МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА В

УДК 536.2.022
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
ТЕПЛА В СИСТЕМЕ ДВУХ ТЕЛ
И.В. Рогов, Н.Ф. Майникова,
Е.П. Полунин, Н.Ю. Тужилина
ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический
университет», г. Тамбов
Ключевые слова и фразы: математическая модель; система двух тел; теплопроводность; теплофизические свойства.
Аннотация: Представлена математическая модель распространения тепла в системе двух тел применительно к измерительной ячейке информационно-измерительной системы, предназначенной для определения теплофизических свойств теплоизоляционных материалов.
Сложность и большой объем экспериментальных исследований по
определению теплофизических свойств (ТФС) как традиционных материалов, так и вновь синтезированных, требуют создания новых эффективных методов и средств контроля. Модульная структура современных программно-технических средств в сочетании с принципами открытых вычислительных систем позволила создать информационно-измерительную
систему (ИИС) для определения теплофизических свойств теплоизоляционных материалов. По сравнению с известными бикалориметрами [1, 2]
данная ИИС имеет ряд преимуществ. А именно:
– система позволяет определять не только значение теплопроводности
исследуемых материалов, но и значение температуропроводности;
– повышение точности определения значений теплопроводности и
температуропроводности достигается за счет автоматической обработки
экспериментальных данных по разработанному алгоритму согласно решениям соответствующих краевых задач теплопроводности для стадий нагрева и остывания измерительной ячейки (ИЯ).
Математическая модель распространения тепла в системе двух тел
применительно к поставленной задаче имеет следующий вид.
Тепловая схема представлена на рис. 1. Две пластины 1 и 2 (1 – сердечник ИЯ, 2 – испытуемый материал) с известными теплофизическими
свойствами находятся в идеальном тепловом контакте. Толщина пластины
Рогов И.В. – кандидат технических наук, докторант кафедры «Гидравлика и теплотехника», e-mail: teplotehnika@nnn.tstu.ru; Майникова Н.Ф.– доктор технических наук, профессор кафедры «Теория машин, механизмов и детали машин»; Полунин Е.П. – магистрант
кафедры «Гидравлика и теплотехника»; Тужилина Н.Ю. – соискатель, ассистент кафедры
«Гидравлика и теплотехника», ТамбГТУ, г. Тамбов.
УНИВЕРСИТЕТ им. В.И. ВЕРНАДСКОГО. №1-3(28). 2010.
67
q
h1
h
λ1→ ∞
λ
с1ρ1
сρ
Т(h) = T0
сп = с1ρ1h1
2
1
x
0
Рис. 1. Тепловая схема
1 равна h1, а толщина пластины 2 – h. Пластина 1 изготовлена из латуни,
обладающей высокой теплопроводностью λ1.
В начальный момент времени значения температуры во всех точках
обеих пластин одинаковы и равны Т0. На наружную поверхность пластины
1 действует постоянный тепловой поток q. Наружная поверхность пластины 2 находится при постоянной температуре Т0 = const.
Требуется определить распределение температуры в пластине 2 в любой момент времени.
Дифференциальное уравнение теплопроводности для одномерного
потока тепла имеет вид
∂T ( x, τ)
∂ 2T ( x, τ)
, τ > 0, x > 0,
=a
∂τ
∂x 2
(1)
где τ – время, с; х – координата, м.
Начальное условие
T ( x,0) = T0 .
(2)
Граничное условие
−λ
∂T (0, τ)
∂T (0, τ)
= q − cп
,
∂x
∂τ
(3)
где cп – теплоемкость, отнесенная к единице площади пластины 1,
Дж/(м2·K)
сп = с1ρ1h 1 ,
(4)
где с1 – удельная теплоемкость пластины 1, Дж/(кг·K); ρ1 – плотность материала пластины 1, кг/м3.
Распределение температуры на поверхности пластины 2
68
ВОПРОСЫ СОВРЕМЕННОЙ НАУКИ И ПРАКТИКИ.
T (h, τ) = T0 .
