"$ Ê Â À Í T 2002/№1 ðèçîíòàëüíîì äíå áî÷êè, çàïîëíåííîé âîäîé, ëåæèò äèñê òîëùèíîé h = 4 ìì, èçãîòîâëåííûé èç ìàòåðèàëà ñ ïëîòíîñòüþ ρ = 2,4 ã ñì 3 . Ðàäèóñ äèñêà R = 15 ñì.  áî÷êó âåðòèêàëüíî îïóñòèëè òîíêîñòåííóþ òðóáêó ðàäèóñîì r = = 5 ìì, â êîòîðóþ âñòàâëåí ïîðøåíü. Íèæíÿÿ ïëîñêîñòü ïîðøíÿ ñîâïàäàåò ñ òîðöîì òðóáêè. Òðóáêó ïëîòíî ïðèæàëè ê âåðõíåé ïëîñêîñòè äèñêà òàê, ÷òî åå îñü îêàçàëàñü ñìåùåííîé îòíîñèòåëüíî îñè äèñêà íà ðàññòîÿíèå b = 5,8 ìì. Çàòåì ïîðøåíü ïîäíÿëè ââåðõ, çàôèêñèðîâàëè è ñòàëè ìåäëåííî ïîäíèìàòü òðóáêó. Íà êàêîé ìèíèìàëüíîé ãëóáèíå áóäåò íàõîäèòüñÿ âåðõíÿÿ ïëîñêîñòü äèñêà, êîãäà îí îòîðâåòñÿ îò òðóáêè, åñëè äî ìîìåíòà îòðûâà âîäà íå ïðîñà÷èâàëàñü â òðóáêó? Àòìîñôåðíîå äàâëåíèå ñ÷èòàòü íîðìàëüíûì. 3. Íà ãëàäêîé íåâåñîìîé íåðàñòÿæèìîé íèòè âèñèò áëîê, ê îñè êîòîðîãî æåñòêî ïðèêðåïëåí ãðóç. Íèòü ïðèêðåïëåíà ê ëåãêèì ïðóæèíàì, äðóãèå êîíöû êîòîðûõ çàêðåïëåíû íà ïîòîëêå òàê, ÷òî ÷àñòè íèòè, íå ëåæàùèå íà áëîêå, âåðòèêàëüíû è ñîâïàäàk2 þò ñ îñÿìè ïðóæèí (ðèñ.2). Æåñòêîñòü k1 ïåðâîé ïðóæèíû k1 , âòîðîé k2 . Ìàññà áëîêà ñ ãðóçîì Ì. Ïðè êàêîé àìïëèòóäå âåðòèêàëüíûå êîëåáàíèÿ ãðóçà ìîãóò áûòü ãàðìîíè÷åñêèìè? 4.  ñòîëå, ðàâíîìåðíî âðàùàþùåìñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè, ñäåëàíà ñôåðè÷åñêàÿ ÿìêà, öåíòð êîòîðîé ëåæèò íà îñè âðàùåíèÿ.  ÿìêå äâèæåòñÿ íåáîëüøàÿ ãëàäêàÿ øàéáà, ïåðèîäè÷åñêè ïðîõîäÿ ÷åðåç åå íèæíþþ òî÷êó è ïîäíèìàÿñü îòíîñèòåëüíî ýòîé òî÷êè íà ìàêñèìàëüíóþ âûñîòó, ìíîãî ìåíüРис. 2 øóþ ðàäèóñà R ÿìêè. Äâèãàÿñü ââåðõ, øàéáà â íåêîòîðûé ìîìåíò îêàçûâàåòñÿ íà âûñîòå, â k = 2 ðàçà ìåíüøåé ìàêñèìàëüíîé.  ñëåäóþùèé ðàç íà ýòîé æå âûñîòå øàéáà îêàçûâàåòñÿ ÷åðåç n îáîðîòîâ ñòîëà. Íàéäèòå ïåðèîä îáðàùåíèÿ ñòîëà. 5.  ãëàäêîì âåðòèêàëüíîì öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì ìàññîé Ì ñîäåðæèòñÿ ν ìîëåé íåîíà ïðè òåìïåðàòóðå T0 . Ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ öèëèíäðà S, à ïîðøåíü óäåðæèâàþò â òàêîì ïîëîæåíèè, ÷òî ãàç çàíèìàåò îáúåì V. Çàòåì ïîðøåíü îòïóñêàþò, è îí ïîñëå íåñêîëüêèõ êîëåáàíèé çàíèìàåò îïðåäåëåííîå ïîëîæåíèå. Ïðåíåáðåãàÿ òåïëîîáìåíîì íåîíà ñ îêðóæàþùèìè òåëàìè, íàéäèòå åãî òåìïåðàòóðó ïðè íîâîì ðàâíîâåñíîì ïîëîæåíèè ïîðøíÿ, çíàÿ, ÷òî íåîí âñå âðåìÿ íàõîäèòñÿ â ãàçîîáðàçíîì ñîñòîÿíèè, à äàâëåíèå âíå öèëèíäðà ðàâíî íóëþ. 6. Çàâèñèìîñòü îò òåìïåðàòóðû ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòè cì èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà â öèêëå òåïëîâîé ìàøèíû, êîòîðûé ñîñòîèò èç òðåõ cì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðîöåññîâ 12, 23, 31, 3 1 # R èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå 2 3, ãäå R óíèâåðñàëü R íàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ. $ Íàéäèòå îòíîøåíèå äàâ!R ëåíèé ãàçà ïðè ìàêñè3 ìàëüíîé T2 è ìèíèìàëü T1 T2 T íîé T1 òåìïåðàòóðàõ â ýòîì öèêëå, åñëè ÊÏÄ Рис. 3 ìàøèíû ðàâåí η , êîëè÷åñòâî ãàçà â öèêëå íåèçìåííî è T2 T1 = n . 