíä çàìèðàë, çàêàòûâàÿ ãëàçà ê ïîòîëêó, è óâåðåííî øåë ê äðóãîé êîðîáêå, êàê ïðàâèëî, íå ñîñåäíåé ñ ïðåäûäóùåé. Íàêîíåö, â òðèäöàòü âòîðîé ïî ñ÷åòó êîðîáêå îí ñ òîðæåñòâóþùåé óëûáêîé îáíàðóæèë çàïèñêó ñî ñâîåé ôàìèëèåé. Ðàíî ðàäóåòñÿ, çëîáíî ïðîøåïòàë Óàéò, øàíñîâ, ÷òî îñòàëüíûì 99 çàêëþ÷åííûì òîæå ïîâåçåò, ïî÷òè íåò. Îøèáàåòåñü, êîëëåãà! åõèäíî çàìåòèë Áëýê. Ãîòîâ ñïîðèòü íà ÷òî óãîäíî, ÷òî îñòàëüíûå òîæå ïðîéäóò èñïûòàíèå. Àõ, òàê? Òîãäà ïðåäëàãàþ ïàðè. Åñëè ìîè çàêëþ÷åííûå «ñðåæóòñÿ», âû îòïèøåòå ìíå âñå ñâîå èìóùåñòâî. Âñå ðàâíî â òþðüìå îíî âàì íè ê ÷åìó. Åñëè æå è ìíå ïðèäåòñÿ âûïóñòèòü ñâîèõ çàêëþ÷åííûõ, òî ÿ ãîòîâ îòäàâàòü âàì ñàõàð è ìàñëî èç ñâîåé ïàéêè (ïðåçèäåíò â ïðèâàòíîì ðàçãîâîðå íàìåêíóë ìíå, ÷òî ïðè òàêîì èñõîäå íàñ ïîìåñòÿò â îäíó êàìåðó). ß ïîíèìàþ, ÷òî óñëîâèÿ ïàðè íåñêîëüêî íåðàâíûå. Íî âû ñàìè ïðåäëîæèëè ñïîðèòü íà ÷òî óãîäíî. Ê óäèâëåíèþ Óàéòà, Áëýê ñîãëàñèëñÿ íà òàêèå óñëîâèÿ. Íî îí áûë ïðîñòî ïîðàæåí, êîãäà Áëýê âûøåë ïîáåäèòåëåì! Ïðèìåðíî ÷åðåç ìåñÿö ïîñëå îïèñûâàåìûõ ñîáûòèé ãîñïîäà Áëýê & Óàéò êîðîòàëè âå÷åð â òåñíîâàòîé, íî âñåòàêè îòäåëüíîé êàìåðå-«äâóøêå». Èç óâàæåíèÿ ê ïðåæíèì çàñëóãàì ê íèì áîëüøå íèêîãî íå ïîäñåëèëè. Ðàññêàæèòå, êàê âñå-òàêè âàì óäàëîñü äîãàäàòüñÿ, ÷òî ìîè çàêëþ÷åííûå âûäåðæàò èñïûòàíèå, óæå ïîñëå âèçèòà ïåðâîãî èç íèõ? ñïðîñèë Óàéò, ñ îòâðàùåíèåì îòõëåáûâàÿ èç êðóæêè ïðåñíûé òþðåìíûé ÷àé. Íà ñàìîì äåëå ÿ ïîíÿë âñå ãîðàçäî ðàíüøå, êîãäà âíèìàòåëüíî ïîíàáëþäàë çà òåì, êàê îòêðûâàëè êîðîáêè óçíèêè ìîåé òþðüìû. Îíè çíàëè, ÷òî âñå êîðîáêè ñ èõ ôàìèëèÿìè ïðîíóìåðîâàíû ÷èñëàìè îò 1 äî 100. Òîãäà îíè è ñåáå ïðèñâîèëè íîìåðà îò 1 äî 100. Íî ÷òî ýòî äàåò? Ýòî ïîçâîëÿåò îðãàíèçîâàòü, ñêàæåì òàê, «êîëüöåâóþ ñõåìó». Êàæäûé èç íèõ ñíà÷àëà îòêðûâàë êîðîáêó, íîìåð "$ ÊÂÀÍT 2008/¹5 êîòîðîé ðàâåí åãî ñîáñòâåííîìó íîìåðó. Çàòåì îí îòêðûâàë êîðîáêó, íîìåð êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ íîìåðîì òîãî óçíèêà, ôàìèëèþ êîòîðîãî îí óâèäåë â ïåðâîé êîðîáêå. Ôàìèëèÿ óçíèêà â ýòîé êîðîáêå óêàçûâàëà íîìåð êîðîáêè, êîòîðóþ ñëåäîâàëî îòêðûòü íà òðåòüåì øàãå. È òàê äàëåå. Äî ÷åãî ìû, â êîíöå êîíöîâ, äîáåðåìñÿ, âðåìåííî äîïóñòèâ, ÷òî óçíèêó ðàçðåøàåòñÿ ðàñêðûòü õîòü âñå êîðîáêè? Ðàíî èëè ïîçäíî â î÷åðåäíîé êîðîáêå âñòðåòèòñÿ åãî ñîáñòâåííàÿ ôàìèëèÿ è, òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èâøååñÿ «êîëüöî» çàìêíåòñÿ. Îíî ìîæåò, â ÷àñòíîì ñëó÷àå, ñîäåðæàòü äàæå âñåõ óçíèêîâ (õîòÿ ìîæåò è ëèøü îäíîãî). Åñëè íå âñå óçíèêè îêàçàëèñü â òàêîì «êîëüöå», âûáåðåì ëþáîãî «íåçàäåéñòâîâàííîãî» è ïîâòîðèì òå æå îïåðàöèè. Ïîëó÷èòñÿ âòîðîå êîëüöî, ïîòîì òðåòüå è òàê äàëåå, ïîêà óçíèêè íå êîí÷àòñÿ. Òàê ÷òî â èòîãå âñå óçíèêè îêàæóòñÿ «óêîìïëåêòîâàíû» â êîëüöà.  óíèâåðñèòåòå íàì ðàññêàçûâàëè, ÷òî ýòî íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì ïåðåñòàíîâêè â ïðîèçâåäåíèå íåçàâèñèìûõ öèêëîâ. Æàëü, ÷òî ÿ ïîçäíî ïðî ýòî âñïîìíèë! À ÿ âîîáùå íå çíàë Íà ýòîì, ïðîäîëæèë ïîâåñòâîâàíèå Áëýê, è áûëà îñíîâàíà ñòðàòåãèÿ óçíèêîâ. Îíà îêàçûâàåòñÿ âåñüìà ýôôåêòèâíîé, äàæå åñëè óçíèêàì ðàçðåøåíî îòêðûâàòü íå áîëåå 70 êîðîáîê. Åñëè âñå èìåþùèåñÿ êîëüöà ñîñòîÿò íå áîëåå ÷åì èç 70 óçíèêîâ êàæäîå, òî êàæäûé óçíèê, ñäåëàâ íå áîëåå 70 õîäîâ, íåïðåìåííî íàòêíåòñÿ íà ñâîþ ôàìèëèþ! È âåðîÿòíîñòü âûõîäà âñåõ óçíèêîâ íà âîëþ ñ ãîëîâîé íà ïëå÷àõ ïðîñòî-íàïðîñòî ðàâíà âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî âñå öèêëû îêàçàëèñü íå äëèííåå 70 ÷åëîâåê! È êàêîâà æå ýòà