1.1. Метод следов

1
Сечения многогранников
Интерактивный комплект
1. Методы построения сечений
1.1. Построение сечений многогранников методом следов
Пособие содержит описание метода следов для построения сечений многогранников и
примеры применения метода следов для решения задач. Решения сопровождаются
интерактивными файлами, выполненными в программе GInMA.
Оглавление раздела
1. Сечение тетраэдра, точки расположены на рёбрах
2. Сечение тетраэдра, одна из заданных точек сечения расположена в грани
3. Сечение правильной четырёхугольной пирамиды, параллельное двум прямым
4. Сечение параллелепипеда, точки на рёбрах одной грани и в соседней с ней с грани
5. Сечение правильной четырёхугольной пирамиды, параллельное боковой грани
6. Литература
2
3
4
5
6
7
Чтобы рисунки из комплекта ожили, установите на Вашем компьютере программу
GInMA c сайта http://deoma-cmd.ru/Products/Geometry/GInMA.aspx
Бесплатная базовая версия комплекта позволяет ознакомиться с возможностями
пособия. Во всех файлах доступны первые шаги решений с условием и исходным
интерактивным чертежом, в отдельных файлах доступны все шаги решения вплоть до ответа.
Чтобы научиться управлять рисунком, пользуйтесь Руководством для пользователя комплекта
Смотрите видео Как преобразовать рисунки из текста в интерактивные рисунки
Видео некоторых решений смотрите на Youtube, канал пользователя Vladimir Shelomovskii
Посмотрите пример методики применения комплекта Построение сечения в GInMA
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/
2
Задание 1
Сечение тетраэдра, точки расположены на рёбрах тетраэдра
1 шаг (Условие). Постройте сечение тетраэдра АВСD плоскостью EFG методом следов,
если точки E, F и G находятся на ребрах AD, BD и ВС, соответственно.
Анализ. Две стороны сечения — это отрезки EF и FG, построенные путём соединения
пар данных точек, лежащих в плоскостях граней АВD и BСD. Для построения сечения нужна
точка на ребре АС, разделяющем грани ABD и AСD. Для того, чтобы её найти, используем
прямую EН— след плоскости сечения на плоскости ACD. Эта прямая проходит через данную
точку сечения E. Вторую точку этой прямой удобно найти на прямой CD, которая лежит
одновременно в плоскости ACD и в плоскости ВCD, содержащей точки F и G. Прямая FG
принадлежит плоскости сечения, так как две её точки принадлежат этой плоскости. Прямая
FG и прямая CD принадлежат плоскости ВСD, то есть они либо пересекаются в точке Н, либо
параллельны (свойство 2). Значит, след плоскости сечения на плоскости ACD либо содержит
точки E и Н, либо, если CD||FG, он параллелен CD.
Построение.
2 шаг. Найдена точка Н – след плоскости EFG на прямой CD. В плоскости ВCD строим
прямые CD и FG и находим точку их пересечения Н. Точка Н принадлежит плоскостям граней
BCD и ACD и плоскости сечения. Особым является случай, когда прямая FG параллельна CD.
Точки пересечения нет.
3 шаг. В плоскости АCD строим прямую ЕН, которая принадлежит плоскости сечения,
так как точки Е и Н ей принадлежат. Точка I пересечения AD и HT - это след плоскости
сечения на прямой AC.
4 шаг. Завершаем построение, построив отрезок IG. Если окажется, что прямая FG
параллельна CD, то точки пересечения Н нет. При этом искомая прямая EI также параллельна
CD. Поэтому строим EI||CD. Изучите построенное сечение, изменяя тетраэдр и перемещая
точки, задающие сечение.
Рис. 1. Сечение тетраэдра, точки расположены на рёбрах
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/
3
Задание 2
Сечение тетраэдра, две из заданных точек сечения находятся на ребрах тетраэдра
и одна расположена в грани тетраэдра .
1 шаг (условие) Постройте сечение тетраэдра АВСD плоскостью EFG, если точка E
расположена на ребре AD, точка F расположена на грани АВС и точка G расположена на ребре
BС.
Анализ. В грани ABС известны две точки, что позволяет построить следы плоскости
сечения на прямых AB, ВС и AС. Задача свелась к задаче 1, в которой все точки сечения
размещались на рёбрах. Например, пусть прямая FG пересекает AB в точке Н. Тогда две точки
в плоскости АВD позволят найти след сечения EН и точку М на прямой ВD, то есть в
плоскости ВСD. В этой плоскости след плоскости сечения — это прямая GМ.
Построение.
2 шаг. В плоскости АВC строим прямые АВ и FG и находим точку их пересечения Н. В
плоскости АВC находим точку Н' пересечения прямой FG и ребра AC, если эта точка
существует.
3 шаг. В плоскости АВD строим прямую ЕН и находим след плоскости сечения точку М
на ребре ВD.