(5)
Выражения (2), (3) и (5) в безразмерной форме:
∂Θ(χ, Fo) ∂ 2 Θ(χ, Fo)
, Fo > 0, χ > 0,
=
∂ Fo
∂χ 2
Θ(χ,0) = 0,
−
(6)
(7)
∂Θ(0, Fo)
∂Θ(0, Fo)
=1− σ
,
∂χ
∂ Fo
Θ(1, Fo) = 0,
(8)
(9)
где Fo = aτ h 2 , χ = x h , Θ = λ(T − T0 ) / qh – время, координата, температура
в безразмерном виде; σ = сп a / λh = cп / cρh – относительная теплоемкость
пластины 1.
Применим к системе уравнений (6) – (9) преобразование Лапласа:
pΘ L (χ, р) =
−
∂ 2 Θ L (χ, р)
∂χ 2
;
∂Θ L (0, р ) 1
= − pσΘ L (0, р);
∂χ
p
Θ L (1, p ) = 0.
(10)
(11)
(12)
Решение дифференциального уравнения (10) можно представить в
виде
Θ L (χ, р ) = A ch
( pχ)+ B sh( pχ).
(13)
Постоянные A и B найдем из выражений (11) и (12), используя решение дифференциального уравнения (13):
A ch
( p )+ B sh( p ) = 0;
−B p =
1
− pσA.
p
(14)
(15)
Решая выражения (14) и (15) относительно постоянных A и B, получим:
( p)
;
p р (ch ( p ) + p σ sh ( p ))
ch ( p )
B=−
.
p р (ch ( p ) + p σ sh ( p ))
A=
sh
УНИВЕРСИТЕТ им. В.И. ВЕРНАДСКОГО. №1-3(28). 2010.
(16)
(17)
69
Решение в виде преобразования Лапласа имеет вид
Θ L (χ, р ) =
sh
( p )ch( pχ)− ch( p )sh ( pχ).
p р (ch ( p ) + p σ sh ( p ))
(18)
Φ( р)
, где
ψ( р)
Решение (18) есть отношение двух обобщенных полиномов
Φ( р) =
sh
( p )ch( pχ)− ch( p )sh( pχ) = 1 − χ + ⎛⎜ − 1 χ3 − 1 χ + 1 χ2 + 1 ⎞⎟ p + ...; (19)
⎝ 6
р
( ( p )+
ψ ( р) = p ch
p σ sh
2
2
6⎠
( p )) = p⎛⎜⎜1 + ⎛⎜⎝ 12 + σ ⎞⎟⎠ p + ⎛⎜⎝ 241 + σ6 ⎞⎟⎠ p 2 + ...⎞⎟⎟ .
⎝
⎠
(20)
Найдем корни pn обобщенного полинома ψ ( р), для этого прировняем его к нулю
( ( p )+
p σ sh
p ch
( p )) = 0.
(21)
Отсюда найдем:
1) p 0 = 0 (однократный корень);
2) бесчисленное множество корней, удовлетворяющих уравнению
ch
( p )+
p σ sh
( p )= 0 .
(22)
Воспользуемся теоремой разложения:
⎡ Φ ( р) ⎤ ∞ Φ( рп ) p n Fo
L−1 ⎢
e
;
⎥=∑
⎣ ψ ( р ) ⎦ n = 0 dψ ( р п )
dp
( ( p )+
dψ ( р )
= ch
dp
p σ sh
(23)
( p ))+ p 12 ⎛⎜⎜ sh ( pp ) + σ sh(p p ) + σ ch( p )⎞⎟⎟ .
⎝
⎠
(24)
Для нулевого корня p0 = 0 имеем
Φ( р0 ) p0 Fo
e
= 1 − χ.
dψ ( р0 )
dp
(25)
Для остальных корней
∞
( ) ( ) ( ) ( ) ep
( ) ( ) ( )⎞⎟
⎟
sh pn ch pn χ − ch pn sh pn χ
Φ ( рп ) p n Fo ∞
=
e
dψ ( рп )
σ sh pn
1 ⎛ sh pn
n =1 0,5
n =1
+
+ σ ch pn
pn pn ⎜
dp
2⎜
p
p
n
n
⎝
∑
70
∑
n Fo .
(26)
⎠
ВОПРОСЫ СОВРЕМЕННОЙ НАУКИ И ПРАКТИКИ.
Введем обозначения
p = −μ 2 и
p = iμ.
(27)
С учетом:
sh(iμ) = i sin μ;
(28)
ch(iμ) = cos μ ,
(29)
получим характеристическое уравнение
cos μ − μσ sin μ = 0 .
(30)
μσ tg μ = 1 или ctg μ = μσ .