âåðîÿòíîñòü? Ïîäñ÷èòàòü íåòðóäíî. Äëÿ íà÷àëà íàéäåì âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îáðàçîâàëñÿ öèêë ðîâíî èç k ÷åëîâåê, ãäå k > 70. Ïîíÿòíî, ÷òî åñëè òàêîé öèêë åñòü, òî äðóãèõ öèêëîâ äëèíîé ñâûøå 70 ÷åëîâåê áûòü íå ìîæåò. Êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ âûáðàòü k ÷åëîâåê èç 100 ðàâíî, êàê èçâåñòíî èç 100! . Âîñêëèöàòåëüíûé çíàê â äàíêîìáèíàòîðèêè, k ! (100 - k) ! íîì ñëó÷àå íå ïðèçíàê ãðîìêîñòè, à ïðîèçâåäåíèå âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò åäèíèöû äî çàäàííîãî ÷èñëà (íàçûâàåòñÿ «ôàêòîðèàë»). Ïðè ýòîì k ÷åëîâåê, ïîïàâøèõ â öèêë, ìîæíî óïîðÿäî÷èòü (k 1)! ñïîñîáàìè À ýòî ïî÷åìó? Ïîÿñíÿþ. Èç òåõ k ÷åëîâåê, ÷òî ïîïàëè â öèêë, âûáåðåì òîãî, ó êîòîðîãî íàèìåíüøèé íîìåð. Ñëåäóþùèì çà íèì ïî öèêëó ìîæåò áûòü ëþáîé èç îñòàëüíûõ (k 1) ÷ëåíîâ ýòîãî öèêëà, à ñëåäóþùèì îäèí èç (k 2) îñòàëüíûõ, è òàê äàëåå. Èòîãî, ïîëó÷àåì k - 1 ´ k - 2 ´ K ´ 2 ´ 1 = k - 1 ! ñïîñîáîâ. Îñòàëüíûõ æå (100 k) ÷åëîâåê, íå ïîïàâøèõ â öèêë, ìîæíî, åñòåñòâåííî, óïîðÿäî÷èòü (100 k)! ñïîñîáàìè. Òàêèì îáðàçîì, ñïîñîáîâ îáðàçîâàòü öèêë ðîâíî èç k ÷åëîâåê èìååòñÿ 100! 100! ´ (k - 1) ! ´ (100 - k ) ! = . k ! (100 - k) ! k Âñåãî æå åñòü 100! ñïîñîáîâ óïîðÿäî÷èòü âñåõ 100 óçíèêîâ. Îêîí÷àòåëüíî âåðîÿòíîñòü îáðàçîâàíèÿ êîëüöà ðîâíî èç k 100! 1 : 100! = . Î÷åíü ïðîñòî! óçíèêîâ ðàâíà k k Íî ïîäîæäèòå, òîãäà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îáðàçîâàëñÿ öèêë, ñîñòîÿùèé íå ìåíåå ÷åì èç 71 óçíèêà, ðàâíà ñóììå 1 1 1 + +K+ . Íè÷åãî ñåáå ïðîñòî! Êàê æå ÿ ýòî 71 72 100 ïîäñ÷èòàþ? Òðèäöàòü äðîáåé íà áóìàæêå ñêëàäûâàòü? Êàëü- êóëÿòîðû-òî ó íàñ îòîáðàëè. Îñòàâèëè òîëüêî âîò «×åòûðåõçíà÷íûå ìàòåìàòè÷åñêèå òàáëèöû» Íè÷åãî, è ýòîãî õâàòèò. Åùå Ýéëåð äîêàçàë, ÷òî ñóììà 1 1 1 1+ + +K+ äîâîëüíî áëèçêà ê ln N + C , ãäå Ñ = N 2 3 = 0,577 ïîñòîÿííàÿ Ýéëåðà, ïðè÷åì ÷åì áîëüøå N, òåì òî÷íåå ýòî ðàâåíñòâî. Ïîýòîìó ìû ìîæåì çàïèñàòü 1 1 1 + +K+ = 71 72 100 1 1 1 ö æ 1 1 1ö æ = ç1 + + + K + ÷ - ç1 + + + K + ÷ø » è 2 3 100 ø è 2 3 70 æ 10 ö » ln 100 + C - ln 70 + C = ln ç ÷ » ln 1,428 » 0,357 . è 7ø Çíà÷èò, âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íå íàéäåòñÿ íè îäíîãî ñòîëü äëèííîãî öèêëà (è, ñëåäîâàòåëüíî, ÷òî âñå óçíèêè íàéäóò ñâîè ôàìèëèè), ðàâíà ïðèìåðíî 1 0,357 = 0,643 ïî÷òè äâå òðåòüèõ! Ìåæäó ïðî÷èì, â ìîåé òþðüìå, ñ ðàçðåøåíèåì îòêðûâàòü 90 êîðîáîê (íó ÿ è ëîïóõ!), ýòà âåðîÿòíîñòü áûëà åùå áîëüøå, ïîñêîëüêó 1 1 1 1 1 1 ö æ + +K+ = ç1 + + + K + ÷91 92 100 è 2 3 100 ø 1 1 1ö æ æ 10 ö - ç1 + + + K + ÷ » ln ç ÷ » 0,105, è è9ø 2 3 90 ø òî îíà ðàâíÿëàñü ïðèìåðíî 1 0,105 = 0,895. Ðåçóëüòàò íàëèöî: ìû îáà â ýòîé êàìåðå! Íî ïðè èñïûòàíèè â ìîåé òþðüìå âû ïîäîçðèòåëüíî áûñòðî ñðàçó ïîñëå âèçèòà ïåðâîãî óçíèêà îïðåäåëèëè, ÷òî â ðàçëîæåíèè ïåðåñòàíîâêè íåò öèêëîâ äëèííåå 70. Êàêèì îáðàçîì? Ýëåìåíòàðíî! ß óâèäåë, ÷òî è â âàøåé òþðüìå óçíèêè äîäóìàëèñü äî êîëüöåâîé ñòðàòåãèè. Ïåðâûé èç íèõ îáíàðóæèë ñâîþ ôàìèëèþ â òðèäöàòü âòîðîé ïî ñ÷åòó êîðîáêå. Çíà÷èò, â ïåðåñòàíîâêó âõîäèò öèêë äëèíû 32. Íî òîãäà â íåé íå ìîãóò ñîäåðæàòüñÿ öèêëû, äëèíà êîòîðûõ ïðåâûøàåò 68 è óæ òåì áîëåå 70. À êàê æå ïîíèìàòü âîñêëèöàíèÿ î ôàíòàñòè÷åñêîì âåçåíèè âàøèõ çàêëþ÷åííûõ? ïîèíòåðåñîâàëñÿ Óàéò. Ïðèçíàþñü ÷åñòíî, ÿ ëóêàâèë. Âñå-òàêè êóäà ïðèÿòíåå äåëèòü íàðû ñî çíàêîìûì èíòåëëèãåíòíûì ÷åëîâåêîì. À òî ïîäñàäÿò ê êàêîìó-íèáóäü çëîäåþ Ê òîìó æå, ÿ î÷åíü ëþáëþ ñëàäêèé ÷àé.  