4 шаг. Завершаем построение, соединив найденные точки, лежащие на рёбрах. Если
окажется, что прямая FG параллельна АВ (FG||АВ), то точки пересечения Н нет. При этом
искомая прямая EM также параллельна AB. Поэтому строим EМ||АВ.
Рис. 2. Сечение тетраэдра для случая, когда точки расположены на рёбрах и в грани
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/
4
Задание 3
Сечение правильной четырёхугольной пирамиды, параллельное двум прямым
1 шаг (условие) Постройте сечение правильной четырёхугольной пирамиды PАВСD,
которое проходит через точку E, лежащую в грани АВСD, параллельное боковому ребру PС и
диагонали основания ВD.
Анализ. Известно, что если прямая l параллельна плоскости П, то любая плоскость,
содержащая эту прямую, пересекает П по прямой, параллельной l. След плоскости сечения в
грани ABCD – это отрезок FG, который параллелен диагонали BD и пересекает диагональ AС
в точке K. Точка N на ребре АР находится из условия KN||CP. Если точка Е внутри
треугольника ВCD, то GL||CP и FH||CP.
Построение.
2 шаг. Строим след плоскости сечения в грани АВСD. Это отрезок FG параллельный BD.
Его середина точка K располагается на диагонали АС.
3 шаг. Строим след плоскости сечения в треугольнике АСР, который является частью
плоскости АСР. Это отрезок KN параллельный CP. Прямая KN пересекает ребро АP в точке N
на ребре АР, которая является следом сечения на этом ребре.
4 шаг. Если точка Е расположена внутри треугольника ВCD, то строим следы сечения в
гранях CDР и ВDР. Эти следы также параллельны CР. GL||CP и FH||CP.
Рис. 3. Сечение правильной четырёхугольной пирамиды, параллельное двум данным прямым
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/
5
Задание 4
Сечение параллелепипеда, две точки на рёбрах одной грани и одна - в соседней с ней грани
1 шаг (условие) Постройте сечение параллелепипеда АВСDА'В'С'D' плоскостью LMN,
если точка L находится в грани BCC'B', точка N находится на ребре AD, точка M – на ребре
CD.
Анализ. В грани АВСD находится две точки сечения, определяющие прямую MN – след
сечения в этой плоскости. Пересечение этой прямой с прямыми AB и BС даёт следы сечения
Е' и Е в плоскостях граней BАА'B' и BCC'B', соответственно. Таким образом, в плоскости
грани BCC'B' известны две точки сечения – L и Е. Пользуясь ими, строим прямую LЕ, след
сечения в этой плоскости. Далее пользуемся свойством параллельности сторон сечения,
лежащих на противолежащих гранях параллелепипеда и следом Е' сечения в плоскостях грани
BАА'B'.
Построение.
2 шаг. Строим прямую MN. Ищем точки Е' и Е её пересечения с прямыми AB и BС.
Найдены следы плоскости сечения на прямых, содержащих рёбра параллелепипеда AB и BС.
3 шаг. Строим след плоскости сечения в плоскости грани BCC'B'. Это прямая EL.
Находим точки F и G её пересечения с рёбрами грани BCC'B'. Строим стороны сечения
отрезки MG и FG .
4 шаг. Строим следы плоскости сечения в плоскостях граней A'B'С'В' и BAA'B'.
Находим точки их пересечения с рёбрами граней. Строим стороны сечения.
5 шаг. Исследуйте самостоятельно ситуацию, изменяя положение точек. Например,
рассмотрите случай, если прямая EG пересекает ребро B'C'.
Рис. 4. Сечение параллелепипеда, точки на рёбрах и в грани.
Задание 5
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/
6
Сечение правильной четырёхугольной пирамиды, параллельное боковой грани
1 шаг (условие) Постройте сечение правильной четырёхугольной пирамиды PАВСD,
параллельное боковой грани PВС, которое проходит через точку E, лежащую в квадрате
АВСD.
Анализ. Сечение параллельно грани PBC, значит, след сечения в плоскости основания
грани ABCD – это прямая FG содержащая точку Е, параллельная ребру пирамиды BC,
лежащему в плоскости PВС. След плоскости сечения в грани РAB – это отрезок, который
параллелен ребру РВ, лежащему в плоскости PВС. След плоскости сечения в грани РCD – это
отрезок, который параллелен ребру РC, лежащему в плоскости PСD.
Построение.
2 шаг. Строим отрезок FG параллельный BC и содержащий точку E.
3 шаг. В гранях PВС и PСD строим отрезки, параллельные рёбрам ВP и СP.
Рис. 5. Сечение правильной четырёхугольной пирамиды, параллельное боковой грани
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/
7
Литература
1. И. Ф. Шарыгин. Геометрия. 10 – 11 кл.: Учебник. –М.: Дрофа, 2007. – 206 с.
2.2. Построения на изображениях.
2. А.Ю.Калинин, Д.А. Терешин. Стереометрия 10. –M.: МФТИ, 1996. – 256 с.
2.6. Сечение многогранника. Построения сечений методом следов.
2.7. Применение проектирования при построении сечений многогранников.
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/