(31)
После преобразования:
Закон распределения температуры в пластине 2 в любой момент времени в любой точке в безразмерном виде
∞
Θ(χ, Fo) = 1 − χ − 2 ∑
(
sin(μ n ) cos(μ n χ) − cos(μ n ) sin(μ n χ)
)
exp − μ n2 Fo ,
2
n =1 μ n (sin(μ n ) + σ sin(μ n ) + μ n σ cos(μ n ) )
(32)
где μ п – корни характеристического уравнения (31).
С учетом характеристического уравнения (31) выражение (32) преобразуется к виду
∞
Θ(χ, Fo) = 1 − χ − 2 ∑
cos(μ n χ) − μσ sin(μ n χ)
(
μ 2n 1 + σ + μ 2n σ 2
n =1
)
(
)
exp − μ 2n Fo .
(33)
Выражение (33) для точки пластины 2 с координатой χ = 0
∞
Θ(0, Fo) = 1 − 2 ∑
2
n =1 μ n
sin μ n
(sin μ n + σ sin μ n + μ nσ cos μ n )
(
)
exp − μ n2 Fo .
(34)
Изменение температуры пластины 2 в зависимости от времени для
точки с координатой χ = 0 определяется формулой
∞
Θ(0, Fo) = 1 − 2 ∑
2
n =1 μ n
1
(
1 + σ + μ n2 σ 2
) (
)
exp − μ n2 Fo .
(35)
При больших значениях Fo выражение (35) имеет вид
Θ(0, Fo) = 1 − 2
(
1
μ12 1 + σ + μ12 σ 2
) (
)
exp − μ12 Fo ,
(36)
где μ1 – первый корень характеристического уравнения (31).
Разложив уравнение (31) в ряд Маклорена [3] и ограничившись только первым членом ряда, получим выражение для μ1
УНИВЕРСИТЕТ им. В.И. ВЕРНАДСКОГО. №1-3(28). 2010.
71
ctg μ1 =
1 1
1
2 5
− μ1 − μ13 −
μ1 − ... , 0 < μ1 < π,
45
945
z 3
μ1 ≈
3
3 + 9σ
(37)
(38)
.
При больших значениях Fo выражение (36) с учетом (38) имеет вид
Θ(0, Fo) = 1 − 2
(1 + 3σ)2
3
⎛
⎞
exp⎜ −
Fo ⎟ .
+
σ
1
3
⎝
⎠
3 1 + 4σ + 6σ
(
2
)
(39)
Подставив выражения для Fo и Θ в формулу (39), получим решение
задачи для стадии нагрева при больших значениях Fo
T (0, τ) = T0 +
qh ⎡
(1 + 3σ)2 exp⎛⎜ − 3аτ ⎞⎟⎤⎥ .
⎢1 − 2
⎜ (1 + 3σ )h 2 ⎟⎥
λ ⎢⎣
3 1 + 4σ + 6σ 2
⎝
⎠⎦
(
)
(40)
Таким образом получена математическая модель распределения тепла
в системе двух тел применительно к ИЯ ИИС, предназначенной для определения ТФС материалов.
Список литературы
1. Теплофизические измерения и приборы / Е.С. Платунов, [и др.] ;
под общ. ред. Е.С. Платунова. − Л. : Машиностроение, 1986. – 144 с.
2. Кондратьев, Г.М. Регулярный тепловой режим / Г.М. Кондратьев. –
М. : Гостехиздат, 1954. – 408 с.
3. Смирнов, В.И. Курс высшей математики / В.И. Смирнов. – М. :
Наука, 1974. – Т. 1. – 480 с.
Mathematical Model of Heat Distribution in Two Bodies System
I.V. Rogov, N.F. Mainikova, E.P. Polunin, N.U. Tuzhilina
Tambov State Technical University, Tambov
Key words and phrases: mathematical model; system of two
bodies; heat conductivity; thermo-physical properties.
Abstract: The paper designs the mathematical model of heat
distribution in the system of two bodies with reference to the
measuring cell of the information-measuring system intended for
identification of thermo-physical properties of heat-insulating
materials.
© И.В. Рогов, Н.Ф. Майникова, Е.П. Полунин,
Н.Ю. Тужилина, 2010
72
ВОПРОСЫ СОВРЕМЕННОЙ НАУКИ И ПРАКТИКИ.