îáùåì, êîå-êàêàÿ ïîëüçà îò çíàíèÿ ìàòåìàòèêè âñå æå åñòü, ôèëîñîôñêè çàìåòèë Áëýê, íàìàçûâàÿ íà êóñîê õëåáà âòîðóþ ïîðöèþ ìàñëà. Óàéò ãîëîäíûìè ãëàçàìè îòñëåæèâàë åãî äâèæåíèÿ. È âîîáùå, îòå÷åñêèì òîíîì äîáàâèë Áëýê, êàê ãîâîðèò íàðîäíàÿ ìóäðîñòü, â òþðüìå òîëüêî ïåðâûå äåñÿòü ëåò ïëîõî, ïîòîì ïðèâûêàåøü. Òîëüêî, ïîæàëóéñòà, íå óìèðàéòå çäåñü ðàíüøå ìåíÿ. Ìíå áåç âàøåãî ñàõàðà ñ ìàñëîì áóäåò î÷åíü íåëåãêî. Ïðèìå÷àíèå. Àâòîðû áëàãîäàðíû äàòñêîìó ñïåöèàëèñòó â îáëàñòè èíôîðìàòèêè Ïåòåðó Áðî Ìèëòåðñåíó, ïî ìîòèâàì çàäà÷è êîòîðîãî íàïèñàíà äàííàÿ ñòàòüÿ, à òàêæå ïåòåðáóðãñêîìó ìàòåìàòèêó Ìèõàèëó Ìèòðîôàíîâó, ïîçíàêîìèâøåìó àâòîðîâ ñ ýòîé çàäà÷åé. ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ À.×ÅÐÍÎÓÖÀÍ Ç ÀÄÀ×È ÍÀ ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÇÀÐßÆÅÍÍÛÕ ×ÀÑÒÈÖ ÐÅÄÊÎ óäàåòñÿ ðåøèòü, îãðàíè÷èâàÿñü âòîðûì çàêîíîì Íüþòîíà è êèíåìàòèêîé, íå âûõîäÿùåé çà ðàìêè ðàâíîóñêîðåííîãî äâèæåíèÿ. Èñêëþ÷åíèå äâèæåíèå çàðÿæåííîé ÷àñòèöû â îäíîðîäíîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå èëè ïî îêðóæíîñòè âîêðóã êóëîíîâñêîãî öåíòðà.  îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ðàññòîÿíèå ìåæäó çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè ìåíÿåòñÿ, íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Íà÷íåì ñ çàäà÷, â êîòîðûõ ðàññìàòðèâàåòñÿ äâèæåíèå îäíîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöû âî âíåøíåì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå îäíîãî èëè íåñêîëüêèõ íåïîäâèæíûõ çàðÿäîâ. Çäåñü óäîáíî ïðèìåíÿòü òåîðåìó î êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè: mv22 mv12 = Aýë , 2 2 ãäå ðàáîòà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ: Aýë = q (ϕ1 - ϕ2 ) . Åñëè ïðèíÿòü ïîòåíöèàë íà áåñêîíå÷íîñòè ðàâíûì íóëþ, òî â íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé òî÷êàõ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû åãî íàäî âû÷èñëÿòü ñ ïîìîùüþ ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè: ϕ= åk i Qi , ri ãäå ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì íåïîäâèæíûì çàðÿäàì Qi (èñòî÷íèêàì ïîëÿ), ri ðàññòîÿíèå îò i-ãî çàðÿäà äî òîé òî÷êè, ãäå âû÷èñëÿåòñÿ ïîòåíöèàë, à k = 9 × 109 Äæ × ì Êë2 ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ. Îäíàêî â êà÷åñòâå ïåðâîãî ïðèìåðà ìû ðàññìîòðèì çàðÿæåííóþ ÷àñòèöó â îäíîðîäíîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå, íî â òàêîé ñèòóàöèè, ãäå áåç ýíåðãèè íå îáîéòèñü. Çàäà÷à 1. Øàðèê ìàññîé 5 ã è çàðÿäîì 2 ìÊë ïîäâåøåí íà íèòè äëèíîé 1 ì â ãîðèçîíòàëüíîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ñ íàïðÿæåííîñòüþ 20 Â/ì. Øàðèê ñíà÷àëà óäåðæèâàþò â íèæíåì ïîëîæåíèè, à çàòåì îòïóñêàþò. Íàéäèòå íàòÿæåíèå íèòè â òîò ìîìåíò, êîãäà øàðèê ïîäíèìåòñÿ íà 20 ñì âûøå íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ. Ðåøåíèå. Çàïèøåì âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â ïðîåêöèè íà ðàäèàëüíîå Ðèñ. 1 íàïðàâëåíèå (ðèñ.1): v2 , l ãäå cos α = (l - h ) l = (1 - 0,2) 1 = 0,8 , sin α = 0,6 . Êâàäðàò ñêîðîñòè íàéäåì ñ ïîìîùüþ òåîðåìû î êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè mv2 - 0 = Aýë + Aãðàâ . 2 Êàæäóþ èç ðàáîò ýëåêòðè÷åñêîé è ãðàâèòàöèîííîé ñèë ìîæíî âû÷èñëèòü â ëîá, çàìåíèâ èñòèííóþ òðàåêòîðèþ íà ëîìàíóþ ÀÂÑ (íàïîìíèì, ÷òî ðàáîòà êàæäîé èç ýòèõ ñèë íå çàâèñèò îò òðàåêòîðèè): T - mg cos α - qE sin α = m Aýë = qE × BC = qEd = qEl sin α, Aãðàâ = -mg × AB = -mgh = -mgl (1 - cos α ) . Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì T = mg 3 cos α - 2 + 3qE sin α = 92 ìÍ. Çàìåòèì, ÷òî ðàáîòó ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ìîæíî áûòü âûðàçèòü ÷åðåç ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóëû äëÿ ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ â îäíîðîäíîì ïîëå: Aýë = q (ϕ1 - ϕ2 ) = q × Ed = qE × BC , à ðàáîòó ñèëû òÿæåñòè ÷åðåç ðàçíîñòü ïîòåíöèàëüíûõ ýíåðãèé: Aãðàâ = W1 - W2 = -mgh . Çàäà÷à 2. Âîçëå ïîâåðõíîñòè øàðà ðàäèóñîì 6 ñì, ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîãî çàðÿäîì 4 íÊë, íàõîäèòñÿ ÷àñòèöà ìàññîé 30 ìã è çàðÿäîì 2 íÊë. ×àñòèöó îñâîáîæäàþò. Íàéäèòå ñêîðîñòü ÷àñòèöû â òîò ìîìåíò, êîãäà îíà óäàëèòñÿ îò ïîâåðõíîñòè øàðà íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå åãî ðàäèóñó. Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó ïîëå âíå ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîãî øàðà ñîâïàäàåò ñ ïîëåì òî÷å÷íîãî çàðÿäà, íàõîäÿùåãîñÿ â åãî öåíòðå, òî ïîòåíöèàëû ïîëÿ øàðà â íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé òî÷êàõ äâèæåíèÿ ñîñòàâëÿþò Q Q ϕ1 = k è ϕ2 = k . R 2R Ïîäñòàâëÿÿ ïîòåíöèàëû â òåîðåìó î êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè mv2 - 0 = q (ϕ1 - ϕ2 ) , 2 íàéäåì v= kqQ = 20 ñì/ñ. mR Çàäà÷à 3. Äâà òî÷å÷íûõ çàðÿäà ïî 10 íÊë êàæäûé çàêðåïëåíû íà ðàññòîÿíèè 4 ñì äðóã îò äðóãà. Ïîñåðåäèíå ìåæäó çàðÿäàìè ïîìåùàþò çàðÿæåííóþ ÷àñòèöó ìàññîé 2 ìã è çàðÿäîì 36 íÊë è îòïóñêàþò. Êàêóþ ñêîðîñòü ïðèîáðåòåò ÷àñòèöà íà áîëüøîì ðàññòîÿíèè îò çàðÿäîâ? Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà îòâåòèì íà âîïðîñ, êîòîðûé ÷àñòî âîçíèêàåò ó âíèìàòåëüíûõ øêîëüíèêîâ: ïî÷åìó ÷àñòèöà âîîáùå êóäà-òî äîëæíà óëåòåòü, åñëè îíà íàõîäèòñÿ â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ? Äåëî â òîì, ÷òî ýòî ñîñòîÿíèå íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ ïðè íåáîëüøîì ñìåùåíèè â ñòîðîíó (ðèñ.2) ðàâíîäåéñòâóþùàÿ êóëîíîâñêèõ ñèë áóäåò íàïðàâëåíà îò òî÷êè ðàâíîâåñèÿ, ò.å. ÷àñòèöà íà÷íåò ðàçãîíÿòüñÿ è óëåòèò íà áåñêîíå÷íîñòü. Ðèñ. 2 "& ÊÂÀÍT 2008/¹5 Òåïåðü ñîáñòâåííî ðåøåíèå. Ïîòåíöèàë â íà÷àëüíîé òî÷êå äâèæåíèÿ ðàâåí Q ϕ1 = 2 × k , l2 à â êîíå÷íîé (íà áåñêîíå÷íîñòè) îí íóëåâîé: ϕ2 = 0 . Ïîýòîìó òåîðåìà î êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè èìååò âèä mv2 æ 4Q ö - 0 = q çk - 0÷ , è l ø 2 îòêóäà 8kqQ = 18 ì/ñ. ml Çàäà÷à 4. Ïî òîíêîìó çàêðåïëåííîìó êîëüöó ðàäèóñîì 6 ñì ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåí çàðÿä 40 íÊë.  öåíòð êîëüöà ïîìåùàþò ÷àñòèöó ñ çàðÿäîì 12 íÊë è ìàññîé 9 ìã è îòïóñêàþò. ×åìó áóäåò ðàâíà ñêîðîñòü ÷àñòèöû íà áîëüøîì ðàññòîÿíèè îò êîëüöà? Ðåøåíèå. Îòìåòèì ñðàçó, ÷òî â ýòîé çàäà÷å, êàê è â ïðåäûäóùåé, äâèæåíèå íà÷èíàåòñÿ èç òî÷êè íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ. Êîíå÷íûé ïîòåíöèàë (íà áîëüøîì ðàññòîÿíèè) ðàâåí íóëþ: v= ϕ2 = 0 , à äëÿ âû÷èñëåíèÿ íà÷àëüíîãî ïîòåíöèàëà (â öåíòðå êîëüöà) íàäî ïðèìåíèòü ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè, ðàçáèâ êîëüöî íà ìàëåíüêèå êóñî÷êè, êîòîðûå ìîæíî ñ÷èòàòü òî÷å÷íûìè çàðÿäàìè. Ïîòåíöèàë öåíòðà êîëüöà (êàê ëþáîé òî÷êè íà åãî îñè) âû÷èñëÿåòñÿ ïðîñòî áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî ðàññòîÿíèÿ äî âñåõ òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ îäèíàêîâû: ϕ1 = åk i ∆Qi k Q = å ∆Qi = k . R R i R Çàìåòèì, ÷òî ϕ1 íå çàâèñèò îò òîãî, êàê ðàñïðåäåëåí çàðÿä Q ïî êîëüöó ðàâíîìåðíî èëè íåðàâíîìåðíî. Ïîäñòàâëÿÿ ïîòåíöèàëû â òåîðåìó î êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè mv2 æ Q ö - 0 = q ç k - 0÷ , è R ø 2 Çàäà÷à 5. ×åòûðå îäèíàêîâûõ çàðÿäà ïî 2 ìêÊë êàæäûé ðàñïîëîæåíû íà ïðÿìîé ëèíèè. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè çàðÿäàìè 60 ñì. Êàêóþ ðàáîòó íàäî ñîâåðøèòü, ÷òîáû ðàçìåñòèòü ýòè çàðÿäû â âåðøèíàõ ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà ñ ðåáðîì 60 ñì? Ðåøåíèå. Äëÿ ÷åòûðåõ çàðÿäîâ 14 ìîæíî Ðèñ. 3 âûäåëèòü øåñòü ïàð (ðèñ.3): 12, 23, 34, 13, 24 è 14. Íà÷àëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ðàâíà q2 q2 q2 13 q2 Wíà÷ = 3 × k k + 2×k +k = , 2l 3l 3 l l à êîíå÷íàÿ ýíåðãèÿ ñîñòàâëÿåò q2 Wêîí = 6 × k . l Ðàáîòà âíåøíèõ ñèë ðàâíà èçìåíåíèþ ýíåðãèè ñèñòåìû: A = Wêîí - Wíà÷ = 5 q2 = 100 ìÄæ. k 3 l Òåïåðü ðàññìîòðèì íåñêîëüêî çàäà÷ íà çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Çàäà÷à 6. Äâå ÷àñòèöû ìàññîé 2 ìã è çàðÿäîì 10 íÊë êàæäàÿ íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè 5 ñì äðóã îò äðóãà, à ïîñåðåäèíå ìåæäó íèìè çàêðåïëåí òî÷å÷íûé çàðÿä 60 íÊë. ×àñòèöû îäíîâðåìåííî îòïóñêàþò. ×åìó áóäåò ðàâíà ñêîðîñòü ÷àñòèö ïîñëå èõ ðàçëåòà íà áîëüøîå ðàññòîÿíèå? Ðåøåíèå. Èç ñîîáðàæåíèé ñèììåòðèè ÿñíî, ÷òî êîíå÷íûå ñêîðîñòè ÷àñòèö îäèíàêîâû. Ïî- Ðèñ. 4 òåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè ðàâíà íóëþ, à â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè ñîñòàâëÿåò (ðèñ.4) qQ q2 Wíà÷ = 2 × k +k . r 2 r Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè çàïèøåì â âèäå ïîëó÷àåì v= 2kqQ = 4 ì/ñ. mR  ïîñëåäóþùèõ çàäà÷àõ óäîáíåå ïðèìåíÿòü íå òåîðåìó î êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè, à çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè. Òàêîé ïîäõîä îêàçûâàåòñÿ îñîáåííî ðàçóìíûì â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà â äâèæåíèè îäíîâðåìåííî ó÷àñòâóþò íåñêîëüêî çàðÿæåííûõ ÷àñòèö. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ èìååò âèä W12 = k q1q2 , r12 à ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû íåñêîëüêèõ çàðÿäîâ ðàâíà ñóììå âñåõ ýíåðãèé ïàðíûõ âçàèìîäåéñòâèé: W = å Wij . 0+k q ( 4Q + q) mv2 = 2× + 0, 2 r v= kq (4Q + q) = 15 ì/ñ. mr îòêóäà íàéäåì Çàìåòèì, ÷òî ýòó çàäà÷ó ìîæíî ðåøàòü è ñ ïîìîùüþ òåîðåìû î êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàáîòû ýëåêòðè÷åñêèõ ñèë íàäî èñïîëüçîâàòü òîò ôàêò, ÷òî îíà íå çàâèñèò îò ñïîñîáà ïåðåíîñà ÷àñòèö èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ â êîíå÷íîå, è ïåðåíåñòè ÷àñòèöû íà áåñêîíå÷íîñòü ïî î÷åðåäè ñíà÷àëà îäíó, à ïîòîì äðóãóþ (ïîïðîáóéòå ñäåëàòü ýòî ñàìè). Íàîáîðîò, íåêîòîðûå èç ðàçîáðàííûõ ðàíåå çàäà÷ ìîæíî ðåøàòü ÷åðåç çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Íàïðèìåð, â çàäà÷å 3 ýòîò çàêîí çàïèøåòñÿ òàê: i< j  ýòèõ ôîðìóëàõ çà íîëü ïðèíÿòà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû â ñîñòîÿíèè, êîãäà âñå çàðÿäû óäàëåíû äðóã îò äðóãà íà î÷åíü áîëüøîå ðàññòîÿíèå. ×òîáû ëó÷øå ïî÷óâñòâîâàòü ïîíÿòèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñèñòåìû çàðÿäîâ, ðàçáåðåì ïðîñòîé ïðèìåð íà åå âû÷èñëåíèå. 0 + 2×k qQ Q2 mv2 Q2 +k = +k l2 l l 2 (âèäíî, ÷òî ïîñêîëüêó çàðÿäû Q íå ñäâèãàþòñÿ ñ ìåñòà, òî ýíåðãèþ èõ âçàèìîäåéñòâèÿ ìîæíî íå ó÷èòûâàòü îíà âñå ðàâíî ñîêðàùàåòñÿ). Âûáîð ìåòîäà îïðåäåëÿåòñÿ óäîáñòâîì äëÿ äàííîé êîíêðåòíîé çàäà÷è è âàøèì âêóñîì. È ÒÊÈÓ×ÌÅ ÑÀÊÁÈÈÉÒ ÓÊÐÐÈÓÅÆ ÍÎ ÒÀ ÌÏÀÐÒÀÅÊÌÒ À Ê Ýíåðãåòè÷åñêèé ïîäõîä ìîæíî òàêæå ñ óñïåõîì ïðèìåíÿòü â çàäà÷àõ, ãäå êðîìå ýëåêòðè÷åñêîé ïðèñóòñòâóþò äðóãèå êîíñåðâàòèâíûå ñèëû (ñèëà òÿæåñòè, êàê â çàäà÷å 1, èëè ñèëà óïðóãîñòè) èëè ñèëà òðåíèÿ, äåéñòâèå êîòîðîé ïðèâîäèò ê ïåðåõîäó ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè âî âíóòðåííþþ. Çàäà÷à 7. Äâà íåáîëüøèõ òåëà ìàññîé 100 ã è çàðÿäîì 10 ìêÊë êàæäîå óäåðæèâàþò íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè íà ðàññòîÿíèè 1 ì äðóã îò äðóãà. