Григорий Перельман – доказательство гипотезы

Григорий Перельман – доказательство гипотезы Пуанкаре, что
пространство является трехмерной сферой
Григорий Яковлевич Перельман в 1966 года в Ленинграде в семье инженера-электрика и
учительницы математики. Окончил среднюю школу №239 с углубленным изучением математики.
Был зачислен на математико-механический факультет Ленинградского государственного
университета без экзаменов, который закончил с отличием. Побеждал на факультетских,
городских и всесоюзных студенческих математических олимпиадах, в 1982 году участвовал в
международной математической олимпиаде в Будапеште. Закончив аспирантуру при
Ленинградском отделении Математического института им. В. А. Стеклова, продолжил работать
там. С 1992 по 1996 год преподавал в Университете Стони Брук и в Беркли, после чего вернулся в
институт Стеклова. В начале 2000-х годов Перельман разместил в интернете три научные статьи, в
предельно сжатом виде содержавшие решение одного из частных случаев гипотезы
геометризации Уильяма Терстона, приводящее в свою очередь к доказательству гипотезы
Пуанкаре. Даже великие математики допускали значительные ошибки в своих научных работах,
поэтому поначалу эти работы никто не воспринимал всерьёз. Тем не менее, за четыре года
проверок и перепроверок выкладок Перельмана, ведущие эксперты ошибок не обнаружили. 22
августа 2006 года Перельману была присуждена Филдсовская премия, которая часто называется
«Нобелевской премией для математиков». В марте 2010 года он был объявлен лауреатом
"Премии тысячелетия", назначенной Математическим институтом Клэя. Но математик отказался
как от премии, так и от денежного приза в один миллион долларов. В интервью, которое
Перельман дал в 2011 году, на вопрос о том, почему он не взял миллион долларов, ответил, что
эти деньги - ничто для "человека, управляющего Вселенной". В опубликованном в октябре 2007
года газетой The Sunday Telegraph списке 100 ныне живущих гениев Перельман занял девятое
место.
Саму по себе гипотезу сложно понять человеку без математического образования. Она
формулируется следующим образом: «всякое односвязное компактное трехмерное многообразие
без края гомеоморфно трехмерной сфере». Она является одной из «Задач тысячелетия», список
которых был составлен институтом Клэя. Из семи задач на данный момент решена лишь одна.
Можно провести аналогию со списком проблем Гильберта, представленным в 1900 году и
оказавшим ключевое влияние на математиков XX века.
Понять, что такое трёхмерное многообразие можно следующим образом. Во-первых, можно
представлять себе многообразие как поверхность. Если вырезать маленький кусочек поверхности
в трёхмерном пространстве (например, сферы), получится кусочек почти плоской поверхности.
Если же вырезать кусок трёхмерного многообразия, получится нечто, напоминающее кусочек
нашего обычного трёхмерного пространства. Здравый смысл подсказывает нам, что тор (бублик)
нельзя продеформировать в сферу, ведь дырка никуда не изчезнет. Отсюда возникает понятие
односвязности. Если любую кривую на поверхности можно стянуть в одну точку, не отрывая от
поверхности, то она односвязная. Что касается компактности и отсутствия края, можно просто
представить себе, что поверхность ограничена (не уходит в бесконечность). Два многообразия
гомеоморфны, если одно можно продеформировать в другое, например, сферу можно
продеформировать в поверхность куба. Трёхмерная сфера – более сложный для понимания
объект. На Земле, если считать её сферой, любую точку, кроме полюсов, можно задать двумя
углами – широтой и долготой. Так трёхмерная сфера – это объект, положение на котором нужно
задавать тремя углами. И как в сечении обычной сферы при постоянной широте (например,
экватор) возникает одномерная сфера (окружность), так и в сечении трёхмерной сферы при
постоянном угле будет возникать знакомая нам двумерная сфера. Таким образом, говоря более
простым языком, гипозета заключается в том, что любую трёхмерную поверхность без дырок
можно продеформировать таким образом, что получится трёхмерная сфера.
Гипотеза Пуанкаре имеет определённый астрофизический смысл. Одной из важных задач этой
науки является описание “формы” нашей Вселенной. Популярной и подтверждающейся
наблюдениями космического зонда WMAP, изучающего космический радиационный фон,
астрофизической теорией является то, что наша Вселенная конечна. То есть как раз представляет
собой трёхмерное многообразие, ограниченное и односвязное, то есть без дыр. Получается, что с
точки зрения математики мы все – жители одной большой трёхмерной сферы. Разумеется, это
открытие относится к одному из самых фундаментальных разделов математики – топологии,
поэтому говорить о том, что оно кардинально изменит нашу жизнь завтра же, не приходится.
Однако, мы никогда не можем знать наверняка, к чему же приведёт то или иное открытие. Как
правило, результаты исследований в таких разделах математики, как топология, или абстрактная
алгебра, применяются в других, более понятных и полезных для реальной жизни науках, начиная
от дифференциальных уравнений, законам которых подчиняется совершенно любой физический
процесс, и заканчивая теорией вероятностей, без которой современный мир экономики не
мыслим. Порой удаётся найти применения математическим теориям и в не математических
науках, например, с помощью топологии изучаются структуры металлических и кристаллических
решёток в химии.