7. Äâå ïðîâîëîêè, èçãîòîâëåííûå èç ìàòåðèàëà ñ ìàëûì òåìïåðàòóðíûì êîýôôèöèåíòîì ñîïðîòèâëåíèÿ, ïîäêëþ÷àþò ê àêêóìóëÿòîðó ñ ïðåíåáðåæèìî ìàëûì âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì îäèí ðàç ïàðàëëåëüíî, à äðóãîé ðàç ïîñëåäîâàòåëüíî. Ïðè ïåðâîì âêëþ÷åíèè ñêîðîñòè äðåéôà íîñè- v òåëåé çàðÿäà â ïðîâîëîB êàõ îêàçàëèñü îäèíàêîâûìè, à âî âòîðîì ñëó÷àå ñêîðîñòü â ïåðâîé ïðîâîR ëîêå óìåíüøèëàñü â k = 5 O ðàç ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðår O äûäóùèì ñëó÷àåì. Íàéäèòå îòíîøåíèå äèàìåòðîâ ïðîâîëîê. 8. Íà êàðêàñ, ñîñòîÿùèé èç äâóõ êîàêñèàëüíûõ öèëèíäðîâ ñ ðàäèóB m ñàìè r è R, âðàùàþùèéñÿ âîêðóã çàêðåïëåííîé ãîРис. 4 ðèçîíòàëüíîé îñè ÎÎ, íàìîòàíà èçîëèðîâàííàÿ òîíêàÿ ïðîâîëîêà òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 4. Ê íèæíåìó êîíöó ïðîâîëîêè ïðèêðåïëåí ãðóç, à åå âåðõíèé êîíåö òÿíóò ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v âåðòèêàëüíî ââåðõ. Öèëèíäðû íàõîäÿòñÿ â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå, èíäóêöèÿ êîòîðîãî ðàâíà  è ïàðàëëåëüíà îñè öèëèíäðîâ. Íàéäèòå ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó êîíöàìè ïðîâîëîêè äëÿ ìîìåíòîâ âðåìåíè, êîãäà íà öèëèíäðå ðàäèóñîì R îñòàåòñÿ õîòÿ áû ÷àñòü ïðîâîëîêè. 9. Íà ïëîñêóþ ïîâåðõíîñòü ëèíçû, íàõîäÿùåéñÿ â âîçäóõå, ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòîé ïîâåðõíîñòè ïàäàåò óçêèé ïó÷îê ñâåòà, ïàðàëëåëüíûé ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè ëèíçû. Ïðè ýòîì íà ýêðàíå, ðàñïîëîæåííîì çà ëèíçîé, íàáëþäàåòñÿ ñâåòëîå ïÿòíî, äèàìåòð êîòîðîãî â k ðàç (k > 1) ìåíüøå äèàìåòðà ïàäàþùåãî ïó÷êà. Íàéäèòå ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n ñòåêëà ëèíçû, çíàÿ, ÷òî ïðè ïîãðóæåíèè ëèíçû ñ ýêðàíîì (ïðè íåèçìåííîì ðàññòîÿíèè ìåæäó íèìè) â æèäêîñòü ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n1 äèàìåòð ñâåòëîãî ïÿòíà íà ýêðàíå íå èçìåíÿåòñÿ. 10. Èçëó÷åíèå ñ äëèíàìè âîëí λ 1 = 589,0 íì è λ 2 = 589,6 íì îò òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà ïàäàåò íà ýêðàí ñ äâóìÿ ìàëûìè îòâåðñòèÿìè, ðàñïîëîæåííûìè ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç èñòî÷íèê ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè ýêðàíà. Íà ðàññòîÿíèè L = 0,7 ì çà ýòèì ýêðàíîì ðàñïîëîæåí âòîðîé ýêðàí, ïàðàëëåëüíûé ïåðâîìó. Íà âòîðîì ýêðàíå íà ðàññòîÿíèè b = 5 ñì îò öåíòðà êàðòèíû, òàì, ãäå ìàêñèìóì, ñîîòâåòñòâóþùèé îäíîé äëèíå âîëíû, íàêëàäûâàåòñÿ íà ìèíèìóì, ñîîòâåñòâóþùèé äðóãîé, èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû èñ÷åçàþò ïåðâûé ðàç. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå d ìåæäó îòâåðñòèÿìè. Факультет вычислительной математики и кибернетики 1. Ëåñòíèöà ñîñòîèò èç òðåõ îäèíàêîâûõ ãëàäêèõ ñòóïåíåê øèðèíîé à = 30 ñì è òàêîé æå âûñîòû (ðèñ.5). Íà âåðõíåé ñòóïåíüêå ðàñïîëîæåíà â ïëîñêîñòè ðèñóíêà íåâåñîìàÿ ïðóæèíà æåñòêîñòüþ k = = 30 Í/ì, ïðàâûì êîíöîì m k ïðèêðåïëåííàÿ ê íåïîäâèæíîé ñòåíêå, à ëåâûì óïèðàþùàÿñÿ â ëåæàùèé íà ñòóïåíüêå ìàëåíüêèé øàðèê ìàññîé m = 100 ã. Øàðèê a ñäâèãàþò âïðàâî, ñæèìàÿ ïðóæèíó, ïîñëå ÷åãî îòïóña êàþò áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè. Äî êàêîé ìàêñèìàëüíîé âåëè÷èíû ∆lmax ìîæíî ñæàòü ïðóæèíó, ÷òîáû âûïóùåííûé øàðèê ïî îäíîìó ðàçó êîñíóëñÿ ñðåäíåé è íèæíåé ñòóïåíåê? Óäàð Рис. 5