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ òåë î ïëîñêîñòü ðàâåí 0,1. Òåëà îäíîâðåìåííî îñâîáîæäàþò. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü òåë â ïðîöåññå äâèæåíèÿ. Ðåøåíèå. Åñëè íà äâèæóùèåñÿ òåëà äåéñòâóþò ñèëû òðåíèÿ, òî ÷àñòü ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû ïåðåõîäèò âî âíóòðåííþþ: k q2 q2 mv2 =k + 2× + ∆Wâí , r0 r 2 ïðè÷åì óâåëè÷åíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ðàâíî ðàáîòå ñèë òðåíèÿ, âçÿòîé ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì (èëè ïî ìîäóëþ): ∆Wâí = Fòð (r - r0 ) = µmg (r - r0 ) . Ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü òåë äîñòèãàåòñÿ â òîò ìîìåíò, êîãäà èõ óñêîðåíèÿ ðàâíû íóëþ (ðèñ. 5), ò.å. îáðàùàþòñÿ â íîëü ðàâíîäåéñòâóþùèå êóëîíîâñêîé ñèëû è ñèëû òðåíèÿ: Ðèñ. 5 k 2 q = µmg , r2 îòêóäà íàõîäèì ðàññòîÿíèå ìåæäó òåëàìè â ýòîò ìîìåíò: r= kq2 = 3 ì. µmg Èç ïåðâûõ äâóõ ðàâåíñòâ ïîëó÷àåì mv2 = k q2 q2 -k - µmg (r - r0 ) . r0 r Ìîæíî íàéòè èíòåðåñóþùóþ íàñ ñêîðîñòü íåïîñðåäñòâåííî èç ýòîé ôîðìóëû, íî åñëè ñíà÷àëà ïîäñòàâèòü kq2 = µmgr 2 , òî ôîðìóëà óïðîùàåòñÿ: mv2 = µmg (r - r0 )2 r0 , èëè v= µg (r - r0 ) = 2 ì/ñ. r0 Çàäà÷à 8. Äâà îäèíàêîâûõ øàðèêà çàðÿæåíû îäèíàêîâûìè çàðÿäàìè 0,5 ìêÊë, ñîåäèíåíû ïðóæèíîé æåñòêîñòüþ 6 Í/ì è íàõîäÿòñÿ íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå. Âíà÷àëå øàðèêè óäåðæèâàþò íà ðàññòîÿíèè 10 ñì äðóã îò äðóãà, ïðè ýòîì ïðóæèíà íå äåôîðìèðîâàíà. Çàòåì øàðèêè îäíîâðåìåííî îòïóñêàþò. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó øàðèêàìè â ïðîöåññå äàëüíåéøåãî äâèæåíèÿ. Ðåøåíèå.  ýòîì ñëó÷àå íàäî ó÷èòûâàòü êàê ýíåðãèþ êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, òàê è ýíåðãèþ óïðóãîé äåôîðìàöèè. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè çàïèøåì â âèäå 2 k q2 q2 χ (l - l0 ) , =k + l0 l 2 ãäå χ æåñòêîñòü ïðóæèíû. Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé, ñîêðà- ùàÿ íà (l - l0 ) , ïðèõîäèì ê êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ "' 2kq2 = 0, χl0 ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü êîòîðîãî ðàâåí l 2 - l0l - l= l02 2kq2 + = 15 ñì. 4 χl0 l0 + 2 Çàäà÷à 9. Äâà ìàëåíüêèõ øàðèêà ñîåäèíåíû íåäåôîðìèðîâàííîé ïðóæèíîé äëèíîé 20 ñì è æåñòêîñòüþ 200 Í/ì. Ïîñëå ñîîáùåíèÿ øàðèêàì çàðÿäîâ îäíîãî çíàêà äëèíà ïðóæèíû â íîâîì ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ ñòàëà âäâîå áîëüøå. Êàêóþ ðàáîòó íàäî ñîâåðøèòü äëÿ âîçâðàùåíèÿ ïðóæèíû â ïðåæíåå ñîñòîÿíèå? Ðåøåíèå.  íîâîì ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ ðàâíîäåéñòâóþùàÿ êóëîíîâñêîé ñèëû è ñèëû óïðóãîñòè ðàâíà íóëþ: k q2 (2l0 )2 = χl0 . Ðàáîòà âíåøíèõ ñèë ðàâíà èçìåíåíèþ ýíåðãèè: A=k q2 æ q2 χl02 ö . - k + l0 çè 2l0 2 ÷ø Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà kq2 = 4χl03 , ïîëó÷àåì A= 3χl02 = 12 Äæ. 2 Çàäà÷à 10. Íà âûñîòå 3 ì íàä çåìëåé çàêðåïëåí çàðÿä 4 ìêÊë, à ïîä íèì íà âûñîòå 2,2 ì íàõîäèòñÿ ÷àñòèöà ìàññîé 0,9 ã è çàðÿäîì 1 ìêÊë. Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ñêîðîñòü íàäî ñîîáùèòü ÷àñòèöå âåðòèêàëüíî âíèç, ÷òîáû îíà äîñòèãëà ïîâåðõíîñòè çåìëè? Ðåøåíèå.  íà÷àëüíûé ìîìåíò äåéñòâóþùàÿ íà ÷àñòèöó ñèëà êóëîíîâñêîãî ïðèòÿæåíèÿ áîëüøå, ÷åì ñèëà òÿæåñòè. Íà ïåðâûé âçãëÿä, íàäî çàïèñàòü çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, ñâÿçûâàþùèé íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû ñ êîíå÷íûì, â êîòîðîì îíà äîñòèãíåò ïîâåðõíîñòè çåìëè ñ íóëåâîé ñêîðîñòüþ. Îäíàêî òàêîé ïîäõîä ìîæåò ïðèâåñòè ê íåâåðíîìó ðåçóëüòàòó. Íåîáõîäèìî ñíà÷àëà ïðîâåðèòü, ãäå íàõîäèòñÿ òî÷êà À, â êîòîðîé ñèëà êóëîíîâñêîãî ïðèòÿæåíèÿ ñðàâíÿåòñÿ ñ ñèëîé òÿÐèñ. 6 æåñòè (ðèñ.6). Äåëî â òîì, ÷òî ýòà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ äî íåå ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ñèë òîðìîçèò ÷àñòèöó, à ïîñëå íåå ñèëà òÿæåñòè ñòàíîâèòñÿ áîëüøå êóëîíîâñêîé ñèëû è ÷àñòèöà íà÷èíàåò ðàçãîíÿòüñÿ. Åñëè òî÷êà À áëèæå, ÷åì ïîâåðõíîñòü çåìëè, òî íóæíî ÷àñòèöå ñîîáùèòü ñêîðîñòü, êîòîðàÿ ïîçâîëèò åé äîñòè÷ü òî÷êè À, à äàëüøå îíà ïîëåòèò ñàìà. Òî÷êó À íàéäåì òàê: Qq kQq k = mg , îòêóäà h0 = H = 1 ì. 2 mg (H - h0 ) Âèäíî, ÷òî òî÷êà À íàõîäèòñÿ íàä ïîâåðõíîñòüþ çåìëè. Çàïèøåì òåïåðü çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, ñ÷èòàÿ, ÷òî â òî÷êå À ñêîðîñòü ÷àñòèöû îáðàòèòñÿ â íîëü: k qQ mv2 qQ + mgh1 + =k + mgh0 . H - h1 H - h0 2 # ÊÂÀÍT 2008/¹5 2 Ïîäñòàâèâ ñþäà èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà kqQ = -mg (H - h0 ) è ïðîâåäÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ, äëÿ èñêîìîé ñêîðîñòè ïîëó÷èì v= 2g (h1 - h0 ) = 6 ì/ñ. H - h1 Çàìåòèì, ÷òî â òî÷êå À ïîëíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ìàêñèìàëüíà, ïîýòîìó, ÷òîáû äîñòèãíóòü ïîâåðõíîñòè çåìëè, íàäî ïðåîäîëåòü ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð, âåðøèíà êîòîðîãî íàõîäèòñÿ â òî÷êå À. ×òîáû ïðîèëëþñòðèðîâàòü âàæíîñòü àíàëèçà ïîòåíöèàëüíûõ êðèâûõ äëÿ ïîíèìàíèÿ ñâîéñòâ ñèñòåìû, ðàçáåðåì òàêóþ çàäà÷ó. Çàäà÷à 11. Íà ïðóæèíå æåñòêîñòüþ 5 Í/ì ïîäâåøåí â ïîëå òÿæåñòè øàðèê ìàññîé 100 ã. Íà øàðèê è íà âåðõíèé êîíåö ïðóæèíû íàíåñåíû ðàçíîèìåííûå çàðÿäû, ïîäîáðàííûå òàêèì îáðàçîì, ÷òî åñëè ïðóæèíà íå äåôîðìèðîâàíà, òî êóëîíîâñêàÿ ñèëà ðàâíà ñèëå òÿæåñòè. Øàðèê óäåðæèâàþò â ýòîì ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ, à çàòåì îòïóñêàþò. Óéäåò ëè øàðèê èç ýòîãî ïîëîæåíèÿ? Åñëè äà, òî íà ñêîëüêî îí îòêëîíèòñÿ? Äëèíà íåäåôîðìèðîâàííîé ïðóæèíû 10 ñì. Ðåøåíèå. Åñëè îïèñàííîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ (ïðóæèíà íå äåôîðìèðîâàíà, ñèëà òÿæåñòè óðàâíîâåøåíà êóëîíîâñêîé ñèëîé) óñòîé÷èâî, òî øàðèê îñòàíåòñÿ íà ìåñòå. Ïîñìîòðèì, êàê èçìåíÿåòñÿ ïîòåíÐèñ. 7 öèàëüíàÿ ýíåðãèÿ â çàâèñèìîñòè îò ñìåùåíèÿ x èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (ðèñ.7): ∆Wï = -mgx + 2 χx qQ qQ +k -k . l0 + x l0 2 Ïî óñëîâèþ, mg = k qQ l02 . Òîãäà ∆Wï = -mgx + χx2 mgl0 x χx2 mgx2 + = . l0 + x l0 + x 2 2 Âèäíî, ÷òî ïðè χ > 2mg l0 ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ â òî÷êå x = 0 èìååò ìèíèìóì, ò.å. ðàâíîâåñèå óñòîé÷èâîå (ðèñ.8,à). Åñëè æå χ < 2mg l0 , òî ðàâíîâåñèå íåóñòîé÷èâîå (ðèñ. 8,á). Ðèñ. 8 Òåïåðü çàïèøåì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî øàðèê ñìåñòèëñÿ íà x è îñòàíîâèëñÿ: qQ qQ χx2 k =k - mgx + . l0 l0 + x 2 Ïîñëå ïîäñòàíîâêè kqQ = -mgl02 ïðîâåäåì ïðåîáðàçîâàíèÿ è ïîëó÷èì îòâåò: 2mg x= - l0 = 30 ñì. χ Ïðè χ > 2mg l0 îòâåò ïîëó÷àåòñÿ îòðèöàòåëüíûì, íî îí íå èìååò ñìûñëà èñêîìàÿ òî÷êà (îíà îòìå÷åíà íà ðèñóíêå 8,à êðåñòèêîì) íåäîñòèæèìà, òàê êàê íàõîäèòñÿ ïî äðóãóþ ñòîðîíó ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà. Ïðè χ < 2mg l0 ïîëó÷àåì îäèí ïîëîæèòåëüíûé îòâåò (ñì. ðèñ. 8,á). Äåéñòâèòåëüíî, åñëè øàðèê ñìåñòèòñÿ ââåðõ, òî îí íèêîãäà íå îñòàíîâèòñÿ è «óïàäåò» íà âåðõíèé çàðÿä.  çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì çàäà÷ó, ãäå çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè íàäî ïðèìåíÿòü ñîâìåñòíî ñ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà. Çàäà÷à 12. Äâå ÷àñòèöû, èìåþùèå ìàññû 2 ã è 3 ã è çàðÿäû 3 ìêÊë è 12 ìêÊë, óäàëÿþòñÿ äðóã îò äðóãà.  íåêîòîðûé ìîìåíò îíè íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè 10 ì è èìåþò îäèíàêîâûå ñêîðîñòè 3 ì/ñ. Íàéäèòå íàèáîëüøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó ÷àñòèöàìè â ïðîöåññå äâèæåíèÿ. Ðåøåíèå. Íàèáîëüøåå ðàññòîÿíèå ñîîòâåòñòâóåò ìîìåíòó, êîãäà ñêîðîñòè ÷àñòèö áóäóò ðàâíû ïî ìîäóëþ è íàïðàâëåíû â îäíó ñòîðîíó (îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü ÷àñòèö ðàâíà íóëþ). Ñêîðîñòü ÷àñòèö â ýòîì ñîñòîÿíèè íàéäåì èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà m1v - m2v = (m1 + m2 ) u . Âûðàçèâ ñêîðîñòü u è ïîäñòàâèâ åå â çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè k q1q2 m1v2 m2v2 qq (m + m2 ) u2 + + =k 1 2 + 1 , r0 r 2 2 2 íàéäåì ìàêñèìàëüíîå ðàññòîÿíèå: æ1 m1m2 2v2 ö r=ç + ÷ è r0 m1 + m2 kq1q2 ø -1 = 30 ì. Óïðàæíåíèÿ 1. Øàðèê ìàññîé 5 ã è çàðÿäîì 2 ìÊë ïîäâåøåí íà íèòè â ãîðèçîíòàëüíîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå íàïðÿæåííîñòüþ 20 Â/ì, íàïðàâëåííîé ñëåâà íàïðàâî. Øàðèê ñ íèòüþ îòâîäÿò âïðàâî äî ãîðèçîíòàëüíîãî ïîëîæåíèÿ è îòïóñêàþò. Íàéäèòå íàòÿæåíèå íèòè â òîò ìîìåíò, êîãäà îíà âïåðâûå ñîñòàâèò ñ âåðòèêàëüþ óãîë α òàêîé, ÷òî cos α = 0,8 . 2. Ïî òîíêîìó êîëüöó ðàäèóñîì 4 ñì ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåí çàðÿä 50 íÊë. Íà îñè êîëüöà íà ðàññòîÿíèè 3 ñì îò åãî öåíòðà ïîìåùàþò ÷àñòèöó ñ çàðÿäîì 18 íÊë è ìàññîé 1 ìã è îòïóñêàþò. Íàéäèòå ñêîðîñòü ÷àñòèöû â òîò ìîìåíò, êîãäà îíà áóäåò ïðîëåòàòü ÷åðåç öåíòð êîëüöà. 3.  âåðøèíàõ îñòðûõ óãëîâ ðîìáà çàêðåïëåíû çàðÿäû ïî 7 íÊë, à â âåðøèíàõ òóïûõ óãëîâ íàõîäÿòñÿ äâå ÷àñòèöû ìàññîé 2 ìã è çàðÿäîì 2 íÊë êàæäàÿ. ×àñòèöû îäíîâðåìåííî îòïóñêàþò, è îíè ïðèõîäÿò â äâèæåíèå. ×åìó áóäóò ðàâíû ñêîðîñòè ÷àñòèö ïîñëå èõ ðàçëåòà íà áîëüøîå ðàññòîÿíèå? Ñòîðîíà ðîìáà 3 ñì, à åãî îñòðûé óãîë 60°. 4. Òðè îäèíàêîâûõ øàðèêà, íåñóùèõ îäèíàêîâûå çàðÿäû 2 ìêÊë, ñîåäèíåíû ïîïàðíî òðåìÿ îäèíàêîâûìè ïðóæèíàìè è óäåðæèâàþòñÿ íà ðàññòîÿíèè 5 ñì äðóã îò äðóãà. Øàðèêè îòïóñêàþò, è îíè ïðèõîäÿò â äâèæåíèå. Íàéäèòå æåñòêîñòü êàæäîé ïðóæèíû, åñëè â íà÷àëüíîì ïîëîæåíèè îíè íå äåôîðìèðîâàíû, à ìàêñèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó øàðèêàìè â ïðîöåññå äâèæåíèÿ â òðè ðàçà áîëüøå íà÷àëüíîãî. 5. Äâà íåáîëüøèõ òåëà ìàññîé 50 ã êàæäîå, çàðÿæåííûå îäèíàêîâûìè çàðÿäàìè 10 ìêÊë, íàõîäÿòñÿ íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè íà ðàññòîÿíèè 2 ì äðóã îò äðóãà. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ òåë î ïëîñêîñòü ðàâåí 0,1. Òåëà îäíîâðåìåííî îñâîáîæäàþò. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà òåëà îñòàíîâÿòñÿ? 6.  ïîëå òÿæåñòè çàêðåïëåí òî÷å÷íûé çàðÿä 10 ìêÊë, à ïîä íèì íà ðàññòîÿíèè 5 ì íàõîäèòñÿ ÷àñòèöà ìàññîé 9 ã è çàðÿäîì 4 ìêÊë. Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ âåðòèêàëüíóþ ñêîðîñòü íàäî ñîîáùèòü ÷àñòèöå, ÷òîáû îíà äîëåòåëà äî çàêðåïëåííîãî çàðÿäà?